Лекц 4
Үндсэн агуулга
1. Шугаман тэгшитгэлийн систем
• Нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэлийн систем (НТБШТС).• Нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем (НТШТС).
1
Шугаман тэгшитгэлийн систем
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
..................................................am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(1)
(1)–г n үл мэдэгдэгчтэй нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэлийн системийн(НТБШТС) гэнэ.
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0..................................................am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
(2)
(2)–г нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем (НТШТС) гэнэ.
Системийн хувьсагчдын оронд орлуулан тавихад системийн тэгшитгэл бүрийгадилтгал болгон хувиргах (c1, c2, ..., cn) тоонуудын эрэмбэлэгдсэн олонлогийгсистемийн шийд гэнэ.
2
Ядаж нэг шийдтэй системийг нийцтэй систем, нэг ч шийдгүйсистемийг нийцгүй систем гэнэ.
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn
(3) A =
a11 · · · a1n b1
a21 · · · a2n b2
· · · · · · · · · ...am1 · · · amn bm
(4)
A-г (1) системийн үндсэн матриц,A-г системийн өргөтгөсөн матриц гэнэ. (1)-г
B = (b1, ..., bm)T , X = (x1, ..., xn)T (5)
(1) системийг
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn
·
x1
x2
· · ·xn
=
b1
b2
· · ·bm
(6)
3
Эсвэл матрицан хэлбэрт бичвэл:
A ·X = B (7)
(1) системийн нийцтэй эсэхийг дараах теорем тогтооно.
Thr: Кронекер-Капеллийн теорем: (1) систем нийцтэй байх ⇐⇒ ньсистемийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын рангууд тэнцүү байх явдал юм.
(r(A) = r(A)).
Кронекер-Капеллийн теорем нь систем нийцтэй эсэхийг тогтоох боловч системийншийдийг хэрхэн олохыг тодорхойлохгүй.
Крамерийн дүрэм.
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
..................................................an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
(8)
det(A) 6= 0 үед (8) тодорхой (нийцтэй) систем байна.
4
xk =b1A1k + ... + bnAnk
a1kA1k + ... + ankAnk=4k
4 . k = 1, n (9)
Үүнд: 4k нь тодорхойлогчийн k дугаар баганын элементүүдийг, харгалзахмөрүүдийнх нь сул гишүүдээр солиход үүссэн тодорхойлогч.(9) томъёог Крамерийн томъёо гэнэ. (гаргалгааг унш)
Жишээ:
x1 + 2x2 + 5x3 = −9x1 − x2 + 3x3 = 23x1 − 6x2 − x3 = 25
систем тэгшитгэлийг бод.
1). Крамерийн аргаар бодъё.
4 = |A| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 51 −1 33 −6 −1
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
1 2 50 −3 −20 −12 −16
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣−3 −2−12 −16
∣∣∣∣ == 48− 24 = 24 6= 0.
41 =
∣∣∣∣∣∣
−9 2 52 −1 3
25 −6 −1
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
−5 0 112 −1 3
13 0 −19
∣∣∣∣∣∣= (−1)·(−1)2+2
∣∣∣∣−5 1113 −19
∣∣∣∣ = −95+143 = 48.
5
42 =
∣∣∣∣∣∣
1 −9 51 2 33 25 −1
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
0 −11 21 2 30 19 −10
∣∣∣∣∣∣= −1 · 1 ·
∣∣∣∣−11 2
19 −10
∣∣∣∣ = −110 + 38 = −72
43 =
∣∣∣∣∣∣
1 2 −91 −1 23 −6 25
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
1 3 −111 0 03 −3 19
∣∣∣∣∣∣= −1 · 1 ·
∣∣∣∣3 −11
−3 19
∣∣∣∣ = −3(19− 11) = −24
x1 =41
4 =48
24= 2, x2 =
42
4 =−78
24= −3, x3 =
43
4 =−24
24= −1
2). Урвуу матрицын аргаар бодъё.
AX = B =⇒ X = A−1B
4 = 24 ,A11 = 19 A12 = 10 A13 = −3A21 = −28 A22 = −16 A23 = 12A31 = 11 A32 = 2 A33 = −3
=⇒ A−1 =1
24
19 −28 1110 −16 2−3 12 −3
6
Иймээс
X = A−1B =1
24
19 −28 1110 −16 2−3 12 −3
−9225
=
1
24
48−72−24
=
2−3−1
Эндээс
x1 = 2 , x2 = −3 , x3 = −1
Хэрвээ системийн өргөтгөсөн матриц нь:
a′11 a′12 · · · a′1r b′10 a′22 · · · a′2r b′2
· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · a′rr b′r
· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 0
r ≤ n, a′rr 6= 0 хэлбэртэй болсон болr(A) = r(A) = r тул уг систем цор ганц шийдтэйбайна.r-р тэгшитгэлээс xr -ийг, r−1 дүгээр тэгшитгэлээсxr−1 -ийг, гэх мэтчилэн x1, . . . , xr шийдийг олно.
7
Жишээ:
x1 − x2 − 2x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2x1 + 4x2 + 6x3 = 12x1 + 32 + 4x3 = 2
бод.
1 −1 −2 13 2 5 21 4 6 12 3 4 2
∼
1 −1 −2 10 5 11 −10 5 8 00 5 8 0
∼
1 −1 −2 10 5 11 −10 0 3 −10 0 0 0
=⇒ r(A) = r(A) = r = n = 3.
Иймд өгөгдсөн систем тэгшитгэл цор ганц шийдтэй.
x1 − x2 − 2x3 = 15x2 + 11x3 = −1
3x3 = −1
⇒ x3 = −1
3, x2 =
8
15, x1 =
13
15
8
a′11 a′12 · · · a′1r · · · a′1n b′10 a′22 · · · a′2r · · · a′2n b′2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · a′rr · · · a′rn b′r0 0 · · · 0 · · · 0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 · · · 0 0
r ≤ n хэлбэртэй болсон болr(A) = r(A) тул уг систем төгсгөлгүйолон шийдтэй байна. n − r тооныхувьсагч нь чөлөөт хувьсагч болохба, бусад нь эдгээр хувьсагчид болонb′r сул гишүүний шугаман эвлүүлгээрбичигдэнэ.
Жишээ:x1 + x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 2
2x1 + x2 + x3 + 6x4 + 4x5 = 13x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 6x5 = 8
бод.
1 1 −1 2 3 22 1 1 6 4 13 2 1 4 6 8
∼
1 1 −1 2 3 20 −1 3 2 −2 −30 −1 4 −2 −3 2
∼
1 1 −1 2 3 20 −1 3 2 −2 −30 0 1 −4 −1 5
9
⇒
x1 + x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 2−x2 + 3x3 + 2x4 − 2x5 = −3
x3 − 4x4 − x5 = 5⇒
x1 = −x2 + x3 − 2x4 − 3x5 + 2x2 = 3x3 + 2x4 − 2x5 + 3
x3 = 4x4 + x5 + 5
Иймд x4, x5 хувьсагчдыг нь чөлөөт хувьсагч болгон авч x3, x2, x1 хувьсагчдыгx4, x5 -аар нь илэрхийлье.
x3 = 4x4 + x5 + 5x2 = 12x4 + 3x5 + 15 + 2x4 − 2x5 + 3 = 14x4 + x5 + 18x1 = −14x4 − x5 − 18 + 4x4 + x5 + 5− 2x4 − 3x5 + 2 = −12x4 − 3x5 − 11
X =
x1
x2
x3
x4
x5
=
−1214410
· x4 +
−31101
· x5 +
−1118500
10
a′11 a′12 · · · a′1r b′10 a′22 · · · a′2r b′2
· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 b′r0 0 · · · 0 0
· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 0
r ≤ n, b′r 6= 0 хэлбэртэй бол r(A) 6= r(A) болж угсистем нийцгүй систем байна.
Жишээ:2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 5
4x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 = 22x1 − 5x2 + 4x3 − 3x4 = 10
2 3 −1 5 54 −2 3 2 22 −5 4 −3 10
∼
2 3 −1 5 50 −8 5 −8 −80 −8 5 −8 5
∼
2 3 −1 5 50 −8 5 −8 −80 0 0 0 13
⇒ r(A) = 2 6= 3 = r(A)
тул өгөгдсөн систем тэгшитгэл нь нийцгүй систем байна.
11
Нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем
(2) хэлбэрийн НТСТ нь x1 = x2 = ... = xn = 0 гэсэн илэрхий шийдтэйучраас ямагт нийцтэй систем байна.
(2) нь хэдийд тэгээс ялгаатай шийдтэй байх вэ? Үүнийг мэдэхийн тулд дараахтеоромыг авч үзье.
Thr: НТС (2) нь шийдтэй байх ⇐⇒ нь r(A) ≤ n байх явдал юм.
Mr: m = n үед (2) нь тэгээс ялгаатай шийдтэй байх ⇐⇒ нь |A| = 0 байхявдал юм. Ө.х. |A| 6= 0 бол (2) нь тэгээс ялгаатай шийдгүй бөгөөд (2) ньтэгээс ялгаатай шийдгүй бол |A| 6= 0 байна.
Def: Бусад шийдүүдээрээ шугаман илэрхийлэгдэхгүй шийдийг шугаманхамааралгүй шийд гэнэ.
12
(2) системийн шугаман хамааралгүй шийдүүдийг олъё.
r(A) = r ≤ n байг.Иймд r эрэмбийн тэгээс ялгаатай минор оршин байг
Mrr =
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1r
a21 a22 · · · a2r
· · · · · · · · · · · ·ar1 ar2 · · · arr
∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0 (10)
Хялбар хувиргалтаар квадрат матрицыг гурвалжин, квадрат биш матрицыгтрапец хэлбэрт шилжүүл дэгийн адилаар хувиргалт хийхэд (2) НТШТ нь:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = 0a∗22x2 + a∗23x3 + · · · + a∗2nxn = 0
a∗33x3 + · · · + a∗3nxn = 0...........................
a∗rrxr + · · · + a∗rnxn = 0
(11)
хэлбэртэй болно.Хувиргалтын дүнд тэгшитгэлийн тоо цөөрч болох учраас r ≤ m байна.
r(A) = r ⇒ системийн xr+1, . . . , xn хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагч гэнэ.
13
Энэ системийн тодорхойлогч (Mrr 6= 0) нь тэгээс ялгаатай гэдгээс (11) системтэгшитгэл шийдтэй байх ба уг шийд нь чөлөөт хувьсагчдаасаа хамаарсан байна.Чөлөөт хувьсагчдын утга бүрийн хувьд шугаман хамааралгүй шийдүүд оршинбайх бөгөөд эдгээрийг ший-дүүдийн фундаменталь систем гэнэ. (11) системийндурын шийд нь фундаменталь систем шийдүүдийн шугаман эвлүүлэг болж байгааучраас A·X = 0 буюу (2) системийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй олдоно.
X = c1 ·X1 + c2 ·X2 + · · · + cn−r ·Xn−r (12)
Жишээ: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 02x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 0
}
(1 2 3 42 3 2 −1
)∼
(1 2 3 40 −1 −4 −9
)⇒ x2 = −4x3 − 9x4
x1 = 5x3 + 14x4
x1
x2
x3
x4
=
5−4
10
· x3 +
14−19
01
· x4
14
Thr: НТБС - (6′)-ийн шийд нь X = X0 + X (14) хэлбэртэй байна. Энд,X0 нь (6)-д харгалзах НТТ (2)-ийн ерөнхий шийд, X нь ямар нэг тухайншийд.
.. =⇒. A ·X = B, A ·X0 = 0 ⇒A(X + X0) = AX + AX0 = B + 0 ⇒ X = X + X0 вектор (6′) тэгшитгэлийншийд болно.⇐= . AX = B, AX = B ⇒ AX −AX = B −B = 0 буюу X −X ⇒ ньНТС-ийн шийд болж байна. ИймдX0 = X −X =⇒ X = X + X0
Эндээс үзвэл (6′) системийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй олдоно.
X = c1 ·X1 + c2 ·X2 + · · · + cn−r ·Xn−r + X (15)
15