IA0
12
–S
eg
ura
nça
em
IA0
12
–S
eg
ura
nça
em
Co
mu
nic
açã
o d
e D
ad
os
Co
mu
nic
açã
o d
e D
ad
os
Op
era
çõ
es
cri
pto
grá
ficas
básic
as
-O
pe
raçõ
es
cri
pto
grá
ficas
básic
as
-A
ritm
ética
em
co
rpos
fin
itos
GF
(p)
e o
Aritm
ética
em
co
rpos
fin
itos
GF
(p)
e o
alg
oritm
oe
ste
nd
ido
de
Eu
clid
es
alg
oritm
oe
ste
nd
ido
de
Eu
clid
es
Da
nie
l F
elix
de
Bri
toD
anie
l F
elix
de
Bri
to
fbri
to.d
an
iel@
gm
ail.
co
mfb
rito
.da
nie
l@g
mail.
co
m
Vis
ão
Ge
ral
Vis
ão
Ge
ral
R
evis
ão
Re
vis
ão
G
rupo
s,
an
éis
eco
rpo
s;
Gru
po
s,
an
éis
eco
rpo
s;
A
ritm
ética
Mo
du
lar;
Ari
tmé
tica
Mo
du
lar;
A
lgo
ritm
od
eE
uclid
es;
Alg
ori
tmo
de
Eu
clid
es;
C
orp
os
fin
ito
sC
orp
os
fin
ito
s
C
orp
os
fin
ito
s n
afo
rma
GF
(P);
Co
rpo
sfin
ito
s n
afo
rma
GF
(P);
In
ve
rso
multip
licativo
e a
lgori
tmo
In
ve
rso
multip
licativo
e a
lgori
tmo
este
nd
ido
de
Eu
clid
es.
este
nd
ido
de
Eu
clid
es.
Re
vis
ão
–G
rup
os,
an
éis
eco
rpo
sR
evis
ão
–G
rup
os,
an
éis
eco
rpo
s
G
rup
os:um
gru
po
[G,*
]é
um
con
jun
tod
e
Gru
po
s:um
gru
po
[G,*
]é
um
con
jun
tod
e
ele
men
tos c
om
um
ao
pera
ção
bin
ári
a,
ele
men
tos c
om
um
ao
pera
ção
bin
ári
a,
ind
icad
a p
or
*,q
ue
asso
cia
a c
ad
ap
ar
ind
icad
a p
or
*,q
ue
asso
cia
a c
ad
ap
ar
ord
en
ad
o (
a,b
)d
e e
lem
en
tos
em
Gum
ord
en
ad
o (
a,b
)d
e e
lem
en
tos
em
Gum
ele
men
to (
a*b
)e
mG
,d
e m
od
o a
e
lem
en
to (
a*b
)e
mG
,d
e m
od
o a
ob
ed
ece
r4
axio
mas:F
ech
am
ento
,o
bed
ece
r4
axio
mas:F
ech
am
ento
,
Asso
cia
tivid
ad
e,
Ele
me
nto
id
en
tid
ad
e e
Asso
cia
tivid
ad
e,
Ele
me
nto
id
en
tid
ad
e e
Ele
men
to in
vers
o.
Ele
men
to in
vers
o.
Re
vis
ão
–G
rup
os,
an
éis
eco
rpo
sR
evis
ão
–G
rup
os,
an
éis
eco
rpo
s
A
né
is:U
ma
ne
lR
,in
dic
ad
opo
r[R
,+,x
]é
um
An
éis
:U
ma
ne
lR
,in
dic
ad
opo
r[R
,+,x
]é
um
co
nju
nto
de
ele
me
nto
s c
om
du
as
ope
raçõ
es
co
nju
nto
de
ele
me
nto
s c
om
du
as
ope
raçõ
es
bin
ária
s(a
diç
ão
em
ultip
lica
çã
o)
de
form
aqu
ebin
ária
s(a
diç
ão
em
ultip
lica
çã
o)
de
form
aqu
e
pa
rato
do
a,b
,ce
mR
,se
jam
obed
ecid
os a
lgu
ns
pa
rato
do
a,b
,ce
mR
,se
jam
obed
ecid
os a
lgu
ns
axio
ma
s.
axio
ma
s.
C
orp
o:U
mco
rpo
F,
ind
ica
do
po
r[F
,+,x
]é
um
Co
rpo
:U
mco
rpo
F,
ind
ica
do
po
r[F
,+,x
]é
um
co
nju
nto
co
nju
nto
de
ele
me
nto
sco
md
ua
sd
eele
me
nto
sco
md
ua
so
pera
çõ
es
op
era
çõ
es
bin
ári
as
bin
ári
as
(ad
içã
oe
mu
ltip
lica
çã
o)
de
form
aqu
e(a
diç
ão
em
ultip
lica
çã
o)
de
form
aqu
e
pa
rato
do
a,b
,ce
mR
,se
jam
obed
ecid
os a
lgu
ns
pa
rato
do
a,b
,ce
mR
,se
jam
obed
ecid
os a
lgu
ns
ax
iom
as
ax
iom
as
..
Má
xim
od
ivis
or
Co
mu
m -
MD
C(a
,b)
Má
xim
od
ivis
or
Co
mu
m -
MD
C(a
,b)
M
áxim
od
ivis
or
Com
um
:p
ara
bd
ife
ren
teM
áxim
od
ivis
or
Com
um
:p
ara
bd
ife
ren
te
de
ze
roé
de
fin
ido
com
ose
nd
o u
md
ivis
or
de
ze
roé
de
fin
ido
com
ose
nd
o u
md
ivis
or
de
ase
a =
mb
para
alg
um
m,
on
de
a,b
e
de
ase
a =
mb
para
alg
um
m,
on
de
a,b
e
msão
in
teir
os.N
ota
çã
o:m
dc(a
,b)
=c
msão
in
teir
os.N
ota
çã
o:m
dc(a
,b)
=c
ind
ica
qu
eo
inte
iro
c é
con
sid
era
do
o
ind
ica
qu
eo
inte
iro
c é
con
sid
era
do
o
má
xim
od
ivis
or
com
um
de
a e
bse:
má
xim
od
ivis
or
com
um
de
a e
bse:
c
éd
ivis
or
de
ae
de
b;
cé
div
iso
rd
ea
ed
eb;
Q
ualq
ue
rd
ivis
or
de
ae
bé
div
iso
rd
ec;
Qu
alq
ue
rd
ivis
or
de
ae
bé
div
iso
rd
ec;
Ari
tmé
tica
Mo
du
lar
Ari
tmé
tica
Mo
du
lar
C
on
gru
ên
cia
:d
ois
in
teir
os
ae
bsã
oC
on
gru
ên
cia
:d
ois
in
teir
os
ae
bsã
oco
nsid
era
do
sco
ng
rue
nte
sm
ód
ulo
n,se
(am
od
co
nsid
era
do
sco
ng
rue
nte
sm
ód
ulo
n,se
(am
od
n)=
(bm
od
n).
Isto
ée
scri
toco
mo
n)=
(bm
od
n).
Isto
ée
scri
toco
mo
a≡
b(m
od
n).
Exe
mplo
:7
3≡
4(m
od
23
);a
≡b
(mo
dn
).E
xe
mplo
:7
3≡
4(m
od
23
);
O
pe
raçã
o:[(
am
od
n)
-(b
mo
dn
)]m
od
n=
(a-b
)O
pe
raçã
o:[(
am
od
n)
-(b
mo
dn
)]m
od
n=
(a-b
)m
od
n;
mo
dn
;
Exem
plo
:11
mo
d8
=3
;1
5m
od
8=
7;
Exem
plo
:11
mo
d8
=3
;1
5m
od
8=
7;
[(11
mo
d8
)-
(15
mo
d8
)]m
od
8=
(3-7
)m
od
8[(
11
mo
d8
)-
(15
mo
d8
)]m
od
8=
(3-7
)m
od
8
= -
4m
od
8=
4=
-4
mod
8=
4
(11-1
5)
mod
8=
-4
mo
d8
= 4
;(1
1-1
5)
mod
8=
-4
mo
d8
= 4
;
Alg
ori
tmo
de
Eu
clid
es
Alg
ori
tmo
de
Eu
clid
es
S
em
dc(a
,b)
=1
Se
md
c(a
,b)
=1
ae
bsã
oa
eb
sã
ore
lati
va
men
tere
lati
va
men
te
pri
mo
s;
pri
mo
s;
A
lgo
ritm
od
eE
uclid
es
pa
rae
nco
ntr
ar
om
dc;
Alg
ori
tmo
de
Eu
clid
es
pa
rae
nco
ntr
ar
om
dc;
Ari
tmé
tica
mo
du
lar
Ari
tmé
tica
mo
du
lar
- P
rop
rie
da
de
s-
Pro
pri
ed
ad
es
D
efin
imo
sZ
De
fin
imo
sZ
nnco
mo
oco
nju
nto
de
inte
iro
sn
ão
co
mo
oco
nju
nto
de
inte
iro
sn
ão
ne
ga
tivo
sm
en
ore
squ
en
:Z
ne
ga
tivo
sm
en
ore
squ
en
:Z
nn=
[0,1
...(
n-1
)];
=[0
,1...(
n-1
)];
In
ve
rso
mu
ltip
lica
tivo
:b.b
Inve
rso
mu
ltip
lica
tivo
:b.b
-1-1≡
1(m
od
n)
≡1
(mo
dn
)
b
rela
tiva
me
nte
prim
oa
nb
rela
tiva
me
nte
prim
oa
n
se
mpre
exis
teb
se
mpre
exis
teb
-1-1;;
Ari
tmé
tica
Mo
du
lar
Ari
tmé
tica
Mo
du
lar
Inve
rso
Mu
ltip
lica
tivo
Inve
rso
Mu
ltip
lica
tivo
In
ve
rso
mu
ltip
lica
tivo
:b.b
-1≡
1(m
od
n);
G
ara
ntir
qu
eto
do
so
se
lem
en
tos d
eZ
n p
ossu
am
inve
rso
mu
ltip
lica
tivo
.
E
xe
mplo
:Z
8 =
[0,1
,2,3
,4,5
,6,7
]
Corp
os f
initos n
a f
orm
a G
F(p
)C
orp
os f
initos n
a f
orm
a G
F(p
)
C
orp
os f
initos d
eo
rde
m p
Corp
os f
initos d
eo
rde
m p
nn;
GF
=G
alo
isfield
;;
GF
=G
alo
isfield
;
pp
nndeve
ser
pri
mo
;P
or
qu
e?
deve
ser
prim
o;P
or
qu
e?
G
F(P
)G
F(P
) co
nju
nto
de
inte
iro
s Z
co
nju
nto
de
inte
iro
s Z
pp=
[0
,1...p
-1]
=[0
,1...p
-1]
Q
ualq
uer
inte
iro
em
ZQ
ualq
uer
inte
iro
em
Zpp
tem
um
invers
om
ultip
lica
tivo
se
ete
mu
min
vers
om
ultip
lica
tivo
se
e
so
men
tese
esse
inte
iro
for
rela
tivam
en
tepri
mo
de
p.
so
men
tese
esse
inte
iro
for
rela
tiva
men
tepri
mo
de
p.
Alg
ori
tmo
Este
nd
ido
de
Eu
clid
es
Alg
ori
tmo
Este
nd
ido
de
Eu
clid
es
S
em
dc(n
,b)=
1,
entã
o b
tem
um
inve
rso
Se
md
c(n
,b)=
1,
entã
o b
tem
um
inve
rso
mu
ltip
licativo
mó
du
lon
.O
use
ja,
pa
rau
mm
ultip
licativo
mó
du
lon
.O
use
ja,
pa
rau
m
inte
iro
po
sitiv
o b
<n,
exis
teum
bin
teir
op
ositiv
o b
<n,
exis
teum
b-1-1
<n
de
<
nd
e
mo
do
qu
e b
.bm
od
o q
ue
b.b
-1-1≡
1m
od
n.
≡1
mod
n.
O
alg
ori
tmo
euclid
iano
po
de
se
re
ste
nd
ido
O
alg
ori
tmo
euclid
iano
po
de
se
re
ste
nd
ido
pa
ra e
ncon
tra
ro
md
c(n
,b)
e c
aso
pa
ra e
ncon
tra
ro
md
c(n
,b)
e c
aso
md
c(n
,b)=
1fo
rne
ce
oin
ve
rso
m
dc(n
,b)=
1fo
rne
ce
oin
ve
rso
mu
ltip
licativo
de
b;
mu
ltip
licativo
de
b;
Alg
ori
tmo
Este
nd
ido
de
Eu
clid
es
Alg
ori
tmo
Este
nd
ido
de
Eu
clid
es
E
xe
mp
lo m
dc(1
75
9,5
50)=
1
e a
-1=
35
5
55
0.3
55
≡1
(mo
d1
75
9)
Q
=A
3/B
3=
175
9/5
50
=3
;
(T
1,T
2,T
3)
=(1
-3
.0,0
-3.1
,1
75
9-3
.55
0)=
(1,-3
,1
09);
(A
1,A
2,A
3)
=(B
1,B
2,B
3)
=(0
,1
,5
50
);
(B
1,B
2,B
3)
=(T
1,T
2,T
3)
=(1
,-3
,1
09
);
Exe
mp
lop
rático
- R
SA
Exe
mp
lop
rático
- R
SA
S
ele
cio
ne
dois
nú
mero
s p
rim
os,
p=
17
e
Sele
cio
ne
dois
nú
mero
s p
rim
os,
p=
17
e
q=
11;
(p≠
q);
q=
11;
(p≠
q);
C
alc
ule
n=
p.q
=17
.11
=18
7;
Ca
lcu
le n
=p
.q=
17
.11
=18
7;
C
alc
ule
z=
(p-1
).(q
-1)=
16
.10
=1
60
;C
alc
ule
z=
(p-1
).(q
-1)=
16
.10
=1
60
;
S
ele
cio
ne
e ta
lq
ue
ese
jaS
ele
cio
ne
e ta
lq
ue
ese
jare
lati
va
me
nte
re
lati
va
me
nte
pri
mo
pri
mo
a z
e m
eno
rd
oqu
e z
;E
x:e
=7
;a
ze
me
no
rd
oqu
e z
;E
x:e
=7
;
Pod
e-s
e u
tiliz
ar
oalg
oritm
od
eE
uclid
es
eP
od
e-s
e u
tiliz
ar
oalg
oritm
od
eE
uclid
es
e
ve
rificar
se
md
c(e
,z)=
1;
ve
rificar
se
md
c(e
,z)=
1;
Exe
mp
lo p
rático
-R
SA
Exe
mp
lo p
rático
-R
SA
D
ete
rmin
ed
tal qu
e d
.e≡
1 (
mo
d z
)e
d<
De
term
ine
dta
l qu
e d
.e≡
1 (
mo
d z
)e
d<
z;
Ex:d
=2
3z;
Ex:d
=2
3
23
.7=
16
1 =
1.1
60
+1;
23
.7=
16
1 =
1.1
60
+1;
d
é o
inv
ers
om
ult
ipli
ca
tiv
od
ee
dé
oin
vers
om
ult
ipli
ca
tiv
od
ee
..P
ara
ga
ran
tir
qu
ed
exis
ta
Para
ga
ran
tir
qu
ed
exis
ta e
dev
e s
er
e d
ev
e s
er
rela
tiv
am
en
tep
rim
oa
zre
lati
va
me
nte
pri
mo
az,
com
od
efin
ido
,com
od
efin
ido
no
pa
sso
an
teri
or.
Po
de-s
e u
tiliz
ar
on
op
asso
an
teri
or.
Po
de-s
e u
tiliz
ar
oa
lgo
ritm
oes
ten
did
od
e E
uc
lid
es
alg
ori
tmo
es
ten
did
od
e E
uc
lid
es
pa
ra
pa
ra
de
term
ina
rd
.d
ete
rmin
ar
d.
P
U=
[e,n
]=
[7,1
87
]e
PR
=[d
,n]
=[2
3,1
87
].P
U=
[e,n
]=
[7,1
87
]e
PR
=[d
,n]
=[2
3,1
87
].