1

2

La densità

La pressione

L’equazione di continuità

Il teorema di Bernoulli

Stenosi e aneurismi

La lezione di oggi

3

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

La Densità

4

La densità è definita come Vm =ρ

Sostanza Aria Polistirolo

espanso Olio

d’oliva Acqua

di mare Alluminio Ferro Oro

Densità (kg/m3)

1.29 ~30 920 1025 2700 7860 19300

!  Dimensioni: [ML-3] !  Unità di misura SI: kg/m3

La Pressione

5

La pressione è definita come areaforza

AF

P ==

!  Dimensioni: [MLT-2][L-2]=[ML-1T-2] !  Unità di misura SI: Pa (pascal) = N/m2

Esempio:

Calcolare la pressione esercitata sulla pelle, quando si preme con una forza di 3 N con un dito (sezione = 10-4 m2) e con un ago ipodermico (sezione = 2⋅10-7 m2)

Pa103m10

N 3P 4

24dito ⋅==−

Pa101.5m102

N 3P 7

27ago ⋅=⋅

=−

6

Attenzione! Area grande = Pressione piccola

7

S

Quale forza devo usare ?

Nel calcolo della pressione, devo sempre usare la componente della forza

perpendicolare (normale) alla superficie

F F⊥

8

Il fluido esercita sul corpo...

... una forza uguale in ogni direzione e

perpendicolare alla superficie

9

Pressione atmosferica E’ la pressione esercitata dalla colonna di aria

(atmosfera) che sta sopra di noi

Patm =1.013⋅105 Pa = 101 kPa = 1.01 bar = 1 atm

La pressione atmosferica agisce

in modo uguale in tutte le direzioni

N.B. 1 bar ≡105 Pa

10

La pressione relativa

Pressione interna: pressione assoluta

Patmosferica

Pinterna

Pressione relativa: differenza tra

pressione interna e pressione atmosferica

atmrel P -P P =

11

Esercizio Qual è la pressione assoluta all’interno di un pneumatico gonfiato ad una pressione relativa di 2 atm

atm 3 atm 2 atm 1 p pp relatmass =+=+= Pa 101.01 3 5××=

La pressione prescritta dalla casa costruttrice (quella che si legge sulla colonnina) è la pressione relativa

12

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

13

•  Fluido perfetto (incomprimibile, non viscoso) •  Condotto rigido •  Moto stazionario (vedi)

•  Flusso laminare (vedi)

Oggi lavoreremo con:

Conservazione dell’energia meccanica

Portata di un condotto

=QUnità di misura (S.I.):

m3/s

S Δx = v·Δt

A Volume di liquido che attraversa una sezione (A) nell’unità di tempo

ΔtV

= vS ⋅=⋅ ΔtΔxS =

⋅⋅

ΔtΔtvS

14

Q = 100 cm3 s–1 Esempio

In regime di moto stazionario, la portata è la stessa in ogni sezione

del condotto

Equazione di continuità S1

S2 v1 v2

SA = 5 cm2

vA = 20 cm s–1

SB = 1.25 cm2 vB = 80 cm s–1

La sezione aumenta,

la velocità diminuisce

La sezione diminuisce,

la velocità aumenta

costantevSQ =⋅=

15

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

16

Liquido perfetto (incomprimibile, non viscoso) Condotto rigido Moto stazionario Flusso laminare

Ci sono soltanto la forza

gravitazionale e le forze di pressione

Il teorema di Bernoulli

2211 x F - x F L ΔΔ= 222111 x A p - x A p ΔΔ= 2211 V p - V p = V )p - (p 21=

N.B. V1 = V2 = V per l’equazione di continuità

Il lavoro compiuto dalle forze di pressione vale

Intermezzo: lavoro e energia meccanica

!  Per il teorema dell’energia cinetica il lavoro fatto dalla risultante delle forze che agiscono su un oggetto vale

!  La risultante delle forze è la somma vettoriale della risultante delle forze conservative (FC)eventualmente presenti e della risultante delle altre forze (F). Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze conservative è uguale e opposto alla variazione di energia potenziale (LC=-ΔU). Quindi:

!  Il lavoro compiuto dalle forze F è pari alla variazione dell’energia meccanica totale

17

LTOT = �K

LTOT = L+ LC = L��U = �K =) L = �(K + U) = �E

18

Il teorema di Bernoulli

) v- (v m 21 )y - (y mg E 2

12212 +=Δ

variazione energia potenziale

variazione energia cinetica

19

(p1 - p2 ) V = mg (h2 - h1) + 12

m (v22 - v1

2 )

E L Δ=

Divido entrambi i membri per V

(p1 - p2 ) = mV

g (h2 - h1) + 12

mV

(v22 - v1

2 )

(p1 - p2 ) = ρ g (h2 - h1) + 12

ρ (v22 - v1

2 )

ρgh1 +12

ρ v12 + p1 = ρgh2 +

12

ρ v22 + p2

Dopo qualche passaggio...

m/V = ρ densità

20

costantepv21

gh 2 =++ ρρ

Energia potenziale mgh

per unità di volume

Energia cinetica ½mv2

per unità di volume

Lavoro delle forze di pressione per unità di volume

Il teorema di Bernoulli

Divido entrambi i membri per ρg

costantegp

2gv

h2

=++ρ

altezza

geometrica altezza

cinetica

altezza

piezometrica

21

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

22

Legge di Stevino (effetto del peso del fluido)

22221

211 p v

21gh p v

21gh ++=++ ρρρρ

h1 h2

y

Il fluido è in quiete

)h - (h g p p 2112 ρ+= gh p 1 ρ+=

ghpp atmtot ρ+=

pressione idrostatica

In un fluido in equilibrio, la pressione interna dipende solo dalla profondità h

23

Il barometro gh gh 0 Patm ρρ =+=

m 10 )ms (9.8 )mkg 10(

Pa 101.013 g

P h 2-3-3

5atm

acqua =⋅

⋅==

ρ

Se uso acqua

m 0.76 )ms (9.8 )mkg 103595.1(

Pa 101.013

gP

h 2-3-4

5atm

mercurio =⋅⋅

⋅==

ρ

Se uso mercurio

Unità di misura della pressione atmosferica:

1 Torr = 1 mmHg

24

Esercizio Qual è la pressione (assoluta e relativa) esercitata su un nuotatore che nuota 5 m sotto la superficie di un lago ?

ghpp atmtot ρ+= m) (5)s m (9.8)m kg (10 Pa 101.01 -2-335 ××+×=

Pa 101.50 5×=

Ogni 5 m di profondità in acqua, si è sottoposti a una pressione aggiuntiva di 0.5 atm

atm 1.5 =

passoluta = 1.5 atm

prelativa = 0.5 atm

25 La Forza di Archimede agisce sul centro geometrico del volume immerso!

Il principio di Archimede

Forza verso il basso 2

111 LP A P F ⋅=⋅=Forza verso l’alto

2222 LP A P F ⋅=⋅=

gL P P 12 ρ+=3

132

12

12 gL F gL LP LgL) (P F ρρρ +=+=⋅+=

Attenzione !!! •  la densità è quella del fluido!

•  il corpo deve essere totalmente immerso

gV FF-F Archimede12 ρ==

26

Quest’ uovo è fresco…

������������ � � ���

��

������������ � �

���

��…e questo no

27

Legge di Torricelli

22221

211 p v

21gh p v

21gh ++=++ ρρρρ

La superficie libera dell’acqua è

immobile

La pressione esterna è uguale per i 2

punti (patmosferica)

h2 è uguale a 0 per costruzione (origine

dell’asse y)

221 v

21gh ρρ = semplifico ρ 2

21 v21gh = 12 2gh v =

Identica alla velocità di un grave che cade da

un’altezza h

y 1

2

S

v

h

28

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

29

h1 = h2

Q = costante S1 v1 = S2 v2

S2 < S1 v2 > v1

la stenosi tende a peggiorare

v2 > v1 p2 < p1

Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):

222

211 vρ

21p vρ

21p +=+

Applicazione dell’equazione di Bernoulli La stenosi

S2 S1

v1 v2

30

S2 > S1 v2 < v1

S2 S1

v1 v2

Q = costante

L’aneurisma

S1 v1 = S2 v2

Applicando il teorema di Bernoulli (h1 = h2):

v2 < v1 p2 > p1

L’aneurisma tende a peggiorare

222

211 vρ

21p vρ

21p +=+

31

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

32

Misuro la pressione in 3 grandi arterie

(testa, cuore, piedi)

Faccio l’approssimazione che la sezione delle 3 arterie sia ~ uguale

Effetti della pressione idrostatica

y

htesta

hcuore

costantepv21

gh 2 =++ ρρ

cuorecuorepiedi gh p - p ρ=

testacuorecuoretesta gh - gh p p ρρ=−

hpiedi = 0 pieditestacuore vvv ==

33

=××= m) (1.3)s m (9.8)m kg (10 p- p -233cuorepiedi

Hg mm 101Pa 101.3 4 =×

=××= m) 1.7 - m 1.3 ()s m (9.8)m kg (10p-p -233cuoretesta

Effetti della pressione idrostatica

Hg mm 31 - Pa 10 2 4. - 3 = × =

y

htesta

hcuore

htesta

= 1.7m

hcuore

= 1.3m

34

Applicazione dell’equazione di Bernoulli Misura della pressione arteriosa

h g ρ ph g ρ p aatmosferic'

s +=+

'aatmosferics h g ρ -h g ρpp =−

)h -(h g ρ pp 'aatmosferics =−

y

ρsoluzione salina ~ ρfluido manometrico

Quando misuro P venose, che sono piccole, uso un fluido manometrico con ρ bassa (ad es. acqua, o soluzione salina) per avere una grande h

ρ&

35

Nota bene La misura della pressione del sangue nelle arterie è sempre riferita alla Patm

120 mmHg ⇒

(120+760) mmHg

y

Applicazione dell’equazione di Bernoulli Misura della pressione arteriosa

36

Applicazione dell’equazione di Bernoulli La fleboclisi

h g ρ pp aatmosfericcannula +=

y

h

37

Il flacone deve essere posto ad una altezza h sufficiente

per avere Pcannula – Patmosferica > Pvena

Applicazione dell’equazione di Bernoulli

La fleboclisi

=××⋅+⋅= − m) (0.2500)s m (9.810)kgm10(1.000 Pa101.013 P -2335cannula

Pa101.037 5×=

Torr 18.05 Pa102.400101.013)-(1.037 PP 35aatmosfericcannula =×=×=−

m .250 h =

38

Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro

Comprimo l’arteria per ottenere p > psistolica

La circolazione è momentaneamente bloccata

39

Diminuisco lentamente la pressione

Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro

40

ps = pressione sistolica

pd = pressione diastolica

p > ps ⇒ silenzio

ps > p > pd ⇒ rumore pulsato

p < pd ⇒ rumore continuo

Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro

Nota. Quando ps > p > pd : •  il rumore è pulsato perchè il sangue fluisce quando la pressione del sangue è maggiore della pressione esercitata dalla fascia •  il flusso è turbolento e quindi il rumore è diverso da quando ho p < pd

41

Per i liquidi ideali la conservazione dell’energia meccanica porta al teorema di Bernoulli.... ..... molto utile per risolvere i problemi più disparati Prossima lezione: i liquidi reali

Riassumendo