L : x+y=2
y
xO
P(x0,
y0)
Q(x0, 2x0)
AA
BB
(0,2)(0,2)
(2,0)(2,0)
一、二元一次不等式一、二元一次不等式1. 二元一次不等式的圖解:設直線 L : x + y = 2 將坐標平面上 L 之外
的部分,分成 A 、 B 兩個半平面 ( 如圖 ) ,設 P(x0, y0) 為半平面 A 內的任一點,
過 P 點做鉛垂線交直線 L 於 Q 點,則點 Q(x0 , 2x0) ,
∵ P 在 Q 上方 ∴ y0 > 2 x0 ,
因此,半平面 A 內任一點 (x, y) 皆滿足 x + y > 2 ,反之,若點 P(x0, y0) 滿足 x + y > 2 , 則 y0 > 2 x0 ,∵ 點 Q(x0 , 2x0) 在直線 L 上,
∴ P 在 Q 上方,即 P 在半平面 A 內。由上可知,滿足 x + y > 2 的所有解所成的圖形,即為半平面 A ,同理,滿足 x + y < 2 的所有解所成的圖形,即為半平面 B 。
即 x0 + y0 > 2 ,
即 x0 + y0 > 2 ,且 y0 > 2 x0 ,
本段結束本段結束
y
xO (2, 0)
(0, 3)
3x+2y=6
y
xO (4, 0)
(0, 2)
x2y=4
馬上練習 . 圖解示二元一次不等式 x 2y 4
2. 範例:圖解二元一次不等式 3x + 2y < 6
注意:不等式 ax + by cc 的圖解,包含 ax + by > > cc ( 半平面 ) 與 ax + by = = cc ( 直線 ) 。
##Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
2 4
2 2
x y
x y
2x+y=2
x+2y=4
y
xO(1, 0)
(0, 2)
(4, 0)
2
4
2 4
y
x y
x y
2xy=4 x+y=4
y
xO
(2, 0)
(0, 4)
(4, 0)
y=2
3. 範例:圖解聯立不等式 馬上練習 . 圖解聯立不等式
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !##
2 6
2
0
0
x y
x y
x
y
圖解聯立不等式 ,
(0, 2)
2x+y=6x+y=2
y
xO (2, 0)
(0, 6)
(3, 0)x = 1
x = 3
x = 2
x = 0 y y = 2= 2 ,, 33 ,, 44 ,, 55 ,,66y y = 1= 1 ,, 22 ,, 33 ,,44y y = 0= 0 ,, 11 ,,22y y = 0= 0
4. 格子點:坐標平面上,若點 (x , y) 的 x 坐標與 y 坐標都是整數,我們稱其為格子點。
例:
解:圖解如右所示,共有 13 13 個個格子點。
並求在此解區域內有多少個格子點。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
3 2 6
4 5 20
0
0
x y
x y
x
y
圖解聯立不等式 ,
4x+5y=20
3x+2y=6
y
xO (2, 0)
(0, 4)
(5, 0)
y=2
y=3
y=1 x=2 ,3x=1 ,2x=1
(0, 3)
並求在此解區域內有多少個格子點。
解:圖解如右所示,
馬上練習 .
共有 5 5 個個格子點。##
5. 同側與反則: (1) 若 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 在直線 L : ax + by + c = 0 的同側,
: 0AB L ax by c 且 與直 線 相交,
則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) > 0 。(2) 若 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 在直線 L : ax + by + c = 0 的兩側,
則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) < 0 。(3) 若 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) ,
則 (ax1 + by1 + c)(ax2 + by2 + c) 0 。
( k + 3 )( k 13 ) < 0 k > 13 或 k < 3 。
解: ( 點 A 代入 L) ( 點 B 代入 L)
( 9 6 + k ) ( 3 10 + k )
正正 正正
正正 負負
故 ( 9 6 + k ) ( 3 10 + k ) > 0> 0
範例:若平面上二點 A(3 , 3) , B(1 , 5)
在直線 L : 3x 2y + k = 0 的同側,求 k 的範圍。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
馬上練習 . 坐標平面上兩點 (4, 1) 和 (5, 9) 在直線 3x y k = 0的兩側,其中 k 為整數,請選出正確的選項。
(1) 滿足上式的 k 最少有 5 個 (2) 所有滿足上式的 k 的總和是 35
(3) 所有滿足上式的 k 中,最小的是 7 (4) 所有滿足上式的 k 的平均是 9
(5) 所有滿足上式的 k 中,奇數與偶數的個數相同 <102 數乙 >
解: ( 點 A(4 , 1) 代入直線 L ) ( 點 B(5 , 9) 代入直線 L )
( 12 1 k ) ( 15 9 k )
負負
負負
負正 正負
故 ( 12 1 k ) ( 15 9 k ) < 0< 0
34(4)
4 平均 。 (5) 奇數: 7 , 9 ; 偶數: 8 , 10 。
故選 故選 (3) (5)(3) (5) 。。
(1) 整數 k 共有 44 個。 (3) 最小的 k = 7 。(2) 總和 34 。 ( k 11 ) ( k 6 ) < 0 k = 7 , 8 , 9 , 10 。 6 < k < 11
##
: 2 1 0AB L mx y m 若 與直 線 相交,
AB L 與直 線 相交
(6 5 2 1)9 2 0(2 1) mm m m
(4 8)(8 4) 0m m 1
22
m 。
A B L A L B L , 在 的反側或 在 上或 在 上。 ( 點 A 代入 L) ( 點 B 代入L) < 0
((2, 1)2, 1)
B
A
6. 範例:設平面上二點 A(2 , 9) , B(6 , 5) ,求 m 的範圍。
解:
注意: L : mx y + 2m + 1= 0
由點斜式知 L 表過 ((2 , 1)2 , 1) 斜率為 m 的直線。
y 1 = m(x + 2) ,
( 點 A 代入 L) ( 點 B 代入 L) 0
或 ( 點 A 代入 L) = 0或 ( 點 B 代入 L) = 0
##
: 2AB L y mx 若 與直 線 不相交,
AB L A B L 與直 線 不相交 , 在 的同側。
: 2 0L mx y 其中 。
(3( 2 1 2 2 )) 02m m
(2 3)(3 4) 0m m
3 4
2 3m 。
馬上練習 . 設平面上二點 A(2 , 1) , B(3 , 2) ,
求 m 的範圍。
解:
( 點 A 代入 L) ( 點 B 代入 L) > 0 ,
##
x+y=4
y
x
(1, 3)(1, 3)
(4, 0)
(0, 6)
22xx++yy=0=022xx++yy=5=5
4
3 6
x y
x y
,
(0, 4)
O (2,0)
二、極值二、極值
1. 範例:設 x , y 滿足聯立不等式
求 2x + y 的最小值。
解:如圖,
當 (x , y) = (1 , 3)(1 , 3) ,
2x + y 有最小值
= 21 + 3
= 55 。
3x+y=6Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
4
3 6
x y
x y
,
x+3y=6
x+y=4
y
xO
(3,1(3,1))
(0,4)
(4,0)
(0,2)(6,0)
xx+2+2yy=0=0
xx+2+2yy=5=5
解:如圖,
當 (x , y) = (3 , 1)(3 , 1) ,
x + 2y 有最大值
= 3 + 21
= 5= 5 。
馬上練習 . 設 x , y 滿足聯立不等式
求 x + 2y 的最大值。
##
2 2
3 2 18
0
0
x y
x y
x
y
,
2xy=2 3x+2y=18
y
xO(1,0)
(0,2)
(6,0)
(0,9)
xx+2+2yy=0=0
xx+2+2yy=14=14
(2,6(2,6))
2. 範例:設 x , y 滿足聯立不等式
求 x + 2y 的最大值與最小值。
解:如圖,當 (x , y) = (0 , 0)(0 , 0) ,
x + 2y 有最小值
= 0 + 20= 00 。
當 (x , y) = (2 , 6)(2 , 6) ,
x + 2y 有最大值
= 2 + 26= 1414 。
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
3 6
4
0
x y
x y
y
,
3x+y=6x+y=4
y
xO
(1,3)(1,3)(0,4)
(4,0)
(0,6)
(2,0)
x2y=0
x2y=55
xx22yy=4=4
馬上練習 . 設 x, y 滿足聯立不等式
求 x2y 的的最大值與最小值。
解:如圖,當 (x, y) = (1 , 3)(1 , 3) ,
x 2y 有最小值
=1 23 = 55 。
當 (x, y) = (4 , 0)(4 , 0) ,
x 2y 有最大值
= 44 200= 44 。##
1(3)
2
y
x
求 的最大值與最小值。
x+y=23x+2y=18
y
xO
(0,2)
(2,0)
(0, 6)5x3y=0
To be continued To be continued (2) (3)(2) (3)
55xx33yy=20=20
55xx33yy= = 18 18
3. 範例:在 x 0 , y 0 , 3x+2y12 0 , x+y2 0 的條件下,
(1) 求 5x 3y 的最大值與最小值。 (2) 求 x2 + y2 的最大值與最小值。
解:如圖,(1) 當 (x , y) = (4 , 0)(4 , 0) ,
5x 3y 有最大值
= 544 300= 2020 。
當 (x , y) = (0 , 6)(0 , 6) ,
5x 3y 有最小值
= 50 36= 1818 。
(4, 0)
1(3)
2
y
x
求 的最大值與最小值。
x+y=2 3x+2y=18
y
xO
(2,1)
(4,0)
(0,6)
0 0 2(0, )
2d L
2
2所求最小值
2 2(0 0) (6 0) 所求最大值
( 2,1
(3) ( ,2
1))y
x yx
表 點 與 之斜率
1
( 2)
6
0
( )
最大值 1
( 2)
0
4
( )
最小值
2
(2) 求 x2 + y2 的最大值與最小值。
解: (2) x2 + y2 表點 (x, y) 與點 (0, 0) 的
距離平方距離平方。令 L : x + y 2 = 0
= 2 。
= 62 = 3636 。
7
2 ,
1
6 。
(0,2)
(2,0)
2(x,y)
(x,y)
##
大車
小車
40 輛
A(x)
1 輛
2 輛
B(y)
3 輛
1 輛 20 輛
3 40x y
2 20x y 0 , 0x y
To be continued To be continued 目標函數最佳解目標函數最佳解
三、線性規劃三、線性規劃
1. 範例:某汽車公司有 A , B 兩家裝配廠,生產大小兩型的汽車。若 A 廠每小時可完成 1 輛大型車與 2 輛小型車;
B 廠每小時可完成 3 輛大型車與 1 輛小型車。
今公司接到客戶訂單,欲訂購 40 輛大型車與 20 輛小型車。問這兩家裝配廠各工作幾小時,才能使所費總工作時數最少 ?
解:設 A 廠 x 小時, B 廠 y 小時,
可行解區域:
大車
小車
40 輛
A(x)
1 輛
2 輛
B(y)
3 輛
1 輛 20 輛
3 40x y
2 20x y 0 , 0x y
(4,12(4,12))
2x+y=2020
x+3y=40
y
xO (10,0)
(0,20)
(40,0)
xx++y y = 16= 16xx++yy=0=0
40(0, )
3
解:設 A 廠 x 小時, B 廠 y 小時,
故所求 A 廠 44 小時, B 廠 12 12 小時。
P 有最小值 44 + 1212 = 1616 。
當 (x, y) = (4 ,12)(4 ,12) ,
目標函數 P = P = x x + + yy ,
可行解區域:
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
運量
載量
100 箱
甲(x)
x
20
乙(y)y
10 1600 公斤
100x y
20 10 1600x y 0 , 0x y
To be continued To be continued 目標函數最佳解目標函數最佳解
馬上練習 . 某公司生產兩種商品,均以同型的箱子裝運,其中甲商品每箱重 20 公斤,乙商品每箱重 10 公斤。
<101 數乙 >
公司出貨時,每趟貨車最多能運送 100 箱,最大載重為 1600 公斤。設甲商品每箱的利潤為 1200 元,乙商品每箱的利潤為 1000 元。
乙商品為 y 箱。試列出 x, y 必須滿足的聯立不等式。(1) 設公司調配運送時,每趟貨車裏的甲商品為 x 箱,
(2) 當 x, y 的值各為多少時,可使每趟貨車出貨所能獲得的利潤為最大?此時利潤為多少元?
解: (1) 設甲商品 x 箱,乙商品 y 箱,
可行解區域:
100x y
20 10 1600x y 0 , 0x y
其中甲商品每箱重 20 公斤,乙商品每箱重 10 公斤。
<101 數乙 >
公司出貨時,每趟貨車最多能運送 100 箱,最大載重為 1600 公斤。設甲商品每箱的利潤為 1200 元,乙商品每箱的利潤為 1000 元。(2) 當 x, y 的值各為多少時,可使每趟貨車出貨所能獲得
的利潤為最大?此時利潤為多少元?解: (1) 設甲商品 x 箱,乙商品 y 箱,
則
(2) 目標函數 P= 1200x + 1000y
當 ((x x , , yy) = (60 , 40)) = (60 , 40) ,
故每趟運送甲商品 6060 箱,乙商品 4040 箱,
P 有最大值 200(66060+54040)
其圖形如右,
y
2x+y=80
x(80, 0)
(0, 160)
(100, 0)
x+y=100O
(0, 100)
(60, 40)(60, 40)
有最大利潤 112000112000 元。
= 200(66xx+5+5yy)
=112000112000 元。
## 66xx+5+5yy=0=0
大
小
28 張A(x)
7
3
B(B(yy))
22
22 21 張中
3 55 30 張
7 2 28x y
3 2 21x y
0x x Z ,
To be continued To be continued 目標函數最佳解目標函數最佳解
3 5 30x y
0y y Z ,
2. 範例: 利用 A 、 B 兩種不同規格的卡紙,製作大、中、小三種卡片,每張規格 A 的卡紙,可以製作大卡片 7 張,中卡片 3 張,小卡片 3 張;每張規格 B 的卡紙,可以製作大卡片 2 張,中卡片 2 張,小卡片 5 張。已知規格 A 的卡紙每張 120 元,規格 B 的卡紙每張 100 元,若想製成大卡片至少 28 張,中卡片至少 21 張,小卡片至少 30 張,應使用 A 、 B 兩種規格的卡紙各幾張,可使花費最少 ?
解:設 A 規格 x 張, B 規格 y 張,
可行解區域:
大
小
28 張A(x)
7
3
B(y)
2
2 21 張中
3 5 30 張7 2 28x y
3 2 21x y
0x x Z ,3 5 30x y
0y y Z ,
y
(5, (5, 3)3)
3x+5y=30307x+2y=28
xO
(0,14)
(10,0)
3x+2y=21
7 63( , )4 8
(4,0) (7,0)
21(0, )
2
(0,6)
解:設 A 規格 x 張, B 規格 y 張,
故所求 A 規格 5 5 張, B 規格 33 張,花費 900 900 元為最少。
P 有最小值 = 1201205 5 + 10010033= 900900 。當 (x, y) = (5, 35, 3) ,
目標函數 P = 120120x x + 100+ 100yy ,
可行解區域:
120120xx+100+100yy=0=0
120120xx+100+100yy=900=900
##
馬上練習 . 某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金,其中每單位的甲合金是由 5 公克的 A 金屬、 3 公克的 B 金屬以及 3 公克的 C 金屬組成,而每單位的乙合金是由 3 公克的 A 金屬、 6 公克的 B 金屬以及 3 公克的 C 金屬組成。已知甲、乙合金每單位的獲利分別為 600 、 700 元。
若工廠此次進了 1000 公克的 A 金屬、 1020 公克的 B 金屬與 660 公克的 C 金屬投入生產這兩種合金,試問甲、乙兩種合金各應生產多少單位,才能獲得最大利潤 ? 又此時利潤為多少 ?
<102 數乙 >
解:設甲合金生產 x 單位,乙合金生產 y 單位,
A
C
1000 克甲(x)5克3克
乙乙((yy))33克克66 克克 1020 克B
3 克 33 克克 660 克
5 3 1000x y
3 6 1020x y
0 , 0x y
To be continued To be continued 目標函數最佳解目標函數最佳解
3 3 660x y 可行解區域:
解:設甲合金生產 x 單位,乙合金生產 y 單位,
A
C
1000 克甲(x)5克3克
乙乙((yy))33克克66 克克 1020 克B
3 克 33 克克 660 克
5 3 1000x y
3 6 1020x y
0 , 0x y 3 3 660x y
可行解區域:
y
(170 , 50)
x+y=220220
x+2y=340
xO (200,0
)
(100 , 120)
5x+3y=1000
(0,170)
故甲合金生產 100 單位,乙合金生產 120 單位,當 (x , y) = (100 , 120) ,P 有最大值 600100 + 700120
目標函數 P = 600600x x + 700+ 700yy ,
最高利潤 144000144000 元。
1000(0, )
3
(220,0)
(0,220)
(340,0)
將點 (200 , 0) 、(170 , 50) 、(100 , 120) 、(0 , 170) 代入 P
##= 144000144000 。
市場
倉庫 A B
甲 100 元 140 元
乙 120 元 150 元
甲 40 單位A
x
30x
B
y
40y 50 單位乙
40x y
(30 ) (40 ) 50x y
0 , 0x y
To be continued To be continued 目標函數最佳解目標函數最佳解
30 0 , 40 0x y 40x y
20x y
0 40y 0 30x
3. 範例:某公司所生產的產品,存放在甲、乙兩倉庫分別有40 單位與 50 單位,現在 A 市場的需求量是 30 單位,B 市場的需求量是 40 單位,
可行解區域
可行解區域
解:設甲送到 A 市場 x 噸,送到 B 市場 y 噸,
下表是各倉庫運輸到各市場的單位每運輸成本:在滿足兩市場的需求下,應如何分配才可最節省運輸成本 ?
市場
倉庫 A B
甲 100 元 140 元
乙 120 元 150 元
甲 40 單位A
x
30x
B
y
40y 50 單位乙40x y
20x y
0 40y 0 30x
y
xO (20,0
)
(0,40)
(0,20)
y=40
x=30
x+y=40
x+y=2020
(30,0)
(30,10) (40,0
)
解:設甲送到 A 市場 x 噸送到 B 市場 y 噸,
可行解區域
目標函數 PP = 100x+120(30x)+140y+150(40y)
乙 A ,運 0 0 單位,乙 B ,運 3030 單位。故所求 甲 A ,運 3030 單位,甲 B ,運 1010 單位,
當 (x, y)=(30, 1030, 10) ,PP 有最小值 = 9600 9600 10(2 10(23030++1010))= 89008900 。
= 9600 9600 1010(2(2xx++yy)) ,22xx++yy=0=0
22xx++yy=70=70
Let’s do an exercise !Let’s do an exercise !
A鎮 B鎮
倉庫甲 35元 20元
倉庫乙 40元 30元
甲 40 單位A
x
20x
B
y
30y 40 單位乙
40x y
(20 ) (30 ) 40x y
0 , 0x y 20 0 , 30 0x y
To be continued To be continued 目標函數最佳解目標函數最佳解
40x y
10x y
0 30y 0 20x
馬上練習 . 某公司所生產的產品,存放在甲、乙兩倉庫各有 40 單位,現在 A 鎮的需求量是 20 單位,
B 鎮的需求量是 30 單位,
下表是各倉庫運輸到兩鎮的
每單位運費:在滿足兩鎮的需求下,最節省的運費為多少元?解:設甲送到 A 市場 x 噸,送到 B 市場 y 噸,
可行解區域
可行解區域
A鎮 B鎮
倉庫甲 35元 20元
倉庫乙 40元 30元
甲 40 單位A
x
20x
B
y
30y 40 單位乙
40x y
10x y
0 30y 0 20x
解:設甲送到 A 市場 x 噸,送到 B 市場 y 噸,
可行解區域
目標函數 PP = 35x+40(20x)+20y+30(30y)= 1700 1700 5( 5(xx+2+2yy)) ,
當 (x, y)=(10, 3010, 30) ,PP 有最小值 = 170017005(5(1010+2+23030))= 13501350 。故所求 甲 A ,運 1010 單位,甲 B ,運 30 30 單位,
乙 A ,運 10 10 單位,乙 B ,運 00 單位。最節省的運費為 13501350 元。
x+y=40x+y=1010
x
y=30
x=20y
(20,0)(40,0)
(0,30)
(0,40)
(10,30)
(10,0)
(0,10)
O
xx+2+2yy=0=0xx+2+2yy=70=70
(20, 20)
##
To be continued To be continued 詳 詳 解解
4. 範例:假設某咖啡批發商每天固定進貨牙買加咖啡豆 10 公斤,巴西咖啡豆 6 公斤,並將牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆研磨成粉,
以 2 : 1 的比例混合成藍天牌咖啡;將牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆研磨成粉,以 2 : 3 的比例混合成 2 韋伯牌咖啡。已知藍天牌咖啡
每公斤可賺 80 元,韋伯牌咖啡每公斤可賺 90 元,而且所有混合而成的藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡都可以批發出去,試回答下列問題:
(1) 設每天需生產藍天牌咖啡 x 公斤,韋伯牌咖啡 y 公斤,則每天
要用牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆各多少公斤 ? ( 以 x , y 表之 )
(2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?
(3) 若希望生產出的量為整數公斤,則每天需分別生產多少
藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?
2 2
53x y牙買加咖啡豆 公斤,
1 3
53x y巴西咖啡豆 公斤,
藍天 (x)韋伯
(y)
牙買
巴西
2
3x
2
5y
1
3x
3
5y
To be continued To be continued (2) (3)(2) (3)
牙買加豆與巴西豆以 2 : 1 的比例混合成藍天牌咖啡,
牙買加豆與巴西豆以 2 : 3 的比例混合成韋伯牌咖啡
(1) 設每天需生產藍天牌咖啡 x 公斤,韋伯牌咖啡 y 公斤,則每天要用牙買加咖啡豆與巴西咖啡豆各多少公斤 ? ( 以 x , y 表之 )
(2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?
(3) 若希望生產出的量為整數公斤,則每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?
解: (1) 依題意列表如右所示,每天要用
1010
66
0 , 0x y
y
xO
(0,10)
(15,0)
27 5( , )
2 2
2 210
3 5x y
1 36
3 5x y
2 210
3 5x y
1 36
3 5x y
(0,25)
(18,0)
得 xx=12=12 ,, yy=3=3 時有最大獲利 80801212 + 90+ 9033= 1230 1230 元。
一一代入目標函數 P = P = 8080x x + 90+ 90yy ,(3) QQ 點附近且在可行解區域內的格子點格子點有 (13, 2)(13, 2) ,, (14, 1)(14, 1) ,(12, 3)(12, 3) ,,
韋伯牌 2.52.5 公斤,可得最大獲利 = 808013.513.5 + + 90902.52.5= 13051305 元。
即每天生產藍天牌 13.513.5 公斤,當 Q(x , y) = (13.5 , 2.513.5 , 2.5) ,目標函數 P = P = 8080x x + 90+ 90yy ,
解: (2) 可行解區域
(2) 每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?
(3) 若希望生產出的量為整數公斤,則每天需分別生產多少藍天牌咖啡與韋伯牌咖啡才能有最大獲利 ?
8080xx+90+90yy=0=0
8080xx+90+90yy=1305=1305
##
To be continued To be continued 詳 解詳 解
<92 數甲 >
5. 範例:在一個牽涉到兩個未知量 x , y 的線性規劃作業中,有三個限制條件。坐標平面上符合這三個限制條件的區域是一個三角形區域。假設目標函數 ax+by (a , b 是常數 )
在此三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31 ,而在另一個頂點 (13, 10) 取得最小值 23 。
現因業務需要,加入第四個限制條件,結果符合所有限制條件的區域變成一個四邊形區域,
頂點少了 (19, 12) ,新增了 (17, 13) 和 (16, 11) 。
在這四個限制條件下,選出正確的選項。
(1) ax+by 的最大值發生在 (17, 13) (2) ax+by 的最小值發生在 (16, 11)
(3) ax+by 的最大值是 30 (4) ax+by 的最小值是 27
<92 數甲>
目標函數 ax + by 在三角形的一個頂點 (19, 12) 上取得最大值 31 ,
而在另一個頂點 (13, 10) 取得最小值 23 。加入第四個限制條件,限制條件的區域變成一個四邊形區域,頂點少了 (19, 12) ,新增了 (17, 13) 和 (16, 11) 。
解:設目標函數: f(x , y) = ax + by ,
(19, 12) 19 12 31f a b
(13, 10) 13 10 23f a b
1a
1b
To be continued To be continued 調整後之圖調整後之圖解解
開始時:
目標函數: f(x , y) = x + y 。
少了 (19, 12) ,新增 (17, 13) 、 (16, 11) 。目標函數 f(x , y) = x x + + yy 。
(19,12)
(13,10)
xx++yy=31xx++yy=2323
x+y=3030
( ) 17 13 31 , 13 07f
(16, 11) 16 11 27f
(17,13)
(16,11)
則 (17,13) 非頂點,故不合故不合
調整後,不為四邊形,故不合故不合
第三點必在(17,13) 與 (19,12) 之連線
上
調整後調整後:
調整後調整後在點 (17, 13) 有最大值 3030 ,
在點 (13, 10) 有最小值 2323 ,故選 (1) (3)(1) (3) 。##
另一新頂點
本 節 結 束本 節 結 束