Limit & Kontinuitas
ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana
Bagian 3
Monday, July 1, 2013
Topik yang dibahas
A. Limit Fungsi
B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)
C. Kontinuitas
Monday, July 1, 2013
A. Limit Fungsi
Monday, July 1, 2013
1. Pengertian Limit
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.
Monday, July 1, 2013
Contoh 1Selidikilah perilaku dari fungsi f(x) = x2 – x + 2 untuk x mendekati 2.
Monday, July 1, 2013
Perhatikan Tabel berikut memberikan nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 2, tetapi tidak sama degan 2.
Monday, July 1, 2013
Proses ini, juga dapat dilakukan dengan mengambil nilai x sedekat mungkin dengan 2, hal ini diungkapkan dengan “limit fungsi f(x) = x2 – x + 2, jika x mendekati 2 sama dengan 4”,
Notasinya:
Monday, July 1, 2013
Defenisi 1 (Limit fungsi)
Diberikan
merupakan “limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L”
Jika dapat dibuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita inginkan),
dengan cara mengambil nilai x yang sedekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.
Monday, July 1, 2013
2. Hal penting dalam Limit
Perhatikan kalimat “tetapi x ≠ a” pada defenisi limit.
Hal ini menujukkan bahwa dalam menentukan limit f(x) ketika x mendekati a, tidak pernah dianggap x = a. Bahkan tidak harus terdefenisi pada x = a.
Hal yang diperlukan adalah bagaimana f didefenisikan di dekat a
Monday, July 1, 2013
Perhatikan ketiga grafik fungsi f(x) berikut:
Monday, July 1, 2013
Bagian (a) f(x) terdefenisi disemua titikBagian (b) nilai f(a) ≠ LBagian (c), f(a) tidak terdefenisi
Dari ketiga grafik di atas
Pada ketiga kasus di atas, apa pun yang terjadi di titik a,
Monday, July 1, 2013
Contoh 2
Carilah nilai
Diketahui fungsi f(x) tifdak terdefenisi pada saat x = 1.Tetepi dengan limit menjadi tidak masalah karena dicari nilai x yang mendekati a.
Pembahasan:
Monday, July 1, 2013
Gambar f(x) dan tabel nilai,
Sehingga
Monday, July 1, 2013
Contoh 3
Diberikan sebuah fungsi
Hitunglah
Monday, July 1, 2013
Pembahasan Contoh 3
Gambar dari g(x) adalah
Sehingga diperoleh:
dan
Monday, July 1, 2013
3. Limit Satu Sisi
Limit satu sisi merupakan teknik menentukan nilai limit dengan melihat satu sisi (sisi kiri dan kanan) dari fungsi terhadap titik yang didekati.
Monday, July 1, 2013
Defenisi 2
maka limit f(x) ketika x mendakati a dari kiri
dan limit f(x) ketika x mendakati a dari kanan
Diberikan sebuah fungsi f(x)
Monday, July 1, 2013
Defenisi 3
Nilai suatu limit f(x) ada, misalanya
jika dan hanya jika
Monday, July 1, 2013
Contoh 4Gunakan grafik berikut untuk menyatakan nilai limit berikut (jika ada)
Monday, July 1, 2013
Pembahasan Contoh 4
tidak ada
Monday, July 1, 2013
Limit Takhingga
Untuk menerangkan limit takhingga, dijelaskan melalui contoh-contoh berikut.
Monday, July 1, 2013
Contoh 5
Carilah
jika ada
jika ada
Monday, July 1, 2013
Dari tabel, ketika x diambil mendekati 0, f(x) semakin besar. Dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan, sehingga
jika ada
Dibuat tabel
tidak ada
Monday, July 1, 2013
Contoh 6Diberikan fungsi f(x),
jika ada
maka tentukanlah
Monday, July 1, 2013
Dari grafik f(x)
diperoleh
tidak ada
Monday, July 1, 2013
2. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)
Monday, July 1, 2013
1. Hukum Limit
Andaikan bahwa c adalah konstanta dan
ada, maka
dan
Monday, July 1, 2013
Hukum Limit (tambahan)
jika
dengan n bilangan bulat positif
Monday, July 1, 2013
dengan n bilangan bulat positif
dengan n bilangan bulat positif
(Jika n genap, diasumsikan bahwa a > 0)
dengan n bilangan bulat positif
(Jika n genap, diasumsikan bahwa )
Hukum Limit (tambahan)
Monday, July 1, 2013
Contoh 7Hitunglah
jika ada
Pembahasan
Monday, July 1, 2013
Contoh 8
Hitunglah
jika ada
Pembahasan
Monday, July 1, 2013
Defenisi 3
Jika f adalah fungsi polinom atau rasional dan a dalam daerah asal f, maka
Catatan:
Apabila hasil limit berbentuk,
maka limit tersebut harus dirasionalkan untuk dihitung kembali.atau yang lainnya
Monday, July 1, 2013
Contoh 9
Hitunglah
jika adaPembahasan
Monday, July 1, 2013
Contoh 10
Hitunglah jika ada
Pembahasan
Monday, July 1, 2013
2. Limit menuju ∞ dan −∞
Pada fungsi polinomial:
Untuk tiap p(x) dan q(x) membagi variabel berderajat paling tinggi.
Pada fungsi rasional:
Monday, July 1, 2013
Contoh 11
Hitunglah
jika adaPembahasan:
Monday, July 1, 2013
Contoh 12
Hitunglah
jika ada
Pembahasan:
Monday, July 1, 2013
3. Kontinuitas
Monday, July 1, 2013
Defenisi 4 (kontinuitas)
Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika
Jika f tidak kontinu di a, maka f disebut diskontinu.
Monday, July 1, 2013
Secara eksplisit, defenisi kontinuitas mensyaratkan:
1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f)
2. ada (sehingga f harus terdefenisi pada selang terbuka yang memuat a)3. f(a).
Monday, July 1, 2013
Contoh 13
Dimanakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?
jika ada
Monday, July 1, 2013
Pembahasan (contoh 13)
a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefenisi, maka f diskontinu pada x = 2.
b) Disini f(0) = 1, terdefenisi. Tetapi
tidak ada, maka f diskontinu di x = 0.
Monday, July 1, 2013