GPS i teorie względności(GPS – Global Positioning System)
Włodzimierz Salejda,
Instytut Fizyki PWr
e-mail: [email protected]
www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/
XIII DFN’2010,
Wrocław, 21 września 2010
GPS i teorie względnościPlan wykładu
1. Przesłania wykładu ― wprowadzenie
2. Budowa i funkcjonowanie GPS
3. Wyznaczanie położenia obiektu
4. Zastosowania
5. Podsumowanie
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Żyjemy w świecie czterowymiarowym
zwanym czasoprzestrzenią.
Każde wydarzenie, zjawisko ―
zwane zdarzeniem ― ma 4 współrzędne:
(R,ct) ― położenie + „czas”
(x,y,z,ct)
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Prędkość fali elektromagnetycznej c
― w tym światła ― w inercjalnych układach
odniesienia jest stała c=299 792 458 m/s.
Wartość zaokrągloną 300 000 000 m/s.
Nie zależy ani od ruchu odbiornika
ani od ruchu nadajnika.
Sprzeczność ze zdrowym rozsądkiem i codziennym doświadczeniem,
zadziwia, zdumiewa, nieintuicyjna ― cecha fal elektromagnetycznych
Fundamentalny postulat szczególnej teorii względności A. Einsteina
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Prędkość fali elektromagnetycznej
c=300 000 000 m/s
jest ogromna
W czasie 0,13s okrąża Ziemię wzdłuż równika
W czasie 1ms pokonuje 300 km (Wrocław-Łódź)
W czasie 1µs pokonuje 300 m
W czasie 1ns pokonuje 30 cm
Ogólna teoria względności A. Einsteina
Metryka
Właściwości fizyczne czasoprzestrzeni
Układ współrzędnych przestrzenno-czasowych
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Ogólna teoria względności
Rozwiązanie równań Einsteina
Metryka
Pozwala obliczać:
• orbity satelit, planet, komet,
• tempo upływu czasu.
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Ogólna teoria względności
Rozwiązanie równań Einsteina
Czas nie jest wielkością absolutną!!!
Nie upływa w równym tempie!!!
Tempo upływu czasu zależy od ruchu zegara
oraz od grawitacji!!!
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Metryka
GPS i teorie względnościCzymże jest czas?
Słynna odpowiedź św. Augustyna
(Aureliusz Augustyn z Hippony 354-430)
„Jeśli nikt mnie o to nie pyta, wiem!
Jeśli pytającemu usiłuję
wytłumaczyć, nie wiem!
GPS i teorie względnościCzas i historia sztuki
Co to jest czas?
Odpowiedź wybitnego
malarza XX wieku
w jego obrazach
GPS i teorie względnościCzas — wizje malarskie Salvatore Dali (1)
Salvatore Dali
The Persistence of Memory, 1931The Persistence of Memory, 1931The Persistence of Memory, 1931The Persistence of Memory, 1931
Trwałość pamięciTrwałość pamięciTrwałość pamięciTrwałość pamięci
GPS i teorie względności
One Second Before Awakening from a Dream Caused by the Flight of a Bee Around a Pomegranate, 1944
Jedna sekunda przed wybudzeniem spowodowanym lotem pszczoły wokół drzewa granatu, 1944, Salvatore Dali
Jedna sekunda według S. Dali
GPS i teorie względności Czymże jest czas?
Odpowiedź fizyki/fizyków
� Podstawowa wielkość fizyczna w SI
� Czwarta współrzędna 4-ro wymiarowej
czasoprzestrzeni — rewolucyjna
idea A. Einsteina
GPS i teorie względnościCzymże jest czas?
Koncepcja klasyczna czasu absolutnego
— wedle I. Newtona czas jest wielkością
bezwzględną, absolutną niezależną od
przestrzeni i jakichkolwiek czynników
fizycznych; upływa, w jednakowym tempie
dla wszystkich we Wszechświecie
niezależnie od układu odniesienia
GPS i teorie względnościCzymże jest czas?
W teorii względności czas i przestrzeń są
traktowane równoprawnie, tworzą 4-
wymiarową czasoprzestrzeń (czas to czwarta
współrzędna obok współrzędnych przestrzennych).
Czas nie ma charakteru absolutnego; tempo
upływu czasu zależy od stanu ruchu zegarów
i od pola grawitacyjnego.
Pojęcie jednoczesności zdarzeń zależy od układu odniesienia
GPS i teorie względności
Ogólna teoria względności określa metrykę
czasoprzestrzeni, tj. związki czasu i przestrzeni
z polem grawitacyjnym i rozkładem materii.
Tempo upływu czasu zależy od rozkładu materii.
Niezmiennicze ― niezależne od wyboru
układu odniesienia ― są odległości między
zdarzeniami w czasoprzestrzeni a nie przedziały
czasu lub odległości przestrzenne.
Odpowiedź fizyka/inżyniera
Czas to jedna z 6 wielkości podstawowych w SI.
Jednostką czasu jest sekunda ― jest to czas trwania
9 192 631 770 okresów drgań fali elektromagnetycznej
emitowanej przez spoczywające atomy cezu o liczbie
atomowej 133 w temperaturze 0K podczas przejść
elektronów atomów cezu z określonego stanu
wzbudzonego atomu do stanu podstawowego
GPS i teorie względnościCzymże jest czas? λ≅3,3 cm
Atomowe zegary cezowe
Mierzą czas z dokładności 2 nanosekund na dobę, tj. jednej sekundy na 1,4 milionów lat.
Najnowsze zegary (USA, Francja) osiągają dokładność jednej sekundy na 17 milionów lat; jest to najdokładniejsza
realizacja jednostki wielkości mierzalnej, jaką kiedykolwiek skonstruował człowiek.
Są stosowane w sieciach telefonii komórkowej oraz w Internecie.
Konstrukcja zegara w Szwajcarii,
który mierzy czas z dokładnością
do jednej sek. na 30 milionów lat.
GPS i teorie względnościCzymże jest czas?
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Odległość między zdarzeniami
w 4-wymiarowym świecie ― w czasoprzestrzeni ―
określa metryka.
Skorzystamy z tej metryki dla przypadków:
•Satelity poruszającego się w płaszczyźnie w stałej odległości od środka Ziemi
•Odbiornika GPS umieszczonego na powierzchni Ziemi
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Niechaj satelita ma zegar pokładowy
i w czasie dτ ― mierzonym na jego pokładzie ―
zakreśla kąt dϕ. Wtedy dwa położenia satelity ―
początkowe i po czasie dτ ― dzieli odległość
określona metryką czasoprzestrzeni równa
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Wyjaśnienie oznaczeń
prędkość światła
czas własny satelity
kwadrat
odległości w
czasoprzestrzeni masa Ziemi
stała grawitacji
czas upływający w
„nieskończoności”
odległość od
środka Ziemi
droga
kątowa
satelity
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Przekształcenie: dzielimy obie strony przez kwadrat (cdτ)
prędkość światła
czas własny satelity
kwadrat
odległości w
czasoprzestrzeni masa Ziemi
stała grawitacji
czas upływający w
„nieskończoności”
odległość od
środka Ziemi
droga
kątowa
satelity
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Otrzymujemy
czas własny satelity
kwadrat
odległości w
czasoprzestrzeni
masa Ziemi
stała grawitacji
czas upływający w
„nieskończoności”
ν=rdϕ/dt –
prędkość
satelity
odległość od
środka Ziemi
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Otrzymujemy
czas własny satelity
masa Ziemi
stała grawitacji
potencjał pola
grawitacyjnego Ziemi
odległość od
środka Ziemiprędkość
satelity
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Wniosek: upływ czasu zależy od pola grawitacyjnego i prędkości obiektu (satelita, odbiornik GPS)
czas własny satelity
masa Ziemi
stała grawitacji
potencjał pola
grawitacyjnego Ziemi
odległość od
środka Ziemi
prędkość
satelity
GPS i teorie względności
Zgodnie z ogólną teorią względności
nie istnieje:
� Wyróżniony układ odniesienia
� Czas absolutny; tempo upływu
czasu zależy od:
� ruchu zegara,
� pola grawitacyjnego.
GPS i teorie względnościSatelitarne systemy pozycjonowania (SSP)
Istniejące SSP
1.GPS ― jednostka zarządzająca: Departament Obrony USA; inicjacja
systemu: 1974 r.; pełna gotowość do działania od 1994 r.;
udostępnienie użytkownikom cywilnym: 1993 r.;
R. Reagan, prezydent USA, podjął tę decyzję w 1983 r. po zestrzeleniu w pobliżu wyspy
Sachalin 1 IX 1983 przez myśliwiec ZSRR pasażerskiego samolotu Boeing-747 KoreanAirlines z 269 osobami na pokładzie!
2. GLONASS (ГЛОНАСС; ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система; Globalnaja
Nawigacionnaja Sputnikowaja Sistiema) ― j. zarządzająca: Min. Obrony Rosji;
inicjacja systemu: 1982 r.; pełna gotowość do działania od 1996 r.
SSP w „budowie”
GALILEO ― system cywilny, jednostka zarządzająca UE i Europejska
Agencja Kosmiczna; inicjacja systemu: 2005 r.; pełna gotowość do
działania od 2012 r.
GPS i teorie względnościSatelitarne systemy pozycjonowania
Dwie podstawowe usługi SSP
1. Określenie z podaną niepewnością miejsca przebywania
(położenia obiektu: długość i szerokość geograficzna,
wysokość nad poziomem morza).
2. Określenie z podaną niepewnością czasu, w którym
dokonano pomiaru współrzędnych miejsca przebywania.
GPS i teorie względności Budowa i funkcjonowanie GPS
Elementy strukturalne
Segment kosmiczny, orbitalny (pajęczyna satelitarna):
• 24 lub więcej satelitów orbitujących w 6 różnych płaszczyznach nachylonych do płaszczyzny równika pod kątem 55o lub 63o(wzajemne do siebie pod kątem 60o) ,
• wysokość 20 162 km, czas obiegu Ziemi 11h58min,
• każdy satelita ma 4 zegary atomowe mierzące czas z dokładnością do 4 nanosekund(!) na dobę;
• każdy satelita gra własną piosenkę, tj. wysyła kodowane sygnały.
Taka konstelacja zapewnia użytkownikowi systemu kontakt z 5, 6, 7 lub 8
satelitami niezależnie od miejsca położenia na Ziemi w dowolnym czasie.
GPS i teorie względności Budowa i funkcjonowanie GPS
Elementy strukturalne (c.d.)
Segment stacji naziemnych: monitorują funkcjonowanie i położenia satelitów,
synchronizuje pokładowe i naziemne zegary atomowe, steruje funkcjonowaniem GPS.
5 stacji pomiarowych: główna w Colorado Springs (USA) + 4 bezobsługowe w paśmie równikowym: na Hawajach, Wyspie Wniebowstąpienia na Atlantyku, Kwajalein na Pacyfiku, Diego Garcia na Oceanie Indyjskim.
GPS i teorie względności Wyznaczanie położenia obiektu. Jak działa GPS?
Segment 4 naziemnych stacji monitorujących
• odmierza i mierzy bardzo dokładnie CZAS;
• monitoruje trajektorie satelitów oraz wysyła
informacje o ich parametrach; znajomość
dokładnego położenia satelitów w przestrzeni
jest niezbędna.
Elementy segmentu naziemnego
Stacje monitorujące i sterujące GPS
GPS i teorie względności Budowa i funkcjonowanie GPS
http://www.kowoma.de/en/gps/control_segment.htm Wyspa Wniebowstąpienia, Ocen Atlantycki
Hawaje, Ocen Wielki
Wyspa Diego Garcia, Ocen Indyjski
Kwajalein, Ocen Wielki
Stacja główna, Colorado
Springs, USA
Segment użytkowników to ważny element naziemnego GPS.
Składa się z odbiorników GPS i społeczności użytkowników.
GPS i teorie względności Budowa i funkcjonowanie GPS
Naukowcy, laboratoria naukowe, sportowcy, farmerzy
(USA), żołnierze, piloci, ratownicy, turyści, kierowcy
samochodów dostawczych i transportowych, firmy
transportowe (dyspozytorzy), systemy penitencjarne,
żeglarze, drwale, strażacy, geografowie, geodeci
już dziś używają odbiorników GPS,
co zwiększa ich produktywność, czyni życie
bezpieczniejszym i łatwiejszym.
GPS i teorie względności Budowa i funkcjonowanie GPS. Wybrani użytkownicy
GPS i teorie względności Wyznaczanie położenia obiektu. Jak działa GPS?
Układ współrzędnych (WGS-84)
ECEF ― Earth-Centered Earth-Fixed
Prostokątny układ o początku w środku Ziemi,
oś OZ jest osią dobowego obrotu Ziemi,
płaszczyzna OXY jest płaszczyzną równikową,
oś OX przecina równik w punkcie o szer. i dł. geogr. 0o
oś OY przecina równik w punkcie o szer. 0o i wsch. dł. geogr. 90o
GPS i teorie względności Budowa i funkcjonowanie GPS
Układ ECFC
EkliptykaRysunek z pracy J.B. Rogowski, M. Kłęk
http://uczelniawarszawska.pl/upl/1233741384.pdf
Układ ECFC
GPS i teorie względności Wyznaczanie położenia obiektu. Jak działa GPS?
Układ współrzędnych (WGS-84)
ECEF ― Earth-Centered Earth-FixedUkład wirujący wokół osi OZ wraz z Ziemią,
której dobowa prędkość kątowa
7,292 115 1467·10-5 rad/s
Prędkości punktów na powierzchni Ziemi
Na równiku: vmax
=464 m/s; we Wrocławiu 334 m/s (szer. geog. Θ=51o )
v(Θ)=[464 · cos(Θ)]m/s
GPS i teorie względności Wyznaczanie położenia obiektu. Jak działa GPS?
Odbiornik GPS wyznacza
odległość di do i-tego satelity ze wzoru
di = PRĘDKOŚĆ × CZASprzy założenie stałej wartości prędkości fal elektromagnetycznych
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?
Wyznaczanie odległości d1, d2, d3 i d4:
di= c × (∆ti), gdzie i = 1, 2, 3, 4 numerują kolejne satelity,
od których odbiornik zarejestrował sygnały.
Czynnikami decydującymi o dokładności d1, d2, d3 i d4 są:
1. Pomiary czasów przebiegu sygnału ∆t1, ∆t2, ∆t3 i ∆t4.
2. Znajomość prędkości rozchodzenia się fal
elektromagnetycznych w atmosferze ziemskiej.
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?
GPS przesyła do odbiornika położenie r1 pierwszego satelity
oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.
Znając r1, odbiornik wyznacza czas ∆t1 przebiegu sygnału
oraz odległość d1 odbiornika od pierwszego satelity.
Gdzie znajduje się w ECFC nasz odbiornik?
Gdzieś na sferze S1 o: 1.Środku w punkcie r1 chwilowego położenia satelity2.Promieniu d1.
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?
Gdzieś na sferze S2
o:
1. Środku w punkcie r2
chwilowego położenia drugiego satelity.
2. Promieniu d2.
Odpowiedź dokładniejsza:
Na okręgu O1,2, który wyznaczają
punkty przecięcia się sfer S1 i S2.
GPS przesyła do odbiornika położenie r2 drugiego satelity
oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.
Znając r2, odbiornik wyznacza czas ∆t2 przebiegu sygnału
oraz odległość d2 odbiornika od drugiego satelity.
Gdzie znajduje się w ECFC nasz odbiornik?
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?
Gdzieś na sferze S3
o:
1. Środku w punkcie r3 chwilowego położenia trzeciego satelity.
2. Promieniu d3.
Odpowiedź precyzyjniejsza:
W jednym z punktów r3,1 lub r3,2, w których sfera S3 przecina okrąg O1,2 .
GPS przesyła do odbiornika położenie r3 trzeciego satelity
oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.
Znając r3, odbiornik wyznacza czas ∆t3 przebiegu sygnału
oraz odległość d3 odbiornika od trzeciego satelity.
Gdzie znajduje się w ECFC nasz odbiornik?
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?
Gdzieś na sferze S4
o:
1. Środku w punkcie r4 chwilowego położenia czwartego satelity.
2. Promieniu d4.
Odpowiedź dokładna/precyzyjna:
W jednym punkcie, w którym cztery sfery S1 , S2 , S3 i S4 przecinają się!
GPS przesyła do odbiornika położenie r4 czwartego satelity
oraz bardzo dokładny moment czasu wysłania sygnału.
Znając r4, odbiornik wyznacza czas ∆t4 przebiegu sygnału
oraz odległość d4 odbiornika od czwartego satelity.
Gdzie znajduje się w ECFC nasz odbiornik?
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu − ilustracja geometryczna
Prosta animacja działania GPS
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?
Matematyczny algorytm pozycjonowania
Wyznaczenie czasoprzestrzennego położenia odbiornika na powierzchni Ziemi (czterowektora) (TZ,RZ) wymaga
rozwiązania układu 4 równań względem 4 niewiadomych:
( ) ,
222
iZiZtTcrR −=−
gdzie i = 1, 2, 3, 4 a tioraz r
isą czasem i położeniem i-tego satelity;
dane te satelity przesyłają do odbiornika.
Położenie (TZ,R
Z) wyznacza odbiornik GPS rozwiązując układ czterech
powyższych równań względem 4 niewiadowych, tj. (TZ,R
Z), gdzie R
Z jest
wektorem o trzech współrzędnych w ECFC: RZ(x) , R
Z(y) , R
Z(z) .
GPS i teorie względności Dokładność pozycjonowania od 1 V 2000 r.
• około 10 metrów w kierunku poziomym
• około 20 metrów w kierunku pionowym
• około 20 nanosekund
GPS za pomocą bardziej zaawansowanych
narzędzi zwiększa się dokładnośc do kilku metrów
Fizyczna granica dokładności bez pomiaru fazy fali, to długość fali nośnej równa c/f=3·108[m/s]/1,5·109[Hz] = 0,2 m = 20 cm
Większe dokładności pozycjonowania wymagają pomiaru fazy fali nośnej
GPS i teorie względności Algorytm (metoda) wyznaczania położenia i czasu, czyli jak pozycjonuje GPS?
Podsumowanie
Położenie obiektu jest wyznaczane
w oparciu o dane przesyłane do
odbiornika z co najmniej 4 satelitów.
Konieczna jest bardzo precyzyjna
znajomość (efemeryd) położenia 4 satelitów
i czasów wysłania przez nie sygnałów
elektromagnetycznych.
GPS i teorie względności
GPS odmierza czas z dokładnością
4•10-9 sekundy na dobę!
DLACZEGO?Szybkości (tempa) upływu czasu na zegarach satelitarnych i ziemskich
nie są sobie równe!!! Różnice te ― podczas jednej doby ―
osiągają wartość kilkudziesięciu
mikrosekund!!!
GPS i teorie względności
GPS odmierza czas z dokładnością 4•10-9 sekundy na dobę!
Niepewność 1 mikrosekundy pomiaru czasu
w przeliczeniu na odległość daje wartość niepewności położenia 300 m.
Niepewność 10 mikrosekundy pomiaru czasu
w przeliczeniu na odległość daje wartość niepewności położenia 3 km.
Takie rozbieżności czyniłyby GPS bezużytecznym!
GPS i teorie względności
Widoczna jest konieczność bardzo dokładnej
synchronizacji zegarów satelitarnych i naziemnych?
Jakie są przyczyny nierównego tempa upływu czasu na zegarach satelitarnych i ziemskich?
Ile wynoszą rzeczywiste różnice czasu?
Jak je wyznaczamy?
Jak zostały uwzględnione przez projektantów GPS?
GPS i teorie względności
Efekty teorii względności Einsteina
1. Pole grawitacyjne wpływa na tempo upływu czasu
Przestrzenne rozdzielenie zegarów atomowych na
powierzchni Ziemi i na orbitach powoduje, że
zegary atomowe na powierzchni Ziemi idą
wolniej, tj. spóźniają się względem satelitarnych
― znajdują się w silniejszym polu grawitacyjnym,
które spowalnia tempo upływu czasu
GPS i teorie względności
Efekty teorii względności Einsteina
2. Ruch zegara wpływa na tempo upływu
mierzonego przez niego czasu — zegary
atomowe orbitalne i ziemskie są w ciągłym
ruchu, co powoduje, że zegary satelit idą
wolniej, tj. spóźniają się względem zegarów
ziemskich, spoczywających w ECFC
GPS i teorie względności
Efekty teorii względności Einsteina
3. Efekt Sagnac’a — dobowy ruch obrotowy
Ziemi oraz ruch orbitalny satelitów; wnoszą
niepewności pomiaru czasu rzędu 200 ns
(na dobę)
4. Efekt grawitomagnetyczny — dobowy obrót
pola magnetycznego Ziemi, wpływa na tempo
upływu czasu; poprawki są rzędu pikosekund
(10-12 sekundy) na dobę i są do zaniedbania!
GPS i teorie względności
Efekty teorii względności — zajmiemy się
oszacowaniem wpływu dwóch pierwszych ―
1) pola grawitacyjnego,
2) ruchu zegarów
na tempo upływu czasu.
Przywołamy slajd wyświetlony wcześniej
GPS i teorie względnościNajważniejsze przesłania wykładu
Tempo upływu czasu zależy od pola grawitacyjnego i prędkości obiektu (satelita, odbiornik GPS)
czas własny satelity
masa Ziemi
stała grawitacji
potencjał pola
grawitacyjnego Ziemi
odległość od
środka Ziemi
prędkość
satelity
GPS i teorie względnościSzacowanie wartości grawitacyjnego przesunięcia dla zegarów nieruchomych
(1-x)1/2 ≈ 1-x/2; RS = 26,6 tys. km; dZ= GMZ/(RZc2) = 6,95•10-10
i ds. = GMZ/(RSc2) = 1,67•10-10, otrzymujemy
( ) ,1122
1d
d22
S
Z DddcR
GM
cR
GM
f
fu
SZ
S
Z
Z
Z
Z
S−=−−=+−===
τ
τ
gdzie D=(dZ— ds)>0. Zatem u<1, zegar na Ziemi spóźnia się!
Stosunek częstości zegara na orbicie i na Ziemi fS/fZ=1 — D<1.
Innymi słowy sygnał wysłany z satelity o częstotliwości fS
odbierany na powierzchni Ziemi ma częst. fZ= fS/(1-D)> fS.
Częstotliwość sygnału rośnie
Czas na orbicie płynie szybciej!!!!
Przesunięcie ku fioletowi!!!
GPS i teorie względności
O ile w ciągu doby spieszą względem ziemnych zegary na orbicie?
Zegary na orbicie spieszą się
względem ziemnego, które idą wolniej.
Tempo upływu czasu jest na orbicie większe, bo
TZ/TS = fS/fZ = 1 — D < 1, gdzie D= 5,28•10-10.
W ciągu doby różnica we wskazaniach zegarów
osiąga wartość
∆t= D·3600 ·24 s = 45 600 ns = 45,6 mikrosekund.
W tym czasie światło przebywa odległość
∆l = 13 690 m, tj. ponad 13,5 km
GPS i teorie względnościJakiego rzędu są efekty kinematyczne?
Uwzględniamy tylko ruch zegara ziemskiego i satelitarnego
vS
= 3 874 m/s, vZ
= 465 m/s; (1-x)1/2 ≈ 1-x/2
( ) ,12
11
221
d
d 22
22
2
2
2
S
Z
Z
S Bvvcc
v
c
v
f
fu
ZS
SZ+=−+=+−===
τ
τ
i B=8,2·10-11>1, zegar na Ziemi spieszy się! Stosunek częstości
zegara na orbicie i na Ziemi fS/fZ=1 + B >1. Innymi słowy
sygnał wysłany z satelity o częstotliwości fS odbierany na
powierzchni Ziemi ma częst. fZ= fS/(1+B) < fS.
Częstotliwość sygnału maleje
Czas na orbicie płynie wolniej!!!!
Przesunięcie ku czerwieni!!!
( ) 02
1 22
2>−=
ZSvv
cB
GPS i teorie względności
O ile w ciągu doby spieszą względem ziemnych zegary na orbicie?
Zegary na Ziemie spieszą się
względem orbitalnego, które idą wolniej.
Tempo upływu czasu jest na orbicie mniejsze, bo
TZ/TS = fS/fZ = 1 + B > 1, gdzie B= 8,2·10-11.
W ciągu doby różnica we wskazaniach zegarów
osiąga wartość
∆t= B·3600 ·24 s = 7 804 ns = 7,1 mikrosekund.
W tym czasie światło przebywa odległość
∆l = 2 130 m, tj. ponad 2 km
GPS i teorie względności
Jakiego rzędu są wspomniane 2 efekty relatywistyczne?
Wypadkowa różnica czasu na zegarze ziemskich i
satelitarnym (efekt przesunięcia częstości ku fioletowi i czerwieni)
jest rzędu ∆t ≈39 000 ns = 39 mikrosekund.
W rezultacie zegar atomowy na orbicie spieszy względem ziemnego
(idzie szybciej) o 39 mikrosekund na dobę.
W tym czasie światło przebywa
odległość ∆l = 11 700 m ≈ 12 km.
.112
2
2
21
2
2
22
2
2>+−=++−−= BD
c
v
cR
GM
c
v
cR
GMS
S
ZZ
Z
Z
S
Z
d
d
τ
τ
GPS i teorie względności
Jakiego rzędu są wyniki końcowe podejścia uwzględniającego wymienione efekty?
Wypadkowa różnica czasu na zegarze ziemskich i satelitarnym jest rzędu ∆t= 38580 ns/24 h =38,58 mikrosekund na dobę.
Oznacza to, że zegar atomowy satelity spieszy się względem ziemnego
(idzie szybciej) o 38,58 mikrosekund na dobę.
Jak rozwiązano technicznie ten problem w GPS?Nominalna częstotliwość pracy systemu wynosi 10,23 MHz.Zmniejszono więc częstotliwość pracy zegarów satelitów do wartości
( ).MHz43995999229,10
MHz23,10104647,4110
=
=××−−
GPS i teorie względności Udokładnianie GPSa
W celu udokładnienia pomiaru czasu (oprócz przesunięcia
częstości ku fioletowi i czerwieni) i zwiększenia
dokładności pozycjonowania GPS, używa się bardziej
zaawansowanych metryk przestrzeni okołoziemskiej
uwzględniających:
� efekt Sagnaca,
� rzeczywisty kształt Ziemi, która nie jest idealną kulą,
� dynamikę pola grawitacyjnego i magnetycznego Ziemi
wynikającego z jej ruchu obrotowego względem osi
północ-południe.
GPS i teorie względnościMożliwe zastosowania
1. Rodzice są informowani na bieżąco (on line), gdzie przebywają ich niepełnoletnie lub pełnoletnie dzieci. I odwrotnie!
2. Żona (mąż) monitoruje (on line) poczynania męża (żony).
3. Uczniowie, studenci wiedzą czy nauczyciel/nauczycielka lub pani/pan profesor przyjdzie lub nie na lekcję lub wykład.
4. Członkowie GOPR są natychmiast
informowani o zejściu lawiny i dokładnym miejscu położenia przysypanych turystów.
5. Prezydent RP monitoruje na bieżąco wyjazdy
ministra spraw zagranicznych rządu Najjaśniejszej.
6. Dyktator niedemokratycznego państwa śledzi ruchy
przeciwników politycznych. I vice versa.
7. Pociski rakietowe (np. balistyczne, typu Patriot itp)
wysłane przez państwo/organizację X trafiają ze 100% skutecznością w cel. A innego/innej nie!
GPS i teorie względnościMożliwe zastosowania
8. Bezzałogowe samoloty transportują ludzi.
9. Przestępcy, recydywiści, pedofile są monitorowani; nie mają możliwości zbliżania się do swoich ofiar lub świadków przestępstwa.
10. Kurator sądowy (PC) śledzi na bieżąco, ruchy swoich podopiecznych.
11. Nie ma spornych problemów o miedzę (Sami Swoi, Kargul podorał miedzę i zawłaszczył nieco
ziemi Pawlaków).
GPS i teorie względnościMożliwe zastosowania
12. Polacy nie giną masowo w wypadkach drogowych. Ruch drogowy jest bezkolizyjny. Firmy ubezpieczające kierowców i pasażerów od następstw nieszcześliwych wypadków drogowych i odpowiedzialności cywilnej znikają z rynku i bankrutują.
Nie zdajemy egzaminów na prawa jazdy?!
GPS i teorie względnościMożliwe zastosowania
Czy w niedalekiej przyszłości
może istnieć takie społeczeństwo?
GPS i teorie względnościMożliwe zastosowania
GPS i teorie względności
Stwierdzenia końcowe
Funkcjonalność GPS i każdego innego SSP oparta
jest na z synchronizowanej pracy systemu
zegarów atomowych, które mierzą czas z
dokładnością do nanosekund na dobę, co ze
względu na ogromną prędkość fal
elektromagnetycznych zapewnia precyzyjne
pozycjonowanie obiektów na powierzchni Ziemi,
morzach i oceanach, w powietrzu i w wodach.
GPS i teorie względności
Stwierdzenia końcowe
GPS i każdy inny SSP funkcjonuje dzięki temu,
że superdokładne pomiary czasu na odległych
i ruchomych zegarach atomowych są w trybie
ciągłym korygowane z uwzględnieniem
przewidywań teorii względności
Alberta Einsteina!
GPS i teorie względności
GPS i każdy inny system satelitarnego
pozycjonowania działa efektywnie dzięki
temu, że jego pomysłodawcy, projektanci
i konstruktorzy uwzględnili
efekty przewidziane
teorią względności
Alberta Einsteina!
GPS i teorie względności
GPS XXI wieku
SYPOR (GALILEO) System POzycjonowania Relatywistecznego (GALILEO)
Podsystem naziemnych stacji kontrolnych będzie przeniesiony w przestrzeń kosmiczną.
Układem odniesienia
(układem współrzędnych)
będzie układ satelitarny!
GPS i teorie względnościOptical cloks (Optyczne zegary)
http://physicsweb.org/articles/world/18/5/8/1#PWopt4_05-05
Encyclopedia of Laser Physics and Technology
http://www.rp-photonics.com/optical_clocks.html
Przyszłe SSP będą
mierzyły czas
za pomocą
zegarów optycznych
z dokładnością
do 10-12 sekundy
(pikosekund)
na dobę!
Pozwoli to
pozycjonować
obiekty na Ziemi
i w przestrzeni
okołoziemskiej
z co najmniej
centymetrową
dokładnością!
GPS i teorie względności Satelitarne systemy pozycjonowania
Czym jest/będzie GALILEO, SSP?
System operacyjny:
• wykonujący − określone specyfikacją
techniczną − usługi dla użytkowników
systemu,
• zapewniający ciągłość i niezawodność
usług.
GPS i teorie względnościSatelitarne systemy pozycjonowania
Po co buduje się SSP? Do czego służą?Dlaczego wydaje się mld €/$ na ich uruchomienie
i funkcjonowanie? Koszt Galileo to ponad 3,5 mld €.
Cele
1. Poznawczy − dokładne określenie kształtu
i struktury Ziemi, zmian w czasie jej kształtu
i struktury, co wpływa na właściwości pola
grawitacyjnego, tj. przestrzeni okołoziemskiej .
2. Praktyczny − możliwie dokładne określenie położenia
obiektu w czasie i przestrzeni, co jest kluczowym
elementem technologii przyszłości.
GPS − Albert Einstein na orbicie okołoziemskiej.
GPS a teoria względności Alberta Einsteina
W celu udokładnienia pozycjonowania
przez GPS wzbogacono go o tzw.
różnicowy GPS (Differential GPS) oraz
system referencyjnych stacji naziemnych,
co umożliwia określenie położenia
z dokładnością rzędu metrów!
GPS i teorie względności Jak pozycjonuje GPS?
Korekty
Kwestią najważniejszą jest
dokładny pomiar czasu. GPS
wyznacza czas potrzebny fali na
przebycie drogi od satelitów do
odbiornika uwzględniając m.in.:
� różne wartości prędkości
rozchodzenia się fal
elektromagnetycznych w warstwach
atmosfery,
�teorię względności A. Einsteina
GPS i teorie względności Jak pozycjonuje GPS?
Korekcja odległości
Korekta wyznaczonych wartości odległości uwzględnia
strukturę atmosfery ziemskiej
Prędkość fal elektromagnetycznych jest stała w ośrodku
jednorodnym (np. w próżni). Fale elektromagnetyczny z
satelity docierają do odbiornika GPS poprzez przestrzeń
okołoziemską przechodząc po drodze przez jonosferę
(obszar zjonizowanych cząsteczek gazu) oraz przez
troposferę, w której zawarta jest para wodna. Powoduje
to określone niepewności w „pomiarze” odległości.
GPS i teorie względności Jak pozycjonuje GPS?
Korekcja odległości
Niepewności dotyczące prędkości fal
elektromagnetycznych są uzględniane
i na podstawie przyjętych modeli
jonosfery oraz troposfery są wyznaczane
stosowne poprawki/korekty odległości
d1, d2, d3 i d4
dzielących obiekt od 4 lub większej liczby
satelitów.
GPS i teorie względności
GPS odmierza czas z dokładnością 4•10-9 = 4 nanosekundy na
dobę. Co to praktycznie oznacza?
Doba ma 24 • 3600 • 109 = 8,64 • 1013 nanosekund ≈ 1014 ns.
Niepewność względna pomiaru czasu wynosi
Oznacza to, że pomiar wielkości 1014 wykonano z dokładnością do 5.
Niepewność względna wyrażona w procentach wynosi (5•10-12)%
100105105104,63108,64
4121414
13⋅⋅=⋅≈⋅=
⋅
−−−
GPS i teorie względności
DLATEGO, żeefekty przewidziane przez A. Einsteina są rzędu
setek i tysięcy nanosekund!
Szybkości (tempa) upływu czasu na zegarach satelitarnych i ziemskich
nie są sobie równe!!!
GPS i teorie względności
Metryka Schwarzschilda
,2
12
2
2
2
c
v
ctc
s−
Φ+=
d
d
gdzie Φ = G MZ /r jest potencjałem Newtona pola
grawitacyjnego Ziemi, t czasem mierzonym w inercjalnym
układzie odniesienia umieszczonym w nieskończoności,
ν prędkością styczną obiektu na orbicie kołowej; ds to
przedział czasoprzestrzenny, c − prędkość światła.
GPS i teorie względności
Zastosujemy metrykę Schwarzschilda dwukrotnie, tj. do zegara na
powierzchni Ziemi i na orbicie; z otrzymanych wyrażeń tworzymy iloraz
gdzie τZ (τS) to czas mierzony na Ziemi (satelicie), MZ —masa
Ziemi, RZ (RS) — promienie trajektorii kołowych zegara na
powierzchni Ziemi (na orbicie); G − stała grawitacyjna;
dokładność ilorazu i tym samym GPS jest rzędu O(1/c2)
,2
1
21
2
2
2
2
2
22
c
v
cR
GM
c
v
cR
GM
S
S
Z
Z
Z
Z
−−
−−
=
S
Z
d
d
τ
τ
GPS i teorie względnościJakiego rzędu są efekty kinematyczne?
Przesunięcie kinematyczne częstości w stronę czerwieni.
Uwzględniamy tylko ruch zegara ziemskiego i satelitarnego
vS
= 3 874 m/s, vZ
= 465 m/s; (1-x)1/2 ≈ 1-x/2
( ) ,12
11
221
d
d 22
22
2
2
2
S
Z
Z
S Bvvcc
v
c
v
f
fu
ZS
SZ+=−+=+−===
τ
τ
i B=8,2·10-11. Oznacza to, że stosunek częstotliwości zegara na
orbicie i na Ziemi wynosi fS/f
Z=1 + B>1. Zegary atomowe na orbicie
spóźniają się (idą wolniej); czas na zegarach szybciej poruszających
się idzie wolniej!
Przesunięcie ku czerwieni!
( ) 02
1 22
2>−=
ZSvv
cB
GPS i teorie względności
Jakiego rzędu są efekty relatywistyczne?
Przesunięcie ku czerwieni powoduje, że zegar na
orbicie spóźnia się względem ziemskiego (idzie
wolniej), bo fS/fZ=1 + B>1.
W ciągu doby różnica we wskazaniach zegarów
osiąga ∆t= 7 100 ns =7,1 mikrosekundy.
W tym czasie światło przebywa odległość
∆l = 2 130 m ≈ 2 km.