i
MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH
SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI
SKRIPSI
OLEH :
FAUZIAH BAHARUDDIN
H 111 09 003
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2013
ii
ESAHAN
MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH
SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI
SKRIPSI
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Hasanuddin
Makassar
OLEH :
FAUZIAH BAHARUDDIN
H 111 09 003
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2013
iii
LEMBAR KEOTENTIKAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sesungguh-sungguhnya
bahwa skripsi yang saya buat dengan judul :
MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH
SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI
adalah benar hasil kerja saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah
dipublikasikan dalam bentuk apapun.
Makassar, 31 Mei 2013
iv
MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH
SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI
D i s e t u j u i o l e h :
Pada Tanggal : 31 Mei 2013
v
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
Pada hari ini, Rabu tanggal 31 Mei 2013, Panitia Ujian Skripsi menerima dengan baik
skripsi berjudul :
MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH
SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI
yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat guna memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin.
Makassar, 31 Mei 2013
PANITIA UJIAN SKRIPSI
1. Ketua : Prof. Dr. Moh. Ivan Azis
2. Sekretaris : Dr. Nurtiti Sunusi, M.Si.
3. Anggota : Drs. Khaeruddin M.Sc.
4. Anggota : Dr. Loeky Haryanto,MS.MSc.MAT.
5. Anggota : Dr. Nurdin, M.Si.
vi
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT dan junjungan besar
Nabi Muhammad SAW yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya,
sehingga penulis masih diberikan kekuatan dan kemampuan untuk menyelesaikan
penulisan skripsi dengan judul “ Masalah Distribusi Bola ke dalam Wadah
sebagai Fungsi atau Kumpulan Fungsi “. Sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Hasanuddin.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini memerlukan proses dan
pengorbanan yang tidaklah sedikit serta adanya bantuan dan doa dari berbagai
pihak, Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih dan penghargaan
yang setinggi-tingginya kepada:
1. Ayahanda dan Ibunda tercinta Baharuddin HB, S.Sos dan A. Katenni,
yang dengan penuh kesabaran dan kasih sayang telah membesarkan dan
mendidik penulis serta selalu memberikan dukungan dan doa kepada
penulis dan menjadi motivasi terbesar bagi penulis untuk segera
menyelesaikan studi. Ucapan terima kasih juga kepada adik tercinta
Muchtar, yang selalu memberikan dukungan, doa dan perhatian kepada
Penulis.
vii
2. Bapak Drs. Khaeruddin, M.Sc. selaku dosen penasehat akademik yang
telah memberikan arahan, bimbingan dan motivasi kepada penulis selama
penulis jadi mahasiswa.
3. Bapak Dr. Loeky Haryanto, MS.MSc.MAT selaku dosen pembimbing
utama dan Bapak Dr. Nurdin, M.Si selaku pembimbing pertama yang
telah memberikan, arahan, bimbingan dan motivasi kepada penulis dalam
menyelesaikan penulisan tugas akhir ini.
4. Bapak Prof. Moh. Ivan Azis, M.Sc. , Ibu Nurtiti Sunusi, M.Si, dan
bapak Drs. Khaeruddin, M.Sc. , selaku dosen penguji yang selama
seminar telah banyak memberikan kritikan, saran dan masukan yang
sangat berharga dalam perbaikan tugas akhir ini.
5. Ibu Dr. Hasmawati, M.Si selaku ketua jurusan Matematika dan seluruh
Dosen Jurusan Matematika FMIPA Unhas atas ilmu yang telah diberikan
kepada penulis selama masa perkuliahan.
6. Pak Nasir dan Pak Sutamin selaku pegawai Jurusan Matematika yang
telah membantu Penulis dalam urusan administrasi selama masa
perkuliahan hingga saat ini.
7. Pak Rahmat, Pak Bakhtiar, Pak Anwar, Pak Iswan dan Pak Adi selaku
pegawai Fakultas (Science Bulding) yang telah membantu Penulis dalam
urusan administrasi fakultas pada masa perkuliahan hingga saat ini.
viii
8. Seluruh sahabat-sahabat terbaik penulis Ekstrim 09 (Rina, Meri, Fifi,
Icha, Ali, Edi, Jamal, Ical, Noe, Harti, Afri, Erika, Niedha, Lesdy,
Inggrid, Devita, Bunda, Nur, Lisa, Fair, Taufik, Enci, Delia, Iche,
Arni, Oghi, Isna, Evi, Teten, Idha, Vinni, Tri, Fahrun, Naser, Endy,
Nonot, Hera, Micy, Cimank, Ayu, Hasruni, A.Yuni, Vj, Intan, Nurmi,
Jejen, Jumi, Ifa, Mimi, dan Fitrah) Terima kasih atas kebersamaannya
selama ini dan telah mengisi hari-hari Penulis dengan penuh canda tawa
dan kebahagiaan. Semoga diberikan kemudahan dalam menyelesaikan
tugas akhir.
9. Kanda-kanda, teman-teman, dan adik-adik Warga Himatika FMIPA
Unhas dan Pengurus BEM FMIPA Unhas Periode 2012/2013. Terima
kasih atas perhatian, dorongan, pengalaman, cerita, dan dukungannya
selama ini.
10. Kanda-kanda, teman-teman, dan adik-adik Warga KM FMIPA Unhas
.Terima kasih atas perhatian, dorongan, pengalaman, cerita, dan
dukungannya selama ini.
11. Teman-teman seperjuangan selama KKN Gelombang 82 Kelurahan
Pajalele Kec. Tellu Limpoe Kab. Sidrap (Ridha, kak Dilla, Echa, kak
Basran, kak Alif, kak Efde, kak Dulla, dan kak Ryan) yang telah
memberikan dukungan dan banyak membantu Penulis selama di lokasi
KKN. Senang bisa bertemu dan mengenal kalian.
12. Teman-teman tentor Simply FAST Makassar terima kasih atas bantuan
dan dukungannya selama ini.
ix
13. Teman seperjuangan Rezky K.F (Icky) yang mengajarkan penulis
bagaimana turun langsung ke lapangan dalam melakukan penelitiannya.
14. Buat sahabat – sahabat REFLECT’S 05 yang telah setia berbagai cerita
dengan penulis.
15. Teman-teman seperjuangan MIPA 2009 (Jur. Matematika, Fisika,
Kimia , dan Biologi), khususnya Matematika dan Statistika yang memberi
motivasi sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan, semoga secepatnya
menyusul.
Dan kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu,
terima kasih atas partisipasinya, semoga ALLAH SWT membalas kebaikan dan
memberikan balasan yang setimpal. Aamiin.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tugas akhir ini masih jauh dari
kesempurnaan, sehingga sangat diharapkan adanya saran dan kritik yang bersifat
membangun sebagai bahan perbaikan di masa yang akan datang.
Akhir kata, semoga tugas akhir ini ada manfaatnya bagi para mahasiswa,
khususnya bagi Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Jurusan Matematika dan bagi Perguruan Tinggi.
Wassalam
Makassar, 31 Mei 2013
Penulis
x
ABSTRAK
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mendapatkan perumusan banyak cara
berbeda dalam masalah distribusi bola ke dalam wadah, sesuai ketentuan atau
syarat yang diberikan pada cara distribusi atau pada fungsi-fungsi yang terkait
dengan distribusi tersebut. Tujuan lainnya adalah memberi intreprestasi beberapa
masalah distribusi bola ke wadah menjadi masalah yang berbeda (tetapi
ekuivalen) ke dalam bahasa matematis.
Kata Kunci : Fungsi, Permutasi, Koefisien Binomial, Partisi Bilangan.
xi
ABSTRACT
The goal of this skripsi is primarily to obtain the number of different ways
in distributing n balls into k urns subject to some conditions imposed on the balls
and the urns as well as on the associated functions related to the distributions.
Another goal is to find distinct interpretations, but equivalent for each distribution
into mathematical language.
Key Words : Functions, Permutations, Binomial Coefficient, Numbers Partition.
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL…………………………………………………………i
LEMBAR PENGESAHAN………………………………………………….…ii
KATA PENGANTAR…………………………………………………………vi
ABSTRAK……………………………………………………………………..x
ABSTRACT…………………………………………………………………...xi
DAFTAR ISI……………………………… .................................................... xii
PENDAHULUAN………………….. ................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ......................................................................................... 4
1.3 Batasan Masalah ........................................................................................... 6
1.4 Tujuan Penelitian ......................................................................................... 6
1.5 Manfaat Penelitian ....................................................................................... 7
TINJAUAN PUSTAKA……………… .............................................................. 8
2.1 Definisi Fungsi ............................................................................................. 8
2.2 Jenis – jenis fungsi ....................................................................................... 9
2.3 Permutasi .................................................................................................... 13
2.4 Prinsip Inklusi dan Eksklusi ....................................................................... 15
2.5 Koefisien Binomial .................................................................................... 20
2.6 Bilangan Stirling ........................................................................................ 23
2.7 Partisi Bilangan ........................................................................................... 25
HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................................... 28
3.1 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Tanpa
Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait ................................................ 28
3.2 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Sebagai Fungsi
Injektif ...................................................................................................... 31
xiii
3.3 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Sebagai Fungsi
Surjektif ................................................................................................... 32
3.4 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Bisa
Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait .................... 35
3.5 Distribusi n Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang
Bisa Dibedakan Dengan Syarat Paling Banyak Satu Wadah Berisi Satu
Bola Sebagai Fungsi Injektif.................................................................... 37
3.6 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang Bisa
Dibedakan Dengan Syarat Paling Sedikit Satu Wadah Berisi Satu Bola
Sebagai Fungsi Surjektif .......................................................................... 40
3.7 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa
Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau Paling Sedikit 1 bola Dalam
Wadah ...................................................................................................... 43
3.8 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa
Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait .................... 45
3.9 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang tidak Bisa
Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif atau paling banyak 1 bola dalam
wadah ....................................................................................................... 47
3.10 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang juga Tidak
Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau paling sedikit 1 bola dalam
wadah ....................................................................................................... 48
3.11 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak .........
Bisa Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait ............ 50
3.12 Distribusi Bola yang tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa
Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif ......................................................... 52
PENUTUP…………………………………………………………………….53
4.1 Kesimpulan ................................................................................................. 53
4.2 Saran ........................................................................................................... 54
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari manusia melihat dan mengenali
berbagai bentuk objek di sekitarnya. Objek dikenali berdasarkan perbedaan
titik-titik pada tempat yang berbeda dan ukuran yang berbeda. Sering ada
keinginan untuk mengetahui cara-cara sekumpulan objek dapat
diklasifikasikan berdasarkan suatu kriteria sehingga terjadi partisi atas
objek-objek tersebut menjadi beberapa kelompok yang berbeda dan saling
lepas satu sama lain.
Setiap partisi seperti diatas membentuk sekumpulan atau sebuah
fungsi dari himpunan objek-objek ke himpunan lain sebagai akibat
klasifikasi berdasarkan suatu kriteria (Lihat Gambar 1).
Gambar 1. Klasifikasi Obyek-Obyek Sebagai Fungsi, Setiap Kelompok Yang
Dihasilkan Diberi Label Berbeda
◉ Bola 3
◉ Bola 1
◉ Bola 2
◉ Bola 4
◉ Bola 5
◉ Bola 6
◉ Bola 7
█ Wadah 1
█ Wadah 2
█ Wadah 4
█ Wadah 3
2
Aturan pengawanan dari fungsi bersama-sama syarat atau kendala yang
dikenakan pada objek atau pada label kelompok yang terbentuk menjadi
kriteria untuk menentukan cara pengelompokkan.
Lebih jauh, berbagai masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari
ternyata ekuivalen dengan masalah menghitung banyaknya fungsi yang
terbentuk berdasarkan ukuran dari kelompok yang berlabel sama. Masalah
yang sejenis atau tidak sejenis di klasifikasi berdasarkan banyak label (yang
digunakan dan tidak digunakan) dan mungkin dengan tambahan beberapa
syarat atau kriteria lain (injektif, surjektif, dan sebagainya) yang dikenakan
pada fungsi-fungsi tersebut.
Semua masalah ini dikelompokkan ke dalam masalah pengisian
(occupancy problem) yang merupakan bagian dari masalah enumerasi di
dalam teori kombinatorik dan matematika diskrit. Dalam masalah pengisian,
banyak masalah pencacahan dapat dirumuskan sebagai menghitung jumlah
distribusi bola ke dalam wadah.(Thomas A. Dowling, 1991).
Matematikawan Paul R. Halmos mengatakan bahwa semua masalah
kombinatorik adalah masalah distribusi bola ke dalam wadah. McMahon
secara lebih tegas mengelompokkan beberapa masalah kombinatoriks yang
bisa dinyatakan dalam model distribusi bola dan wadah. Walaupun saat ini
komentar Halmos tidak tepat, tetapi komentar tersebut menggambarkan
pentingnya masalah distribusi bola ke dalam wadah. Bola di sini berasosiasi
sesuai dengan objek dan wadah berasosiasi dengan tingkat.
3
Dari Gambar 1, masalah pengisian dapat dinyatakan dalam bahasa
fungsi dari himpunan bola-bola ke himpunan wadah-wadah. Misalkan N
adalah himpunan bola sebanyak n dan sedangkan K adalah himpunan wadah
sebanyak k. Dalam hal ini, sebuah distribusi dinyatakan sebagai satu atau
sekumpulan fungsi f: N → K. Himpunan semua fungsi yang terbentuk sangat
tergantung pada asumsi-asumsi atau syarat-syarat yang diberikan sebagai
berikut:
1. Apakah masing-masing bola bisa dibedakan?
2. Apakah masing-masing wadah bisa dibedakan?
3. Apakah fungsi yang diinginkan bersifat 1-1, pada, atau sembarang?
Sebagai ilustrasi misalkan diberikan asumsi bahwa bola - bola dan
wadah-wadah bisa dibedakan satu sama lain. Banyak cara distribusi ini
(banyak fungsi yang berbeda) sudah diketahui banyak orang yaitu nk
.(Thomas A. Dowling, 1991)
Beberapa contoh masalah yang terkait cara distribusi dengan
kemungkinan sebanyak nk
o Banyak kata dengan panjang n pada alphabet berisi sebanyak k huruf
dengan pengulangan.
o Banyak fungsi injektif dari himpunan berukuran n ke himpunan
berukuran k.
Namun, jika bola-bola diasumsikan identik, tetapi wadah-wadah bisa
dibedakan, maka banyak cara distribusi adalah C(k + n - 1, n).
4
Dari diskusi ini, penulis mengangkat masalah dengan judul
“ MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH SEBAGAI
FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI “
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana menghitung banyak cara berbeda untuk mendistribusikan
bola ke dalam wadah, sesuai dengan syarat dan ketentuan yang
diberikan?
2. Bagaimana memberi intreprestasi masalah distribusi bola ke dalam
wadah ke dalam bahasa matematis?
3. Bagaimana rumusan hubungan antara beberapa konsep matematika yang
terkait dengan masalah distribusi bola ke dalam wadah berdasarkan
pustaka-pustaka yang ada?
Masalah menghitung banyak cara distribusi bola ke dalam wadah
dalam pertanyaan di atas bisa dinyatakan sebagai masalah menghitung
banyaknya fungsi atau kumpulan fungsi-fungsi f: N → K dengan syarat dan
ketentuan yang diberikan, di mana N adalah himpunan sebanyak n bola dan
sedangkan K adalah himpunan semua k wadah.
Tanpa ada persyaratan apapun, banyak fungsi yang berbeda adalah
kn. Informasi yang diperlukan untuk menjawabnya berbentuk asumsi atau
persyaratan tertentu pada fungsi-fungsi ini.
5
Berdasarkan asumsi atau persyaratan ini, masalah yang akan dibahas
terbagi atas 12 submasalah yang bisa dinyatakan melalui skema berikut:
Tabel 1 submasalah untuk distribusi bola ke wadah
Ke-12 submasalah tersebut sebenarnya telah dibahas oleh berbagai
buku teks, walaupun biasanya tidak lengkap. Dalam penulisan ini, sumber
utama penulisan adalah berbagai buku teks (Aigner, 2007), (vanLint, 1993),
tulisan yang bersumber dari situs suatu universitas dan catatan elektronik
(Wagner, diakses 2012), (Dowling, 1991), (Sprugnoli, 2006). Isi skripsi ini
akan menguraikan secara lebih lengkap dan sistematis tentang ke-12
submasalah yang berhubungan dengan distribusi bola ke dalam wadah.
Kriteria untuk
n = banyak bola
k = banyak wadah
Tanpa syarat 1 – 1 Pada (onto)
n berlabel
k berlabel
Submasalah 1
(kn fungsi -
fungsi)
Submasalah 2 Submasalah 3
n tdk berlabel
k berlabel
Submasalah 4 Submasalah 5 Submasalah 6
n berlabel
k tdk berlabel
Submasalah 7 Submasalah 8 Submasalah 9
n tdk berlabel
k tdk berlabel
Submasalah 10 Submasalah 11 Submasalah 12
6
1.3 Batasan Masalah
1. Setiap cara distribusi yang dibahas menghasilkan bentuk fungsi atau
kumpulan fungsi-fungsi. Artinya, setiap bola harus distribusikan, tak ada
bola yang tertinggal. Ini adalah bahasa lain untuk menyatakan syarat
suatu pengawanan adalah sebuah fungsi.
2. Untuk setiap submasalah, diberi batasan khusus. Misalnya untuk
submasalah (3, 6, 9, dan 12), banyak bola yang dapat ditempatkan dalam
wadah paling sedikit 1.
1.4 Tujuan Penelitian
1. Mendapatkan perumusan banyak cara berbeda dalam masalah distribusi
bola ke dalam wadah, sesuai ketentuan atau syarat yang diberikan pada
caa distribusi bola ke dalam wadah tersebut.
2. Memberi intreprestasi beberapa masalah distribusi bola ke dalam wadah
ke bentuk masalah yang berbeda (tetapi ekuivalen).
3. Merumuskan hubungan antara beberapa konsep matematika yang terkait
dengan masalah distribusi bola ke dalam wadah, sesuai dengan hasil
studi literatur.
7
1.5 Manfaat Penelitian
1. Memberikan batasan-batasan yang tegas antara suatu masalah dengan
masalah lain apabila kedua masalah sama-sama bisa dirumuskan dalam
bentuk distribusi bola ke dalam wadah (klasifikasi masalah).
2. Masalah distribusi bola ke dalam wadah dapat di intreprestasikan
kebeberapa masalah yang ekuivalen.
3. Memberikan alat (mathematical tools) pada konsep matematika lain
yang terkait dengan konsep distribusi bola ke dalam wadah
8
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Fungsi
Fungsi merupakan keadaan khusus dari suatu relasi. Diberikan
himpunan N dan K. Suatu fungsi f dengan daerah asal N dan daerah kawan K
didefinisikan sebagai himpunan pasangan-pasangan (n,k) dimana n N dan
k K yang memenuhi syarat:
1. Untuk setiap n N terdapat k K sedemikian sehingga (n, k) f.
2. Untuk setiap (n1, k1) f dan (n2, k2) f berlaku implikasi:
jika n1 = n2 maka k1 = k2.
Dari semua pasangan tersebut, himpunan N disebut daerah asal (domain)
dan himpunan K disebut daerah kawan (ko-domain) dari fungsi.
Pemetaan dari N ke K yang diberi simbol f bisa dinyatakan sebagai
f: N K atau N f
K
Gambar 2.1
N : Domain K : Kodomain
9
Fungsi f: N K bisa juga ditafsirkan sebagai aturan pengawanan antara
setiap unsur n N dengan satu dan hanya satu k K. Unsur sekawan k dari n
biasa ditulis sebagai k = f(n). Karena tidak setiap nilai y memiliki kawan x dan
himpunan semua nilai y yang memiliki kawan disebut daerah jangkauan (range)
dari fungsi f.
Contoh 2.1:
Misalkan N = {a, b, c,d} dan K = {1,2,3}. Sebuah fungsi f: N K bisa
digambarkan oleh gambar berikut.
Didalam Gambar 2.2, tersirat
f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 2, dan f(d) = 3
Daerah hasil f adalah {1,2,3} atau ditulis
secara formal f [N] = {1,2,3}.
Gambar 2.2
2.2 Jenis – jenis fungsi
Ditinjau dari cara mengawankannya, fungsi dapat dibedakan menjadi
3 jenis yaitu fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. Jenis fungsi tersebut ada
kaitannya dengan sifat pemetaan dari daerah asal ke daerah hasil.
a.
b.
c.
d.
d.
1
2
3
N K f
10
a. Fungsi Injektif
Misalkan f suatu fungsi dari N ke K. Jika setiap unsur – unsur dalam N
berkawan secara tunggal ke suatu unsur dalam K artinya tidak ada dua buah
elemen dalam N yang mempunyai peta yang sama di K maka f disebut
fungsi injektif.
Secara formal,
fungsi f: N K disebut injektif (satu – satu) jika untuk setiap a,b ε N
berlaku jika f(a) = f(b) maka a = b atau jika untuk setiap a,b ε N berlaku
jika f(a) f(b) maka a b
Contoh 2.2:
Misalkan fungsi f: RR didefinisikan oleh rumus 3)( xxf .Maka f
adalah fungsi satu – satu karena pangkat tiga dari dua bilangan riil yang
berbeda juga berbeda.
f Keterangan : f merupakan fungsi injektif
f(1) = 1
f(-1) = -1
f(2) = 8
f(-2) = -8.
Gambar 2.3
x.
R R
f(x)=x3
11
b. Fungsi Surjektif
Misalkan f suatu fungsi dari N ke K, jika f(N) = K, artinya jika
setiap unsur K muncul sebagai bayangan dari sekurang – kurangnya satu
unsur dalam N, maka dikatakan “ f suatu fungsi surjektif dari N ke K “.
Fungsi f ini juga disebut fungsi pada (onto function).
Secara formal, fungsi f: N K disebut fungsi surjektif (fungsi pada )
jika untuk setiap k ∈ K terdapat n ∈ N sehingga k = f(n).
Contoh 2.3:
Misalkan fungsi f: RR didefinisikan oleh rumus 3)( xxf .
Keterangan : f merupakan fungsi surjektif, jadi himpunan prapeta
setiap y (f 1
(y)) tidak pernah kosong, misalnya
f 1
(0) = {3}
f 1
(1) = {4}
f 1
(2) = {5}
f 1
(3) = { 6}.
Gambar 2.4
x.
R R
f(x)=x-3
f
12
a. Fungsi Bijektif
Fungsi f : N → K dikatakan fungsi bijektif jika f bersifat injektif
(satu – satu) dan surjektif (pada). Pada fungsi bijektif, setiap anggota K
mempuyai tepat satu pra-peta di N.
Contoh 2.4 :
Misalkan fungsi f: RR didefinisikan oleh rumus xxf log)( ,
dengan x = {0.01, 0.1, 0, 10, 100, 1000}
Keterangan : f merupakan fungsi bijektif
f (0) = 0
f (0.1) = -1
f (10) =1
f (0.01) = -2
f (100) = 2
f (1000) = 3
Gambar 2.5
0.
0.1.
10.
0.01.
100.
1000
R R
0
-1
1
-2
2
3
f
f
13
2.3 Permutasi
Dalam matematika, penyusunan obyek yang terdiri dari beberapa
unsur dengan memperhatikan urutan disebut dengan permutasi.
Misalkan S adalah himpunan dengan n objek
Misalkan k ≤ n. Permutasi k objek dari himpunan S adalah susunan objek-
objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k objek anggota
himpunan S
Notasi Permutasi k objek dari n objek yang berbeda dilambangkan
knP
, P(n,k) , atau n
kP
2.3.1 Permutasi n objek dari n objek yang berbeda
Masalah yang dibahas di sini dapat dipandang sebagai masalah
menempatkan n bola berlabel ke dalam n wadah yang juga berlabel
dimana setiap wadah hanya bisa diisi tepat 1 bola.
wadah ke- 1 2 ……………… n – 1 n
Tahap pertama adalah mengisi wadah ke-1, tahap kedua adalah mengisi wadah ke-2, dan
seterusnya sampai tahap ke-n .
14
Tahap Pengisian wadah ke- Banyak cara
1 1 n
2 2 n – 1
… … …
n – 1 n – 1 2
n N 1
Sehingga berdasarkan Prinsip kaidah perkalian, banyak cara mengisi
wadah tersebut adalah
!1.2)....2).(1.( nnnn
2.3.2 Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n
Masalah yang dibahas di sini dapat dipandang sebagai masalah
memilih k diantara n bola berlabel kemudian menempatkan ke dalam n
wadah yang juga berlabel dimana setiap wadah hanya bisa diisi tepat 1
bola.
Wadah ke- 1 2 ……………… k – 1 k
15
Sehingga berdasarkan Prinsip kaidah perkalian, banyak cara mengisi
wadah tersebut adalah n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =
( Charalambides, 2002).
2.4 Prinsip Inklusi dan Eksklusi
Diberikan himpunan semesta S yang berhingga. Banyaknya anggota
himpunan gabungan antara himpunan A S dan himpunan B S
merupakan jumlah banyaknya anggota dalam himpunan A dan B dikurangi
banyaknya anggota di dalam irisannya. Dengan kata lain,
Tahap Pengisian wadah ke- Banyak cara
1 1 n
2 2 n – 1
… … …
k – 1 k – 1 n - (k - 2) = n – k + 2
k K n – (k – 1) = n – k + 1
Tahap pertama adalah mengisi wadah ke-1, tahap kedua adalah mengisi wadah ke-2, dan
seterusnya sampai tahap ke-k .
)!(
!
kn
n
!( , )
( ) !
nP n k
n k
16
|A ∪ B|= |A| + |B| - |A ∩ B|.
Gambar 2.6 Diagram dua himpunan
Selanjutnya di uraikan bagaimana cara-cara menentukan banyaknya
anggota didalam gabungan beberapa himpunan berhingga. Hasil ini
kemudian akan dikembangkan menjadi sebuah prinsip yang dinamakan
Prinsip Inklusi-Eksklusi.
Sebelum membicarakan banyak unsur didalam gabungan n himpunan,
dengan n sebagai bilangan bulat positif, sebuah rumusan bagi banyaknya
anggota dalam gabungan 3 himpunan A, B, C S ,
|A ∪ B ∪ C|
akan diturunkan.
Untuk menyusun rumus ini perlu diperhatikan bahwa |A| + |B| + |C|
membilang tiap anggota A, B dan C tepat satu kali. Tetapi anggota-irisan
setiap pasang himpunan (A ∩ B, A ∩ C dan B ∩ C) terbilang dua kali.
Selanjutnya amati jumlahan
|A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C|.
17
Di dalam jumlahan ini, setiap unsur yang berada di dalam tepat dua
himpunan (tidak berada di dalam himpunan ketiga) terbilang tepat satu
kali. Tetapi unsur-unsur yang berada di dalam ketiga himpunan (berada di
dalam A ∩ B ∩ C) di dalam ke tiga himpynan A ∩ B, A ∩ C dan B ∩ C
terbilang tiga kali, padahal ketika menghitung |A| + |B| + |C| totalnya
terbilang tiga kali. Jadi di dalam ekspresi
|A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C|,
unsur-unsur A ∩ B ∩ C tidak terbilang (atau terbilang nol kali) sehingga
untuk menghitung
|A ∪ B ∪ C|
harus ditambahkan |A ∩ B ∩ C| sehingga diperoleh
|A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Gambar 2.7 Diagram tiga himpunan
18
Secara umum berlaku,
Teorema 2.1 (Prinsip Inklusi-Eksklusi)
Misalkan n
AAAA ...321
adalah himpunan berhingga, maka
|...|321 n
AAAA
....)1(...321
1 11
1
n
nji nkji
kjiji
ni
iAAAAAAAAAA
n
(Charalambides, 2002).
Contoh 2.5 :
Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak lebih 1000 yang habis
dibagi oleh 5, 7 atau 11 ?
Jawab :
Misalkan 1
A himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama
dengan 1000 yang habis dibagi 5, 2
A himpunan bilangan bulat positif
yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis dibagi 7, dan 3
A
himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000
yang habis dibagi 11. Dengan demikian 321
AAA adalah himpunan
bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis
dibagi 5, 7, atau 11, dan 321
AAA adalah himpunan bilangan bulat
positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis dibagi 5, 7,
atau 11
21AA adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil atau
sama dengan 1000 yang habis dibagi 5 dan 7, 31
AA adalah himpunan
19
bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis
dibagi 5 dan 11, dan 32
AA adalah himpunan bilangan bulat positif yang
lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis dibagi 7 dan 11.
1
1000200
5A
, 2
1000142
7A
, 3
1 0 0 09 0
1 1A
1 2
1000 100028
(5, 7 ) 35A A
kpk
,
1 3
1000 100018
(5,11) 55A A
kpk
2 3
1000 100012
(7 ,11) 77A A
kpk
1 2 3
1000 10002
(5, 7 ,11) 385A A A
kpk
321323121321321AAAAAAAAAAAAAAA
376212182890142200321
AAA
Jadi, terdapat 376 bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama
dengan 1000 yang habis dibagi 5, 7, atau habis dibagi 11.
20
2.5 Koefisien Binomial
Definisi 2.1 (Fungsi faktorial)
Didefinisikan
0! = 1
dan untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku
! ( 1)( 2)...(2)(1)n n n n (2.1)
Permutasi k dari n dengan n ≥ k, dilambangkan oleh simbol P(n,k),
didefinisikan sebagai banyaknya cara memilih k obyek yang berbeda dari n
obyek yang berbeda dimana urutan obyek sangat diperhatikan. P(n,k) juga
bisa didefinisikan sebagai banyaknya pemetaan satu-satu yang berbeda dari
daerah asal X dengan |X| = k ke daerah hasil Y dengan |Y| = n. Dari definisi
ini bisa dibuktikan
P(n,k) = n(n − 1)(n − 2)…(n − k + 1). (2.2)
Definisi 2.2 (Koefisien Binomial)
Untuk setiap bilangan bulat tak negatif dengan k dan n dengan k ≤ n,
bilangan-bilangan bulat.
n
k =
n!
k! n − k ! (2.3)
disebut koefisien binomial.
Koefisien binomial bisa digunakan untuk mencari banyaknya
subhimpunan yang berbeda dengan banyak elemen k dari himpunan dengan
n elemen.
21
Contoh 2.6 :
Menghitung banyak subhimpunan dari himpunan {a, b, c, d} yang
banyak elemennya ada 2. Semua subhimpunan adalah {a,b}, {b,c},
{c,d}, {a,c}, {a,d}, dan {b,d}, semuanya berjumlah 6. Dengan koefisien
binomial, banyak subhimpunan dengan 2 elemen adalah 4
2 =
4!
2!2! = 6.
Teorema 2.2 (Binomial)
Untuk setiap 𝑎,b ∈ ℝ dan bilangan bulat positif n ,
a + b n = n
k akb
n−knk = 0 (2.4)
Bukti:
Ketika menjabarkan a + b n, koefisien A(n; k) dari knkba
diperoleh dari
penjumlahan suku-suku hasil perkalian n faktor yang berbentuk
aa…aabb..b, aa..abab..bb, …, bb..bbaa..a
yang terdiri atas k faktor-faktor a dan (n – k) faktor-faktor b. Namun,
karena perkalian di ℝ bersifat komutatif (misalnya:
babaa = aaabb = a3b2), semua bentuk hasil perkalian dari n faktor tersebut
sama nilainya. Untuk mengetahui banyaknya n faktor dengan hasil yang
sama, digunakan cara semacam berikut:
Karena bersifat komutatif, maka
a + b n = A n; k akbn−k
n
k = 0
dimana A(n; k) merupakan banyaknya bentuk perkalian dari n faktor di
atas dengan nilai yang sama, yaitu akbn−k
.
22
Nilai dari A(n; k) diperoleh dengan menghitung banyaknya cara
memasukkan k variabel a ke n faktor hasil perkalian a dan b. Untuk setiap
bentuk perkalian dengan nilai knkba
, terdapat satu dan hanya satu
subhimpunan
niiik
,...,2,1,...,,21
Sedemikian sehingga semua k faktor a dalam bentuk perkalian knkba
berada pada posisi kiii ,...,,
21 , Misalnya bentuk perkalian abaab
bersesuaian dengan subhimpunan .5,4,3,2,14,3,1 Dengan
demikian, cara memperoleh A(n; k) sama dengan cara memperoleh
koefisien binomial n
k . Dengan kata lain, persamaan (2.4) berlaku. ■
Ada banyak penerapan dari teorema binomial. Misalnya untuk
menghitung banyaknya semua subhimpunan yang dimiliki dari himpunan
dengan n elemen,
n
k
n
k = 0
= n
k 1
k.1
n−k =
n
k = 0
1+1 n = 2n,
atau dalam komputasi pada teori peluang, untuk menghitung peluang
mendapatkan k kali sukses di antara n kali percobaan, dsb. (Aigner, 2007).
23
2.6 Bilangan Stirling
Konsep faktorial k! mensyaratkan k bulat tak negatif. Generalisasi
terhadap faktorial k! dengan k bulat tak negatif dilakukan dengan
memperlonggar persyaratan bilangan bulat tak negatif k menjadi sembarang
bilangan real t dan kemudian mengelompokkan atas dua jenis faktorial
sebagai berikut.
Untuk setiap bilangan real t dan bilangan bulat positif n, faktorial
naik adalah polinom derajat n yang didefinisikan dan diberi lambang seperti
berikut
nt = t(t +1)(t + 2)...(t + n 1)
(Charalambides, 2002).
Demikian pula faktorial turun adalah polinom derajat n berikut
nt = t(t 1)(t 2)...(t n + 1).
Jika n t, maka
,n
t P t n ( lihat ekspresi 2.2 ).
Dengan faktorial turun, bilangan Stirling jenis pertama s(n,k)
didefinisikan sebagai koefisien dari jumlahan di ruas kanan kesamaan
n
k
kntknst
0
),(
24
sedangkan bilangan Stirling jenis kedua S(n,k) didefinisikan sebagai
koefisien di ruas kanan kesamaan
0
( , )
n
n k
k
t S n k t
(Charalambides, 2002).
Teorema berikut memberikan definisi lain dari bilangan Stirling jenis kedua.
Teorema 2.3
Bilangan Stirling jenis kedua Sn,k adalah banyaknya partisi suatu
himpunan berukuran n atas k subhimpunan.
Pembuktian bahwa teorema di atas memberikan definisi kedua dari Sn,k
bisa dilihat di dalam (Fifik 2013, Teorema 3.5). Inti pembuktian kedua definisi
Sn,k bisa dinyatakan secara rekursif dengan relasi rekurensi yang sama dan
nilai awal yang sama.
25
2.7 Partisi Bilangan
Partisi dari suatu bilangan bulat adalah cara untuk menuliskan bilangan
tersebut sebagai jumlah dari bilangan bulat positif. Fungsi partisi p(n) ialah
jumlah partisi yang bisa dimiliki oleh suatu bilangan bulat positif n.
Definisi 2.3 :
Partisi dari bilangan n adalah sebuah barisan yang diberi lambang
= <λ1, λ2, … , λk > (2.5)
dan memenuhi sifat
i. n = λ1 + λ2 + … + λk , dan
ii. λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λk ≥ 1 .
Jadi, = λiki = 1 adalah bilangan asli yang dipartisi menjadi
barisan . Jadi jika adalah partisi dari bilangan asli n maka = n.
Apabila adalah partisi dari n atas jumlahan sebanyak k suku yaitu,
= (λ1, λ2, … , λk) , dikatakan adalah partisi-k. Dalam hal ini,
1 ≤ k ≤ n. (Aigner, 2007)
Par n dinotasikan sebagai himpunan semua partisi dari n. Jika n = 0,
maka Par n hanya memuat partisi kosong, yang diberi notasi (Di sini
bukan lambang himpunan kosong, tetapi partisi kosong).
Demikian pula Par(n;k) dinotasikan sebagai himpunan semua partisi
-k dari n, ukuran (banyak partisi di dalam) masing-masing himpunan Par n
dan Par(n;k) adalah
p n = Par n dan p n;k = Par(n;k) (2.6)
26
Dari definisi, Par(0) = Par(0;0) = {} sehingga ukuran himpunan ini adalah
p(0) = p(0;0) = 1. Jika n > 0, semua partisi di dalam Par n tidak boleh
kosong. Ini berarti p(n;0) = 0. (Aigner, 2007)
Contoh 2.7:
Untuk n = 5, diperoleh 7 partisi (unsur-unsur Par(5)) yakni,
<5> <4, 1> <3, 2> <3, 1, 1> <2, 2, 1> <2, 1, 1, 1> <1, 1, 1, 1, 1> ;
sehingga p 5 = Par 5 = 7.
Par(5, 1) = {< 5 >} 𝑝(5, 1) = 1,
Par(5, 2) = {< 4, 1 >, < 3, 2 >} 𝑝(5, 2) = 2,
Par(5,3)={< 3, 1, 1 >, < 2, 2, 1 >} 𝑝(5, 3) = 2,
Par(5, 4) = {< 2, 1, 1, 1 >} 𝑝(5, 4) = 1,
Par(5, 5) = {< 1, 1, 1, 1, 1 >} 𝑝(5, 5) = 1.
Partisi bilangan bisa dinyatakan melalui diagram Ferrer. Diagram
Ferrer untuk partisi ini dibuat dengan cara meletakkan n buah titik pada k
baris dengan aturan sebagai berikut: sebanyak λ1 titik diletakkan pada baris
pertama, sebanyak λ2 titik pada baris kedua, … hingga sebanyak λk titik pada
baris ke-k dan semuanya dimulapi dari kolom yang sama, kolom paling kiri.
Diagram Ferrer untuk ∈ Par(n;k), diagram mempunya k baris.
27
Contoh 2.8 :
Partisi = (6, 3, 3, 2, 1) ∈ Par(15;5) dinyatakan oleh diagram Ferrer
berikut
Gambar 2.8 Diagram Ferrer = (6, 3, 3, 2, 1)
(Aigner, 2007).
● ● ● ● ● ●
● ● ●
● ● ●
● ●
●
28
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Tanpa
Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait
Di sini akan dibahas distribusi bola dan wadah sebagai fungsi tanpa
ada asumsi atau persyaratan yang diberikan untuk fungsi tersebut atau untuk
cara memasukkan bola. Lebih jauh, bola-bola dan wadah-wadah bisa
dibedakan satu sama lain.
Teorema 3.1
Jika masing-masing bola dan wadah bisa dibedakan, banyak cara
distribusi n bola b1, b2, ..., bn ke dalam k wadah w1, w2, ..., wk adalah
sama dengan banyaknya semua fungsi
f: {b1, b2, ..., bn) {w1, w2, ..., wk};
yaitu kn.
Bukti:
Himpunan semua cara distribusi berkawan 1-1 dengan himpunan fungsi-
fungsi f yang mengawankan setiap bi dengan wj dengan mendefinisikan f(bi)
= wj jika dan hanya jika bola bi dimasukkan ke dalam wadah wj. Karena
wadah untuk setiap bola bisa bebas dipilih salah satu di antara k wadah, ada
sebanyak k pilihan untuk setiap bola. Karena cara memilih setiap bola saling
bebas satu sama lain dan terdapat n bola, dengan menggunakan prinsip
29
perkalian disimpulkan bahwa banyak cara distribusi bola yang berbeda
adalah kn. ■
Beberapa contoh masalah yang ekuivalen dengan menghitung
banyak cara distribusi bola yang bisa dibedakan ke dalam wadah yang juga
bisa dibedakan, masing-masing dengan kemungkinan cara sebanyak kn:
1. Menghitung banyak kata (untaian simbol-simbol) dengan panjang n
atas suatu alphabet berisi sebanyak k simbol. Setiap simbol bisa
dinyatakan sebagai bola sedangkan posisi simbol dalam kata bisa
dinyatakan sebagai wadah
2. Menghitung banyak simpul pohon berakar dengan sifat, setiap
simpul memiliki sebanyak k cabang (anak). Pada tingkat 0 hanya
terdapat 1 = k0 simpul. Pada level 1 terdapat sebanyak k simbol dan
pada level ke n terdapat sebanyak kn simpul.
3. Menghitung banyak subhimpunan dari himpunan H = {h1, h2, …,
hn} yang berukuran n. Hasilnya adalah 2n sebab ada hubungan 1-1
antara subhimpunan A H dengan himpunan semua untaian biner
x1x2…xn yang didefinisikan sebagai berikut: xi = 1 jika dan hanya
jika hi A. Jadi banyaknya subhimpunan dari H sama dengan
banyaknya untaian biner panjang n. Misalnya jika H = {1, 2, 3, 4,
5}, maka subhimpunan berkawan dengan 00000 dan
subhimpunan {3, 5} berkawan dengan 00101, dst.
30
Contoh 3.1
Setiap fungsi f : N K dengan |N |= 3, |K|=2 bisa diinterprestasikan sebagai
sebuah distribusi 3 bola ke dalam 2 wadah. Ada 23 fungsi yang berbeda yang
berarti ada 32 8 distribusi yang berbeda.
Gambar 3.1
Banyaknya fungsi yang berbeda adalah nk = 2
3 = 8.
31
3.2 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Sebagai Fungsi
Injektif
Setiap fungsi injektif dapat diinterpretasikan sebagai cara distribusi n
bola berlabel ke dalam k wadah yang juga berlabel dengan syarat paling
banyak satu bola di dalam setiap wadah.
Teorema 3.2
Jika n
bbbN ,...,,21
dan k
wwwK ,...,,21
, maka terdapat
)1)...(2)(1( nkkkkkn
fungsi injektif dari N K.
Bukti:
Untuk k n, Banyak fungsi injektif f : N K diperoleh dengan prinsip
perkalian dalam kombinatorik. Karena terdapat k pilihan untuk f(b1), k 1
pilihan untuk f(b2), k 2 pilihan untuk f(b3), …, dan k – (n – 1) = k – n +
1 pilihan untuk f(bn), maka ada sebanyak n
k = k(k 1) … (k – n + 1)
cara yang berbeda untuk memilih nilai-nilai fungsi, dengan kata lain n
k
fungsi injektif yang berbeda. ■
Karena N dan K adalah himpunan berhingga maka fungsi injektif f : N K
ada jika dan hanya jika |N| |K|. Jadi ketika k < n, didefinisikann
k = 0.
Berdasarkan Teorema 3.2, disimpulkan jika N adalah suatu himpunan dengan
n bola berlabel dan K adalah suatu himpunan k wadah berlabel, maka banyak
32
cara distribusi bola ke dalam wadah dengan syarat paling banyak satu bola
dalam wadah adalah nk .
Contoh 3.2
Setiap fungsi inrjektif f : {b1, b2, b3} {w1, w2, w3, w4} bisa
diinterpretasikan sebagai cara menempatkan 3 bola berlabel b1, b2, b3 ke
dalam 4 wadah w1, w2, w3, w4.
Jika ketiga bola diurutkan sebagai triple (b1, b2, b3), diperoleh empat cara
menempatkan bola, seperti gambaran di dalam diagram berikut :
Wadah 1 Wadah 2 Wadah 3 Wadah 4
b1 b2 b3
b1 b2 b3
b1 b2 b3
b1 b2 b3
Karena ada 3! cara berbeda mengurutkan bola berlabel, total banyaknya
cara distribusi bola ke dalam 4 wadah yang berlabel adalah
34 4.3! 4 ! 24 .
Dari sini diperoleh kesamaan
34 4 !
Secara umum berlaku jika k = n + 1 maka
nk = k!
3.3 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Sebagai Fungsi
Surjektif
Teorema 3.3
33
Jika masing-masing bola dan wadah bisa dibedakan, banyak cara
distribusi n bola b1, b2, ..., bn ke dalam k wadah w1, w2, ..., wk adalah
k!S(n, k)
Bukti :
Diberikan fungsi f : N K Pertama kali didefinisikan himpunan
f 1
[ w] = { b N | f(b) = w} N.
Dari definisi, f surjektif jika dan hanya jika untuk setiap w K, f 1
[w]
. Padahal himpunan-himpunan f 1
[w] saling lepas dan gabungannya
sama dengan N. Ini berarti himpunan-himpunan f 1
[ w1], f 1
[ w2], … , f
1[wk] membentuk partisi pada N sehingga setiap fungsi surjektif
bersesuaian dengan tepat satu partisi semacam.
Jika unsur-unsur w1, w2, …, wk diurutkan secara tetap, maka berdasarkan
definisi bilangan Stirling jenis kedua (lihat Fifik Astuti,2013 Definisi 3.2
dan 3.3 misalnya), banyaknya partisi yang berbeda adalah S(n, k). Tetapi
untuk urutan w1, w2, …, wk lain, diperoleh partisi f 1
[ w1], f 1
[ w2], … , f
1[wk] yang berbeda. Karena ada k! urutan w1, w2, …, wk yang berbeda,
maka total ada k!S(n, k) partisi yang berbeda. Ini membuktikan terdapat
fungsi surjektif yang berbeda. ■
Contoh 3.3
34
Setiap fungsi surjektif f : N K dengan |N| = 5, |K| = 3 bisa
diinterprestasikan sebagai sebuah distribusi 5 bola ke dalam 3 wadah dengan
syarat paling sedikit 1 bola dalam wadah.
Fungsi Surjektif f : {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} terdefinisi oleh partisi
1 1 1( (1), (2), (3))f f f
. . .
({1,2},{3},{4,5}) ({1,2,3},{4},{5})
. Banyaknya S(5,3) .
. . dipermutasi
…
({4,5},{1,2},{3}) ({5}, {1,2,3},{4})
Banyaknya S(5,3)
1
2
3
4
5
2
3
1
1
2
3
4
5
1
2
3
1
2
3
4
5
2
3
1
1
2
3
4
5
1
2
3
35
Gambar 3.2
Karena ada 3! urutan yang berbeda, maka total banyak fungsi ada
3!S(5,3) fungsi surjektif yang berbeda yakni 150 cara berbeda.
3.4 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Bisa
Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait
Teorema 3.4
Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k
wadah (yang bisa dibedakan) adalah
n
kn 1
Bukti :
Karena masing-masing bola identik atau tidak bisa dibedakan sedangkan
wadah bisa dibedakan maka terdapat asosiasi antara setiap cara disitribusi n
bola ke dalam k wadah dengan sebuah untaian biner yang panjangnya n + k
1 sesuai skema berikut:
36
No. Wadah 1 | Wadah 2 | … | Wadah k Untaian Biner
Yang Berasosiasi 1. bbb … bb | - | - | - 111…11000…00
(semua n bola berada di dalam Wadah 1)
2. bbb…b | b | - | - 111…10100..00
(n 1 bola di dalam Wadah 1, 1 bola di dalam Wadah 2)
....
M. - | - | - | bbb ... 000..00111…11
(semua n bola ke dalam Wadah k)
Untaian biner yang bersesuaian dengan suatu distribusi bola diperoleh dengan cara
mengganti lambang bola b dengan bit-1 dan mengganti pagar | (pembatas wadah)
dengan bit-0. Jadi disimpulkan bahwa banyaknya cara distribusi penempatan n bola
tak berlabel sama ke dalam sebanyak k wadah dengan banyaknya untaian biner
panjangnya n k + 1 yang memuat n bit-1. Berdasarkan rumus koefisien binomial,
banyaknya untaian biner panjang n + k 1 tersebut adalah
M =
n
kn 1. ■
Contoh berikut memberi ilustrasi pembuktian di atas
Contoh 3.4
Dengan n = 3, k = 3 banyak cara distribusi 3 bola tidak bisa dibedakan ke
dalam 3 wadah yang bisa dibedakan dan untaian biner yang berasosiasi bisa
dinyatakan melalui daftar berikut
37
No Wadah 1 Wadah 2 Wadah 3 Untaian
Biner
1, bbb 11100
2. bb b 11010
3. bb b 11001
4. b b b 10101
5. b bb 01011
6. bb b 01101
7. bbb 01110
8. b bb 10011
9. b bb 10110
10. bbb 00111
Gambar 3.3
Banyak cara distribusi yang berbeda adalah M = 10 cara.
3.5 Distribusi n Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang
Bisa Dibedakan Dengan Syarat Paling Banyak Satu Wadah Berisi Satu
Bola Sebagai Fungsi Injektif
Teorema 3.5
Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k
wadah (yang bisa dibedakan) dengan syarat paling banyak satu bola
dalam satu wadah adalah
n
k
38
Bukti :
Dengan syarat tambahan paling banyak satu wadah berisi satu bola,
maka n k. Jika semua k wadah, namakan wadah x1, wadah x2, ... wadah xk
disusun secara berurutan dalam bentuk
x1 x2 ... xk;
kemudian lambang xi untuk wadah ke-i yang berisi bola diganti bit-1 dan
wadah xj yang kosong diganti bit-0, maka terbentuk untaian biner panjang k
yang banyaknya bit-1 adalah n (banyak wadah yang berisi) dan banyaknya
bit-0 adalah k n (banyak wadah tidak terisi). Karena untaian yang berbeda
menyatakan distribusi yang berbeda, maka banyaknya distribusi yang berbeda
dalam kasus ini sama dengan banyaknya untaian biner dengan panjang k dan
memuat sebanyak n k bit 1, yaitu
n
k. ■
Contoh 3.5
Setiap fungsi f : N K dengan |N|=3, |K|=5 bisa diinterprestasikan sebagai
sebuah distribusi 3 bola ke dalam 5 wadah, dimana dalam hal ini bola
identik atau tidak bisa dibedakan sedangkan wadah bisa dibedakan dengan
syarat paling banyak satu bola dalam satu wadah.
39
Asosiasi antara cara distribusi dengan untaian biner bisa dinyatakan
melalui daftar berikut :
No Wadah 1 Wadah 2 Wadah 3 Wadah 4 Wadah 5 Untaian
Biner
1. b b b - - 11100
2. - b b b - 01110
3. - b b - b 01101
4. - b b b - 01110
5. b - b b - 10110
6. b b - b - 11010
7. b b - - b 11001
8. b - - b b 10011
9 b - b - b 10101
10. - - b b b 00111
Gambar 3.4. Wadah yang berisi bola dinyatakan oleh bit-1
Jadi, banyak cara yang berbeda adalah 10 cara.
40
3.6 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang
Bisa Dibedakan Dengan Syarat Paling Sedikit Satu Wadah Berisi Satu
Bola Sebagai Fungsi Surjektif
Teorema 3.6
Banyak cara distribusi n bola yang tidak berlabel dengan k wadah berlabel
dengan syarat paling sedikit satu bola dalam satu wadah adalah
1
1
n
k
Bukti :
Cara 1
Isi semua k wadah dengan satu bola, tersisa n k bola yang akan
didistribusikan ke dalam k wadah. Menurut hasil 3.4, banyak cara
mendistribusikan n k bola ke dalam k wadah adalah
( ) ( 1) 1
1 1
n k k n
k k
. ■
Walaupun persyaratan paling sedikit satu bola dalam satu wadah adalah
syarat perlu dan cukup mendapatkan fungsi surjektif dari himpunan semua bola
kehimpunan semua wadah, tetapi banyak distribusi bola ke dalam wadah di atas,
yaitu 1
1
n
k
tidak menyatakan banyaknya fungsi surjektif yang berbeda. Sebab
setiap cara distribusi berkorespondensi 1-1 dengan sekumpulan (keluarga)
fungsi-fungsi surjektif. Contoh berikut memberikan ilustrasi fakta ini.
41
Contoh 3.6
Pandang distribusi sebanyak n = 5 bola tidak berlabel ke dalam k = 3 wadah
di mana setiap wadah berisi paling sedikit satu bola. Jadi terdapat sebanyak
4
2 = 6 cara distribusi, masing-masing cara bisa dilambangkan sebagai
triple
(a1, a2, a3)
di mana ai, i = 1, 2, 3; menyatakan banyak bola di dalam wadah ke-i. Ini
berarti a1 + a2 + a3 = 5. Ke-6 cara distribusi tersebut adalah (1, 1, 3), (1, 2,
2), (1, 3, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1).
Sebagai contoh, jika (a1, a2, a3) = (1, 1, 3) maka ini berarti ada 1 bola di
dalam wadah 1 dan wadah 2, serta 3 bola di dalam wadah 3. Seandainya
bola-bola diberi label b1, b2, b3, maka satu cara distribusi ini sebenarnya
gabungan dari fungsi - fungsi surjektif berikut :
1. f1 dengan f11
(w1) = {b1}, f11
(w2) = {b2}, f11
(w3) = {b3, b4, b5};
2. f2 dengan f21
(w1) = {b1}, f21
(w2) = {b3}, f21
(w3) = {b2, b4, b5};
3. f3 dengan f31
(w1) = {b1}, f31
(w2) = {b4}, f31
(w3) = {b2, b3, b5};
4. f4 dengan f41
(w1) = {b1}, f41
(w2) = {b5}, f41
(w3) = {b2, b3, b4};
5. f5 dengan f51
(w1) = {b2}, f51
(w2) = {b1}, f51
(w3) = {b3, b4, b5};
…, dan seterusnya (total semuanya 25 fungsi surjektif yang termasuk dalam
satu cara distribusi (1, 1, 3) ini).
42
Cara 2 (Pembuktian Teorema 3.4)
Setelah semua wadah diisi masing-masing dengan satu bola, tersisa n k bola
yang harus didistribusikan ke dalam k wadah. Nyatakan distribusi n k bola tak
berlabel sebagai k-triple
(a1, a2, …, ak)
Dengan ai 1 dan a1 + a2 + …+ ak = n k. Seperti pembuktian Teorema 3.4,
buat pagar sebanyak k 1 dan distribusikan n k di antara k 1 pagar. Dengan
mengganti lambang pagar dengan simbol y dan lambang bola dengan x, terbentuk
untaian dengan panjang (n k) + (k 1) yang terdiri atas n k simbol x dan k 1
simbol y. Karena untaian yang berbeda melambangkan distribusi yang berbeda,
semuanya ada ( ) ( 1) 1
1 1
n k k n
k k
cara distribusi yang berbeda. ■
43
3.7 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa
Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau Paling Sedikit 1 bola Dalam
Wadah
Teorema 3.7
Banyak cara distribusi n bola yang berlabel dengan k wadah yang tidak
berlabel dengan syarat paling sedikit satu bola dalam satu wadah adalah
,n kS
Bukti :
Misalkan f : N K dan didefinisikan himpunan
f 1
[ w] = { b N | f(b) = w} N.
Jelas f surjektif jika dan hanya jika untuk setiap w K, f 1
[w] . Padahal
himpunan-himpunan f 1
[w] saling lepas dan gabungannya sama dengan N.
Ini berarti himpunan-himpunan f 1
[ w] dengan w K membentuk partisi
pada N. Menurut Fifik Astuti (2013), banyaknya partisi yang berbeda adalah
bilangan stirling jenis kedua ( , )S n k . ■
44
Contoh 3.7 :
Setiap fungsi f : N K dengan |N| = 4, |K| = 2 bisa diinterprestasikan
sebagai sebuah distribusi 4 bola ke dalam 2 wadah dengan syarat paling
sedikit 1 bola dalam wadah (fungsi surjektif) atau di simbolkan S(4,2).
Andaikan N adalah suatu himpunan yang terdiri atas empat elemen yaitu
{a,b,c,d}, untuk memperoleh nilai dari S(4,2) terlebih dahulu
menentukan partisi-partisi dari 4 ke dalam 2 himpunan bagian yang tidak
kosong, yaitu
{{a, b, c},{d}}
{{a, b, d},{c}}
{{a, c, d},{b}}
{{b, c, d},{a}}
{{a, b},{c, d}}
{{a, c},{b, d}}
{{b, c},{a, d}}
Jadi, banyaknya cara ada S(4,2) = 7 cara.
45
3.8 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa
Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait
Teorema 3.8
Banyak cara distribusi n bola yang berlabel dengan k wadah yang tidak
berlabel adalah
,
1
k
n j
j
S
Bukti:
Misalkan N = {b1, b2, …, bn} dan K adalah sembarang himpunan dengan |K| = k.
Setiap distribusi bola berlabel ke dalam k wadah akan menyebabkan N terpartisi
atas j subhimpunan, di mana j {1, 2, ..., k} menyatakan banyak wadah yang
terisi dan k n.
Misalkan j tetap. Akan dihitung banyaknya semua distribusi yang bersesuaian
dengan partisi pada himpunan N atas j subhimpunan j {1, 2, ..., k}
Setiap partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan sekumpulan fungsi
di mana setiap fungsi f di dalam kumpulan ini memiliki sifat: hanya terdapat j
nilai yang berbeda, katakan i1, i2, ..., ij sehingga ke-j subhimpunan yang saling
lepas tersebut adalah f1
(i1),f1
(i2), ..., f1
(ij) dan f1
(i1)∪ f1
(i2) ∪ …∪ f1
(ij) = N.
Dengan kata lain, f1
(i1),f1
(i2), ..., f1
(ij) membentuk partisi pada himpunan N atas
j subhimpunan.
Karena setiap partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan satu fungsi
sedangkan setiap fungsi bersesuaian dengan satu cara distribusi, maka setiap
46
partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan satu cara distribusi, padahal
berdasarkan Teorema 2.3 tentang bilangan Stirling jenis kedua, banyak partisi
yang berbeda pada himpunan dengan n unsur atas j subhimpunan adalah Sn,j.
Kesimpulannya, untuk suatu nilai j yang tetap, banyak distribusi yang berbeda
adalah Sn,j. Tetapi karena ada sebanyak k kemungkinan nilai j {1, 2, ..., k} atau j
= min {n,k}, maka banyak distribusi bola tak berlabel ke dalam sebanyak k n
wadah yang berlabel adalah Sn,1 + Sn,2 + ... + Sn,k. ■
Contoh 3.8
Pandang distribusi sebanyak n = 4 bola berlabel b1, b2, b3, b4 ke dalam k = 3
wadah tak berlabel. Misalkan j = 2, maka ada sebanyak S4,2 = 7 cara distribusi
ke-5 bola ke dalam wadah, di mana sebanyak j = 2 wadah terisi dan sebanyak
3 2 = 1 wadah kosong. Jadi, semua kemungkinan bola bisa digambarkan
melalui skema berikut.
b1 b2 b3 b4 b1, b2 b1, b3 b1, b4
b2, b3, b4 b1, b3, b4 b1, b2, b4 b1, b2, b3 b3, b4 b2, b4 b2, b3
Gambar 3.5 Ke-7 kemungkinan cara menempatkan 4 bola kedalam 2 dari 3
wadah (satu wadah kosong ).
47
3.9 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang tidak Bisa
Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif atau paling banyak 1 bola dalam
wadah
Teorema 3.9
Jika n k maka banyak cara distribusi n bola yang bisa dibedakan ke
dalam k wadah yang tidak bisa dibedakan adalah 1 tetapi Jika n > k maka
solusi 0.
Misalkan n bola berlabel b1, b2, ..., bn didistribusikan ke dalam k wadah
tidak berlabel dan paling banyak satu bola di dalam 1 wadah. Jika n > k, maka
distribusi bola tidak mungkin terjadi dan jika n k, maka hanya ada satu
macam distribusi: setiap bola masuk ke dalam n di antara k wadah. ■
Contoh 3.9
Mustahil bisa menempatkan sebanyak n = 4 bola b1, b2, b3 dan b4 ke
dalam k = 3 wadah jika setiap wadah berisi paling banyak 1 bola. Tetapi jika
k = 5, hanya ada satu cara menempatkan ke-4 bola tersebut: setiap bola
berada di dalam salah satu wadah, tidak penting wadah yang mana (karena
wadahnya tak berlabel).
48
3.10 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang juga Tidak
Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau paling sedikit 1 bola
dalam wadah
Teorema 3.10
Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k
wadah yang juga tidak bisa dibedakan dengan syarat paling sedikit
1 bola dalam wadah adalah
;p n k
Bukti :
Karena semua k wadah terisi, maka banyak cara distribusi n bola
tidak bisa dibedakan ke dalam k wadah yang juga tidak bisa dibedakan
dengan paling sedikit satu bola di dalam setiap wadah adalah sama dengan
banyaknya keluarga fungsi-fungsi surjektif dengan daerah asal N dan daerah
hasil K dengan kesamaan sifat: memiliki k nilai i1, i2, ..., ik yang berbeda.
Setiap distribusi mendefinisikan satu partisi terhadap bilangan n sebagai
jumlahan k bilangan-bilangan, katakan n =<λ1, λ2, ..., λk > artinya n = λ1 + λ2
+ ... + λk, (lihat Definsi 2.3) sebab ada sebanyak λ1 bola yang bernilai i1, ada
sebanyak λ2 bola yang bernilai i2, ..., ada sebanyak λk bola yang bernilai ik.
Jadi banyak cara distribusi n bola tak berlabel ke dalam k wadah tak
berlabel dengan setiap wadah berisi paling sedikit satu bola adalah p(n; k). ■
49
Banyak cara membagi himpunan ganda (multiset) yang terdiri atas n
unsur sama dengan banyak cara partisi bilangan n atas k bilangan positif
sesuai Definsi 2.3. Fakta ini melandasi contoh berikut.
Contoh 3.10
Berdasarkan Contoh 3.7, banyak cara distribusi sebanyak n = 4 bola
berlabel a, b, c, d ke dalam k = 2 wadah tak berlabel dengan paling
sedikit satu bola di dalam wadah adalah S4,2 = 7 cara yang sesuai
dengan 7 cara partisi himpunan {a, b, c, d} atas 2 subhimpunan
berikut:
{{a, b, c},{d}}
{{a, b, d},{c}}
{{a, c, d},{b}}
{{b, c, d},{a}}
{{a, b},{c, d}}
{{a, c},{b, d}}
{{b, c},{a, d}}
Tetapi jika label dari bola dihapus, yaitu semua label bisa diganti dengan
simbol yang sama, misalnya x, maka hanya terdapat dua cara partisi
sebuah himpunan ganda (multiset) dengan 4 unsur atas 2 subhimpunan
ganda
{{x, x, x},{x}} dan {{x, x},{x, x}}.
50
Dalam hal ini, setiap cara distribusi bersesuaian dengan suatu partisi
bilangan positif, misalnya (1, 2) = <3,1> dari bilangan 4 (sebab 4 = 3 +
1, lihat Definsi 2.3) atau partisi {{x, x, x},{x}}. Selanjutnya setiap partisi
bersesuaian dengan satu keluarga fungsi-fungsi. Misalnya {{x, x, x},{x}}
bersesuaian dengan keluarga fungsi-fungsi {f1, f2, f3, f4} dengan 2 nilai i1
dan i2 yang memenuhi:
(f11
(i1), f11
(i2)) = ({a, b, c},{d})
(f21
(i1), f21
(i2)) = ({a, b, d},{c})
(f31
(i1), f31
(i2)) = ({a, c,d},{b})
(f41
(i1), f41
(i2)) = ({b,c,d},{a})
3.11 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak
Bisa Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait
Teorema 3.11
Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k
wadah yang juga tidak bisa dibedakan adalah
1
;
k
j
p n j
Bukti:
Jika hanya j wadah yang terisi, maka banyak cara distribusi n bola
tidak berlabel ke dalam k wadah juga tak berlabel, sama dengan
banyaknya keluarga fungsi-fungsi dari N ke K dengan kesamaan sifat:
memiliki j nilai i1, i2, ..., ij yang berbeda. Setiap nilai mendefinisikan satu
partisi terhadap bilangan n sebagai jumlahan j bilangan-bilangan,
51
katakan n = λ1λ2...λj (artinya n = λ1 + λ2 + ... + λj, lihat Definsi 2.3 yang
berarti ada sebanyak λ1 bola yang bernilai i1, ada sebanyak λ2 bola yang
bernilai i2, ..., ada sebanyak λj bola yang bernilai ij.
Jadi banyak cara distribusi n bola tak berlabel ke dalam k wadah tak
berlabel, hanya j k wadah yang terisi adalah p(n; j). Karena ada
sebanyak k kemungkinan nilai j = 1, 2, ..., k maka banyak cara distribusi
n bola tak berlabel ke dalam k wadah tak berlabel adalah
p(n; 1) + p(n; 2) + ... + p(n; k). ■
Contoh 3.11
Tanpa ada syarat yang diberikan untuk fungsi-fungsi yang terlibat, maka
ini berarti setiap wadah bisa terisi oleh sebanyak sembarang j bola
dengan j {1, 2, …, n}.
Dalam Contoh 3.10 diberikan contoh banyak cara distribusi sebanyak n
= 4 bola ke dalam k = 2 wadah dengan syarat setiap wadah berisi paling
sedikit 1 bola. Syarat ini ekuivalen dengan syarat sifat surjektif pada
fungsi-fungsi f:N K yang terlibat. Hasilnya, banyak cara distribusi
bola ke dalam wadah adalah p(4, 2) = 2.
Karena di dalam kasus ini tidak diberikan syarat apapun, maka bisa
ditebak bahwa setiap cara distribusi bola dalam subkasus ini untuk n = 4
dan k = 2 bersesuaian dengan salah satu dari partisi-partisi himpunan
ganda berikut:
{{x, x, x, x}}, {{x, x, x},{x}} dan {{x, x},{x, x}}
52
yang masing-masing bersesuaian dengan partisi: (4), (3, 1) dan (2,2).
Jadi banyaknya cara distribusi adalah p(4, 1) + p(4, 2) = 1 + 2 = 3.
3.12 Distribusi Bola yang tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak
Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif
Teorema 3.12
Jika n k maka banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa
dibedakan ke dalam k wadah yang juga tidak bisa dibedakan adalah 1
tetapi jika n > k maka solusi 0.
Misalkan n bola tak berlabel didistribusikan ke dalam k wadah
tidak berlabel dan paling banyak satu bola di dalam 1 wadah. Jika n > k,
maka distribusi bola tidak mungkin terjadi dan jika n k, maka hanya ada
satu macam distribusi, setiap bola masuk ke dalam n di antara k wadah. ■
Contoh 3.12
Sama seperti Contoh 3.9, mustahil bisa menempatkan sebanyak n = 4
bola tidak berlabel ke dalam k = 3 wadah jika setiap wadah berisi paling
banyak 1 bola. Tetapi jika k = 5, hanya ada satu cara menempatkan ke-4
bola tersebut: setiap bola berada di dalam salah satu wadah, tidak penting
wadah yang mana (karena wadahnya tak berlabel).
53
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan dan studi literatur terhadap analisis
keterkaitan konsep distribusi bola ke dalam wadah maka diperoleh hasil-hasil
berikut:
1. Banyak cara berbeda pada distribusi bola ke dalam wadah bisa dibagi
ke dalam 12 submasalah, sesuai ketentuan atau syarat yang
diberikan. Solusi setiap masalah bisa digambarkan oleh tabel berikut.
Kriteria untuk
n = banyak bola
k = banyak
wadah
Tanpa syarat 1 – 1 Pada (onto)
n berlabel
k berlabel
nk
nk k!S(n, k)
n tdk berlabel
k berlabel
n
kn 1
n
k
1
1
n
k
n berlabel
k tdk berlabel ,
1
k
n j
j
S
Banyak cara
adalah 0 jika
n > k dan 1
jika n k.
,n kS
n tdk berlabel
k tdk berlabel
1
;
k
j
p n j
Jika n > k
maka solusi 0
Jika n k,
maka solusi 1
;p n k
54
2. Setiap cara distribusi bersesuaian dengan satu fungsi atau dengan satu
keluarga himpunan fungsi-fungsi yang saling lepas. Untuk setiap
submasalah, banyak fungsi atau banyak keluarga fungsi-fungsi memiliki
penafsiran dan interpretasi masing-masing. Misalnya satu keluarga
fungsi-fungsi bisa diinterpretasikan sebagai partisi terhadap sebuah
bilangan bulat positif.
3. Berbagai konsep matematika terkait dengan masalah distribusi bola ke
dalam wadah, khususnya konsep konsep permutasi, koefisien binomial,
bilangan Stirling (jenis kedua), dan partisi bilangan.
4.2 Saran
1. Diharapkan ada penelitian lanjutan yang lebih mendalam pada salah satu
submasalah.
2. Perlu dikaji lebih jauh berbagai kemungkinan interpretasi nyata, bukan
sekedar interpretasi matematis dari setiap submasalah distribusi bola ke
dalam wadah.
3. Perlu digali lebih jauh hubungan antara banyaknya cara distribusi bola ke
dalam wadah dengan banyaknya cara mengambil bola dari dalam wadah,
dengan hubungan antara banyaknya cara distribusi bola dengan teori
peluang.
55
DAFTAR PUSTAKA
Aigner, Martin, A Course in Enumeration, Springer-Verlag, 2007
Charalambides, A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC
Press,2002
Renzo, Sprugnoli, An Introduction to Mathematical Methods in
Combinatorics, 2006.
www.dsi.unifi.it/~resp/Handbook.pdf pada tanggal 2 Maret 2010
Thomas, A. Dowling, Applications of Discrete Mathematics, McGraw-Hill,
1991
Wagner, Carl, Basic Combinatorics, 2012
www.math.utk.edu/~wagner/papers/comb.pdf diakses pada tanggal
25 September 2012.
Par(5)