Лекц 4

Үндсэн агуулга

1. Шугаман тэгшитгэлийн систем

• Нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэлийн систем (НТБШТС).• Нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем (НТШТС).

1

Шугаман тэгшитгэлийн систем

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

..................................................am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(1)

(1)–г n үл мэдэгдэгчтэй нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэлийн системийн(НТБШТС) гэнэ.

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0..................................................am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

(2)

(2)–г нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем (НТШТС) гэнэ.

Системийн хувьсагчдын оронд орлуулан тавихад системийн тэгшитгэл бүрийгадилтгал болгон хувиргах (c1, c2, ..., cn) тоонуудын эрэмбэлэгдсэн олонлогийгсистемийн шийд гэнэ.

2

Ядаж нэг шийдтэй системийг нийцтэй систем, нэг ч шийдгүйсистемийг нийцгүй систем гэнэ.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

(3) A =

a11 · · · a1n b1

a21 · · · a2n b2

· · · · · · · · · ...am1 · · · amn bm

(4)

A-г (1) системийн үндсэн матриц,A-г системийн өргөтгөсөн матриц гэнэ. (1)-г

B = (b1, ..., bm)T , X = (x1, ..., xn)T (5)

(1) системийг

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

·

x1

x2

· · ·xn

=

b1

b2

· · ·bm

(6)

3

Эсвэл матрицан хэлбэрт бичвэл:

A ·X = B (7)

(1) системийн нийцтэй эсэхийг дараах теорем тогтооно.

Thr: Кронекер-Капеллийн теорем: (1) систем нийцтэй байх ⇐⇒ ньсистемийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын рангууд тэнцүү байх явдал юм.

(r(A) = r(A)).

Кронекер-Капеллийн теорем нь систем нийцтэй эсэхийг тогтоох боловч системийншийдийг хэрхэн олохыг тодорхойлохгүй.

Крамерийн дүрэм.

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

..................................................an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

(8)

det(A) 6= 0 үед (8) тодорхой (нийцтэй) систем байна.

4

xk =b1A1k + ... + bnAnk

a1kA1k + ... + ankAnk=4k

4 . k = 1, n (9)

Үүнд: 4k нь тодорхойлогчийн k дугаар баганын элементүүдийг, харгалзахмөрүүдийнх нь сул гишүүдээр солиход үүссэн тодорхойлогч.(9) томъёог Крамерийн томъёо гэнэ. (гаргалгааг унш)

Жишээ:

x1 + 2x2 + 5x3 = −9x1 − x2 + 3x3 = 23x1 − 6x2 − x3 = 25

систем тэгшитгэлийг бод.

1). Крамерийн аргаар бодъё.

4 = |A| =

∣∣∣∣∣∣

1 2 51 −1 33 −6 −1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 2 50 −3 −20 −12 −16

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣−3 −2−12 −16

∣∣∣∣ == 48− 24 = 24 6= 0.

41 =

∣∣∣∣∣∣

−9 2 52 −1 3

25 −6 −1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

−5 0 112 −1 3

13 0 −19

∣∣∣∣∣∣= (−1)·(−1)2+2

∣∣∣∣−5 1113 −19

∣∣∣∣ = −95+143 = 48.

5

42 =

∣∣∣∣∣∣

1 −9 51 2 33 25 −1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

0 −11 21 2 30 19 −10

∣∣∣∣∣∣= −1 · 1 ·

∣∣∣∣−11 2

19 −10

∣∣∣∣ = −110 + 38 = −72

43 =

∣∣∣∣∣∣

1 2 −91 −1 23 −6 25

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 3 −111 0 03 −3 19

∣∣∣∣∣∣= −1 · 1 ·

∣∣∣∣3 −11

−3 19

∣∣∣∣ = −3(19− 11) = −24

x1 =41

4 =48

24= 2, x2 =

42

4 =−78

24= −3, x3 =

43

4 =−24

24= −1

2). Урвуу матрицын аргаар бодъё.

AX = B =⇒ X = A−1B

4 = 24 ,A11 = 19 A12 = 10 A13 = −3A21 = −28 A22 = −16 A23 = 12A31 = 11 A32 = 2 A33 = −3

=⇒ A−1 =1

24

19 −28 1110 −16 2−3 12 −3

6

Иймээс

X = A−1B =1

24

19 −28 1110 −16 2−3 12 −3

−9225

=

1

24

48−72−24

=

2−3−1

Эндээс

x1 = 2 , x2 = −3 , x3 = −1

Хэрвээ системийн өргөтгөсөн матриц нь:

a′11 a′12 · · · a′1r b′10 a′22 · · · a′2r b′2

· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · a′rr b′r

· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 0

r ≤ n, a′rr 6= 0 хэлбэртэй болсон болr(A) = r(A) = r тул уг систем цор ганц шийдтэйбайна.r-р тэгшитгэлээс xr -ийг, r−1 дүгээр тэгшитгэлээсxr−1 -ийг, гэх мэтчилэн x1, . . . , xr шийдийг олно.

7

Жишээ:

x1 − x2 − 2x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2x1 + 4x2 + 6x3 = 12x1 + 32 + 4x3 = 2

бод.

1 −1 −2 13 2 5 21 4 6 12 3 4 2

∼

1 −1 −2 10 5 11 −10 5 8 00 5 8 0

∼

1 −1 −2 10 5 11 −10 0 3 −10 0 0 0

=⇒ r(A) = r(A) = r = n = 3.

Иймд өгөгдсөн систем тэгшитгэл цор ганц шийдтэй.

x1 − x2 − 2x3 = 15x2 + 11x3 = −1

3x3 = −1

⇒ x3 = −1

3, x2 =

8

15, x1 =

13

15

8

a′11 a′12 · · · a′1r · · · a′1n b′10 a′22 · · · a′2r · · · a′2n b′2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · a′rr · · · a′rn b′r0 0 · · · 0 · · · 0 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 · · · 0 0

r ≤ n хэлбэртэй болсон болr(A) = r(A) тул уг систем төгсгөлгүйолон шийдтэй байна. n − r тооныхувьсагч нь чөлөөт хувьсагч болохба, бусад нь эдгээр хувьсагчид болонb′r сул гишүүний шугаман эвлүүлгээрбичигдэнэ.

Жишээ:x1 + x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 2

2x1 + x2 + x3 + 6x4 + 4x5 = 13x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 6x5 = 8

бод.

1 1 −1 2 3 22 1 1 6 4 13 2 1 4 6 8

∼

1 1 −1 2 3 20 −1 3 2 −2 −30 −1 4 −2 −3 2

∼

1 1 −1 2 3 20 −1 3 2 −2 −30 0 1 −4 −1 5

9

⇒

x1 + x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 2−x2 + 3x3 + 2x4 − 2x5 = −3

x3 − 4x4 − x5 = 5⇒

x1 = −x2 + x3 − 2x4 − 3x5 + 2x2 = 3x3 + 2x4 − 2x5 + 3

x3 = 4x4 + x5 + 5

Иймд x4, x5 хувьсагчдыг нь чөлөөт хувьсагч болгон авч x3, x2, x1 хувьсагчдыгx4, x5 -аар нь илэрхийлье.

x3 = 4x4 + x5 + 5x2 = 12x4 + 3x5 + 15 + 2x4 − 2x5 + 3 = 14x4 + x5 + 18x1 = −14x4 − x5 − 18 + 4x4 + x5 + 5− 2x4 − 3x5 + 2 = −12x4 − 3x5 − 11

X =

x1

x2

x3

x4

x5

=

−1214410

· x4 +

−31101

· x5 +

−1118500

10

a′11 a′12 · · · a′1r b′10 a′22 · · · a′2r b′2

· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 b′r0 0 · · · 0 0

· · · · · · · · · · · · ...0 0 · · · 0 0

r ≤ n, b′r 6= 0 хэлбэртэй бол r(A) 6= r(A) болж угсистем нийцгүй систем байна.

Жишээ:2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 5

4x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 = 22x1 − 5x2 + 4x3 − 3x4 = 10

2 3 −1 5 54 −2 3 2 22 −5 4 −3 10

∼

2 3 −1 5 50 −8 5 −8 −80 −8 5 −8 5

∼

2 3 −1 5 50 −8 5 −8 −80 0 0 0 13

⇒ r(A) = 2 6= 3 = r(A)

тул өгөгдсөн систем тэгшитгэл нь нийцгүй систем байна.

11

Нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем

(2) хэлбэрийн НТСТ нь x1 = x2 = ... = xn = 0 гэсэн илэрхий шийдтэйучраас ямагт нийцтэй систем байна.

(2) нь хэдийд тэгээс ялгаатай шийдтэй байх вэ? Үүнийг мэдэхийн тулд дараахтеоромыг авч үзье.

Thr: НТС (2) нь шийдтэй байх ⇐⇒ нь r(A) ≤ n байх явдал юм.

Mr: m = n үед (2) нь тэгээс ялгаатай шийдтэй байх ⇐⇒ нь |A| = 0 байхявдал юм. Ө.х. |A| 6= 0 бол (2) нь тэгээс ялгаатай шийдгүй бөгөөд (2) ньтэгээс ялгаатай шийдгүй бол |A| 6= 0 байна.

Def: Бусад шийдүүдээрээ шугаман илэрхийлэгдэхгүй шийдийг шугаманхамааралгүй шийд гэнэ.

12

(2) системийн шугаман хамааралгүй шийдүүдийг олъё.

r(A) = r ≤ n байг.Иймд r эрэмбийн тэгээс ялгаатай минор оршин байг

Mrr =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1r

a21 a22 · · · a2r

· · · · · · · · · · · ·ar1 ar2 · · · arr

∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0 (10)

Хялбар хувиргалтаар квадрат матрицыг гурвалжин, квадрат биш матрицыгтрапец хэлбэрт шилжүүл дэгийн адилаар хувиргалт хийхэд (2) НТШТ нь:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = 0a∗22x2 + a∗23x3 + · · · + a∗2nxn = 0

a∗33x3 + · · · + a∗3nxn = 0...........................

a∗rrxr + · · · + a∗rnxn = 0

(11)

хэлбэртэй болно.Хувиргалтын дүнд тэгшитгэлийн тоо цөөрч болох учраас r ≤ m байна.

r(A) = r ⇒ системийн xr+1, . . . , xn хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагч гэнэ.

13

Энэ системийн тодорхойлогч (Mrr 6= 0) нь тэгээс ялгаатай гэдгээс (11) системтэгшитгэл шийдтэй байх ба уг шийд нь чөлөөт хувьсагчдаасаа хамаарсан байна.Чөлөөт хувьсагчдын утга бүрийн хувьд шугаман хамааралгүй шийдүүд оршинбайх бөгөөд эдгээрийг ший-дүүдийн фундаменталь систем гэнэ. (11) системийндурын шийд нь фундаменталь систем шийдүүдийн шугаман эвлүүлэг болж байгааучраас A·X = 0 буюу (2) системийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй олдоно.

X = c1 ·X1 + c2 ·X2 + · · · + cn−r ·Xn−r (12)

Жишээ: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 02x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 0

}

(1 2 3 42 3 2 −1

)∼

(1 2 3 40 −1 −4 −9

)⇒ x2 = −4x3 − 9x4

x1 = 5x3 + 14x4

x1

x2

x3

x4

=

5−4

10

· x3 +

14−19

01

· x4

14

Thr: НТБС - (6′)-ийн шийд нь X = X0 + X (14) хэлбэртэй байна. Энд,X0 нь (6)-д харгалзах НТТ (2)-ийн ерөнхий шийд, X нь ямар нэг тухайншийд.

.. =⇒. A ·X = B, A ·X0 = 0 ⇒A(X + X0) = AX + AX0 = B + 0 ⇒ X = X + X0 вектор (6′) тэгшитгэлийншийд болно.⇐= . AX = B, AX = B ⇒ AX −AX = B −B = 0 буюу X −X ⇒ ньНТС-ийн шийд болж байна. ИймдX0 = X −X =⇒ X = X + X0

Эндээс үзвэл (6′) системийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй олдоно.

X = c1 ·X1 + c2 ·X2 + · · · + cn−r ·Xn−r + X (15)

15