Linearna algebra I
Matrični zapis linearnog operatora
V vektorski prostor nad F, e = {e1, . . . , en} neka baza za V .Svaki vektor x ∈ V ima jedinstven prikaz oblika
x =n∑
i=l
αiei.
matrični zapis (prikaz) vektora x u bazi e
[x]e =
α1...αn
∈ Fn
Matrični zapis linearnog operatora
V vektorski prostor nad F, e = {e1, . . . , en} neka baza za V .Svaki vektor x ∈ V ima jedinstven prikaz oblika
x =n∑
i=l
αiei.
matrični zapis (prikaz) vektora x u bazi e
[x]e =
α1...αn
∈ Fn
Matrični zapis linearnog operatora
A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W
A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A
Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku
Aej =m∑
i=1
αijfi, j = l, . . . , n.
matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)
[A]fe =
α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n
......
...αm1 αm2 · · · αmn
∈Mmn(F)
Matrični zapis linearnog operatora
A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W
A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A
Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku
Aej =m∑
i=1
αijfi, j = l, . . . , n.
matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)
[A]fe =
α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n
......
...αm1 αm2 · · · αmn
∈Mmn(F)
Matrični zapis linearnog operatora
A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W
A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A
Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku
Aej =m∑
i=1
αijfi, j = l, . . . , n.
matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)
[A]fe =
α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n
......
...αm1 αm2 · · · αmn
∈Mmn(F)
Matrični zapis linearnog operatora
A ∈ L(V,W ), e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze zaV , odnosno W
A potpuno odreden svojim djelovanjem na bazi: ako znamoAe1, . . . , Aen, onda znamo kompletno djelovanje operatora A
Ae1, . . . , Aen ∈W možemo pisati u obliku
Aej =m∑
i=1
αijfi, j = l, . . . , n.
matrični zapis (prikaz) operatora A u paru baza (e, f)
[A]fe =
α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n
......
...αm1 αm2 · · · αmn
∈Mmn(F)
Matrični zapis linearnog operatora
Primjer
Neka su e i f kanonske baze u R2 i R3. Odredimo matrični zapisoperatora A ∈ L(R2,R3),
A(x1, x2) = (6x1 − x2,−2x1 + x2, x1 − 7x2)
u ovom paru baza.
Primjer
Neka je e = {~i,~j} kanonska baza u prostoru V 2(0). Odredimomatrični zapis operatora rotacije za kut ϕ, Rϕ ∈ L(V 2(0)), u parubaza (e, e).
Matrični zapis linearnog operatora
Primjer
Neka su e i f kanonske baze u R2 i R3. Odredimo matrični zapisoperatora A ∈ L(R2,R3),
A(x1, x2) = (6x1 − x2,−2x1 + x2, x1 − 7x2)
u ovom paru baza.
Primjer
Neka je e = {~i,~j} kanonska baza u prostoru V 2(0). Odredimomatrični zapis operatora rotacije za kut ϕ, Rϕ ∈ L(V 2(0)), u parubaza (e, e).
Matrični zapis linearnog operatora
Primjer
Neka je A ∈ L(R3) definiran s
A(x1, x2, x3) = (x1, x2, 0)
(A se može shvatiti kao projektor na xy−ravninu). Ako je ekanonska baza u R3, odredimo matrični zapis operatora u parubaza (e, e).
Matrični zapis linearnog operatora
Propozicija
Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , neka je x ∈ V i A ∈ L(V,W ). Tada je
[Ax]f = [A]fe [x]e.
Propozicija
Neka su redom e = {e1, . . . , en}, f = {f1, . . . , fm} ig = {g1, . . . , gl} baze vektorskih prostora V , W i X, neka jeA ∈ L(V,W ) i B ∈ L(W,X). Tada za operator BA ∈ L(V,X)vrijedi
[BA]ge = [B]gf [A]
fe .
Matrični zapis linearnog operatora
Propozicija
Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , neka je x ∈ V i A ∈ L(V,W ). Tada je
[Ax]f = [A]fe [x]e.
Propozicija
Neka su redom e = {e1, . . . , en}, f = {f1, . . . , fm} ig = {g1, . . . , gl} baze vektorskih prostora V , W i X, neka jeA ∈ L(V,W ) i B ∈ L(W,X). Tada za operator BA ∈ L(V,X)vrijedi
[BA]ge = [B]gf [A]
fe .
Matrični zapis linearnog operatora
Napomena
Isprva se definicija matričnog množenja uvijek čini kao zamřsen ineintuitivan koncept. Sad, nakon prethodnih dviju propozicija,vidimo stvarnu prirodu te definicije. Matrično množenje je,zapravo, i definirano tako kako jest upravo zato da bismo imalipravila računanja kakva su iskazana u prethodnim dvjemapropozicijama.
Matrični zapis linearnog operatora
Propozicija
Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , te neka je A ∈ L(V,W ). Tada je
r(A) = r([A]fe ).
Korolar
Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e = {e1, . . . , en} bazaza V . Operator A ∈ L(V ) je regularan ako i samo ako je [A]eeregularna matrica.
Matrični zapis linearnog operatora
Propozicija
Neka su e = {e1, . . . , en} i f = {f1, . . . , fm} baze vektorskihprostora V i W , te neka je A ∈ L(V,W ). Tada je
r(A) = r([A]fe ).
Korolar
Neka je V vektorski prostor nad F i neka je e = {e1, . . . , en} bazaza V . Operator A ∈ L(V ) je regularan ako i samo ako je [A]eeregularna matrica.
Matrični zapis linearnog operatora
Teorem
Neka je A ∈ L(V,W ) i neka su e = {e1, . . . , en}, e′ = {e′1, . . . , e′n}te f = {f1, . . . , fm}, f ′ = {f ′1, . . . , f ′m} po dvije baze prostora V ,odnosno W . Neka su operatori T ∈ L(W ) i S ∈ L(V ) definiranina bazama f , odnosno e, s
Tfi = f ′i , i = 1, . . . ,m,
iSej = e′j , j = 1, . . . , n.
Tada je
[A]f′
e′ = ([T ]ff )−1[A]fe [S]
ee
Matrični zapis linearnog operatora
Definicija
Matrica[S]ee = [I]
ee′ ,
zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e′.
Korolar
Neka je A ∈ L(V ), neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n}dvije baze za V te neka je [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e
u bazu e′. Tada je
[A]e′
e′ = ([S]ee)−1[A]ee[S]
ee
Matrični zapis linearnog operatora
Definicija
Matrica[S]ee = [I]
ee′ ,
zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e′.
Korolar
Neka je A ∈ L(V ), neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n}dvije baze za V te neka je [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e
u bazu e′. Tada je
[A]e′
e′ = ([S]ee)−1[A]ee[S]
ee
Matrični zapis linearnog operatora
Korolar
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada je
([S]ee)−1 = ([I]ee′)
−1,
matrica prijelaza iz baze e′ u bazu e.
Korolar
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada za svakivektor x iz V vrijedi
[x]e′= ([S]ee)
−1[x]e.
Matrični zapis linearnog operatora
Korolar
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada je
([S]ee)−1 = ([I]ee′)
−1,
matrica prijelaza iz baze e′ u bazu e.
Korolar
Neka su e = {e1, . . . , en} i e′ = {e′1, . . . , e′n} dvije baze za V , nekaje [S]ee = [I]
ee′ , matrica prijelaza iz baze e u bazu e
′. Tada za svakivektor x iz V vrijedi
[x]e′= ([S]ee)
−1[x]e.
Matrični zapis linearnog operatora
Primjer
Neka je e kanonska baza u R2, a e′ = {e′1, e′2}, e′1 = (2,−1),e′2 = (−1, 1). Neka je operator A ∈ L(R2) zadan s
A(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2)
te neka je x = (1, 1). Izračunat emo [Ax]e i [Ax]e′.
Matrični zapis linearnog operatora
Definicija
Neka su A,B ∈Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici Aako postoji regularna matrica S ∈ GL(n,F) takva da je
B = S−1AS.
Korolar
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Matrični prikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.
Matrični zapis linearnog operatora
Definicija
Neka su A,B ∈Mn(F). Kažemo da je matrica B slična matrici Aako postoji regularna matrica S ∈ GL(n,F) takva da je
B = S−1AS.
Korolar
Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ).Matrični prikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.
Recommended