KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
ISI KANDUNGAN
BIL KANDUNGAN MUKA SURAT1 Pengenalan (Kebarangkalian Dan Sejarah) 2-32 Bahagian 1 4-83 Bahagian 2 :
Soalan 1
Soalan 2- (İ) , (İİ) , (İİİ)
Soalan 3- (İ) , (İİ) , (İİİ)
Soalan 4
Soalan 5
Soalan 6
9-17
4 Bahagian 3
Soalan 1
Soalan 2- (İ) , (İİ-a,b)
Soalan 3- (İ) , (İİ) , (İİİ)
Soalan 4
Soalan 5
18-23
5 Penerokaan lanjutan 24-276 Kesimpulan 287 Refleksi 28
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
KEBARANGKALIANKebarangkalian adalah kemungkinan atau kesempatan pada sesuatu keadaan yang akan atau telah berlaku. Teori kebarangkalian digunakan secara meluas dalam bidang seperti statistik, matematik, kewangan, sains dan falsafah untuk mendapat kesimpulan berkaitan kebarangkalian peristiwa terjadi dan mekanik dasar sistem kompleks.
SEJARAH
Kajian saintifik pada kebarangkalian adalah suatu pengembangan moden. Aktiviti perjudian menunjukkan
bahawa adanya suatu minat pada menjumlahkan gagasan kebarangkalian untuk milenia, tetapi
penjelasan matematik tetap pada kegunaan pada masalah tersebut hanya berpunca kemudian.
Menurut Richard Jeffrey, "Sebelum pertengahan abad ketujuh belas, istilah 'probable' (barangkali)
(Bahasa Latin probabilis) bermakna diluluskan, dan digunakan pada segi itu, univocally, pada pendapat
dan tindakan. Tindakan atau pendapat berkemungkinan adalah satu yang orang bertimbang rasa akan
memegang, dengan akibatnya."[1]
Selain dari sesetengah anggapan elementari dilakukan oleh Girolamo Cardano pada abad ke-16, doktrin
kebarangkalian bermula dengan korespondens Pierre de Fermat danBlaise Pascal (1654). Christiaan
Huygens (1657) memberikan rawatan saintifik terawal pada judul itu. Ars Conjectandi Jakob
Bernoulli (posthumous, 1713) dan Doctrine of Chances Abraham de Moivre (1718) melayankan judul itu
sebagai suatu cabang matematik. Lihat The Emergence of Probability Ian Hacking untuk suatu sejarah
pada perkembangan awal pada konsepnya kebarangkalian matematik.
Teori kesilapan dapat dikesankan kembali ke Opera Miscellanea Roger Cotes (posthumous, 1722), tetapi
suatu memoir disediakan oleh Thomas Simpson pada 1755 (dicetakan 1756) pertama menggunakan teori
pada perbincangan kesilapan pada pemerhatian. Cetakan semula (1757) pada memoir ini meletakkan
aksiom kesilapan yang positif dan negatif adalah barangkali sama, dan adanya sesetengah had assignable
dalam mana setiap kesilapan mungkin gugur; kesilapan berlanjutan dibincangkan dan sebuah lengkung
kebarangkalian diberikan.
Pierre-Simon Laplace (1774) membuat percubaan pertama untuk menyimpulkan bahawa suatu peraturan
untuk penggabuhan pemerhatian dari prinsip-prinsip teori kebarangkalian. Dia mewakili peraturan
kesilapan kebarangkalian dengan sebuah lengkung , being any error and
kebarangkaliannya, dan meletakkan tiga ciri pada lengkung ini:
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
1. ia adalah bersimetri pada paksi- ;
2. paksi- adalah sebuah asimptot, kebarangkalian kesilapan jadikan 0;
3. kawasan berpagar adalah 1, ia ditentukan bahawa se buah kesilapan wujud.
Dia juga memberikan (1781) sebuah rumusan untuk peraturan kemudahan kesilapan (sebuah istilah
disebabkan Lagrange, 1774), tetapi satu yang membawa ke persamaan yang tidak dapat diuruskan. Daniel
Bernoulli (1778) memperkenalkan prinsip-prinsip barangan maksimum pada kebarangkalian sebuah
sistem kesilapan serentak.
Kaedah paling sedikit punca kuasa dua adalah disebabkan Adrien-Marie Legendre (1805), yang
memperkenalkannya dalam Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Kaedah
baru untuk Menentukan Orbit Tahi Bintang). Kejahilannya pada sumbangan Legendre, seorang pengarang
Irish-Amerika, Robert Adrain, penerbit "The Analyst" (1808), pertama menyimpulkan peraturan kesilapan,
menjadi suatu konstan bergantung pada ketepatan pemerhatian, dan sebuah fakta skala
memastikan bahawa luasnya di bawah lengkung sama dengan 1. Dia memberikan dua bukti, yang
kedua menjadi pada asasnya sama dengan yang pada John Herschel (1850). Gauss memberikan bukti
pertama yang dilihat telah diketahui di Eropah (ketiga selepas yang pada Adrain) pada 1809. Bukti
lanjutnya diberikan oleh Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen
(1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856), dan Morgan Crofton (1870). Sumbangan
lain adalah Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), dan Giovanni Schiaparelli (1875).
Rumusan Peters (1856) untuk , kebarangkalian kesilapan pada suatu pemerhatian satu, diketahui.
Pada abad kesembilanbelas para pengarang pada teori umum termasuk Laplace, Sylvestre
Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert
(1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, and Karl Pearson. Augustus De Morgan dan George
Boole memperbaikikan eksposisi teori.
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
JENIS-JENIS TABURAN KEBARANGKALIAN
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
TABURAN KEBARANGKALIAN
TABURAN
NORMAL
TABURAN BINOMIA
L
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
TABURAN BINOMIAL
Definisi Kebarangkalian bagi satu peristiwa boleh dinyatakan sebagai kebarangkalian binomial jika kesudahannya
boleh dipecahkan kepada dua kebarangkalian p dan q, iaitu p dan q dalah pelengkap (p + q = 1). Sebagai
contoh, balingan sekeping syiling boleh memberikan kesudahan sama ada kepala atau ekor, yang kedua-
duanya (secara teori) mempunyai kebarangkalian 0.5. Mendapatkan empat pada dadu bermuka enam
boleh dinyatakan sebagai kebarangkalian (1/6) bagi mendapatkan 4 atau kebarangkalian (5/6) bagi
mendapatkan yang lain.
PengiraanJika satu peristiwa mempunyai kebarangkalian, p, untuk terjadi, maka kebarangkalian untuk ia terjadi dua
kali adalah p2, dan secara umumnya pn bagi n cubaan yang berjaya. Jika kita mahu mengetahui
kebarangkalian bagi membaling dadu dan mendapatkan dua 'empat' dan satu nombor lain (dalam
susunan tertentu) ia menjadi:
Walau bagaimanapun, ini hanya sesuai bagi masalah yang susunannya adalah tertentu. Jika susunan
tidak penting dalam contoh di atas, maka terdapat 3 cara untuk mendapatkan 2 balingan 4 dan 1
yang lain:
110
101
011
1 mewakili balingan yang mendapat empat manakala 0 mewakili balingan yang tidak memperoleh
empat. Memandangkan terdapat tiga cara memperoleh keputusan yang sama, maka
kebarangkaliannya adalah 3 kali sebelumnya, atau 7.8%. Jika susunan tidak penting, maka
terdapat (n pilih r) tatarajah yang mungkin. Ini menghasilkan persamaan umum bagi percubaan
binomial:
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
Persamaan am
Iaitu p adalah kebarangkalian berjaya, dan q adalah kebarangkalian gagal (yang merupakan
pelengkap kepada p, iaitu q=1-p.) Maka, ini adalah teorem binomial.
Contoh
Dalam ujian sepuluh soalan aneka pilihan, dengan 4 pilihan setiap soalan, kebarangkalian untuk
mendapatkan 5 dan hanya 5 jawapan betul jika jawapan yang diteka boleh dikira sebagai:
Maka, jika seseorang meneka 10 jawapan pada ujian aneka pilihan dengan
4 pilihan, mereka mempunyai lebih kurang 5.8% peluang untuk
memperoleh 5 dan hanya 5 jawapan yang betul. Jika 5 atau lebih jawapan
betul yang diperlukan untuk lulus, maka, kebarangkalian untuk lulus boleh
dikira dengan menambah kebarangkalian mendapat 5 (dan hanya 5)
jawapan betul, 6 (dan hanya 6) jawappan betul, dan seerusnya hinggal 10
jawapan betul. Jumlah kebarangkalian adalah lebih kurang 7.8%.
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
TABURAN NORMAL
Definisi
Taburan kebarangkalian bahawa plot semua nilai-nilai dengan cara yang simetri dan sebahagian besar keputusan terletak sekitar min kebarangkalian itu. Nilai-nilai sama-sama mungkin merancang sama ada di atas atau di bawah min. Perkumpulan berlaku pada nilai yang dekat dengan min dan kemudian ekor off simetri dari min.
Juga dikenali sebagai "pengedaran Gaussian" atau "lengkung loceng".
Taburan normal adalah jenis yang paling biasa pengedaran, dan sering dijumpai dalam analisis pasaran saham. Memandangkan pemerhatian cukup dalam sampel, ia adalah munasabah untuk membuat andaian bahawa kembali mengikuti corak yang normal, tetapi anggapan ini dapat disangkal.
Seperti mana-mana pengagihan, pengagihan bermakna, kepencongan dan kurtosis pekali perlu dikira untuk menentukan jenis pengedaran anda mungkin hadapi.
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
PERBEZAAN TABURAN NORMAL DAN TABURAN BINOMIAL
Taburan Binomial Taburan Normal
Pembolehubah Rawak Diskret Pembolehubah RawaK Selenjar
Kebarangkalian peristiwa dalam taburan binomial
Kebarang kalian skor-z
Formula: P(X = r) =nCrprqn-r,p + q = 1
Formula: Z = X – μσ
Graf Taburan Binomial Graf Taburan Normal
-Beri 2 contoh aplikasi dalam kehidupan bagi setiap taburan
http;//en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution
http;//www.investopedia.com/terms/b/binomialdistribution.asp
http;//mathworld.wolfram.com/BinomialDistribution.html
http;//www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/binom.htm
http;//en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution
http;//mathworld.wolfram.com/NormalDistribution.html
http;//www.investopedia.com/terms/n/normaldistribution.asp
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
NO NAMA PELAJAR BERAT(kg) TINGGI(cm)
1 AMIR HANAFI BIN HAILUDDIN 70 174
2 IZAN FAKHRIE AMIR BIN ROSLIZAN 56 175
3 AMIR FIRDAUS BIN MOHD FADZIL 39 165
4 AMIRUDDIN BIN RAHMAT 43 164
5 MOHD FIRDAUS BIN NORSAZALI 60 178
6 MOHD DANIAL BIN SUPANI 50 163
7 MUHAMMAD ROZIQIN BIN ZAINUDDIN 55 173
8 MUHAMMAD FAIZ BIN MOHD ZUKI 75 167
9 MUHAMMAD AMEER FARHAN BIN ROSLI 65 177
10 MUHD HAZIQ BIN AZIS 48 173
11 MUHAMMAD AIMAN BIN ZOLKEFLE 42 164
12 MOHD AMIRUL HISYAM BIN PAISHAL 60 172
13 MUHD HAZIM BIN ROSLI 49 153
14 MUHD NUR FIRDAUZS BIN AZHAR 57 170
15 MUHD NAZAMMUDIN BIN ROSID 61 174
16 MUHAMMAD SYAFIQ BIN KAMAL 60 170
17 MUHAMMAD HAFIZUDDIN BIN AZUHAN 63 172
18 MUHAMMAD ASYRAF BIN MOHD NOOR 76 175
19 AISYATUL RADHIAH BINTI MUSA 47 151
20 FATIMAH ZAHARAH BINTI ISMAIL 93 160
21 HANISAH BINTI BAHARIN 55 155
22 HAZIQAH BINTI MAZLAN 50 149
23 AMIRAH NABILA BINTI NOR AMIN 41 147
24 NUR AFIFAH BINTI AZEMI 92 153
25 NURAQILAH NASUHA BINTI SALIMIN 43 152
BAHAGIAN 2
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
26 NOOR AZIQAH IZZATUL BINTI BAIJAN 50 164
27 SITI MASITAH BINTI AHMAD 47 152
28 RABI’ATUL ADAWIYAH BINTI ABDUL RAHMAN 60 162
29 NURUL AIRIN SYAZWA BINTI SAPARI 57 157
30 NUR SYAFIQAH BINTI MD KAHAR 64 152
31 SITI NOOR ASSOLIHA BINTI YAHAYA 43 147.5
32 SITI NUR RABIATUL ADAWIYAH BINTI MOHD ROSLAN 53 154
33 ZUFATIN IZZATI BNITI ZULKEFLI 59 159
34 FATIHAH BINTI ZOLKIFLI 42 156
35 SITI SHYUHADAH BINTI A. RAHMAN 54 156
36 NURUL JANNAH BINTI ALI 46 152
37 NUR SYAZANA BINTI SANWAN 74 165
38 NORSYAMIMI SYAFIQAH BINTI ANIZAN 78 167
39 NIK IZZATI BINTI NIKMOHD FAIDZA 61 168
40 NIK NORASYIKIN BINTI NIK SAMSUDDIN 45 153
41 NUR SYAFIQAH BINTI HAIRUDDIN 78 160
42 AIN NUUR IZZATY BINTI ROSLI 85 160
43 NISATUNNAZIERA BINTI MD NIZAM 47 152
44 NUR FATEN ALIA BINTI JALALUDDIN 45 156
45 NUR AZYAN AMIRAH BINTI JANI 50 155
46 AZYAN SYAHIRAH BINTI AHMAD SOLEHUDDIN 45 154
47 NORMAZLINAH BINTI MAZLAN 85 175
48 NUR SYARMELLA BINTI RAMLI 50 165
49 NUR SHAFIQA AQILA BINTI ADANAN 52 168
50 SITI ZUHARTIKHA BINTI ZULKIFILI 80 167
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
Jadual 2 menunjukkan jadual taburan kekerapan bagi berat 50 pelajar di SMK Simpang Rengam .
Min, ( x )= Σf x2
Σf Sisihan Piawai,(σ )=√ Σf x2Σf
−( Σf x2
Σf)
BERAT(
KG)
TITIK
TENGAH
f KEKERAPAN
LONGGOKAN
x2 fx fx2
30-39 34.5 1 1 1190.25 34.5 1190.25
40-49 44.5 15 16 1980.25 667.5 29703.75
50-59 54.5 14 30 2970.25 763 41583.5
60-69 64.5 8 38 4160.25 516 33282
70-79 74.5 7 45 5550.25 521.5 38851.75
80-89 84.5 3 48 7140.25 253.5 21420.75
90-99 94.5 2 50 8930.25 189 17860.5
50 2945 183892.5
JADUAL 2
GRAF BAR
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5 104.50
2
4
6
8
10
12
14
16
Berat
Keke
rapa
n
CARTA PAI
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page
KERJA PROJEK MATEMATIK TAMBAHAN 2015
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
Jabatan Pendidikan Negeri Johor Page