AA 2013-2014 Fluidodinamica celle macchine Prof. Mauro Villarini
1
Fluidodinamica delle macchine
Prof. Mauro Villarini
Introduzione alle turbomacchine e
alla teoria della similitudine
Effetti della viscosità del fluido
A parità di condizioni, la viscosità del fluido regolarizza
l’efflusso:
• Pensare ad una vena d’olio (molto viscoso) contro una
vena d’acqua
All’aumentare della velocità (con qualsiasi fluido) si osserva
che aumenta la turbolenza della vena:
• Con l’aumentare della velocità del fluido aumenta
l’effetto dovuto all’inerzia che prevale sull’effetto
regolarizzante della viscosità
Effetti della viscosità del fluido
Un parametro che permette di valutare quanto gli effetti
inerziali prevalgano su quelli viscosi è il numero di Reynolds:
La Forza di Inerzia è data dalla massa per un’accellerazione:
La Forza viscosa segue la formulazione di Newton:
Da cui:
Re2
3
cLLL
cL
LcL
F
F
v
i
cLF
i 3
L
cLF
v 2
Effetti della viscosità del fluido Il numero di Re esprime il rapporto tra le azioni di inerzia (perturbanti) e quelle viscose (regolarizzanti):
Per bassi Re prevalgono le azioni viscose e il profilo di velocità è facilmente calcolabile e risulta parabolico
La velocità media aritmetica si realizza a
detto regime di moto è detto laminare
Tale regime si ha per Re<2000 che difficilmente si realizza
2/* Rr
Effetti della viscosità del fluido Si prenda ad esempio un diametro interno di 100 mm
Si consideri aria a T ambiente visc cinematica=14e-6 m2/s
sme
e
dc /28,0
3100
2000614Re
Effetti della viscosità del fluido
Nella maggioranza di casi Re>2000 il regime si chiama
turbolento.
Il profilo di velocità non è più parabolico ma risulta
maggiormente uniforme all’aumentare di Re.
Il profilo è del tipo:
Molti autori suggeriscono:
n=1/7 per Re<100.000,
n=1/8 per 100.000<Re<400.000
Effetti dell’elasticità del fluido
Tutti i fluidi sono comprimibili, essi riducono il loro volume
quando assoggettati ad un aumento di pressione.
Questo avviene (anche se in maniera modesta) anche per
quei liquidi definiti incomprimibili.
La comprimibilità fa sì che una qualsiasi pertubazione (una
varizione di pressione istantanea ad esempio) si propaghi
nel dominio del fluido con una velocità finita
Effetti dell’elasticità del fluido
La comprimibilità del fluido può essere definita, similmente
ai solidi elastici, da un modulo elastico:
La derivata dp/dρ ha le dimensioni di una velocità al
quadrato:
c* è proprio la velocità di propagazione di una pertubazione
dp nel fluido
Effetti dell’elasticità del fluido
Minore è la variazione di volume del fluido per un dp e più
elevata è la c*, se il fuido fosse incomprimibile c*=∞
Nell’acqua in condizioni ambiente, una p=105 Pa (1 bar)
produce una variazione di 0,1 kg/m3
Tale valore è talmente elevato da potersi considerare
infinito
Effetti dell’elasticità del fluido
Per un gas in condizioni adiabatiche:
Il valore di c* così calcolato è in realtà il valore minimo della
velocità di propagazione, corrispondente ad una
perturbazione infinitesima.
Binder ha dimostrato che se p è la pressione del fluido e p’
quella di innesco della perturbazione:
Regimi di moto subsonico,
transonico e supersonico I problemi connessi con la velocità di propagazione delle pertubazioni nel fluido meritano attenzione quando la velocità c del fluido è comparabile con c*.
Nell’aria in condizioni ambiente (k=1.4, p=100 kPa, ρ=1,2 kg/m3)c*=410 m/s.
La velocità del fluido può raggiungere valori ben maggiori di questo.
Risulta significativo il rapporto c/c* che prende il nome di numero di Mach (Ma)
Numero di Mach (Ma)
Il numero di Mach rappresenta la radice quadrata del
rapporto tra le forze di inerzia Fi =ma e le forze elastiche
Fe=EL2:
Numero di Mach (Ma)
• Quando Ma<1 il regime si chiama subsonico, i fenomeni
elastici meritano attenzione a partire da Ma=0,3-0,4
• Per Ma=1 il regime si chiama transonico
• Per Ma>1 il regime si chiama supersonico
• Quando Ma>5 il regime si chiama ipersonico
Una perturbazione si muove all’interno di un fluido, nel
riferimento assoluto con velocità=c*-c
Numero di Mach (Ma)
a) Se c=0 si ha un’onda stazionaria di propagazione
b) Se c>0 ma c<c* la pertubazione viaggia più velocemente nel verso del moto (c*+c) e più lentamente nel verso opposto (c*-c).
c) Per Ma=1, c=c* non vi è avanzamento della pertubazione nel verso contrario al moto(si crea una zona del silenzio)
d) Nel moto supersonico, le linee di Mach creano un cono inclinate di un angolo α, tale che senα=c/c* e quindi
Numero di Mach (Ma) In un condotto le perturbazioni ha sempre origine che può
considerarsi puntiforme (un’asperità…), l’onda di Mach è
sempre obliqua nel moto supersonico come visto
precedentemente.
C’è da dire che le perturbazioni nei condotti non sono di
tipo sonoro (lieve intensità e perciò reversibili) ma sono
sempre di carattere dissipativo, l’onda che propaga le
perturbazioni prende il nome di onda d’urto
Efflussi del Fanno Si consideri un condotto fisso in cui si sviluppi un efflusso
adiabatico, l’entalpia totale è necessariamente
costante.
Se non ci sono attriti la velocità del fluido c è costante se la
sezione del condotto è costante, di conseguenza anche H
(entalpia termodinamica)
Efflussi del Fanno Se vi sono attriti, questi dissipano energia in calore
dilatando il fluido, riducendone la densità:
•Perché la portata rimanga costante (continuità) quindi
deve aumentare la velocità c del fluido.
L’entalpia termodinamica si riduce nel corso dell’efflusso:
Efflussi del Fanno e del Reylegh I diagrammi dell’entalpia H in funzione di ν=1/ρ, in un
efflusso con attriti a sezione costante prendono il nome di
curve del Fanno:
Tanto più decrescente all’aumentare del numero di Ma
iniziale
Schiere Palettate Si definiscono schiere palettate insiemi regolari di pale
disposte a simmetria centrale con centro di simmetria posto
di norma sull’asse geometrico della macchina.
Tra le pale contigue è definito un condotto, tali condotti
sono tutti uguali e tanti quanto le pale:
Schiere Palettate
Schiere Palettate
Schiere Palettate Una turbomacchina elementare è costituita da due schiere
affacciate di pale, i cui condotti sono percorsi dal fluido in
successione:
1. Una fissa alla cassa chiamata statorica
2. L’altra calettata sull’albero e detta rotorica
Solo la rotorica è in grado di scambiare lavoro con l’esterno
(tramite l’albero)
Quella statorica ha il compito di produrre trasformazioni
energetiche nel fluido necessarie al corretto funzionamento
della macchina.
Schiere Palettate Una turbomacchina elementare è costituita da due schiere
affacciate di pale, i cui condotti sono percorsi dal fluido in
successione:
1. Una fissa alla cassa chiamata statorica
2. L’altra calettata sull’albero e detta rotorica
Solo la rotorica è in grado di scambiare lavoro con l’esterno
(tramite l’albero)
Quella statorica ha il compito di produrre trasformazioni
energetiche nel fluido necessarie al corretto funzionamento
della macchina.
Schiere Palettate Quando è possibile ottenere una trasformazione completa
in un singolo passaggio (statore-rotore) la macchina si
chiama monostadio.
Molto spesso si ha bisogno di porre in cascata più gruppi
statore-rotore, in questo caso la macchina è polistadio.
Schiere Statoriche Le schiere palettate statoriche possono essere:
1. Accelleranti in questo caso vengono utilizzate nelle
macchine motrici per trasformare la caduta entalpica del
fluido in energia cinetica
2. Diffondenti, quest’ultime utilizzate a valle delle giranti
delle macchine operatrici al fine di trasformare l’energia
cinetica del fluido in energia di pressione (compressori)
Ugelli Quando la portata è modesta, invece di più condotti che il
fluido deve percorrere parallelamente, si possono utilizzare
uno o più condotti detti ugelli.
Nell’equazione dell’energia:
dQ=0 (adiabaticità),
dL=0 (fermo)
dLp=0 (trascuriamo al momento
gli attriti)
Ugelli
Ipotizzando che c0 =0
p
p
p
k
kpp
k
k
pA
k
kA
k
kdAk
dAkc
dAkdpAp
dpc
p
p
p
p
k
p
p
kp
p
k
kk
p
p
0
0
0
0
0
0
00
1
0
2
0
12
1
0
2
111
112
2
Sapendo che kk
p
p
p
p/1
0000
k
p
p
p
pp
k
k/1
000
0 11
Ugelli
Ipotizzando che c0 =0
(all’ingresso dell’ugello) la
seconda integrata porta alla
nota equazione di De Saint
Venant
Ugelli
Durante l’efflusso per la continuità della portata la sezione dovrà variare inversamente a ρc
Ipotizzando che ps=0 (allo scarico sia bassa, quindi ρs
bassa-> ρsc≈0
Sapendo che c0=0-> ρc=0
Sia avrà una porzione del condotto dove ρc è massima e quindi la sezione Ω minima
In essa la p sarà chiamata p critica (pc)
Per determinare il rapporto pc/p0 che rende massimo ρc (anche il
suo quadrato) basterà derivare ρ2c2 e porlo uguale a 0
Ugelli
Si ottiene quindi
Ugelli
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
2
1
2
1212
k
k
c
k
k
kk
k
kk
k
kppp
p
p
k
p
p
k
k
p
p
kp
p
k
k
p
p
k
Ugelli
I valori della velocità e della densità corrispondenti vengono detti critici
Ricordando che:
cc è quindi uguale alla velocità del suono nelle condizioni esistenti in Ωc
Ugelli
Nota la portata, lo stato del fluido a monte, la pressione a
valle e la trasformazione politropica(as esempio adiabatica):
a)Se la p1>pc per la p0 a monte, la sezione Ω1 è data da
dove ρ e c sono forniti da:
Condotto solo convergente
Ugelli
Nota la portata, lo stato del fluido a monte, la pressione a
valle e la trasformazione politropica(as esempio adiabatica):
Se la p1=pc per la p0 a monte, la sezione sarà quella Ωc
Condotto solo convergente
Ugelli
Nota la portata, lo stato del fluido a monte, la pressione a
valle e la trasformazione politropica(as esempio adiabatica):
Se la p1<pc per la p0 a monte, il condotto sarà convergente-
divergente. Angolo di apertura divergente 10-12° massimi per
evitare scollamenti della vena fluida
Equazioni di Hugoniot
Prendiamo l’eq. dell’energia
Per l’adiabaticità:
da cui:
Prendiamo Eq. Di continuità nella forma:
0
dd
c
dc
Equazioni di Hugoniot
Tale prima espressione di Hugoniot (per flussi adiabatici
isoentropici di fluidi comprimibili):
A monte della Ωc dΩ<0 e dc>0 quindi Ma<1
A valle dΩ>0 e dc>0 quindi Ma>1
Quindi nella Ωc dΩ=0 e Ma=1
Con sviluppi analoghi otteniamo la 2° espressione di Hugoniot:
Equazioni di Hugoniot
La terza equazione di Hugoniot valida per gas per efflussi
adiabatici reali (non isoentropici)
Eq Energia in forma termica
sapendo che
Dividendo e moltiplicando per T il 2°termine
Infine dividendo per c2
Equazioni di Hugoniot
La terza equazione di Hugoniot valida per gas per efflussi
adiabatici reali (non isoentropici)
Eq Energia in forma termica
sapendo che
Dividendo e moltiplicando per T il 2°termine
Infine dividendo per c2
Comportamento Ugelli Fuori
Progetto
Si consideri un condotto convergente-divergente progettato per
un p0 e una p1 il diagramma delle p è quello contrassegnato con
0
Comportamento Ugelli Fuori
Progetto
Si consideri una ps = poco inferiore a p0 tale che lasci il
moto con Ma<1
1- Il fluido nel tratto convergente accellera espandendo, la p cala
2- Nella Ωc dΩ=0->dc=0 si raggiunge la cmax e la pmin
3-nel tratto divergente l’opposto di 1
Comportamento Ugelli Fuori
Progetto
Ad una ps = si crea pc
1- Nella Ωc si raggiunge Ma=1, il diagramma delle p e delle c mostra una discontinuità nella sezione critica (punto C)
Rimandendo i due rami subsonici non c’è rilevante differente rispetto al caso precedente
Comportamento Ugelli Fuori
Progetto
Ad una ps > fino a quella di progetto
Si crea un’onda d’urto, la p procede come 0 (di progetto), fino ad una certa sezione Y
Dove la p cresce bruscamente fino ad Y’ per poi crescere gradatamente in regime subsonico Ma<1
La discontinuità riporta il flusso da Ma>1 a Ma<1
Comportamento Ugelli Fuori
Progetto
A misura che si riduce la pressione allo scarico dell’ugello, la
sezione del tratto divergente dove si genera l’onda d’urto si
ssposta sempre più a valle
È possibile costruire il luogo dei punti
come Y’ Z’ ecc., rappresentativi della
pressione a valle dell’urto.
Diagramma e Cono di stodola
Si effettui l’espansione di un fluido con trasfomazione di energia potenziale in energia cinetica, in un ugello con c0=0, in assenza di attriti.
La portata massica rapportata alla sezione sarà:
Considerando la trasformazione adiabatica:
Si ottiene
Diagramma e Cono di stodola
Questa formula mostra come si annulli la portata massica per
p1/p0=0 e p1/p0=1
Costruendo un diagramma avente in ascisse la p1 e in ordinate
la portata in massa, si ottiene un diagramma ellittico con
massimo nella pc
Diagramma e Cono di stodola
Il significato fisico della curva è solo a destra, per p1< pc si
verifica sperimentalente che la portata in massa non varia e
resta= a Mc, la portata in massa del tratto convergente deve
permanere anche in quello divergente, M dipende solo da p0 e
pc
La curva ha perciò andamento rettilineo.
Diagramma e Cono di stodola
Tale portata Mc
Con l’equazione di Poisson e
Se le condizioni di efflusso sono tali da instaurare una pressione
critica, la portata è funzione solo delle condizioni a monte
Diagramma e Cono di stodola
Il diagramma delle portate pur mantenendo la forma si
diversifica al variare di p0
In uno spazio a 3 variabili il grafico di prima diventa un cono,
cono di Stodola
Diagramma e Cono di stodola
Prendendo la sezione a p1=cost si ottiene
Costituito da due tratti
1-rettilineo(sezione della fascia piana)
2-tratto di iperbole
Tale diagramma mostra la M in funzione della p0
Comportamento reale degli
Ugelli
Eliminiamo l’ipotesi di:
1. c0=0
2. Lp=0
Iniziamo a considerare Lp=0 ma c0≠0
Integrando l’equazione dell’Energia in forma termica:
quindi
0110
2
0
2
1
2HHH
cc
01
2
012 Hcc
Comportamento reale degli
Ugelli
Riferiamoci però alla forma meccanica
Esprimendo c0 tramite la portata
Tramite l’equazione di Poisson
Si ottiene
111000 ccM
1
0
2
0
2
1
2
dpcc
k
k
p
pp
k
kcc
1
0
1
0
02
011
1
2
2
0
1
2
0
12
1
2
0
cc
k
p
pcc
/2
0
1
2
0
12
1
2
0
k
k
k p
pp
k
k
p
pc
1
0
1
0
0
/2
0
1
2
0
1
11
1
2
1
1
Comportamento reale degli
Ugelli
La velocità finale è sempre fornita da De Saint Venant ma
moltiplicata per un coefficiente correttivo:
Tale fattore è sempre > di 1 tranne che per c0=0
Comportamento reale degli
Ugelli
Se c≠0 si voglia determinare il rapporto pc/p0
Se si prolunga idealmente l’ugello a monte fino a raggingere
una velocità c0=0
Comportamento reale degli
Ugelli
Sapendo che:
Nel caso di c0>0 a parità di p0, pc aumenta rispetto a c0=0
Comportamento reale degli
Ugelli
Caso Lp>0
Nel piano entalpico un’espansione adiabatica è la retta 0-1l se
isoentropica e 0-1r se reale
A parità di p1 e p0 il ΔH sfruttato è minore
Comportamento reale degli
Ugelli
Per tener conto degli attriti si inserisce un coefficiente di velocità
Stodola propose (con l=lunghezza condotto e d=diametro)
Il Vavra propone la seguente formula
Configurazione dei condotti
statorici
Gli ugelli ad asse rettilineo sono scarsamente impiegati nelle
turbomacchine, poichè questi devono anche distribuire il fluido
sulla palettatura rotorica.
Esse sono ad asse curvo, disposte su una superficie cilindrica
e collocate in parallelo.
Configurazione dei condotti
statorici
Nell’ ipotesi di pale prive di spessore, la sezione risulta
proporzionale a senα, l’ugello risulta convergente come
necessario per flussi subsonici
Per la continuità:
Configurazione dei condotti
statorici
Nell’ ipotesi di pale prive di spessore, la sezione risulta
proporzionale a senα, l’ugello risulta convergente come
necessario per flussi subsonici
Per la continuità:
così ρc varia con senα
per compensare si sceglie h e D
in modo da compensare ρ
Configurazione dei condotti
statorici
La velocità c del fluido aumenta come si riduce α per esempio
se c1/c0=3,86 per le energie cinetiche:
Normalmente le pale hanno uno spessore non trascurabile va
considerato quindi un coefficiente di ostruzione
Rendimento degli Ugelli
Oppure
Nel caso di c0=0 le due coincidono altrimenti:
Diffusori
Hanno scopo inverso agli ugelli, cioè servono a rallentare il
fluido, trasformando in energia di pressione parte della loro
energia cinetica.
Secondo le equazioni di Hugoniot se l’efflusso è subsonico la sezione deve aumentare, viceversa se l’efflusso è supersonico.
Sono posti a valle di pale rotoriche di compresori
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Si prenda innanzi tutto in esame un condotto mobile di una macchina
radiale centrifuga
Sia O la traccia dell'asse geometrico dell'albero
TRIANGOLI DI VELOCITÀ. MOTO ASSOLUTO E RELATIVO DEL FLUIDO
La palettatura è animata dalla velocità angolare ω,
ogni punto della girante possiede una velocità di trascinamento u, con
u1<u2: u1= ω r1 u2= ω r2
Nelle macchine assiali u1=u2
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Perché il fluido entri nella palettatura in condizioni di minime
resistenze, un osservatore solidale con il rotore dovrà vedere arrivare il
fluido con una velocità relativa w1 diretta secondo l'angolazione β1
TRIANGOLI DI VELOCITÀ. MOTO ASSOLUTO E RELATIVO DEL FLUIDO
La velocità assoluta c1 cioè rispetto ad un riferimento fisso sarà:
c=w+u
i noti triangoli di velocità
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Si prenda un condotto piano la traiettoria relativa di una particella fluida
sia 1-2 mostrato in figura
Un osservatore fisso vedrà muoversi tale particella secondo 1-2’ (si
riformano i triangoli di velocità)
Facendo così per tutte le traiettorie infinitesime si ricavano i tubi di
flusso assoluto e relativo
TRIANGOLI DI VELOCITÀ. MOTO ASSOLUTO E RELATIVO DEL FLUIDO
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Facendo così per tutte le traiettorie infinitesime si ricavano i tubi di
flusso assoluto e relativo
I due tubi di flusso hanno la sezione 1 in comune quindi dovrà essere
In cui Ωc è l’area normale a c e Ωc a w
TRIANGOLI DI VELOCITÀ. MOTO ASSOLUTO E RELATIVO DEL FLUIDO
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Dalla figura si vede che c2 e w2 hanno la stessa proiezione sulla
normale:
c2m=w2m wsenβ=csenα
Dove m indica la componente meridiana
Che effettivamente smaltisce la portata
TRIANGOLI DI VELOCITÀ. MOTO ASSOLUTO E RELATIVO DEL FLUIDO
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Si riprenda l’equazione dell’impulso al caso di macchina assiale,
trascurando il peso del fluido, Fs forza esercitata, M portata fluido
La potenza per unità di portata è:
Scambi di lavoro tra fluido e palettatura
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Ovviamente tale equazione può essere scritta anche in riferimento al
condotto relativo:
Ovviamente P deve essere uguale quindi:
Scambi di lavoro tra fluido e palettatura
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Si prenda in considerazione ora la macchina radiale con riferimento al
condotto assoluto,
chiamando il momento delle forze trasmesse dal fluido alla
palettatura:
Se u1=u2=u si torna all’espressione per la macchina assiale
Scambi di lavoro tra fluido e palettatura
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Si può ottenere infine un espressione di P applicando il teorema di
Carnot:
E quindi diventa
Scambi di lavoro tra fluido e palettatura
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In questa espressione ci sono tre termini distinti:
1. La variazione di energia cinetica assoluta del fluido
2. La variazione dovuta alle azioni di inerzia
3. Gli effetti indotti dalla variazione di velocità rotorica del fluido
La formula mostra che per favorire lo scambio di potenza tra fluido e
palettatura le macchine radiali :
1. Se motrici (centripete) u1>u2
2. Se operatrici (centrifughe) u1<u2
Scambi di lavoro tra fluido e palettatura
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La formula mostra che per favorire lo scambio di potenza tra fluido e
palettatura le macchine radiali :
Se motrici (centripete) u1>u2 Se operatrici (centrifughe) u1<u2
Scambi di lavoro tra fluido e palettatura
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Il grado di reazione è quell’indice che misura il rapporto tra variazione
entalpica termodinamica subita nella palettatura rotorica rispetto alla
totale
Nelle turbomacchine motrici la palettatura statorica produce una certa
caduta entalpica e perciò R<1
Spesso tutta la caduta entalpica si sviluppa nello statore R=0, la
macchina si dice ad azione, a reazione le altre
Nelle macchine operatrici alla palettatura rotorica è affidato il compito di
conferire energia al fluido, non esistono macchine ad azione
Grado di reazione
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Sia la trasformazione reale indicata da 0-1-2
Il grado di reazione è:
Grado di reazione
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È utile esprimere il grado di reazione R in funzione della velocità del
fluido:
Eq energia adiabatica:
Grado di reazione
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Nella palettatura statorica dL=0 perciò l’integrale diventa:
Nella palettatura rotorica invece tenuto conto di:
Nelle macchine assiali:
Solo quest’ultime possono essere ad azione ponendo w1=w2
Grado di reazione
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Nella palettatura statorica dL=0 perciò l’integrale diventa:
Forme delle palettature rotoriche
Nelle turbine ad azione R=0 deve
essere w1=w2
Senza attriti simmetria della schiera
rotorica
Se così fosse nella realtà si avrebbe
w2<w1 a causa delle perdite, perciò si
conferisce una leggera espansione
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Percorso termodinamico di una macchina ad azione con leggera
espansione, (Figura a sinistra)
Dovendo l’espansione solo compensare le perdite può essere pensata
isoentalpica
Se la palettatura fosse simmetrica gli attriti provocherebbero una
riduzione di E. cinetica con conversione in entalpia, R risulterebbe<0
(Figura destra)
Forme delle palettature rotoriche
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Nelle turbine assiali a reazione w2>w1 perché esiste un espansione con
conseguente caduta entalpica
Forme delle palettature rotoriche
In genere si usa R=0.5
Statore e Rotore simmetrici
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Nei compressori assiali le coppie di palettature si presentano:
Forme delle palettature rotoriche
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In una palettatura assiale la continuità è:
ε è il coefficiente di ingombro delle palette
In genere si pone ρh=cost, se il fluido è incomprimibile h=cost,
altrimenti l’h deve compensare la variazione di densità.
In una compressione l’altezza delle palette deve diminuire, in un
espansione deve aumentare
Se quindi Dm non varia:
Forme delle palettature rotoriche
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In una palettatura assiale la continuità è:
ε è il coefficiente di ingombro delle palette
In genere si pone ρh=cost, se il fluido è incomprimibile h=cost,
altrimenti l’h deve compensare la variazione di densità.
In una compressione l’altezza delle palette deve diminuire, in un
espansione deve aumentare
Se quindi Dm non varia:
Se R=0
Forme delle palettature rotoriche
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Definiamo rendimento rotorico:
Il rendimento totale sarà:
Risulta quindi la media pesata dei singoli rendimenti , aventi come pesi
le cadute entalpiche, moltiplicata per un fattore di recupero ϑ>1
Rendimento della schiera rotorica
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Estendendo il concetto di rendimento delle schiere anche agli aspetti cinetici
si ottiene il rendimento di palettatura
Di norma formulato per le turbomacchine motrici:
Rapporto tra il lavoro captato dalla palettatura rotorica e l’energia disponibile
a monte dello stadio:
• La caduta disponibile è ΔHAC
• Si aggiunge l’E. cinetica posseduta c02/2
• La trasformazione termodinamica è AC’’
• All’uscita il fluido ha E.cinetica c22/2
Il punto rappresentativo finale è quindi D
Mentre O è quello iniziale
L= ΔHOD Etot= ΔHOC
Rendimento della schiera rotorica
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Si può scrivere:
Il rendimento di una turbomacchina è quindi comprensivo di un rendimento
termodinamico (visto prima) e uno cinetico
Rendimento della schiera rotorica
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INIETTORI ED EIETTORI
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Sono definiti Iniettori ed Eiettori macchine fluidodinamiche statiche, che hanno
lo scopo di trasferire un fluido, comprimendolo a spese dell’energia cinetica di
un altro fluido “vettore”, detto traente o motore.
•Gli Iniettori hanno la funzione di comprimere una portata liquida traendo la
necessaria potenza dal contenuto entalpico di un’adeguata portata del suo
vapore.
•Gli Eiettori generalmente vengono utilizzati per estrarre fluidi indesiderati da
ambienti in depressione o di produrre condizioni anche spinte di vuoto.
Principio di funzionamento Iniettori ed Eiettori
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CENNI SULLA TEORIA DELLA SIMILITUDINE
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Provare sperimentalmente il comportamento di certe macchine è
impossibile (si pensi ad un impianto di 600 Mwe)
È necessario stabilire un criterio che permetta di trasferire i risultati degli
esperimenti da modelli di laboratorio (di piccola scala) a impianti di
grande scala
Per questa ragione bisogna impostare una corrispondenza biunivoca di
fenomeni, risultati, grandezze fisiche
Si prenda ad esempio una turbina a vapore, questa possiede una
geometria, si prende una lunghezza caratteristica l, tutte le restanti
lunghezze si rapportano a questa formando numeri adimensionali
Li=li/l
Una volta fissati l e tali Li sarà nota la geometria della macchina
Criteri della similitudine
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Si potranno così realizzare infinite macchine omotetiche, cioè
geometricamente simili
Tutte avranno lo stesso insieme Li
Si può quindi considerare tutta una famiglia di macchine aventi tutte lo
stesso insieme distintivo di rapporti Li
Si è quindi stabilita una similitudine geometrica
La dimensione fondamentale di una qualsiasi macchina della famiglia
(avente gli stessi Li) può essere rapportata alla dimensione fondamentale
del prototipo l0 ottenendo
λ=l/l0
λ sarà uguale a 1 per il capostipite
Criteri della similitudine
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Ogni macchina di questa famiglia ha varie possibilità di funzionamento,
ad esempio, può ruotare più lenta o più veloce
Ci si riferisca ad un fenomeno che si verifica nel funzionamento per
esempio il compiersi di un giro;
si misuri il tempo "t" necessario perché questo giro si compia e lo si
assuma come tempo fondamentale
Nel mentre avviene un giro nel tempo t avverrano tanti altri fenomeni.
Tutti questi fenomeni avverranno in tempi ti
Come per le lunghezze sarà possibile definire dei rapporti Ti=ti/t che
renderà omotetiche una famiglia di macchine.
Abbiamo instaursato una similitutide temporale
Come per la similitudine geometrica si definisce τ=t/t0
Criteri della similitudine
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Risulta utile una rappresentazione 2D :
Ipotizzando che C sia la macchina capostipite, ogni altro punto
rappresenta una macchina cinematicamente simile (similitudine
geometrica e temporale)
Qulsiasi grandezza cinematica (velocità, accellerazione) sta in un
rapporto preciso con la stessa grandezza cinematica del capostipite:
c/c0=λ/τ
Criteri della similitudine
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In conclusione tutti i triangoli di velocità di macchine cinematicamente
simili sono tra di loro simili.
Se tra una macchina P e C esiste un certo rapporto e lo stesso rapporto
si ha per una macchina P’, allora P e P’ non saranno solo simili ma eguali
cinematicamente
Criteri della similitudine
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È chiaro che questo è valido solo per le velocità, perché le accelerazioni,
ad esempio, non risultano affatto uguali
I triangoli di velocità sono uguali quando λ/τ=cost che è una retta sul
piano di macchine simili
In particolare c'è una retta della stella (congiungente l'origine con il punto
C rappresentativo del prototipo) che rappresenta una famiglia di infinite
macchine cinematicamente uguali al prototipo capostipite
La similitudine cinematica nasce dunque dall'accoppiamento di due
similitudini indipendenti.
La similitudine cinematica è a due dimensioni, mentre le similitudini
geometrica e temporale sono ad una dimensione
Criteri della similitudine
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Allo stesso modo si può individuare una massa fondamentale (la massa
di fluido elaborata dalla girante ad esempio)
Così nelle varie parti della macchina si possono individuare tante masse
le quali rapportate alla massa fondamentale danno una serie di numeri
adimensionali:
Mi=mi/m
Sono dinamicamente simili tutte le macchine che (indipendentemente
dalle dimensioni e dai regimi) ammettono lo stesso insieme Mi.
Fissato m0 la massa fondamentale di una particolare macchina
(prototipo) sarà possibile definire:
μ0=m/m0
Per la macchina fondamentale tale parametro vale 1
Criteri della similitudine
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Criteri della similitudine
Si può così costruire il diagramma tridimensionale di figura ed è chiaro
che tutte le macchine appartenenti a questo spazio stanno in similitudine
geometrica, temporale e di massa
Il capostipite sarà individuato da:
λ=τ=μ=1
L'insieme di queste tre similitudini fra di loro indipendenti costituisce una
similitudine dinamica, anzi, per meglio dire, una similitudine meccanica.
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Criteri della similitudine Tra un qualsiasi punto P dello spazio ed il punto C rappresentativo del
capostipite esiste un rapporto ben preciso tra tutte le grandezze
dinamiche (ad esempio le forze).
Se con F chiamiamo una forza qualsiasi che caratterizza la macchina P,
e con F0 la corrispondente forza del capostipite, allora il rapporto tra
queste forze sarà:
F/ F0=μλτ-2
i poligoni delle forze sono simili per tutti i punti dello spazio
È stata qui contemplata una triplice infinità di macchine, fra di loro
meccanicamente simili.
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Criteri della similitudine Per interpretare dei fenomeni termodinamici c'è bisogno di una quarta
dimensione. Si stabilisce una similitudine termodinamica che si ottiene
dalla coesistenza della similitudine meccanica con una similitu-
dine di temperatura.
È possibile definire come prima un quarto parametro da aggiungere a μ,
λ, τ e cioè ϑ=1 per la macchina prototipo
Sembrerebbe che vi sia una grande molteplicità per la scelta del
modello di una macchina.
Le macchine funzionano di regola con fluidi facilmente reperibili in
natura, una prima limitazione è di operare con i medesimi fluidi, la qual
cosa comporta l'equaglianza densità:
μλ-3=1
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Criteri della similitudine Se si vuole quindi che nei punti corrispondenti delle varie macchine
esistano le stesse densità, si deve bloccare la similitudine di massa, ma
anche quella di temperatura.
Restano così solo due possibilità di azione (λ e τ): due parametri liberi
per scegliere il modello.
Nello spazio indicato in figura ciò significa individuare la superficie μ=λ3,
che appartiene all'asse τ ed è l'unico ente geometrico di questo spazio
su cui è possibile agire.
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Criteri della similitudine Si avrebbero in questo modo due gradi di libertà per scegliere il modello.
Molto spesso non bastano, si pensi ad una macchina che dovrà
generare vuoto o aspirare.
Il modello di laboratorio dovrà essere pensato per avere secondo quanto
detto prima pressioni molto più basse, ma in pratica molto spesso è
impossibile.
Si deve quindi vincolare la pressione di esercizio come:
Dovrà essere quindi
Basterà quindi per la scelta del modello scegliere λ
Se quindi si costruirà il modello con scala λ=1/5 dovrà essere τ=1/5
Nel modello di laboratorio dovrò avere ad esempio velocità di rotazione
5 volte più veloci (3000->15000 rpm) impossibile
12222322
0
p
p
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Criteri della similitudine Un altro esempio è quello delle macchine idrauliche
In queste è l’acqua che opera quindi le azioni sono condizionate da g
Tutte le accelerazioni devono mantenere lo stesso rapporto:
Scelta la scala rimarrà fissato anche il rapporto fra i tempi con stessi
problemi di prima.
Si deve quindi cercare di mantenere almeno 2 gradi di libertà:
Si utilizza invece che il gh per le macchine idrauliche, il rapporto Δp/ρ ad
esempio con una pompa a monte che mi porta il Δp/ρ a valori desiderati.
Devono quindi essere inseriti artifizi per arrivare almeno a 2 gradi di
libertà, non bisogna mai eccedere con λ troppo diverso da 1 (sopra 10 si
hanno effetti scala)
12
0
a
a
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Numero di giri specifico Sono state prese in considerazione quali grandezze fondamentali quelle
che forniscono le dimensioni della macchina: una qualsiasi grandezza
meccanica può essere scelta come fondamentale
Si può assumere la Potenza P e il termine energetico Δp/ρ
Nel S.I.
[P]=[MLT-2 ∙LT-1]
E siccome M va con L3 per aver imposto che μλ-3=1
[P]=[MLT-2 ∙LT-1]=[L3LT-2 ∙LT-1]=[L5T-3]
La potenza di un individuo della similitudine meccanica rispetto al
prototipo è:
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Numero di giri specifico
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Numero di giri specifico Ogni grandezza fisica può essere espressa in funzione di P e Δp/ρ
Invece che λ e τ poiché i rispettive esponenti non sono proporzionali.
Ad esempio il numero di giri può essere espresso:
Essendo K una costante adimensionale e due esponenti opportuni
Determinabili da considerazioni dimensionali:
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Numero di giri specifico
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Numero di giri specifico Tra le molte scelte quella di P e Δp/ρ è molto significativa in quanto
permette di affermare che per tutte le macchine meccanicamente simili è
costante un ragguppamento di grandezze espressive
• Potenza,
• numero di giri ed
• energia disponibile
Si può scegliere nella famiglia quella avente P=1 e Δp/ρ =1, il numero di
giri di questa macchina viene chiamato numero di giri specifico
ns è un parametro importante perché permette studiando il funzionamento
di una certa macchina, di accertare che nelle medesime condizioni,
funzionerà bene una macchina simile.
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Numero di giri specifico Per fare un esempio dell’importanza di tale numero, il Camerer defini una
gamma di ns nel quale dovevano lavorare le diverse macchine idrauliche
per essere efficienti:
• La Pelton funziona bene con ns compreso tra 0-50 rpm
• La Francis funziona bene con ns compreso tra 50-400 rpm
• La Kaplan 400-1000 rpm
Il progettista trova quindi nel ns un preciso indirizzo per la scelta della
macchina adatta.
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Numero di giri specifico
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Numero di giri specifico Nel caso di macchine a fluido comprimibile:
Dove A e B sono costanti dimensionali per ottenere le unità di misura
desiderate, eventualmente anche adimensionali.
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Raggruppamenti di variabili adimensionali Quando si devono graficare i risultati sperimentali, in mappe risulta
necessario raggruppare le variabili in gioco in modo da ottenere
diagrammi facilmente leggibili ed utilizzabili.
Un criterio è quello appunto di raggruppare le variabili in monomi, di
regola adimensionali per renderli indipendenti dalle unità di misura, scelti
e studiati in modo che siano significativi fenologicamente.
Si prenda una funzione dell G variabili del tipo:
f(G1,G2,G3….Gz)=0
Che potrà sempre essere espressa nella forma:
0........... 223
3
22
2
21
12
113
3
12
2
11
11 zn
z
nnnzn
z
nnn GGGGKGGGGK
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Raggruppamenti di variabili adimensionali Ad esempio prendiamo la legge di Newton:
F=ma
Che può essere riscritta come F-ma=0
Si prendano le seguenti grandezze :
G1=F, G2=m,G3=a
K=1 n11=1 ottenendo F
K2=-1 n21=0 n22= n23=1
Tutti i termini della
Sono omogenei, sarà quindi possibile normalizzare rispetto al primo
ottenendo numeri adimensionali.
Una qualsiasi funzione di z grandezze può essere espressa nella forma
F(π1, π2 , π3 ,… πq)
Ove q è un numero< di z e π numeri adimensionali (Teorema del π)
0........... 223
3
22
2
21
12
113
3
12
2
11
11 zn
z
nnnzn
z
nnn GGGGKGGGGK
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
Tutte le grandezze G dell’espressione possono essere rappresentate
tramite grandezze fondamentali A, B, C (lunghezza, tempo, massa) :
[Gi]=[AαBβCγ]
Delle complessive z grandezze isoliamone le prime f=3
E assumiamole come grandezze chiave:
[G1]=[Aα1Bβ1Cγ1] [G2]=[Aα2Bβ2Cγ2] [G3]=[Aα3Bβ3Cγ3]
Moltiplichiamo G1, G2, G3 elevati ad esponenti generici x, y, z, ed anche
una quarta grandezza G4
Imponendo che le dimensioni siano nulle:
[G1 G2 G3 G4]=A0B0C0
f z-f
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Raggruppamenti di variabili adimensionali Tutto ciò funziona se viene rispettato il seguente sistema:
α1x+ α2y+ α3z+ α4=0
β1x+ β2y+ β3z+ β4=0
γ1x+ γ2y+ γ3z+ γ4=0
Il numero q degli adimensionali è pari a z sottratto il numero delle
grandezze chiave
In meccanica q=z-3
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
Per fissare le idee si considerino 5 parametri adimensionali per le forze
che normalmente intervengono in questo campo di studio:
• Forze d’inerzia
• Forze gravitazionali
• Forze di pressione
• Forze elastiche
• Forze viscose
Ad esempio dal rapporto delle Forze di Inerzia e la Forza Gravitazionale
si ottiene il numero di Froude
Per alcuni autori:
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
Prendiamo un caso pratico ti utilizzo di tali numeri adimensionali
Si vuole determinare la perdita di carico in un condotto a sezione
costante.
Sperimentalmente si vede che questa dipende dalle seguenti variabili:
ε rugosità
Per il Teorema di Buckingham ne bastano 4 (sono 6 + Δp) quindi 7-3=4
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
Bisogna determinare x,y,z quindi basta imporre l’adimensionalità ai
secondi membri:
Si ottiene quindi un sistema di 3 equazioni in 3 incognite
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
Quindi:
In definitiva:
Che in forma esplicita:
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Raggruppamenti di variabili adimensionali
In base a tale espressione si ricava il diagramma di Moody