Operatori C, P e T
prof. Domenico Galli
Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori Dottorato di Ricerca in Fisica
Stati Fisici
• Uno stato fisico è rappresentato da un vettore di stato (ket) in uno spazio vettoriale complesso:
• Un ket contiene tutte le informazioni su di uno stato fisico. • La somma di due ket è un altro ket:
• La moltiplicazione di un ket per un numero complesso c è un altro ket:
• I ket e rappresentano il medesimo stato fisico: – Soltanto la direzione è significativa nello spazio dei ket. – Gli stati fisici sono raggi, non vettori. – Raggio: sottospazio .
2!
α ∈E
α + β = γ α , β , γ ∈E
c α = α c = β c∈, α , β ∈E
α c α , c = Aeiϕ ∈
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c α ∈E;c∈, α ∈E{ }
Osservabili
• Un osservabile (p. es.: una componente della quantità di moto o dello spin) è rappresentato da un operatore A.
• In generale un operatore agisce su di un ket da sinistra originando un altro ket:
• In generale lo stato non è la moltiplicazione dello stato per uno scalare complesso.
• Tuttavia ci sono dei ket particolarmente importanti (autoket dell’operatore A), che si indicano con:
e che soddisfano la proprietà:
3!
A α = β
A α α
′a , ′′a , ′′′a , …
A ′a = ′a ′a , A ′′a = ′′a ′′a , ecc., ′a , ′′a , ′′′a ∈
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Osservabili (II)
• L’applicazione dell’operatore A a un autoket riproduce lo stesso autoket a meno di un fattore moltiplicativo.
• Lo stato fisico corrispondente a un autoket è chiamato autostato. • I numeri dell’insieme:
sono chiamati autovalori dell’operatore A.
4!
′a , ′′a , ′′′a , …{ }
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Componenti dei Ket
• La dimensione N dello spazio vettoriale è determinata dal numero di alternative nel risultato di un esperimento.
• In tale spazio, gli N autoket dell’osservabile A formano una base. • Ogni ket arbitrario si può scrivere, per componenti:
5!
α
α = ci ai( )
i=1
N
∑ , ci ∈
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Lo Spazio dei Bra
• Lo spazio dei bra è uno spazio vettoriale E *, duale rispetto allo spazio dei ket E: – Spazio duale: insieme di tutti i funzionali lineari su E a valori complessi.
– La linearità implica che:
• Addizione di bra e moltiplicazione un bra per uno scalare sono definite dalle relazioni:
6!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
α + β( ) γ = α γ + β γ
c α( ) γ = c α γ
β ∈E( ) α⎯ →⎯ α β ∈( )
γ cα α + cβ β( ) = cα γ α + cβ γ β , ∀ α , β
Lo Spazio dei Bra (II)
• A ogni ket corrisponda un bra : dove CD = corrispondenza duale.
• Una base nello spazio dei bra è costituita dagli autobra corrispondenti duali di una base di autoket:
7!
α α
a i( ) ,i = 1,2,…{ } CD← →⎯⎯ a i( ) ,i = 1,2,…{ }
α CD← →⎯⎯ α
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Lo Spazio dei Bra (III)
• Il corrispondente duale di una somma è la somma dei corrispondenti duali dei singoli addendi:
• Il corrispondente duale del prodotto di un ket per un numero è il prodotto del bra duale per il complesso coniugato del numero:
• Per le combinazioni lineari di ket si ha perciò:
8!
c* α CD← →⎯⎯ c α , c∈
α + β +{ } CD← →⎯⎯ α + β +{ }
cα* α + cβ
* β +{ } CD← →⎯⎯ cα α + cβ β +{ }
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Prodotto Interno
• Il prodotto interno è il prodotto di un bra per un ket , che si scrive:
• Il prodotto interno per definizione soddisfa due proprietà:
• La norma del ket o del bra è definita come:
9!
βα
α β ∈
β α = α β*
α α ≥ 0 α α = 0 ⇔ α = 0( )α α
α α
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Ortonormalità
• Dato un ket non nullo si può formare il ket normalizzato , definito come: che rappresenta il medesimo stato fisico.
• Due ket e si dicono ortogonali se:
10!
α
α β = 0
α̂
α̂ = 1
α αα
α β
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Operatori
• Un operatore X agisce su di un ket da sinistra e il prodotto risultante è ancora un ket:
• Due operatori X e Y si dicono uguali se:
• Un operatore X si dice nullo se:
11!
X α = β
X α = Y α , ∀ α
X α = 0, ∀ α
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Operatori (II)
• Gli operatori possono essere sommati:
• La somma è commutativa e associativa:
• Un operatore X si dice lineare se:
• Vedremo che gli operatori C e P sono lineari, mentre l’operatore T è anti-lineare:
12!
X + Y = Y +X
X + Y +Z( ) = X + Y( ) +Z
X cα α + cβ β( ) = cαX α + cβX β , ∀ α , β
X + Y( ) α = X α + Y α , ∀ α
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T cα α + cβ β( ) = cα
*T α + cβ*T β , ∀ α , β
Operatori (III)
• Un operatore X agisce su di un bra da destra e il prodotto risultante è ancora un bra:
• Il ket e il bra non sono in generale duali tra loro. • Si definisce operatore hermitiano coniugato o aggiunto
dell’operatore X, l’operatore X † tale che:
• Un operatore si dice hermitiano o autoaggiunto se e è uguale al suo aggiunto:
13!
α X = β
α X
X α
α X † CD← →⎯⎯ X α
X † = X
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Operatori (IV)
• Gli operatori X e Y possono essere moltiplicati:
• La moltiplicazione, in generale, non è commutativa: ma è associativa:
• Si noti che:
14!
XY( ) α = X Y α( ), ∀ α
β XY( ) = β X( )Y , ∀ β
XY ≠ YX
X YZ( ) = XY( )Z
XY( )†
= Y †X †
α Y †( )X † CD← →⎯⎯ X Y α( ) ⇒ α Y †X †( ) CD← →⎯⎯ XY( ) α
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Assioma Associativo e Prodotto Esterno
• Assioma associativo: La proprietà associativa vale in generale, fintanto che abbiamo a che fare con moltiplicazioni consentite tra bra e ket e operatori lineari. – Non vale per operatori anti-lineari.
• In particolare, per l’assioma associativo, si ha: dove è semplicemente un numero, mentre è definito prodotto esterno.
• Come si vede, un prodotto esterno, applicato a un ket produce un altro ket.
• Il prodotto esterno di un ket e un bra può essere considerato come un operatore.
• L’operatore ruota nella direzione di .
15!
β α( )prodottoesterno
γket
= βket
α γ( )numero
=def
β α γ ∀ β , α , γ
α γ β α
β α γ βDOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
Assioma Associativo e Prodotto Esterno (II)
• Si osservi che: e dunque:
• Inoltre si osservi che, per l’assioma associativo, si ha, per operatori lineari:
16!
γ α β CD← →⎯⎯ β α γ
γ X † CD← →⎯⎯ X γ
β α( )† = α β
βbra
X α( )ket
= β X( )
bra
αket
=def
β X α
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Assioma Associativo e Prodotto Esterno (III)
• Poiché: si ha:
17!
γ X † CD← →⎯⎯ X γ
β α = α β*
β X α = β X α( ) = α X †( ) β{ }* = α X † β*
β X α = α X † β*
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Operatori Hermitiani
• Teorema: Gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali; gli autoket corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.
18!
A = A†
A a i( ) = a i( ) a i( ) ⇒ a j( ) A a i( ) = a i( ) a j( ) a i( )
A a j( ) = a j( ) a j( ) CD← →⎯⎯ a j( ) A† = a j( )* a j( )
a j( ) A = a j( )* a j( ) ⇒ a j( ) A a i( ) = a j( )* a j( ) a i( )
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
0 = a i( ) a j( ) a i( ) − a j( )* a j( ) a i( ) ⇒ a i( ) − a j( )*( ) a j( ) a i( ) = 0
j = ij ≠ i
a i( ) = a i( )*
a j( ) a i( ) = 0
⎧⎨⎪
⎩⎪
a j( ) ∈, a j( ) a i( ) = δ j ,iDOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
Basi di Autoket
• Gli autoket normalizzati dell’operatore A: formano un insieme completo ortonormale.
• Un generico ket si può scrivere, per componenti:
• Moltiplicando per a sinistra si ottiene la componente j-esima:
19!
′a , ′′a , ′′′a , …, a N( ){ } = a i( ) ,i = 1,…,N{ }α
α = α i ai( )
i=1
N
∑ , α i ∈
a j( )
a j( ) α = a j( ) α i ai( )
i=1
N
∑ = α i aj( ) a i( )
i=1
N
∑ = α iδ j ,ii=1
N
∑ =α j
α j = a j( ) α
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Relazione di Chiusura
• Per quanto detto possiamo scrivere: (relazione di chiusura o di completezza).
20!
α = α i ai( )
i=1
N
∑ , α i ∈
α j = a j( ) α
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
α = a i( ) α a i( )i=1
N
∑ = a i( ) a i( ) αi=1
N
∑
a i( ) a i( )i=1
N
∑ = 11
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Relazione di Chiusura (II)
• Dalla relazione di chiusura troviamo:
21!
a i( ) a i( )i=1
N
∑ = 11
α α = 1
α α = α a i( ) a i( )i=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟α = α a i( ) a i( ) α
i=1
N
∑ =
= a i( ) α*
a i( ) αi=1
N
∑ = a i( ) αi=1
N
∑2
α i
2
i=1
N
∑ = a i( ) α2
i=1
N
∑ = 1
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Operatori di Proiezione
• Consideriamo l’operatore: detto operatore di proiezione.
• Esso seleziona la parte del ket parallela ad :
• La relazione di chiusura si può scrivere come:
22!
Λii=1
N
∑ = 11
Λi = ai( ) a i( )
Λi a = a i( ) a i( )( ) a = a i( ) a i( ) α =α i ai( )
α a i( )
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Operatori Unitari e Cambiamento di Base
• Si chiama operatore unitario un operatore che conserva il prodotto interno:
• Un operatore unitario soddisfa la relazione:
• Teorema: Date due basi di ket ortonormali e complete: esiste un operatore unitario U tale che:
23!
U †U = UU † = 11 ⇒ U −1 = U †
a i( ) ,i = 1,…,N{ } b i( ) ,i = 1,…,N{ }
b i( ) =U a i( ) , i = 1,…,N
α U †U β = α β
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Operatori Unitari e Cambiamento di Base (II)
• Infatti, definito: U soddisfa la relazione richiesta: inoltre U è unitario:
24!
U = b k( ) a k( )k=1
N
∑
U a i( ) = b k( ) a k( )k=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟a i( ) = b k( ) a k( ) a i( )
k=1
N
∑ = δk ,i bk( ) =
k=1
N
∑ b i( )
UU † = b k( ) a k( )k=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟
a l( ) b l( )l=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= b k( ) a k( ) a l( ) b l( )
l=1
N
∑k=1
N
∑ =
= b k( ) δ k ,l b l( )l=1
N
∑k=1
N
∑ = b k( ) b k( )k=1
N
∑ = 11
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Operatori Unitari e Cambiamento di Base (III)
• La matrice di trasformazione relativa al cambiamento di base si scrive, essendo :
• Inoltre, poiché: La matrice colonna delle nuove componenti di un ket si ottengono dalla matrice colonna delle vecchie, moltiplicando per la matrice U†
i,j:
25!
Ui, j = a i( ) U a j( ) = a i( ) b j( )
b i( ) = U a i( )
b j( ) α
nuovacomponente
= b j( ) a k( ) a k( ) αk=1
N
∑ = a j( ) U † a k( )
U j ,k†
a k( ) α
vecchiacomponente
k=1
N
∑
a k( ) a k( )k=1
N
∑ = 11
b j( ) = a j( ) U †
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Operatori Unitari e Cambiamento di Base (IV)
• Troviamo ora la relazione tra i vecchi e i nuovi elementi di matrice. • Essendo:
• Si ottiene la trasformazione di similarità :
26!
b i( ) X b j( )
nuovo elementodi matrice
= b i( ) a m( ) a m( ) X a n( ) a n( ) b j( )
n=1
N
∑m=1
N
∑ =
= a i( ) U † a m( )
Ui ,m†
a m( ) X a n( )
vecchio elementodi matrice
a n( ) U a j( )
Un ,l
n=1
N
∑m=1
N
∑
a m( ) a m( )m=1
N
∑ = 11, a n( ) a n( )n=1
N
∑ = 11
b j( ) = U a j( ) , b i( ) = a i( ) U †
′X = U †X U
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Traccia di un Operatore
• La traccia di un operatore è la somma dei suoi elementi diagonali: e risulta indipendente dalla rappresentazione scelta.
• Si può anche dimostrare che:
27!
Tr XY( ) = Tr YX( )Tr U †XU( ) = Tr X( )Tr a i( ) a j( )( ) = δ i, jTr b i( ) a i( )( ) = a i( ) b i( )
Tr X( ) = a i( ) X a i( )i=1
N
∑a i( )
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Spettri Continui
• Vi sono osservabili (come lo spin) con uno spettro discreto di autovalori.
• Vi sono osservabili (come le componenti dell’impulso) con uno spettro continuo di autovalori.
• Molti risultati sono generalizzabili
28!
a i( ) a j( ) = δ i, j ← →⎯ ′ξ ′′ξ = δ ′ξ − ′′ξ( )
a i( )i=1
N
∑ a i( ) = 11 ← →⎯ ′ξ d ′ξ ′ξ∫ = 11
α = a i( ) a i( ) αi=1
N
∑ ← →⎯ α = ′ξ d ′ξ ′ξ α∫
a i( ) α2
i=1
N
∑ = 1 ← →⎯ d ′ξ ′ξ α2
∫ = 1
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Spettri Continui (II)
29!
β α = β a i( )i=1
N
∑ a i( ) α ← →⎯ β α = β ′ξ d ′ξ ′ξ α∫
a i( ) A a j( ) = a j( )δ i, j ← →⎯ ′ξ A ′′ξ = ′′ξ δ ′′ξ − ′ξ( )
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Spazio delle Coordinate
• Gli autoket dell’operatore posizione X, soddisfano l’equazione agli autovalori:
• Il ket di stato per un arbitrario stato si può scrivere come:
• Consideriamo una misura della posizione: – Mettiamo un rivelatore sottile nella posizione x′ che scatta quando una
particella si trova in un piccolo intervallo intorno a x′: [x′−Δ, x′+Δ]; – Quando si registra un conteggio il ket cambia come:
30!
X ′x = ′x ′x
α
α = ′x d ′x ′x α−∞
+∞
∫
α = ′′x d ′′x ′′x α−∞
+∞
∫ ⎯→⎯ ′′x d ′′x ′′x α′x −Δ
′x +Δ
∫
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Spazio delle Coordinate (II)
• La condizione di ortonormalità della base di ket si scrive:
• Si chiama funzione d’onda per lo stato il prodotto interno:
• Spesso, per indicare lo stato avente come funzione d’onda si scrive:
31!
′x ′′x = δ ′x − ′′x( )α
ψα ′x( ) = ′x α
α ψα x( )
α = ψα x( )
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Operatori di Simmetria
• Dato un ket consideriamo uno stato simmetrico che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore O.
• Poiché O è un operatore di simmetria, l’azione di O non deve cambiare il risultato di una misura. Dovrà perciò valere la condizione:
• Questa condizione può essere soddisfatta in due modi:
32!
α O†O β2
= α β2
α
α O†O β = α β operatore unitario( )α O†O β = α β
*operatore anti-unitario( )
⎧⎨⎪
⎩⎪
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Inversione Spaziale
• Dato un ket consideriamo uno stato spazialmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore P, noto come operatore di parità:
• Detto l’operatore posizione, ci aspettiamo che il valor medio delle coordinate — preso rispetto allo stato spazialmente invertito — sia l’opposto:
• Questo è vero se:
33!
α
α P⎯ →⎯ α P = P α
α P †X P α = − α
X α
P †X P = −
X
P †X P = −
X ⇒ PP †
X P = −P
X ⇒
X P = −P
X ⇒
X P +P
X = 0
X
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Inversione Spaziale (II)
• Dunque P anticommuta con :
• Vediamo ora come si trasforma per parità un autoket delle coordinate:
• Dunque è un autoket di corrispondente all’autovalore . • Si ha anche, per definizione:
• Pertanto deve essere uguale all’autoket delle coordinate a meno di un fattore di fase:
34!
′x ⎯→⎯ P ′xX P
′x( ) = X P ′x = −PX′x = −P ′x ′x = − ′x( ) P ′x( )
X
P,X{ } = 0
P′x
X − ′x
P′x − ′x
X − ′x = − ′x( ) − ′x
P′x = eiδ − ′x
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Inversione Spaziale (III)
• Per convenzione si sceglie:
• Per cui si ha:
• Inoltre:
• Per cui:
• Pertanto l’operatore P è hermitiano oltre che unitario:
35!
P′x = − ′x
eiδ = 1
P 2′x = PP ′x = P − ′x = ′x
P 2 = 11
P −1 = P † = P
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P eL− = eR
−
P π 0 = − π 0
P n = + n
Coniugazione di Carica
• L’operazione della coniugazione di carica cambia il segno della carica e del momento magnetico, lasciando inalterate le altre coordinate.
• Nella fisica classica la coniugazione di carica cambia in segno della densità di carica, della densità di corrente, del campo elettrico e del campo magnetico:
• Le equazioni di Maxwell sono invarianti per coniugazione di carica. • Nella fisica quantistica relativistica implica anche lo scambio di
particella e antiparticella. – Per i leptoni implica anche un cambio di segno nel numero leptonico. – Per i barioni implica anche un cambio di segno nel numero barionico.
36!
ρ C⎯ →⎯ −ρ, C⎯ →⎯ − ,
E C⎯ →⎯ −
E,
B C⎯ →⎯ −
B.
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Coniugazione di Carica (II)
• Consideriamo particelle di spin ½, nella rappresentazione delle coordinate .
• Per un elettrone l’equazione di Dirac si scrive:
• Prendendo , si scrive:
• Una lacuna nel mare delle energie negative registra l’assenza di una energia −E (E > 0) e l’assenza di una carica +e (e < 0).
• Essa è equivalente alla presenza di un positrone di energia +E > 0 e carica −e > 0.
• Ma si può scrivere direttamente anche l’equazione di Dirac per il positrone.
37!
p − ecA − mc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ψ = i∂ − e
cA − mc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ψ = i
∂∂xµ
− ecAµ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ − mc
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ψ = 0
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= c = 1!"#$%&'
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"!"#
#
##
$")""! $")"!
p − eA − m( )ψ = i∂ − eA − m( )ψ = i∂∂xµ
− eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ − m
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ψ = 0
E = ± me2 + p2
ψα ′x( ) = ′x α
Coniugazione di Carica (III)
• Corrispondenza 1-1 tra soluzioni a energia negativa dell’equazione di Dirac per l’elettrone: e soluzioni a energia positiva dell’equazione di Dirac per il positrone:
• Cerchiamo un operatore che trasformi le due equazioni l’una nell’altra.
38!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
p + eA − m( )ψ C = i∂ + eA − m( )ψ C = i∂∂xµ
+ eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ − m
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ψ C = 0
p − eA − m( )ψ = i∂ − eA − m( )ψ = i∂∂xµ
− eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ − m
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ψ = 0
Coniugazione di Carica (IV)
• Prendendo la complessa coniugata dell’equazione di Dirac per l’elettrone, moltiplicando per −1 e ricordando che Aµ è reale si ottiene:
• Se riusciamo a trovare una matrice non-singolare tale che:
• Allora avremo, come cercato:
39!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
i∂∂xµ
= − i∂∂xµ
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
*
, Aµ = Aµ( )* ⇒
i∂∂xµ
− eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ − m
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ψ = 0
i∂∂xµ
+ eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ( )* + m⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ψ * = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
Cγ 0
Cγ 0( ) γ µ( )* Cγ 0( )−1 = −γ µ
Cγ 0( ) i∂∂xµ
+ eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ( )* + m⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ Cγ 0( )−1 Cγ 0( )ψ * = 0
− i∂∂xµ
+ eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ + m
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ Cγ 0( )ψ * = 0 ⇒ i
∂∂xµ
+ eAµ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟γ µ − m
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ Cγ 0ψ *( )C ψ †γ 0( )T =Cψ T
ψC
= 0
ψ =ψ †γ 0
Coniugazione di Carica (V)
• Costruiamo esplicitamente nella rappresentazione in cui: Si ha:
40!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
γ 0 =
1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
, γ 1 =
0 0 0 10 0 1 00 −1 0 0−1 0 0 0
, γ 2 =
0 0 0 −i0 0 i 00 i 0 0−i 0 0 0
, γ 3 =
0 0 1 00 0 0 −1−1 0 0 00 1 0 0
γ µ ,γ ν{ } = 2gµν 11, µ,ν = 0,1,2,3
γ 0( )† = γ 0( )* = γ 0( )−1 = γ 0( )T = γ 0 , γ α( )† = −γ α , α = 1,2,3
γ 0 γ α( )* γ 0 = γ 0 γ αγ 0( )* = −γ 0 γ 0γ α( )* = −γ 0γ 0 γ α( )* = − γ α( )* = γ α( )†⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
*
= γ α( )T
γ 0 γ 0( )* γ 0 = γ 0γ 0γ 0 = γ 0 = γ 0( )T⎧
⎨⎪
⎩⎪⎪
γ 0 γ µ( )* γ 0 = γ µ( )T , µ = 0,1,2,3
Cγ 0( ) γ µ( )* Cγ 0( )−1 = Cγ 0 γ µ( )* γ 0( )−1C−1 = Cγ 0 γ µ( )* γ 0C−1 = C γ µ( )T C−1
Cγ 0
γ µ( )T = γ µ , µ = 0,2−γ µ , µ = 1,3
⎧⎨⎪
⎩⎪
gµν =
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
Coniugazione di Carica (VI)
• Per cui si deve avere:
• Una possibile scelta è:
41!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
Cγ 0( ) γ µ( )* Cγ 0( )−1 = −γ µ
C γ µ( )T C−1 = −γ µ
γ µ( )T = −C−1γ µC
C γ µ( )T = −γ µC
Cγ µ = −γ µC, µ = 0,2Cγ µ = γ µC, µ = 1,3
⎧⎨⎪
⎩⎪
γ µ( )T = γ µ , µ = 0,2−γ µ , µ = 1,3
⎧⎨⎪
⎩⎪
C = iγ 2γ 0γ µ ,γ ν{ } = 2gµν 11, µ,ν = 0,1,2,3
Cγ 0 = iγ 2γ 0γ 0 = −iγ 0γ 2γ 0 = −γ 0CCγ 1 = iγ 2γ 0γ 1 = −iγ 2γ 1γ 0 = +iγ 1γ 2γ 0 = γ 1CCγ 2 = iγ 2γ 0γ 2 = −iγ 2γ 2γ 0 = −γ 2CCγ 3 = iγ 2γ 0γ 3 = −iγ 2γ 3γ 0 = +iγ 3γ 2γ 0 = γ 3C
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Coniugazione di Carica (VII)
• Per si ottengono pertanto le proprietà:
• Avremo quindi, per l’operatore C di coniugazione di carica:
42!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
C† = iγ 2γ 0( )† = −i γ 0( )† γ 2( )† = −iγ 0 −γ 2( ) = −iγ 2γ 0 = −C
C−1 = iγ 2γ 0( )−1 = i−1 γ 0( )−1 γ 2( )−1 = −iγ 0 −γ 2( ) = −iγ 2γ 0 = −C
CT = iγ 2γ 0( )T = i γ 0( )T γ 2( )T = iγ 0γ 2 = −iγ 2γ 0 = −C
γ µ( )† = γ µ , µ = 0−γ µ , µ = 1,2,3
⎧⎨⎪
⎩⎪
γ µ( )−1 = γ µ , µ = 0−γ µ , µ = 1,2,3
⎧⎨⎪
⎩⎪
γ µ( )T = γ µ , µ = 0,2−γ µ , µ = 1,3
⎧⎨⎪
⎩⎪
C = iγ 2γ 0
C† = C−1 = CT = −C
ψ C = Cψ = Cγ 0ψ * = iγ 2γ 0γ 0ψ * = iγ 2ψ *
Cψ = Cγ 0ψ * = iγ 2ψ *
C eL− = eL
+
C u = u
C d = d
C n = n
C γ = − γ
C π 0 = + π 0
C 2ψ = CCψ = C iγ 2ψ *( ) = iγ 2 iγ 2ψ *( )* = iγ 2 −i( ) −γ 2( )ψ⎡⎣
⎤⎦ =
= iγ 2 iγ 2ψ( ) = −γ 2γ 2ψ =ψ
C 2 = 11 C −1 = C † = C
Operatori Anti-Lineari
• Sia un operatore lineare L, sia un operatore anti-lineare A mappa uno spazio di ket E in se stesso:
• Tuttavia essi hanno un diverso comportamento quando si applicano a combinazioni lineari di ket. Per un operatore lineare:
• Si definisce invece anti-lineare un operatore per il quale:
• In particolare un operatore anti-lineare non commuta con una costante, quando essa è considerata come un operatore moltiplicativo alla sua destra:
43!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
α ∈E( ) L⎯ →⎯ L α ∈E( )α ∈E( ) A⎯ →⎯ A α ∈E( )
Ac = c*A
L cα α + cβ β( ) = cαL α + cβL β , ∀ α , β ∈E ∀cα ,cβ ∈
A cα α + cβ β( ) = cα*A α + cβ*A β , ∀ α , β ∈E ∀cα ,cβ ∈
Operatori Anti-Lineari (II)
• Il prodotto di n operatori lineari o anti-lineari è: – Lineare se il numero di fattori anti-lineari è pari; – Anti-lineare se il numero di fattori anti-lineari è dispari.
• Un bra, per definizione è un funzionale lineare:
• Per gli operatori lineari vale l’assioma associativo:
• Nel caso di un operatore anti-lineare A l’assioma associativo non vale, in quanto è un funzionale anti-lineare, mentre si suppone che un bra sia un funzionale lineare. Dobbiamo perciò introdurre una coniugazione complessa per rendere lineare:
44!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
β A
β L( ) α = β L α( ) =def
β L α
β ∈E( ) α⎯ →⎯ α β ∈( )
β A( ) α = β A α( )⎡⎣
⎤⎦*=def
β A α⎡⎣
⎤⎦*
β A
Operatori Anti-Lineari (III)
• Dalla definizione di coniugato hermitiano e di prodotto interno: abbiamo trovato, per gli operatori lineari:
• Per gli operatori anti-lineari troviamo invece:
45!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
γ X † CD← →⎯⎯ X γ
β α = α β*
β L α = β L α( ) = α L†( ) β{ }* = α L† β*
β L α = α L† β*
β A α( ) = α A†( ) β{ }* = α A† β( )β A α( ) = α A† β( )
Operatori Anti-Unitari
• Un operatore anti-lineare Θ che trasforma: si dice anti-unitario se:
• Dovendo essere: segue che:
46!
α Θ⎯ →⎯ αΘ =Θ α
β Θ⎯ →⎯ βΘ =Θ β
βΘ αΘ = β Θ†( ) Θ α( ) = β α*= α β , ∀ α , β
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
β Θ†( ) Θ α( ) = β Θ†Θ α( )⎡⎣
⎤⎦*
β Θ†( ) Θ α( ) = β α*
Θ†Θ =ΘΘ† = 11
Operatori Anti-Unitari (II)
• Un operatore anti-unitario Θ si può sempre scrivere nella forma: dove: U è un operatore unitario; K è l’operatore di complessa coniugazione:
• Genera il complesso coniugato di ogni coefficiente che moltiplica un ket e sta alla destra di K:
• Infatti Θ è antilineare, in quanto:
47!
Θ = UK
Kcα α = cα*K α
Θ cα α + cβ β( ) = UK cα α + cβ β( ) = U Kcα α +Kcβ β( ) == U cα
*K α + cβ*K β( ) = Ucα*K α + Ucβ
*K β =
= cα*UK α + cβ
*UK β = cα*Θ α + cβ
*Θ βDOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
• Consideriamo inoltre l’operatore K:
• Sviluppando in una base di autoket , si ha: in quanto l’operatore K non modifica i ket della base (avendo essi componenti 0 o 1 rispetto alla base stessa):
α = a i( ) a i( ) αi=1
N
∑
αK = K α = K a i( ) a i( ) αi=1
N
∑ = K a i( ) α a i( )i=1
N
∑ = a i( ) α*
K a i( )i=1
N
∑ =
= a i( ) α*
a i( )i=1
N
∑
Operatori Anti-Unitari (III)
48!
α K⎯ →⎯ αK = K α
α
a i( ) a j( ) = δ i, j
a i( ) ,i = 1,…,N{ }
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
Operatori Anti-Unitari (IV)
• Avremo quindi:
• Per quanto riguarda il corrispondente duale :
49!
αΘ =Θ α = UK α = UK a i( ) α a i( )i=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= U a i( ) α
*
a i( )i=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=
= a i( ) α*
U a i( )i=1
N
∑
βΘ =Θ β = UK β = UK a i( ) β a i( )i=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= U a i( ) β
*
a i( )i=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟=
= a i( ) β*
U a i( )i=1
N
∑βΘ
CD← →⎯⎯ βΘ
βΘ = β Θ† = a i( ) β a i( ) U †i=1
N
∑DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
Operatori Anti-Unitari (V)
• Per cui si ha: e l’operatore Θ = UK risulta anti-unitario.
50!
βΘ αΘ = a i( ) β a i( ) U †i=1
N
∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟
a j( ) α*
U a j( )j=1
N
∑⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟=
= a i( ) β a i( ) U †U a j( ) a j( ) α*
j=1
N
∑i=1
N
∑ =
= a i( ) β a i( ) a j( ) a j( ) α*
j=1
N
∑i=1
N
∑ = a i( ) β δ i, j aj( ) α
*
j=1
N
∑i=1
N
∑ =
= a i( ) β a i( ) α*
i=1
N
∑ = a i( ) β α a i( )i=1
N
∑ = α a i( ) a i( ) βi=1
N
∑ =
= α β = β α*
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
Inversione Temporale
• Dato un ket consideriamo uno stato temporalmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore T, noto come operatore di inversione temporale:
• Consideriamo l’evoluzione temporale di uno stato fisico. Detto lo stato (al tempo t) di un sistema che al tempo t0 è rappresentato dal ket , si ha, essendo H l’operatore hamiltoniano:
51!
α
α T⎯ →⎯ αT = T α
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
α
α ,t0;t
α ,t0 = 0;t = δt = 11 − iHδt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟α
Inversione Temporale (II)
• Se il moto soddisfa la simmetria per inversione temporale ci aspettiamo di ottenere lo stesso stato: 1. Applicando T al sistema al tempo t = 0 e lasciando evolvere il sistema per
il tempo δt > 0 sotto l’azione della hamiltoniana H; 2. Facendo evolvere il sistema per il tempo t = −δt < 0 e quindi applicando T:
• Affinché questa relazione sia vera per ogni ket deve essere:
52!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
11 − iHδt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟T α = T 11 − iH
−δt( )⎛
⎝⎜⎞⎠⎟α
−iHT α = T i H α
Inversione Temporale (III)
• Se T fosse unitario: – Avremmo:
– Nel caso di una particella libera, detto l’impulso, si ha:
– Ma ci aspettiamo che cambi segno, ma non . • Se invece T è anti-unitario:
– Si ha:
– Nel caso di una particella libera otteniamo, come atteso:
53!DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — Operatori C, P e T!
−iHT α = TiH α = iTH α ⇒ −HT = TH ⇒ T −1HT = −Hp
T −1p2
2mT = −
p2
2m p
p2
−iHT α = T iH α = −iT H α ⇒ HT = T H ⇒ T −1HT =H
T −1p2
2mT =
p2
2m
H =p2
2m⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica
[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
http://lhcbweb2.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica