7/26/2019 IE-201-02 Deformaciones y Propiedades de Los Materiales
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Deformaciones y PropiedadesMateriales
IE-201: Medios Continuos
Prof. Hctor J. Cruzado
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Strain
Se usa pare describir deformaciones porcambios en largos en segmentos de
lneas y por cambios en los ngulosentre segmentos de lneas.
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Deformacin
Las distancias AA y BB pueden ser productode deformacin, movimiento de cuerpo rgidoo una combinacin de los dos. Haydeformacin si la distancia relativa entre dospuntos (AB) ha cambiado (i.e., AB AB)
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Deformacin normal
Si la deformacin se distribuye uniformemente porel largo original:
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Deformacin por cortanteEl cambi de ngulo que ocurre entre dossegmentos de lnea que anteriormenteeran perpendiculares.
2
es el ngulo en radianes despus de
deformacin.
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EjemploLa fuerza causa que la palanca rote unngulo de 0.002 radianes a favor de lasmanecillas de reloj. Determina la
deformacin normal promedio del cable.
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EjemploLa placa mostrada se deforma en la forma mostradapor las lneas entrecortadas. En la forma deformada,las lneas horizontales permanecen horizontales y nocambian de largo. Determina la deformacin normal
promedio de la lnea AB y la deformacin porcortante promedio con respecto a los ejes x-y.
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EjemploSe le aplica un desplazamiento uniforme de 2mm a la placa mostrada. Determina ladeformacin normal promedio de la lnea AC
y la deformacin por cortante promedio conrespecto a los ejes x-y.
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Deformacin plana
Deformacin normal:Positiva para elongacin
Deformacin por cortante:Se mide en ngulos que antes eran rectos;positiva cuando el ngulo se reduce.
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EjemploLa geometra deformada del rectngulo semuestra con lneas entrecortadas. Determinalos componente de deformacin plana en el
punto A.
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Deformacin en 3D
Estas expresiones se conocen como Relacionesdeformacin-desplazamiento. En notacin indicial, seexpresan de la siguiente forma:
donde:
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Tensor de Deformacin
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Ejemplo
Un campo de desplazamiento en uncuerpo est dado por:
where
Determine the state of strain on aelement position at (0,2,1).
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Compatibilidad Tiene significado matemtico y fsico:
Matemtico: Que los desplazamientos u, v,w, tiene cada uno un solo valor que cumple
con las condiciones de frontera, son funcionescontinuas asociadas con las deformaciones.
Fsico: Que el objeto se mantiene continuoaun cuando deformado.
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Ecuaciones de compatibilidaden 2DDe la deformacin plana se obtiene:
Por lo tanto:
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Ecuaciones de compatibilidaden 3D
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Ejemplo
Determina si el siguiente campo dedeformacin es posible en un materialcontinuo:
dondec
es una constante pequea y seasume que:
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Transformacin dedeformacin en 2D
Se mueve el segmento AB para que el punto A coincida conel punto A.
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Por definicin =
, por lo tanto:
Substituyendo cos =
y sin =
y las
ecuaciones de deformacin plana:
Utilizando identidades trigonomtricas:
se determina remplazando por +
2.
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La deformacin por cortante se puede transformarpor:
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Nota la similitud entre las expresiones deesfuerzo:
con las de deformacin:
Se remplaza con y con1
2.
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Deformaciones principales
El caso en que .
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Deformacin mxima porcortante en 2D
Ocurre a planos a 45 grados de los planosprincipales.
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EjemploEl estado de deformacin de un punto est dado por:
Determina:
(a) El estado de deformacin si se rota 30 grados a favor delas manecillas del reloj;
(b) El estado de deformaciones principales y a que nguloocurre;
(c) la deformacin mxima por cortante y la deformacinnormal asociada a esta.
l d h
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Crculo de Mohr paradeformaciones
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EjemploEl estado de deformacin de un punto est dado por:
Determina:
(a) El estado de deformacin si se rota 30 grados a favor delas manecillas del reloj;
(b) El estado de deformaciones principales y a que nguloocurre;
(c) la deformacin mxima por cortante y la deformacinnormal asociada a esta.
f i d
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Transformacin dedeformacin en 3DUtilizando las expresiones detransformacin de esfuerzos en 3D:
Expresiones similares puedendesarrollarse para , , y .
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Deformaciones principales en 3D
Son las races de la siguiente expresin:
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EjemploEl paraleleppedo se deforma al moverse el punto A aA(1.9985, 1.4988, 1.0009). Calcula:
a) Los componentes de deformacin.
b) La deformacin normal en la direccin AB.
c) La deformacin por cortante con respecto a las lneasperpendiculares AB y AC.
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Prueba de tensin o compresin(Ensayo de traccin)
Se usaprincipalmente paradeterminar larelacin entreesfuerzo ydeformacin de un
material.
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Diagrama de esfuerzo-deformacinEl lmite proporcional, ellmite elstico y elesfuerzo de cedencia (ofluencia) est bien
cercanos.
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L
A
P
L
A
P
o
o
:realndeformaci-esfuerzodeDiagrama
:alconvencionndeformaci-esfuerzodeDiagrama
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Materiales dctiles
Pueden ser sometidos a largasdeformaciones antes de la rotura.
rotura
%100AreadeReduccindePerciento
%100ElongacinPorciento
f
A
AA
LLL
o
fo
o
of
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Materiales quebradizos
Muestran bien pocoa casi nada defluencia antes de larotura.
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Lmite de fluencia convencional
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Lmite de fluencia convencional(Offset Method) Se usa para determinar el lmite de fluencia para
materiales que no tienen el punto de fluenciaclaramente definido (como el aluminio)
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Ley de Hooke Valida en la regin lineal del diagrama
Youngdemduloodelasticidademdulo
E
E
D f i
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Deformacin permanente yrecuperacin elstica
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Mdulo de Resilencia (ur)
Eu
pl
plplr
2
2
1
2
1
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Mdulo de dureza (ut)
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Coeficiente de Poisson
5.00
'
long
lat
oo
oflat
oo
of
long
Lsss
LL
LL
Se usa el negativo porquela elongacin longitudinalcausa acortamiento lateraly viceversa.
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Diagrama de esfuerzo
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Diagrama de esfuerzo-deformacin cortante
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Ley de Hooke
En la regin lineal:
rigidezdemdulo
cortantedelasticidademdulo
G
G
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)1(2 E
G
Ms adelante demostraremos de dnde saleesta expresin.
Una frmula til:
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EjemploPara el diagrama mostrado,determina aproximadamenteel mdulo de elasticidad, ellmite proporcional, elesfuerzo ltimo, y el mdulo
de resilencia. Si le aplica auna barra un esfuerzo de 450MPa, determine la cantidadde recuperacin elstica y ladeformacin permanente una
vez se le quite la carga a labarra.
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EjemploLa barra de aluminiomostrada tiene seccionescirculares. El diagrama deesfuerzo-deformacin esmostrado. Determine
aproximadamente laelongacin en la barracuando se aplica la carga.Una vez se remueve lacarga, cual es la
deformacin permanenteen la barra. AsumeEal
=70 GPa.
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EjemploLa barra esta hecha de acero A-36. Determine el
cambio en largo y el cambio de las dimensionesdel rea seccional.
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EjemploLa barra est hecha de unmaterial con lmite de fluenciade 440 MPa y un mdulo derigidez de 26 GPa. Antes de
aplicar la carga, la barra tieneL
o= 250 mm y d
o= 25 mm.
Cuando se aplica la carga, labarra se estira 1.20 mm.Determina el mdulo deelasticidad y cuanto sereduce el dimetro.
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Cambio en volumen
El volumen final de un elemento es:
Expandiendo y despreciando elementos de ms
alto orden:
El cambio unitario en volumen (o dilatacin):
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Ley de Hooke generalizada (3D)
Las cs son constantes elsticas quedependen del material.
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En el caso de esfuerzo biaxial:
En el caso de cortante puro:
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En el caso de 3D, el mismo procedimientolleva a la Ley de Hooke generalizada, vlida
para materiales isotrpicos y homogneos:
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Relacin entreE, G y
Rotando el elemento de cortante puro 45 grados:
Aplicando la Ley de Hooke:Utilizando la ecuacin de transformacin dedeformacin para un ngulo de 45 grados:
Igualando las expresiones:
Sustituyendo esta expresin en la Ley de Hookegeneralizada:
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G y se conocen como las constantes de Lam.
dilatacin
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En el caso de presin hidrosttica dondey
la dilatacin se reduce a
Re arreglando:
dondeKes el mdulo de expansin volumtrica.
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Ejemplo
Calcula el cambio en volumen del bloquehecho de acero (E = 210 GPA, = 0.3) si
est sometido a una presin uniforme de160 MPa).
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Principio de Saint-Venants
El esfuerzo y deformacin producido enpuntos suficientemente alejado de laregin donde se aplica la carga va a ser
igual que el esfuerzo y la deformacinproducido por cargas aplicadas quetengan una resultante estticamente
equivalente y que sean aplicadas alobjeto dentro de la misma regin.
A
P
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