LAS SERIES DE FOURIER
Y
EL DESARROLLO DEL ANALISIS EN EL SIGLO XIX
Fernando Bombal
Universidad Complutense de Madrid
Las Series de Fourier. Fernando Bombal
Las series trigonometricas surgieron en la Matematica en el siglo XVIII, en relacion
con el estudio de las pequenas oscilaciones de medios elasticos, pero como veremos, su
influencia fue decisiva en el desarrollo del Analisis a lo largo del siglo XIX. Es realmente
sorprendente la omnipresencia del tema en multitud de situaciones, de tal modo que puede
rastrearse su presencia como motivador de gran parte de los desarrollos mas importantes
acaecidos en este siglo, desde la evolucion de la nocion misma de funcion hasta el comienzo
de la topologıa o los numeros transfinitos, pasando por el desarrollo de las distintas nociones
de integracion. De ello trataremos en esta charla.
1.- El Problema de la Cuerda Vibrante.
A partir del desarrollo del Calculo en el siglo XVII, este se habıa convertido en la
principal herramienta para estudiar y modelizar la Naturaleza. La idea basica era repre-
sentar la evolucion de un fenomeno natural por medio de una ecuacion diferencial que
relacionaba las distintas magnitudes relevantes en el fenomeno. Esta ecuacion se obtenıa
a partir de un analisis del fenomeno a nivel infinitesimal, utilizando un reducido numero
de leyes naturales que se habıan ido descubriendo. Los fenomenos que podıan describirse
en terminos de una sola variable venıan ası regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias,
que relacionaban la funcion incognita con sus derivadas. Por ejemplo, la posicion y(t)
(en funcion del tiempo) de un punto material de masa m que se desplaza a lo largo de
una recta atraıdo por un centro atractivo O por una fuerza proporcional a la distancia al
centro, satisface la ecuacion diferencial
md2y
dt2= −ky (k constante > 0),
cuya solucion general es
y(t) = C1 sen ωt + C2 cos ωt, ω =
√k
m.
A lo largo del siglo XVII y la primera mitad del XVIII se habıan desarrollado consi-
derablemente los metodos de resolucion de este tipo de ecuaciones. Sin embargo, cuando
en el fenomeno estudiado dependıa de dos o mas variables significativas, su modelizacion
venıa dada por una ecuacion en derivadas parciales, mucho mas difıcil de tratar. Uno de
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
los primeros fenomenos estudiados fue el siguiente: Consideremos una cuerda tensa con
los extremos fijos en los puntos x = 0 y x = ` del eje Ox. Si desplazamos ligeramente la
cuerda de su posicion de equilibrio y la soltamos, oscilara un plano. Se trata de encontrar
la posicion u = u(x, t) que ocupara el punto de abscisa x en el instante t. En el caso de
un solo punto material, se trata del problema anteriormente ya citado de la oscilacion de
una masa atraıda por un centro atractivo.
Este problema fue abordado por Johann Bernouilli en 1727, considerando primero
la oscilacion de n masas iguales situadas equidistantes. Para el desplazamiento yk de la
k-esima masa, Bernouilli habıa obtenido la ecuacion en diferencias finitas
d2yk
dt2= a2(yk+1 − 2yk + yk−1),
donde a depende de la tension de la cuerda, de la masa total y de la distancia entre las
masas puntuales. Bernouilli resolvio esta ecuacion y considero el caso de la cuerda continua
haciendo tender n a infinito formalmente. De esta manera, obtuvo que, en cada instante
t, la cuerda toma una forma sinusoidal, solucion de la ecuacion d2ydx2 = −ky (con k funcion
del tiempo). Este resultado ya habıa sido obtenido en 1715 por J. Taylor.
En 1747, Jean le Rond D’Alembert, el famoso enciclopedista, se intereso por el
problema. A traves de un analisis infinitesimal y las leyes fısicas pertinentes, D’Alambert
obtuvo la ecuacion diferencial que rige el fenomeno, a saber:
∂2u
∂t2= a2 ∂2u
∂x2, (1.1)
donde a es una constante que depende de las caracterısticas fısicas de la cuerda y que, por
simplicidad, supondremos en lo que sigue igual a 1. A continuacion, tras unas ingeniosas
manipulaciones formales, consiguio obtener la integral general de la ecuacion (1.1) en la
forma
u(x, t) = Ψ(t + x)−Ψ(t− x)
siendo Ψ una funcion arbitraria. En un artıculo inmediatamente posterior (ambos
aparecieron en 1749), D’Alembert obtiene la solucion del problema de la cuerda vibrante
en terminos de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda y su velocidad inicial∂u∂t (x, 0) := g(x). A continuacion D’Alembert establece que las funciones f y g no pueden
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ser arbitrarias, sino que deben satisfacer ciertas condiciones. Esencialmente, D’Alembert
sostiene que, debido al metodo de resolucion, las funciones “admisibles” como valores ini-
ciales deberıan ser, por un lado, periodicas de periodo 2`, y por otro, suficientemente
“lisas”, debiendo verificar la ley de continuidad y una condicion geometrica que equivale,
en terminos modernos, a ser dos veces diferenciables (sin “picos”).
Un ano despues, en 1750, el gran Leonard Euler presenta el primero de los 15
trabajos que dedico a este problema, iniciando ası un debate que duro cerca de 50 anos
y en el que intervinieron la mayorıa de los grandes matematicos de la epoca. La solucion
de Euler no difiere tecnicamente de la de D’Alembert, aunque sı el metodo de deduccion.
Partiendo de la posicion inicial u(x, 0) := f(x) de la cuerda, obtiene geometricamente la
solucion en la forma
u(x, t) :=12f(t + x) +
12f(t− x).
Para Euler, esta ecuacion funcional describe totalmente el fenomeno fısico y, por tanto, no
supone restriccion alguna para f . Por tanto, puesto que podemos elegir arbitrariamente
la forma inicial de la cuerda (y Euler pone concretamente el ejemplo de una poligonal),
f puede ser totalmente arbitraria, e.d. “regular y contenida en una cierta ecuacion, o
irregular y mecanica.”
El problema subyacente en esta polemica estriba, en primer lugar, en la nocion misma
de funcion, que Euler y D’Alembert utilizaban con el mismo nombre, pero con significados
distintos. En general, la idea de funcion no habıa sido definida con claridad. Para los
matematicos del XVIII la nocion mas aceptada es la adoptada por el propio Euler en el
Capıtulo I de su famoso Introductio in Analysin Infinitorum, publicado en 1748:
Una funcion de una cantidad variable es cualquier expresion analıtica for-
mada con la cantidad variable y con numeros o cantidades constantes.
Una funcion esta sujeta a la ley de continuidad si puede expresarse en todo su dominio
por una sola expresion analıtica, siendo en otro caso discontinua. De modo que, para Euler,
funciones como
|x| :={
x, si x ≥ 0−x, si x < 0
son discontinuas.
Un poco mas adelante, Euler explicita la idea que tenıan todos los matematicos de que
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cualquier funcion admisible en matematicas podıa expresarse como una serie de potencias
con exponentes naturales, salvo en un numero finito de puntos a lo mas. A lo largo de
la obra, Euler fundamenta esta conviccion obteniendo los desarrollos en serie de una gran
cantidad de funciones.
La culminacion y sistematizacion de esta nocion de funcion se encuentra sin duda en
la monografıa Theorie des fonctions analytiques, publicado en 1797 por J. L. Lagrange
como libro de texto para sus alumnos de la Ecole Polytechnique, fundada pocos anos antes
para formar a las nuevas generaciones de tecnicos y cientıficos que debieran llevar a Francia
a la cabeza del desarrollo cientıfico e industrial despues de la Revolucion. En este libro que,
como orgullosamente declara su autor, presenta la teorıa de funciones y el calculo diferencial
‘‘liberados de toda consideracion acerca de infinitesimales, cantidades evanescentes, lımites
o fluxiones...”, Lagrange define de hecho una funcion por su desarrollo en serie de potencias
(aunque intenta dar una demostracion de la posibilidad de tal desarrollo), y las derivadas
sucesivas como los correspondientes coeficientes en el desarrollo en serie de la funcion.
Es esta nocion de funcion la que adopta y defiende D’Alembert en el debate sobre
la cuerda vibrante, junto con la postura mas ortodoxa sobre la utilizacion rigurosa de las
leyes del calculo.
Euler, por su parte, motivado por la naturaleza fısica del problema, defendıa que la
solucion obtenida era valida para cualquier funcion “arbitraria” (mecanica en su notacion,
para indicar una funcion cuya grafica esta “trazada al azar”). Este problema, junto con
otros de naturaleza geometrica, hicieron a Euler considerar su primera definicion de funcion
como demasiado restrictivo. Ası, en su Institutiones Calculi Differentialis da una nueva
definicion que, en sentido literal, no estarıa demasiado lejos de la concepcion moderna de
funcion:
“Si unas cantidades dependen de otras, de modo que si las ultimas cambian, lo
hacen tambien las primeras, se dice que las primeras cantidades son funciones
de las ultimas.”
No obstante, la idea actual de funcion como correspondencia arbitraria era sencilla-
mente extrana a Euler (y, en general, al pensamiento de la epoca). Simplemente, Euler
querıa senalar que podıan ser objeto de estudio en Matematicas funciones mas generales
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que las obtenidas por medio de una expresion analıtica concreta. Realmente, las funciones
admitidas por Euler como posicion inicial de la cuerda serıan lo que en lenguaje moderno
llamarıamos “funciones continuas, de clase C1 a trozos”. De hecho, las confrontaciones mas
intensas entre Euler y D’Alembert se referıan a la posibilidad de considerar como funciones
validas a las que tuvieran “picos” (como las poligonales a trozos), e.d., con derivada dis-
continua en algunos puntos. Euler admitıa las objeciones de D’Alembert desde el punto de
vista del rigor, pero defendıa la necesidad de encontrar nuevos instrumentos matematicos
para extender las leyes del calculo conocido a situaciones mas generales, justificados en todo
caso por la evidencia fısica del problema. Es de destacar la postura pionera de Euler en el
problema de las “soluciones generalizadas” de una ecuacion diferencial. Se trata, como en
el caso de la cuerda vibrante, de conciliar la evidencia empırica de que muchos problemas
que se modelizan a traves de ecuaciones diferenciales, tienen soluciones reales no regulares
desde el punto de vista matematico. Ya hemos senalado una de las posibilidades, adop-
tada por Euler: modificar el modelo matematico por otro que no exija restricciones tan
severas a las soluciones. Tambien Euler dio los primeros pasos en el metodo de las “solu-
ciones debiles”: Se trata de aproximar una funcion “mecanica” arbitraria f por funciones
regulares, obtener la solucion “clasica” (a lo D’Alembert) de (1.1) para estas funciones y
representar la solucion original como lımite (en algun sentido) de estas soluciones clasicas.
Uno de los intervinientes en el largo debate sobre la cuerda vibrante fue Daniel
Bernouilli, amigo de Euler y perteneciente a la conocida familia de matematicos de origen
suizo. Daniel Bernouilli era esencialmente lo que hoy llamarıamos un fısico matematico.
Por ello, los razonamientos fısicos primaban para el sobre los argumentos matematicos.
En consecuencia, retomando los argumentos de su padre Johann, propuso en 1753 que
la posicion general de la cuerda debiera obtenerse por superposicion (e.d., combinacion
lineal, eventualmente infinita) de las vibraciones elementales sinusoidales que su padre
habıa encontrado como solucion. Mas precisamente, propuso como solucion
u(x, t) = α(t) senπx
`+ β(t) sen
2πx
`+ γ(t) sen
3πx
`+ · · · (1.2)
En particular, la posicion inicial u(x, 0) := f(x) debiera poder expresarse como una serie
trigonometrica. Por supuesto, Bernouilli no dio ninguna indicacion sobre como calcular
los “coeficientes” α, β, γ, . . ..
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La solucion de Bernouilli fue rechazada por Euler por no ser lo suficientemente general.
Aunque reconocio la importancia de las observaciones de Bernouilli en el aspecto fısico
del problema, consideraba matematicamente inaceptable que cualquier funcion arbitraria
pudiera representarse por medio de una suma trigonometrica. Para Euler,
todas las curvas contenidas en esta ecuacion [se refiere a (1.2)] incluso cuando
aumentamos el numero de terminos hacia infinito, tienen ciertas carac-
terısticas que las distinguen de otras curvas.
Entre esas caracterısticas, Euler hace hincapie en la periodicidad. Un error tan evi-
dente (es obvio que lo relevante para el problema es lo que sucede en el intervalo [0, `]),
pone claramente de manifiesto la dificultad en asimilar la idea moderna de “dominio” de
una funcion, incluso por un hombre como Euler, protagonista de la transicion entre la
antigua teorıa de funciones y la nueva. Para Euler, como para todos sus contemporaneos,
una funcion se asocia siempre con la totalidad del dominio en el que “existe”. Otra de
las objeciones de Euler hacıa referencia a la determinacion de los coeficientes α, β, γ, etc.,
tarea que le parecıa “sin duda muy difıcil, por no decir imposible.”.
D’Alembert, por una vez, coincidio con Euler para rechazar la solucion de Bernouilli.
Incluso fue mas lejos, afirmando que ni siquiera cualquier funcion periodica podrıa repre-
sentarse por una serie trigonometrica.
En el fondo, como senalo H. Lebesgue en 1906, las objeciones de Euler y D’Alembert
tenıan un significado muy profundo. En efecto, si consideramos la posicion inicial de la
cuerda como una poligonal, resulta que una serie trigonometrica (que es una expresion
analıtica) representarıa una funcion lineal en un subintervalo de [0, `] y otra funcion li-
neal distinta en otro subintervalo; e.d., dos expresiones analıticas deberıan ser iguales en
un intervalo y desiguales en otro, lo que parecıa imposible. (¡Notese que para series de
potencias, esto es claramente imposible!).
2.- La teorıa de la transmision del calor y la resolucion de E.D.P.
La invencion de la maquina de vapor, base de la Revolucion Industrial, desperto el
interes por el desarrollo de una teorıa matematica de la conductividad del calor, mas tarde
concretada en la termodinamica. Varios matematicos y fısicos, como Laplace, Lavoisier,
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
Biot, et. realizaron investigaciones en este campo. En el ano 1811 el Institut de France
convoco un concurso cuyo objeto eral “proporcionar una teorıa matematica de las leyes de
propagacion del calor y comparar esta teorıa con experimentos.” El ganador del premio
fue el academico Jean B.Fourier. De familia modesta (era hijo de un sastre de Auxerre),
Fourier estudio en la Escuela militar de su ciudad natal, de donde llego a ser Profesor. Se
adhirio a las ideas de la Revolucion y participo activamente en la polıtica. Tras participar
como estudiante en la creacion de la Ecole Normale en 1794, paso a ser Profesor de la misma
y posteriormente de la Ecole Polytechnique. En 1798 participo, junto con Monge y muchos
otros cientıficos, en la expedicion de Napoleon a Egipto, y se convirtio en un admirador y
experto de la cultura egipcia. Regreso a Francia en 1801 y al ano siguiente fue designado
Prefecto del Departamento de Isere. En 1815, se traslado a Paris, dedicandose desde
entonces casi exclusivamente a su actividad cientıfica. En 1817 fue designado miembro de
la recien refundada Academia de Ciencias, de la que se convirtio en Secretario Perpetuo
en 1822.
Fourier, hombre comprometido con los problemas de su epoca, concebıa las
matematicas, y especialmente el analisis infinitesimal, como el instrumento fundamen-
tal para comprender la Naturaleza, domenarla y adaptarla a las necesidades del Hombre.
como dice claramente en el Discours Preliminaire,
Las causas primeras las desconocemos, pero estan sujetas a leyes simples y
constantes que pueden ser descubiertas por medio de la observacion. Este el
es objeto de la Filosofıa Natural...
Pero, una vez realizadas una serie de observaciones empıricas, es necesario obtener
un modelo del fenomeno en terminos matematicos, y mas precisamente, por medio de
ecuaciones diferenciales. “Este es el camino que hay que seguir para avanzar nuestro
conocimiento sobre la Naturaleza”. Vemos, pues, que Fourier es el paradigma de lo que hoy
llamarıamos un “matematico aplicado” (como lo eran la mayorıa de sus contemporaneos).
La motivacion para desarrollar teorıas matematicas “abstractas” (a las que, como veremos,
Fourier contribuyo en gran medida) debe ser siempre la obtencion de nuevas herramien-
tas que permitan resolver los problemas planteados por la observacion de la Naturaleza.
Tambien hay que destacar en Fourier su concepcion de la Ciencia como elemento esencial
del progreso de la Sociedad civil. En contrapartida, el rigor en el razonamiento no es lo
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mas importante.
Con estas premisas, no es de extranar que Fourier se interesara por la teorıa de la
transmision del calor. De hecho, habıa presentado una extensa Memoria al Instituto en
1807 que no fue publicada. En el informe del Jurado sobre la concesion del premio convo-
cado por el Instituto, se lee
“Este trabajo contiene las ecuaciones diferenciales correctas que gobiernan
la transmision del calor, tanto en el interior de los cuerpos como en su su-
perficie, y la novedad del tema junto con su importancia, ha motivado la
concesion del premio... Sin embargo, la forma como el autor obtiene sus
ecuaciones ... y el analisis de su solucion deja algo que desear tanto en lo
concerniente a la generalidad [de la solucion] como al rigor.”
Probablemente estas objeciones fueron la razon por la que el trabajo ganador no fuera
publicado inmediatamente (como era costumbre), y tuviera que esperar hasta 1824 para
su aparicion, cuando ya Fourier era Secretario Perpetuo de la Academia.
Las ecuaciones obtenidas por Fourier son:
k∂2u
∂x2=
∂u
∂t; k
(∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2
)=
∂u
∂t; k
(∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2+
∂2u
∂z2
)=
∂u
∂t,
segun se trate de una barra, un recinto plano o un cuerpo solido, donde u = u(x, t) es
la temperatura en el instante t del cuerpo, en el punto de coordenadas x. Por supuesto,
las soluciones buscadas deben verificar ciertas condiciones de contorno. A la resolucion
de distintos casos particulares (barras, cilindros, esferas, etc.) dedico Fourier una serie de
artıculos que culminaron en su renombrada Theorie analytique de la chaleur, publicada en
1822. En esta obra, Fourier, a traves de un gran numero de ejemplos, desarrolla una serie
de ideas y de tecnicas que iban a ser el modelo a seguir en las investigaciones posteriores
sobre las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Probablemente, nada mejor que reproducir
uno de los ejemplos de Fourier para acercarnos al espıritu de la obra: Consideremos el
problema de la determinacion de la temperatura estacionaria en el interior de una placa
infinita de forma rectangular, cuyos bordes se mantienen a temperatura prefijada (p.e., 0
grados en los lados (infinitos) superiores y a distancia infinita, y 1 grado en el borde finito).
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
En este caso, ∂u∂t = 0 y se trata de encontrar la solucion de la ecuacion diferencial
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2:= ∆u = 0 (2.1)
en el dominio x > 0, −π2 < y < π
2 , que sea igual a 1 para x = 0 y se anule para
y = −π2 , y = π
2 , y para x tendiendo a ∞.
Para resolver este problema, Fourier utiliza su metodo favorito de separacion de varia-
bles (ya empleado por D’Alembert y Bernouilli con anterioridad): Tratemos de encontrar
soluciones de la forma u(x, y) = v(x)w(y). Sustituyendo en la ecuacion (2.1), resulta que
ha de cumplirsev′′(x)v(x)
= −w′′(y)w(y)
.
Como el primer miembro depende solo de x y el segundo de y, solo pueden ser iguales si
ambos son una constante λ. Obtenemos ası dos ecuaciones diferenciales ordinarias, faciles
de resolver. Pero Fourier es mas directo y, simplemente, dice “... vemos que podemos
tomar v(x) = emx y w(y) = cos ny.” Sustituyendo en (2.1), se obtiene m2 = n2(= λ). De
la condicion (iii), resulta m < 0, y de la (ii) que n = (2k − 1) (k ∈ N) y m = −n. Ası
pues, las funciones
uk(x, y) = e−(2k−1)x cos(2k − 1)y (k ∈ N),
satisfacen todas las condiciones, salvo la (i). Retomando el “principio de superposicion”,
Fourier trata entonces de buscar una solucion como “superposicion” de las anteriores, es
decir, de la forma
u(x, y) =∞∑
n=0
anun(x, y),
para unos coeficientes (an) adecuados. Para determinar estos coeficientes, Fourier utiliza
la condicion (i), obteniendo
1 =∞∑
n=1
an cos(2n− 1)y, para − π
2< y <
π
2.
A continuacion, emplea formalmente el metodo habitual de eliminacion de parametros,
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
derivando la serie termino a termino y haciendo y = 0, lo que le conduce a las ecuaciones
1 =∞∑
n=1
an.
0 =∞∑
n=1
(2n− 1)2an.
0 =∞∑
n=1
(2n− 1)4an.
. . .
(2.2)
esto es, un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incognitas. Para resolverlo
Fourier propone truncar el sistema, considerando solo las n primeras ecuaciones con n
incognitas, que resuelve, obteniendo las soluciones a(n)1 , a
(n)2 , . . . , a
(n)n . Finalmente, ha-
ciendo tender n a infinito, obtiene el “verdadero valor” ak = limn→∞ a(n)k , para cada k,
resultando
ak =4π
(−1)k−1
2k − 1.
Obviamente, se pueden poner serias objeciones al proceder de Fourier: Deriva termino a
termino una serie, cuando sabemos que, en general, este proceso no es correcto; Tampoco
el metodo empleado para resolver (2.2) es ortodoxo, (de hecho, cuando se sustituyen los
valores calculados para ak en el sistema (2.2), las series resultantes son divergentes, a partir
de la segunda), etc. El mismo Fourier no parece estar muy convencido de la correccion
del metodo empleado, pues anade: “Como estos resultados parecen desviarse de las con-
secuencias ordinarias del calculo, es necesario examinarlos con cuidado e interpretarlos
en su verdadero sentido”. Y prueba directamente que la suma de la serie obtenida para
x = 0 es constante e igual a 1 en el intervalo senalado (primera vez que aparece explı
citamente el concepto de campo de convergencia de una serie). Finalmente, afirma que la
serie obtenida para u es solucion del problema de contorno propuesto.
Mas adelante, Fourier insiste de nuevo en que
“Debe ser uno muy cuidadoso con los calculos realizados con estas series... El
punto esencial es identificar los lımites entre los que el desarrollo es valido...
Como estos lımites no son los mismos para todas las ecuaciones, pueden
obtenerse resultados erroneos al combinar series diferentes...”
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
Hay que decir que la postura de Fourier sobre la nocion de convergencia de una serie
funcional es muy novedosa para la epoca, ya que a lo largo del siglo XVIII, los matematicos
habı an utilizado las series sin ninguna restriccion, operando con ellas como si fueran sumas
finitas. Fourier no disponı a de criterios para asegurar la convergencia, por lo que, con gran
habilidad, haciendo uso de su conocimiento de resultados previos en sumacion de series
numericas, tuvo en cada caso que calcular la suma de los m primeros terminos de cada serie
directamente. El avance sustancial en este campo iba a venir de manos de Cauchy, quien
iba a desarrollar una serie de criterios generales de convergencia, basados en el llamado
“criterio de Cauchy” (enunciado poco antes, en 1817, por B. Bolzano en un importante,
pero muy poco conocido trabajo, publicado en las Actas de la Real Sociedad Cientı fica
de Bohemia.)
Volviendo al problema que nos ocupa, notemos que si se consideran otras condiciones
de contorno, aparecen soluciones particulares formadas por una combinacion de senos y
cosenos. Por otro lado, como cualquier funcion arbitraria f podrıa ser, en un caso real,
la temperatura en el segmento −π2 < y < π
2 (recordemos el argumento de Euler en el
debate sobre la cuerda vibrante), resulta, de la existencia de solucion del problema fısico,
que necesariamente toda funcion arbitraria en un intervalo puede desarrollarse
en serie de senos y cosenos del tipo (suponiendo por comodidad que el intervalo es el
[−π, π]):
f(x) =∞∑
n=0
(an cos nx + bn sen nx). (2.3)
Fourier hace mencion expresa de la validez del desarrollo para toda funcion arbitraria 1,
aunque a la vista de los multiples ejemplos que aparecen en la Theorie analytique de
la chaleur, parece claro que Fourier esta pensando en lo que hoy llamarıamos funciones
continuas a trozos, con a lo mas una cantidad finita de puntos de discontinuidad de salto.
Una vez establecida la existencia del desarrollo (¡por el imperativo categorico de la
evidencia fısica!), Fourier siente la necesidad de justificar matematicamente esta afirmacion,
aunque identifica la demostracion de la existencia del desarrollo con la determinacion de
1 En palabras de Fourier: No suponemos que estas ordenadas [ f(x)] esten sujetas a una
ley comun a todas ellas; se suceden unas a otras de una manera arbitraria, y cada una de
ellas viene dada como si fuera una cantidad aislada...
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
los coeficientes an, bn que aparecen en el mismo. Su primer metodo consiste en considerar
separadamente el caso de funciones impares (en cuyo desarrollo aparecen solo senos) y
funciones pares (que desarrolla en serie de cosenos). En cada caso, considera la expresion
(2.3) y desarrolla f en serie de potencias (impares en el primer caso; pares en el segundo)
y hace lo mismo con el segundo miembro, utilizando los conocidos desarrollos en serie de
las funciones seno y coseno. Tras identificar coeficientes y un analisis largo y complicado,
obtiene la expresion de los coeficientes en forma de integrales definidas (cuya notacion
actual, por cierto, se debe al mismo Fourier).
El segundo metodo es mucho mas sencillo y directo, y esta basado en las relaciones
de ortogonalidad de las funciones trigonometricas:∫ π
−π
sen nx cos mx dx = 0, (n, m = 0, 1, 2, . . .)
∫ π
−π
sen nx sen mx dx =∫ π
−π
cos nx cos mx dx = 0 (n 6= m),∫ π
−π
cos2 nx dx =∫ π
−π
sen 2nx dx = π (n 6= 0).
Si ahora multiplicamos ambos miembros de (2.3) sucesivamente por sen nx y cos mx e
integramos entre −π y π ambas expresiones, admitiendo la validez de la integracion termino
a termino de la serie, resulta inmediatamente
an =1π
∫ π
−π
f(x) cos nx dx , bn =1π
∫ π
−π
f(x) sen nx dx (2.4),
que son los llamados coeficientes de Fourier de f .
La integracion termino a termino de una serie no repugnaba en absoluto las exigencias
de rigor de la epoca, y solamente fue puesto en cuestion este hecho mucho mas tarde.
Sin embargo, debido a la arbitrariedad de f , Fourier se siente obligado a justificar la
existencia de las integrales en (2.4). Durante el siglo XVIII, debido al gran desarrollo del
calculo, la integracion se consideraba simplemente la operacion inversa de la derivacion,
obteniendose la integral definida por medio de la “regla de Barrow”. Pero la existencia de
una primitiva para una “funcion arbitraria”, sin una expresion analıtica definida, era un
problema no trivial. Por ello, Fourier justifica la existencia de las integrales retomando la
idea original de area del correspondiente recinto de ordenadas, cuya existencia nadie ponıa
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
en cuestion (aunque el calculo efectivo pudiera ser difıcil). Aparece ası por primera vez
claramente planteado el problema de definir∫ b
af(x) dx como un area, cuando f es una
funcion “arbitraria”.
Fourier hace tambien una mencion a la solucion del problema de la cuerda vibrante
dada por Daniel Bernouilli, senalando que su error habıa consistido en no poder demostrar
concretamente como podıan calcularse los coeficientes de la serie.
3.- Las series trigonometricas y la teorıa de la Integral.
La afirmacion de Fourier de la posibilidad de desarrollar en serie trigonometrica
cualquier funcion arbitraria fue rapidamente aceptada por la mayorıa de sus contem-
poraneos, aunque no ası su pretendida demostracion. Los analistas mas prestigiosos de
la epoca, como Poisson, Cauchy, etc. dieron demostraciones alternativas, todas ellas
incorrectas. El primero en obtener una demostracion correcta, aunque imponiendo condi-
ciones restrictivas sobre f , fue P. L. Dirichlet, en un artıculo publicado en el Journal
de Crelle en 1829. Tras criticar la demostracion de Cauchy, Dirichlet hace la primera
aportacion importante al problema, expresando la suma de los n primeros terminos de la
serie de Fourier de una funcion f en [−π, π] como
Sn(f)(x) =n∑
k=0
(ak cos kx + bk sen kx) =1π
∫ π
−π
f(t)sen(n + 1
2 (t− x))2sen1
2 (t− x)dt
A partir de aquı, este ha sido el punto de partida del estudio de la convergencia de una
serie de Fourier que, por tanto, resulta equivalente al estudio de la existencia del lımite
cuando n tiende a ∞ de integrales del tipo:
In =∫ h
0
sennx
senxf(x) dx.
(Integrales de Dirichlet). Tras un proceso largo y absolutamente riguroso, Dirichlet logra
probar que si f satisface las hipotesis:
I) f es continua en [−π, π], salvo a lo mas en un numero finito de puntos, en los que
posee lımites laterales.
II) f posee un numero finito de maximos y mınimos en el intervalo,
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
entonces la serie de Fourier de f converge a la mitad del “salto” 12 (f(x + 0) + f(x− 0))
en cada punto (en particular, converge a f(x) en cada punto de continuidad).
Las funciones consideradas por Dirichlet cubrıan el campo de las que habitualmente
se consideraban en la Matematica de la epoca. No obstante, Dirichlet comenta que
“Falta considerar el caso donde no se cumplen las condiciones impuestas.”
Respecto a la hipotesis (I), el problema fundamental era dar sentido a la integral
definida de una funcion con infinitas discontinuidades. Cauchy habıa demostrado la exis-
tencia de la integral de una funcion acotada con un numero finito de discontinuidades,
definiendola como el lımite de las areas de los rectangulos inscritos en la grafica de la
funcion, cuya base son subintervalos de particiones cada vez mas finas del intervalo to-
tal. Dirichlet creıa que, efectivamente, se podıa obtener una nocion de integral con las
propiedades habituales para funciones mucho mas generales, aunque
“Claramente se siente la necesidad de imponer alguna restriccion, pues, por
ejemplo, la funcion que es igual a una constante c cuando x es racional y
a una constante d 6= c cuando x es irracional no puede tener una integral
definida.”
Esta es otra de las contribuciones importantes del artıculo de Dirichlet, pues es el
primer ejemplo constatado de la nocion moderna de funcion como correspondencia arbi-
traria entre dos conjuntos de numeros, sin necesidad de venir dada por una expresion
analıtica. Esta idea aparece aun mas claramente en la definicion de funcion continua que
aparece en la version ampliada del trabajo de Dirichlet publicada en 1837 en Repertorium
der Physik, una revista dirigida por el mismo Dirichlet:
“Si a cada x de un intervalo corresponde un unico y finito, de manera que
cuando x recorre continuamente el intervalo, y = f(x) tambien cambia grad-
ualmente, se dice que y es una funcion continua de x. No es necesario
que y depende de x con la misma ley en todo el intervalo... ni
tampoco es preciso que la dependencia sea expresable por medio
de operaciones matematicas...”
En cuanto a la hipotesis (II), Dirichlet pensaba que podıa suprimirse, al menos en el
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caso de funciones continuas.
El trabajo de Dirichlet probo de manera inequıvoca lo que ya N. Abel habıa mostrado
con un contraejemplo: que las series de Fourier podıan representar funciones discontinuas
y, por tanto, la inexactitud del teorema de Cauchy sobre la continuidad de la suma de
una serie de funciones continuas. La busqueda de condiciones para que se verificara este
resultado deseable condujo al descubrimiento de la nocion de convergencia uniforme (de-
sarrollada, entre otros, por el mismo Dirichlet en su Seminario de Berlin).
La extension del marco de validez de su teorema fue propuesto como Tesis doctoral por
Dirichlet a uno de sus mejores discıpulos, R. Lipschitz, quien consiguio extender la nocion
de integral para funciones acotadas con posiblemente infinitos puntos de discontinuidad,
pero siempre que este conjunto tuviera un numero finito de puntos de acumulacion o puntos
lımite. El trabajo de Lipschitz en este sentido, pese a sus limitaciones, es interesante porque
sustenta la idea, ya apuntada por Dirichlet, de que la integrabilidad de una funcion esta
relacionada con el tamano del conjunto de sus puntos de discontinuidad. El dilucidar la
nocion correcta de tamano iba a ser un punto fundamental de las investigaciones sobre el
tema en los 50 anos siguientes.
Buscando condiciones alternativas a la (II), Lipschitz introdujo la condicion que lleva
su nombre y comenzo el estudio de las funciones lipschitzianas.
El mejor de los discıpulos de Dirichlet fue sin duda Bernhard Riemann, uno de
los grandes genios matematicos de todos los tiempos. Su temprano interes por las series
trigonometricas probablemente fue debido a su relacion con Dirichlet, a cuyos Seminarios
asistio en Berlin desde 1849. Pronto Dirichlet mostro un interes especial por el joven
Riemann quien, a su vez, consideraba a Dirichlet el matematico mas grande de su epoca.
Tras presentar su Tesis en Gottinga en 1851, eligio para su trabajo de Habilitation-
sschrift en 1854 el estudio de la representacion de funciones en serie trigonometrica. Tras
discutir la contribucion de Dirichlet, Riemann hace notar que parece razonable suponer
que “...las funciones que no cubre el analisis de Dirichlet, no ocurren en la naturaleza.” No
obstante, como habıa mantenido Dirichlet, pensaba que merecıa la pena considerar el caso
de funciones mas generales, que parecıan tener cada vez mas importancia en los dominios
de la Matematica pura.
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
Riemann comienza con la cuestion planteada por Dirichlet: ¿Cuando una funcion es
integrable?. Riemann interpreta la nocion de integrabilidad en un sentido proximo al de
Cauchy, pero en lugar de restringirse a las funciones continuas, considera la totalidad de
las funciones acotadas integrables, es decir, aquellas para las que existe el lımite de las
sumas
SP (f, ξ) =n∑
i=1
f(ξi)δi,
donde P = {a = xo < x1 < . . . xn = b} es una particion del intervalo [a, b], ξi ∈ [xi−1, xi]
y δi = xi − xi−1 (notese que, a diferencia de Cauchy, Riemann considera tambien sumas
en las que f se evalua en un punto arbitrario ξi ∈ [xi−1, xi]). Pero Riemann no se limita
a dar la definicion y comprobar la validez de las propiedades usuales para la nueva in-
tegral. Inmediatamente da condiciones necesarias y suficientes para que una funcion sea
integrable, lo que le permite establecer grandes clases de funciones que son integrables (las
continuas y las monotonas, entre ellas). Tambien da ejemplos de funciones integrables
con infinitos puntos de discontinuidad (que, ademas, forman un conjunto denso en un in-
tervalo). En suma, establece una teorıa potente y versatil que aplica con extraordinario
aprovechamiento a muchos problemas del Analisis. En particular, obtiene resultados pro-
fundos en la teorıa de series trigonometricas (¡no necesariamente de Fourier!; es el primer
matematico que realiza esta distincion) y, en fin, establece metodos en este campo que mar-
caran la pauta en las investigaciones posteriores. Sin embargo, su trabajo no fue conocido
hasta 10 anos despues de su muerte, cuando R. Dedekind lo incluyo en los Abhandlungen
der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.
La definicion de integral de Riemann es la mas general que puede obtenerse basada en
el metodo de Cauchy de aproximacion por sumas asociadas a particiones del intervalo de
integracion (que, en ultimo termino, se remonta a Arquımedes y al metodo de exhauscion
empleado por los griegos para el calculo de areas de figuras no poligonales). Una genera-
lizacion posterior parecıa impensable. La consideracion de la clase de todas las funciones
integrables parece obvia desde nuestra perspectiva, pero supuso en su tiempo un cambio
radical en la idea de funcion (al desligar esta nocion de cualquier consideracion sobre la
naturaleza y propiedades concretas de la misma), y en la propia vision de las matematicas.
La siguiente opinion de P. Du Bois-Reymond (1883) fue generalmente compartida por
los matematicos del siglo XIX: “Riemann ha logrado extender el concepto de integral a sus
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
posibilidades mas extremas”. Durante mucho tiempo, las funciones integrables Riemann
constituyeron el universo de funciones razonables mas amplio concebible, y las condiciones
de integrabilidad de Riemann, las mas debiles que se podıan imponer a una funcion.
4.- Las series trigonometricas y el inicio de la Topologıa y la Aritmetica Trans-
finita.
La clarificacion de la nocion de convergencia de series y sucesiones funcionales, iniciada
por el contraejemplo de Abel y continuada por los trabajos de Dirichlet, puso tambien de
manifiesto que no era posible, en general, intercambiar los signos∑
e∫
(como afirmaba
otro de los teoremas de Cauchy en el Cours d’Analyse). Que la convergencia uniforme
era una condicion suficiente para ello, fue probado por Karl Weierstrass. Estas inves-
tigaciones ponıan en cuestion, como senalo E. Heine en 1870, el resultado (tacitamente
asumido desde la “demostracion” de Fourier) de que una funcion f acotada en el intervalo
[−π, π] podıa representarse a lo mas de una sola manera por una serie trigonometrica de
la forma12a0 +
∞∑n=1
(an cos nx + bn sen nx) . (4.1)
De hecho, como habıa senalado Riemann, existen funciones representadas por series
trigonometricas cuyos coeficientes no son necesariamente los dados por las formulas de
Fourier.
El problema -se lamentaba Heine- es que la importancia que se habıa dado hasta
entonces a la representacion de una funcion por medio de una serie trigonometrica, residıa
en gran parte en la unicidad del desarrollo, es decir, en la certeza de que se obtenıa el
mismo desarrollo, cualquiera que fuera el metodo empleado. Ciertamente, una serie de
Fourier que represente una funcion discontinua, no puede converger uniformemente, pero
incluso
“...no sabemos con certeza si es posible representar una funcion continua
dada por una serie trigonometrica uniformemente convergente.”
(Un poco mas tarde, en 1876, P. Du Bois Reymond darıa el primer ejemplo de una
funcion continua cuya serie de Fourier no converge a la funcion en algun punto.)
Por tanto, Heine consideraba que, ademas de la posibilidad de la representacion (4.1),
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
era tambien crucial el problema de la unicidad de la misma. Restando dos posibles repre-
sentaciones, el problema se reducıa a ver si de
12ao +
∞∑n=1
(an cos nx + bn sen nx) = 0, (4.2)
se deducıa necesariamente que an = bn = 0, ∀n. En el trabajo citado de 1870, Heine,
usando tecnicas desarrolladas por Riemann, probo que la respuesta era afirmativa si la
convergencia de la serie (4.2) es uniforme en general, salvo en un conjunto finito P , e.d.,
si la convergencia es uniforme en cualquier subintervalo cerrado que no contenga puntos
de P .
Heine llamo la atencion sobre este tema a su joven colega Georg Cantor. En una
serie de artıculos publicados entre 1870 y 1871, Cantor consiguio eliminar la hipotesis
de convergencia uniforme, mostrando que la respuesta era afirmativa si simplemente se
suponıa que se verificaba (4.2) salvo a lo mas para los puntos de un conjunto finito P. Poco
despues, se planteo la cuestion para el caso de ser P un conjunto infinito. Obviamente,
el resultado no es cierto para cualquier conjunto P, por lo que era preciso determinar la
naturaleza del posible conjunto excepcional P, de modo que aun se verificara el teorema de
unicidad. Este fue el inicio del interes de Cantor por los conjuntos infinitos de numeros.
Para estudiar la estructura de estos conjuntos, Cantor comienza, en su famoso artıculo
de 1872, dando una construccion rigurosa del cuerpo de los numeros reales por medio
de las sucesiones de Cauchy de numeros racionales (poco antes, J. W. R. Dedekind
habıa presentado su construccion por el metodo de las “cortaduras”), demostrando sus
propiedades fundamentales, incluyendo la completitud. Con esta solida base, aborda el
estudio riguroso de los conjuntos arbitrarios de numeros reales. Para ello, Cantor introduce
los conceptos de punto lımite y de conjunto derivado de un conjunto, estableciendo sin
demostracion lo que se conoce como Teorema de Bolzano-Weierstrass: “Todo conjunto
infinito [acotado] de numeros, posee al menos un punto lımite”. Finalmente, consigue dar
una respuesta afirmativa al problema de la unicidad cuando la serie (4.2) converge salvo
a lo mas en los puntos de un “conjunto de Primera Especie” P , es decir, tal que P (n = ∅para algun n (donde P ′ := {puntos lımites deP}, P ′′ = (P ′)′, etc.)
Para entonces, el interes de Cantor se centraba mas en los preliminares del problema
que en el teorema de unicidad que habıa demostrado. En particular, se sintio fascinado
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
por el problema de la clasificacion de las distintas clases de conjuntos infinitos y la cuestion
del continuo. En 1873, en una carta a Dedekind, Cantor plantea la pregunta de si N y
R pueden ponerse en correspondencia biyectiva. La imposibilidad de tal biyeccion, cuya
prueba encuentra en 1874, es el primero de una serie de importantes resultados sobre la
topologıa de la recta real que Cantor obtiene en la siguiente decada.
Por otro lado, el metodo seguido para la construccion de los conjuntos derivados
sucesivos, sugiere a Cantor la posibilidad de extenderlo mas alla de un numero finito de
pasos. En un trabajo de 1880, introduce las nociones de union e interseccion arbitraria de
subconjuntos y, si P no es de primera especie, define P (∞ = ∩∞n=1P(n, y posteriormente
la cadena:
P (∞+1 =(P (∞
)′. . . P (2∞ =
(P (∞
)(∞, . . . P (∞2
= ∩∞n=1P(n∞ . . .
En general, esto le permite a Cantor definir P (γ para cada “sımbolo infinito” de la forma
γ = nk∞k + nk−1∞k−1 + · · ·n1∞+ no,
dando ası comienzo al estudio de la aritmetica transfinita.
5.- Otros resultados sobre Series Trigonometricas.
Como hemos dicho en la Seccion anterior, P.Du Bois Reymond dio el primer ejemplo,
en 1876, de una funcion continua cuya serie de Fourier diverge en al menos un punto.
En el mismo trabajo probo, sin embargo, el resultado mas fuerte hasta entonces conocido
sobre la unicidad. En concreto, si f es una funcion acotada e integrable Riemann sobre
[−π, π] (¡la hipotesis mas debil entonces concebible!) que admite una representacion en
serie trigonometrica en todo punto del intervalo, necesariamente la serie es la de Fourier
de la funcion. Este resultado fue uno de los grandes logros de la teorıa de la integral de
Riemann, y le dio el espaldarazo definitivo.
El mismo resultado, para f acotada e integrable Lebesgue fue demostrado por Lebesgue
en 1906, con una demostracion mucho mas corta y elegante. Este hecho supuso tambien
un importante apoyo para la nueva teorıa de integracion que habıa construıdo Lebesgue en
su Tesis. En el mismo orden de ideas, de la Vallee Poussin extendio en 1913 el resultado
anterior, suprimiendo la hipotesis de acotacion de la funcion.
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
Los resultados anteriores son finos, pues se conocıan ejemplos de series trigonometricas
convergentes en todo punto que no eran la serie de Fourier de ninguna funcion integrable.
Uno de tales ejemplos es:
f(x) =∞∑
n=2
sen nx
log n.
En cuanto a resultados negativos sobre la unicidad, el mas sorprendente se debe a Men-
choff, quien en 1916 construyo un ejemplo de una serie trigonometrica no identicamente
nula que converge a 0 en casi todo punto.
Durante mucho tiempo el problema abierto mas importante en este campo fue resolver
la conjetura de si la serie de Fourier de una funcion continua converge en casi todo punto.
Los resultados negativos en este tema se fueron acumulando. Ası, utilizando el llamado
principio de condensacion de singularidades Steinhaus probo en 1913 que existıa una
funcion continua cuya serie de Fourier divergıa en un conjunto infinito, no numerable y
denso de [−π, π]. En 1926, A. Kolmogoroff encontro una funcion integrable cuya serie de
Fourier diverge en todo punto de [−π, π]. Por otro lado, Pol y Bohr consiguieron probar en
1933 que si f es continua y periodica sobre [−π, π], existe un homeomorfismo θ : [−π, π] →[−π, π] de modo que la serie de Fourier de f ◦ θ converge uniformemente. Finalmente,
culminando una larga serie de esfuerzos, en 1966 Carleson y Hunt lograron demostrar
que si f ∈ Lp (p > 1), e.d., es de potencia p-esima integrable Lebesgue, entonces su
serie de Fourier converge (a f) en casi todo punto. Este sorprendente resultado reivindica
finalmente la afirmacion original de Fourier, pues sus “funciones arbitrarias” (funciones
continuas a trozos) pertenecen obviamente a L2.
En otro orden de cosas, el estudio de las series trigonometricas motivo tambien la
posibilidad de interpretar la palabra “representar” de manera diferente a la convergencia
puntual, abriendo ası el camino a la teorıa de espacios funcionales y otras nociones de
“proximidad”. Una primera aproximacion en esa direccion fue la aparicion de nuevas
nociones de convergencia de sucesiones. Una de las primeras fue la convergencia Cesaro,
introducida en 1890: Una sucesion (an) se dice que converge a ` en el sentido de Cesaro
si la sucesion de medias aritmeticas (a1+a2+···an
n ) converge a ` en sentido ordinario. Por
supuesto, toda sucesion convergente es tambien convergente en sentido de Cesaro (y con
el mismo lımite). Pero existen sucesiones no convergentes, como la ((−1)n), que tienen
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Las Series de Fourier. Fernando Bombal
lımite en el sentido de Cesaro (0 en este caso). Pues bien, el matematico hungaro Leopold
Fejer demostro que la serie de Fourier de una funcion integrable Riemann converge en el
sentido de Cesaro a f(x) en todo punto de continuidad x de f y, si f es continua, lo hace
uniformemente en todo el intervalo [−π, π]. Por supuesto, Lebesgue extendio el resultado
de Fejer para funciones integrables Lebesgue. Se obtuvieron resultados analogos para otras
nociones generalizadas de convergencia (convergencia Abel, etc.)
Abandonando el marco de la convergencia puntual, la aparicion de la teorıa de la
integral de Lebesgue permitio extender y completar una serie de resultados que se habıan
ido obteniendo a lo largo del ultimo tercio del siglo XIX, expresandolos en terminos de
convergencia en distintos espacios funcionales. Ası, F. Riesz y E. Fischer, independien-
temente, y como consecuencia de sus trabajos sobre el espacio L2 de funciones de cuadrado
integrable, consiguen probar que si f ∈ L2([−π, π]), la serie de Fourier de f converge a f
en la topologıa del espacio L2, es decir
limn→∞
‖Snf − f‖2 := limn→∞
(∫ π
−π
|Snf(x)− f(x)|2 dx
) 12
= 0.
(convergencia en media cuadratica, segun la notacion clasica). A partir de aquı, los resul-
tados se fueron encadenando, probandose la convergencia en Lp (p > 1), la convergencia
distribucional, etc.
A la largo de este rapido recorrido historico sobre la teorıa de series trigonometricas,
hemos puesto de manifiesto las conexiones e interrelaciones con muchos otros temas impor-
tantes del analisis, la topologıa o la teorıa de conjuntos, ası como su papel en la aparicion
y desarrollo de nuevas ideas y teorıas que despues han crecido pujantemente por sı mis-
mas. Este era nuestro objetivo, declarado al comienzo de la charla, que esperamos haber
cumplido.
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BIBLIOGRAFIA SUCINTA
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