ÍNDICE GENERAL
1. Presentación 2
2. Datosbásicos. 3
3. Temarioybibliografía. 53.1. Temario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2. Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. TemariodeprácticasconMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4. Temariodeactividadesacadémicamentedirigidas. . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Objetivos. 11
5. Metodología,horarioycronología. 185.1. Horarioymetodología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Cronología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6. Evaluación. 24
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PRESENTACIÓN
Estaguíadidácticapretende,porunaparte,contenerlacantidadsuficientedeinforma-ciónsobrelaasignaturaCálculoparaqueelalumnadopuedaconocer,antesdecomenzarelcurso,lamayoríadelosaspectosbásicosdelaasignaturacomopuedenserelprogramadelaasignatura,losobjetivosaalcanzar,lasincronizaciónyorganizacióndelasclases,losmétodosdeevaluaciónetc.Porotrapartepretendeserunaguíadiariadeltrabajoquehayquehaceralolargodelcurso.
LaasignaturaCálculotieneunaimportanciamúltipledentrodelatitulacióndeInge-nierodetelecomunicación;porunaparteesunaasignaturainstrumentalqueproporcionaherramientasal restodeasignaturasde la titulaciónparadesarrollarconéxitosus res-pectivosprogramas.Porotraparteproporcionaconocimientosqueseránútilesparaeldesarrolloprofesionaldelosfuturosingenierosy,porúltimo,introduceciertasnocionesderigor,ordenypulcritud,quesoninherentesallenguajeymétodosmatemáticosyque,sinduda,resultaránútileseneldesarrollointegraldelosalumnos.
Paracursarestaasignaturanoesnecesarioningúnrequisitoespecial,sibienescon-venientehabercursadomatemáticasenbachillerato.Losalumnosquenohayancursadomatemáticasenbachilleratoencontraránunadificultadañadida,yaqueenclasesepresu-poneunnivelbásicoqueeselquecorrespondealnivelmediodeunalumnodebachille-ratoquehacursadomatemáticas.Portantolosalumnosquenohancursadomatemáticasenbachilleratodeberán“ponerselaspilas”paraalcanzaresenivelcuantoantes.
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DATOS BÁSICOS.
Datosbásicosdelaasignatura.
Nombre: Cálculo.
Titulación: Ingenierodetelecomunicación.
Curso: Primero.
Tipo: ObligatoriadeUniversidad.
Duración: Anual.
Descriptores: Cálculodiferencialeintegraldefuncionesdeunayvariasvariables.Ecuacionesdiferenciales.Aplicacioneseningeniería.Introducciónalanálisisvec-torial.
CréditosLRU: 12(9teóricosy3prácticos).
CréditosECTS: 9.6(7.2teóricosy2.4prácticos).
Datosbásicosdelprofesor.
Nombre: JerónimoAlaminosPratsyJoséExtremeraLizana.
Departamento: Análisismatemático.
Centro: FacultaddeCiencias.
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Ubicación: JerónimoAlaminos:Despacho16,Dpto.Análisismatemático,FacultaddeCiencias;Despacho17,terceraplantaETSIIT.
JoséExtremera:Despacho3,Dpto.Análisismatemático,FacultaddeCiencias;Des-pacho17,terceraplantaETSIIT.
Teléfono: JéronimoAlaminos:958246308.JoséExtremera:958243277.
e-mail: JéronimoAlaminos::[email protected]
JoséExtremera:[email protected]
Horariodetutorías: JerónimoAlaminos:Lunes,de10a11horas(Fac.deCiencias);Martes,de10a11(Fac.deCiencias);Miércoles,de9a11yde17a18(ETSIIT);Jueves,de10a11(Fac.deCiencias)
JoséExtremera:Lunes,de17a19horas(Fac.deCiencias);Miércoles,de8a9horas(ETSIIT) yde17a20horas(Fac.deCiencias).
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TEMARIO Y BIBLIOGRAFÍA.
3.1. Temario.
Eltemariovienedeterminadoporlosdescriptoresdelaasignatura.Estádivididoentrestemasquecontienenvariaslecciones.
Tema1:CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN FUNCIONES DE UNA VARIA-BLE.REPASO Y AMPLIACIÓN.
• 1.1:Conceptosgenerales.
◦ 1.1.1:Larectarealyelplanocomplejo.Sucesiones.◦ 1.1.2:Continuidadyderivabilidaddefuncionesdevariablereal.
• 1.2:Series.
◦ 1.2.1:Seriesnuméricasyseriesdepotenciasrealesycomplejas.◦ 1.2.2:FórmuladeTaylor.Desarrolloenseriedepotenciasdelasfuncioneselementales.
• 1.3:Integración.
◦ 1.3.1:Áreaeintegral.◦ 1.3.2:Cálculodeprimitivas.◦ 1.3.3:Aplicaciones:cálculodeáreasplanas,longitudesdecurvas,volú-menesysuperficieslateralesdesólidosderevolución.
Tema2:CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN FUNCIONES DE VARIAS VA-RIABLES.
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• 2.1:Planoyespacioeuclídeos.
◦ 2.1.1:Productoescalarymódulo.Distanciaeuclídea.◦ 2.1.2:Funcionesdevariasvariables:límitesycontinuidad.
• 2.2:Camposescalaresyvectoriales.
◦ 2.2.1:Derivadasparcialesydireccionales.Vectorgradienteymatrizjaco-biana.Álgebradederivadas.
◦ 2.2.2:Derivadasdeordensuperior.Matrizhessiana.◦ 2.2.3:Derivaciónimplícitaeinversa.
• 2.3:Optimizacióndecamposescalares.
◦ 2.3.1:Extremosrelativos.◦ 2.3.2:Extremoscondicionados:multiplicadoresdeLagrange.◦ 2.3.3:Extremosabsolutos.
• 2.4:Integraciónmúltiple.
◦ 2.4.1:Integralesdoblesytriples.◦ 2.4.2:Cambiodevariable:integraciónencoordenadaspolares,cilíndricasyesféricas.
◦ 2.4.3:Aplicaciones:áreas,volúmenes,masas,centrosdemasas,momen-tosdeinercia.
Tema3:ECUACIONES DIFERENCIALES.
• 3.1:Métodoselementalesdeintegración.
◦ 3.1.1:Ejemplosdeecuacionesdiferencialesordinarias.Métodosaproxi-madosdesolución:IsoclinasypoligonalesdeEuler.
◦ 3.1.2:Ecuacionesconvariables separadas,ecuacionesexactas, factoresintegrantes.
• 3.2:Ecuacionesdiferencialeslineales.
◦ 3.2.1:Ecuacionesdiferencialeslinealesdeorden 1.◦ 3.2.2:Ecuacionesdiferencialeslinealesdeordensuperior.
3.2. Bibliografía.
Lasiguientebibliografíaesorientativa.Hayquehaceralgunasprecisionesalrespecto.
Nohay«unlibrodetexto»oficialdelaasignatura.Encadaunodeloslibrosquevamosaenumerarhaycapítulosquepuedenseraprovechadasparadistintaspartesdelaasignaturaoquecontienenejerciciosoproblemasquesonsimilaresalosqueharemosenclase.Encualquiercasonoesnecesariocomprarseningúnlibro.
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Labibliografíaesparaconsultar.Loslibrosqueaparecenenellaestánenlabiblio-teca(lamayoríatantoenlabibliotecadelafacultaddecienciascomoenladelaETSIIT) ysepuedenretirar.
Lalistadelibrosqueaparecenenlabibliografíanoesexhaustiva.Altratarsenuestraasignaturadeuncálculogeneralhaymuchosmáslibros,detítulossimilares,quepuedenserutilizadosparaconsultar.Bastaconecharleunvistazoalíndicedellibroparaversinospuedeserdeutilidad.
Aunquelosprogramasdebachilleratosonlosmismosentodosloscentros,esposi-blequealgunosalumnoshayanestudiadomenosprofundamentequeotrosciertostemas.Enlamayoríadeloslibrosdelabibliografíasepuedenconsultartemasdebachillerato.Sialgúnalumnotieneproblemasespecíficosconalgúntemaenparti-cular,sólotienequeconsultarconelprofesorparaqueleorienteenquélibropuedeencontrarinformaciónsobreeltemaconcreto.
Encadaunode los librosharemosunabrevedescripcióndelcontenidoyde laadecuaciónanuestrocurso.
1. AYRES,F., Cálculodiferencialeintegral. McGraw-Hill,1990.
Enestelibroestárecogidobásicamentetodoeltemariodelcurso.Encadalecciónsehaceunabreveintroducciónteóricayhayejerciciosresueltosyotrossuplemen-tarios.Alfinaldellibrosedanlassolucionesdelosejercicioscomplementarios.Elnivelelbásicoypuedeservira losalumnosquenecesitenapoyoenalgún temaconcreto.
2. BRADLEY,G.L., SMITH,K.J., Cálculode una variable.Volumen1. Prentice-Hall,1998.
3. BRADLEY,G.L.,SMITH,K.J., Cálculodevariasvariables.Volumen2. Prentice-Hall,1998.
Tantoeldedicadoaunavariablecomoavariasvariablessiguenelmismoesque-ma.Losteoremasestánpuestosalfinaldellibro,conalgunasdemostraciones.Tieneejemplosyejerciciospropuestosdelosquesedalasoluciónalfinaldellibro.Tam-biéntienereseñashistóricasdematemáticosilustres.TambiénutilizaelprogramaMathlabdandoinstruccionessobresuuso.Latemáticadelosdosvolúmeneseslaqueseindicaeneltítulo.
4. GARCÍA-MAROTO,A., Ecuacionesdiferencialesordinarias.Problemasútiles. Gar-cíaMarotoEditores,2006.
Esmuybásicoperotieneloimprescindibleparaelpocotiempoquetenemosparadedicarlealasecuacionesdiferenciales.Ellibroconsistebásicamenteenproblemas.
5. STEWART,J., Cálculodiferencialeintegral. InternacionalThomsonEditores,1998.Prentice-Hall,1998.
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Paraproblemasdefuncionesdeunavariableestámuybien.Muyextenso,conmu-chosejercicios,lamitaddeellosconsolucionesalfinaldellibroyconapéndicesinteresantescomo,porejemplo,eldedicadoanúmeroscomplejos.
6. THOMAS,G.B.,FINNEY,R.L., Cálculo(unavariable). AddisonWesleyLongman,1998.
Aligualqueelanteriortambiénesmuyextensoeinclusotienealgunapartededicadaaecuacionesdiferenciales.Tambiénaproximadamente lamitadde los ejerciciostienenlassolucionesalfinaldellibro.
7. THOMAS,G.B.,FINNEY,R.L., Cálculocongeometríaanalítica(2volúmenes). Ad-disonWesleyIberoamericana,1987.
Sondosvolúmenesquecubrenelprogramacompletodelaasignatura,inclusotie-neapéndicesdedicadosaalgunosapartadosdeálgebralinealquecomplementanbienloscontenidos.Aligualquelosanteriorestieneunagrancantidaddeejemplosresueltosyejerciciosdelosquesedanlassolucionesalfinaldellibro.
3.3. TemariodeprácticasconMaxima
Lasprácticasdeordenadorseorganizanen15sesionessemanalesduranteelsegundocuatrimestre.
Sesión1:Introducciónalmanejodelprograma.
Sesión2:Introducciónalmanejodelprograma(segundaparte).
Sesión3:Capacidadgráficadelprograma.Representacióngráficadefuncionesdeunavariable.
Sesión4:Representacióndecurvasdefinidasporcoordenadaspolaresyparamétri-cas.Animaciones.
Sesión5:Resolucióndeecuaciones.Métodosestándar.
Sesión6:Métodosconstructivosparalasolucióndeecuaciones.
Sesión7:Sucesiones.Límitesdesucesionesydefunciones.Continuidadyderiva-bilidad.
Sesión8:Rectastangentesysecantes.Extremosrelativos.
Sesión9:PolinomiodeTaylor.Aproximación.
Sesión10:Integracióndefuncionesdeunavariable.
Sesión11:Representacióngráficadefuncionesdedosvariables.Curvasenelespa-cio.
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Sesión12:Diferenciabilidad.Derivadasparcialesyrepresentacióndelplanotan-gente.
Sesión13:Extremosrelativosycondicionadosdefuncionesdevariasvariables.
Sesión14:Integracióndefuncionesdevariasvariables.
Sesión15:Ecuacionesdiferencialesordinarias.
3.4. Temariodeactividadesacadémicamentedirigidas.
Elcursotambiéncomprendeunaseriedeactividadesacadémicamentedirigidas,com-puestasporeldesarrollodedistintostemasque,obiensedebieranhaberestudiadoenbachillerato,peroahoralosestudiamosconmásdetalleyprofundidad,obiensontemasnuevosqueseestudianporprimeravez.Tambiénhaytemasdeotrasdisciplinasquesonnecesariosparaeldesarrollodelcurso.Estasactividadesestánligadastemporalmentealprogramadelaasignatura,comocomentaremosenlacronologíadelaasignatura.Enlacronologíalodenominamosseminario.
1. Diagonalizacióndematrices.
2. Progresionesaritméticasygeométricas.
3. Elnúmeroe.Algunoslímitesrelacionados.
4. Funcionesexponencialesylogarítmicas.
5. Funcionestrigonométricasehiperbólicas.
6. Cálculodederivadas.
7. AplicacionesprácticasdelpolinomiodeTaylor.
8. Cálculodediferenciales.
9. Formascuadráticas.
10. Métodosdeclasificacióndeformascuadráticas.
11. Cálculodeáreasylongitudesdecurvas.
12. Áreayvolumendecuerposderevolución.
13. SumasdeRiemannyseries.
14. Criteriosdecomparaciónparaintegralesimpropias.
15. MétododelaspoligonalesdeEuler.
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16. Factoresintegrantes.
17. Aplicacionesprácticasdelasecuacionesdiferenciales.
Paraeldesarrollodelosanteriorestemassepuedeutilizarlabibliografíapropiadelprogramadelaasignatura.
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OBJETIVOS.
LaasignaturaCálculoesunaasignaturaobligatoriadeuniversidadenelplandeestu-diosdelatitulación.Almismotiempoesunaasignaturaeminentementeinstrumental,esdecir,proporcionainstrumentos,técnicasyconocimientosquedebenserútilesalrestodelasasignaturasparaalcanzarlascompetenciaspropiasdeuningeniero.Estacaracterísticahacequeelconocimientodeestaasignatura,deunaformaindirecta,ayudeadesarrollarlamayoríadelascompetenciasdeltítulodeingenieroentelecomunicación.
Porotrapartelaasignaturaporsímismacontribuyeadesarrollarcompetenciasdelatitulación.Dentrodelascompetenciastransversales(libroblanco)estaasignaturacontri-buiríaadesarrollarlassiguientes.
Competenciasinstrumentales:
• Capacidaddeanálisisysíntesis.
• Capacidaddeorganizaciónyplanificación.
• Comunicaciónoralyescritaenlalenguanativa.
• Resolucióndeproblemas.
Competenciaspersonales:
• Trabajoenequipo.
• Habilidadesenlasrelacionesinterpersonales.
• Razonamientocrítico.
Competenciassistémicas:
• Aprendizajeautónomo.
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• Creatividad.
• Motivaciónporlacalidad.
Vamosadescribirtambiénlosobjetivosprincipalesquesedeseanobteneralolargodelcurso.Laenumeracióndeestosobjetivosvienerelacionadafundamentalmenteconeltemariodelaasignatura.Paralasactividadesacadémicamentedirigidas,losalumnosquepreparen los trabajos tienencomoobjetivogeneraldesarrollar lacapacidaddebuscarinformación,organizarlayexponeruntrabajo,apartedelosobjetivospropiosdecadaactividad.
Paralasprácticasconordenador,portratarsedeunaherramientapararesolverpro-blemasrelativosaltemariodelaasignaturaelúnicoobjetivoquepodríacomentarseesdesarrollarlacapacidaddetraducirlosdistintosproblemasqueestudiamosallenguajeinformáticoapropiadoparaquepuedan ser resueltos,ademásde familiarizarseconelprogramaMaxima.
Encualquiercaso,antesdeenumerarlosobjetivosquesepretendenalcanzar,temaportema,existenobjetivosgeneralesdetodalaasignaturaqueesconvenientefijar.
Esobjetivotrasversaldelaasignaturaintroduciralosalumnosenelmétodoyenellenguajematemáticoscombinandolaprácticaconlaexplicitacióndelmismo.Losalumnosdebenhabituarseasaberanalizar,comprenderyreproducirdemostracio-nesdealgunosteoremasimportantes,asícomoadiscutirconejemplosycontra-ejemploslafuncióndelashipótesisenlatesisyaidentificarerroresenrazonamien-tosincorrectos.
Profundizarenelconocimientoqueyasetienedelosnúmerosrealesylasfuncionesrealesdevariablereal,manejandoconsolturalasdistintasclasesdefuncionesqueintervienenenel cálculoy en lamodelizaciónde fenómenosy saberutilizar elcálculodiferencialeintegralenrelaciónconsuestudio.
Relacionarlosnúmeroscomplejosconlosreales,analizandolaspropiedadesquecompartenamboscuerposasícomolasdiferencias.
Identificarconceptoshastaahorapropiosdelanálisisunidimensional,comolade-rivacióneintegración,comocasosparticularesdeconceptosmultidimensionales.
Relacionarlaintuicióngeométricaconconceptosdelcálculodefuncionesdevariasvariables.
Relacionarlasecuacionesdiferencialesconlosconceptosdederivacióneintegra-ción.
Estosseríanlosobjetivosgeneralesquesepretendenalcanzarenelcurso.Enunnivelmásconcretopodemosanalizarlosanterioresobjetivostemaportema.Seríanlossiguientes:
Cálculodiferencialeintegralenfuncionesdeunavariable.
• Distinguirlosnúmerosnaturales,enteros,racionales,realesycomplejos.
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• Relacionarlaspropiedadesdelosnúmerosrealesconsuestructuradecuerpoordenado.
• Operarcondesigualdadesyvaloresabsolutos.
• Aplicarelprincipiode inducciónparaestudiarpropiedadesde losnúmerosnaturales.
• Relacionarlosconceptosdesucesiónacotada,convergenteymonótona,esta-bleciendolasdistintasimplicacionesentrelostresconceptos.
• Calcularellímitedeunasucesióndefinidaporrecurrencia.
• Calcularlímitesdesucesiones,aplicandoresultadosteóricos.
• Utilizarelálgebradelímitesdesucesionesparaestudiarelcomportamientodesucesionesdenúmerosreales.
• Conocerlarelaciónentreelcomportamientodeunasucesiónyelcomporta-mientodesusparciales.
• Conocerlaspropiedadesdecuerpodelosnúmeroscomplejos.
• Operarcorrectamenteconnúmeroscomplejosenformabinómica.
• Operarcorrectamenteconnúmeroscomplejosenformapolar.
• Distinguirelargumentoprincipaldelargumento.
• Distinguirellogaritmoprincipaldellogaritmo.
• Cambiarlosnúmeroscomplejosdeformapolarabinómicayviceversa.
• Interpretargeométricamentelasumayelproductodenúmeroscomplejos.
• Calcularlasraíces n-ésimasdeunnúmerocomplejo.
• Conocerlasfuncioneselementalescomplejasysuspropiedades.
• Interpretarelconceptodelímitedeunasucesiónenelambientedelasfuncio-nesrealesdevariablereal.
• Relacionarlaexistenciadelímitedeunafunciónenunpuntoconlaposibleexistenciadelímiteslaterales.
• Interpretarelconceptodedivergenciadeunafunciónenunpunto.
• Convertirlímitesen ∞ enlímitesen 0 yviceversa.
• Reconocerlasdistintasindeterminaciones.
• Discutirlacontinuidaddeunafunciónenunpunto.
• Discutirlacontinuidaddeunafunciónenunconjunto.
• Relacionar la continuidaddeuna funciónenunpuntoconel conceptodelímitedelafunciónenesepunto.
• Reconocerlosdistintostiposdediscontinuidades.
• Aplicar,paraconocerlaestructuradelaimagendeunafunción,elteoremadeBolzano,elteoremadelvalorintermedioyelteoremadecompacidad.
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• Conocerlaspropiedadesdelasfuncionescontinuaseinyectivas.
• Conocerlasfuncioneselementales;sucrecimiento,comportamientoencual-quierpunto,etc.
• Resolver indeterminaciones (biende sucesiones o de funciones) en las queintervenganfuncioneselementales.
• Resolverindeterminacionesmediantelaregladelnúmero e.
• Discernirsiunafunciónesderivableenunpunto.
• Interpretargeométricamenteelconceptodederivadadeuna funciónenunpunto.
• Calcularlasderivadasdelasfuncioneselementalesydelacomposición,suma,producto,etc.,detalesfunciones.
• Utilizarladerivabilidaddeunafunción,juntoconlaspropiedadesdeladeri-vabilidad(TeoremadeRolle,delvalormedio,etc.)paracalcularlaimagendedichafunción.
• UtilizarlasreglasdeL’Hôpitalparaelcálculodelímites.
• UtilizarlasreglasdeL’Hôpitalparaestudiarladerivabilidaddeunafunciónenunpunto.
• ConocerelpolinomiodeTaylordeunafunciónenunpuntoyaplicardichopolinomioparaestimarelvalordelafunciónenunpunto.
• UtilizarelpolinomiodeTaylorparadiscernir siuna funciónalcanzaenunpuntocríticoalgúntipodeextremorelativoyquéclasedeextremoes.
• Utilizarlosresultadosconocidosreferidosacrecimientoyextremosrelativosdeuna función, juntocon losdeconcavidadyconvexidadparaestudiar lagráficadedichafunción.
• Distinguirenunaseriedenúmerosrealeseltérminogeneraldelaseriedelasucesióndesumasparciales.
• Distinguir laconvergenciadeunaseriede laconvergenciaabsolutayde laconvergenciaincondicional.Conocerlasimplicacionesentrelostresconcep-tos.
• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodecomparación.
• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodelaraíz.
• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodelcociente.
• DecidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodeRaabe.
• Decidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodecondensación.
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• DecidirsiunaseriedenúmerosrealesesconvergenteutilizandoelcriteriodeLeibniz.
• Calcularlasumadeunaseriegeométrica.
• Calcularlasumadeunaserietelescópica.
• Calcularlasumadeunaseriehipergeométrica.
• Distinguirenunaseriedepotenciaslosdistintoselementos:centrodelaserie,eltérminogeneralyelradiodeconvergencia.
• Calcularelradiodeconvergenciadeunaseriedepotenciasutilizandoelcri-teriodelaraízyeldelcociente.
• Desarrollarenseriedepotenciaslafunciónbinomial.
• Desarrollarenseriedepotenciaslasfuncionesrelacionadasconlasfuncioneselementales.
• ConocersomeramentelosfundamentosdelaintegraldeRiemann.
• Aplicarlaspropiedadesdelaintegralparadecidirsiunafunciónesintegrable.
• Analizarlaspropiedadesdeunafuncióndefinidamedianteunaintegralinde-finida:teoremafundamentaldelcálculo.
• CalcularintegralesmediantelaregladeBarrow.
• Decidirsiunafunciónesimpropiamenteintegrableycalcularsuintegralim-propiacuandolosea.
• Calcularintegralesmedianteelcambiodevariable.
• Calcularintegralesmediantelaintegraciónporpartes.
• Decidirelmétodoapropiadoyaplicarloparacalcularintegralesdedistintostiposdefuncionesatendiendoalaclasedefunciónenelintegrando.
• Calcularmedianteintegracióneláreadeunconjunto.
• Calcularmedianteintegraciónlalongituddeunacurva.
• Calcularmedianteintegraciónelvolumendeunsólidoderevolución.
• Calcularmedianteintegraciónlasuperficielateraldeunsólidoderevolución.
Cálculodiferencialeintegralenfuncionesdevariasvariablesreales.
• Conocerloselementosdelatopologíade Rn yrelacionarlaconlatopologíade R.
• Calcularlanormadeunvectoryelproductoescalardedosvectores.
• Identificarconjuntosabiertos,cerrados,compactos,etc.de Rn.
• Descomponerunafunciónde Rn en Rm ensusfuncionescomponentes.
• ConocerelconceptodelímitedeunafuncióndeRn enRm eidentificarcuándohayunaindeterminación.
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• Conocerelconceptodelímitedeunafunciónde Rn en R.• Relacionarlosdosconceptosanteriores.
• Estudiarsiunafuncióndevariasvariablesrealestienelímiteenunpuntoysiescontinuaendichopunto.
• Calcularderivadasdireccionalesdeunafunciónrealdevariasvariablesreales.
• Calcularderivadasparcialesdeunafunciónrealdevariasvariablesreales.
• Construirladiferencialdeunafunciónrealdevariasvariablesreales.
• Construirladiferencialdeunafunciónvectorialdevariasvariablesreales.
• Asociar lamatriz jacobianadeunafunciónenunpuntoasudiferencialendichopunto.
• Interpretargeométricamenteelconceptodefunción f : R2 → R difenciableenunpunto:planotangentealagráficadelafunciónendichopunto.
• Interpretargeométricamenteelconceptodegradientedeunafunción f : R2 →R.
• Aplicarelteoremadelafunciónimplícitaparadecidircuandounaecuaciónen R2 defineimplícitamenteaunavariablecomofuncióndelaotra.
• Aplicarelteoremadelafunciónimplícitaparadecidircuandom ecuacionesenRn+m definenimplícitamentea m variablescomofuncionesdelas n variablesrestantes.
• Aplicarelteoremadelafunciónimplícitaparacalcularderivadasparcialesdefuncionesdefinidasimplícitamente.
• Calcularelplanotangentealagráficadeunafunción f : R2 → R definidaimplícitamente.
• Interpretargeométricamenteelconceptodegradientedeunafunción f : R2 →R cuandoéstaestádefinidaimplícitamente.
• Calcularlamatrizhessianadeunafunciónenunpunto.
• Utilizarlamatrizhessianadeunafunciónenunpuntocríticoparaelcálculode losextremosrelativosde la funciónendichopunto.Relacionarloconelcasounidimensional.
• UtilizarelmétododelosmultiplicadoresdeLagrangeparacalcularlosextre-moscondicionadosdeunafunción.
• Decidircuandounconjuntode Rn escompacto.Aplicarloparaelestudiodeproblemasdeextremosabsolutos.
• Conocersomeramente los fundamentosdela integraldeRiemannpara fun-cionesde Rn en R:sumassuperioreseinferiores,integralsuperioreinferior,etc.
• Calcularintegralesdefuncionescontinuasmedianteintegracióniterada.
• Decidirsiunconjuntode Rn esunconjuntomedible-Jordan.
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• CalcularintegralesdefuncionesaplicandoelmétododeFubinienconjuntosmedibles-Jordan.
• Conocerloscambiosdevariableestándarparacalcularintegralesdefuncionesde R2 en R yfuncionesde R3 en R:cambioacoordenadaspolares,cilíndricasyesféricas.
• Aplicarelteoremadecambiodevariableparacalcularintegralesdefuncionesatendiendoalanaturalezadelintegrando.
• Aplicar la integraciónde funcionesdevariasvariablesparacalcularáreasyvolúmenesdeconjuntosdelplanoydelespacio,respectivamente.
• Aplicarlaintegracióndefuncionesdevariasvariablesparacalcularcentrosdegravedaddeconjuntosenelespacio.
• Aplicarlaintegracióndefuncionesdevariasvariablesparacalcularmomentosdeinercia.
Ecuacionesdiferenciales.
• Conocerelconceptodeecuacióndiferencialordinariaydeecuacióndiferen-cialenderivadasparciales.
• Distinguirlostiposdesolucionesdeunaecuacióndiferencial:lasoluciónge-neralylassolucionesparticulares.
• Distinguirunasoluciónexactadeunasoluciónexactadeunasoluciónapro-ximada.
• Identificaralgunostiposdeecuacionesdiferencialesordinarias:variablesse-paradas,homogéneas,exactas,lineales.
• Resolverecuacionesdiferencialesdelostiposenunciadosenelapartadoante-rior.
• Reducirecuacionesdiferencialesquenoseandeningunodelostiposanteriores(medianteuncambiodevariable)aalgunodeellos.
• Identificardistintosproblemasfísicos,geométricosymecánicoscomoproble-masdeecuacionesdiferenciales.
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METODOLOGÍA,HORARIO YCRONOLOGÍA.
5.1. Horarioymetodología.
Elhorariodelaasignaturaestáenlapáginawebdelatitulación.Enlineasgeneralesse tieneunacarga lectivade4horassemanalesduranteelprimercuatrimestrey3se-manalesduranteelsegundo,ademásdelasclasesdeprácticasdeordenador(15horas,enelsegundocuatrimestre),cuyohorariotambiénseencuentraenlapáginawebdelatitulación.
Enclase,encadalección,elprofesordaráunresumenteóricodelalecciónalavezqueestudiaráalgunosejemplosyejerciciosqueilustrenlateoría.Despuésserepartiráunarelacióndeejerciciosyproblemas(atravésdeltablóndedocenciadelauniversidadocolgándoloenlapáginawebdelosprofesores)quelosalumnostendránqueresolver.Unaveztranscurridountiempoprudentepararesolverlosenclasesecomentaránlasdificul-tadesquesehantenidoconlosejercicios.Elenfoquedelaasignaturaeseminentementepráctico,porloquelaintroducciónteóricanoesmásqueunsoporteparapoderrealizarlosproblemaspropuestos.
Adicionalmente,losalumnosquelodeseen,engruposdedosotres,prepararáncon-juntamenteconelprofesorlosapuntesdelostemasdelasactividadesacadémicamentedirigidas.A principiodecadatrimestreelprofesorpropondrálostemasadesarrollarylosrepartiráentrelosalumnosvoluntarios,indicándoleacadagrupodealumnoslasemanaenlaquetendránquetenerpreparadoel temaasignado.Dosotressemanasantesdelafechaprevistahabráreunionesentreelprofesorycadaunodelosgruposdealumnosparaobtenerlabibliografíanecesaria,organizareltrabajo,resolverlasdudasquesurjan
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yelaborarlostemasqueserepartiránalrestodeloscompañeros.Finalmenteenlafechaprevistalosalumnosexpondránsutrabajoenclaseresolviendolasdudasdelrestodeloscompañerosquepuedansurgir.Dependiendodeltemaelegidolasesiónpuededurarunahoradeclaseoalgomenos.Laideaesqueestosseminariosocupenaproximadamenteentreun 15 yun 20% delacargalectivatotaldelaasignatura.Lasituaciónidealesquetodoslosalumnosparticipenenalgúnseminarioperodadoelnúmerodealumnosma-triculadosesdifícilque todospuedanhacerlo.Además losgruposde trabajoparaqueseanoperativosnodeberíantenermásde 3 o 4 miembros.Sihubieramáscandidatosparaprepararlosseminariosquepuestosyaveríamoslasolución.
ParalasclasesdeprácticasconelprogramaMaximaelprofesorpondráeneltablóndedocencialasemanaanterioracadasesiónunguiónconeltrabajoquesevaarealizarenlaclase.Enclaseserepasaránlosapuntesdelguiónhaciendohincapiéenlosproblemasquepuedansurgireneldesarrollodeltema.Despuéssedejauntiempopararealizarejer-ciciossobreloexplicadoencadasesión.Debidoalacapacidaddelauladeinformática,esnecesariohacertresgruposdeprácticas.Comoquieraqueenotrasasignaturastambiénsedividenlasprácticasengruposmáspequeñosseprocuraráquelosgruposesténhechosdeformaqueningúnalumnotengaqueestarendosclasesalavezytambiénseprocu-rará,enlamedidadeloposible,quenoexistandemasiadoshuecosenelhorariodelosalumnos.Encualquiercaso,paralasconsideracionesanterioressetomacomomodelounalumnomatriculadoentodaslasasignaturasdeprimercursoysolamenteenestecurso.Losalumnosquenoesténenestasituaciónnotienengarantizadoquenolecoincidandistintasclases.Debenestudiar,antesdematricularse,silesesposibleasistiratodaslasasignaturasenlasquedeseanmatricularse.
Paralasclasesdeprácticasconordenadorlosalumnosesconvenientequellevenundispositivoparaalmacenarsu trabajo (disqueteopen-drive)obienpuedenmandarsutrabajocomoficheroadjuntoaunacuentadecorreoelectrónico.
5.2. Cronología
Elcursoseorganizaen30semanaslectivas,divididasendoscuatrimestres,cadaunodeelloscon15semanaslectivas.Ladistribucióndeltrabajoenlasdistintassemanaseslasiguiente:
Primercuatrimestre.
• Semana1:
◦ Presentación.Informaciónsobreelcurso.Númerosreales:propiedadesdelasuma,productoyorden.Conjuntosma-yoradosyminorados.Supremoseínfimos.Axiomadelsupremo.Propieda-desde N, Z y Q.Existenciadenúmerosirracionales.Inducción,problemasdeinducción.
• Semana2:
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◦ Topologíade R.Conjuntosabiertosycerrados,acumulación,frontera,etc.Relación1deejercicios.Númeroscomplejos:definición,móduloyargumento.Ejemplos.
• Semana3:
◦ FórmuladeDeMoivre.Raícesdeunnúmerocomplejo.Exponencialcom-pleja. Logaritmo complejo, exponenciales y potenciales. Relación2 deejercicios.
• Semana4:
◦ Relación2deejercicios.Sucesionesdenúmerosreales.Convergencia.Ál-gebradelímites.Monotoníayacotación.Sucesionesporrecurrencia.Su-cesionesdivergentes,álgebradelímitesconsucesionesdivergentes.Inde-terminaciones.CriteriodeStolz.Criteriodelaraíz.
◦ Seminario:Elnúmeroe.Algunoslímitesrelacionados.◦ Seminario:Progresionesaritméticasygeométricas.
• Semana5:
◦ Resolucióndelaindeterminación 1∞.Relación3deejercicios.Definición de límite funcional. Límites laterales. Continuidad. Relaciónconellímite.TeoremadeloscerosdeBolzano.Teoremadelvalorinter-medio.Teoremadecompacidad.
◦ Seminario:Funcionesexponencialesylogarítmicas.
• Semana6:
◦ Problemasdecontinuidad.Funcionescontinuaseinyectivas.Relación4deejercicios.
◦ Seminario:Funcionestrigonométricasehiperbólicas.
• Semana7:
◦ Derivadadeunafunciónenunpunto.Reglasdederivaciónyderivacióndelasfuncioneselementales.Extremosrelativos.TeoremadeRolle.Teoremadelvalormedio.Teoremadelvalormediogeneralizado.Consecuenciassobrecrecimiento.ReglasdeL’Hôpital.
◦ Seminario:Cálculodederivadas.
• Semana8:
◦ Derivadasdeordensuperior.Aplicaciónalcálculodeextremosrelativos.PolinomiodeTaylor.FórmuladeTaylor.Concavidadyconvexidad.
◦ Seminario:AplicacionesprácticasdelpolinomiodeTaylor.
• Semana9:
◦ Relación5deejercicios.Definiciónyejemplosdefuncionesintegrables.Propiedades.
• Semana10:
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◦ Aditividadde la integraciónrespectoal intervalo.Condicionessuficien-tesdeintegrabilidad.TeoremaFundamentaldelcálculo.RegladeBarrow.Integraciónporpartes.Cambiodevariable.
• Semana11:
◦ Cálculodeprimitivas:funcionestrigonométricas,racionaleseirracionales.◦ Seminario:Áreayvolumendecuerposderevolución.
• Semana12:
◦ Integraciónimpropia.Relación6deejercicios.◦ Seminario:Criteriosdecomparaciónparaintegralesimpropias.
• Semana13:
◦ Relación6deejercicios.Seriesdenúmerosreales.Definicionesyejemplos.Criteriosdeconvergen-ciadeseries:criteriodecomparación.
• Semana14:
◦ Criteriosdeconvergenciaparaseriesde términospositivos.CriteriosdeDirichlet,AbelyLeibniz.ConstantedeEuler-Mascheroni.Sumasdeseries.
◦ Seminario:SumasdeRiemannyseries.
• Semana15:
◦ Relación7deejercicios.
Periododeexámenes.
Segundocuatrimestre.
• Semana16:
◦ Seriesdepotencias.Radiodeconvergencia:definiciónycálculo.Funcio-nesdefinidasporseriesdepotencias.Derivacióneintegracióndeseriesdepotencias.SeriedeTaylor.
◦ Sesión1ªdeprácticasdeordenador.
• Semana17:
◦ Seriebinomial.Seriesdepotenciasdelasfuncioneselementales.Relación8deejercicios.
◦ Sesión2ªdeprácticasdeordenador.
• Semana18:
◦ Funcionesdevariasvariablesreales.Topologíade Rn.Funcionesvectoria-lesyescalares.Límitedeunafuncióndevariasvariables.Estrategiasparacalcularlímites.
◦ Sesión3ªdeprácticasdeordenador.
• Semana19:
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◦ Continuidaddefuncionesdevariasvariables.Teoremadecompacidad.Di-ferenciabilidaddefuncionesdevariasvariables.Diferenciabilidadyfun-cionescomponentes.Derivadasdireccionalesyparciales.Interpretacióngeométricadelasderivadasparcialesdeunafunciónrealdedosvariablesreales.Planotangente.
◦ Seminario:Cálculodediferenciales.◦ Sesión4ªdeprácticasdeordenador.
• Semana20:
◦ Vectorgradiente:definicióneinterpretacióngeométrica.Matrizjacobiana.Regladelacadena.
◦ Sesión5ªdeprácticasdeordenador.
• Semana21:
◦ Teoremadelafuncióninversa.Teoremadelafunciónimplícita.Planotan-genteaunasuperficiedefinidaimplícitamente.Vectorgradiente:interpre-tacióngeométrica.Derivadasdeordensuperior.TeoremadeSchwarz.Ma-trizhessiana.
◦ Seminario:Formascuadráticas.◦ Seminario:Métodosdeclasificacióndeformascuadráticas.◦ Sesión6ªdeprácticasdeordenador.
• Semana22:
◦ TeoremadeTaylor.Extremosrelativos:definiciónypropiedades.Extremoscondicionados.
◦ Seminario:Diagonalizacióndematrices.◦ Sesión7ªdeprácticasdeordenador.
• Semana23:
◦ Relación9deejercicios.◦ Sesión8ªdeprácticasdeordenador.
• Semana24:
◦ Relación9deejercicios.◦ Sesión9ªdeprácticasdeordenador.
• Semana25:
◦ Integraciónde funcionesdevariasvariables:definicionesyTeoremadeFubini.Conjuntosmedibles.Integraciónsobreconjuntosmedibles.
◦ Sesión10ªdeprácticasdeordenador.
• Semana26:
◦ Cambiosdevariable.Cambiosacoordenadaspolares,cilíndricasyesféri-cas.
◦ Sesión11ªdeprácticas:
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• Semana27:
◦ Relación10deejercicios.◦ Sesión12ªdeprácticasdeordenador.
• Semana28:
◦ Ecuacionesdiferenciales.Definiciones.Solucióngeneralysoluciónparti-cular.Clasificación.Ecuacionesenvariablesseparadas.Ecuacioneslinea-lesdeorden1.Ecuacionesexactasyreduciblesaexactas.Factoresinte-grantes.
◦ Seminario:MétododelaspoligonalesdeEuler.◦ Seminario:Factoresintegrantes.◦ Sesión13ªdeprácticasdeordenador.
• Semana29:
◦ Factoresintegrantes.Ecuacioneslinealesdeordensuperiora1.Métododevariacióndeconstantes.Sistemasdeecuacionesdiferencialeslineales.
◦ Seminario:Aplicacionesprácticasdelasecuacionesdiferenciales.◦ Sesión14ªdeprácticasdeordenador.
• Semana30:
◦ Relación11deejercicios.◦ Sesión15ªdeprácticasdeordenador.
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EVALUACIÓN.
Parasuperarlaasignaturahayunasrecomendacionesbásicasque,sibiennoesobliga-torioseguirlas,síqueesbastanteconveniente.Porejemplosepodríancitarlassiguientes:
Estudiartodoslosdías.Noesnecesariosaberselascosasdememoriatodoslosdíasperosíqueesnecesariorepasarcadadíaeltrabajohechoenclase,ordenarlo,pasaralimpiolosapuntesoproblemassobrelosquesehayatrabajadoenclase.Alfinaldecadalecciónesmuyconvenientehacerunresumenconlomásimportante,losresultadosytécnicasmásútiles,etc.Segúnalgunoscálculossonnecesarias1.5horasdetrabajoadicionaldelalumnoporcadahoradeclasepresencial.Siestosehacecadadíanorepresentaunesfuerzoímprobo,perosilodejamosparalasemana(oelmes)anterioralexamensimplementenohaytiempo.
Hacerlosejercicios.Laresolucióndeejerciciosesuntrabajoquerequiereunesfuer-zoquepuedeparecerfrustrante:sobretodoalcomienzodecadatemalosejercicios“seresisten”asalir.Eselmomentodeintentarlopordiversosmétodosyrecordarqueparaquelosejerciciosseanresueltosbienescasinecesariohaberseequivo-cadounascuantasveces,esdecircasinuncasalenalprimerintento.Poresodejareseprimerintentoparaeldíadelexamenesbastantepeligroso.Porotrapartelaresolucióndeejerciciosesuntrabajoquerequieredel trabajodelestudiante,nodelprofesor:nosirveparanadacopiarlasolucióndelejercicio.Elprofesorpuedeayudar,encaminar,corregir,etc.,perosobreuntrabajopreviodelalumno.
Este trabajononecesariamente tienequeser individual.Sepuedenhacergrupospararesolver losproblemas.Elcontactoconotrosalumnosa lahoradeabordarunproblemaesenriquecedor.Losproblemasnosiempresepuedenhacerdeunaúnicaformasinoque,aveces,hayvariasformasdehacerlo.Evaluarcuálesmás
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rentable,másdirectaomáscómodaesuntrabajodeequipo.Detodasformashayquetenerencuentaqueelobjetivonoestenerlosproblemasyejercicioshechos,sinohacerlos.Escaquearsedentrodeungruponoconsigueengañaranadie.
Hayquepreguntar todo lo queno se entienda.Al profesor se le puede, y se ledebe,preguntartodoloquenoseentiendaonoquedeabsolutamenteclaro.Bienenclase,al terminar laclase,enhorariode tutoríaoporcorreoelectrónico.Porsupuestosihayalgunadudayelalumnopuedeaclararlaporotrosmediospuedeutilizarlos(consultarlibros,compararconloscompañeros,etc,)peroencualquiercasoelprofesorestaráencantadoderesolver lasdudasque leplanteéis (cuandopueda,claro).
Enprácticasdeordenadorquizálofundamentalseapracticarmucho,porelloesconvenientequeademásdelassesionesdeprácticaspractiquéisporvuestracuenta.Enlaescuelaexistenaulasdelibreaccesoquepuedenserutilizadasporlosalum-nos.DichasaulasestánequipadasconordenadoresquetienenaccesoalprogramaMaxima;paracualquierdudaconsultarconelprofesor.
Hay que darse de alta en la cuenta de correo que la universidad ofrece a cadaalumno.Medianteelaccesoidentificadosepuedeaccederaltablóndedocenciadelaasignaturaqueeselmediomedianteelqueelprofesordarálasrelacionesdeejercicios,losapuntesdelosseminarios,lascalificacionesdelosexámenesytodalainformaciónrelativaalaasignaturaquecreaconveniente.Esportantomuycon-venienteconsultareltablóndedocenciaperiódicamente.Sihayalgunadudasobrecomodarsedealtaenelserviciodecorreosepuedeconsultarconelprofesor.
Veamosahoralaevaluacióndelaasignatura.Laevaluacióndecadaunadelaspartesenlasqueestádivididalaasignaturaesdistinta:
Prácticasdeordenador.
Duranteelcursoserealizaráncontrolesperiódicosenclase(3o4)sobreelapren-dizajedelasdistintastécnicasestudiadasenlassesionesdeprácticasconMaxima.Estassesionesseharánsinprevioavisopero,porsupuesto,losalumnospuedenuti-lizartodoelmaterialquetenganasualcance,yaseanapuntes,elmenúdeayuda,etc.Lanotaparasuperarestaspruebasesunamediamayoroigualque 4.Encasodequenolasuperen(odeseenobtenerunacalificaciónmayor)siemprepuedenoptaraunexamendeprácticasqueserealizaráeldíadelsegundoexamenparcial(verpáginawebdelatitulaciónparalasfechas).Sisuperanestaspruebasestacalificaciónrepresentaráel 15% delacalificaciónfinaldelaasignatura.
LaspruebasdeprácticasconordenadorconsistiránendistintosejerciciosqueelalumnodeberáresolverutilizandoelprogramaMaxima.Alutilizardichoprogramasegeneraráunficheroqueseráeldocumentoqueelprofesorcalificará.Laformadepresentardichoficheropuedeserdedosformas:obienmedianteundispositivodealmacenamientotipopen-drivequeseentregaalprofesoralfinaldelasesiónobien
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enviandoelficherocomoadjuntoalacuentadecorreoelectrónicodelprofesor.Evi-dentementeestasegundaopcióndeberáhacersedesdeelauladeordenadores.Esporelloconvenientequelosalumnostenganabiertaunacuentadecorreoelectró-nico.Launiversidadproveedecuentasdecorreoelectrónicoatodoslosalumnosy,preferentemente,estacuentaeslaquedebeserutilizadayaqueatravésdeltablóndedocenciaelprofesorpuedeconocerladirecciónelectrónicadedichacuenta,yestecanaldecomunicaciónseráampliamenteutilizadodurantetodoelcurso.
Paralosalumnosquetenganquepresentarsealaconvocatoriadeseptiembreselesharáunaprueba(usualmenteelmismodíaqueestáfijadoelexamendeseptiembre,dependiendodeladisponibilidaddelauladeordenadores),queotravezcontaráun15% delacalificaciónfinal.
Actividadesacadémicamentedirigidas/seminarios.
Losalumnosqueparticipenenlaelaboraciónyexposicióndeunodelostemasdelapartadodeactividadesacadémicamentedirigidasobtendránporestaactividadun15% delacalificaciónfinal(incluidalaconvocatoriadeseptiembresifueranece-sario)Estaactividadsecalificamediantelaobservaciónporpartedelprofesordeltrabajorealizadoenlapreparacióndeltema,delaclaridaddelaexposiciónydeldominiodeltemaalaclararlasdudasdeloscompañeros.Desafortunadamenteelelevadonúmerodealumnosmatriculadoshacequenotodoslosalumnospuedandesarrollarestetipodeactividades.Comosehacomentadoanteriormenteseasig-naránalprincipiodecadacuatrimestrelasactividadesalosgruposdealumnosquelasoliciten.
Clasesteórico-prácticas.
Duranteelcursoserealizarán3o4pruebasduranteelhorariolectivoqueversaránsobrelasrelacionesdeproblemasquesehayantrabajadoanteriormente.Estasprue-basserealizaránavisandoúnicamenteconunoodosdíasdeantelación.Conellosepretende,porunaparte,quelosalumnosseanconscientesdequeesnecesariollevareltrabajoaldía.Porotraparte,siseavisaraconmásantelación,losalumnospodríandedicarseenexclusivaaestudiarunaasignaturaconloquedescuidaríanelrestodelasasignaturasyestasituaciónseintentaevitarportodoslosmedios.Estaspruebasrepresentanun 10% delacalificaciónfinaldecadaalumno.
Ademásserealizarándosexámenesparcialesenlasfechasprevistasqueconten-drándistintoscuestiones, fundamentalmenteproblemas,de lamateriaestudiada.Tambiénesposiblequesepreguntenalgunosaspectosteóricos.Parasuperarlaasig-naturamedianteestemétodoesnecesarioobtenerencadaunodelosexámenesparcialesunacalificaciónmayoro igualacuatro.Sienalgunode losexámenesparcialeselalumnoobtuvieraunacalificaciónmenorque4entoncesdeberápre-sentarsealexamenfinaldelaasignatura,enelque,parasuperarlaasignaturadeberáobtenerunacalificaciónmayoroiguala4.Laestructuradelexamenfinalessimilaraladelosparciales.Lacalificaciónobtenidaporlamediadelosparcialesoenel
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examenfinalrepresentaun 60% delacalificaciónsielalumnohaparticipadoenunseminarioyun 75% sinohaparticipadoenninguna.
Parasuperarlaasignaturaesnecesarioquelasmediaponderadaanteriorseamayoroiguala5.
Nosuperaránlaasignatura(ademásdelosalumnosquenosepresentenalaspruebas,evidentemente)aquellosalumnosqueesténenunadelassiguientessituaciones:
Hanobtenidoenlamediadelasdistintaspruebasdeprácticasconordenador(yenlapruebafinal)unacalificaciónmenorque4.
Hanobtenidoenalgúnexamenparcialunacalificaciónmenorquecuatro(silohanhecho)yenelexamenfinaltambiénhanobtenidounacalificaciónmenorque4.
Sinoestánenloscasosanterioresperolamediaponderadasalepordebajode5.
Estosalumnosdeberánpresentarsea laconvocatoriadeseptiembredonde tendránunexamendeprácticasconordenador (15%delacalificación)yunexamenteórico-práctico(70 u 85% delacalificación,dependiendodesiparticiparonenalgúnseminario).Parasuperarlaasignaturaenestaconvocatoriaesnecesarioquelacalificacióndeambosexámenesseamayoroiguala4yquelamediaponderadaseamayoroiguala5.
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