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Frecce e Aquiloni
Un nuovo paradigma geometrico
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Superficie di Riemann non commutativa(v.d.Bergh)
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Perché nei negozi dipiastrelle non sitrovano in venditapiastrellepentagonali?
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E qui cosa
mettiamo?
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Pavimentazioni del pianoUna pavimentazione del piano è un ricoprimentodel piano con una o più figure (piastrelle) chenon lasci buchi scoperti e che non dia luogo asovrapposizioni.
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Pavimentazioni del piano
Gli unici poliedri regolari con cui è possibile pavimentare ilpiano sono i triangoli, i quadrati e gli esagoni.Il motivo è molto semplice; sono gli unici poligoni regolari icui angoli interni sono divisori di 360°. Non esistono,
quindi, piastrelle eptagonali o dodecagonali…
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Pavimentazioni con due piastrelle
Possiamo chiederci sesia possibile costruire
pavimentazioniusando due poligoniregolari diversi.Queste
pavimentazioni sidicono semi regolari.
Il primo a studiarle èstato Keplero che nel
suo HarmonicesMundi descrive gliotto tipi possibili dipavimentazioni
semiregolari
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I pavimenti di Keplero
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Pavimentazione
semiregolare
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Solo poligoni?
E’ interessante costruire pavimentazioni delpiano anche con piastrelle dalla forma
complicata. Un maestro di queste costruzioni èEscher. Ecco un esempio con lucertole.
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Altri esempi
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Simmetrie
Le pavimentazioni così descritte hannouna cosa in comune: un gruppo di
simmetria molto grande. Traslazioni: trasformazioni che muovono tutti i punti di
una figura a uguale distanza nella stessa direzione.
Rotazioni: di un angolo fissato attorno ad un centro disimmetria.
Riflessioni: rispetto ad un asse di simmetria.
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Il gruppo delle isometrie
Un insieme di traslazioni, rotazioni eriflessioni che trasformano una
pavimentazione del piano è unsottogruppo di isometrie.
Le pavimentazioni che si costruiscono
ripetendo una piccola porzione sottol’azione di un sottogruppo di isometrie sidicono PERIODICHE
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Pavimenti e simmetrie
Una classificazione
di questepavimentazioni si puòottenere proprio dallaclassificazione dellepossibili simmetrie.
Escher fu un maestronell’esibire esempi dipavimentazioni con
una prefissatasimmetria.
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Questo esempiomostra che Escher
sapeva bene comeottenerepavimentazioni configure strane a partire
da pavimentazioniregolari.
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Escher e Coxeter
“Il testo, per me incomprensibile, di Coxeter non mi è di nessun aiuto. Ma senza la sua figura non ci avrei mai pensato”
“E’ così maledettamente intelligente nelle sue risposte e sparge qua e là simboli di cui non
capisco il significato: fortunatamente però ha aggiunto qualche disegno.”
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Pavimentazioni non periodiche
Un matematico cinese, Hao Wang , pone nel1960 la domanda; si possono trovare piastrelle
con le quali sia possibile pavimentare il pianosolo in maniera non periodica?
Domanda nasce da problemi di decidibilità.
Esiste un algoritmo capace di verificare se dato uninsieme di piastrelle c’è una pavimentazione del
piano con queste piastrelle?
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Pavimentazione di Berger
Dopo pochi anni arriva la risposta: SI.
Ma c’è un problema. Servono 20.426 forme di
piastrelle diverse!
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Arriva Penrose
Dopo altri 10 annidi lavoro Roger
Penrose riesce asemplificare lecose. Dimostra che
è possibile una
pavimentazionenon periodica consolo 2 piastrelle.
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Frecce e aquiloni
Il numero phi è la famosa sezione aurea
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Alcuni esempi
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Struttura locale
Attorno ad un vertice frecce ed aquiloni sipossono disporre in sette modi possibili.
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ATTENZIONE: nonogni configurazione si
può necessariamenteestendere a tutto ilpiano.
Il problema è: come
si costruisce unapavimentazione diPenrose?
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Inflazione e deflazione
Il metodo usato da Penrose si dice diinflazione-deflazione
Si basa sull’idea che frecce e aquilonicontengono altre frecce e aquiloni in scalapiù piccola e che dunque configurazioni di
frecce e aquiloni possono essere “gonfiatee sgonfiate”.
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Penta reticolo
Decoriamo frecce eaquiloni con alcune
linee; sono lecosiddette barre di Amann
Fissiamo cinque
direzioni regolari nelpiano
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Penta reticolo
Disegniamo un reticolo dirette parallele alle cinquedirezioni, in modo che in
ogni incrocio non passinopiù di due rette.
In ogni incrocio possiamosistemare una piastrella
in modo che le rettedisegnino su di essa lebarre di Amann
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Si ottiene così unpavimento di Penrose.
Se ne ottengonoinfiniti perché lacostruzione dipendedalla scelta di 5
numeri reali tali che:X+Y+Z+T+W=0
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Quanti pavimenti di Penrose…
Ci sono infiniti modi diversi perpavimentare un piano con frecce e
aquiloni.
Bel guaio per il piastrellista…
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La carta igienica di Penrose
Nel 1997 la Kimberley corporation produce cartaigienica trapuntata con sopra disegni di
tesselazioni di Penrose. Non è solo estetica.Serve anche a diminuire gli spazi di ingombro.Quando la moglie di Penrose torna a casa dalsupermercato con il rotolo suo marito si infuria.
Fa causa alla compagnia e…vince perché si erapremurato di brevettare frecce e aquiloni.
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Ultime notizie!
Un ricercatore americano,Peter Lu, ha dimostrato nelGennaio del 2007 che inalcune decorazioni islamichedel XV secolo ( girih) ci sonosimmetrie “di tipo Penrose” .Su 3000 piastrelle di unamoschea uzbeka solo unadecina sono fuori posto.
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Quasicristalli
Un cristallo è un reticoloperiodico dello spazio lungoil quale si dispongono gliatomi.
Come nel piano non puòavere una simmetriapentagonale
Nel 1984 Schechtmanscopre un compostodell’alluminio il cui spettro didiffrazione ha simmetriapentagonale.
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Virus pentagonali?
I virus sono costituitida una “gabbia” a
forma di icosaedroche contiene ilgenoma
Alcuni nuovi virus nonrispecchiano questaforma.
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Matematica anti virus
Una ricercatricetedesca, ReidunTwarock, ha proposto
una disposizione delcapside a forma dipiastrellazione diPenrose nello spazio.
La sua teoria si basasui gruppi di Coxeternon cristallografici
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Non Località
La posizione di unaconfigurazione di
piastrelle determina laposizione di piastrelleanche molto lontaneda essa. E’ quello che
si dice l’impero di unaconfigurazione.
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Imperi
L’impero di una regina e quello di una stella. Configurazionipiù grandi hanno effetto a distanze maggiori.
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Conciliare Relatività e
Quantizzazione? Nella relatività non sono possibile le azioni
a distanza con velocità immediata (teoria
locale)
Nella Meccanica Quantistica compaiono
fenomeni non locali.
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L’universo di Penrose
Consideriamo l’insieme di tutte le possibilipavimentazioni di Penrose.
E’ un insieme infinito (non numerabile).Possiede una sua geometria?
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L’universo di Penrose
Consideriamo l’insieme di tutte le possibilipavimentazioni di Penrose.
E’ un insieme infinito (non numerabile).Possiede una sua geometria?
Diciamo che due pavimentazioni di
Penrose sono tanto più vicine quanto piùgrande è una loro porzione che coincide.
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Un universo molto stretto
Ogni configurazione finita di una pavimentazione diPenrose è contenuta in ogni altra pavimentazione diPenrose infinite volte.
I punti dello spazio di Penrose sono tutti infinitamentevicini fra loro.
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Spazio e funzioni
Si può studiare uno spazio conoscendonele sue funzioni (continue).
TEOREMA di Gelfand – Naimark: Ogni C*algebra commutativa è l’algebra difunzioni continue di un unico spaziotopologico localmente compatto.
CIOE’: se conosco tutte le funzionicontinue posso ricostruire lo spazio.
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Geometria quantica di Penrose
Nel nostro caso serve a poco: le unichefunzioni continue sull’universo di Penrosesono costanti. L’universo di Penrose sicomporta come se fosse un unico punto.
MA è possibile associare all’universo diPenrose un’algebra non commutativa (chenon è un’algebra di funzioni ma si
comporta come se lo fosse) che permettedi capire la geometria dell’universo diPenrose.
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Locke: nessun oggetto è conoscibile senon in base alle sue qualità.
Ci sono oggetti matematici indistinguibili
tramite le loro qualità. E’ necessariostudiarli con un nuovo paradigma. Unamatematica taoista.
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Quali simmetrie per Penrose?
Ci sono isometrie delpiano che sono
simmetrie di unaporzione dellapavimentazione.
La strutturamatematica
corrispondente sichiama
Gruppoide di simmetria
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Geometria non commutativa:
Studiare le proprietà dell’algebra digruppoide dello spazio di Penrose
(qualunque cosa voglia dire….)
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Così si può dimostrare che in ogni
pavimentazione di Penrose il rapporto frail numero di frecce e aquiloni è costanteed uguale alla sezione aurea (N.B. ci sono
più aquiloni che frecce) La K-teoria della C* algebra di gruppoide
associata all’universo di Penrose è un
reticolo intero con rapporto fra i generatori uguale alla sezione aurea
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