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Ecuaciones
EvelynDelPezoIzaguirre,Msig.
Ecuaciones
EDCOM-ESPOL
2
Unaecuacinesunaexpresin:
Establece un planteamiento posible de verificarse, el mismo que es unaigualdad.
Sisedaunplanteamientodondeenlugardelsignoigualestnlosderelacin,entoncesesunaINECUACIN:
4x+5 = 23
2
5x+3= 4 9
x+ 4 > 6
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Ecuaciones
EDCOM-ESPOL
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4x+5=2-3Paraestecaso,conHeneunavariable(letraX),lamismaquedebedespejarsepara saber que valor puede tomar, de tal menara que al reemplazarla en laecuacin,laigualdadsecumpla.Pasosaseguir:1. Agrupartrminossemejantesacadalado(laxaunladodelaecuacinylos
losnmerosenelotro.)2. A medida que cambie un trmino al lado contrario del signo igual, este
cambia,porejemplo:
SiesposiHvopasaalladocontrariocomonegaHvoyviceversa
SimulHplicapasaalladocontrariocomodivisin,yviceversa.
Ecuaciones
EDCOM-ESPOL
4
Elejercicioquedara:
4x+5=2-3 (laxalaizquierdaylosnmerosaladerecha)
4x=2-3-5
4x=-6
x=-6/4
x=-3/2
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Ecuacioneslineales
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Sellamanecuacioneslinealesalasexpresiones
ax+b=0 (laxalaizquierdaylosnmerosaladerecha)
aybsonconstantes
aesdiferentedecero
Una ecuacionLINEALselaconocetambincomogrado1,yaquelapotenciamsaltadesuvariableeslaunidad.
Propiedadesdelasumayresta
Seulizapararesolverecuacionesdelaforma
x+a=b x-a=b
x=ba x=b+a
Eslaqueaplicamosalmomentodehacerelpasodetrminosaladoscontrariosdelaigualdadodesigualdad.
EstapropiedaduHlizalosinversosadiHvosonegaHvossegnconvenga,quesonlosnmeroscontrariosaldado,detalmaneraquealescribirlosaambosladosdelaecuacin,estanosealtera.
InversonegaHvode4es-4
6
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Propiedadesdelasumayresta
x+2=5
x+2-2=5-2
X=52
X=3
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paraquenosealterelaecuacinalinsertarel
inverso negavo que es - 2 lo escribo en
amboslados,yluegoreduzco
x-8=19
x-8+8=19+8
x=198
x=11
P a ra e st e e je mp l o
u li z o e l i n v e rs o
adivoquees+8
EDCOM-ESPOL
Propiedadesdelamultiplicacinydivisin
Seulizapararesolverecuacionesdelaforma
EscuandoidenHficolosrecprocosdeunnmero.
Unnmeroesrecprocodeotrosisuproductoes1. CEROnoHenerecprocoElrecprocoesequivalenteadecirelinversomulplicavo
8
x a = b
x =b
a
x
a= b
x = b a
4 1
4=
4
4=1
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Otraformadepresentarlasecuaciones
En cualquier aspecto de nuestra vida prcHca nos podemos encontrar conecuaciones,taleselcasode:
SedeseareparHr$4.545entretrespersonas,demaneraquelaprimerarecibaelduplodelasegundaylaterceraeltriplodelaprimera.Cuntocorresponderacadauna.
EDCOM-ESPOL
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Persona#1:2xPersona#2:xPersona#3:6x
2x+x+6x=45459x=4545x=4545/9
x=505
Persona#1:2(505)=$1.010Persona#2:505=$505Persona#3:6(505)=$3.030
Ecuacionescon2variables
EDCOM-ESPOL
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EntreAyBHenen$84.SiApierde$16yBgana$20,ambosHenenlomismo.CuntoHenecadauno.
Observe que los planteamientos estn dados en funcin de otra ecuacin,cuandoesasreemplazamosunadentrodeotra.
PersonaA:A-16PersonaB:B+20
A-16=B+20
84B-16=B+20-B-B=20+16-84-2B=20+16-84
-2B=-48B=24
ParaobtenerA,simplementereemplazovalores:
A+24=84A=84-24
A=60
AmbosHenenlomismo: A-16=B+20Luegonosdicen: A+B=84
DespejandoAquedara: A=84-B
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RaznoRelacin
EsunacomparacinentredoscanHdadesqueseobHenendedosmaneras:
RestandoambascanHdadesRaznARITMTICAyseescribe
a-b a.b
DividiendoambascanHdadesRaznGEOMTRICAyseescribe: a:ba%b
IndisHntamentedelHposeleeaesab
Endondeaeselantecedente,beselconsecuente,ambossonlostrminosdelarazn
19
a
b
EDCOM-ESPOL
Consideraciones
CuandonoseespecificalaraznsesobrenHendequeesgeomtrica. Lascomparacionespormediodeunaraznsehacenenunidadesdelmismo
Hpo. Por ejemplo, para expresar la relacin entre 6 m y 30 cm ambascanHdades deben expresarse en la misma unidad. Entonces, la forma
apropiadaparaestarelacines600cm:30cm,no6m:30cm.
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RaznGeomtrica
La razn geomtrica o razn por cociente, se obHene dividiendo ambasvalores, sinembargoportemade facilitar lainterpretacin,se sugieresesimplifiquehastaobtenersumnimaexpresin.ElresultadoindicalasvecesqueunacanHdadconHeneaotra,oestcontenidaenotra.
RaznGeomtrica:
Dacomoresultado25,porque4vecesestcontenidoel25en100
21
100
4= 25
EDCOM-ESPOL
EjemplosdeRaznGeomtrica
Unapersonaquehatomadouncursorpidodelecturalee400palabrasporminuto,mientrasqueunlectornormallee250.
Laraznsera:400:250
Simplificandoobtenemos:
Interpretandoresultadossera: lapersona quetomel curso delectura rpidalee8palabrasporminutoenrelacinalnormalquelee5
22
400
250
400
250=
8
5
EDCOM-ESPOL
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JuanharunprstamoyrevisandosuscuentasobservaqueHenecomocapital$100,sinembargosusdeudasasciendena$40.Aplicandolaraznsera:Interpretandolosresultados: Porcada$2quedebeJuan,
Hene$5dlarespararesponder
100
40=
5
2
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Proporcin
Eslaigualdaddedosrazones.
a:b=c:d
Queselee"aesabcomocesad
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a
b=
c
d
medios
extremos
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PropiedadfundamentaldelaProporcin
EnunaproporcinsecumpleSIEMPREqueelproductodelosextremos(ayd)esigualaldelosmedios(byc).
25
400
250=
8
5
4012
= 103
Recuerdan que se mencion SIMPLIFICAR a DIVIDIR por facilidad de interpretacin deresultados, pues esa simplificacin nos lleva a obtener fcilmente la proporcin y alcumplimientodeestapropiedad.
EDCOM-ESPOL
ProporcinDirecta
Dosvariablesestnenproporcionalidaddirectasisucocientepermanececonstante:
26
x
y= k
20
4= 5
30
6= 5
Sidivido20para4suresultadoes5
IncrementandolamitaddesuvaloraXyY,tendremos:
EDCOM-ESPOL
SisuproporcinseincrementaequitaHvamenteenXyY,seguirdando5comococienteoresultado.
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ProporcinDirecta:Ejercicioaplicado(1de2)
EDCOM-ESPOL
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Uncarroconsumeen16km1galndegasolina,cuntosgalonesconsumirsiensuviajedeberecorrer240km? Establezcoelplanteamientocomounaecuacin,asignandounavariableal
valorquemepidenhallar
Analizo el Hpo de cada proporcin: cada relacin dada deben tener igualsigno
16km
240km
1galn
x
Amenoskilmetrosderecorrido,menosgalonesconsumo;Amskilmetros,deberconsumirmsgasolina.
km
+km=
galones
+galones
EDCOM-ESPOL
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Uncarroconsumeen16km1galndegasolina,cuntosgalonesconsumirsiensuviajedeberecorrer240km?MulHplicoendiagonaltrminosopuestos(kmygalones)yluegodividoparaelelementosobrantequemepermiHrsimplificartrminoscomunes(km)
x =1galn 240km
16km=15galones
EstoesloqueconocemoscomounaREGLADE3SIMPLEDIRECTA
16km
240km
1galn
x
ProporcinDirecta:Ejercicioaplicado(2de2)
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ProporcinDirecta:conceptoversusejercicioaplicado
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Siloanalizamosenfuncinalconcepto,elvalordesucocienteesconstanteenlarelacin:
16
1=16
240
15=16
x
y= k
16km
1galn
=
240km
15galones
ProporcinIndirecta
Dosvariablesestnenproporcionalidadindirectasisuproductopermanececonstante:
30
x y = k
35=15
3, 75 4 =15
SimulHplico3*5suresultadoes15
SiincrementoenXel25%desuvalorydisminuyoen Y el 20% de su valor, seguir dando 15 comoproductoresultante
EDCOM-ESPOL
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ProporcinIndirecta:Ejercicioaplicado(1de2)
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Unacasademora en construirse 16 semanas trabajando 10 personas,cuntodemorarn15personasenhacerla Establezcoelplanteamientocomounaecuacin,asignandounavariableal
valorquemepidenhallar
Analizo el Hpo de cada proporcin: cadarelacin dada deben tener signoscontrarios
10personas
15personas
16semanas
x
Mientrasmenospersonastrabajen,sedemorarnmsHempo;Siseincrementaelnmerodepersonasenlaobra,elHempodisminuir.
personas
+personas
+semanas
semanas
EDCOM-ESPOL
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Unacasademora en construirse 16 semanas trabajando 10 personas,cuntodemorarn15personasenhacerla
MulHplico horizontalmente trminos opuestos (personas y semanas) y luegodivido para el elemento diagonal sobrante que me permiHr simplificartrminoscomunes(personas)
x =10semanas 16personas
15personas=10,66semanas
EstoesloqueconocemoscomounaREGLADE3SIMPLEINDIRECTA
10personas
15personas
16semanas
x
personas
+personas
+semanas
semanas
ProporcinIndirecta:Ejercicioaplicado(2de2)
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PorporcinIndirecta:ConceptoversusEjercicioaplicado
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Siloanalizamosenfuncinalconcepto,elvalordesusproductosesconstanteenlarelacin:
10 16 =160 1510,66 =160
x y = k
10personas
15personas
16semanas
10,66semanas
10personas
16semanas
15personas
10,66semanasEscribiendolarazn,finalmentequedara:
Ecuacionesde2do.grado
Esunaecuacinquepuedeserescritaenlaforma.
ax2+bx+c=0
Dondea,bycsonnmeroreales aybsonloscoeficientesdex2yxrespecHvamente ceseltrminoindependiente
5x2+13x+6=0
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Ecuacionesde2do.grado
ax2+bx+c=0
PararesolverestasecuacionestenemosdosalternaHvas:
Factorizacin RazcuadrHca
EDCOM-ESPOL
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ResolucinporFactorizacin
Dadoelejercicio:
x2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
Siemprequeunproductodedosomsnmerosseacero,entonces,almenosunodelosnmerosHenequesercero.
x3=0;x+4=0
x=3;x=-4
EDCOM-ESPOL
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ResolucinporEcuacinCuadrtica
LaecuacincuadrHcapermiteresolverCUALQUIERecuacinde2dogrado:
Laexpresindentrodelsignoderazcuadrada,sellamadiscriminante,elmismo
Henelassiguientesconsideraciones:
EDCOM-ESPOL
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x =b b
24ac
2a
b2-4ac NmerodeSoluciones
PosiHvo DossolucionesrealesdisHntas
0 Unanicasolucin
NegaHvo NoHenesolucionesreales
EDCOM-ESPOL
40
4
5
8
102
38
241
8
717
8
4917
8
24028917
)4(2
)15)(4(4)17()17( 2
==
==
=
=
=
=
x
x
x
x
x
Resolver4x2-17x+15=0,dondea=4,b=-17yc=15
x =b b
24ac
2a
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17/17
16/11/12
17
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41
x=
(13) (13)24(5)(6)
2(5)
x=
(13) (13)24(30)
2(5)
x=
(13) 169+120
2(5)= x=
13 289
10
x= 1317
10
x1=4
10=
2
5
x2 =30
10= 3
Resolver5x2+13x+6=0,dondea=5;b=13;c=6
x =b b
24ac
2a