1
2.TRACCIÓN Y COMPRESIÓN
2.1 FUERZAS NORMALES
N=∑P+ ∫ qx dx Donde : P=Cargas concentradasqx=Intensidad de carga distribuida
2.2 ESFUERZOS NORMALES(σ)
σ=NA
Unidades⇒ [ N
m2=Pa];[Ton
m2 ]; [ klb
¿2 ]2.3 DEFORMACIÓN UNITARIA (E)
ℇ= Δ LL⇒ Adimencional
2.4 LEY DE HOOKE
σ=E ⋅E2.5 DEFORMACIÓN ABSOLUTA (Δ L)
Δ L=N ⋅LA ⋅E
= P ⋅LA ⋅E
;área de sección variable⇒ Δ L=∑ ∫N x
Ax ⋅Edx
2.6 ENERGÍA POTENCIAL DE LA DEFORMACIÓN
U = P2⋅L2 ⋅ A ⋅E
;Si la fuerza normal N varía⇒ U=∑ ∫N x
2
2⋅ A ⋅Edx
2.7 DEFORMACIÓN TRANSVERSAL . MÓDULO DE POISSON (μ)
μ=−E lateraló transversal
Elongitudinal
O sea⇒ μ=−E y
Ex
; μ=−E z
Ex
Variaciónunitaria del áreade l seccióntransversal :
σ x=E ⋅E x ;
Δ LAi
=−2 μσE
;Por la Ley de Hooke⇒σ x=E ⋅E x
E x=P
A ⋅E⇒
Δ AA i
=−2 μ ⋅PA ⋅EΔ A=−Ai ⋅2 μ Ex
Para lavariación de volumen :
ΔV =(1−2 μ ) PE
L; En forma general⇒ ΔV =(1−2μ )
E∑ ∫ N x dx
2.8 FORMAGENERAL DE LA LEY DE HOOKE
Deformacióntotal en las direcciones x , y , z :
E x=1E [ σx−μ ( σ y+σ z ) ]
E y=1E [σ y−μ (σ x+σ z ) ]
E z=1E [σ z−μ (σ x+σ y) ]
2.9 CONSIDERACIÓN DEL PESO PROPIO
∆ L= γ ⋅L2
2 ⋅E
Variaciónunitaria devolumen (Ev):
E v=Δvv
=Ex+Ey+E z=(1−2 μ )
E( σ x+σ y+σ z )
SI :
Las deformacinesunitarias en las direcciones x , y , z :
E x=Δ LL
; E y=Δaa
; E z=Δ bb
⟹ ε=σE
2
Procedimiento :1.Planteando las condiciones deequilibrio , sedeterminanlas fuerzas normales queactúan en lasdiferentes barras .2. Aplicando la Ley de Hooke , se calculan las deformacionesaxiales (alargamientos ó acortamientos )de las barras
como si cadauna de ellasestarían aisladas .3.Comoquiera que los elementos a pesar de deformarse no se separan , se plantea las condicionesde compatibilidad
de los desplazamientos ; para lo cual, enun esquema ( lo más amplio posible ) , sedibujan los alrgamientos oacortamientos en las direccionesde cadabarra.
Anec=Nmáx
[σ ]Donde : Nmáx=Fuerza normalmáxima , enabsoluto enla barraque se calcula
Condición : δ ≤ [ δ ]
σ adm=[ σ ]=σ límite
nDonde : σadm=[ σ ]=Tensiónadmisibledel material
n=Factor de seguridad o reservaderesistenciaσ límite=Tensión límite del material
Condición : σmáxima ≤ [ σ ]
2.10 DESPLAZAMIENTOS DE LOS PUNTOS DE SISTEMAS DE BARRAS ARTICULADAS
2.11TENSIONES ADMISIBLES . FACTOR DE SEGURIDAD
2.12 RESISTENCIA Y RIGIDEZ
2.13 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN
Procedimiento :1.Planteando todas las condicionesde equilibrio .Se constatará que tieneun mayor número de incógnitas
que ecuaciones .2. Haciendounanálisis dedeformaciones , se determinanlas deformaciones ( alargamientos oacortamientos ) delas barras elásticas en función de las fuerzasnormales incógnitas.3.Se plantean las condicionesde compatibilidad dedesplazamientos , lograndoconformar conjuntamentecon lasecuaciones de laestática un mismo númerode ecuaciones que de incógnitas.
2.14 ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO
∆ L=L∙α ∙ Δt Donde : L=Longitud inicial de labarra
α=Coeficiente de dilataciónlineal del material en[ mm℃ ]ó [ 1
℃ ] ∆ t=Variación de temperatura en℃
2.15 ESFUERZOS DE ENSAMBLAJE (MONTAJE )(Δ )
1.Una vezrealizado el ensamblaje y aplicando las condiciones deequilibrio se plantean todaslas ecuacionesposibles , las mismas quecontienen comoincógnitas las fuerzasnormales encada barra.Las ecuaciones planteadas seráninsuficientes pararesolver el problema , puesto que los esfuerzos demontaje
sólo se presenta ensistemasestáticamente indeterminados .
2. Para completar el mismo número deecuaciones que númerode incognitas , se realiza un análisis dedeformaciones enbasea las condiciones decompatibilidad dedespalzamientos , los cuales contienen
también el valor de ∆ del error cometido .
3. Planteadasun mismo número deecuaciones quenúmero de incógnitas , se podráresolver el problema dela determinaciónde fuerzas internas y esfuerzos en todas lasbarras del sistema
Procedimiento :
3
3. ESFUERZOS CORTANTES
3.1 CÁLCULO DELESFUERZO CORTANTE
τ m=V
Acorte
3.2 DEFORMACIÓN POR ESFUERZO CORTANTE
γ=dudy
3.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN CORTANTE
U ∘=UV
= γ ∙ τ2
Por la Leyde Hooke: U ∘=τ2
2 G;U ∘=
G∙ γ 2
23.4 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO (σ apl)
σ apl=P
d ∘tsiendo :d=diámetro deaplastamiento
t=espesor del material τ= P
Acorte
≤ [ τ ] Verificación aCORTE
σ aplas=P
Aaplas
≤ [σ aplas ]Verificación aAPLASTAMIENTO
Equivalencias :
1 GPa=106 KPa=109 Pa1 MPa=103 KPa=106 Pa
1 kg≅ 10 N para; E
4
3.5 VARIACIÓN DE LAS TENSIONES EN FUNCIÓN DE LA OBLICUIDAD DE LA SECCIÓN
σ n=PA
cos2 ϕ
τ= P2 A
sin 2ϕ
⇒
⇒
σ n=σ cos2 ϕ
τ=σ2
sin 2ϕ
Maximizando σ n y τ :
(σ n )máx=σ paraϕ=0 °
τ máx=σ2
para ϕ=45 °
Tensiones σn, y τ ,
σ n, = P
Asen2 ϕ
τ ,=−P2 A
sin 2 ϕ
siendo: σ= PA
⇒σ n+σn
, =σ
τ ,=−τ
3.6 ESTADOTENSIONAL PLANO
σ n=σ x cos2 ϕ+σ y sen2 ϕτ=(σ x−σ y ) sin ϕcos ϕ⇒
⇒σ n=
(σ x+σ y )2
+( σ x−σ y )
2cos2ϕ
τ=( σ x−σ y)
2sin 2 ϕ
τ máx=(σ x−σ y )
2Cuando ϕ=π
4
Magnitudes de las tensionesnormales σn y cortantes τ sobrecualquier plano cuyaorientación estará definida por ϕ .
Maximizando σ n y τ :
(σ n )máx=σ x paraϕ=0°
(σ n )mín=σ y paraϕ=90 °
Tensiones σn, y τ ,
σ n, =
(σ x+σ y )2
−(σ x−σ y )
2cos2 ϕ
τ ,=−( σx−σ y )
2sin 2ϕ
Esfuerzoscomplementarios σn y σn,
σ n+σn, =σ x+σ y ; τ ,=−τ
Ley de RECIPROCIDAD de losesfuerzos cortantes
3.7 DIAGRAMA CIRCULAR DEL ESTADOTENSIONAL(CÍRCULO DE MOHR)
⇒
5
3.8 ESTADOTENSIONAL DE VOLUMEN
σ x>σ y>σ z
σ 1>σ2>σ3
Tensiones principales
−Esfuerzosen planos paralelos al eje III
σ n=(σ1+σ 2)
2+
(σ1−σ2 )2
cos2 α
−Esfuerzosen planos paralelos al eje II
τ=( σ1−σ2 )
2sin 2 α
p=√σn2+τ2=√σ 1
2cos2 α+σ 22 sen2 α
σ 3=0⇒
;
σ n=(σ1+σ 3)
2+
(σ1−σ3 )2
cos2 β
τ=( σ1−σ3 )
2sin 2 β
; p=√σn2+τ2=√σ 1
2cos2 β+σ 32 sen2 β
−Esfuerzos en planos paralelos al eje I
σ 2=0⇒
σ n=(σ2+σ 3 )
2+
(σ 2−σ3 )2
cos2 φ
τ=( σ2−σ3 )
2sin 2 φ
;p=√σn
2+τ2=√σ 22cos2 φ+σ3
2 sen2 φ
σ 1=0⇒
3.9 TENSIONESOCTAÉDRICAS
σ ∘=13
(σ1+σ 2+σ3 )
τ∘=13 √( σ1−σ 2 )2+ (σ2−σ3 )2+(σ 3−σ1 )2
P∘=√ 13
(σ12+σ2
2+σ 32)
U =12
( σ1 ε1+σ2 ε2+σ3 ε3 ) ; U= 12 E [ σ1
2+σ 22+σ3
2−2 μ (σ1 σ2+σ 2σ 3+σ3 σ1 ) ]−La energía potencialunitaria debida a lavariación de la formaes :
U f=1+μ6 E [ ( σ1−σ2 )2+ (σ2−σ3 )2+(σ 3−σ1 )2 ]
−La energía potencialunitaria correspondiente a la variaciónde volumen :
U vol=1−2 μ
6 E(σ 1+σ2+σ3 )2
−La energía potencialunitaria de la deformación alástica vale :
6
3.10CRITERIOS O HIPÓTESIS DE RESISTENCIA :TENSIÓN EQUIVALENTE
1.Criteriode latensiónnormal máximao de RANKINE
σ eqI=σ 1≤ [ σ ] Materiales frágiles⇒
2. Criterio de ladeformación longitudinalmáxima ode SAINT−VENANT
σ eqII=σ 1−μ ( σ2+σ 3) ≤ [ σ ] ⇒ Materiales dúctiles
3. Criterio de latensión tangencial máxima o deTresca
σ eqIII=σ1−σ3=√σ2+4 τ2≤ [ σ ] ⇒ Materiales dúctiles
4. Criterio de laenergía dedistorcióno deVON MISES
σ eqIV=√ 1
2[ (σ1−σ2 )2+(σ 2−σ3 )2+( σ3−σ1 )2 ] ≤ [ σ ] ⇒ Materiales dúctiles
5. Criterio de los estados tensionales límitesde MOHR
σ eqV=σ1−K σ 3 siendo: K=
[ σ trac ][σ com ]
3.11CASO GENERAL DE TENSIÓN EN EL PLANO
σ n=(σ x+σ y )
2+
( σ x−σ y )2
cos2 ϕ−τ xy sin 2 ϕ τ=( σ x−σ y)
2sin 2 ϕ+τ xy cos2 ϕtan2 ϕ=
−2 τ xy
σ x−σ y
Para localizar los planos de máxima y mínima tensiónnormal σn
Los planos de tensiónnormal máxima y mínima son perpendiculares entre sí .
tan2 ϕ s=σ x−σ y
2 τ xy
Localización de los planos de esfuerzoscortantes máximos τmáx
σ máxmín
=σ12
=(σ x+σ y )
2±√( σx−σ y
2 )2
+( τ xy )2 ; τ máx=±√( σ x−σ y
2 )2
+(τ xy )2
σ n+σn, =σ x+σ y τ xy
, =−τ;
3.12 CÍRCULO DE MOHR
7
4. RECIPIENTES DE PARED DELGADA
rmíncur
≥ 10 e Condición derecipientes de pared delgada
4.1 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS DE MEMBRANA σm y σ t
σ t
r t
+σm
rm
= pe
Ecuaciónde ℒ
a¿ Depósito esférico sometido a una presióninternauniforme p :
σ t=σm=pr2 e
b¿Cilindro cerrado con placas en sus extremos y sometido auna presióninternauniforme p :
P=σm 2πxesin αSi P=resultanteaxial de las fuerzas exteriores¿
de la presión y tomando encuenta si es líquido o gas po que provoca a p¿⇒
x=variable
σ m=P
2π r t e cos2 αExpresando xen función dert : ⇒ cos α= x
rt
⇒ x=r t cosα⇒
4.2 CASOS PARTICULARES DE RECIPIENTES DE PARED DELGADA
⇒σ m=σ t
rm=rt=r
σ t
r t
+σm
rm
= pe
0
σ t=pre
↓
Haciendoun corte transversalP=pA=p π r2
∑V =0 ;σ m2πre=pπ r2
↓
σ m=pr2e
5.TORSIÓN
5.1 MOMENTOTORSOR .
1¿ Inducen esfuerzos cortantes⇒ τ=M t ∙ ρ
I p
2¿ Provocandeformaciones⇒φ=M t ∙ L
G ⋅ I p
M t=∑ M+∑∫mdxDonde :∑ M=Sumatoriade momentos de los pares de fuerzas exterioresconcentradas .
m=Intensidad de momentos distribuidos enla derecciónlongitudinal de labarra .
P=M ∙ n
M (kg−cm )=71620P [ cv ]
n [r . p .m ]
Cuando un árbol gira avelocidad n trasmitiendo cierta potenciael M t ,sedetermina de la siguiente relación . ⇒
M= Pϖ
= Nϖ
; Relación entre elmomento M [ N ∙ m ] , la velocidad angular ϖ [ rad /s ]
M=71620Pn
enel SI
Relación entreel M del par de fuerzasen [ kg ∙ cm ] ,el número der . p .m n y , la potencia N .
⇒ P [ cv ]
Convenciónde signos :
M t ¿
8
M=97360Pn
⇒ P [ kw ]
5.2 FÓRMULA DE LA TORSIÓN .
M t=τ ∙ I P
ρFórmula de latorsión . Despejando τ ; τ=
M t ⋅ ρ
I P⇒
Esfuerzo cortante máximo : τ máx=M tmáx
⋅r
I P
Llamando a :I P
r=W P=Módulo polar deresistencia de sección circular : τ máx=
M tmáx
W P
⇒
Para dimensionamiento : τ máx=M tmáx
⋅d
2 ⋅ I P
≤ [ τ ]
5.3 ÁNGULO DE TORSIÓN .(φ)
En ; [kg/m2 ]
φ=Mt ⋅L
G ⋅ I p
Para un M t constante .
Generalizada : Silabarra tienevarios tramosen los que M t varía segúnuna u otraley : φ=∑∫
Mt x⋅dx
G ⋅ I Px
5.4 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN PO TORSIÓN .
U=M t
2 ⋅L2 ⋅G ⋅ I P
Para M t constante . U=∑∫M t x
2 ⋅dx
2 ⋅G ⋅ I Px
Generalizada :
5.5 TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN NO CIRCULAR.
τ A=τmáx=M tmáx
W tor
Donde :W tor=β ⋅b3
τ B=γ ⋅τ máx
φ=M t ⋅L
G⋅ I tor
Donde : Itor=α ⋅b4
Siendoα ,β , γ coeficientes y dependende la fracciónhb
y vienentabulados ( APÉNDICE1 Miroliubov )
Hipótesis de secciones planas
I P=π
32d4= π
32(2 r )4=π
2r4 Parauna sección circular deradio r ó diámetrod .
I P=π
32( D4−d4 ) Sección tubular grueso
Donde :W P=I P
r=π ⋅r3
2=π ⋅ d3
16
Energía :U=∑∫M tx
2
2 ⋅G⋅ I tor x
dx
9
5.6 RESISTENCIA Y RIGEDEZ
τ máx=M máx
W tor
≤ [ τ ] Condiciónde resistencia.
φ=Mt máx ⋅L
G ∙ I tor
≤ [ φ ] Condición de rigidez .
Secciónno circular .