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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
TEMA 7
INTRODUCCIÓN A LASMÁQUINAS
HIDRAULICAS
HIDRAULICA APLICADACódigo 325
3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Curso 2004/05
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1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas
1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos1.2.1.- Introducción: generalidades
1.2.2.- Algunos tipos de bombas
1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler
1.4.- Altura teórica aportada por una bomba
1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas
ANEXOS
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1.1.- Introducción a las Bombas Centrífugas
Este es el esquema típico de un bomba centrífuga.
EntradaCaudal
SalidaCaudal
Brida deAspiración
Brida deImpulsión
El sistema de funcionamiento esbastante sencillo. El caudal entra a la bomba através de la brida de aspiración. Pasa a través delrodete, dispositivo con aspas que se mueve sobre
su eje gracias al motor al que está acoplado. Elrodete le comunica energía centrífuga al fluido,siendo expulsado hacia la voluta, especie decaracol que recoge el caudal que sale del rodete,el cual lo conduce hacia la brida de impulsión,
salida de la bomba.
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EntradaCaudal Eje
SalidaCaudal
Esquema de una bomba centrífugamonobloc típica.
Motor: Eléctrico o Diessel
Rodete
Motor: Eléctrico o Diessel
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Veamos que hace la bomba de forma breve: El fluido entra por la brida de impulsión, y sale por lade aspiración. Si aplicamos Bernoulli:
imp imp imp bomba asp asp asp z g V p H z g V p ++=+++.2.2
22
γ γ
Dasp
Dimp
Qentrada
Qsalida
∆z[ ]asp imp asp imp asp imp
bomba z z g
V
g
V p p H −+
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
.2.2
22
γ γ
La diferencia de cotas entre laentrada y la salida es muy pequeña,y casi la podemos despreciar
0≈
Obviamente el caudal a la entrada es el mismoque a la salida, y si los diámetros de aspiración eimpulsión son parecidos, las velocidades delfluido en esos puntos también lo serán, por lo quela diferencia la podríamos despreciar en un primer momento.
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
g
V
g
V p p H asp imp asp imp
bomba .2.2
22
γ γ
0≈bomba
asp imp H p p
+=γ γ
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O lo que es lo mismo, toda la energía de bombeo, o energía que entrega labomba al fluido, éste lo invierte, o la almacena, en forma de presión a la
salida de la bomba.
bomba asp imp H
p p +=
γ γ
Por tanto, las bombas lo que hacen es aumentar la energía en forma de presión del fluido.Consumen Energía de la red, energía eléctrica normalmente, y entregan energía al fluido, el cual laalmacena en forma de presión.
Energíaconsumidade la red
Perdidasen el motorEléctrico
PerdidasMecánicas( en el eje )
Perdidas Hidráulicas( Rozamiento,turbulencias, Choques,etc.. )
Energía
Hidráulica ÚtilEntregada alFluido
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¿ Cuál es la potencia
necesaria para elevar ellíquido de la tubería ?
( ) H Q H AV P AV F V P imp h imp imp potencia ........ γ γ ====
Por tanto, la potencia útil que posee el fluido a la salida de la bomba será: H Q P util ..γ =
La potencia eléctrica que toma de la red será ( si el motor es trifásico ): ϕ cos...3 I U P electrica =
Así, el rendimiento de la bomba, será la relación entre la potencia útil que le entregamos al fluido y lapotencia eléctrica que tomamos de la red, y que pagamos:
electrica
útil P
P =η
η
γ H Q
P electrica
..
=Es decir, la potencia consumida por la bomba será:
Donde el rendimiento será un parámetro de la bomba que el fabricante nos dará en forma de curva,en función del caudal que trasiega.
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De forma preliminar vamos a intentar entender el comportamiento de la bomba. Supongamosque no existen ningún tipo de pérdidas en la bomba. Así toda la energía que extraemos de la red se la
comunicamos a la bomba. Esto es debido a que el motor eléctrico mantiene las rpm constantes, por tanto,la energía disponible para el fluido se mantiene de alguna manera constante. Si pasa poco líquido, laenergía que le daremos al fluido por unida de volumen será mayor que si pasa mucho fluido por la bomba.Por tanto, es de esperar que el comportamiento de la bomba sea de una forma parecida a esta:
Si por la bomba pasa Q1, la bomba le da energíaal fluido el cual la almacena en forma de presión,
correspondiéndole una altura H1, si pasa máscaudal, Q2, la misma energía se reparte entremás y por tanto, a cada unidad de caudal lecorresponde menos energía, por lo que laenergía almacena es menor, y por tanto sale de
la bomba con menos presión ( altura ), H2.
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La bomba no sabe cuanto caudal ha de trasegar, quien marca el caudal es la instalación sobrela que va montada la bomba. Supongamos que tenemos la instalación de la figura
Curva Resistiva de la Instalación, HA
La bomba si la colocamos es la instalación
anterior, tendrá su punto de funcionamientoen H0,Q0. Que como vemos depende de lafricción, la válvula y la cota.
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Matemáticamente esto se expresa como:
Curva Motriz2
.. Q C Q B AH bomba ++=Curva Resistiva de la instalación.22 .. Q r Q r Z H valvula fricción A ++∆=
Así, si queremos un caudal en concreto, lo que hemos de hacer es variar la curva
resistiva, y para eso está la válvula que en función de su grado de abertura introducirá una resistenciau otra. Así, si por ejemplo cerramos la válvula aumentando la resistencia hidráulica de la misma, elsistema reducirá el caudal, Q1, y aumentando la altura, H1, que proporciona la bomba.
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Partes principales de las Bombas Centrífugas
ImpulsiónDifusor
Impulsión
Aspiración
Aspiración
RodeteCámara Espiral o Caracol o Voluta
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Rodete
Voluta oCaracol
Linea de flujo
Punto de entrada al rodeteBOMBA CENTRÍFUGA SIN DIFUSOR
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EL aumento de energía se refleja a la salida del rodete como un aumento del momento cinético. SI queremoscomunicar mucha energía al fluido, y por tanto una mayor presión, la velocidad absoluta a la salida del rodete
será muy grande. Al pasar este fluido con alta velocidad por la voluta, se producirán muchas perdidas de energíapor fricción ya que estas dependen de la velocidad al cuadrado. Para evitarlo, se coloca entre el rodete y lavoluta unos álabes fijos que reducen la velocidad de salida aumentando la presión ( transforma energía cinéticaen potencial, no se pierde ), con lo que se reduce las perdidas posteriores en el paso por el caracol.
DIFUSOR
RODETE
CARACOL
CARCASAIMPULSIÓN
ASPIRACIÓN
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1.2.- Clasificación de las máquinas de fluidos
1.2.1.- Introducción: generalidades
Las bombas son máquinas de fluidos, es decir, dispositivos que transforman energía:• TURBINAS : Máquinas de fluidos absorben energía del fluido que trasiegan.
• BOMBAS : Máquinas de fluidos que comunican energía al fluido que trasiegan.
La primera gran clasificación de las máquinas de fluidos es atendiendo a su principio de funcionamiento:
• MÁQUINAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO: Máquinas en las que el fluido es trasegado de formadiscreta, es decir, el fluido se encierra en un volumen, desde la aspiración hasta la descarga, aplicándole
una serie de trasformaciones trasformación.
• TURBOMÁQUINAS: Máquinas en las que el intercambio de energía es debido a la variación del
momento cinético al pasar por la máquina. El intercambio se hace de forma continuo.
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Otra gran división en la clasificación de las máquinas de fluidos será atendiendo al tipo de fluido
que trasiegan, y sobre todo, a variación de la densidad del fluido en el interior de la máquina. Así podemosdistinguir:
• Máquinas Hidráulicas: El fluido no experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina.
Bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas
• Máquinas Térmicas: El fluido experimenta cambios en su densidad en su paso por la máquina
Turbinas de vapor y gas, turbocompresores
Así, nosotros dedicaremos la mayor parte de nuestro tiempo a las TURBOBÓMBASHIDRÁULICAS, algo de tiempo a las BOMBAS HIDRÁULICAS DE DESPLAZAMIENTO POSITIVO, y sólose comentará el funcionamiento y principales aplicaciones de las TURBINAS HIDRÁULICAS. Lo relativo alas TURBINAS TÉRMICAS queda fuera del ámbito de esta asignatura.
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• Descripción general de una Bomba
1. Parte eléctrica: Motor y conexiones.
Motor de inducción o de jaula de ardilla, de potencia superior a lasolicitud más desfavorable.
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2.- Parte mecánica: Eje y rodamientos y sellos.
– Muy simplificada al tratarse de un equipo compacto.
– Eje y rodamientos sometidos a menos esfuerzos.
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• Sellos: es vital en una bomba sumergible.
• El más apropiado es la junta mecánica.
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2.- Parte mecánica: Cámara de aceite para la lubricación y refrigeración de la junta mecánica.
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3.- Parte Hidráulica: Voluta, impulsor y anillos de desgaste.
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Existen muchas formas de clasificarlo
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A parte de esta existen un gran número declasificaciones alternativas. En la literaturaanglosajona es muy común este tipo declasificación, en la que se llaman bombasdinámicas o cinemáticas a las turbobombas,
y se llaman bombas centrífugas al conjuntode bombas radiales, centrífugas yhelicocentrífugas
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1.2.3.- Clasificación de las turbobómbas hidráulicas
Existe una gran cantidad de clasificaciones para las bombas hidráulicas. La más popular es la que lasclasifica en función de la dirección del fluido en el rodete:
Radial o Centrífugo Helicocentrífugo o Mixo
• RADIAL o CENTRÍFUGA:
Toda partícula de fluido recorre una
trayectoria situada en un plano normal aleje de giro.
• AXIAL:
Las partículas recorren trayectoriassituadas en superficies cilíndricascoaxiales al eje de giro
• HELICOCENTRÍFUGAS:
Las partículas recorren trayectoriassituadas sobre superficies cónicas o de
revolución no desarrollables
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CentrifugaRadial
Axial
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Radial
Axial
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• Cámara Seca:
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Cámara Seca:
• VERTICAL
• HORIZONTAL
• Sumergibles
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Sumergibles
1.- De pozo profundo. 2.- De Voluta. 3.- De hélice.
• Sumergibles: De pozo
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• Sumergibles: De pozo
1.- De eje largo. 2.- De motor
sumergible
• Sumergibles: Con Voluta
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• Sumergibles: Con Voluta
1.- De motor exterior. 2.- De motor sumergible:
• Sumergibles: de Hélice
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Sumergibles: de Hélice
1.- De motor exterior.
2.- De motor sumergible:
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34HIDRAULICA APLICADA
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• Según el tipo de eje:
• MONOBLOC: Cuando el eje es único para el motor y la bomba• DE EJE LIBRE: Cuando la bomba y el motor tiene su propio eje, y se unen mediante algún
mecanismo para que la bomba sea arrastrada por el motor.
Eje Libre
Acoplamiento
entre ejes
Monobloc
Eje Común
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• Según el Número de rodetes:
• MONOCELULAR ( monostage ): Cuando sólo tiene un rodete• MULTICELULAR ( multistage ): Cuando tiene una serie de rodetes acoplados.
Múltiples
rodetes
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Múltiples rodetes
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• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :
• Abierto• Semi-abierto
• Cerrado
• Según la configuración del conjunto álabes-discos externos que constituyen el rodete ( impeller ) :
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38HIDRAULICA APLICADA
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MONOCANALBICANAL
VORTEX ABIERTO
CORTADOR TIPOTORNILLO
1.3.- Teorema Fundamental de las Turbomáquinas o Teorema de Euler
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39HIDRAULICA APLICADA
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q
Podemos partir de la aplicación de la ecuación de conservación del momento angular para unos ejes fijos ( ver anexo A para su deducción )
( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vc vc A
otros C
erficie Ad V V r d V r dt d
T d g r F r GGGGGGGGGGG
ρ ρ ρ .
sup ..
( ) ( ) ( )∫ ×+∫ ×=∫ ×=ΣΣ 12
Ad V V r Ad V V r Ad V V r M vc A
ext GGGGGGGGGGGGG
ρ ρ ρ
Entendiendo el volumen de control como todo al rotedete, y simplificando, suponiendo la ausencia derozamiento con los álabes y estado estacionario, obtendremos:
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40HIDRAULICA APLICADA
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• El único par exterior al V.C. Será el par motor, Mmotor , necesario para mover el rodete con unavelocidad angular ω.
• Podemos suponer que la velocidad del flujo tanto a la entrada como a la salida del rodete esuniforme, es decir, no depende del punto del área en el que nos situemos.
Con estas dos suposiciones la ecuación anterior queda como:
( ) ( ) ∫×+∫×= ΣΣ 22
11ˆ. Ad V V r Ad V V r k M motor
GGGGGGGG
ρ ρ
Teniendo en cuenta los triángulos de velocidades:
Entrada:
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Entrada:
( ) ( )∫=∫=∫=∫
ΣΣΣΣ 1111
cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAV dAn V dAn V Ad V θ ρ θ ρ ρ ρ GGGG
r m Q v V dAV Ad V ....cos..cos.. 11111
ρ ρ θ ρ θ ρ ρ −=Σ−=Σ−=∫−=∫ΣΣ
GG
Salida:
( ) ( ) ( )∫=∫=∫=∫ΣΣΣΣ 2222
cos.1.cos.ˆ.ˆ. dAV dAn V dAn V Ad V θ ρ θ ρ ρ ρ GGGG
r m Q v V dAV Ad V ....cos..cos.. 12222
ρ ρ θ ρ θ ρ ρ =Σ=Σ=∫=∫ΣΣ
GG
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1221 ..)..().(ˆ. V r V r Q Q V r Q V r k M r r r motor GGGGGGGG
×−×=×+−×= ρ ρ ρ
Así, la ecuación anterior queda como:
Aplicando la definición de producto vectorial de dos vectores:
( )
( ) u
u
v r V r V r V r V r
v r V r V r V r V r
22222222
11111111
.cos..sin..sin..
.cos..sin..sin..
====×
====×
α θ θ
α θ θ GGGG
GGGG
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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Sustituyendo en la ecuación queda:
[ ]u u r motor v r v r Q k M 1122 ....ˆ. −= ρ TEOREMA DE EULER BÁSICO DELAS TURBOMÁQUINAS
La suposiciones que se han considerado son:
• No existen pérdidas hidráulicas en el rodete
• El rodete tiene un número infinito de álabes. O lo que es lo mismo todas las trayectorias de laspartículas en el interior del rodete están perfectamente guiadas y son idénticas
• El régimen es permanente• El flujo es incompresible
Vamos ahora a analizar un poco la expresión del teorema de Euler:
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[ ]u u r motor v r v r Q k M 1122 ....ˆ. −= ρ
Si nos fijamos en la velocidad del flujo, V, vemos que ésta sepuede descomponer en dos , una componente radial, vm, la cuales obvio que no producirá ningún tipo de par, ya que su línea deacción pasa por el centro de giro, y una componente vu ,
tangencial, la cual será la responsable del par producido.Se puede entender que el momento será proporcional a la distanciade aplicación, por tanto, queda claro que el momento creado sobreel fluido será proporcional a r.vu.
El motor de la bomba ha de proporcionar un par al fluidoproporcional a r 2.v2u, pero si el fluido a la entrada ya posee un par proporcional a r 1.v1u, el motor sólo tendrá que proporcionarle elresto, es decir la resta de ambas cantidades.
Qr es el caudal que circula por el rodete, es decir el caudal quetrasiega la bomba
[ ]u u v r v r 1122 .. −
[ ]
[ ] m N v r Q
m s
m kg m
s m
s kg
s m
m s
m
m
kg v r Q
u r
u r
....
..
........
22
2
3
322
=
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
ρ
ρ
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1.4.- Altura teórica aportada por una bomba
Del teorema de Euler, podemos extraer la potencia teórica de que la bomba ha de proporcionar:
[ ] [ ] [ ]u u r u u r u u r motor motor v u v u Q v r v r Q v r v r Q M P 112211221122 ................ −=−=−== ρ ω ω ρ ω ρ ω
La potencia comunicada al fluido en su paso por el rodete será:
¿ Cuál es la potencianecesaria para elevar ellíquido de la tubería ?
H Q H Av P
P Av v P h
.....
...
γ γ ==
==
∞∞ = ,, .. t t H Q P γ
[ ] ∞=−= ,1122 ...... t r u u r motor H Q v u v u Q P γ ρ
Sustituyendo:
[ ]g
v u v u H u u
t 1122
,.. −
=∞
ALTURA TEÓRICAPRODUCIDA POR UNABOMBA DE INFINITOSÁLABES
Como la mayoría de bombas están pensadas para que el flujo entre
de forma radial al rodete, es decir con = 90º , o lo que es lo mismov1u = 0, la altura teórica para esta bombas será:
g v u
H u t
22,
.=∞
Es evidente que los parámetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL por lo que sería
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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Es evidente que los parámetros que caracterizan una bomba son ALTURA y CAUDAL, por lo que seríaadecuado intentar encontrar una relación entre ambos parámetros.
2211 Σ=Σ=r
m
r
m
Q
v
Q
v El caudal es quien determina la componente radial vm de la velocidad V:
Mientras que la velocidad angular del rodete es quien marca lavelocidad tangencial u y por tanto la velocidad de arrastre.vu
60
...
60
.2..
60
.2. 2
222D N
r N
r u r N
r u π π
ω π
ω ===→==
222 cos. α v v u =
Si nos fijamos en la figura, el ángulo geométrico más físico es β2,ya que viene marcado por la curvatura de los álabes, y es fijo, porlo que es mejor trabajar con este ángulo que con α2 el cual varíaen función del caudal y la velocidad.
2222
222 cot. β
β g v u
tg v u v m
m u −=−=
w2
Sustituyendo en la ecuación de la altura:
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( ) ( )
r r
t
m m u t
Q g g D N
N D
g Q
g g D N D N
g H
g g v u
g u
g g v u u
g v u
H
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Σ−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ =
Σ−⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ =
−=−
==
∞
∞
2
2222
2
2
222
2,
22222222222
,
1cot60
...
60.
.1cot
60..
60..
.1
cot..cot...
β π π β π π
β β
r t Q B N AH .. 2, −=∞
Para una velocidad de rotación dada N0, podemos determinar en funcióndel ángulo de salida de las paletas lo siguiente:
r r t Q B g
u Q g g D N
g u H .1cot
60.. 22
2
2222, −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Σ
−=∞ β π
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
grados
c o t a n
β tg 1
β
N0 Régimen de Giro Nominal
Si β < 90º -> ctg β >0 -> B>0-> PENDIENTE NEGATIVA
si Qr aumenta, Ht Disminuye
Si β > 90º -> ctg β <0 -> B<0-> PENDIENTE POSITIVA
si Qr aumenta, Ht Aumenta
V l t i t ó i i d l fl id l b b L d l l
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Veamos que ocurre con la potencia teórica comunicada al fluido por la bomba. La podemos calcular como:
r r t r t Q B N AQ H Q P ....2
,, −== ∞∞ γ γ
Como se puede observar, sólo las bombas con los álabes con ángulo b2 <90º sonviables, ya que en el resto sería necesario motores de potencia infinita.
β 2
> 9 0 º
β 2 = 9 0 º
β 2 < 9 0 º
B
N AQ
Q B N AQ P
r
r r t
2
max
2,
.
...0
=
−==∞ γ
( )
22
.
0.2..
max2
max
2,,
,
r P r
r r
t t
Q
B N A
Q
Q B N A
Q
P MÁXIMAP
t ==
=−=
∂
∂→
∞
∞∞ γ
El caudal máximo que proporciona la bomba será:
El caudal que de la potencia máxima será:
1.5.- Derivación alternativa de la ecuación fundamental de las turbomáquinas
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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
q
Supongamos que el rodete está parado, y que por tanto el fluidoentra y sale de él con una velocidad w1 y w2 respectivamente.Aplicando el teorema de Bernoulli:
g
w p
g
w p
22
222
211 +=+
γ γ
Donde p es la presión a la entrada y salida del rodete.
SI el rodete se pone en marcha y gira con velocidad angular constante ω, lo que hará será añadir al fluido una
energía extra, E, derivada por la fuerza centrífuga en su camino desde 1 a 2.
g w p
E g
w p 22
222
211 +=++
γ γ
La fuerza centrífuga se puede determinar como: r m F m c ..2
, ω =
Así, el trabajo que realizará la fuerza centrífuga sobre una partícula que va de 1 a 2 estará determinado por:
2
.
2
.....21
22
21
2222
.
2
1
u u m
r r m dr r m W
r
r
Centr −
=−
=∫= ω ω
Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete esta
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Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete estaquieto, según Bernoulli tenemos que:
2
222
1
211
2222221
21111
2222221
21111
.2.2
..
.....2
1..
..
.....2
1..
.....21.......
21..
z g
w g p
z g
w g p
Q g
Q g z Q w w Ap
Q g
Q g z Q w w Ap
Q g z Q w w Ap Q g z Q w w Ap
r
r r
r
r r
r r r r
++=++
++=
++
++=++
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
Para una el fluido que circula entre dos álabes cuando el rodete estagirando con velocidad constante ω, según Bernoulli tendremos que:
2
222
21
22
1
211
222222
21
22
121111
222222
21
22
121111
.2.2.2
.......2
1
....
..2.....2
1
..
.....21
....2
.....21
..
z g
w g p
g u u
z g
w g p
Q g Q g z Q w w Ap
Q g Q
u u
Q g z Q w w Ap
Q g z Q w w Ap Q u u
Q g z Q w w Ap
r
r r
r
r r r
r r r r r
++=−
+++
++=
−
+++
++=−
+++
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ
ρ g p p
g u u
g w w 12
21
22
22
21
.2.2−
=−
+−Como usualmente z2=z1
p p u u w w 1221
22
22
21 −
=−
+−
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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
ρ g g g .2.2+
γ γ 2
2
2
2
21
2
1
2
1.2.2 p g u w p g u w +−=+−
.
.2
121
21 cte
p
g
u w =+
−
γ
ECUACIÓN DE BERNOULLI
GENERALIZADA
En el caso en en que existan pérdidas por fricción o por choques en el paso del fluido a través del rodetetendremos:
122
22
221
21
21
.2.2h
p g u w p
g u w
++−
=+−
γ γ Perdidas por fricción y choques enel rodete ( en m.c.a )
Ahora, teniendo en cuenta el triangulo de velocidades tendremos que:
( ) ( )
( )
α
α
α α α
α α α
α α
cos...2
cos...2
cos...2sincos.
sin.cos...2cos.
sin.cos.
222
222
22222
222222
222
v u v u w
v u v u w
v u v u w
v v u v u w
v v u w
−=−
−+=
−++=
+−+=
+−=
En el caso de perdidas despreciables en el interior del rodete ( h12 = 0 ):
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γ
α
γ
α 22222
211112
1
.2
cos...2
.2
cos...2 p
g
v u v p
g
v u v +
−=+
−
u v v 2cos. =α
g v u p
g v
g v u p
g v
p g v u v p g v u v
u u
u u
2222
21112
1
222
2
2111
2
1
.
.2
.
.2
.2 ..2.2 ..2
−+=−+
+−=+−
γ γ
γ γ
Según Bernoulli, este sumatorio es laenergía por unidad de peso que elfluido posee a la entrada del rodete
La energía por unidad de peso que elfluido posee a la salida del rodete
g
v u
g
v u p
g
v p
g
v u u 112212
122
2 ..
.2.2
−=+−+
γ γ
g v u v u
B B u u 112212
.. −=−
g v u v u
H u u t
1122,
.. −=∞
∞=− ,12 t H B B
Energía ganada por el fluido a supaso por el rodete
En el caso en que se consideren perdidas podemos determinar
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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
g
v u v u B B H u u
t
1122
12,
.. −=−=
∞
Si existe fricción en el rodete:
e ro t h B B H det12, −−=∞
Si queremos tener en cuenta tanto los efectos de fricción con el efecto producidopor un número finito de álabes, englobándolo todo en perdidas en el rodete:
∑−−= r z t h B B H 12,
Si se quiere tener en cuenta la existencia de perdidas en la boca de entrada delrodete antes de la sección 1 y las perdidas producidas después de la sección 2,
tanto en el caracol como en difusor, la altura útil creada por la bomba será:
∑−∑−∑−−=−= c d r ASPIRACIÓN IMPULSION u h h h B B B B H 12
A.1.- Relación entre las velocidades de una partículas tomadas respecto a unsistema de coordenadas fi jo y móvil
ANEXOS
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Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
k z j y i x r GG
.ˆ.ˆ. ++=De la geometría obtenemos:y definiendo:
dt
k d z
dt
j d y
dt
i d x v
dt
k d z
dt
j d y
dt
i d x k
dt
dz j
dt
dy i
dt
dx
dt
r d p
GG
GG
G
.ˆ
.ˆ
..ˆ
.ˆ
..ˆ.ˆ. +++=+++++=
r R X GGG
+=
dt r d
V dt r d
dt R d
dt X d
V ref
GG
GGGG
+=+==
Ahora podemos definir la velocidad de la partícula
referida al sistema fijo como: Donde es la velocidad del origen de coordenadas delmarco móvil.
ref V G
sistema de coordenadas fi jo y móvil
Donde es la velocidad de la partícula respecto del marco móvil
De la expresión anterior, que relaciona la velocidad de la partícula en los dos marcosde coordenadas, sólo que por averiguar una expresión para:
p v dt k d
z dt j d
y dt i d
x v V dt X d
V p ref
GGG
GG
.ˆ
.ˆ
. ++++==
dt
k d
dt
j d
dt
i d G
,
ˆ
,
ˆ
Cálculo de la derivada del vector unitario :i
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54HIDRAULICA APLICADA
Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Cálculo de la derivada del vector unitario :
Giro respecto al eje z con una velocidad angular wz :
i
( ) ( ) j
t j
t t i t t i
dt i d
z t t a debido z
ˆˆ).1(
limˆˆ
limˆ
00ω
θ
ω
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆∆
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆−+∆
=→∆→∆
Giro respecto al eje y con una velocidad angular wy :
( ) ( )k
t
k
t
t i t t i
dt
i d y
t t a debido y
ˆ)ˆ.().1(lim
ˆˆlim
ˆ
00
ω θ
ω
−=⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡
∆
−∆=⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡
∆
−+∆=
→∆→∆
Giro respecto al eje x con una velocidad angular w : No tiene ningún efecto sobre el
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55HIDRAULICA APLICADA
Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Giro respecto al eje x con una velocidad angular wx : No tiene ningún efecto sobre eleje x. Por lo que al combinarlos:
k j dt i d
y z ˆ.ˆ.ˆ
ω ω −=
Para los otros ejes: j i
dt
k d i k
dt
j d x y z x ˆ.ˆ.
ˆˆ.ˆ.
ˆω ω ω ω −=−=
( ) ( ) ( )k x y j z x i y z dt k d
z dt j d
y dt i d
x y x x z z y ˆ...ˆ...ˆ....ˆ
.ˆ
. ω ω ω ω ω ω −+−+−=++
G
( ) ( ) ( )k x y j z x i y z
z y x
k j i
r y x x z z y k y x ˆ...ˆ...ˆ...
ˆˆˆ
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω −+−+−==×G
r dt
k d
z dt
j d
y dt
i d
x
GG
G
×=++ ω .
ˆ
.
ˆ
.
Por tanto, resumiendo tenemos que: r v V V p ref GGGGG
×++= ω
Nota:
Velocidad de la
partícula p respectoC.Móviles
Velocidad del origen
del sistema deC.Móviles respecto aC . Fijas
Velocidad
angular delsistema C.Móviles
Vector Posición de la partícula Prespecto C. Móviles
Velocidad de la
partícula prespecto C.Fija
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rrvaaaG
GGGGGGGGG
×+××+×++ ωωωω2
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T e m a 7 :
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57HIDRAULICA APLICADA
Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
r r v a a a p p ref ×+××+×++= ω ω ω ω .2
(1) (2) (3) (4) (5) (6)(1) Aceleración rectilínea absoluta de una partícula relativa al marco dereferencia fijo
(2) Aceleración rectilínea absoluta del sistema de coordenadas relativa almarco de referencia fijo
(3) Aceleración rectilínea rectilínea de una partícula relativa al marco dereferencia en movimiento
(4) Aceleración de Corilolis debida al movimiento de una partícula dentro delmarco en movimiento
(5) Aceleración centrípeta debida a la rotación del marco en movimiento
(6) Aceleración tangencial debida a la aceleración angular dentro del marco enmovimiento
Sustituyendo esta aceleración en la expresión de la segunda ley:
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58HIDRAULICA APLICADA
Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
[ ] [ ]sysM
p M
p
M p
M p ref sys
M p p ref sys
dt p d
dm v dt d
dm dt
v d dm a dm r r v a F
dm r r v a a F
sys sys sys sys
sys G
GG
GGGGGGGGGG
GGGGGGGGGG
=∫=∫=∫=∫ ×+××+×+−
∫ ×+××+×++=
.....2
..2
ω ω ω ω
ω ω ω ω
Donde es la cantidad de movimiento relativo al marco de coordenadas en movimientop G
[ ]sys M
p ref sys
dt
p d dm r r v a F
sys
GG
GGGGGGGG
=∫ ×+××+×+− ..2 ω ω ω ω
Ahora, aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds:
( ) Ad v v d v t dt
p d
C C S
p p p
sys
GGGGG
∫ ∫+∀∂∂
=
∀. ..
.... ρ ρ
Se obtiene, con una pequeña modificación que:
[ ] ( ) Ad v v d v t
d r r v a F C C S
p p p C
p ref sys GGGGG
GGGGGGGG
∫ ∫+∀∂
∂=∀∫ ×+××+×+−
∀∀ . ...
.......2 ρ ρ ρ ω ω ω ω
A.3.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Fijo
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59HIDRAULICA APLICADA
Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
El momento Angular de un sistema homogéneo se define como:
Para un sistema genérico lo definiremos como:
El principio del Momento Angular para un sistema será:
Donde es el momento de torsión total sobre el sistema ejercido por lo alrededores
Normalmente las fuerzas de volumen son la gravedad, por lo que podemos escribir:
V r H KGG
×=
∀×=×= ∫∫∀
d V r dm V r H
C M sys
...
.
ρ KGKGG
sys sys dt
H d T
GG
=
sys T G
otros volumen erficie sys sys T F r F r F r T GGGGGGGG
+×+×=×= sup
( ) otros C
erficie sys sys T d g r F r F r T
GGGGGGGG
+∀×+×=×= ∫∀.sup .. ρ
Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el cálculo de la variación del
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60HIDRAULICA APLICADA
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∫∫ +∀=∀
vc vc A
sis Ad V d dt d
dt dN GG
ρη ρ η
sis m V r
GG
×=η
Aplicando el Teorema de Arrastre de Reynolds para el cálculo de la variación del
momento angular:
Ahora, introduciendo estas expresiones en la anterior:
( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀
vc vc A
sis Ad V V r d V r dt d
dt H d GGGGGGG
ρ ρ
( ) ( ) ( )∫∫∫ ×+∀×=+∀×+×∀∀ vc vc A
otros C
erficie Ad V V r d V r dt d T d g r F r
GGGGGGGGGG ρ ρ ρ
.sup ..
Se trata de un V.C fijo, y por tanto todas las velocidades y vectores sedeterminan respecto al sistema fijo
A.4.- La Ecuación de Cantidad de Movimiento Angular: V.C. Rotatorio
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61HIDRAULICA APLICADA
Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIALÁrea Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
Se va a desarrollar una formulación para un V.C que gira con el móvil, es decir, para
un sistema de referencia no inercial.
Para un sistema:
Si el origen de coordenadas del sistema móvil coincide
con el del sistema fijo:
( ) ∀×+=×+= ∫∫∀
d V r R dm V r R H C M sys
....
ρ KGKKGGG
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ×==→∀×=→= ∫∫
∀
dm V r dt d
dt H d
T d V r H R sys M sys
sys C
KGG
GKGGG..0
.
ρ
Como la masa de un sistema es fija, podemos introducir la diferencial dentro de la integral:
( ) dm dt V d
r V dt r d
dm V r dt d
dm V r dt d
T sys sys sys M M M
sys ∫∫∫ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×+×=×=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ×=
KGK
GKGKGG
( ) dm a r dm dt V d
r T dt r d
dt r d
V dt r d
dt r d
V dt r d
V V sys sys M M
sys R ref ∫∫ ×=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×=→=×=×→= ⎯ ⎯→ ⎯ +=
=
GGK
GGGG
GGG
GG
GGG 0
0
Utilizando la deducción del apartado anterior:
El producto vectorial de un vector por si mismo
siempre vale 0
Recordando la expresión de la aceleración deducida con anterioridad:
rrvaaaG
GGGGGGGGG
×+××+×++ ωωωω2
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( )dm r r v a r T sys M
p p sys ∫ ×+××+×+×=G
GGGGGGGGGω ω ω ω .2
r r v a a a p p ref ×+××+×++= ω ω ω ω .2
0, ya que coinciden ambos orígenes de coordenadas
( ) ( ) dm dt v d r dm a r dm r r v r T sys sys sys M
p
M p
M p sys ∫∫∫ ×=×=×+××+××−
K
GGGGGGGGGGGG
ω ω ω ω .2
sys M
p
M
p
dt
h d dm v r
dt
d dm
dt
v d r
sys sys
GGG
KG
=×=× ∫∫Que es la variación del momento angular
referido únicamente al sistema no inercial (móvil )
( ) otros
C
erficie sys T d g r F r T GGGGGK
+∀×+×= ∫∀.
sup .. ρ
Como:
Y utilizando el teorema de arrastre de Reynolds:
( ) ( )∫∫ ×+∀×=∀ vc vc A
p p p sis Ad v v r d v r
dt d
dt h d GGGGGGG
ρ ρ `
Sustituyendo:G
⎞⎛
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( ) ( ) dt
h d
dm r r v r T d g r F r sis
M p otros C erficie sys
GGGGGGGGGGGGG
=×+××+××−⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+∀×+× ∫∫∀ ω ω ω ω ρ .2...sup
Obtenemos que:
( ) ( )
( ) ( )∫∫
∫∫
×+∀×=
∀×+××+××−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +∀×+×
∀
∀∀
vc vc Ap p p
C
p otros
C
erficie
Ad v v r d v r dt d
d r r v r T d g r F r
GGGGGG
GGGGGGGGGGGGG
ρ ρ
ρ ω ω ω ω ρ
`
.2....
sup
Se trata de un V.C que gira en torno de un eje fijo,un sistema no inercial ( móvil y conaceleración ) y que coincide con el origen de coordenadas del sistema inercial ( fijo ), y por tanto todas las velocidades y vectores se determinan respecto al volumen de control, esdecir, sistema móvil.