Functia exponentiala si functia logaritmica Ca si in anii ’80, aceste functii se studiaza in clasa a X-a. Accentul cade pe rezolvarea de ecuatii si inecuatii in care apar astfel de functii; aceasta presupune insa o buna cunoastere a proprietatilor acestora. Este un capitol la care trebuie lucrat un numar mare de exercitii. Materialul de fata prezinta cateva tipuri de exercitii (fara pretentii de exhaustivitate).
1. Fie functia f definita prin . : → 0
=
( ) ( ) 3 8, 0,x x xf x ab a b a b= − − + > >
a) Sa se rezolve ecuatia ; ( ) 5f x =b) Pentru a , sa se studieze bijectivitatea functiei . 1 si 1b≠ f
(Olimpiada cl. a X-a, et. locala, Prahova, 1986)
Solutie. a) Ecuatia se scrie a b ( ) ( )3 3 0 3 3x x x x x x xa b a b b− − + = ⇔ − − − = 0
0( )( )1 3x xa b⇔ − − = Ecuatia are solutia unica daca ; pentru a , este verificata de orice real. Ecuatia are solutia unica pentru ; daca b , ecuatia nu are solutii. Concluzionand, alcatuim tabelul de mai jos:
1xa =x
0x =3
1a ≠ 1=g 3b
xb = lox = 1b ≠1=
1b = 1b ≠ 1a = x∈ 1a ≠ { }0x∈ { }0, log 3bx∈
b) Expresia functiei in acest caz este . Functia este
injectiva (functia fiind injectiva, deoarece ), dar nu este surjectiva. intrucat pentru
f
⇒
( ) 7 2 xf x a= −
1a ≠xx a→x< ∀ ∈( ) 7,f x 7,y x≥ ∃ ∈ astfel incat . Deci,
nu este bijectiva. ( )f x y=
fObservatie. Functia , obtinuta prin
restrangerea codomeniului functiei , este insa bijectiva. ( ) ( ): , 7 , 7 xf f x→ −∞ = −f
2a
}
2. Se dau numerele si logaA b= ( ) {log , , 1, , iar \ 0,1naB nb a b a b n= ∈ ∞ < ∈Care dintre cele doua numere este mai mare ? Solutie. Se schimba baza logaritmului de la la si se tine cont si de celelalte proprietati ale logaritmilor:
B na a
log log logloglog log 1
a ana
a a
nb n bB nbna n
+= = =
+a
Evaluam semnul diferentei : A B−
( )log log 1log logloglog 1 log 1
a aa aa
a a
n bn bA B bn n
⋅ −+− = − =
+ +
Dar lo n > si din deducem ; prin urmare, toti factorii care apar in descompunerea diferentei sunt pozitivi. Rezulta .
g 0a a b< log log 1a ab a>B−
=A 0A B A B− > ⇔ >
3. Demonstrati ca 6135
>lg
(21689*, G.M. 2/1989)
Solutie. Scriem 13 ; ridicam la puterea a treia: 3 2197 2000 2 10= > = ⋅ 3
9 9 10 9 1113 8 10 13 13 104 10 10> ⋅ ⋅ ⇒ > ⋅ >
10lg13 11 lg13 1,1> ⇒ >
; se logaritmeaza si obtinem
. Dar 6 6,1 1,21 1,2 lg13 1,15 5
= > = ⇒ > >1 , q.e.d.
4. Se dau a si . Sa se exprime in functie
de . 1510 log 35=
a b45log 147b = 49log 75N =
si Solutie. Folosind descompunerea in factori primi, avem: ( )15 1510 log 5 log 7a = +
( )245 45 45log 3 7 log 3 2log 7b = ⋅ = +
Este momentul sa alegem alti parametri de univocitate, adica alte doua variabile intermediare in functie de care vom exprima celelalte valori implicate. Fie . O sa va intrebati desigur cum am ales aceste valori. Tinand cont ca , logaritmii in baza 45 se pot transforma destul de usor in baza 15; in plus, este clar mai simplu sa lucram cu logaritmi in baza mai mica 15.
15 15log 3 si log 7u v= =45 3 15= ⋅
Pentru a exprima , observam ca l . 15log 5 15 15 15 15og 15 log 3 log 5 log 5 1 u= + ⇒ = − Trecem la schimbari de baza. Avem deci:
1545
15
log 3log 3log 45 1
uu
= =+
1545
15
log 7log 7log 45 1
vu
= =+
Asadar (si prin urmare), 21ubu
+=
+ si a
v )vv b
. In plus, . Din aceste doua
ecuatii, scoatem in functie de . Personal, va recomand sa faceti calculele si sa nu ma credeti pe cuvant; mie mi-au iesit:
(10 1a u= − +
si u
( )
( )
5 105 3
20 1010 3
a bub
ab a bvb
− − = − − − + = −
Exprimam acum “tinta” 15 15
15 15
log 75 log 5 1 2log 49 2log 7 2
uNv
+ −= = =
Dupa inlocuirea lui u , mie mi-a dat si v 15 2020 10
b aNab a b
− −=
− − +
Recomandari. A) Nu ma credeti 100%. Faceti calculele !!! B) Alegerea parametrilor u se putea face si in alte moduri – poate chiar mai simplu decat mai sus. Este bine sa faceti cum vi se pare mai confortabil; de pilda, se puteau transforma toti logaritmii in baza 5 sau in baza 3.
si v
5. Sa se determine maximul functiei
[ ] ( ) ( ) ( )4 22 2
8: 1,64 , log 12 log logf f x x xx
→ = + ⋅ 2
Solutie. Se noteaza si se aplica proprietatile logaritmilor. Expresia 2logy = x
] ] y−
] ]
functiei in variabila este y ( ) ( ) ( )24 2 4 3 2 212 3 12 36 6f y y y y y y y y y= + ⋅ − = − + = −
Daca , rezulta . Functia este [1,64x∈ [0,6y∈ [ ] ( ) 2: 0,6 , 6g g y y→ =
descrescatoare pe si crescatoare pe [ , deci admite in punctul un minim egal cu . Cum in rest ia numai valori negative si , rezulta ca functia admite in un maxim egal cu . Valoarea lui in acest caz este .
[0,3
9
3y =
3,6
( )
3y =
( )yx
( )3g = −
f32 8x = =
g ( ) 2f y g=
81=( )23 3f g=
6. Sa se rezolve ecuatiile:
a) 31 22
x
x−=
− b) ( )2 3g 1 logx x+ =lo
c) 9 5 4 2 20x x x− − = x
d) ( ) ( )23 3 3 1 1 0,x xxp p p p p+ + + − + = 0≥ (17481, G.M. 11/1978)
Solutie. Ecuatiile de fata sunt ceva mai putin standard. Rezolvarea lor (si a
multora de acelasi gen) se bazeaza pe urmatoarea proprietate: P1. Daca este o functie strict monotona, atunci orice ecuatie de :f D ⊆ →
0
0
))
tipul , admite cel mult o solutie pe . ( ) ,f x a a= ∈ D Justificarea acestei proprietati este simpla: presupunem ca este o solutie a ecuatiei si ca este strict crescatoare (cazul in care este strict descresctoare este similar). Atunci, monotonia stricta ne asigura ca,
, respectiv ( ) ; asadar, ; cu alte cuvinte, este injectiva. Demonstratia anterioara nu face insa apel la notiunea de injectivitate, care se studiaza abia in clasa a IX-a, tocmai pentru a fi si la indemana elevilor de clasele a VII-a si a VIII-a (cel putin in anii ’80, programa de clasa a VII-a prezenta conceptul de monotonie a unei functii reale; nu stiu cum mai stau lucrurile in prezent).
0x D∈f
) (f x>
f
(f x( ) ( ) )0,x D x x f x a∀ ∈ < ⇒ < =
( ) ( )0,x D x x f x∀ ∈ ≠ ⇒
( )0 0,x D x x f x a∀ ∈ > ⇒ =
f( )f x a≠ =
Din proprietatea P1 putem deduce cu usurinta: P2. Daca sunt doua functii strict monotone, dar de monotonii diferite, atunci ecuatia are cel mult o solutie in .
, :f g D ⊆ →
( ) (f x g x= ) D
Evident, functia ( are aceeasi monotonie cu ; aplicand proprietatea de insumare a doua functii monotone, rezulta ca ( este strict monotona, de
g− f
gf −
aceeasi monotonie cu . In consecinta, ecuatia admite cel mult o solutie pe .
f
x
3
( )( ) 0f g x− =D
1 3 12 2
t
=
log t
2
2 2
2 29 5x x
= +
2 2
⇒
x = 2x =
( )( )3 33 31x
p p+ − =3+
( )3x
−
(
x
3
3 1x
xqq q
= −
q
3xq
1 1
( )1
x
Sa trecem acum la ecuatiile date. a) Conditiile de existenta impun . Membrul stang este o functie strict
descrescatoare, in timp ce membrul drept este o functie strict crescatoare. Observam ca verifica ecuatia; conform proprietatii P2, rezulta ca aceasta este unica solutie a ecuatiei.
3x ≥
3=
b) Notam t x . Ecuatia devine: log 3tx= ⇒ =
( ) ( )2 1 3 2 1 3t
tt t + = ⇔ = + ⇔ +
Membrul stang este o suma de doua functii strict descrescatoare. Observam ca verifica ecuatia; in concluzie, este unica solutie a acesteia. Rezulta .
t =3 9=2x =
c) Ecuatia devine 2
2 24 2 5 4 4 2 5 4x x
x x x x x = + + ⋅ ⇔ + ⋅ ⋅
2x
9 5 , sau
2 29 5 4x x
= +
2x
; cum 2 2 29 0,5 4x x x
> + > 0 , rezulta
2 2
2 2 2 5 449 9
x xx x x = + + =
9 5 1
Membrul stang este o functie strict descrescatoare. Se observa ca verifica ecuatia; conform proprietatii P1, este unica solutie a
ecuatiei date. 2
d) Ecuatia se scrie:
( ) ( )( ) ( )31 1 0 1xx x xp p p p p− + + − = ⇔ + − p
( ) ( )( )331 1 x xp p p p⇔ + = + − .
Notam pentru simplitate 1q p= + ⇒
( ) )3
33 3 3 1x
x x x x pq p p q − = − ⇒ −
0≠
; simplificam
si ramane:
p
33 x xp pq q
− = −
Cum 0,pq∈ ⇒ functia
xpxq
→
este strict descrescatoare⇒ functia
1x
pq
→ −
este strict crescatoare, deci membrul drept este o functie
strict crescatoare. Pe de alta parte, ( )3
1 0,pq
− ∈
1 ⇒
functia
3
1x
pxq
→ −
din membrul stang este strict descrescatoare. Rezulta ca
ecuatia data admite cel mult o solutie reala; cum verifica ecuatia, rezulta ca este unica solutie a acesteia.
3x =
3 3x x⋅
x
2x x
( )1 11
xa b a b a b a b
a b a b+ − = ⇔ − = ⇒ − =
+ +x
7. Sa se rezolve ecuatia:
2
2 3 ,x x x x x+ = ⋅ ≥3 3 0(Gh. Ciorascu, 19983, G.M. 1/1984)
Solutie. Conform inegalitatii mediilor, avem 2
2 222 2 3
x xx x
+
+ ≥ = ⋅3 3 (1) aplicam inca o data inegalitatea mediilor, de data aceasta pentru numerele
: 2 si x x
22
2 22 3 2 32
x xx xx x x x x x
++≥ ⋅ = ⇒ ⋅ ≥ ⋅ (2)
Din inegalitatile (1) si (2), deducem 2
2 3x x x+ ≥ ⋅3 3 , egalitatea avand loc cand cele doua inegalitati devin egalitati, adica daca { }0,1x= ⇒ ∈
8. Sa se rezolve ecuatia ( ) ( )4 15 4 15 6x x
+ + − = 2 Solutie. Ecuatia data este de tipul:
( ) ( ) 2, 1, , ,x x
a b a b a bα γ β α β+ + − = − = ∈γ
Relatia se scrie 2 1a b− =
( )( ) . Notand ( )
( ) ( ) 1xy a b a b
y= + ⇒ − =
x; ecuatia generala se scrie:
2 0y y yyγ
α β γ+ = ⇔ − + =α β (rezolventa de gradul al doilea).
Discutia continua in functie de natura si semnele radacinilor rezolventei . 1 2,y yConvin evident numai radacinile pozitive , 1,iy i = 2 pentru care obtinem:
( )logi ia bx y
+=
Revenim la cazul nostru particular. Notam (4 15x
y = + ) si rezulta
21 62 62 1 0y y yy
+ = ⇔ − + = cu radacinile 1,2 31 8 15y = ± . Observam ca
( ) ( )( )
2 2
214 15 31 8 15 31 8 15 4 15
4 15+ = + ⇒ − = − =
+; rezulta
( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 24 15 4 15
1log 4 15 2 log 24 15
x x+ +
= + = =+
= −
a y
9. Se stie ca 2 . Se cere raportul ( )log 2 log loga ax y x− = +xy
.
Solutie. Conditiile de existenta impun 0, 1, 0, 0, 2 0 2xa a x y x yy
> ≠ > > − > ⇒ > .
Folosind proprietati binecunoscute, rezulta: ( ) ( )2 2 2 2log 2 log 2 5 4 0a ax y xy x y xy x xy y− = ⇔ − = ⇔ − + =
Am obtinut o ecuatie omogena in ; cum , impartim linistiti cu ,
notand
si x y 0y > 2yxy
=t : t t , cu radacinile t t . Doar solutia 2 5 4− + = 0 1 =21, 4= 4=xy
=t
este convenabila. 10. Sa se rezolve sistemul de ecuatii:
( )3 5log log
29
y x
x y
+ =
+ =
x
(17527, G.M. 12/1978)
Solutie. Conditiile de existenta impun ; notam 0x >
( )3 5
5log log
3
t
t
xt y x x
y x
== + = ⇒ + =
; inlocuim in ecuatia a doua
29 29 3 5 5 3 29t t t ty x x x= − ⇒ − + = ⇒ − + = (1) Presupunem ca ( )31 28 28 log 3x y y x y x< ⇒ > ⇒ + > ⇒ + >
⇒
; pe de alta
parte, lo egalitatea 5g 0x < ( )3 5log logy x x+ = este imposibila. Rezulta ;
fie
1x ≥
5t= =
⇒
1u x . Functia este strict crescatoare pe intervalul functia
u⇒ ≥
)∞
2u u u→ −
[1, 5t→ − 5t t
0t ≥2=
este strict crescatoare pe [ . Membrul stang al ecuatiei (1) este (in domeniul acceptabil ) o functie strict crescatoare; in concluzie, solutia “vizibila” t este unica. Rezulta .
)0,∞
25= ⇒ 4x y = 11. Sa se determine maximul produsului , unde
stiind ca
1 2... nP a a a=
( ) {0,1 , 1,2,...,ka k∈ ∀ ∈ }n 1log 1kn
a =1
n
k=∏ .
(21663, G.M. 1/1989) Solutie. Relatia data se scrie sub forma:
( )1 1 1
1lnln 11 1 ln ln1 lnln
n n nk nk
k k k k
aa nn a
n= = =
− = ⇔ = ⇒ =− ∏∏ ∏ (1), unde
( ) 1 10,1 1, 1, ln 0, 1,kk k
a k na a
∈ ⇒ > ∀ = ⇒ > ∀ =k n
Se scrie inegalitatea mediilor pentru numerele pozitive 1ln , 1,k
k na
= :
11
1 1 1ln lnn n
n
kk k ka n a==
≤ ∑∏ , egalitatea avand loc daca ; inlocuim 1 2 ... na a a= = =
1
1lnn
ka=∏k
din relatia (1): 1
1 1ln ln ln ln lnn
kn n n
n a=
≤ ⇒ ≤∑1 2
1 ln...
n
k n
na a a
≤ ⇔1P
1 nnn P
P n⇒ ≥ ⇔ ≤
1 . Maximul produsului este asadar egal cu 1 2... nP a a a=1nn
,
fiind atins cand 1 21... na a an
= = = =
Exercitii propuse.
1) Sa se arate ca (20489*, G.M. 7/1985) 2 2lg 9 lg 11 lg98+ >2) Daca a a , sa se demonstreze inegalitatile: ( ) (1 2, ,..., 1, si 1,na a∈ ∞ ∈ ∞)
a) 1 21 2
...og log log ... logn na a aa a a a a
n+ + +
≥ ⋅ ⋅ ⋅l (19583, G.M. 2/1983) a na
b) 1 22 3 1
1 1 1...log log log
na a a
na a a
+ + + ≥
b
(17447, G.M. 10/1978)
3) Daca a sunt cel mai mic, respectiv cel mai mare, intreg negativ care
verifica inecuatia , sa se calculeze expresia
si
( )( )lg 9 99 3x x x+ + ≤2 2
2 2
a ba b
−+
.
(19660, G.M. 4/1983, adaptat)
4) Rezolvati in ecuatia (1 2 43
x xx xx
+= + + )
b
1 2 (21243*, G.M. 10/1987)
5) Fie a b c astfel incat . Calculati valoarea expresiei .
( ) { }, , 0, \ 1 si , ,x y z∈ ∞ ∈
E x
, ,x y za bc b ca c a= = =
( )x y z+ +( ), ,y z xyz= −(O:531, G.M. 11-12/1987, adaptat)
6) Calculati (fara tabele) valoarea expresiei ( ) ( )3 3lg5 lg 20 lg8 lg 0,25E = + + ⋅(11108, G.M. 4/1971)
7) Rezolvati ecuatia 12
2
9 16 1 12225 25 log 12! 25
x x
k k=
+ = − ⋅
∑x
(17526*, G.M. 12/1978)
8) Sa se rezolve ecuatia (14 25 2 154xx x x+ = − )11 (21358, G.M. 2/1988)
9) Sa se determine astfel incat x∈ ( ) ( )2
2 2 2lg 1 lg 1 lg
2x x
x x+ +
+ ⋅ + =
(22416*, G.M. 7/1991)
10) Fie , ( ): 0,f ∞ →
( ) 4 3 2 22 2 2 2log 6log 13log 12log 4f x x x x x x mx n= − + − + + − +
Sa se determine astfel incat graficul functiei sa intersecteze axa in doua puncte distincte.
,m n∈Ox
(18821, G.M. 7/1981) 11) Rezolvati ecuatiile:
a) ( ) ( )sec tgog 13,25 log 12,25 , 0,2x x x π= ∈
l (13102, G.M.B. 6/1973)
b) ( )sec tgg 1 log , 0, ,4 4 2
x xα απ π π
α + = ∈ ∪
lo
)0,2
(C. Ionescu-Tiu, 12715, G.M.B. 2/1973) 12) Sa se rezolve ecuatiile:
a) ( ) (10562, G.M.B. 8/1970) ( ) ( ) (2 24 4 4 ,x xxa a a a− + = + ∈
b) 11 1 22
2 6 6
xx x+ + − 1=
(10556, G.M.B. 8/1970)
13) Daca , sa se arate ca 2 2 7 , 0x y xy xy+ = ≠ ( )1g log log3 2a a
x yx y
+= +lo
unde a . (B. Grigore, 19627, G.M. 3/1983) a
0, 1a> ≠
14) Sa se rezolve ecuatia: 3 2
5 14 2 0x
x−
− − =16 (C. Coanda, 20264, G.M. 11/1984)