MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄTHALLE-WITTENBERG
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische FakultätFachbereich Ingenieurwissenschaften
Institut Umwelttechnik
Numerische Untersuchung des Schwingungsverhaltens von reibungsbehafteten Flüssigkeitssäulen mit freien Oberflächen
Studienarbeit
Inhalt
1 Bedeutung von Schwingungen
2 Grundlagen zu Schwingungen
3 Beschreibung des Schwingsystems
4 Berechnung der Eigenfrequenz
5 Numerische Simulation mit PHOENICS
6 Ergebnisse
von: Thomas Reichardt
Seite Studienarbeit 21 Bedeutung von Schwingungen
• in vielen Bereichen des täglichen Lebens
z.B. Ebbe und Flut, Tag und Nacht
• in der Physik
z.B. Uhrenpendel, Atom- und Gitterschwingungen, Superstringtheorie
• in der Raumfahrt
z.B. Resonanzschwingungen von Flüssigkeiten können zum Torkeln des Raumflugkörpers führen
• in der Medizin
z.B. Pulsschlag
• In der Verfahrenstechnik
z.B. zur Intensivierung des Stoffaustausches (in Extraktoren, Blasensäulen und Ionenaustauscherapparten)
Seite Studienarbeit 32 Grundlagen zu Schwingungen
• Definition von Schwingungsvorgängen– zeitlich-periodische Änderung einer physikalischen Größe um
einen Mittelwert– Energie wird hin- und herbewegt
• Systeme die zu einen Energieaustausch in der Lage sind werden Oszillatoren genannt.
• Die Periodizität des Energieaustausches wird durch die Frequenz, d.h. die Anzahl der Zyklen je Zeiteinheit beschrieben.
• Wird die Bewegung der Schwingung durch eine Cosinus- bzw. Sinus-Funktion beschrieben, liegt eine harmonische Schwingung vor.
Seite Studienarbeit 42 Grundlagen zu Schwingungen
• Einmalige Energiezufuhr → freie Schwingung, System schwingt mit einer konstanten Eigenfrequenz– keine Energie wird entzogen → freie ungedämpfte Schwingung
• Auslenkung schwankt zwischen zwei konstanten Maximalwerten (Amplituden)
– Reibung oder Energieverluste→ freie gedämpfte Schwingung• abnehmende Amplitude• Die Frequenz ist kleiner als die Eigenfrequenz der ungedämpften
Schwingung
• Wird dem Oszillator eine periodische Erregung mit einer Erregerfrequenz aufgezwungen, dann nennt man ihn Resonator, der dann eine erzwungene Schwingung ausführt.– wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz
(Resonanzfrequenz) des Schwingsystems ist, tritt Resonanz ein• Im ungedämpften Fall → Amplitude wächst unendlich an
(Resonanzkatastrophe)• Im gedämpften Fall → Amplitude steigt auf einen Maximalwert an
Seite Studienarbeit 52 Grundlagen zu Schwingungen
• Allgemeine Schwingungsdifferenzialgleichung:
• Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung:
mit der Lösung:
• Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung:
mit der Lösung:
202 cos( )y y y a t
20 0y y
202 0y y y Freie gedämpfte Schwingung
-0,15-0,1
-0,050
0,050,1
0,150,2
0,25
0 2 4 6 8 10
Zeit A
usl
enku
ng
Freie ungedämpfte Schwingung
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zeit
Aus
lenk
ung
)cos(ˆ)( 00 tyty
)cos(ˆ)( 0 teyty dt
Seite Studienarbeit 63 Beschreibung des Schwingsystems
• Für die durchgeführten Untersuchungen wurde ein schwingungsfähiges System in einer offenen „Rohr-in-Rohr“-Ausführung, ähnlich einem beidseitig offenem U-Rohr zugrungegelegt.
pb pb pb pb
σ
10
00
L2
100
dM
L2
L1
A1 A2
L 1
L = L1+L2
y
y
Seite Studienarbeit 73 Beschreibung des Schwingsystems
• Versuchsplanung– Variation der Ringspaltweite bei gleichen durchströmten Flächen
im Mantel- und Zentralrohr – Variation der durchströmten Flächen
– Vergleich der Eigenfrequenzen mit den Resonanzfrequenzen
Seite Studienarbeit 83 Beschreibung des Schwingsystems
• 3d-Modelle
AM halbiert AM=AZ AM verdoppelt
Seite Studienarbeit 94 Berechnung der Eigenfrequenz
• Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen gleicher Größe– Herleitung über den Energieerhaltungssatz für instationäre,
reibungsfreie Fadenströmungen inkompressibler Fluide
• Gleichheit der Querschnitte
• Drücke heben sich heraus, da gleich dem Umgebungsdruck
• Differenz des Flüssigkeitsniveaus wird ersetzt durch
• Da gleiche Flächen ergibt sich für das Integral die Länge des Flüssigkeitsfadens L
• Änderung der Spiegelhöhe mit der Zeit , bzw.
dLA
A
dt
dvzgpvzgpv 22
222
2112
1 22
0)( 1222 zzgdL
A
A
dt
dv
21 AA bppp 21
yzz 212
dt
dyv 2 2
22
dt
yd
dt
dv
Seite Studienarbeit 104 Berechnung der Eigenfrequenz
• die Differenzialgleichung lautet dann
oder
• für die Eigenfrequenz der freien ungedämpften Schwingung gilt:
02
2
2
L
yg
dt
yd
02
yL
gy
L
gf
2
2
1
20
0
Seite Studienarbeit 114 Berechnung der Eigenfrequenz
• Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen unterschiedlicher Größe
L
2
y2
L
1
y1
A1 A2
Seite Studienarbeit 124 Berechnung der Eigenfrequenz
– Herleitung über den Energieerhaltungssatz
• und
• Kontinuitätsbedingung eingesetzt in die
die Energiebilanz führt nach Umstellen zu folgendem Ausdruck:
• für die Differenz des Flüssigkeitsniveaus kann
geschrieben werden
• und mit folgt
dLA
A
dt
dvzgpvzgpv 22
222
2112
1 22
12 1
2
Av v
A
t
yv
2
112 A
Ayy
21 AA 21 vv
2
2 11 2
2 1 1 12 1 0
2 2
Av
A v dv Ag z z dL
dt A
2112 yyzz
Seite Studienarbeit 134 Berechnung der Eigenfrequenz
• Auflösen des Integrals
• mit und
• ergibt sich die Differentialgleichung
• Vernachlässigung des quadratischen Gliedes führt zu
dt
dyv 1
1 2
12
1
dt
yd
dt
dv
2 2
1 1 12
2 2112
1 11 2 1 2
2 2
1 1
0
2
A dy AgA dt Ad y
ydt A A
L L L LA A
0
1
1
2
121
2
1
y
A
ALL
A
Ag
y
Seite Studienarbeit 144 Berechnung der Eigenfrequenz
• Somit gilt
und für die Eigenfrequenz
2
121
2
1
20
1
A
ALL
A
Ag
2
121
2
1
00
1
2
1
2
A
ALL
A
Ag
f
Seite Studienarbeit 155 Numerische Simulation mit PHOENICS
• PHOENICS ist ein CFD-Softwarepaket mit dem folgende Strömungsvorgänge simuliert werden können:– stationäre und instationäre Strömungen– laminare und turbulente Strömungen– Strömungen kompressibler und inkompressibler Medien– Einphasensysteme oder Mehrphasensysteme– Berechnung von Partikelbahnen– Berechnung mit oder ohne chemische Reaktionen– Strömungsvorgänge durch Schüttschichten
Seite Studienarbeit 165 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Erhaltungsgleichungen– Grundlage der Berechnung bilden partielle Differential-
gleichungen für die Erhaltung der Masse, Energie und Impuls– Lösung erfolgt numerisch– Differentialgleichungen werden durch ein System von
algebraischen Gleichungen ersetzt (Diskretisierung)– In Phoenics erfolgt die Lösung mit der Finite-Volumen-Methode
• Finite-Volumen-Methode– Netz wird über das Berechnungsgebiet gelegt– es ergeben sich für jede Zelle (jedes Kontrollvolumen) sechs
Oberflächenintegrale– nach der Integration entstehen Bilanzgleichungen die eine
Lösung ermöglichen
Seite Studienarbeit 175 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Verfahren zur Bestimmung der Höhe von Flüssigkeiten bei freien Oberflächen (HOL-Verfahren)– zur Simulation von bewegten Schnittstellen (Flüssigkeit-Gas) – ist in PHOENICS im Unterprogramm GXHOL integriert– Position der Schnittstelle wird über die Markierungsvariable
VFOL ermittelt
VFOL : Volumenbruch der FlüssigkeitTMOL : gesamte Masse der Zellen in einer SpalteLMOL : Masse der Flüssigkeit vor der SchnittstellenzelleRHOL : FlüssigkeitsdichteCVOL : Zellvolumen
– VFOL kann Werte von 0 bis 1 annehmen 0 → Gas 1 → Wasser
CVOLRHOLLMOLTMOLVFOL /
Seite Studienarbeit 185 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Gitterausschnitt
PHOTON
Y
Z
Y
Z
Seite Studienarbeit 195 Numerische Simulation mit PHOENICS
• Ermittlung der Resonanzfrequenz– Einlesen der PHI-Dateien der einzelnen Varianten in Autoplot– Diagramm für die Variable VFOL erzeugt und Erfassung des
mittleren Wertes der Variable VFOL
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
VFOL
Z
Seite Studienarbeit 205 Numerische Simulation mit PHOENICS
– Messwerte wurden in Excel aufgenommen
– Bestimmung der Schwingungsdauer und des Abklingkoeffizienten für die jeweilige Variante
– Berechnung der Resonanzfrequenzen
– Nachbildung der Schwingungsfunktionen
Gleiche durchströmte Flächen bei der Ringspaltweite 0,025m
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Zeit [s]
Au
slen
ku
ng
[m]
Messwerte im Mantelrohr bei Auslenkung im ZentralrohrMesswerte im Zentralrohr bei Auslenkung im Zentralrohrnachgebildete Schwingungsfunktionobere Hüllfunktionuntere Hüllfunktion
Seite Studienarbeit 216 Ergebnisse
• Variation der Ringspaltweite – mit 0,005m; 0,015m; 0,025m; 0,035m und 0,05m– Grenzringspaltweite bei 0,025m, hier ist die durchströmte Fläche
im Ringspalt gleich der durchströmten Fläche im Zentralrohr– Auslenkung im Mantelrohr
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4
Zeit [s]
Au
slen
ku
ng
[m]
Ringspaltweite 0,015 mRingspaltweite 0,025 mRingspaltweite 0,035 mRingspaltweite 0,05 m
Seite Studienarbeit 226 Ergebnisse
– Auslenkung im Zentralrohr
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4
Zeit [s]
Au
slen
ku
ng
[m]
Ringspaltweite 0,005 mRingspaltweite 0,015 mRingspaltweite 0,025 mRingspaltweite 0,035 mRingspaltweite 0,05 m
Seite Studienarbeit 236 Ergebnisse
– Resonanzfrequenzen
• Auslenkung im Mantelrohr: größte Resonanzfrequenz bei 0,035m
Ringspaltweite
• Auslenkung im Zentralrohr: größte Resonanzfrequenz bei 0,025m
Ringspaltweite
σ[m]
Aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen bei gleichen durchströmten Flächen
fd [Hz] bei Auslenkung im Mantelrohr fd [Hz] bei Auslenkung im Zentralrohr
0,005 - 0,5
0,015 0,5134788 0,5158332
0,025 0,5786618 0,5775321
0,035 0,5849886 0,5227492
0,05 0,5284738 0,5284738
Seite Studienarbeit 246 Ergebnisse
– Animationen• Auslenkung der Flüssigkeit [m] zum Zeitpunkt Null im:
• Ringspaltweite [m]:
0,005 0,015
0,025
0,035
0,05
Mantelrohr: 0,5 Zenralrohr: 0,9
Seite Studienarbeit 256 Ergebnisse
• Variation der der durchströmten Flächen
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4
Zeit [s]
Aus
lenk
ung
[m]
Mantelrohrfläche verdoppeltgegenüber der Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imMantelrohr
Mantelrohfläche verdoppeltgegenüber der Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imZentralrohr
Mantelrohrfläche halbiert gegenüberder Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imMantelrohr
Mantelrohrfläche halbiert gegenüberder Zentralrohrfläche beiAuslenkung der Flüssigkeit imZentralrohr
Gleiche durchströmte Flächen imMantel- und Zentralrohr beiAuslenkung der Flüssigkeit imMantelrohr
Gleiche durchströmte Fläche imMantel- und Zentralrohr beiAuslenkung der Flüssigkeit imZentralrohr
Seite Studienarbeit 266 Ergebnisse
– Resonanzfrequenzen
• größte Resonanzfrequenz bei den Varianten, wo die Auslenkung der Flüssigkeit in dem Rohrraum mit der kleinsten durchströmten Fläche erfolgt
σ[m]
aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen
Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert
fd [Hz] bei
Auslenkungim Mantelrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim Zentralrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim Mantelrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim Zentralrohr
0,025 0,5389147 0,6102888 0,612769 0,5498805
Seite Studienarbeit 276 Ergebnisse
• Vergleich der Ergebnisse– Vergleich der Abklingkoeffizienten
σ[m]
gleiche Flächen Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert
δ bei Auslenkung
im Mantelrohr
δ beiAuslenkung
im Zentralrohr
δ beiAuslenkung
im Mantelrohr
δ bei Auslenkung
im Zentralrohr
δ beiAuslenkung
im Mantelrohr
δ bei Auslenkung
im Zentralrohr
0,005 - 1,3862944
0,015 0,6038682 0,6210491
0,025 0,5992839 0,5981139 0,6443042 0,7607315 0,6217748 0,5247986
0,035 0,5351949 0,413369
0,05 0,4103751 0,4103751
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
0,00
5
0,01
0,01
5
0,02
0,02
5
0,03
0,03
5
0,04
0,04
5
0,05
Ringspaltweite [m]
Abk
lin
gk
oeff
izie
nt
Abklingkoeffizient beiAuslenkung im Mantelrohr
Abklingkoeffizient beiAuslenkung im Zentralrohr
Abklingkoeffizient beiAuslenkung im Mantelrohr mitverdoppelter MantelrohrflächeAbklingkoeffizient beiAuslenkung im Zentralrohr mitverdoppelter MantelrohrflächeAbklingkoeffizient beiAuslenkung im Mantelrohr mithalbierter MantelrohrflächeAbklingkoeffizient beiAuslenkung im Zentralrohr mithalbierter Mantelrohrfläche
Seite Studienarbeit 286 Ergebnisse
• Vergleich der Ergebnisse– Vergleich der berechneten Eigenfrequenzen mit den
Resonanzfrequenzen
analytisch berechnete Eigenfrequenzen
über Energieerhaltungssatz mit L1=L2=0,7666m bzw. L1=L2=0,6333m
gleiche Flächen Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert
f0
[Hz]
f0 [Hz]
Auslenkungim Mantelrohr
f0 [Hz]
Auslenkungim Zentralrohr
f0 [Hz]
AuslenkungIm Mantelrohr
f0 [Hz]
Auslenkungim Zentralrohr
0,59570528 0,569216104 0,626273876 0,626273876 0,569216104
σ[m]
aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen
gleiche FlächenFläche im Mantelrohr Verdoppelt
Fläche im Mantelrohrhalbiert
fd [Hz] bei
Auslenkungim Mantelrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim
Zentralrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim
Mantelrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim
Zentralrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim
Mantelrohr
fd [Hz] bei
Auslenkungim
Zentralrohr
0,005 0,5
0,015 0,5134788 0,5158332
0,025 0,5786618 0,5775321 0,5389147 0,6102888 0,612769 0,5498805
0,035 0,5849886 0,5227492
0,05 0,5284738 0,5284738
Seite Studienarbeit 296 Ergebnisse
0,45
0,47
0,49
0,51
0,53
0,55
0,57
0,59
0,61
0,63
0,65
0,00
5
0,01
0,01
5
0,02
0,02
5
0,03
0,03
5
0,04
0,04
5
0,05
Ringspaltweite [m]
Fre
quen
z [H
z]Eigenfrequenz bei gleichen Flächen
Eigenfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit verdoppelterMantelrohrfläche
Eigenfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit verpoppelterMantelrohrfläche
Resonanzfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit gleichen Flächen
Resonanzfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit gleichen Flächen
Resonanzfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit verdoppelterMantelrohrfläche
Resonanzfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit verdoppelterMantelrohrfläche
Resonanzfrequenz bei Auslenkung imMantelrohr mit halbierterMantelrohrfläche
Resonanzfrequenz bei Auslenkung imZentralrohr mit halbierterMantelrohrfläche
Seite Studienarbeit 306 Ergebnisse
• schmale Hauptströmung und breite Rückströmung bei 0,015m Ringsp.
Seite Studienarbeit 316 Ergebnisse
• Geschwindigkeitsvektoren bei der Auslenkung im Mantelrohr und 0,015m Ringspaltweite
Seite Studienarbeit 326 Ergebnisse
• ebenfalls breite Rückströmung bei 0,005m Ringspaltweite
Seite Studienarbeit 336 Ergebnisse
• Wirbelbildung im Bereich der Ringspaltweite bei 0,035 und 0,05 m Ringsp.