Prof. dr Zagorka Gospavić
dipl. inž. geod.
Školska 2013/2014. godina
INŽENJERSKA GEODEZIJA 1
Univerzitet u Beogradu Građevinski fakultet
Katedra za geodeziju i geoinformatiku
Kontrola obeležavanja
2
Zašto i kako se vrši kontrola obeležavanja?
Nakon što se željene tačke obeleže na terenu vrši se kontrola obeležavanja da bi se moglo utvrditi da li stanje obeleženo na terenu odgovara projektovanom stanju
Kontrola obeležavanja se može vršiti na razne načine:
ponovnim obeležavanjem (npr. druga ekipa i drugi instrument pri proboju tunela)
merenjem uglova i dužina, frontova
naknadnim ocenjivanjem parametara figure čije je obeležavanje izvršeno (modelovanjem)
testiranjem različitih hipoteza
teren
kancelarija
3
Kontrola -
merenjem frontova i dijagonala
Δ<− noprojektovamereno DD
4
Tehnički izveštaj o kontroli obeležavanja
Dokument kojim se potvrđuje sprovedena kontrola obeležavanja
Trebalo bi da sadrži:
vreme i datum kada je obeležavanje izvršeno
opis i način materijalizacije obeleženih tačaka
način kontrole obeležavanja (metoda i instrumenti)
matematičke dokaze izvršene kontrole:
potpise odgovornih lica (za primopredaju radova)
Projektovano Obeleženo Dozvoljena razlika Način kontrole
5
Modelovanje kao način kontrole obeležavanja
Nije ništa drugo do ocenjivanje parametara figure čije je obeležavanje izvršeno
Da bi se vršilo ocenjivanje parametara figure mora biti poznata njena jednačina
*
Važna napomena:
Termin „figura“
se na ovom slajdu, kao i u nastavku predavanja uslovno koristi radi jednostavnosti objašnjenja (npr. prava sama po sebi nije figura, ali će biti podvedena pod tu kategoriju u nastavku)
6
Opšta podela geometrijskih figura
Figure sa beskonačnim brojem tačaka - tzv. kontinuirane figure (prava, parabola, kružnica, elipsa,...)
Figure sa konačnim brojem tačaka - tzv. izlomljene figure (dužina, trougao, n-tougao)
7
Jednačine nekih kontinuiranih figura
prava:
parabola:
kružnica:
elipsa:
bXaY ii +⋅=
2210 iii XaXaaY ⋅+⋅+=
( ) ( ) 220
20 RYYXX ii =−+−
12
2
2
2
=+bX
aY ii
8
Osnovne postavke modelovanja
1. korak - ocenjivanje vrednosti parametara modela, a zatim određivanje vrednosti zavisne promenljive iz modela na osnovu ocenjenih vrednosti parametara modela i njegove jednačine
2. korak - određivanje koeficijenta determinacije koji pokazuje koliko dobro nezavisna promenljiva opisuje zavisnu promenljivu (ovaj koeficijent ima vrednost u intervalu od 0 do 1):
3. korak - određivanje koeficijenta korelacije koji pokazuje koliko je jaka veza između promenljivih (ovaj koeficijent ima vrednost u intervalu od -1 do 1):
* Materijal i primer preuzeti iz sinteznog projekta Marine Radulović
( )
( )∑
∑
=
=
−
−= n
iii
n
iii
YY
YYR
1
2
1
2
2
ˆ
2Rr =
2R
r
9
Osnovne postavke modelovanja - nastavak
4. korak - određivanje standardnog odstupanja modela na osnovu sume kvadrata reziduala (odstupanja merenih ili eksperimentalno utvrđenih vrednosti zavisne promenljive iz modela od njenih ocenjenih vrednosti):
5. korak - određivanje standardnih odstupanja ocenjenih vrednosti parametara modela (npr. parametra ) na osnovu standardnog odstupanja modela i kvadratnog korena odgovarajućeg dijagonalnog člana matrice kofaktora :
unY −= vvT
σ
PPYP Q ˆˆˆ ⋅= σσ
P
xQ ˆ
10
Osnovne postavke modelovanja - nastavak
6. korak - testiranje hipoteza i ; ovo je značajno jer u slučaju da je , ne bi uticalo na , a ako bi bilo , regresiona prava bi prolazila kroz koordinatni početak
Test veličine su:
i
Test veličine se porede sa kritičnom vrednošću iz Studentovog rasporeda (kvantilom Studentovog rasporeda) za usvojeni nivo poverenja i broj stepeni slobode (najčešće je ili )
U slučaju prihvatanja nulte hipoteze zaključuje se da se testirani parametar ne razlikuje statistički značajno od nule
0ˆ:0 =aH 0ˆ:0 =bH0ˆ =a X Y 0ˆ =b
a
aT
ˆ
0ˆσ−
=b
bT
ˆ
0ˆ
σ−
=
05.0=α 01.0=α
11
Koeficijenat determinacije i korelacije
Koliko dobro nezavisna promenljiva opisuje zavisnu promenljivu u modelu
0%-25% neznatno
25%-50% slabo
50%-75% dobro
75%-90% veoma dobro
90%-100% značajno
2R Jačina veze
±0.00 do ±0.20 ne postoji
±0.21 do ±0.40 slaba
±0.41 do ±0.60 umerena
±0.61 do ±0.80 jaka
±0.81 do ±1.00 veoma jaka
r
koeficijent determinacije koeficijent korelacije
12
Primer: Modelovanje niza tačaka pravom
Za potrebe ovog primera simulirani su podaci (koordinate tačaka), pri čemu je uvedena pretpostavka da sva merenja (uslovno rečeno) imaju iste težine
0.682 1.514
0.748 1.648
0.910 1.941
1.574 3.026
1.147 2.293
1.226 2.458
0.972 2.039
1.427 2.757
1.534 2.924
0.893 1.882
[ ]mX[ ]mY
13
Uslov za primenu metoda najmanjih kvadrata je da broj merenih veličina bude veći od broja nepoznatih veličina (u ovom slučaju da je dato više od dve tačke jer je broj nepoznatih parametara prave 2, konkretno: , )
Jednačina regresione prave je:
MNK minimizira sumu kvadrata reziduala:
Modelovanje niza tačaka pravom -
nastavak
bXaY ii +⋅=
n u
10=n 2=u un >⇒
( ) minˆ1
2
1
2 =−=∑∑==
n
iii
n
ii YYv
14
Jednačine popravaka su oblika:
U matričnom obliku to bi bilo:
gde je:
i
Konačno:
Modelovanje niza tačaka pravom - nastavak
bXavY iii +⋅=+
fxAv +⋅= ˆˆ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
11
10
2
1
MM
X
XX
A
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
10
2
1
Y
YY
Mf
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=−
2493.06052.0
ˆˆ
ˆba
fAAAx T1T
15
Koeficijent determinacije je:
što znači da nezavisna promenljiva značajno
opisuje zavisnu promenljivu
Koeficijent korelacije je:
odnosno, sledi
, što navodi na zaključak da je veza između nezavisne promenljive i zavisne promenljive veoma jaka
Modelovanje niza tačaka pravom - nastavak
( )
( )9987.0
ˆ
1
2
1
2
2 =−
−=
∑
∑
=
=n
iii
n
iii
YY
YYR
9994.02 ±== Rr
XY
9994.0=rX Y
16
Standardno odstupanje modela je:
dok su standardna odstupanja ocenjenih vrednosti parametara modela:
i
Na kraju se vrši testiranje hipoteza i
Test statistike su i
Za i kvantil Studentovog rasporeda je:
Kako je i , to se oba testirana parametra modela statistički značajno razlikuju od nule
Modelovanje niza tačaka pravom - nastavak
cm 21.1=−
= unYvvT
σ
01.0ˆˆˆ =⋅= aaYa Qσσ cm 75.1ˆˆˆ =⋅=bbYb
Qσσ
0ˆ:0 =aH 0ˆ:0 =bH
660.790ˆ
ˆˆ =
−=
aa
aT σ 241.140ˆ
ˆˆ =−=
bb
bT σ05.0=α 8210 =−=−= unf
752.2,21 =− ft α
fa tT ,21ˆ α−> fbtT ,21ˆ α−>
17
Linearna regresija u Microsoft Excel-u
Za rešavanje jednostavnih problema linearne regresije korisnicima je na raspolaganju funkcija LINEST čijom primenom se kao rezultat dobijaju:
ocenjene vrednosti parametara regresione prave i
standardno odstupanje modela i standardna odstupanja ocenjenih vrednosti parametara modela i
koeficijent determinacije
F-statistika i broj stepeni slobode
suma kvadrata odstupanja ocenjenih od srednje vrednosti zavisne promenljive i
suma kvadrata reziduala
a b
Yσaσ b
σ2R
f
Y
vvT
18
Testiranje hipoteza kao način kontrole obeležavanja
Hipoteze čije se testiranje često vrši u inženjerstvu:
koordinate obeležene tačke jednake su projektovanim koordinatama
obeleženi raspon stubova mosta jednak je projektovanom rasponu
obeležena figura podudarna je projektovanoj figuri
izvedeni stub je vertikalan
19
Testiranje podudarnosti tačke
Nulta hipoteza - koordinate obeležene tačke 5 su jednake projektovanim koordinatama:
Alternativna hipoteza - koordinate obeležene tačke 5 nisu jednake projektovanim koordinatama:
Test veličina je:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
00
ˆˆ
:proj 55
proj 550 XX
YYMH
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≠⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
00
ˆˆ
:proj 55
proj 55
XXYY
MHa
( )0,,212
0
~ HfFkT ∞−
−
= ασdQd 1
dT
20
Testiranje podudarnosti tačke -
nastavak
-
rang matrice
-
dimenzija 2xu, pri čemu su svuda nule, osim na mestu za u prvom redu gde je jedinica, odnosno za u drugom redu gde je takođe jedinica, H = E.
Za i broj stepeni slobode , kvantil Fišerovog rasporeda je:
689.3,,21 =∞− fF α
Txd HHQQ ˆ=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=proj 55
proj 55
ˆˆ
XXYY
d
2=k dQH 5Y
5X
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5555
5555
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
XXYX
XYYY
QQQQ
dQ
05.0=α 2== kf
21
Testiranje obeleženog raspona stubova mosta
Nulta hipoteza - obeleženi raspon između tačaka 1 i 2 je jednak 50 m:
Alternativna hipoteza - obeleženi raspon između tačaka 1 i 2 nije jednak 50 m :
Test veličina je:
[ ] 050ˆ: 210 =−−dMH
( )0,,212
0
~ HfFkT ∞−
−
= ασdQd 1
dT
[ ] 050ˆ: 21 ≠−−dMHa
( ) ( ) 50ˆˆˆˆ50ˆ 2
12
2
1221 −−+−=−= − XXYYdL
22
-
rang matrice
Za i broj stepeni slobode , kvantil Fišerovog rasporeda je:
024.5,,21 =∞− fF α
Txd HHQQ ˆ=
50ˆ21 −= −dd
1=k dQ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂= 00
2211KX
LYL
XL
YL
1xuH
05.0=α 1== kf
Testiranje obeleženog raspona stubova mosta -
nastavak
[ ]00cossincossin 21
21
21
21 Kνννν −−=1xuH
23
Testiranje vertikalnosti stuba
Nulta hipoteza - tačke 101, 102 i 103 pripadaju istoj vertikali:
Alternativna hipoteza - tačke 101, 102 i 103 ne pripadaju istoj vertikali:
Test veličina je:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
0000
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
:
101103
101103
101102
101102
0
XXYYXXYY
MH
( )0,,212
0
~ HfFkT ∞−
−
= ασdQd 1
dT
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
≠
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
0000
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
:
101103
101103
101102
101102
XXYYXXYY
MHa
24
Testiranje vertikalnosti stuba -
nastavak
- rang matrice
-
dimenzija 4xu,
Za i broj stepeni slobode , kvantil Fišerovog rasporeda je:
786.2,,21 =∞− fF α
Txd HHQQ ˆ=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=
101103
101103
101102
101102
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
XXYYXXYY
d
4=k dQ
H
05.0=α 4== kf
25
I za kraj...