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INDICE
INTRODUZIONE______________________________________________ __________ 3
CAPITOLO 1
Sviluppo dell’intelligenza numerica ________________________________________4
1.1 Conoscenze numeriche preverbali_________________________________ 6
1.2 Imparare a contare_____________________________________________8
1.3 Imparare a scrivere e a leggere i numeri___________________________10
1.4 Strategie e calcolo a mente nei bambini___________________________12
CAPITOLO 2
Disturbi specifici dell’apprendimento_____________________________________14
2.1 I Disturbi Specifici dell’Apprendimento e la scuola italiana_____________17
Disturbo specifico del numero e/o del calcolo (Discalculia Evolutiva)____________20
2.2 Modelli cognitivi e neuropsicologici_______________________________21
2.3 Errori nel sistema del calcolo____________________________________24
2.4 Diagnosi della Discalculia evolutiva e strumenti_____________________25
CAPITOLO 3
La ricerca____________________________________________________________28
3.1 Partecipanti__________________________________________________28
3.2 Materiali____________________________________________________29
3.3 PMA________________________________________________________29
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3.4 Fluenza numerica_____________________________________________31
3.5 AC-MT______________________________________________________32
CAPITOLO 4
Risultati per classe_____________________________________________________35
4.1 Classe III C Cittadella___________________________________________36
4.2 Classe V A Cittadella___________________________________________41
CAPITOLO 5
Conclusioni___________________________________________________________48
BIBLIOGRAFIA_________________________________________________________51
APPENDICE___________________________________________________________56
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Introduzione
Con questo lavoro abbiamo voluto valutare le abilità di calcolo e di ragionamento nei
bambini delle classi terza e quinta della scuola primaria.
Nel primo capitolo tratteremo lo sviluppo dell’intelligenza numerica, ovvero la capacità
di conoscere i fenomeni attraverso principi quantitativi e attraverso l’utilizzo del
sistema dei numeri. Ci si interroga su come i numeri siano presenti nella nostra mente
e sul tanto dibattuto rapporto tra lo sviluppo del sistema di elaborazione del numero e
gli altri sistemi cognitivi.
Nel secondo capitolo verranno introdotti i Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA),
come vengono definiti dai principali manuali diagnostici, per procedere nel particolare
attraverso un’analisi di come questi deficit vengano trattati nel territorio scolastico
italiano. Focalizzeremo l’attenzione in special modo su un DSA, la Discalculia Evolutiva.
Nel terzo capitolo verrà presentata la nostra ricerca: 176 bambini sono stati sottoposti
a tre prove in due distinti momenti, pre-test e post-test. La somministrazione
consisteva in prove della batteria PMA (abilità mentali primarie, Thurstone e
Thurstone, 1962), prove di fluenza numerica e prove tratte dalla batteria AC-MT
(Cornoldi e al, 2012). Successivamente verranno esposte le caratteristiche di queste
prove.
Nel quarto capitolo illustreremo i dati raccolti distinti per classe e sarà possibile
confrontare i risultati attraverso dei diagrammi a torta.
Infine, nel quinto capitolo verranno presentate le conclusioni di questo lavoro.
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CAPITOLO 1
SVILUPPO DELL’INTELLIGENZA NUMERICA
La conquista della conoscenza numerica rappresenta sicuramente uno dei processi più
affascinanti e complessi dello sviluppo infantile. La psicologia dello sviluppo e
dell’educazione si sono ampiamente interrogate su come giungono i bambini a
riconoscere le quantità, a rappresentarle e a manipolarle attraverso un sistema
simbolico complesso quale quello dei numeri.
Una tra le prime ipotesi interpretative è quella proposta da Piaget (1941) secondo cui
lo sviluppo del concetto del numero non viene acquisito prima dei 6-7 anni poiché
subordinato allo sviluppo delle capacità tipiche del pensiero operatorio. Questo stadio
consente di giungere alla padronanza di operazioni spazio-temporali e di vere e
proprie operazioni logiche, che permettono di coordinare i dati indipendentemente
dalle informazioni spaziali e temporali in cui si trovano. Secondo il modello piagetiano,
infatti, la costruzione del numero va di pari passo con lo sviluppo della logica; occorre
che i bambini si rendano conto che ogni parola-numero corrisponde ad un oggetto,
non basta l’essere in grado di produrre la sequenza verbale dei numeri per saper
contare utilizzando il concetto di numero. Perciò, per lo psicologo svizzero, l’idea di
numero è astratta.
Studi successivi hanno in realtà mostrato diverse debolezze del modello appena citato,
dovute anche alle formulazioni linguistiche dei compiti. Ad esempio è stato verificato
che le risposte dei bambini sono facilitate se nelle domande vengono utilizzati nomi di
collezioni (foresta, grappolo, mazzo), anziché di classi (alberi, acini, fiori), in quanto i
primi poiché fondati sulla relazione “essere parte di” sembrano essere
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psicologicamente più forti a livello di organizzazione concettuale. Girelli, Lucangeli e
Butterworth (2000) hanno dimostrato la difficoltà incontrata dai bambini più piccoli nel
riconoscere e confrontare quantità numeriche se il compito presenta condizioni
percettivamente e/o quantitativamente ambigue (effetto stroop numerico): quando
uno dei due numeri è scritto in dimensioni percettivamente più grandi i bambini fanno
fatica a riconoscere quale sia maggiore tra i due, ancora, in presenza di oggetti
percettivamente di grandezza differente (per esempio elefanti e ciliegie) faticano a
riconoscere l’uguaglianza di quantità.
La letteratura psicologica si è più volte interrogata riguardo al rapporto che intercorre
tra lo sviluppo del sistema di elaborazione del numero e gli altri sistemi cognitivi, in
particolare quello linguistico. I due sistemi presentano somiglianze, in quanto entrambi
si esprimono attraverso il canale uditivo-vocale e attraverso il canale visivo-gestuale
(modalità arabica, grafico-analogica, gestuale), inoltre come ogni “segno linguistico” i
numeri all’interno del codice verbale hanno un rapporto convenzionale con il
significato che sottendono (ovvero la quantità). Tuttavia, negli ultimi anni alcuni studi
hanno cercato di differenziare le caratteristiche delle strutture cognitive dei due
sistemi offrendo dati sperimentali relativi alle abilità numeriche non verbali di neonati
e animali. Sembra che l’elaborazione del numero possa essere ricondotta non solo ed
esclusivamente ad operazioni di elaborazione linguistica/simbolica, ma anche ad
operazioni di quantificazione, cioè a operazioni cognitive mediate dall’attivazione di
una rappresentazione mentale della quantità numerica di tipo non verbale (Dehaene,
1992). In particolare i processi di quantificazione si basano su competenze che
dipendono, non tanto dalle abilità di conteggio, ma da altre abilità specifiche quali il
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subitizing e la stima di grandezza.
Gallistel e Gelman (1992) definiscono il concetto di subitizing come processo di
quantificazione il quale, dato un insieme di elementi n, ci permette di riconoscere la
quantità presente senza ricorrere a veri e propri meccanismi di conteggio. Risulta
efficiente solo nei casi di piccole numerosità (4-6 elementi nei soggetti adulti) ed è
caratterizzato da risposte veloci ed accurate. Nel caso di numerosità più grandi entra in
gioco il meccanismo denominato “stima di grandezze”, processo di riconoscimento di
quantità maggiore di 6-7 elementi, però meno accurato del subitizing.
A proposito della tesi innatista del “cervello matematico”, Butterworth (1999, 2005)
ritiene che esistano dei circuiti cerebrali specializzati per categorizzare il mondo in
termini di numerosità, essi costituiscono il “Modulo Numerico”. Di conseguenza, le
capacità numeriche sono modulari, ovvero delineano un modulo cognitivo
contraddistinto da specificità di dominio. L’autore sostiene che le informazioni
attraverso il modulo numerico vengano estratte rapidamente, pertanto le abilità
matematiche di base siano geneticamente determinate e presenti fin dalla nascita. E’
doveroso a questo punto precisare che le differenze riscontrabili da individuo a
individuo sono rese possibili dalla trasmissione di strumenti culturali, le capacità
numeriche più avanzate sono riconducibili all’istruzione e all’apprendimento.
1.1 Conoscenze numeriche preverbali
Studi sulla primissima infanzia e lavori che utilizzano modelli animali hanno dimostrato
che sia neonati che animali sono capaci di riconoscere le quantità numeriche, o meglio
ancora sanno discriminare tra insiemi di diversa numerosità. Gli scimpanzé sono in
grado di compiere semplici operazioni di transcodifica dal sistema di notazione arabo a
quello pittografico e sono capaci di individuare il numero arabo corrispondente ad una
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certa numerosità. Queste evidenze portarono ad ipotizzare che le basi della
competenza numerica umana si possano trovare nei meccanismi preverbali per il
calcolo e nel ragionamento aritmetico che la specie umana condivide con altre specie
animali.
Strauss e Curtis (1981) hanno dimostrato che bambini di 10-12 mesi erano in grado di
evidenziare la variazione di quantità (N – 1 oppure N + 1) di insiemi di tre o quattro
elementi che durante la fase di abituazione venivano presentati variando tipo di
elementi (per esempio mele, case ecc) posizione e dimensione. Nel 1983 Antell e
Keating hanno confermato addirittura come neonati da 1 a 12 giorni di vita riescano a
differenziare insiemi di due e tre.
Il bambino grazie al concetto di numerosità non solo differenzia due insiemi in base al
numero di elementi contenuti, ma possiede anche delle aspettative aritmetiche
rispetto a cambiamenti di numerosità provocati dall’aggiunta o dalla sottrazione di
oggetti. Wynn (1992) ha dimostrato ciò utilizzando il fatto che i bambini piccoli
guardano più a lungo gli eventi che non corrispondono alle loro aspettative:
presentando prima un pupazzetto in un teatrino che veniva nascosto da uno schermo
e successivamente un altro che veniva aggiunto dietro lo schermo stesso, i bimbi di 5
mesi variarono i tempi di fissazione quando, all’abbassarsi dello schermo, vedevano un
solo pupazzetto, dimostrando di saper compiere operazioni additive. Per quanto
riguarda numerosità più consistenti, la letteratura ha evidenziato come i bambini di 5-6
mesi siano in grado di distinguere tra insiemi di 8 e di 16 elementi, ma non tra 8 e 12,
concludendo che la capacità di discriminare interessa numerosità abbastanza elevate
aventi un rapporto 1:2.
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Si può a questo punto sostenere che i bambini, molto prima di parlare e conoscere i
simboli numerici, sono in grado di categorizzare il mondo in termini di numerosità.
1.2 Imparare a contare
Uno dei primi contatti tra il senso del numero del bambino e gli strumenti concettuali
forniti dalla cultura è il contare. Molte filastrocche contengono conte o parole-conta e
perfino i titoli di alcune fiabe contengono parole-numero. Tuttavia, a differenza di
quanto ci possa sembrare, imparare a contare richiede circa quattro anni, dall’età di 2
a quella di 6. Contare è un’abilità complessa e, secondo Wynn (1992, 1999), il
passaggio dalle competenze preverbali alla vera e propria capacità di contare
presuppone di mettere in relazione i concetti-numero con le parole-numero.
Relativamente a questo passaggio, nella letteratura sono presenti almeno due distinte
visioni teoriche: la teoria dei principi di conteggio e la teoria dei contesti diversi.
Secondo Gelman e Gallistel (1978), autori della teoria dei principi di conteggio, i
bambini piccoli possiedono un concetto innato di numero (così come esiste una
struttura innata del linguaggio), concetto che si evolve nell’acquisizione delle
procedure di calcolo, attraverso tre principi:
a. il principio della corrispondenza biunivoca (ogni elemento dell’insieme contato
deve corrispondere a una sola parola-numero);
b. il principio dell’ordine stabile (le parole-numero devono essere ordinate in una
sequenza fissa che riproduce gli elementi che devono essere contati);
c. il principio della cardinalità (l’ultima parola-numero usata in un conteggio
rappresenta la numerosità degli elementi contati).
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Gli autori aggiungono, inoltre, il principio di astrazione, secondo il quale è possibile
contare qualsiasi cosa e quello di irrilevanza dell’ordine secondo il quale l’ordine in cui
si contano gli oggetti è irrilevante.
I bambini pertanto conoscono i principi prima che le loro abilità siano pienamente
sviluppate, solamente in un secondo momento grazie all’apprendimento del conteggio
si formerebbe una “mappatura bidirezionale” tra le grandezze non-verbali (che
rappresentano la numerosità) e le parole-numero.
La teoria dei contesti diversi, sviluppata da Fuson (1991) si differenzia da quella di
Gelman e Gallistel per il valore considerevolmente minore attribuito alle strutture
innate della conoscenza. I principi di conteggio e di calcolo sono progressivamente
sviluppati attraverso ripetuti esercizi e per imitazione, ciò sottolinea la costante
interazione tra funzioni innate e derivanti dalla cultura. Anche Fuson riscontra la
presenza dei principi della conta che però denomina “competenze concettuali” ed
affinchè questi vengano utilizzati in modo corretto e competente, sono indispensabili
ripetuti momenti di apprendimento e quindi molto tempo. All’inizio il bambino
impiega le parole-numero solo all’interno di specifici contesti senza riuscire a collegarli
tra loro, come ad esempio l’enunciazione della serie numerica convenzionale ripetuta
senza alcun riferimento, come recita di una filastrocca; a partire dai 2 anni fino agli 8-9
integrando i diversi significati d’uso arriverà a riconoscere che ogni parola-numero fa
riferimento al totale di unità che la precedono, se stessa compresa (cardinalità), e che
inoltre qualunque unità della serie numerica può assumere il valore “più uno” in
relazione all’unità precedente e “meno uno” rispetto alla successiva. Secondo Fuson
occorre aspettare i 4 anni circa perche il bambino possa comprendere il valore di
cardinalità, in particolare secondo l’autrice la padronanza dei tre principi segue
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un’evoluzione: dapprima viene raggiunta quella del principio dell’ordine stabile, poi di
quello della corrispondenza biunivoca e per ultima quella del principio di cardinalità.
1.3 Imparare a scrivere e a leggere i numeri
Il processo di acquisizione della scrittura del numero è stato indagato prevalentemente
in riferimento allo sviluppo della competenza simbolica. Già Piaget (1945; Piaget e
Inhelder, 1966) sosteneva che a partire dai due anni i bambini sono in grado di
rappresentare un oggetto o un evento (significato) tramite un altro (significante), ma è
tra i 5 e i 7 anni che avverrebbe l’accesso al sistema simbolico-notazionale. La
produzione di significanti collettivi (segni) da parte del bambino implica il passaggio
dall’uso personale a quello convenzionale.
Alcune ricerche sottolineano che il bambino in età pre-scolare impieghi diversi tipi di
formato grafico per esprimere le quantità, Hughes (1982, 1987) propone l’esistenza di
quattro categorie di rappresentazione:
• idiosincratica, cioè priva di notazioni comprensibili;
• pittografica, che riproduce figurativamente gli oggetti della collezione;
• iconica, formata da segni grafici come ad esempio asticelle, posti in
corrispondenza biunivoca con gli oggetti;
• simbolica, cioè costituita dai numeri arabici veri e propri.
Mentre bambini di tre anni e mezzo e di quattro anni usano molti segni sia
idiosincratici che pittografici, dai quattro ai quattro anni e mezzo i bambini usano
prevalentemente segni iconici (simboli e lettere) e cominciano ad utilizzare simboli
arabici. In generale i tipi di notazione numerica evidenziati dagli studi menzionati sono
riconducibili a tre distinte classi:
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o notazione con grado informativo nullo per un osservatore esterno, ma avente
significato personale per il bambino,
o notazione basata sulla corrispondenza biunivoca,
o notazione convenzionale.
Altrettanto complesso sembra il percorso di sviluppo delle capacità di lettura dei
numeri arabici.
Riguardo allo sviluppo delle capacità di riconoscere i numeri scritti, Pontecorvo (1985)
identifica una certa evoluzione dall’identificazione errata, all’identificazione soltanto di
alcuni numeri, i più semplici e noti, fino all’identificazione del numero corretto
accompagnata dalla sua rappresentazione esatta della quantità.
Bialystock (1992), studiosa dello sviluppo della comprensione simbolica dei numeri,
sostiene che quest’ultima consente di integrare le rappresentazioni dei numeri stessi in
modo che al numero che si dice “tre” corrisponda la scrittura arabica 3 e il suo
semante quantitativo. Lo sviluppo di questa comprensione procede secondo tre stadi:
da un apprendimento delle notazioni solamente orali dei numeri (incapacità di
distinguere gli elementi sia nella scrittura che nel suo semante quantitativo), a una
rappresentazione formale (riconoscimento nome verbale e scrittura corrispondente al
numero), giungendo infine una rappresentazione simbolica (rappresentazione formale
integrata al riconoscimento della quantità).
I numeri primitivi appartengono a tre classi diverse, chiamate “ordini di grandezza” o
“livelli”: le unità, i “teens” che contengono la sottocategoria dei “dici” (11, 12, 13,…), le
decine (21, 22, 23,….41,…). Ogni elemento è caratterizzato, oltre che dalla classe a cui
appartiene, dalla posizione occupata nella classe stessa. Essendo dunque ogni cifra
caratterizzata da una relazione spaziale con le altre cifre componenti il numero, errori
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di lettura di numeri possono essere prodotti da difficoltà nel riconoscimento delle
posizioni, perciò della sintassi interna al numero stesso. Errori di lettura di questo tipo
possono essere:
574 => “cinquesettequattro”
20057 => “duecentocinquantasette”.
In seguito ai dati forniti dalle ricerche sullo sviluppo della capacità numerica, è
possibile concludere che tutti i meccanismi di calcolo e manipolazione del sistema
numerico possono avere origine solo quando l’evoluzione dei meccanismi di
riconoscimento preverbale delle quantità si sia evoluta ed integrata con gli
apprendimenti relativi ai sistemi di conteggio, lettura e scrittura dei numeri
elementari.
1.4 Strategie e calcolo a mente nei bambini
Le strategie impiegate dai bambini per svolgere calcoli a mente seguono un certo
percorso evolutivo, anche se è stato rilevato che possono coesistere e continuare a
competere più strategie per lunghi periodi di tempo. Nei bambini di scuola materna,
Siegler e Mitchell (1982) hanno individuato la coesistenza di quattro distinte strategie
per lo svolgimento di semplici calcoli a mente: il conteggio sulle dita esplicito; la
strategia delle dita senza evidente conteggio; il conteggio verbale ad alta voce senza il
supporto delle dita o di altri riferimenti specifici; la mancanza di una strategia
chiaramente desumibile dal comportamento. Secondo gli autori, la scelta della
strategia adottata non dipende da una certa consapevolezza metacognitiva in quanto
difficilmente il bambino riconosce il livello di difficoltà del compito, ma è conseguenza
del “livello di fiducia”. La strategia più evoluta appare quella del recupero, le altre
verrebbero utilizzate solo in caso di insuccesso della prima.
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Un contributo importante è stato dato da Geary (1990, 1993) sulle tappe dello sviluppo
del conteggio: inizialmente i bambini tendono a contare sulle dita utilizzando una
procedura totale counting all in cui si contano entrambi gli addendi (sollevano le dita
per il primo addendo e poi per il secondo, per contare infine tutte le unità dal primo
addendo). Al termine della classe prima della scuola primaria, i bambini solitamente
iniziano ad utilizzare una strategia più sofisticata che consiste nell’iniziare a contare
dall’addendo maggiore per aggiungere poi le unità dell’addendo minore, strategia
chiamata counting on. Secondo Geary, poi, la strategia più evoluta è caratterizzata dal
guardare le dita senza contarle, per aiutarsi nel recupero del risultato. Interessanti
sono le ricerche focalizzatesi sulle differenze culturali (Song e Ginsburg, 1987), nelle
quali sono stati operati dei confronti nelle abilità di calcolo tra bambini africani ed
americani, scolarizzati e non. I dati ricavati affermano come i processi mentali
sottostanti queste abilità non differiscano significativamente in funzione della cultura e
della classe sociale di appartenenza. La scolarizzazione invece, risulta rilevante per
l’esecuzione di operazioni standard di calcolo verbale. Di conseguenza si rivelano di
fondamentale importanza la trasmissione di conoscenze e di contenuti per mezzo della
scuola.
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CAPITOLO 2
DISTURBI SPECIFICI DELL’ APPRENDIMENTO
I Disturbi Specifici dell’ Apprendimento (DSA), nelle loro diverse espressioni, fanno
parte della più ampia gamma di Disordini Evolutivi, che possono manifestarsi nell’
acquisizione delle abilità linguistiche, nell’apprendimento, nello sviluppo cognitivo.
I disturbi specifici dello sviluppo riguardano quelle alterazioni funzionali che
coinvolgono il linguaggio (Disturbi Specifici di Linguaggio), la lettura (decodifica
comprensione del testo), la scrittura (ortografia ed espressione del testo), il calcolo, le
tappe motorie (Disturbo di Sviluppo della Coordinazione Motoria), le abilità attentive,
l’interazione sociale; essi possono manifestarsi isolatamente o più spesso in
associazione tra loro. La funzione alterata interessa uno o più “domini specifici”,
sistemi separati anche se altamente interattivi tra loro.
L’alterazione della funzione viene indicata secondo modalità dimensionali: la
discontinuità tra normalità e patologia viene identificata all’interno della dimensione di
sviluppo di una determinata abilità che può andare da assente, parzialmente acquisita,
acquisita ma non in modo del tutto adeguato, a completamente acquisita, indicando
quindi che l’espressività del disturbo si modifica in relazione al livello di
compromissione della funzione e all’età.
E’ importante ricordare di discriminare tra i disturbi evolutivi specifici delle abilità
scolastiche che insorgono in assenza di condizioni neurologiche clinicamente
diagnosticabili e quelli che sono secondari a qualche condizione neurologica come la
paralisi cerebrale, qui ci interesseremo ai primi. Per Morton e Frith (1995) sono tre i
livelli di interpretazione dei Disturbi dello Sviluppo: biologico, cognitivo e
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comportamentale. Quello biologico si occupa delle cause genetiche e delle
caratteristiche neuroanatomiche e neurofisiologiche del cervello, il secondo livello si
occupa dell’architettura funzionale delle abilità cognitive, il terzo livello si occupa di
studiare l’espressività sintomatica del disturbo in relazione alle richieste dell’ambiente.
Tra le due maggiori proposte di classificazioni dei disturbi psichici, l’ ICD-10
(International Classification of Diseases, decima versione 2007) e il DSM-5 (Diagnostic
System Manual) c’è una discreta concordanza nel definire i DSA. Fare riferimento a dei
criteri concordanti a livello internazionale costituisce una necessità allo scopo di
riuscire a trovare un linguaggio comune, e quindi a confrontare dati e osservazioni.
Chiara e ricca di informazioni è la descrizione proposta dall’ ICD-10 (2007):
“Questi sono disturbi nei quali le modalità normali di acquisizione delle capacità in
questione sono alterate già nelle fasi iniziali dello sviluppo. Essi non sono
semplicemente una conseguenza di una mancanza di opportunità di apprendere e non
sono dovuti ad una malattia cerebrale acquisita. Piuttosto si ritiene che i disturbi
derivino da anomalie nell’elaborazione cognitiva legata in larga misura a qualche tipo
di disfunzione biologica. Come per la maggior parte degli altri disturbi dello sviluppo,
queste condizioni sono marcatamente più frequenti nei maschi. […]
Esistono cinque difficoltà nel porre la diagnosi. In primo luogo vi è la necessità di
distinguere i disturbi in questione dalle normali variazioni nel rendimento scolastico. Ci
si deve porre cioè il problema se la segnalazione dell’insegnante o dei genitori allo
psicologo coglie un momento transitorio di difficoltà dell’apprendimento, oppure
esprime un diverso disagio scolastico da definire, e pertanto se queste difficoltà si
debbano considerare come variazioni di un normale percorso evolutivo.
In secondo luogo è necessario prendere in considerazione l’età del soggetto sottoposto
ad indagine clinica e la fase dello sviluppo in cui si trova. Questo è importante in
rapporto a due aspetti: a) gravità; b) il cambiamento delle caratteristiche del disturbo,
si tratta cioè di osservare se la condizione morbosa è sempre la stessa, ma la sua
espressione cambia con il progredire dell’età, oppure se le manifestazioni del disturbo
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interessano diversi aspetti dell’apprendimento.
In terzo luogo c’è la difficoltà legata al fatto che le abilità scolastiche devono essere
imparate ed insegnate: esse non sono semplicemente una funzione della maturazione
biologica. Inevitabilmente il livello delle capacità dei bambini dipenderà dalla
situazione familiare e scolastica e non sono dalle loro caratteristiche individuali.
In quarto luogo, sebbene i risultati delle ricerche forniscano un sostegno all’ipotesi di
anomalie di basi nell’elaborazione cognitiva, non esiste una maniera semplice per
differenziare nel singolo bambino le anomalie che causano le difficoltà. La difficoltà è
accentuata dal fatto che i disturbi possono derivare da più di un tipo di anormalità
cognitiva.
In quinto luogo, vi sono persistenti incertezze sul modo migliore di suddividere i disturbi
evolutivi specifici delle abilità scolastiche. L’eziologia dei disturbi evolutivi specifici delle
abilità scolastiche non è nota, ma si suppone che vi sia un intervento significativo di
fattori biologici i quali interagiscono con fattori non biologici producendo le
manifestazioni ‘patologiche’.
Una caratteristica necessaria per una diagnosi differenziale rispetto ad altri problemi
evolutivi riguarda il tempo in cui tali disturbi si manifestano. È da rilevare infatti se i
disturbi siano presenti, in qualche forma, dagli anni iniziali dell’istruzione scolastica.
Infatti, può succedere che i bambini possano rimanere indietro nel loro rendimento
scolastico durante una fase più tardiva della loro carriera (a causa della mancanza di
interesse, di un insegnamento scadente, di disturbi emotivi, di un aumento o di un
cambio nel tipo di prestazione richiesta, eccetera), ma tali problemi non entreranno a
far parte del concetto di disturbo evolutivo specifico delle abilità scolastiche.”
La revisione del DSM, quinta versione, fa riferimento ai DSA con l’espressione
“Learning Disorders”, individuando nelle competenze di base quali la lettura accurata e
fluente, lo scrivere e il far di conto gli ambiti nei quali valutare l’apprendimento.
Rispetto alla precedente versione del manuale viene meglio definita la condizione di
discalculia, intesa come difficoltà di produzione o di comprensione delle quantità, dei
simboli numerici o delle operazioni aritmetiche di base. Si tratta quindi di un disturbo
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che coinvolgerebbe sia le componenti di cognizione numerica basale sia di tipo
procedurale.
Per quanto riguarda il Quoziente Intellettivo generale, il criterio della discrepanza tra
questo (QI) e DSA incontra interpretazioni differenti. La Consensus Conference
dell’Istituto Superiore di Sanità (ISS, 2011) ha evidenziato che differenziare i DSA sulla
base del loro QI ha una scarsa validità empirica; inoltre, il profilo cognitivo generale è
risultato essere sempre più informativo del semplice livello di QI per la formulazione
della diagnosi. Pertanto viene suggerito di utilizzare il QI solo tra i criteri di esclusione,
mentre è opportuno utilizzare i dati del profilo cognitivo nella definizione della
diagnosi funzionale.
La diagnosi funzionale viene elaborata dallo psicologo clinico in seguito ad uno studio
di raccolta basato sull’osservazione. Essa deve contenere una valutazione descrittiva
dei disturbi cognitivi e dell’apprendimento e la formulazione di ipotesi sulle cause del
deficit, deve consentire inoltre l’individuazione del disturbo all’interno delle
classificazioni esistenti relative ai disturbi dello sviluppo, così da favorire una possibilità
di comunicazione veloce e sufficientemente precisa tra gli operatori dei servizi per il
tipo di patologia riscontrata nel soggetto in esame.
2.1 I Disturbi Specifici dell’ Apprendimento e la scuola italiana
Il clinico dei DSA analizza con procedure proprie abilità e processi inerenti agli
apprendimenti strumentali e strategici, ma raccoglie anche attraverso la descrizione
dei genitori e del ragazzo informazioni sulle manifestazioni di queste problematiche nel
contesto scolastico. Accade spesso quindi che questo punto di vista clinico trascuri,
almeno in parte, il punto di vista della scuola, nonostante costituisca una conoscenza
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importante per chi si occupa di psicopatologia dell’apprendimento. In fase diagnostica,
ad esempio, esso può contribuire a inserire i sintomi rilevati all’interno di più precise
coordinate di riferimento, che permettono al clinico di inquadrare e contestualizzare
meglio il caso; può inoltre consentire una scelta più accurata degli strumenti di misura
da utilizzare; può infine fornire informazioni sulla cui base scegliere in modo più mirato
gli interventi riabilitativi e le indicazioni e i suggerimenti da proporre alla scuola.
Queste attenzioni possono favorire e rendere possibile una positiva relazione con la
scuola frequentata dal bambino/studente, che deve essere coinvolta nel processo di
diagnosi e presa in carico, nel rispetto delle reciproche competenze e responsabilità.
E’ nell’ultimo anno della scuola dell’infanzia (5-6 anni) che accanto alle attività di tipo
ludico caratterizzanti questa scuola, si propongono anche attività di pre-lettura, pre-
scrittura, pre-calcolo, preparatorie all’istruzione successiva in modo più sistematico e
strutturato. Sempre in questo anno è possibile effettuare screening indirizzati ad
individuare i bambini a rischio di DSA e predisporre interventi di sviluppo e
arricchimento appropriati.
Solo successivamente, nel primo ciclo della scuola primaria (prima e seconda), ha inizio
in modo formale l’alfabetizzazione, e fondamentali sono l’acquisizione di abilità
strumentali di lettura, scrittura, calcolo. Se non è già stata svolta prima, è utile una
rilevazione iniziale che consenta di individuare i casi a rischio di DSA, attraverso la
collaborazione tra clinico/servizi e la scuola.
E’ bene tenere presente che proprio per la maggiore “plasticità” evolutiva del bambino
rispetto agli anni successivi, gli interventi sia didattici sia abilitativi possono essere
estremamente importanti: l’aiuto tempestivo al bambino e alla sua famiglia, la
creazione di un’importante alleanza con gli insegnanti per individuare obiettivi didattici
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possibili, la conseguente organizzazione di momenti di confronto formali, ecc.
Per impostare positivamente l’interazione e la coordinazione con il contesto scuola, è
fondamentale che il clinico dell’apprendimento conosca la normativa emanata in
questi ultimi anni sui DSA.
La promulgazione della legge nazionale n. 170 dell' 8/10/2010 costituisce un nuovo
punto di partenza nel lavoro da svolgere a favore di studenti con DSA. Nella legge
avviene un riconoscimento e una definizione di dislessia, disgrafia, disortografia e
discalculia; inoltre tre nuovi punti la differenziano dalle normative precedenti:
• alla diagnosi di DSA e alla relazione clinica non segue la stesura della
certificazione su apposita modulistica controfirmata dai genitori;
• per gli alunni con DSA non è previsto del personale aggiuntivo alla classe
(insegnante specializzato);
• per gli studenti e gli alunni con DSA la normativa prevede che la scuola
garantisca interventi didattici individualizzati e personalizzati, misure
dispensative, strumenti compensativi e adeguate forme di verifica e
valutazione che dovranno essere formalizzate in un documento scritto,
elaborato dagli insegnanti, che può acquisire la forma del Piano Didattico
Personalizzato (PDP).
A scuola questi studenti, infatti, possono avere percorsi diversi a seconda di come
vengono “riconosciuti” e “valorizzati”: il disturbo prima dei 7-8 anni che li caratterizza,
in un certo contesto, può migliorare e consentire sostanzialmente il normale iter
scolastico, con il raggiungimento degli obiettivi standard previsti per quel livello di
scolarità oppure, in ambienti più sfavorevoli, permane inalterato e, accanto a difficoltà
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negli apprendimenti possono insorgere problemi di relazione, motivazione,
comportamento, che aggravano la situazione scolastica e in alcuni casi precludono la
prosecuzione degli studi.
La collaborazione con la scuola per il clinico dell’apprendimento costituisce un punto
imprescindibile al fine di realizzare un efficace lavoro sia a livello di prevenzione, di
diagnosi e soprattutto di intervento “terapeutico”, abilitativo e riabilitativo.
DISTURBO SPECIFICO DEL NUMERO E/O DEL CALCOLO
(DISCALCULIA EVOLUTIVA)
Il Disturbo specifico del calcolo, denominato anche “Discalculia Evolutiva”, è un
disturbo che influisce sulle capacità di acquisire abilità aritmetiche. Esso rientra nei
Disturbi Specifici dell’Apprendimento, nonostante sia più recente rispetto alle ricerche
sui disordini della lettura e del linguaggio e abbia quindi una mole di contributi
inferiore.
Il DSM-V (APA, 2013) in accordo con l’ICD-10 (OMS, 2007), identifica il disturbo del
calcolo come caratterizzato da prestazioni sostanzialmente inferiori a quanto previsto
in base all’età cronologica del soggetto nella capacità di calcolo, misurata con test
standardizzati somministrati individualmente. E’ bene tenere presente che l’anomalia
deve interferire in modo significativo con l’apprendimento scolastico ed i sintomi che
permettono l’individuazione di questo disturbo sono:
• mancato riconoscimento dei simboli numerici,
• mancanza di comprensione dei segni matematici,
21
• incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni,
• difficoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema aritmetico
che si sta considerando,
• difficoltà ad allineare correttamente i numeri o ad inserire decimali,
• scorretta organizzazione spaziale dei calcoli,
• incapacità di apprendere il calcolo a mente e i fatti numerici.
In Italia, le Raccomandazioni per la pratica clinica definite con il metodo della
Consensus Conference (AID, 2009) prevedono la possibilità di distinguere nella
discalculia due differenti profili di deficit: quello caratterizzato da debolezze nella
cognizione numerica basale (o intelligenza numerica basale come subitizing,
meccanismi di quantificazione, comparazione, seriazione, strategie di calcolo a mente)
o quello relativo a debolezze nelle procedure esecutive (lettura, scrittura e messa in
colonna dei numeri) e di calcolo (recupero dei fatti numerici e algoritmi del calcolo
scritto).
Come si può notare, sotto un’unica classificazione del disturbo sono rappresentate una
serie di difficoltà che interessano aspetti molto differenti.
2.2 Modelli cognitivi e neuropsicologici
Interrogandosi sulla natura dei disturbi dell’elaborazione numerica e del calcolo si
incontrano un vasto numero di ipotesi ed interpretazioni assai complesse ed
eterogenee.
Cohn (1968, 1971) ha definito la discalculia come un “ritardo nell’acquisizione delle
capacità numeriche”, caratterizzata dall’incapacità di sviluppare le facoltà di
riconoscere i simboli numerici, di ricordare le operazioni basilari o l’uso dei simboli, di
22
richiamare alla memoria le tabelline, di mantenere l’ordine proprio dei numeri durante
il calcolo.
Rourke e Strang (1983) hanno rilevato difficoltà nell’organizzazione spaziale, difficoltà
nel dettaglio visivo, difficoltà grafo-motorie, problemi di memoria, errori di giudizio e
di ragionamento, ipotizzando deficit neuropsicologici alla base del disturbo.
Badian (1983) ha introdotto la categoria della discalculia attenzionale-sequenziale
caratterizzata da inaccuratezza nell’addizionare e nel sottrarre, nel ricordare le
tabelline e nel considerare il riporto e la virgola; se i soggetti con questo disturbo
hanno appena concluso un’addizione, essi tenderanno ad eseguire l’esercizio
successivo rifacendo un’addizione ed ignorando l’altro simbolo matematico. Secondo
ricerche più recenti di Temple (1989, 1991, 1997), Sokol, Macaruso e Gollan (1994),
Macaruso e Sokol (1999) le competenze di processazione numerica dipendono da
diverse componenti cognitive (comprensione, produzione e calcolo). Questi autori
hanno focalizzato l’attenzione ai meccanismi coinvolti nel calcolo in soggetti in età
evolutiva, ispirandosi al modello neuropsicologico modulare di McCloskey: la
rappresentazione mentale della conoscenza numerica, oltre ad essere indipendente da
altri sistemi cognitivi, è strutturata in tre moduli a loro volta distinti funzionalmente. Il
sistema di comprensione trasforma la struttura superficiale dei numeri (diversa a
seconda del codice, verbale o arabico) in una rappresentazione astratta di quantità. Il
sistema del calcolo riceve questa rappresentazione come input, per poi manipolarla
attraverso tre componenti: i segni delle operazioni, i “fatti aritmetici” o operazioni di
base e le procedure del calcolo. I meccanismi di produzione rappresentano l’output del
sistema del calcolo, fornendo così le risposte numeriche. Nel dettaglio, l’elaborazione
di un numero comporta inizialmente una sua rappresentazione concettuale o
23
semantica, attraverso la quale vengono identificati tutti gli elementi costituenti il
numero, specificando per ciascuno di essi le informazioni relative alla quantità e
all’ordine di grandezza.
I modelli cognitivi e neuropsicologici, quindi, hanno l’obiettivo di identificare
l’architettura generale del sistema di elaborazione del numero e del calcolo, e
descrivono un sistema complesso in cui la disfunzione di alcune parti si può tradurre in
specifiche difficoltà di calcolo.
Temple (1991,1997) tramite l’osservazione di errori commessi da bambini con
difficoltà di calcolo, descrive tre tipi di discalculia evolutiva:
1. dislessia per le cifre, caratterizzata da difficoltà nell’acquisizione dei processi
lessicali sia nel sistema di comprensione del numero che di produzione del
calcolo. La processazione sintattica è intatta, le problematiche si rilevano a
livello di recupero dei singoli elementi lessicali.
Es. 34= sessantasei; 1= nove.
Questo particolare permette di ipotizzare il lessico dei numeri come ambito
autonomo rispetto al linguaggio, i meccanismi di processazione lessicale come
funzionalmente indipendenti dai meccanismi di processazione sintattica e
ancora, i “dici” o “tens”, i numeri dall’11 al 19, come costituenti una classe
lessicale distinta.
2. discalculia procedurale, forti cadute nell’acquisizione delle procedure e degli
algoritmi implicati nel sistema del calcolo. I soggetti interessati non presentano
nessun tipo di difficoltà nell’area della processazione numerica (lettura e
scrittura di numeri arabici e parole-numero) e neppure nella conoscenza dei
24
fatti aritmetici, ma commettono errori di riporto, di incolonnamento e di
prestito.
3. discalculia per i fatti aritmetici, caratterizzata da difficoltà nell’acquisizione dei
fatti numerici all’interno del sistema di calcolo. In questa situazione ci sono
errori sia nelle tabelline, che in operazioni a cui dovrebbe essere dato risultato
senza l’impiego di calcoli, come 15*2, 100:2.
2.3 Errori nel sistema del calcolo
In vista dell’aspetto riabilitativo, la letteratura ha proposto una prospettiva che
individua il tipo di intervento da effettuare a partire dall’analisi dell’errore manifestato
dal soggetto. Gli errori nel sistema di calcolo sono stati attribuiti a differenti tipi di
difficoltà: errori procedurali e di applicazione di strategie; errori di recupero dei fatti
aritmetici; difficoltà visuo-spaziali.
I primi si presentano in quei bambini che pur avendo appreso procedure di conteggio
facilitanti, si aiutano ancora con procedure più immature, ad esempio nell’operazione
2+5 partono da 2 per aggiungere 5 invece che partire dall’addendo più grande. Le più
semplici regole di accesso rapido non sono interiorizzate abbastanza, di conseguenza il
sistema di memoria può iniziare a sovraccaricarsi di informazioni che invece
potrebbero essere “sintetizzate”, comportando un notevole dispendio di energie nel
caso di compiti più complessi. Nel caso di difficoltà a carico della memoria a lungo
termine, può essere facilitante il conteggio in avanti e indietro che può sostituire i
processi d’accesso diretto, oltre all’insegnamento delle sole tabelline di 1, 2 e 10,
consentendo poi di risalire ai fatti aritmetici tramite generalizzazione dei risultati. Se la
difficoltà coinvolge principalmente la memoria di lavoro, per non sovraccaricarla,
25
possono essere scritti a parte i risultati intermedi oppure può essere usato un supporto
concreto come un pallottoliere per aiutare la scomposizione. La modalità più semplice
di scomposizione è quella che fa continuo riferimento al numero 10.
Quando il bambino commette un errore nel recupero dei fatti aritmetici significa che
confonde operazioni diverse, per esempio addizioni e moltiplicazioni. Un tipo di errore
frequente è 3+3 = 9. E’ stato osservato che ogni volta che il soggetto produce una
risposta numerica, corretta o sbagliata, questa si registra nella memoria del bambino
creando un’associazione tra l’operazione e il risultato. Questo ha conseguenze positive
per le risposte esatte, ma anche implicazioni negative per quelle errate.
Anche l’abilità visuo-spaziale ha un ruolo notevole nella risoluzione dei calcoli, un
bambino con una difficoltà a rilevare il dettaglio visivo può confondere i segni di
operazione (come + con x). La difficoltà visuo-spaziale può riguardare anche diversi
livelli di organizzazione dei dati implicati soprattutto nella scrittura di un’operazione: il
soggetto inizia in modo casuale un’operazione, scrive indifferentemente da sinistra a
destra, o viceversa, i risultati parziali.
2.4 Diagnosi della Discalculia Evolutiva e strumenti
La sintesi diagnostica rappresenta il primo punto di partenza per l’aiuto al bambino con
Disturbo specifico dell’apprendimento.
Un primo livello di diagnosi è l’accertamento di un eventuale deficit nella funzione
esaminata, e quindi in questo caso, se la prestazione nel calcolo aritmetico sia
significativamente inferiore alle attese rispetto alle norme di riferimento. E’ bene
ricordare che la prestazione per essere ritenuta deficitaria deve essere
significativamente al di sotto di quelle ritenute adeguate. In ambito italiano vi sono sei
26
strumenti che possono indicare il livello di prestazione nell’abilità di calcolo del
soggetto.
Le prove “Emme +” di Soresi e Corcione (1992) vengono proposte per ogni classe, dalla
prima alla quinta elementare, richiedendo conoscenze ed abilità diverse dal solo
calcolo aritmetico, come la soluzione di problemi, logica, statistica, geometria.
Una batteria analoga è quella del Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica
dell’Università di Pavia (1994), essa prevede prove divise in tre sezioni: aritmetica,
geometria e logica.
Un terzo strumento, meno recente, è la prova di abilità numerica della batteria PMA
(Thurstone e Thurstone, 1965), questa richiede sia abilità di calcolo (soprattutto
addizioni), che il completamento di serie numeriche e la soluzione di semplici
problemi, oltre ad alcune conoscenze quantitative. Si presta bene ad una valutazione
veloce essendo una prova a tempo (circa 5 minuti).
La batteria Q1 (De Beni e gruppo MT, 1995) presenta una sezione specifica di
valutazione delle abilità aritmetiche con prove di calcolo e soluzione dei problemi.
Con gli strumenti fin qui descritti è possibile effettuare un accertamento complessivo
di un’eventuale difficoltà nell’apprendimento in matematica, ma i successivi due
prevedono anche delle prove specifiche per misurare l’efficienza delle sotto abilità
implicate nel calcolo aritmetico, prove potenzialmente utili per la diagnosi di secondo
livello.
Con la diagnosi di secondo livello viene definito un profilo di queste sotto abilità al fine
di stabilire in modo personalizzato il disturbo e quale l’abilità deficitaria su cui
progettare il percorso di trattamento. Per formulare una diagnosi di secondo livello
occorre fare riferimento ad un modello del calcolo cognitivo, neuropsicologico o di
27
altro genere, in base a questo si identificano le sotto abilità da esaminare.
I due strumenti a disposizione sono la batteria di Valutazione delle Abilità
Matematiche di Rossi e Malaguti (1996) e la batteria ABCA di Lucangeli, Tressoldi e
Fiore (1998). Il primo valuta la prestazione del soggetto rispetto a tre fasce di livello,
buona, discreta, insufficiente, in diverse sotto abilità oltre a quella del calcolo
aritmetico orale e scritto, quali organizzazione spaziale e temporale, componente
logico-operatoria, componente simbolica. L’ABCA è ispirato al modello
neuropsicologico di McCloskey (1992) con alcuni adattamenti per l’età evolutiva. Per la
diagnosi di primo livello è previsto lo svolgimento di prove di addizione, sottrazione,
moltiplicazione divisione sia orali che scritte, mentre per la diagnosi di secondo livello è
valutato lo stato dell’accuratezza e della velocità di cinque sotto abilità sottostanti alla
comprensione del valore quantitativo dei numeri e dei simboli aritmetici
(denominazione ed uso dei simboli aritmetici; ordinamento di numeri dal più piccolo al
più grande e viceversa; inserimento simboli di maggiore, minore e uguale; confronto
visivo ed uditivo di quantità; identificazione del valore posizionale) e sei sotto abilità
sottostanti alla produzione di numeri (enumerazione all’indietro; dettato di numeri;
tabelline, conteggio di insiemi; incolonnamento; recupero di combinazioni tra numeri).
28
CAPITOLO 3
LA RICERCA
Attraverso questa ricerca abbiamo voluto approfondire le abilità di calcolo e di
ragionamento nei bambini delle classi terza e quinta della scuola primaria.
La ricerca, che è parte di uno studio più ampio, comprendeva tre fasi: una fase di pre-
test, svolta a Gennaio 2013, per rilevare le abilità e il livello di sviluppo iniziale dei
partecipanti; una fase di Training sulle abilità di calcolo a mente; una fase di post-test,
conclusa a Maggio 2013. Nel presente elaborato saranno esaminati solo i dati relativi al
post-test.
3.1 Partecipanti:
Sono stati testati un totale di 176 bambini, 79 maschi (43 nelle terze, 36 nelle quinte) e
84 femmine (40 nelle terze e 44 nelle quinte). Il campione era composto da quattro
classi terze e quattro classi quinte, le classi terze di 20, 21, 20, 22 bambini e le quinte di
18, 21, 22, 19 bambini. Le classi terze appartenevano alle scuole di Quattro Martiri,
Monselice, Cittadella e Piove di Sacco, tre classi quinte alla scuola di Cittadella e una a
quella di Quattro Martiri (i dettagli delle caratteristiche del campione sono riportati
nella Tabella 1).
Quattro Martiri Monselice Cittadella Piove di Sacco Classi III [8 M;12 F] [14 M;7 F] [13 M;7 F] [8 M;14 F] Classi V [7 M;12 F] [8 M;10 F]
[10 M;11 F] [11 M;11 F]
29
Totale [15 M;24 F] [14 M;7 F] [42 M;39 F] [8 M; 14F]
3.2 Materiali:
La fase della somministrazione si articola in tre prove: prove tratte dalla batteria PMA
(abilità mentali primarie, Thurstone e Thurstone, 1962), prove di fluenza numerica e
prove tratte dalla batteria AC-MT (Cornoldi e al, 2012).
3.3 PMA
Sono stati somministrati i seguenti sub-test: il significato verbale, la facilità numerica e
le relazioni spaziali. Il primo sub-test misura la capacità di comprendere le idee
espresse con le parole. Ai bambini veniva presentato un elenco di 15 parole ed era
chiesto loro di scegliere tra quattro alternative, la parola con lo stesso significato. Nella
Figura 1 sono riportati degli esempi.
Figura 1: esempi tratti dal sub-test significato verbale del PMA
SIGNIFICATO VERBALE - PAROLE Es. 1 GRANDE (A) bello (B) ventoso (C) morbido (D) grosso Es. 2 CHIUSO (A) stupito (B) tappato (C) pulito (D) scambiato Es. 3 SPINTA (A) grido (B) bevanda (C) urto (D) segno Es. 4 RAPIDO (A) leggero (B) liscio (C) vecchio (D) veloce
Il secondo sub-test somministrato era quello della facilità numerica che valutava la
capacità di lavorare con i numeri, di risolvere prontamente e correttamente semplici
problemi quantitativi e di capire e riconoscere le differenze quantitative. Ai bambini
30
venivano presentate delle serie di cinque numeri in un dato ordine con un dato
mancante. Per completare la serie i bambini dovevano trovare il numero mancante. In
seguito veniva loro chiesto di risolvere dei problemi aritmetici. Nella Figura 2 sono
riportati degli esempi.
Figura 2: esempi tratti dal sub-test facilità numerica del PMA
FACILITA’ NUMERICA Es. 9 : 1 2 3 4 5 6 … (A) 5 (B) 3 (C) 4 (D) 7 Es. 10 : … 6 8 10 12 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 1 Es. 11 : Simone ha comperato due stecche di cioccolata che costano 5 euro ciascuna. Quanto ha speso in tutto? (A) 5 euro (B) 10 euro (C) 15 euro (D) 20 euro Es. 12 : Giovanna guadagna 10 euro all’ora facendo la bambinaia. Un giorno lavora per due ore. Quanto guadagna in tutto? (A) 10 euro (B) 50 euro (C) 40 euro (D) 20 euro
Il terzo sub-test somministrato era il PMA spaziale che valuta la capacità di visualizzare
oggetti e figure ruotate nella spazio e le relazioni tra loro. Ai bambini veniva presentato
un primo disegno che raffigurava una parte di un quadrato, il compito consisteva
nell’individuare, tra una serie di immagini, la figura che completava il riquadro.
Figura 3: esempi tratti dal sub-test relazioni spaziali del PMA
RELAZIONI SPAZIALI
31
3.4 Fluenza numerica
Le prove di fluenza numerica sono state costruite ad hoc per la presente ricerca e
contenevano operazioni quali addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni presentate in
colonna. I bambini avevano 2 minuti di tempo per risolvere ogni tipologia di
operazione. Queste prove sono state costruite cercando di controllare alcuni fattori,
per esempio le operazioni con l’addendo maggiore sopra sono state alternate ad
operazioni dove esso si trova sotto, le sottrazioni sono state alternate in modo che i
bambini svolgessero in successione un’operazione senza prestito ed una con il prestito.
Le prove di fluenza numerica vennero così presentate:
• Prove di fluenza addizione in cui ai bambini veniva chiesto di eseguire 24
addizioni in colonna in un tempo limite, andando in ordine per riga.
Esempio:
84 + 16 + 10 24
_________ __________
• Prove di fluenza sottrazione in cui ai bambini veniva chiesto di eseguire 24
sottrazioni in colonna in un tempo limite, andando in ordine per riga.
Esempio:
22 - 39 - 18 8 ___________ ____________
32
• Prove di fluenza moltiplicazione in cui ai bambini veniva chiesto di eseguire 24
moltiplicazioni in colonna in un tempo limite, andando in ordine per riga.
Esempio:
23 x 15 x 2 3 _________ ___________
3.5 AC-MT
La batteria AC-MT (Cornoldi et al, 2012) comprende diversi sub-test che valutano le
abilità di calcolo e di soluzione di problemi aritmetici. In questa ricerca è stata
somministrata solo la parte carta e matita svolta in maniera collettiva nelle classi terze
e quinte. Essa prevede cinque prove: calcolo scritto, giudizio di numerosità,
trasformazione di cifre, ordinamento di serie dal minore al maggiore e dal maggiore al
minore.
Le prove di calcolo scritto esaminano le capacità di applicazione delle procedure di
calcolo e gli automatismi coinvolti. Le procedure di calcolo consistono in un insieme di
regole che stabiliscono quali manipolazioni operare su quei numeri per ottenere il
risultato. Gli automatismi consistono in competenze di recupero veloce di risultati più
o meno parziali. Le prove comprendono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e
divisioni.
33
Esempio:
6273,4+321,67= 54829-3783=
La prova riguardante il giudizio di numerosità ha a che vedere con la comprensione
semantica e richiede la capacità di saper anche leggere correttamente i numeri (livello
lessicale). Ai bambini vengono presentate sei coppie di numeri e gli si chiede di
cerchiare per ogni coppia di numeri quello più grande.
Esempio:
975 428
La prova di trasformazioni di cifre valuta l’abilità del bambino nell’elaborare la
struttura sintattica del numero. Al bambino vengono presentate sei serie di cifre,
ognuna con la propria categoria posizionale (centinaia, decine, unità) e il bambino
basandosi su di esse deve ricomporre il numero.
Esempio:
3 unità 4 decine 7 centinaia = 743
Le prove di ordinamento di serie dal minore al maggiore e dal maggiore al minore
consentono di valutare la rappresentazione semantica dei numeri, attraverso il
confronto fra quantità e ordini diversi. Per la corretta esecuzione della seriazione, il
bambino deve essere in grado di riconoscere le singole quantità, confrontarle e
ordinarle. Ogni prova è costituita da cinque serie formate da quattro numeri da
ordinare.
Esempio:
34
360 175 276 194 => 175 194 276 360
35
CAPITOLO 4
RISULTATI PER CLASSE
Nel presente capitolo sono presentate le analisi distinte per classe. Nello specifico sono
state individuate tre fasce di prestazione:
Prestazione ottimale (PO) = percentuale di bambini che ottenevano punteggi superiori
ad una deviazione standard (DS) rispetto al campione totale in una data prova;
Prestazione sufficiente (PS) = percentuale di bambini che ottenevano punteggi
compresi tra -1 e + 1 deviazione standard (DS) rispetto al campione totale in una data
prova;
Richiesta di attenzione (RA) = percentuale di bambini che ottenevano punteggi inferiori
ad una deviazione standard (DS) rispetto al campione totale in una data prova.
Saranno quindi riportati i risultati delle seguenti classi: III A della scuola di Quattro
Martiri, III A di Monselice, III C di Cittadella, III A di Piove di Sacco, V B di Cittadella, V A
di Cittadella, V A di Cittadella e V A di Quattro Martiri.
Distinti per le varie prove proposte, ovvero: PMA verbale, spaziale e numerico; fluenza
addizione, sottrazione e moltiplicazione; AC-MT calcolo scritto, giudizio di numerosità,
trasformazione, ordinamento dal minore, ordinamento dal maggiore.
RISULTATI DISTINTI PER CLASSE
36
4.1 Classe: III C Scuola: Cittadella Insegnante: Scapin
Come si può osservare nella Figura 23, nella prova di PMA verbale il 10% dei bambini
otteneva una PO, il 70% una PS e il 20% una prestazione in RA.
Figura 23: PMA verbale, III C Cittadella
Come si può osservare nella Figura 24, nella prova di PMA spaziale il 20% dei bambini
otteneva una PO, il 70% una PS e il 10% una prestazione in RA.
20%
70%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Scapin III c - Cittadella
10%
70%
20%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Scapin III c - Cittadella
37
Figura 24: PMA spaziale, III C Cittadella
Come si può osservare nella Figura 25, nella prova di PMA numeri il 20% dei bambini
otteneva una PO, il 70% una PS e il 10% una prestazione in RA.
Figura 25: PMA numeri, III C Cittadella
Come si può osservare nella Figura 26, nella prova di fluenza addizione il 10% dei
bambini otteneva una PO, il 65% una PS e il 25% una prestazione in RA.
Figura 26: Fluenza addizione, III C Cittadella
10%
70%
20%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Scapin III c - Cittadella
25%
65%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE - Scapin III c - Cittadella
38
Come si può osservare nella Figura 27, nella prova di fluenza sottrazione il 10% dei
bambini otteneva una PO, il 65% una PS e il 25% una prestazione in RA.
Figura 27: Fluenza sottrazione, III C Cittadella
Come si può osservare nella Figura 28, nella prova di fluenza moltiplicazione lo 0% dei
bambini otteneva una PO, il 30% una PS e il 70% una prestazione in RA.
Figura 28: Fluenza moltiplicazione; III C Cittadella
25%
65%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Scapin III c - Cittadella
70%
30% 0%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Scapin III c - Cittadella
39
Come si può osservare nella Figura 29, nella prova di AC-MT calcolo scritto il 10% dei
bambini otteneva una PO, l’80% una PS e il 10% una prestazione in RA.
Figura 29: AC-MT calcolo scritto, III C Cittadella
Come si può osservare nella Figura 30, nella prova di AC-MT giudizio di numerosità lo
0% dei bambini otteneva una PO, l’85% una PS e il 15% una prestazione in RA.
Figura 30: AC-MT giudizio di numerosità, III C Cittadella
10%
80%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT calcolo scritto - Scapin III c - Cittadella
15%
85%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT giudizio di numerosità - Scapin III c - Cittadella
40
Come si può osservare nella Figura 31, nella prova di AC-MT trasformazione lo 0% dei
bambini otteneva una PO, il 100% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 31: AC-MT trasformazione, III C Cittadella
Come si può osservare nella Figura 32, nella prova di AC-MT ordinamento dal minore
lo 0% dei bambini otteneva una PO, il 90% una PS e il 10% una prestazione in RA.
Figura 32: AC-MT ordinamento dal minore, III C Cittadella
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Scapin III c - Cittadella
10%
90%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Scapin III c - Cittadella
41
Come si può osservare nella Figura 33, nella prova di AC-MT ordinamento dal maggiore
lo 0% dei bambini otteneva una PO, l’85% una PS e il 15% una prestazione in RA.
Figura 33: AC-MT ordinamento dal maggiore, III C Cittadella
4.2 Classe: V A Scuola: Cittadella Insegnante:
Ferrari
Come si può osservare nella Figura 56, nella prova di PMA verbale il 38% dei bambini
otteneva una PO, il 62% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
15%
85%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Scapin III c - Cittadella
42
Figura 56: PMA verbale, V A Cittadella
Come si può osservare nella Figura 57, nella prova di PMA spaziale il 43% dei bambini
otteneva una PO, il 57% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 57: PMA spaziale, V A Cittadella
0%
62%
38%R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Ferrari V a - Cittadella
0%
57%
43% R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Ferrari V a - Cittadella
43
Come si può osservare nella Figura 58, nella prova di PMA numeri il 48% dei bambini
otteneva una PO, il 52% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 58: PMA numeri, V A Cittadella
Come si può osservare nella Figura 59, nella prova di fluenza addizione il 14% dei
bambini otteneva una PO, l’86% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 59: Fluenza addizione, V A Cittadella
0%
52%
48%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Ferrari V a - Cittadella
0%
86%
14%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE - Ferrari V a - Cittadella
44
Come si può osservare nella Figura 60, nella prova di fluenza sottrazione il 24% dei
bambini otteneva una PO, il 67% una PS e il 9% una prestazione in RA.
Figura 60: Fluenza sottrazione, V A Cittadella
Come si può osservare nella Figura 61, nella prova di fluenza moltiplicazione il 10% dei
bambini otteneva una PO, l’81% una PS e il 9% una prestazione in RA.
Figura 61: Fluenza moltiplicazione, V A Cittadella
9%
67%
24%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Ferrari V a - Cittadella
9%
81%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Ferrari V a - Cittadella
45
Come si può osservare nella Figura 62, nella prova di AC-MT calcolo scritto il 57% dei
bambini otteneva una PO, il 43% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 62: AC-MT calcolo scritto, V A Cittadella
Come si può osservare nella Figura 63, nella prova di AC-MT giudizio di numerosità lo
0% dei bambini otteneva una PO, il 100% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 63: AC-MT giudizio di numerosità, V A Cittadella
0%
43%
57%R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT calcolo scritto - Ferrari V a - Cittadella
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC- MT giudizio di numerosità - Ferrari V a - Cittadella
46
Come si può osservare nella Figura 64, nella prova di AC-MT trasformazione il 62% dei
bambini otteneva una PO, il 38% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 64: AC-MT trasformazione, V A Cittadella
Come si può osservare nella Figura 65, nella prova di AC-MT ordinamento dal minore il
38% dei bambini otteneva una PO, il 62% una PS e lo 0% una prestazione in RA.
Figura 65: AC-MT ordinamento dal minore, V A Cittadella
0%
38%
62%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Ferrari V a - Cittadella
0%
62%
38%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Ferrari V a - Cittadella
47
Come si può osservare nella Figura 66, nella prova di AC-MT ordinamento dal maggiore
il 48% dei bambini otteneva una PO, il 47% una PS e il 5% una prestazione in RA.
Figura 66: AC-MT ordinamento dal maggiore, V A Cittadella
5%
47%
48%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Ferrari V a - Cittadella
48
CAPITOLO 5
CONCLUSIONI
Con questa ricerca abbiamo voluto studiare le abilità di calcolo e di ragionamento nei
bambini delle classi terza e quinta della scuola primaria con il fine di poter evidenziare
eventuali differenze tra le due classi, e le relazioni tra le prove all’interno della stessa
classe. Le prestazioni ottenute nelle varie prove sono state confrontate analizzando le
possibili relazioni tra prove di fluenza (addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni) e quelle
del test PMA e AC-MT, cercando di indagare la presenza di correlazioni tra abilità
verbali, abilità spaziali e abilità di ragionamento numerico.
Il campione della ricerca era costituito da 176 bambini, appartenenti a quattro classi
terze e a quattro classi quinte di alcune scuole primarie di primo grado della provincia
di Padova.
Dall’osservazione dei grafici è emerso che le classi quinte hanno registrato
complessivamente punteggi più alti rispetto alle classi terze, molto probabilmente per
il fatto che sono più grandi e che quindi hanno una maggiore esperienza in ambito
scolastico e, più specificatamente, in ambito matematico. Possiamo osservare, inoltre,
che per quanto riguarda le prove di fluenza numerica nelle classi terze la prova a cui i
bambini hanno ottenuto punteggi più bassi è stata quella delle moltiplicazioni. Nella III
C della scuola di Cittadella, addirittura il 70% della classe presenta una prestazione
insufficiente. I bambini di terza non possiedono ancora una conoscenza
completamente automatizzata delle tabelline avendole “conosciute” nel corso di
questo anno ed hanno quindi più difficoltà a recuperare i risultati dalla loro memoria a
lungo termine. Di contro, i bambini di quinta essendo maggiormente esercitati a
49
svolgere moltiplicazioni, sono più avvantaggiati e quindi più abituati a risolverle e a
recuperarle.
Dall’analisi delle singole prove dell’ AC-MT si è notato che per tutte e quattro le classi
terze, nella prova di trasformazioni di cifre, non è presente nessuna prestazione
ottimale da parte degli alunni; questo può essere dovuto al fatto che i bambini delle
classi terze non hanno ancora pienamente sviluppato le capacità per poter eseguire
delle prove di trasformazione di cifre. Per quanto riguarda la prova di calcolo invece,
sempre dell’AC-MT, si possono notare diversi punteggi all’interno delle classi terze e
diversi punteggi all’interno delle classi quinte, queste diverse capacità nell’eseguire le
operazioni a seconda delle diverse scuole, possono essere dovute ai diversi livelli di
esercitazione durante l’anno scolastico.
Un risultato che contrasta con le aspettative è rappresentato dai punteggi ottenuti
dalle classi terze nelle prove di AC-MT giudizio di numerosità: si attendono dei
punteggi bassi e con richiesta d’attenzione, in quanto in questa fascia d’età
dovrebbero essere presenti ancora delle difficoltà a livello semantico, ossia nella
lettura corretta dei numeri. Nelle quattro terze delle ricerca, invece, la gran parte degli
alunni raggiunge punteggi sufficienti.
Un ulteriore dato che non possiamo trascurare riguarda la classe V b di Cittadella: nella
prova di PMA spaziale gli alunni che richiedono attenzione sono ben il 39%, nella prova
di fluenza addizione il 22% e nella prova di fluenza sottrazione i bambini che ottengono
risultati insufficienti sono il 22%. Questa classe mostra maggiore difficoltà rispetto alle
altre quinte in queste tre prove, questa correlazione potrebbe essere dovuta ad
un’inefficiente organizzazione spaziale che si riscontra nello svolgimento delle
operazioni aritmetiche. Lo stretto rapporto tra elaborazione numerica e cognizione
50
spaziale viene evidenziato dalle ricerche degli ultimi anni, come abbiamo esposto
sopra, errori di calcolo possono derivare anche da uno scorretto incolonnamento.
Questa ricerca offre il vantaggio di essere utile per uno screening delle abilità di calcolo
e di ragionamento. Essa fornisce, inoltre, un punto di partenza per eventuali ricerche
future, per la valutazione di altri aspetti e conoscenze. I limiti di questa ricerca sono
caratterizzati sicuramente dal campione, molto ristretto, per cui per ottenere dei
risultati che spieghino con maggiore significatività le prestazioni ottenute, si potrebbe
aumentare il campione coinvolgendo anche le altre classi della scuola primaria,
estendendo la ricerca anche ai bambini della scuola secondaria di primo grado, e ancor
meglio facendo rientrare scuole di altre province. Inoltre, si potrebbe approfondire lo
studio delle abilità di calcolo attraverso lo studio delle strategie che i bambini
utilizzano nel risolvere le quattro operazioni aritmetiche e come esse cambiano a
seconda delle fasce d’età.
51
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56
APPENDICE
10%
75%
15%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Varotto III a - Quattro Martiri
10%
50%
40%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Varotto III a - Quattro Martiri
10%
70%
20%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Varotto III a - Quattro Martiri
57
0%
55%
45%R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE - Varotto III a - Quattro Martiri
15%
55%
30%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Varotto III a - Quattro Martiri
15%
75%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Varotto III a - Quattro Martiri
58
15%
75%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT calcolo scritto - Varotto III a - Quattro Martiri
10%
90%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT giudizio di numerosità - Varotto III a - Quattro Martiri
5%
95%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Varotto III a - Quattro Martiri
59
5%
95%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Varotto III a - Quattro Martiri
10%
90%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Varotto III a - Quattro Martiri
9%
81%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Cascadan III a - Monselice
60
9%
62%
29%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Cascadan III a - Monselice
0%
86%
14%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Cascadan III a - Monselice
24%
76%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE - Cascadan III a - Monselice
61
5%
95%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Cascadan III a - Monselice
38%
62%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Cascadan III a - Monselice
0%
86%
14%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT calcolo scritto - Cascadan III a - Monselice
62
10%
90%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT giudizio di numerosità - Cascadan III a - Monselice
5%
95%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Cascadan III a - Monselice
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Cascadan III a - Monselice
63
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Cascadan III a - Monselice
14%
77%
9%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Panizzolo III a - Piove di Sacco
14%
77%
9%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Panizzolo III a - Piove di Sacco
64
5%
77%
18%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Panizzolo III a - Piove di Sacco
13%
73%
14%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE -Panizzolo III a - Piove di Sacco
18%
64%
18%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Panizzolo III a - Piove di Sacco
65
0%
50%50% R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Panizzolo III a - Piove di Sacco
4%
91%
5%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT calcolo scritto - Panizzolo III a - Piove di Sacco
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT giudizio di numerosità - Panizzolo III a - Piove di Sacco
66
5%
95%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Panizzolo III a - Piove di Sacco
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Panizzolo III a - Piove di Sacco
14%
86%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Panizzolo III a - Piove di Sacco
67
6%
50%
44% R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Campagnolo V b - Cittadella
6%
50%
44%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Campagnolo V b - Cittadella
39%
50%
11%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Campagnolo V b - Cittadella
68
22%
72%
6%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE - Campagnolo V b - Cittadella
28%
72%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Campagnolo V b - Cittadella
17%
83%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Campagnolo V b - Cittadella
69
11%
67%
22%
R.A.
P.S.
P.O.
AC- MT calcolo scritto - Campagnolo V b - Cittadella
11%
89%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT giudizio di numerosità - Campagnolo V b - Cittadella
5%
56%
39%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Campagnolo V b - Cittadella
70
5%
78%
17%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Campagnolo V b - Cittadella
6%
83%
11%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Campagnolo V b - Cittadella
4%
41%55%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Tedeschi V a - Cittadella
71
9%
82%
9%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Tedeschi V a - Cittadella
9%
68%
23%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Tedeschi V a - Cittadella
5%
77%
18%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE - Tedeschi V a - Cittadella
72
18%
50%
32%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Tedeschi V a - Cittadella
5%
77%
18%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Tedeschi V a - Cittadella
23%
45%
32%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT calcolo scritto - Tedeschi V a - Cittadella
73
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT giudizio di numerosità - Tedeschi V a - Cittadella
18%
23%59%R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Tedeschi V a - Cittadella
5%
50%
45%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Tedeschi V a - Cittadella
74
14%
54%
32%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Tedeschi V a - Cittadella
21%
37%
42%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA VERBALE - Capuzzo V a - Quattro Martiri
10%
79%
11%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA SPAZIALE - Capuzzo V a - Quattro Martiri
75
11%
63%
26%
R.A.
P.S.
P.O.
PMA NUMERI - Capuzzo V a - Quattro Martini
16%
74%
10%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA ADDIZIONE - Capuzzo V a - Quattro Martiri
21%
63%
16%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA SOTTRAZIONE - Capuzzo V a - Quattro Martiri
76
53%
47%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
FLUENZA MOLTIPLICAZIONE - Capuzzo V a - Quattro Martiri
26%
74%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT calcolo scritto - Capuzzo V a - Quattro Martiri
0%
100%
0%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT giudizio di numerosità - Capuzzo V a - Quattro Martiri
77
11%
68%
21%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT trasformazione - Capuzzo V a - Quattro Martiri
10%
79%
11%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal minore - Capuzzo V a - Quattro Martiri
10%
79%
11%
R.A.
P.S.
P.O.
AC-MT ordinamento dal maggiore - Capuzzo V a - Quattro Martiri
78