I SISTEMI I SISTEMI DI PRIMO GRADODI PRIMO GRADO
I SISTEMI I SISTEMI DI PRIMO GRADODI PRIMO GRADO
ANALIZZIAMO LA SEGUENTE ANALIZZIAMO LA SEGUENTE SITUAZIONE PROBLEMATICASITUAZIONE PROBLEMATICA
Sei di loro hanno preso la pizza margherita gli altri la pizza al prosciutto.
Quanto costano le diverse pizze?
Un gruppo di 15 amici al ristorante pagano per le pizze che hanno ordinato 78 €
IMPOSTAZIONE PROBLEMAIMPOSTAZIONE PROBLEMA
Per risolvere il problema posso scrivere l’equazione in due incognite (x e y)
6x+9y=78
è una proposizione aperta verificata da molte coppie: S={(13,0),(10,2),…}
Ad esempio al tavolo vicino sei amici hanno ordinato le stesse pizze 5 margherite e una al prosciutto pagando 26€.
Si può impostare l’equazione in due incognite (x e y)
5x+y=26
Proposizione aperta verificata da diverse coppie: S={(1,21),(3,11),…}
Posso ricercare se esiste una coppia soluzione della prima e della seconda equazione collegando tra loro le equazioni
265 7896
yxyx Ottenendo un sistema di primo
grado
Costituito da due equazioni in due incognite
Occorre un’altra informazione.
I SISTEMI DI PRIMO GRADOI SISTEMI DI PRIMO GRADOI SISTEMI DI PRIMO GRADOI SISTEMI DI PRIMO GRADO
TEORIATEORIA
METODI DI RISOLUZIONEMETODI DI RISOLUZIONE
MAPPAMAPPA
I SISTEMI
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
EQUAZIONI COMEFUNZIONI
EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA
INSIEME DELLE SOLUZIONI
Sistema determinato
Sistema indeterminato
Sistema impossibile
Confronto
Sostituzione
Riduzione Cramer
Schema
MAPPAMAPPA
EQUAZIONI COME EQUAZIONI COME FUNZIONIFUNZIONI
-13-13
-3-3
-1-1
33
55
77
……
-5-5
00
11
33
44
55
……
y = 2x-3y = 2x-3 xx
2x-3
-13
-3
-1
3
x
-5
0
1
3
4
…
f(x)=2x-3
geogebra
EQUAZIONI IN GEOMETRIA EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICAANALITICA
punto retta
coppia di reali equazione
la coppia (a,b) verifica l’equazione 2x-3=y
il punto P(a,b) alla retta di equazione 2x-3=y
INSIEME DELLE INSIEME DELLE SOLUZIONISOLUZIONI
Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che devono essere verificate contemporaneamente.
Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono.
L’insieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione.
A seconda del suo insieme soluzione un sistema può
essere:
''' cybxa
cbyax
S is te m a im p o s s ib i le S =
''' c
c
b
b
a
a
Sistema determinato'' b
b
a
a
Sistema indeterminato
x
baxc
xS ,
''' c
c
b
b
a
a
METODI DI RISOLUZIONEMETODI DI RISOLUZIONEElenco dei metodi di risoluzione:
•Metodo del confronto
•Metodo di sostituzione
•Metodo di riduzione
•Metodo di Cramer
Sistema.ggb•Metodo grafico•Metodo grafico
Con un esempio vediamo il metodo del confronto, analizzando il sistema:
0142
02
yx
yx
Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio:
142
2
yx
yx
L’incognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e potremo quindi scrivere: 1422 yy
e risolverla come un’equazione in una incognita. Il valore di y trovato verrà sostituito in una delle due equazioni. Basterà una semplice operazione per trovare poi il valore di x.
Metodo del confrontoMetodo del confronto
Metodo di sostituzioneMetodo di sostituzioneCon un esempio spieghiamo il metodo di sostituzione analizzando il sistema:
Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio:
265y
07896
x
yx
0265 07896
yxyx
Scrivendo nell’altra equazione al posto di y l’espressione prima calcolata, svolgeremo l’equazione in x.
07826596 xx
Una volta calcolato il valore di x sostituiremo di nuovo il suddetto valore nell’equazione esplicitata in y.
Metodo di riduzioneMetodo di riduzioneSpiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il seguente sistema:
0742
0652
yx
yx
In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y.
Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y, opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso metodo e avremo un’equazione in x.
01
0742
0652
y
yx
yx
Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle incognite in questo sistema.
0112
055
0652
x
y
yx
Metodo di CramerMetodo di CramerQuesto non è un modo di risoluzione ma un modo schematico di rappresentare le soluzioni. Questo metodo utilizza il principio di riduzione, ma per capirlo analizziamo l’esempio:
''' cybxa
cbyax
Applichiamo quindi il metodo di riduzione; se vogliamo eliminare x moltiplichiamo la prima equazione per a’ e la seconda per a. Otterremo il sistema:
'''
'''
acyabxaa
cabyaaxa
Utilizzando il metodo di riduzione avremo l’equazione:
'''' caacybaab continua…
continua…
Ripetiamo l’operazione per eliminare y trovando la seconda equazione:
'''' caacxbaab
Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente modo:
''''
''''
caacybaab
bccbxbaab e quindi
''
''''
''
baab
caacy
baab
bccbx
Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice:
''b
b
a
aE con questo ricaviamo il :
'a
a ''
'baab
b
b
(La linea indica la moltiplicazione)
Poi cerchiamo il sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli della prima colonna) con i termini noti dell’equazione:
x
'c
cx ''
'bccb
b
b
Ora per faremo la stessa cosa sostituendo però ai coefficienti di y (seconda colonna) con i termini noti e lasciando quelli di x nella prima colonna:
y
'a
ay ''
'caac
c
c
Avremo quindi:
y
x
y
x
Bisognerà poi discutere sul valore del per poter dar la soluzione.
SchemaSchema
'' b
b
a
a
0 000 yx
DETERMINATO INDETERMINATO
Rette incidenti Rette corrispondenti
''' c
c
b
b
a
a
IMPOSSIBILE
Rette parallele
000 yx
''' c
c
b
b
a
a
(Cliccando su una delle tre possibilità la si può visualizzare graficamente)
Sistemi lavoro.ESEMPIO NUMERICO - Foglio1!A1
FINE!