RAZONAMIENTO MATEMATICO 4º
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Enunciado. Es toda frase que expresamos en la vida cotidiana o mediante símbolos matemáticos. Ejemplos:
1. Lima no es una ciudad del Perú 2. ¡Qué pena, perdimos el viaje! 3. Varga Llosa gano el premio Nobel 2010 4. ¿Cuántos años tienes? 5. x+2 es un número Real 6. n + 8 >8
Proposición Es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F); pero no ambas
simultáneamente. Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p; q; r; s; t;
etc. (llamadas variables proposicionales).
Observaciones: OBSERVACION 1
Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamación, son expresiones no
proposicionales.
Ejemplos:
a) ¿Qué es la geometría?
b) b) Prohibido fumar
c) c) ¡Hola qué tal!
OBSERVACION 2
Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" y los símbolos x, y, z. No tienen la propiedad de ser verdadero
o falso, es decir, no son proposiciones. Sin embargo, si a una de estas palabras y símbolos se le asigna un
determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se
les denomina enunciados abiertos.
Ejemplos:
a) Él está estudiando ingeniería,
b) x + 4 > 9
Así en (a), si la variable se remplaza por la constante Manuel tenemos "Manuel está estudiando ingeniería"; que
es una proposición cuyo valor de verdad (V o F), depende de que si Manuel esté estudiando o no.
De igual manera en (b), si la variable x se remplaza por un número mayor que 5 el enunciado se convierte en
una proposición verdadera, o si el remplazo se hace por un número menor que 5, la proposición resulta falsa.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº1 APELLIDOS Y NOMBRES………………………………………………….SECCIÓN: A, B, C ,D, E, F FECHA: …….MARZO 2012 TIEMPO: 2 HORAS
Razonamiento y demostración Identifica y define enunciados y proposiciones
Es una parte de la lógica que tiene por objeto de estudio la proposición y la relación entre ellas, así como la
función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos
ESCRIBE TRES ENUNCIADOS NO PROPOSICIONALES 1. ……………………………………………………………………………………………………………………………. 2. ……………………………………………………………………………………………………………………………. 3. …………………………………………………………………………………………………………………………….
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I. INSTRUCCIÓN escribe dentro de los paréntesis si los enunciados son: “ PROPOSICION” “NO
PROPOSICIONAL “ “ENUNCIADO ABIERTO”
1. 4 + 8 = 12
2. ¿Eres estudiante de química? (_____________________)
3. 8 < 5 (_____________________)
4. ¡Arriba Perú! (_____________________)
5. x + 3 = 11 (_____________________)
6. x es abogado (_____________________)
7. 8 - 3 * 5 (_____________________)
8. Manuel es ingeniero (_____________________)
9. x + y < 6 (_____________________)
10. Ponga atención (_____________________)
II. INSTRUCCIÓN Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones: 1. 4 + 6 = 13 -3 (_____________________)
2. Los hombres no pueden vivir sin oxígeno. (_____________________)
3. x + 6 = 12 (_____________________)
4. 2 x 5 = 10 + 2 y 7 - 3 * 8 x 2 (_____________________)
5. ¿El silencio es fundamental para estudia (_____________________)
RESUELVE EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
1. Define con tus propios términos:
a) Enunciado
b) Enunciado proposicional
c) Enunciado abierto
2. Elabora 5 enunciados no proposicionales
3. Elabora 5 enunciados abiertos
4. Elabora 5 enunciados proposicionales
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INSTRUCCIÓN
ENCIERRA DENTRO DE UN CIRCULO LA ALTERNATIVA CORRECTA
1) 3 es divisor de 15
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
2) La elipse es una figura geométrica.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
3) Abre la puerta
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
4) ¡Qué susto!
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
5) 8 es un número par
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
6) Los animales cuadrúpedos tienen 4 patas
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
7) Benito compró una bicicleta o una moto
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
8) El símbolo de la plata es Ag
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
9) Pedro es ingeniero
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
10) Pedro es un hombre
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
11) La tierra es plana.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
12) −17 + 38 = 21
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
13) x > y-9
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
14) Hola ¿como estas?
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
15) Los hombres son mortales
d) Enunciado PROPOSICIONAL
e) Enunciado ABIERTO
f) Enunciado NO PROPOSICIONAL
16) Cuba es una isla en el Pacífico
g) Enunciado PROPOSICIONAL
h) Enunciado ABIERTO
i) Enunciado NO PROPOSICIONAL
17) 2 + 2 = 4
j) Enunciado PROPOSICIONAL
k) Enunciado ABIERTO
l) Enunciado NO PROPOSICIONAL
18) Ollanta Humala es el presidente de Guatemala
m) Enunciado PROPOSICIONAL
n) Enunciado ABIERTO
o) Enunciado NO PROPOSICIONAL
19) Ollanta Humala no es el presidente de Guatemala y
sí es el presidente de Perú
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
20) Huaraz es la capital del Perú
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
Razonamiento y demostración Identifica y define proposiciones de una lista de enunciados
APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN: FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 20 MIN
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INSTRUCCIÓN
ENCIERRA DENTRO DE UN CIRCULO LA ALTERNATIVA CORRECTA
1) Todas las gallinas son aves
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
2) ¿Crees en los ovnis?
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
3) Quisiera viajar por el mundo
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
4) Parece que llegarán a tiempo
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
5) ¡Fuego!, ¡Fuego! Ayúdanos, Señor.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
6) Tegucigalpa es la capital de Honduras
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
7) 2 + 2 = 4
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
8) El Sol es una estrella
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
9) el perro corre en el parque
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
10) Dolly fue la primera oveja clonada.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
11) El átomo es una molécula.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
12) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
13) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería!
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
14) Valentín es bueno.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
15) El triángulo es polígono de tres lados.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
16) Eduardo es ingeniero
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
17) Quito es la capital de Loreto.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
18) Quisiera que me regalen un libro.
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
19) La suma de dos números impares es un número par
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
20) ¡Señoras y señores! En el escenario, el fútbol femenino
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
Razonamiento y demostración Identifica y define proposiciones de una lista de enunciados
APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN: FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 20 MIN
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº2 APELLIDOS Y NOMBRES………………………………………………….SECCIÓN: A, B, C ,D, E, F FECHA: ……..…….MARZO 2012 TIEMPO: 4 HORAS
Los términos “y", "o", "no", "si... entonces..:" y "si y sólo si", se llaman conectivos lógicos porque sirven para
UNIR dos o más proposiciones simples o compuestas. Los símbolos son.
Símbolo Nombre Lenguaje común
~ Negación “no”, “no es cierto que” “no es el caso que”
Conjunción “y”, pero, sin embargo, además, aunque, no obstante
Ѵ Disyunción inclusiva “o”
Disyunción exclusiva “o”, “o... o...”
Condicional “si... entonces...”, “si... dado que...”, “... siempre que...”
Bicondicional “sí y solo sí”
PROPOSICION SIMPLE Una proposición es simple o atómica si en ella no existe conectivo lógico alguno. Son proposiciones simples por ejemplo, las siguientes: p: La puerta es de madera (V) q: -6 es un número natural (F) r: 8 + 7 = 15 (V) s: El cuadrado tiene 5 lados (F)
PROPOSICIÓN COMPUESTA Una proposición es compuesta o molecular si en su conformación existe al menos un conectivo lógico. Son proposiciones compuestas por ejemplo las siguientes: Si: 3 x 6 = 18 entonces 6 x 3 = 18
La selección bien gana o pierde El pentágono es un polígono regular si y sólo si sus 5 lados tienen igual medida y sus ángulos también de igual medida.
I. Escribir la representación simbólica de la proposición compuesta
1. Mario es bueno y es alto.
Razonamiento y demostración Analiza tabla de verdad de proposiciones compuestas
𝑝⋀𝑞
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2. No es verdad que Mario no es bueno o que no es alto"
q
3. SI p = "José es médico", q = "José es dentista" r = "Fidel es ingeniero". Escribir cada una de las siguientes proposiciones en Forma simbólica.
A. José es médico y Fidel es ingeniero.
B. Si José es médico o Fidel es ingeniero, entonces José es dentista.
C. José no es médico; pero Fidel no es ingeniero.
D. Si Fidel es ingeniero y José no es dentista, entonces José es médico.
II. Si: p = "José es médico", q = "José es dentista" y r = "Fidel es ingeniero".
Escribir en forma de oración el significado de las siguientes proposiciones. A. p ~q
José es médico y no es dentista
B. (~p v q) r ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
C. p ~ q ………………………………………………………………………………………………………………………………
D. r => (p v q) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Responde las siguientes preguntas desarrollando en tu cuaderno de trabajo
I. Dadas las siguientes proposiciones: p : Estudio sistemáticamente q : Obtendré buenas calificaciones en Álgebra r : Voy a bailar todos los fines de semana s : Me sentiré feliz
𝑝 ∨ 𝑞
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Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas: A. r⇒ s B. p⇒ ( q s) C. q p D. (p r )⇒ q
II. Dadas las siguientes proposiciones:
p : Los Bancos Hipotecarios bajan a un 6 % los intereses de los préstamos q : La venta de casas y departamentos experimentará un alza significativa r : Disminuirá la demanda de arriendo de casas y departamentos Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas.
A. p⇒ ( q r ) B. ( q r ) C. ( p ⇒ r ) D. p⇒ ( q r )
1. Conjunción ( ) Une dos proposiciones mediante el término “y”
Ejemplo:
Juan es estudiante y juega fútbol
Tabla de valores de verdad de la conjunción
p q p ⋀ q
V V V
V F F
F V F
F F F
2. Disyunción Débil o Inclusiva (∨)
Une dos proposiciones mediante el término “o”
Ejemplo:
Juan irá al cine o al estadio
p: Juan irá al cine
q: Juan irá al estadio En símbolos p ѵ q
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
p: Juan es estudiante
q: Juan juega fútbol En símbolos p q
La Conjunción es verdadera solo cuando
ambas proposiciones son verdaderas
La disyunción débil es falsa cuando los dos
componentes son falsas; en los demás casos es
verdadera”.
Además si ambas componentes son verdaderas, la
disyunción débil es verdadera, por esto se llama
también disyunción inclusiva.
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Disyunción fuerte o Exclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo.
Ejemplo:
Einstein era Peruano o Judío
P: Einstein era Peruano
q: Einstein era Judío En símbolos p q
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
3. Condicional ()
Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces”
Ejemplo:
Si trabajas entonces tendrás dinero
P: Trabajas
q: Tendrás dinero En símbolos p q
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
4. Bicondicional ()
Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...”
Ejemplo:
Serás profesional si y solo si estudias
5. Negación (~)
Cambia el valor de verdad de la proposición
Ejemplo:
No es cierto que Juan sea ingeniero y médico
P: Juan es Ingeniero
q: Juan es médico En símbolos ~(p q)
Observaciones:
1. ~(~ p) = p
2. p q ~(p q)
3. Cuando las proposiciones compuestas tienen más de 2 conectivos, se usan SIGNOS de agrupación.
Ejemplo:
a) (p ѵ q) r
b) p [p ѵ (q r)]
La disyunción fuerte es verdadera
cuando sólo una de las componentes es verdadera; en los demás casos es falsa”. Además si ambas componentes son verdaderas, la disyunción fuerte es falsa, por esto se llama disyunción exclusiva
“El condicional es FALSO cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso; en los demás casos es verdadero”
P: Serás profesional
q: Estudias En símbolos p q
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
“El bicondicional es VERDADERO cuando
las dos componentes tienen igual valor de
verdad; en los demás casos es falso”.
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Una tabla de verdad es un esquema de filas y columnas que presentan los valores de verdad de las variables y los conectivos que intervienen en un esquema molecular. Evaluar un esquema consiste en determinar los valores de verdad del conectivo principal. JERARQUIA DE CONECTORES LOGICOS
La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional y la disyunción fuerte y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante la siguiente proposición:
El correcto para resolverlo sería para este caso: 1. Primero negamos
2. Luego resolvemos la conjunción
3. Por ultimo resolvemos la implicación.
RESULTADOS DE UNA TABLA
De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos que:
TAUTOLOGÍA.- Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos.
Ejemplo: La proposición “p ( p q )” es una tautología, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.
p q p ( p q )
V V V V V
V F V V V
F V F V V
F F F V F
CONTRADICCIÓN.- Cuando los valores del operador principal son todos falsos.
Ejemplo: La proposición “( p q ) ~ q” es una contradicción, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.
p q ( p q ) ~ q
V V V F F
V F F F V
F V F F F
F F F F V
4.2.3. CONTINGENCIA o CONSISTENCIA.-
Cuando los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsedad.
Ejemplo: La proposición “( p q ) ~p” es una contingencia, tal como lo puedes comprobar en su tabla de verdad.
p q ( p q ) ~ p
V V V F F
V F V F F
F V V V V
F F F V V
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DESARROLLA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD EN TU CUADERNO DE TRABAJO
1. Construir una tabla de verdad para (p) (p v q) q e indica de qué se trata:
a) Tautología b) Contradicción d) Contingencia
2. Construir una tabla de verdad para p (p) ( q) e indica de qué se trata:
a) Tautología b) Contradicción d) Contingencia
3).- Halla los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
I.- ( 2 + 5 = 7 ) ( 3 – 1 = 4 )
II.- ( 3 + 5 = 8 ) ( 4 + 2 = 7 )
III ( 4 – 0 = 0 ) ( 6 – 4 > 1 )
IV. ( 5 + 4 < 9 ) ( 2 + 5 = 8 ) a) VFFV b) FVVF c) VFVF d) FFVV e) VFVV
3. Dadas las proposiciones lógicas:
p : 51 es un número primo. q : 5 es un número racional. r : 81 es un cuadrado perfecto.
Halla los valores de verdad de:
I.- (~p q) (r p)
II. ~(p q) (q ~r)
a) VV b) VF c) FV d) FF e) Faltan datos.
4. Si la proposición compuesta: (p ~q) (~t s) Es falsa, halla los valores de verdad de “p”, “q”, “t” y “s” respectivamente.
a) VVFF b) VFFF c) FFVV d) VFFV e) FFFV
5. Si la siguiente proposición: (~p q) (~q r) Es falsa, halla los valores de verdad de:
I.- (~q p) (p ~r)
II. (p ~r) (q ~p)
a) VV b) FV c) VF d) FF e) Faltan datos.
6. Si la siguiente proposición: ~q p) (~p r) Es verdadera, halla los valores de verdad de:
I.- (q ~r) p
II. (~p ~q) (p r)
a) FF b) VF c) VV d) FV e) Faltan datos.
7. Construir una tabla de verdad para p(p) e indica de qué se trata:
a) Tautología b) Contradicción d) Contingencia
8. Construir la tabla de verdad de: (~p q) (p ~q) e indica de qué se trata:
a) Tautología b) Contradicción d) Contingencia
9. Hallar la tabla de verdad de: (pq)(pq) e indica de qué se trata:
a) Tautología b) Contradicción d) Contingencia
10. Construir la tabla de verdad de: (p ~q) (~p q) Luego indica cuál de las proposiciones
siguientes es verdadera. I. Es una contingencia. II. Es una contradicción. III. Hay tres valores de verdad. IV.Hay dos valores de falsedad.
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y IV e) I y III
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11. Construir una tabla de verdad para (pq)p e indica de qué se trata:
a) Tautología b) Contradicción d) Contingencia
12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I.- ( 3 + 7 10 ) ( 4 x 0 = 4 )
II.- ( 12 + 5 <15 ) ( 5 > -10 )
III ( 7 x 1 = 7 ) ( 12 9 + 3 ) a) I y II b) II y III c) Sólo I d) Sólo II e) Sólo III
13. Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta: (~p q) (p q)
y dar el resultado.
a) FFVV b) FVVV c) FVVF d) VVVF e) VVFF
14. Al construir la tabla de verdad de: (p ~q) (p ~q) El número de valores verdaderos en el
resultado es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
15. Sabiendo que: (r q) ~p Es falsa, halla los valores de verdad de:
I.- (p r) (~q t)
II. ~(~p q) (r q)
a) VV b) VF c) FV d) FF e) Faltan datos.
16. La siguiente proposición compuesta: ~(q p) (p ~q) es una:
a) Tautología b) Contingencia d) Contradicción
17. De las siguientes proposiciones:
I.- 5 + 2 = 8, además: 4 < 5 II.- 2 < -2, si y sólo si: 3 + 8 < 4 + 6 III 6 . 0 = 0 en consecuencia: 4 . 1 = 1
Indica los valores de verdad respectivos.
a)VVF b) FFF c) FVF d) VFF e) VFV
18. La siguiente proposición compuesta: (p ~q) (p q) es una :
a) tautología b) contingencia c) contradicción d) equivalencia e) disyunción