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LOS TIPOS DE PRUEBA EN LA
ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA.
DIFERENTES NIVELES DE ACTIVACIÓN EN
EL AULA MULTIGRADO
Adriana de la Cruz Mauricio [email protected]
Griselda González Arriaga [email protected]
Francisco Javier de la Rosa Vázquez [email protected]
Escuela Normal Rural "Gral. Matías Ramos Santos"
RESUMEN
Esta ponencia forma parte de un
proyecto de investigación más amplio -del que
se desprende una tesis doctoral y otra de
licenciatura- en el que se toma como
perspectiva teórica el Espacio de Trabajo
Matemático específico del subdominio de la
geometría, es decir, el Espacio de Trabajo
Geométrico (ETG) que orientó el diseño de una
propuesta de formación de profesores para la
enseñanza de la geometría en escuelas
multigrado. La metodología que sustenta este
estudio es de corte cualitativo, la información
se recuperó con las videograbaciones de las
sesiones y los productos realizados por los
sujetos participantes. A partir de la aplicación
de una situación didáctica que incluye tareas
para primero, segundo y tercer grados de la
educación primaria, se analizan los criterios
que se utilizan para clasificar triángulos en
función de los tipos de pruebas que presentan
los sujetos. Los resultados muestran que al
diseñar tareas en las que se demanden
pruebas acordes con el nivel cognitivo del
alumno, se logra un razonamiento geométrico
significativo, lo que da cuenta de la importancia
de activar las diversas génesis de un ETG.
PALABRAS CLAVE: Geometría, formación de profesores, pruebas, triángulo.
INTRODUCCIÓN
La presente ponencia es resultado de un primer análisis que forma parte del trabajo
conjunto de dos tesis, una doctoral y otra de licenciatura, ambas se inscriben en la perspectiva
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sobre el trabajo matemático y la didáctica de la geometría de Houdement y Kuzniak (2006),
que se denominada Espacio de Trabajo Matemático. En esta perspectiva se asume como
hipótesis fundamental que, a través de la actividad matemática el sujeto configura un
constructo teórico respecto al objeto y el contenido matemático en cuestión. En este sentido,
en el presente trabajo nos referiremos al Espacio de Trabajo Matemático en el subdominio
Geométrico (ETMG) o simplemente al Espacio de Trabajo Geométrico (ETG). De igual
manera, se destaca el trabajo en el aula multigrado y la dificultad que el profesor enfrenta al
diseñar situaciones que le permitan abordar un mismo contenido geométrico con grados de
escolaridad distintos. Es importante mencionar que ambas tesis sólo se cruzan en algunos
momentos del proceso. El caso específico de este análisis, corresponde a una tarea diseñada
en la tesis doctoral, pero que fue aplicada con sus alumnos de prácticas por una profesora en
formación que cursa el octavo semestre de la Licenciatura en Educación Primaria.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La modalidad de educación multigrado se caracteriza por el hecho de que un solo
profesor atiende en una misma aula a estudiantes de diferentes grados y por lo tanto de
diversas edades, experiencias de vida, niveles de desarrollo cognitivo, etc. De acuerdo con
el número de maestros que tienen las escuelas multigrado, se pueden clasificar como
“unitarias” si tienen un solo maestro para todos los seis grados escolares; “bidocentes” si
tienen dos maestros; “tridocentes” si tienen tres, y “tetra” y “pentadocentes” si tienen cuatro y
cinco profesores respectivamente, aunque en estas últimas algunos grupos ya no son
propiamente multigrado.
Según datos proporcionados por el Instituto Nacional para la Evaluación Educativa
(INEE, 2017), actualmente en México existen 98 771 escuelas primarias y el 58.3%, esto es
43 289 son multigrado. En el estado de Zacatecas (que es donde se desarrolla este estudio)
6 de cada 10 escuelas primarias son multigrado, en total son 2 522 escuelas de este tipo en
la entidad. Estas cifras dan cuenta de la necesidad de formar a los futuros docentes de
manera tal que puedan desarrollar una práctica efectiva en estos contextos escolares.
Ahora bien, una de las dificultades que enfrentan los profesores de escuelas multigrado
es la atención simultánea a distintos grados, haciendo modificaciones al programa de
estudios para poder favorecer los distintos aprendizajes esperados. Sobre el respecto,
Rodríguez (2004) señala que “mientras que algunos docentes atienden a cada grado por vez
asignando actividades específicas a cada grupo; otros desarrollan una misma actividad para
todos los grados tratando de manejar el nivel de dificultad” (p.135) además muchos optan por
priorizar la atención en alguno o algunos grados, por ejemplo, en los alumnos de los ciclos
superiores que están por terminar la primaria, y esperan “promocionar” a la escuela
secundaria. Otros atienden preferentemente a los pequeños que inician su escolarización
descuidando a los grados intermedios. En sus investigaciones Weiss (2000) distingue tres
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modalidades básicas de organización didáctica del multigrado: actividades separadas para
cada grado, actividades conjuntas para los grados y actividades en conjunto y por separado.
En este sentido, es pertinente reflexionar, ¿de qué manera puede el profesor en el aula
multigrado, abordar de manera conjunta los contenidos geométricos, respetando el nivel
cognitivo de los estudiantes?
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
Toda actividad matemática escolar debe plantear el análisis y reflexión desde la
perspectiva del estudiante y del profesor. Se debe considerar el saber matemático que están
desarrollando los alumnos, cómo lo adquieren y consolidan; asimismo, el docente debe tener
claridad sobre los procesos de enseñanza para plantear a los alumnos tareas que demanden
situaciones significativas para el desarrollo de su pensamiento matemático. Bajo esta noción
retomamos la Teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM), definido por Henríquez y
Montoya (2016) como “un ambiente organizado que permite el trabajo de las personas que
resuelven tareas matemáticas, el cual se constituye por dos planos, cognitivo y
epistemológico, en relación directa con los objetos matemáticos del dominio en juego” (p. 47).
El ETM está compuesto de dos planos: el epistemológico y el cognitivo; de los cuales se
desprenden distintos componentes en torno a la tarea matemática. En el plano cognitivo están
presentes los procesos de visualización, construcción y prueba, y en el epistemológico, el
representante, artefactos y referencial.
En un ETM se articulan diferentes dominios disciplinares (geometría, estadística,
aritmética, álgebra, etc.) ligados a la naturaleza de los objetos estudiados, pero
fundamentalmente es necesario conocer los principios epistemológicos de estas diferencias
(Kuzniak, 2011). Las tesis de investigación que orientan el presente análisis, están
interesadas en el aporte que realiza Kuzniak (2006) con el dominio geométrico del ETM, es
decir en el Espacio de Trabajo Geométrico ETMG.
Espacio de Trabajo Geométrico (ETMG)
Kuzniak (2016) se refiere al Espacio de Trabajo Geométrico como “un ambiente
organizado para permitir el trabajo de las personas que resuelven problemas geométricos” (p.
239). Dichas personas pueden ser estudiantes o bien profesores que trabajan en el proceso
de enseñanza y aprendizaje; permitiendo así, recurrir a distintos elementos que ayuden a
comprender el enfoque y trabajo de la geometría desde ambas perspectivas.
Al igual que el ETM, el ETG se representa mediante un esquema que permite conocer
los planos, componentes y génesis que se activan, además de la articulación entre ellos. En
la siguiente figura se puede apreciar el proceso de interrelación.
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Figura 1. El espacio de trabajo geométrico y su génesis.
Fuente. (Kuzniak, 2011)
El espacio de trabajo geométrico es articulado por dos planos; epistemológico y
cognitivo. El primero se refiere a la construcción del saber geométrico y se articula por los
componentes de visualización, construcción y prueba. El plano epistemológico se describe
como la concepción que el individuo tiene del modelo geométrico y la intuición y abstracción
de lo que se hace del objeto, los componentes que lo integran son; un espacio real y local, un
conjunto de artefactos y un sistema teórico de referencia. Estos dos planos están
estrechamente ligados y articulados por tres génesis: la génesis figural que es el proceso
semiótico asociado al pensamiento visual que se opera en geometría; la génesis instrumental
que permite hacer operatorios los artefactos en el proceso constructivo y; la génesis
discursiva que da sentido al referencial teórico (definiciones, propiedades) para ponerlo al
servicio del razonamiento matemático (Kuzniak, 2011). Estas génesis constituyen un modelo
dinámico que permite un aprendizaje geométrico donde se hace necesaria la activación de
las tres génesis desde cada plano y sus componentes, los cuales pueden separarse para su
análisis, pero no siempre para la actividad geométrica.
Por esta posibilidad de separar los componentes para su análisis, en este estudio
analizaremos lo concerniente al componente de prueba. En ese sentido, el ETG se
complementa con el aporte de Balacheff (1987) sobre el proceso de prueba que hace
referencia a las actividades de razonamiento mediante las que los alumnos desarrollan la
capacidad para elaborar conjeturas o procedimientos de resolución de un problema que
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después tendrán que explicar, probar o demostrar a partir de argumentos que puedan
convencer a otros de su veracidad.
La prueba
La prueba es conceptualizada por Balacheff (2000) como: “una explicación es
reconocida y aceptada (…) hace referencia a un proceso social por el cual un discurso que
asegura la validez de una proposición cambia de posición siendo aceptada por una
comunidad” (p. 12). De acuerdo con Balacheff (2000), en el trabajo matemático surgen
explicaciones que son aceptadas o no por una comunidad (carácter social), aquellas que son
aceptadas por la comunidad” constituyen las pruebas, que pueden ser pragmáticas o
intelectuales. A este esquema de trabajo intelectual es lo que nosotros entenderemos por
proceso de prueba.
Pruebas pragmáticas
Balacheff (2000) menciona que las pruebas pragmáticas están ligadas a la acción y a
la experiencia, hay en ellas una presencia de saberes prácticos ya que las justificaciones son
realizadas mediante el material concreto o la representación del objeto. Este tipo de prueba
se caracteriza por el uso de ejemplos como elementos de convicción y la utilización del
lenguaje natural. Entre las pruebas pragmáticas se encuentran las siguientes (Balacheff,
2000; citado en Henríquez, 2014, p. 59-60):
Empirisme naïf: cuando la persona valida después de verificar casos particulares.
Experimento crucial: toma en cuenta la problemática de la generalidad y la resuelve
mediante un caso en particular.
Ejemplo genérico: cuando se justifica la afirmación considerando un ejemplo concreto
como representante de los que pertenecen a dicha afirmación.
Pruebas intelectuales
Las pruebas intelectuales provienen de una forma particular de razonar en la que se
articulan argumentos y cadenas de argumentos expresados en una lengua simbólica, hay en
ellas un pasaje a lo algebraico y se dejan de lado los objetos materiales y su relación con la
experiencia material (Henríquez, 2014). Entre las pruebas intelectuales se encuentran las
siguientes.
Experiencia mental: cuando el razonamiento se independiza de la representación
particular.
Demostración: cuando la validación se apoya en conocimientos institucionales,
conjuntos de definiciones, teoremas, etc., y se funda en una lógica formal.
Cálculo sobre el enunciado: se ubica entre la experiencia mental y la demostración, no
tiene características de una demostración, pero tampoco las de una experiencia
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mental. No tiene ejemplos ni dibujos, utiliza el razonamiento con propiedades
explícitas, aunque no todas ciertas.
Transición de las pruebas pragmáticas a las intelectuales
Como se ha mencionado, las pruebas pragmáticas marcan el comienzo del
acercamiento a la demostración, son actividades que parten de la lógica de los alumnos y el
orden jerárquico en el que se presentan permite determinar una creciente complejidad hasta
llegar a las pruebas intelectuales, pero ¿Cómo se presenta la transición de una prueba
pragmática a una intelectual? Balacheff (2000) menciona que:
Recurrir a la experiencia mental marca verdaderamente la transición de las pruebas
pragmáticas a las pruebas intelectuales, en la medida en que las pruebas pasan de ser
acciones efectivas a acciones interiorizadas puestas en práctica. Las acciones
interiorizadas se encuentran en la génesis de las operaciones que serán necesarias
para la elaboración de pruebas de un nivel más alto. Las pruebas basadas en un
ejemplo genérico constituyen un estado intermedio en la medida en que decidir el
carácter genérico del ejemplo no puede hacerse sino en virtud del uso que se hace del
ejemplo. (p. 28)
La transición de una prueba pragmática a una intelectual implica un cambio en el uso
del nivel de formalismo; del lenguaje natural y del lenguaje simbólico, y esto debe hacerse
intencionadamente. Para que el lenguaje pase de lo familiar, de la mera descripción a un
lenguaje funcional, se requiere: la descontextualización de los ejemplos, lo que permite una
generalidad; la despersonalización, a fin de que los resultados no dependan de la persona
que realiza la demostración y; la destemporalización para que sea posible la demostración
(Balacheff, 2000). El profesor debe tener claro el tipo de prueba que solicitará al alumno, para
lograr paulatinamente un avance en los niveles de activación y que el alumno pase de una
prueba pragmática a una intelectual.
METODOLOGÍA
La metodología utilizada es de corte cualitativo y su ruta de aplicación tuvo que ver con
la propuesta de formación para el profesor multigrado con base en el ETG a través de una
situación didáctica, de la cual se derivan tareas que se asignan a los sujetos de estudio de
acuerdo a su nivel cognitivo en 1°, 2° y 3° grado de educación primaria. En ellas se reflejan
las implicaciones en un área de trabajo geométrico que se instruye en y a través de la
didáctica; aportando un plus a la misma, el aula multigrado. Este conjunto de elementos da
lugar a la construcción de una categoría de análisis que es el contenido fundamental de este
trabajo, categoría denominada tipos de pruebas. La propuesta de formación es parte de la
fase experimental de una tesis doctoral y, una de las tareas incluidas en esa propuesta fue
aplicada en una escuela multigrado bidocente durante las jornadas de práctica por una
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profesora en formación que cursa el octavo semestre de la Licenciatura en Educación
Primaria. El análisis que aquí se presenta es parte de la tesis de licenciatura de dicha
profesora.
La situación didáctica se desarrolló en tres sesiones y los resultados presentados son
de una de ellas cuya duración fue de 40 minutos, la recuperación de la información se logró
a partir de videograbaciones y evidencias registradas en hojas de trabajo, donde es posible
identificar los resultados de los participantes en su interacción con la tarea geométrica. Los
datos que se derivan de estos instrumentos permiten un análisis que da cuenta de una
investigación de corte cualitativo.
En la sesión seleccionada de la cual deriva el análisis, se observa la presencia de un
saber geométrico ligado a la clasificación de triángulos bajo el criterio del tamaño de sus
lados. Por ello, para el caso del primer grado (Ver figura 2) se les proporcionó una hoja con
imágenes de diferentes triángulos esperando que a partir de la visualización icónica
identificarán las características descritas en el enunciado dado por la profesora. Para el caso
de segundo y tercer grado (Ver Figura 3) la tarea busca que, a partir de la activación de la
génesis figural y empleando la visualización icónica, los alumnos clasifiquen los tipos de
triángulos con base en las medidas de sus lados, la idea es que los alumnos generen
explicaciones que reflejen el razonamiento geométrico adquirido, es decir una prueba.
RESULTADOS
Como ya se mencionó en la fundamentación teórica, para construir un conocimiento
geométrico es necesario que se activen las tres génesis del ETG. En lo que respecta al saber
geométrico presente, la clasificación de triángulos según sus lados, de acuerdo con
Thompson (1993), si los tres lados de un triángulo tienen la misma longitud se llama triángulo
equilátero, si dos lados son iguales pero el tercero es diferente se llama triángulo isósceles y
los triángulos que tienen sus lados desiguales se llaman triángulos escalenos. El análisis se
focaliza en el tipo de prueba que se solicita al alumno para conocer el nivel de construcción
del saber, para ello se retoman dos casos en correspondencia con los dos tipos de pruebas
solicitados en las tareas, en cada caso, cómo se verá más adelante, se describe la activación
de las génesis figural e instrumental dentro del proceso de prueba.
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Análisis del caso 1
Tabla 1. Elementos de análisis del caso 1.
Análisis de la prueba.
Propósito de la
tarea geométrica
(Prueba)
Se pretende que los alumnos de 1°
clasifiquen los triángulos
considerando el tamaño de sus
lados, aplicando los conocimientos
adquiridos durante la sesión.
Instrucciones:
Colorea de amarillo los triángulos que
tienen sus lados igualitos.
Colorea de verde los triángulos que
tienen sus lados diferentes.
Colorea de rojo los triángulos que tienen
dos lados iguales y uno diferente.
Génesis figural Corresponde al componente de visualización en el plano cognitivo, pone en
juego la visualización icónica al identificar los triángulos para su posterior
análisis.
Génesis
instrumental
Se activa al utilizar como artefactos los tres colores sugeridos para identificar
los diferentes triángulos y realizar el proceso de construcción en la prueba.
Génesis
discursiva
Para probar la tarea el alumno debe identificar que existen tres tipos de
triángulos bajo el criterio de la medida de sus lados, no se le solicita el nombre
de cada tipo de triángulo, ya que en primer grado no se espera que reconozca
los nombres pero sí que identifique algunas figuras geométricas planas
elementales y describa sus características con un lenguaje natural. La prueba
solicitada es Empirisme naïf, ya que para su resolución recurre a la acción y
después verifica casos particulares, este tipo de prueba dentro de la jerarquía
que menciona Balacheff es una de las primeras formas de generalización.
Como se observa en el producto (Figura 2), el alumno identifica los triángulos
de manera correcta, lo que indica que cumple con el aprendizaje esperado de
la sesión.
Paradigma El paradigma privilegiado es el de Geometría Natural (GI)
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Figura 2. Actividad propuesta para el primer grado (Caso 1).
En el caso 1, la visualización icónica se propicia mediante las ilustraciones de los
triángulos, con la indicación de iluminar las figuras de color distinto de acuerdo al tamaño de
los lados, es que se solicita la prueba. La cual corresponde a Empirisme naiff (Empiricismo
ingenuo), en ella las conjeturas se obtienen de examinar pocos casos y el problema de su
validez no es abordado. En el producto mostrado podemos darnos cuenta que el alumno logra
relacionar el enunciado: colorea de amarillo los que tiene sus lados igualitos con la figura que
corresponde, en este caso el triángulo equilátero, sin embargo, la solución es esencialmente
empírica a partir del conocimiento que ya posee pero la comprensión y diferenciación entre
cada uno de las figuras en lo particular, requeriría que los estudiantes involucraran un proceso
complejo de definición de objetos, por ejemplo, el nombre de cada uno o la medición de todos
los casos.
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Análisis del caso 2
Tabla 2. Elementos de análisis del caso 2.
Análisis de la prueba
Propósito de la
tarea geométrica
(Prueba)
Después de haber trabajado distintas
actividades en la sesión, se solicita que los
alumnos clasifiquen los triángulos según sus
lados y reconozcan sus nombres y
características.
Instrucciones:
Coloca el nombre a cada uno
de los siguientes triángulos.
Marca con una X en la tablita
según la clasificación del
triángulo.
Génesis figural La entrada perceptiva a la tarea geométrica de la prueba es la visualización
icónica y no icónica. En la actividad 1 (Ver figura 3), se recurre a la no icónica
ya que a través de un enunciado discursivo sobre los triángulos y la
clasificación según sus lados, el alumno recurre a la construcción para
deducir el nombre del triángulo y sus características. En las dos tareas
restantes está presente la visualización icónica, pues se presenta una serie
de triángulos.
Génesis
instrumental
En lo experimental, el artefacto simbólico utilizado es la tipología de triángulos
que le permitirán dar respuesta al problema. Para la construcción se usa el
lápiz, en tanto entidad intermedia.
Génesis
discursiva
Para que el alumno valide el saber en juego, se pide que exprese una prueba
de Experiencia Crucial, a diferencia del caso de primer grado aquí no solo
valida, sino que deduce generalidades, plantea explícitamente el problema
de la generalización y lo resuelve, aventurándose a la ejecución de un caso
que reconoce tan poco particular como le es posible.
Se plantean dos tareas geométricas. En la actividad 1 se le pide identificar y
escribir qué tipo de triángulo se muestra y en la actividad 2 se le pide clasificar
y nombrar (equiláteros, escalenos e isósceles) los triángulos que se muestran
en una imagen (Ver figura 3).
Paradigma El paradigma que se privilegia es el de Geometría Natural (GI)
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Figura 3. Actividad propuesta para segundo y tercer grado (Caso 2).
A diferencia del caso 1, en esta evidencia el niño debe asociar el nombre del triángulo
con la clasificación del mismo según sus lados. El conocimiento que se refleja en la primera
actividad se relaciona en la actividad siguiente, ya que pasa de nombrar a un triángulo en
particular, a clasificar otros triángulos que reúnan la misma condición. En contraposición con
la prueba del caso 1, el problema de la generalización no solamente se toma en cuenta, sino
que debe tratarse para clasificar los demás correctamente, aunque siga permaneciendo en
un marco empirista. Es así que se observa que el alumno identifica los triángulos relacionando
su nombre con la propiedad geométrica, es decir con la medida de sus lados, sin embargo,
en la clasificación presenta inconsistencias, ya que no ubica correctamente todos los
triángulos, posiblemente esto tiene que ver con en el proceso de visualización y la no
presencia de la construcción, ya que reconoce la clasificación y las características de los
triángulos, pero no logra completar la tabla correctamente. Para pasar al nivel superior de
prueba sería necesario hacer explícitas las características de los objetos en juego.
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CONCLUSIONES
A través del análisis de los dos casos se destaca la importancia que el maestro
reconozca el tipo de prueba que debe solicitar en cada una de las tareas geométricas según
sea el nivel cognitivo y el grado que estudian los alumnos, puesto que, si reconoce tal
importancia podrá generar condiciones para que se dé el tránsito de las pruebas pragmáticas
a las intelectuales. Esta situación resulta un factor decisivo para el aprendizaje en el aula
multigrado, pues, aunque se estudie el mismo contenido con diferentes grados, no es
deseable solicitar el mismo tipo de prueba a alumnos con diferente nivel cognitivo.
En correspondencia con esta idea, se ha visto como al alumno de primer grado solo
se le solicita identificar los distintos tipos de triángulos de acuerdo al tamaño de sus lados sin
reconocer sus nombres o características específicas, mientras que a los alumnos de 2° y 3°,
se les pide como prueba que reconozcan características de los triángulos que permiten
clasificarlos con base en la medida de sus lados. Se puede concluir entonces que el diseño
de tareas geométricas en las que se soliciten tipos de prueba que consideren el nivel cognitivo
de los alumnos, generan posibilidades para que los estudiantes desarrollen significativamente
su razonamiento geométrico. También es evidente que la capacidad de expresar una u otra
prueba tiene que ver con la importancia de activar las génesis del ETG. Con base en lo
anterior, podemos concluir hasta el momento, que la propuesta de formación de profesores
para la enseñanza de la geometría es un aporte significativo para el trabajo en el aula
multigrado.
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REFERENCIAS
Balacheff, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. Universidad de los
Andes, Bogotá, Colombia,
Henríquez, C. (2014). El trabajo geométrico de profesores en el tránsito de la geometría
sintética a la analítica en el nivel secundario. Tesis doctoral. Pontificia Universidad
Católica de Valparaíso. Chile.
Houdement, C. y Kuzniak, A. (2006) Paradigmes géométriques et enseignement de la
géométrie. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 11, pp. 175-193. IREM
de Strasbourg.
Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (2017). Proyecto Nacional de
Evaluación y Mejora Educativa de Escuelas Multigrado (PRONAEME).
Kuzniak, A. (2011). L'espace de travail mathématique et ses génèses. Annales de Didactique
et de Sciences Cognitives, 16, 9–24.
Kuzniak, A., Montoya, E. y Vivier, L. (2016). Cuadernos de Investigación y Formación en
Educación Matemática. 2016. Año 11. Número 15. pp 235-249. Costa Rica
Rodríguez, Y. (2004). Estrategias de enseñanza docente en escuelas multigrado. Educación
y procesos pedagógicos y equidad: cuatro informes de investigación. GRADE, Lima.
Thompson, J. (1993) Geometría. México, D.F.: Limusa.
Weiss, E. (2000). La situación de la enseñanza multigrado en México. Perfiles Educativos,
Vol. XXII, núm. 90, pp. 57-76. Instituto de Investigaciones sobre la Universidad y la
Educación Distrito Federal, México.