2
La densità
La pressione
L’equazione di continuità
Il teorema di Bernoulli
Stenosi e aneurismi
La lezione di oggi
3
! Densità, pressione
! La portata di un condotto
! Il teorema di Bernoulli
! Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
! Stenosi e aneurisma
! Pressione del sangue
La Densità
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La densità è definita come Vm =ρ
Sostanza Aria Polistirolo
espanso Olio
d’oliva Acqua
di mare Alluminio Ferro Oro
Densità (kg/m3)
1.29 ~30 920 1025 2700 7860 19300
! Dimensioni: [ML-3] ! Unità di misura SI: kg/m3
La Pressione
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La pressione è definita come areaforza
AF
P ==
! Dimensioni: [MLT-2][L-2]=[ML-1T-2] ! Unità di misura SI: Pa (pascal) = N/m2
Esempio:
Calcolare la pressione esercitata sulla pelle, quando si preme con una forza di 3 N con un dito (sezione = 10-4 m2) e con un ago ipodermico (sezione = 2⋅10-7 m2)
Pa103m10
N 3P 4
24dito ⋅==−
Pa101.5m102
N 3P 7
27ago ⋅=⋅
=−
7
S
Quale forza devo usare ?
Nel calcolo della pressione, devo sempre usare la componente della forza
perpendicolare (normale) alla superficie
F F⊥
8
Il fluido esercita sul corpo...
... una forza uguale in ogni direzione e
perpendicolare alla superficie
9
Pressione atmosferica E’ la pressione esercitata dalla colonna di aria
(atmosfera) che sta sopra di noi
Patm =1.013⋅105 Pa = 101 kPa = 1.01 bar = 1 atm
La pressione atmosferica agisce
in modo uguale in tutte le direzioni
N.B. 1 bar ≡105 Pa
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La pressione relativa
Pressione interna: pressione assoluta
Patmosferica
Pinterna
Pressione relativa: differenza tra
pressione interna e pressione atmosferica
atmrel P -P P =
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Esercizio Qual è la pressione assoluta all’interno di un pneumatico gonfiato ad una pressione relativa di 2 atm
atm 3 atm 2 atm 1 p pp relatmass =+=+= Pa 101.01 3 5××=
La pressione prescritta dalla casa costruttrice (quella che si legge sulla colonnina) è la pressione relativa
12
! Densità, pressione
! La portata di un condotto
! Il teorema di Bernoulli
! Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
! Stenosi e aneurisma
! Pressione del sangue
13
• Fluido perfetto (incomprimibile, non viscoso) • Condotto rigido • Moto stazionario (vedi)
• Flusso laminare (vedi)
Oggi lavoreremo con:
Conservazione dell’energia meccanica
Portata di un condotto
=QUnità di misura (S.I.):
m3/s
S Δx = v·Δt
A Volume di liquido che attraversa una sezione (A) nell’unità di tempo
ΔtV
= vS ⋅=⋅ ΔtΔxS =
⋅⋅
ΔtΔtvS
14
Q = 100 cm3 s–1 Esempio
In regime di moto stazionario, la portata è la stessa in ogni sezione
del condotto
Equazione di continuità S1
S2 v1 v2
SA = 5 cm2
vA = 20 cm s–1
SB = 1.25 cm2 vB = 80 cm s–1
La sezione aumenta,
la velocità diminuisce
La sezione diminuisce,
la velocità aumenta
costantevSQ =⋅=
15
! Densità, pressione
! La portata di un condotto
! Il teorema di Bernoulli
! Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
! Stenosi e aneurisma
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Liquido perfetto (incomprimibile, non viscoso) Condotto rigido Moto stazionario Flusso laminare
Ci sono soltanto la forza
gravitazionale e le forze di pressione
Il teorema di Bernoulli
2211 x F - x F L ΔΔ= 222111 x A p - x A p ΔΔ= 2211 V p - V p = V )p - (p 21=
N.B. V1 = V2 = V per l’equazione di continuità
Il lavoro compiuto dalle forze di pressione vale
Intermezzo: lavoro e energia meccanica
! Per il teorema dell’energia cinetica il lavoro fatto dalla risultante delle forze che agiscono su un oggetto vale
! La risultante delle forze è la somma vettoriale della risultante delle forze conservative (FC)eventualmente presenti e della risultante delle altre forze (F). Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze conservative è uguale e opposto alla variazione di energia potenziale (LC=-ΔU). Quindi:
! Il lavoro compiuto dalle forze F è pari alla variazione dell’energia meccanica totale
17
LTOT = �K
LTOT = L+ LC = L��U = �K =) L = �(K + U) = �E
18
Il teorema di Bernoulli
) v- (v m 21 )y - (y mg E 2
12212 +=Δ
variazione energia potenziale
variazione energia cinetica
19
(p1 - p2 ) V = mg (h2 - h1) + 12
m (v22 - v1
2 )
E L Δ=
Divido entrambi i membri per V
(p1 - p2 ) = mV
g (h2 - h1) + 12
mV
(v22 - v1
2 )
(p1 - p2 ) = ρ g (h2 - h1) + 12
ρ (v22 - v1
2 )
ρgh1 +12
ρ v12 + p1 = ρgh2 +
12
ρ v22 + p2
Dopo qualche passaggio...
m/V = ρ densità
20
costantepv21
gh 2 =++ ρρ
Energia potenziale mgh
per unità di volume
Energia cinetica ½mv2
per unità di volume
Lavoro delle forze di pressione per unità di volume
Il teorema di Bernoulli
Divido entrambi i membri per ρg
costantegp
2gv
h2
=++ρ
altezza
geometrica altezza
cinetica
altezza
piezometrica
21
! Densità, pressione
! La portata di un condotto
! Il teorema di Bernoulli
! Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
! Stenosi e aneurisma
! Pressione del sangue
22
Legge di Stevino (effetto del peso del fluido)
22221
211 p v
21gh p v
21gh ++=++ ρρρρ
h1 h2
y
Il fluido è in quiete
)h - (h g p p 2112 ρ+= gh p 1 ρ+=
ghpp atmtot ρ+=
pressione idrostatica
In un fluido in equilibrio, la pressione interna dipende solo dalla profondità h
23
Il barometro gh gh 0 Patm ρρ =+=
m 10 )ms (9.8 )mkg 10(
Pa 101.013 g
P h 2-3-3
5atm
acqua =⋅
⋅==
ρ
Se uso acqua
m 0.76 )ms (9.8 )mkg 103595.1(
Pa 101.013
gP
h 2-3-4
5atm
mercurio =⋅⋅
⋅==
ρ
Se uso mercurio
Unità di misura della pressione atmosferica:
1 Torr = 1 mmHg
24
Esercizio Qual è la pressione (assoluta e relativa) esercitata su un nuotatore che nuota 5 m sotto la superficie di un lago ?
ghpp atmtot ρ+= m) (5)s m (9.8)m kg (10 Pa 101.01 -2-335 ××+×=
Pa 101.50 5×=
Ogni 5 m di profondità in acqua, si è sottoposti a una pressione aggiuntiva di 0.5 atm
atm 1.5 =
passoluta = 1.5 atm
prelativa = 0.5 atm
25 La Forza di Archimede agisce sul centro geometrico del volume immerso!
Il principio di Archimede
Forza verso il basso 2
111 LP A P F ⋅=⋅=Forza verso l’alto
2222 LP A P F ⋅=⋅=
gL P P 12 ρ+=3
132
12
12 gL F gL LP LgL) (P F ρρρ +=+=⋅+=
Attenzione !!! • la densità è quella del fluido!
• il corpo deve essere totalmente immerso
gV FF-F Archimede12 ρ==
27
Legge di Torricelli
22221
211 p v
21gh p v
21gh ++=++ ρρρρ
La superficie libera dell’acqua è
immobile
La pressione esterna è uguale per i 2
punti (patmosferica)
h2 è uguale a 0 per costruzione (origine
dell’asse y)
221 v
21gh ρρ = semplifico ρ 2
21 v21gh = 12 2gh v =
Identica alla velocità di un grave che cade da
un’altezza h
y 1
2
S
v
h
28
! Densità, pressione
! La portata di un condotto
! Il teorema di Bernoulli
! Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
! Stenosi e aneurisma
! Pressione del sangue
29
h1 = h2
Q = costante S1 v1 = S2 v2
S2 < S1 v2 > v1
la stenosi tende a peggiorare
v2 > v1 p2 < p1
Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):
222
211 vρ
21p vρ
21p +=+
Applicazione dell’equazione di Bernoulli La stenosi
S2 S1
v1 v2
30
S2 > S1 v2 < v1
S2 S1
v1 v2
Q = costante
L’aneurisma
S1 v1 = S2 v2
Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):
v2 < v1 p2 > p1
L’aneurisma tende a peggiorare
222
211 vρ
21p vρ
21p +=+
31
! Densità, pressione
! La portata di un condotto
! Il teorema di Bernoulli
! Applicazioni dell’equazione di Bernoulli
! Stenosi e aneurisma
! Pressione del sangue
32
Misuro la pressione in 3 grandi arterie
(testa, cuore, piedi)
Faccio l’approssimazione che la sezione delle 3 arterie sia ~ uguale
Effetti della pressione idrostatica
y
htesta
hcuore
costantepv21
gh 2 =++ ρρ
cuorecuorepiedi gh p - p ρ=
testacuorecuoretesta gh - gh p p ρρ=−
hpiedi = 0 pieditestacuore vvv ==
33
=××= m) (1.3)s m (9.8)m kg (10 p- p -233cuorepiedi
Hg mm 101Pa 101.3 4 =×
=××= m) 1.7 - m 1.3 ()s m (9.8)m kg (10p-p -233cuoretesta
Effetti della pressione idrostatica
Hg mm 31 - Pa 10 2 4. - 3 = × =
y
htesta
hcuore
htesta
= 1.7m
hcuore
= 1.3m
34
Applicazione dell’equazione di Bernoulli Misura della pressione arteriosa
h g ρ ph g ρ p aatmosferic'
s +=+
'aatmosferics h g ρ -h g ρpp =−
)h -(h g ρ pp 'aatmosferics =−
y
ρsoluzione salina ~ ρfluido manometrico
Quando misuro P venose, che sono piccole, uso un fluido manometrico con ρ bassa (ad es. acqua, o soluzione salina) per avere una grande h
ρ&
35
Nota bene La misura della pressione del sangue nelle arterie è sempre riferita alla Patm
120 mmHg ⇒
(120+760) mmHg
y
Applicazione dell’equazione di Bernoulli Misura della pressione arteriosa
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Il flacone deve essere posto ad una altezza h sufficiente
per avere Pcannula – Patmosferica > Pvena
Applicazione dell’equazione di Bernoulli
La fleboclisi
=××⋅+⋅= − m) (0.2500)s m (9.810)kgm10(1.000 Pa101.013 P -2335cannula
Pa101.037 5×=
Torr 18.05 Pa102.400101.013)-(1.037 PP 35aatmosfericcannula =×=×=−
m .250 h =
38
Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro
Comprimo l’arteria per ottenere p > psistolica
La circolazione è momentaneamente bloccata
40
ps = pressione sistolica
pd = pressione diastolica
p > ps ⇒ silenzio
ps > p > pd ⇒ rumore pulsato
p < pd ⇒ rumore continuo
Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro
Nota. Quando ps > p > pd : • il rumore è pulsato perchè il sangue fluisce quando la pressione del sangue è maggiore della pressione esercitata dalla fascia • il flusso è turbolento e quindi il rumore è diverso da quando ho p < pd