LOGO
Giải Tích B2 Trường đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. HCM
1.1 Các khái niệm về không gian n
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
1.2 Tập mở trong n
1.4 Đạo hàm riêng phần của các hàm
số nhiều biến
Chương 1: Không gian n
1.1 Các khái niệm về không gian
Tích Descartes
... n
n
hay
1 2, ,..., , 1,2,...,n
n kx x x x k n
Tích Descartes của n tập số thực :
1.1 Các khái niệm về không gian
Ví dụ không gian Euclide:
• n = 2, không gian thực 2 chiều
2
• n=3, không gian thực 3 chiều 3
3 1 2 3
, , , 1,2,3k
x x x x k
2 1 2, , 1,2
kx x x k
1.1 Các khái niệm về không gian
Điểm trong không gian n
Điểm có tọa độ (0, 0,…0) được gọi là gốc
tọa độ.
nMỗi điểm của , 1 2
, ,...,n
P x x x
1 2, ,...,
nx x xvới là một phần tử của ,
n
tọa độ thứ k của P k
x
1.1 Các khái niệm về không gian
Ví dụ về điểm trong không gian n
n=3, 3
Vector trong không gian 2
Vector có: AB
• gốc điểm , đỉnh điểm 1 2,A a a 1 2,B b b
• tọa độ của vector 1 1 2 2,AB b a b a
• môđum : 2 2
1 1 2 2AB b a b a
AB
1.1 Các khái niệm về không gian
1.1 Các khái niệm về không gian
AB CD
• nếu 1 1 1 1
2 2 2 2
b a d c
b a d c
1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,A a a B b b C c c D d dvới:
1.1 Các khái niệm về không gian
• Tổng hai vector AC AB BC
1.1 Các khái niệm về không gian
• Các phép toán đại số về vector:
Với bốn vector a, b, c, v và hai số
thực h, k, chúng ta có các phép
toán đại số vector như sau:
Nhân vô hướng: hv
1.1 Các khái niệm về không gian
( . ) ( )h k a h ka
( )h k a ha ka
( )h a b ha hb
với hai vector a, b, và h số thực.
1.1 Các khái niệm về không gian
Nhân vô hướng:
1.1 Các khái niệm về không gian
( ) ( )a b c a b c
Phép cộng
0a a
( ) 0a a
a b b a
Phép cộng
1.1 Các khái niệm về không gian
1.1 Các khái niệm về không gian
Tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vector a, b với
1 1,..., , ,..., n
n na a a b b b
1 1
1
. ...n
n n i i
i
a b a b a b a b
. . .cosa b a b
góc giữa hai vector a và b
1.1 Các khái niệm về không gian
12
2
1
n
i
i
a a
2.a a a
Chuẩn trong không gian n
Các tính chất của chuẩn
0, 0 0a a a
. , ,nka k a a k
a b a b
1.1 Các khái niệm về không gian
1.2 Tập mở
Điểm trong
( ) { | || || }nB x y y x
Lấy là điểm trong của , nếu tồn
tại lân cận của nó chứa trong .
nx U ( )B x
UU
1.2 Tập mở
Tập hợp được gọi là tập mở nếu mọi
điểm của nó đều là điểm trong.
U
là hai tập mở. , n
Các tính chất của tập mở:
Nếu là tập mở, thì
là một tập mở. 1 2, ,..., nS S S
1
n
i
i
S
Ví dụ: cho mỗi , là
tập mở của . Nhưng không
phải là một tập mở.
m1 1
,mSm m
1
0m
m
S
1.2 Tập mở
1.2 Tập mở
Lấy là một tập tùy ý. Nếu là tập mở
với mỗi , thì là một tập mở.
S
AA
S
A
0,1 , ( 1, )A S Ví dụ: là tập mở trong
với mỗi . là một tập
mở trong . A ( 1,1)
A
S
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
Hàm nhiều biến:
Cho tập khác rỗng, ánh xạ
sao cho mỗi điểm có một ảnh trong
với được gọi là hàm nhiều
biến.
2D :f D
M D( , )z f x y
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
Ví dụ:
( , ) sin sinz f x y x y
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
Hàm ba biến 3:f D
( , , ) ( , , )x y z f x y zVí dụ:
2 2 3( , , )f x y z x y z
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
Giới hạn hàm số
Hàm số , chúng ta gọi hàm
có giới hạn là L tại điểm khi
, kí hiệu
2:f D ( , )a b D
( , ) ( , )x y D a b
( , ) ( , )lim ( , )
x y a bf x y L
lấy , tồn tại thỏa nếu
và thì
0 0 ( , )x y D
2 20 ( ) ( )x a y b
( , ) ( , )lim ( , )
x y a bf x y L
, nghĩa là
( , )f x y L
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
( , ) ( , )lim ( , ) ( , )
x y a bf x y f a b
Hàm thực hai biến được gọi là liên tục tại
(a,b) nếu
f
Ta gọi hàm liên tục trên nếu nó liên
tục tại mọi điểm trong .
f D
( , )a b D
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
Xác định tại ; 2
0 0,x y D
Hàm số được gọi là hàm
liên tục tại điểm nếu thỏa
mãn:
2:f D
2
0 0,x y D
Tồn tại 0 0, ,
lim ( , ) ;x y x y
f x y L
0 0( , )f x y L .
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
Ví dụ:
2 2
2 2, ( , ) (0,0)
1) ,
0, ( , ) (0,0)
x yx y
f x y x y
x y
_ _1 1
, ,0 , , 0,nn n nx y x y
n n
Chúng ta chọn hai dãy:
2
2 2, ( , ) (0,0)
2) ,
0, ( , ) (0,0)
xyx y
f x y x y
x y
1.3 Hàm số nhiều biến liên tục
Chúng ta có:
2
2 2( , )
xyf x y x
x y
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Xét hàm số trên tập mở . Với
một điểm , chúng ta có định
nghĩa đạo hàm riêng phần của hàm số
tại điểm , như sau:
f 2U D
0 0( , )x y Uf
0 0( , )x y
0 0 0 00 0 0 0
0
( , ) ( , ), , limx
h
f x h y f x yfx y f x y
x h
0 0 0 00 0 0 0
0
( , ) ( , ), , limy
h
f x y h f x yfx y f x y
y h
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Ví dụ:
2( , )f x y x y
Tính đạo hàm riêng phần của hàm
Vector gradient của f
0 0 0 0 0 0, , , ,f f
f x y x y x yx y
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Cho hai hàm số xác định trên tập mở U
và giả sử có các đạo hàm tại mọi điểm
(x,y) của U
,f g,f g
( )f g f g
( ) ,f f
( )fg f g g f
2
f g f f g
g g
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng phần
của hàm số hai biến:
Cho phương trình diễn tả mặt
hình học S
( , )z f x y
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
1 1( ) ( , )g x f x b C
2 2( ) ( , )g y f a y C
1 '( ) ( , )xg a f a b , lần lượt
là độ dốc của tiếp tuyến , tại điểm P. 1T2 '( ) ( , )yg b f a b
2T
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Đạo hàm riêng phần bậc hai:
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Khai triển Taylor hàm nhiều biến:
Cho hàm là hàm xác định trên một tập mở
, và có đạo hàm liên tục tới cấp r,
điểm p và . Giả sử
. Khi đó tồn tại sao cho:
2D 2h D ,p th D
0,1t 0,1
.( ) ( ) ( ) ...
1!
hf p h f p f p
1
. .( ) ( )
( 1)! !
r rh h
f p f p hr r
1
1
1
1
... 1 1
( . ) ......
n
n
n
rr
n
r n n
fh f h h
x x
Với 1 2
1
( ,..., ), ,...,n
h h hx x
Chúng ta sử dụng khai triển Taylor để tính
giá trị gần đúng của biểu thức: Cho biểu
thức A, đặt
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )f f
f x y f x y x y x x y yx y
Xem ví dụ trang 68, sách giáo trình giải tích
các hàm nhiều biến.
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Trong không gian , đạo hàm của hàm số
là ( )y f x
'( )dy f x dx
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Trong không gian , đạo hàm của hàm số
là
2
( , )z f x y
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x ydz f x y dx f x y dy
f fx y dx x y dy
x y
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Ví dụ: chúng ta dùng thước đo một hộp
hình chữ nhật có số đo các chiều: 75 cm,
60 cm, 40 cm. Trong mỗi lần đo có sai số
trong khoảng 0.2 cm. Chúng ta sử dụng
đạo hàm để đánh giá sai số lớn nhất có
thể xảy ra khi chúng tính thể tích của hộp.
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Thể tích của hộp chữ nhật: . .V x y z
0.2, 0.2, 0.2x y z
Do đó, chúng ta sử dụng 0.2dx dy dz
và x=75, y=60, z=40
1.4 Đạo hàm riêng phần của hàm số
nhiều biến
Chương 2: Tích phân nhiều biến.
2.1 Tích phân hai lớp.
2.2 Phương pháp tính tích phân 2 lớp
trong hệ tọa độ Descartes
2.3 Đổi biến trong tích phân hai lớp
2.4 Ứng dụng
2.1 Tích phân hai lớp.
Trong không gian , chúng ta có định nghĩa
tích phân
*
1
( ) lim ( )
b n
i in
ia
s f x dx f x x
*
1
( ) lim ( )
b n
i in
ia
s f x dx f x x
2.1 Tích phân hai lớp.
2.1 Tích phân hai lớp.
3
3 3
10
6 lim 6n
i i in
i
x x dx x x x
3b ax
n n
3i
ix
n
2.1 Tích phân hai lớp.
Trong trường hợp , chúng ta xét một hàm
trên hình chữ nhật sau:
2
f
, ,R a b c d
Chúng ta tính thể tích của
3( , , ) 0 ( , ),( , )S x y z z f x y x y R
2.1 Tích phân hai lớp.
2.1 Tích phân hai lớp.
1 1, ,ij i i i iR x x y y
2.1 Tích phân hai lớp.
.A x y
* *
,1 1
( , ) lim ,m n
ij ijm n
i jR
f x y dxdy f x y A
Tính chất của tích phân hai lớp:
2.1 Tích phân hai lớp.
2.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong hệ tọa độ Descartes:
Cho là hàm số hai biến xác định trên
hình chữ nhật , chúng ta
tính tích phân của
( , )f x y
, ,R a b c d R
( , ) ( , )
b d
R a c
S f x y dxdy f x y dxdy Bước 1:
( ) ( , )d
cA y f x y dx
( ) ( , )b b d
a a cS A y dy f x y dx dy
Bước 2:
2.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong hệ tọa độ Descartes:
2.2 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong hệ tọa độ Descartes:
Định lý Fubini: nếu là hàm liên tục trên
hình chữ nhật
thì
f
( , ) | ,R x y a x b c y d
( , ) ( , ) ( , )
b d d b
R a c c a
f x y dxdy f x y dydx f x y dxdy
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
Chúng ta phân loại miền thành các loại
sau đây:
Loại 1:
D
1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x Loại1:
1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
Loại 1:
1 2( , ) | , ( ) ( )D x y a x b g x y g x
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
Nếu là hàm số liên tục trên miền (loại 1)
thì
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
g xb
D a g x
f x y dxdy f x y dydx
f D
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
Ví dụ cho phương pháp tính tích phân của
hàm trên miền (loại 1) f D
2 2( , ) | 1 1,2 1D x y x x y x
22D
x y dxdy
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
Loại 2:
1 2( , ) | ( ) ( ),D x y h y x g y c y d
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
Nếu là hàm số liên tục trên miền (loại 2) f D
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
h yd
D c h y
f x y dxdy f x y dxdy
1 2( , ) | ( ) ( ),D x y h y x g y c y d
2.3 Phương pháp tính tích phân hai lớp
trong miền tổng quát:
Ví dụ cho phương pháp tính tích phân của
hàm trên miền (loại 2) f D
( , ) | 0 4,2
yD x y y x y
2 2
D
x y dxdy
2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp
theo tọa độ cực:
2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp
theo tọa độ cực:
2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp
theo tọa độ cực:
Định nghĩ hình chữ nhật theo tọa độ cực
( , ) ,R r a r b
2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp
theo tọa độ cực:
Nếu hàm số liên tục trên hình chữ nhật
theo tọa độ cực
f
( , ) ,R r a r b
với 0 2
( , ) ( cos , sin )
b
R a
f x y dxdy f r r rdrd
Ví dụ
2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp
theo tọa độ cực:
2 3( 4 )R
x y dxdy
2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp
theo tọa độ cực:
Nếu hàm số liên tục trên miền f
2 2( , ) | ( 1) 1D x y x y
2.4 Phương pháp tính tích phân hai lớp
theo tọa độ cực:
Ví dụ:
3( 2 )D
x y dxdy
Ứng dụng của tích phân bội
Tính khối lượng của một tấm mỏng
(laminar)
( , )D
m x y dA
( , )x y khối lượng riêng tại điểm ( , )x y D
D
Ứng dụng của tích phân bội
Tổng điện tích trên 1 tấm mỏng
( , )D
Q x y dA
D
( , )x y mật độ điện tích tại điểm ( , )x y D
Ứng dụng của tích phân bội
Tọa độ tâm khối (the center of mass)
của một tấm mỏng có hàm khối lượng
riêng tại điểm
D
_ _
( , )x y
( , )x y ( , )x y D
_ 1( , )
D
x x x y dAm
_ 1
( , )D
y y x y dAm
( , )D
m x y dA
Tích phân bội ba
Cho hàm xác định trên một hình hộp chữ
nhật
f
( , , ) | , ,B x y z a x b c y d r z s
Tích phân bội ba
Tích phân bội ba của hàm trên hình hộp
chữ nhật f
B
, ,1 1 1
( , , ) lim ( , , )l m n
ijk ijk ijkl m n
i j kB
f x y z dV f x y z V
, ,1 1 1
( , , ) lim ( , , )l m n
ijk ijk ijkl m n
i j kB
f x y z dV f x y z V
Tích phân bội ba
Định lý Fubini cho tích phân bội ba
Cho là hàm liên tục trên hình hộp chữ
nhật
f
( , , ) | , ,B x y z a x b c y d r z s
( , , ) ( , , )
s d b
B r c a
f x y z dV f x y z dxdydz
Tích phân bội ba
Tích phân bội ba
Tính tích phân bội ba của hàm 3( , , )f x y z xyz
trên hình hộp chữ nhật
( , , ) |1 2,3 4,0 2B x y z x y z
Tích phân bội ba
Cách tính các kiểu tích phân bội ba
Loại 1:
Loại 1a
Tích phân bội ba
Loại 1a
Tích phân bội ba
Loại 1b
Loại 1b
Tích phân bội ba
Loại 2
Loại 2
Tích phân bội ba
Loại 3
Tích phân bội ba
Loại 3
Tích phân bội ba
Tích phân bội ba
Đưa về tọa độ trụ:
Đổi tọa độ Descartes (x,y,z) thành tọa độ trụ
( , , )r z
( , , ) ( cos , sin , )f x y z f r r z
Đưa về tọa độ trụ:
( , , ) ( , , )
( , , ) ( cos , sin , )V x y z V r z
f x y z dxdydz f r r z drdr dz
Tích phân bội ba
Ví dụ:
Đưa về tọa độ trụ:
Tích phân bội ba
Tích phân bội ba
Đưa về tọa độ cầu:
Tích phân bội ba
Tọa độ cầu:
Ví dụ:
Tích phân đường
Cho đường cong C
Chiều dài của đường cong C
Tích phân đường
Tích phân đường
Tích phân đường loại: không phụ
thuộc vào đường đi C
1) C cho bởi phương trình tham số
Tích phân đường
2) C cho bởi phương trình
Tích phân đường
3) C cho bởi phương trình tọa độ cực
Tích phân mặt
Định lý Ostrogradski
Định lý Stokes: