UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS
ESCOLA NORMAL SUPERIOR Disciplina: Cálculo III
Professora: Geraldine Silveira Lima http://matematica-no-mundo.webnode.com
Livro: Cálculo B – Mirian Buss Gonçalves/Diva Marília Flemming 28. Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
a) 2 5 b) 1 sin 1 cos c) d) 3 2 2 e) 10 sin sin 5 f) 2 3
29. Encontrar uma função potencial para o campo , no domínio especificado: a) , , , ,
em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem
b) , , , , em qualquer domínio simplesmente conexo que não contém a origem
c) , , em . Respostas: 28. a) não; b) sim cos c) não; d) é conservativo em domínios simplesmente conexos que não contém pontos da reta ; ln3 ² ² ; e) Sim; 5 ² cos ; f) Sim; 2 3 29. a) ⁄ b) ln c) Cap. 5, Exercícios 5.2 Nos exercícios de 5 a 19, calcular as integrais curvilíneas.
3.z xe 9z²y² x²ssuperfície das ointersecçã a é onde , ds z)-y(x 5 ∫
=+=++C.C
4.z e 9y²x²z ssuperfície das ointersecçã a é onde , ds y)(x 6 ∫
==+=+ C.C
).3(1, a (2,0) de 4y² x²nciacircunferê da arco o é onde , ds2xy 7 ∫
=+C.
C
quadrante. 1 0,a, ay xdehipociclói da arco o é onde , ds x8 323232
2∫ °>=+C.C
.C.C
^^^
3 jcost)-(12isent)-2(t(t).r ciclóide da arco1 o é onde , ds y 9 ∫ +=°
2y e 116
z9y
16x ssuperfície das ointersecçã a é onde , ds )zy(x 10
222
222∫
==++++ C.
C
(0,0,1). e(0,1,1)(1,1,1),(1,0,1), vérticesde quadrado o é onde , ds z)y(x 11 ∫
C.
C++
. 1by
axelipse a é onde , ds xy 12 2
222
∫ =+C.C
).121B(
até A(0,1) de y² Gauss de crva da parte a é onde , ds )2x-(1 xy13 2-x
22∫e,
,eC.C
=
(1,1/2). a (0,1) de x11ypor dada curva a é onde , ds x41
xy 14 2 42
2∫ ,Cy. C +=+
1.y e -1y4,x0, xretas pelas formado retângulo o é onde , ds yx 15 ∫
====+ C.
C
5z plano do abaixo está que1y e yxz ssuperfície das ointersecçã da parte a é onde , ds 1)-y(x 16 22
∫
==+=+ C.
C
4z e 8 xssuperfície das ointersecçã a é onde , ds z)-y(x 17 222
22∫
==+++ zzyC.
C
5.17. figura da triânguloo é onde , ds y)-(x 18 ∫
C.C
5.18. figura da ferênciasemicircun a é onde , dsy 19 ∫
2 C.
C
Exercícios 5.4
Q(-1,0). até P(3,4) ponto do reta linha em partícula umadeslocar para )3y
1,2x1( força pela realizado trabalhooCalcular 1 ++=
→f.
(2,1/2). ponto ao (1,1) ponto do x1y curva da longo ao partícula
umadeslocar para )y1,x
1(y)(x, força pela realizado trabalhoo Determinar 2 →
==f.
5.34. figura na mostrado é C onde C, de longo ao partícula uma sobre kzi2 força pela realizado trabalhooCalcular 6→→→→ ++= jxf.
).B(2,0,4 ponto ao A(2,0,0) ponto do nt,2t)(2cost,2se(t).rpor dada hélice da longo ao partícula umadeslocar para )zx,(y,z)y,(x, força pela realizado trabalhoo Determinar 7
^2→
==f.
3
2 2
- r8. Um campo de força é dado por (x,y) , onde r (x,y). Sob a ação dessecampo, uma partícula desloca-se sobre a curva x 4 16, no sentido anti-horário,do ponto A(4,0) ao ponto B(0,2). Deter
f ry
minar o trabalho realizado por nesse deslocamento.
f
quadrante. 1 no está que 4 x circulo do parte quarta a horário, sentido no descreve, material ponto um quandocampo, desse trabalhooAchar x.dos positivo eixo-semi no direção a temque força, de unidades 4 a igual modulo de , força umapor formado é campo Um.9
22
→
°=+ ,y
f
quadrante. 1 no 1164x elipse da parte a
horário,-anti sentido no descreve, força dessa aplicação de ponto o se s,coordenada das origem a relação em ponto do oafastament ao lpropociona é grandeza cuja s,coordenada das origem à dirigida variável,força uma de trabalhooAchar .10
22 °=+ y Nos exercícios de 11 a 17 determinar a integral curvilínea do campo vetorial →f , ao longo da curva C dada.
horário-anti sentido no (1,-1)(1,1),(-1,1),(-1,-1), vérticede quadrado o é C ; y),x(y)(x, 11→ =f.
B(0,2,2) ponto ao A(2,1,0) ponto o une que reta de segmento o é C ; xz)y,,(xz)y,(x, 122→ =f.
(4,2) ponto ao (0,0) ponto do ,y xparábola da arco o é C ; xy)y,(xy)(x, 13 22→ ==f. (4,2) ponto ao (0,0) ponto o une que reta de segmento o é C ; xy)y,(xy)(x, 14 2→ =f.
horário.-anti sentido no orientada yz e 02y-y xssuperfície das ointersecçã a é C ; z)y,(x,z)y,(x, 1522→ ==+=f.
[-1,1]∈ t, it(t)por dada curva a é C ; y)(x,y)(x, 16 →3→2→→ jtrf. +==horário.-anti sentido no orientado 2,z plano no 369 xelipse a é C ; xy)xz,(-yz,z)y,(x, 17
22→ ==+= yf. Nos exercícios de 18 a 25 calcular as integrais curvilíneas dadas:
horário.-anti sentido no(1,1)(0,1),(0,0), vérticesde triânguloo é onde , ydy][xdx 18 ∫
C.
C+
B(1,1).ponto ao A(-3,-1) ponto do 1-2y xreta de segmento o é onde ,dy x 19 ∫
=C.
C
].[0,2 t, nt,8t)(4cost,4se(t)por dadocircular hélice de arco o é onde , dz]zdyydx[x 20
→ 222∫
∈=++
rC.
C
percurso. de sentido possíveis dois osCosiderar 0.8z- e 8zy ssuperfície das ointersecçã a é onde , xdz]-ydy[zdx 21
222 ∫
=++=++
zyxC.
C
B(-2,5,0). ponto ao A(2,5,0) ponto do x-4 e 5zy ssuperfície das ointersecçã a é onde , dz]dy[dx 22
2 ∫
==+++
zC.
C
,4).12B(2, ponto ao ,4)12A(2,- ponto do 2 e xz ssuperfície das ointersecçã a é onde , dz]dy[xdx 23 22
∫
=+=++
xyCzy.
C
].[0,2 x; 4z ;senx ypor dado é onde , xydz]-zdy[ydx 24 ∫
∈==+ C.C
].0[-1, ∈ x; xypor dado é onde ,dx y 25 2 ∫ =Ce.C
xy
(-1,-2). a a(0,1) (0,0) de poligonal a c)(-1,-2). a (0,0) de -2xy parabólica a tragetória b)
(-1,-2); a (0,0) de reta de segmento o a): é onde , 2y)dy](x-dx[x I integral aCalcular 26
2
∫
=
+= Ce.C
x
(3,3,1)C onde B, CA poligonal )y; xe z ssuperfície das ointersecçã b)
pontos; dois os une que reta de segmento a):caminhos seguintes dos longo ao B(1,1,2) ponto ao A(0,0,0) ponto do , ,3z)x(2xy, vetorialcampo do integral aCalcular 27
22
2→
==+=
=
cyx
f.
5.37. e 5.36 5.35, figuras nasmostrado é , de longo ao dz]cosy dy zdx[ I integral aCalcular 31 ∫
Ce.
Cx ++=
Exercícios 5.6
∫c)b,(a,
(0,0,0)
→→→ R ∈ cb,a, onde integral da valor o e para potencial função umadeterminar positivo, caso Em vo.conservati é vetorialcampo o seVerificar 2
,rd.ff.
xy)8y,xz(yz, z)y,(x, a) → +=f)z)y(x,z)y(x,z)y((x z)y,(x, b) 343434→ ++++++=f
2x,8xy)y,4y(3x z)y,(x, c) 22→ ++=fcosz)seny,senz),-(cosy( z)y,(x, d) → xxx eeef +=
.(2x,2y,2z) z)y,(x, e) → =f
B(1,2,-1). ponto ao A(1,1,0) ponto o une que caminhoqualquer de longo ao dado, vetorialcampo o é onde , integral aCalcular 3 →
C
→→ frd.f. ∫^^^→ kysenz)-(z jcosz)(2x i2y)(senx a) ++++=f
^^^→ ky)(2xz jz)( i)( b) 22 +++++= zyzx eeeef^^23^22→ k2yz)(x j)z2xyx3
2( iz)y(2x c) +++++++= yf
valores.seus determinar e integração de caminho do tesindependen são integrais as queVerificar 3.
∫ +(5,3)(1,1)
ydy)(xdx a)
∫(2,1)
(0,0)dy)seny dx cosy (- b) xx ee +
∫ ++(1,0,1)(0,1,1)
2 dz 2 dx xdx2xy c)
∫ +(2,2,3)(-1,0,0)
dz)(dy d)
∫(1,2,3)
(1,1,1)223 3(x )dy -(z dx 2xsenz [ e) ]dz)yzzcose y +++
dz)eeeedxe zyzyy 2-(1,1,1)
(-1,0,0)2-(y)dy(x f) +++∫
)dysenxedxxcose yy (g)
,1)(
(0,0)∫ +
22
7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa (yz,xz,xy 1)nos seguintes deslocamentos:a) ao longo da elipse x 9 , no sentido anti-horário, do ponto A(3,0) ao 4B(0,6);b) ao longo d
f
y
2
2 2
o arco de parábola x y -1 , z 2, do ponto A(-1,0,2) ao pontoB(3,-2,2)c) ao longo do caminho fechado pelas curvas y x e x y , no sentidoanti-horário.
2 2 2 2Cx y8. Calcular [ ], ao longo dos seguintes caminhos:x x
a) circunferência de centro (2,0) e raio 1 no sentido anti-horário ;1b) (t) (t, ) , t [1,4];t
c) circunferêcia de centro na orig
dx dyy y
r
em e raio 1, no sentido anti-horário.
? B atéA de reta linha em partícula umadeslocar para força mesma pela realizado trabalhoao igualou menor maior, é trabalhoEste .B(-2,-1,0) ao
A(-1,-2,0) ponto do x2y curva da longo ao particula umadeslocar para
1)xy,,(yz força pela realizado trabalhoo Determinar 12
→
→
f
,eeef. xzxzxz
=+=
5.49. e 5.47,5.48 Figuras nas dada é C onde x
x xy-[ Calcular 14 22
C22∫ ],dyydxy. +++
Exercícios 5.8 Nos exercícios de 1 a 11 calcular as integrais curvilíneas dadas usando o teorema de Green.
horário.-anti sentido no(2,0) e (1,2)(0,0), vérticesde triângulodo longo ao , y)dy](4x [x 1
C2∫ ++dx.
horário.-anti sentidono 19 xelipse da longo ao (2x2y)dx-[lnx 2. C
22 ,y]dy)e y =+++∫
horário.-anti sentido no (0,2), e (3,2) (3,0),(0,0), vérticesde retângulo do longo ao4x)]dx -(lny dx )x-4[(y 3.
C22∫ ++
horário. sentido no D(1,2), e C(3,2)B(2,0),A(0,0), vérticesde amaparalelogr do longo ao 2)ln(y-8 (-2x 4.
C2 )dyydx∫ ++
horário.-anti sentido no D(2,3) e (4,4)B(3,2),A(1,1), vérticesde amaparalelogr do longo ao xydy),dx(x 5.
CC∫ +
horário.-anti sentido no04yy xnciacircunferê a é C e )3xy y,(-3x onde 6. 2222→→→ =++=∫ f,rd.f
C
horário.-anti sentido noC(2,2) e B(3,1)A(0,1), vérticesde triânguloo é C e (y,0) onde 7.
C
→→→∫ =f,rd.f
horário.-anti sentido no164 xelipse a é C e )224(x onde 8. 22222→
C
→→ =++++=∫ yyxx,xyf,rd.f
horário.-anti sentido no xy parábola a e1 x0,y retas pelas formado contorno o é C onde dy) x dx y( 9.
2C ===+∫
horário.-antisentido no C(1,0) e B(-3,1)A(-1,2), triânguloé C onde )dy]1( 10.
C++∫ yy edxe[
horário.-anti sentido no (0,1) e (1,1)(1,0),(0,0), vérticesde quadrado o é C onde dy] )y1(x dx )y [( 11.
C223∫ ++++xe
.2seny , 6cos xelipse da área aCalcular 12. ==5.56. Figura da área aCalcular 13.
2 22 2
2 2 2 2
14. Determinar a área entre as elipses:x ya) 4x 4 e 19 4
) x 9 -2 -18 1 0 e x -2 4 -8 4 0y
b y x y x y y
Respostas: