Integral Tak Wajar
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
b
a
dxxf )(
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral tak wajar
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga
b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :
b
a
b
adxxfdxxf )(lim)(
b
aab
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen
(i)
(ii)
(iii)
c
cdx)x(fdx)x(fdx)x(f
b
cb
c
aadx)x(flimdx)x(flim
cdx)x(f
c
dx)x(f
dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen
Contoh Periksa kekonvergenan ITW
0
212 )x(
dxdxxxe
4
2
)xx(
dx
522a. b. c.
Jawab :
dxxedxxxeb
x
b
4
2
lim4
2
42
1lim
2 be x
ba.
2
1
)12(2
1
2
1lim
bb
Jadi integral tak wajar konvergen ke
b.
bxb
0
)12(2
1lim
1616
2
1
2
1 2
eeelim b
b
Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2
16
2
1 e
0
2)12(lim
0
2)12( b x
dx
x
dxb
12
1
2 5252522 xx
dx
xx
dx
)xx(
dx
1
122 52
lim52
lima
b
ba xx
dx
xx
dx
b
x
ba
x
a1
211
1
211 tan
2
1limtan
2
1lim
1tantan2
1limtan1tan
2
1lim 1
211
2111
b
b
a
a
422
1
242
1
c.
2
2
Jadi integral tak wajar konvergen ke
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
024 x
dx
0 4 dxxe
1 x
dx
1
2
1
x
dxe x
a. b. c. d.
222 )1( x
dxxe. f.
)162(x
dx
2xe
xdxg.
1722 xx
dxh.
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga
(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang
Jika kontinu pada [a,b) dan maka
)x(flimbx
t
abt
b
a
dx)x(flimdx)x(f
Jika kontinu pada (a,b] dan maka
)x(flimax
b
sas
b
a
dx)x(flimdx)x(f
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen
(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
)(lim xfcx
maka
b
cdxxf
c
adxxf
b
adxxf )()()(
b
sdxxf
t
a csdxxf
ct)(lim)(lim
I II
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajarb
a
dxxf )(
konvergen.
Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1
0
dxx
xln
Jawab :
x
xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan
x
xlnlimx 0
maka
1
0
1
0
lnlim
ln
tt
dxx
xdx
x
x
tx
t
1)(ln
2
1lim 2
0
22
0)()(ln0
2
1lim tt
Integral tak wajar divergen
dxx
x
2
01
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
Jawab
Fungsi diskontinu di x=1 dan x
xxf
1
)( x
xx 1lim1
2
1
1
0
2
0 111dxx
xdxx
xdxx
x
s
tts
dxx
xdxx
x
0
2
11 1lim
1lim
0|1|lnlim1
sss
ss
ssxxdx
x
x
0011|1|lnlim
1lim
Karena
maka integral tak wajar divergen dxx
x
2
0 1
Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contoh berikut
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
0 1dxx
x
Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena - batas atas integral tak hingga - integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selang pengintegralan
sehingga
0 1dxx
x
1
0
2
1 2 111dxx
xdxx
xdxx
x
2
2
101 111 limlimlim dxx
xdxx
xdxx
x
btt
s
s
Karena
0|1|lnlim|1|lnlim1
lim1
0011
ssxxdxx
xs
ss
ss
Maka integral tak wajar divergen
0 1dxx
x
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
131
x
dx
1
1dxxxe
1
1 x
dx
1
0 21 x
dxa. b. c. d.
0
22 107xx
dxxe.
1
22 1x
dxx
1
22 1x
dxxf. g.
3
0 ln xx
dxh.
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
131
x
dx
1
1dxxxe
1
1 x
dx
1
0 21 x
dx
g.
b. c. d.
0
22 107xx
dxxe.
1
22 1x
dxx
1
22 1x
dxx
f.
a.
3
0 ln xx
dxh.