Master Management financier de l’entreprise2009/2010
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Master Spécialisé : Management Financier de l’Entreprise
PREPARER PAR:
AZEROUAL Mohamed
ABOUSSAID Said ZOUALAGHE
Professeur Mr :
B. EL MORCHID
GESTIONDE
PORTEFEUILLE
LE MODÈLE
SIMPLIFIE DE W.SHARPE
SOMMAIRE :
Introduction
Chapitre 1 : Notions et cadre théorique de la gestion de portefeuille
SECTION1:SECTION1: le rendement, le risque et la diversification dans la gestion de portefeuille
SECTION2:SECTION2: efficience du marché et notion de portefeuille efficient
Chapitre 2 : Le modèle de marché
SECTION1:SECTION1: Présentation du modèle de marché et décomposition statistique
SECTION2:SECTION2: Le modèle de marché et la sensibilitéSECTION3:SECTION3: Les reproches du modèle de marché
Conclusion :
Introduction :
« Nul n’est certain de la valeur fondamentale des cours boursiers,
d’autant plus qu’ils sont souvent en situation d’excès » Thami Kabbaj,
expert en finance, ancien trader et professeur à l’université Paris dauphine
1
Tout acte d'investissement réel ou financier, suppose une espérance de
rendement, dans la majorité des cas ce rendement est lié intrinsèquement à
un risque, ceci est vrai bien quand il s'agit d'une entreprise qui entreprend un
projet d'investissement que pour un épargnant qui cherche à rentabiliser son
patrimoine à travers des placements financiers.
La théorie du portefeuille est la théorie du choix entre projets risqués et
intègre explicitement le risque dans sa formulation : elle est la théorie du
risque, la théorie de portefeuille s’attache a posteriori a présenté les
paramètres caractéristiques d’un portefeuille, à savoir son rendement et son
risque, pour la gestion de portefeuille s’intéresse aux critères de choix
rationnels de portefeuilles et en particulier à l’arbitrage entre le risque et le
rendement.
La théorie moderne de portefeuille battis par Markowitz, Sharpe et Miller à
mis la lumière sur la question de maximisation de la richesse de
l’investisseur averse au risque au travers l’utilisation des fonctions d’utilité
et des modèles mathématique en fonction de l’espérance de rendement et
l’écart type de risque.
Dans le présent travail nous essayeront de mettre l’accent sur le
modèle développé par W. Sharpe en 1964, avant d’entamer ce dit modèle
on va rappeler dans un premier lieu quelques notions théoriques de la
gestion de portefeuille à savoir le risque, le rendement et la diversification
tout en passant par la théorie de l’efficience de marché, et on finira en
dernier lieu par les reproches qui ont été adressées au modèle à un seul
indice.
chapitre I. Notions et cadre théorique de la gestion deportefeuille
2
SECTION-1-SECTION-1- Risque, rendement et diversification enthéorie de portefeuille
La théorie financière s’est construite, pendant le demi-siècle qui vient de
s’écouler, sur trois piliers. Le premier, la maximisation de l’espérance
d’utilité, qui est une des composantes de la rationalité parfaite des individus.
Le second, l’absence d’opportunité d’arbitrage, implique qu’il est impossible
pour un investisseur de tirer profit de stratégies d’investissement sans prise
de risque. Enfin, l’efficience informationnelle des financiers ne peuvent
s’éloigner durablement de leur valeur fondamentale.
La plupart des décisions d'allocation des ressources, comme les décisions
d'épargne, d'investissement et de financement subissent l'influence du
risque.
Le risque d'un actif ou d'une transaction ne peut être évalué isolement ou
dans l'absolu, il dépend du cadre de référence. Dans un contexte donné,
l'achat ou la vente d'un actif peut augmenter l'exposition au risque, dans un
autre cas de figure, la même transaction peut conduire à une réduction de
risque.
1-11-1 : qu'est ce que le risque
De façon générale, définir le risque c'est commencé par la distinction
entre risque et incertitude.
"….L'incertitude est la situation où quelqu'un ne sait pas précisément ce qui
va arriver à l'avenir, le risque correspond à une incertitude "qui nous
concerne" car elle est susceptible d'affecter notre richesse, ainsi l'incertitude
est une condition nécessaire, mais pas suffisante pour qu'il y ait un risque:
on peut avoir de l'incertitude sans avoir de risque, alors que toute situation
risquée comporte automatiquement de l'incertitude"(1).
Nous pouvons dire que le risque est lié en premier lieu à une situation
d'incertitude, un agent économique (individu, entreprise…) est exposé à un
1( ): "Finance" R.merton chapitre 10; p291, 2éme édition 2007
3
risque de nature financière lorsqu'il est en situation d'incertitude qui se
traduit pour lui par un gain ou une perte monétaire.
1-21-2 Risque et rendement
Il est difficile de bien comprendre le risque dans le contexte
d'investissements sans tenir compte également de la notion de rendement.
Le retour sur investissement est la variation de la valeur accumulée d'un
actif ou d'un portefeuille (appréciation du prix et revenus des dividendes ou
des intérêts) sur une période donnée.
Investir requiert de placer des capitaux sans posséder la moindre certitude
quant à leur remboursement et à leur rendement. Un synonyme de
l'incertitude est l'ignorance des résultats futurs. Un investisseur est exposé
aux risques avant tout parce qu'il ignore le comportement futur du retour sur
investissement.
Un concept associé à l'incertitude est la volatilité, que l'on peut définir
comme le profil d'évolution aléatoire décrit par une variable. La théorie
moderne de portefeuille a recours au concept de volatilité et l'assimile au
risque. La variable, dont la volatilité est mesurée par la théorie moderne de
portefeuille, est le rendement attendu. En d'autres termes, sous l'angle de La
théorie moderne de portefeuille , il est important de comprendre dans quelle
mesure les rendements attendus d'un portefeuille sont susceptibles de
s'écarter de la moyenne, ou dans quelle mesure les meilleures et les moins
bonnes années d'un investissement obtiendront des performances meilleures
ou moins bonnes que la moyenne historique, plus l'écart par rapport à la
moyenne est important et plus la volatilité et le risque seront élevés.
Dans la gestion des investissements, on distingue entre les rendements
totaux et les rendements nets. Les premiers sont calculés à partir de valeurs
accumulées reflétant uniquement l’appréciation du prix et les revenus des
dividendes ou les intérêts. Les seconds sont calculés à partir de valeurs
4
accumulées qui reflètent également des éléments tels que les frais de
gestion, les coûts de transactions, les impôts, voire même l’inflation.
Un autre concept similaire dans l'analyse de la volatilité et du risque est
la variance, qui peut être définie comme un paramètre servant à mesurer la
dispersion de la distribution de la probabilité d'une variable aléatoire.
Autrement dit, la variance mesure l'écart moyen entre différentes
observations.
La volatilité d'un investissement est mesurée par l'écart type de son
taux de rendement. L'écart type est une mesure statistique qui permet
d'évaluer des actifs en fonction de leur risque et de leur rendement attendus.
L'écart type est calculé comme la racine carrée positive de la variance.
La théorie moderne de portefeuille part de l'hypothèse que tous les
investisseurs ont une aversion au risque. Autrement dit, ils préfèrent éviter
les risques chaque fois que cela est possible. Etant donné que la volatilité est
une mesure du risque, au fur et à mesure qu'elle augmente, le risque de
perte dans l'investissement augmente. Il existe également une corrélation
entre la volatilité et le temps. Si les fluctuations dans un processus aléatoire
sont indépendantes, la volatilité augmente avec la racine carrée de l'unité de
temps. Autrement dit, le risque s'aggrave proportionnellement au
rétrécissement de l'horizon temporel. Par conséquent, toutes proportions
gardées et compte tenu de l'hypothèse selon laquelle les investisseurs ont
une aversion au risque, un investissement à long terme de faible volatilité
sera préféré à un investissement à court terme à plus forte volatilité.
1-31-3 La diversification
Plutôt que d'analyser les risques au niveau de titres individuels, La
théorie moderne de portefeuille propose de mesurer les risques au niveau
du portefeuille. Un portefeuille qui peut être défini comme un panier
ou une panoplie d'instruments qui présente – de manière complète
5
et accumulée – un profil risque/rendement qui répond aux objectifs
et à la tolérance au risque de l'investisseur.
Aussi, lorsque l'on considère le risque sous l'angle de la théorie
moderne de portefeuille, une décision d'investissement ne repose pas sur
l'évaluation du profil de risques du rendement individuel d'un instrument,
mais plutôt sur la façon dont l'instrument affecte le risque global du
portefeuille. Par exemple, un investissement traditionnel, des titres de
plusieurs compagnies sont identifiés sur la base de l'analyse des données
économiques fondamentales des compagnies (projections du cash flow, états
financiers, structure du capital, produits, marchés, etc.). Il est constaté que
ces compagnies offrent des caractéristiques de risque/rendement
extraordinaires. Sur la base exclusive d'une philosophie de sélection
d'actions, on pourrait en conclure que l'on devrait y investir tous les capitaux
disponibles. Cependant, intuitivement, cette démarche ne semble pas
prudente. Souvenez-vous de la maxime qui affirme que "mettre tous ses
œufs dans le même panier expose au risque de tout perdre d'un seul coup".
Par intuition également, il est raisonnable de répartir les
investissements pour réduire les risques. La théorie moderne de portefeuille,
systématise cette intuition en un modèle mathématique qui étudie comment
une série d'investissements ou un portefeuille est susceptible de performer
compte tenu de la corrélation des rendements attendus des instruments qui
le constituent. Cela signifie qu'en se diversifiant, un investisseur peut réduire
le risque du marché en investissant dans des instruments financiers dont les
rendements attendus ne sont pas corrélés. La réduction des risques est
"libre" parce que les rendements attendus ne sont pas affectés.
SECTION-2-SECTION-2- efficience du marché et notion de portefeuilleefficient
A-1A-1 Concept d’efficience des marchés :
6
La théorie des marchés financiers est née au début des années 60 des
travaux des pionniers de la finance moderne. Cependant, c’est à Eugène
FAMA6 qu'est attribuée la paternité de la théorie des marchés financiers
grâce à de ses articles fondateurs de 1965 dans lesquels il postule « qu'un
marché financier est dit efficient si et seulement si l'ensemble des
informations disponibles concernant chaque actif financier coté sur ce
marché, est immédiatement intégré dans le prix de cet actif. Autrement dit,
la vision idéaliste d’un « marché efficient » est celle d’une économie dont les
agents sont tous rationnels, et vont par conséquent réagir instantanément et
adéquatement à la survenance de toute information nouvelle. C’est ce qu’on
appelle l’« efficience informationnelle ».
Ainsi sur un marché efficient, dès qu'une information concernant un
actif existe, le prix de cet actif est instantanément modifié pour incorporer
cette information. De ce fait, l'efficience est appréhendée à priori comme
l'aptitude du marché à rétablir l'équilibre. Le marché est alors dit efficient si
les prix qui s'y forment constituent des signaux fiables permettant aux
investisseurs de prendre les bonnes décisions d'allocation des ressources.
Pour cela, il faut que les actions soient correctement évaluées en fonction de
l'information disponible au temps t.
La définition de l'efficience a évolué depuis les travaux de FAMA, elle est
aujourd'hui moins stricte et autorise certaines formes de prédictibilités. Ainsi
de l'efficience initiale synonyme de marché au hasard des prix des titres, on
a évolué vers une efficience signifiant l'impossibilité d'obtenir un gain
substantiel : conformément à la définition de JENSEN (1978) qui postule que
« sont réputés efficients les marchés sur lesquels les prix des actifs cotés
intègrent les informations les concernant de telle manière qu'un investisseur
ne peut, en achetant ou en vendant cet actif, en tirer un profit supérieur aux
coûts de transaction engendrés par cette action ».
A-2A-2 B. Hypothèses l’efficience des marchés
(marché parfait)7
La théorie d'efficience des marchés financiers est basée sur l'existence
de cinq hypothèses réputées fortes et essentielles permettant de la valider.
1. La rationalité des investisseurs : Les marchés financiers ne peuvent
être efficients que si les agents économiques agissant sur ce marché sont
parfaitement rationnels, en d'autres termes ils doivent agir de manière
cohérente par rapport aux informations qu'ils reçoivent.
2. La libre circulation de l'information et la réaction instantanée des
investisseurs : Pour que les marchés financiers soient efficients, il faut que
les prix intègrent instantanément l'ensemble des informations disponibles :
ce qui nécessite que l'information soit diffusée simultanément auprès de tous
les agents économiques. Ainsi il ne doit pas y avoir de décalage temporel
entre le moment où un agent économique reçoit l'information et le moment
où un autre agent reçoit la même information. Les agents économiques
doivent pouvoir traiter l’information instantanément et agir sur le marché
immédiatement en fonction de cette information obtenue.
3. La gratuité de l'information : Cette condition postule que les
agents économiques doivent obtenir les informations sur le marché financier
sans supporter de coûts supplémentaires de gestion. La gratuité de
l'information constitue une condition essentielle à l'hypothèse de l'efficience
puisqu'elle permet à tout investisseur le suivi des informations financières et
facilite l'intégration de ces informations dans les prix des titres.
4. Absence des coûts de transactions et d'impôts de bourse : En
cas de présence de coûts de transaction ou d'impôts, les agents
économiques peuvent hésiter à investir ou à désinvestir, de peur que ces
coûts annulent leurs gains potentiels réalisables. L'investisseur n'agira sur le
marché que dans la mesure où le gain espéré est supérieur aux coûts de la
transaction supportée. L'absence de coût de transactions et d'impôt
constitue de ce fait une condition primordiale de l'efficience puisqu'elle
permet aux investisseurs d'agir librement sur le marché financier.
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5. L'atomicité des investisseurs et la liquidité : La théorie des
marchés efficients implique l'existence d'une totale liquidité et d'une
complète atomicité des investisseurs.
A-3A-3 Les formes de l’efficience des marchés :
FAMA définit les formes de l'efficience des marchés financiers en
fonction de l'ancienneté des informations que les prix des actifs sont censés
intégrer.
Il postule que les informations concernant les actifs financiers peuvent
être divisées en trois catégories :
₋ La première catégorie comprend les informations déjà connues et
publiées. Ces informations ont été intégrées par les opérateurs dans les
cours passés des actifs financiers.
₋ La deuxième catégorie inclut les informations présentées à l'instant
même où celles-ci sont rendues publiques.
₋ La troisième catégorie renferme les informations non encore publiées
mais détenues par des personnes privilégiées du fait de leur fonction au sein
de l'entreprise.
D'après FAMA la définition des trois formes de l'efficience est sous
jacente aux différents types d'intégration des informations dans les cours des
titres
1. La forme forte :
La forme forte de la théorie de l'efficience suppose qu'il n'est pas
possible de tirer partie des informations non publiques concernant un actif
financier pour prévoir l'évolution future du prix de cet actif. En d'autre terme
la forme forte de la théorie de l'efficience postule que la connaissance
d'informations confidentielles susceptibles d'affecter la valeur d'un actif
9
financier lorsqu'elles sont dévoilées par un investisseur, ne permet pas à ce
dernier de réaliser un gain réel sur le marché financier.
Selon la forme forte de la théorie de l'efficience, dès lors que les
personnes disposant d'informations privilégiées effectuent des opérations et
dans la mesure où le marché est transparent, ces opérations sont visibles et
repérables par les autres opérateurs. Elles agissent comme un signal
informant l'ensemble qu'un événement particulier est attendu.
2. La forme semi-forte :
La forme semi-forte de la théorie de l'efficience postule que l'ensemble
des informations disponibles concernant un actif financier est intégré dans le
prix de ce titre à l'instant même où ces informations sont rendues publiques.
Il n'existe de ce fait aucun décalage temporel entre le moment où
l'information est dévoilée et le moment où celle-ci est intégrée dans les
cours.
Sur un marché efficient au sens de la forme semi-forte, le prix de
chaque titre coté correspond à sa valeur réelle. Il n'y a aucun décalage entre
la valeur d'un actif et son cours de cotation puisque toutes les informations
sont intégrées dans les cours.
La forme semi-forte de la théorie de l'efficience des marchés financiers
implique une réaction absolument immédiate des investisseurs. Il n'y a pas
possibilité d'arbitrage dans la mesure où toute nouvelle information est
instantanément incluse dans les cours, aucun investisseur n'a la possibilité
de profiter de cette nouvelle information pour réaliser un profit substantiel.
En tout état de cause, les cours contiennent non seulement les
informations objectives concernant les titres mais également les
anticipations moyennes des investisseurs dès l'instant où celles-ci se
forment.
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3. La forme faible :
La forme faible de la théorie d'efficience stipule que le prix actuel d'un
actif financier est totalement indépendant de l'ensemble des informations,
concernant ce titre, publié dans le passé. On ne peut pas, d'après la forme
faible de la théorie de l'efficience, utiliser l'ensemble des informations
passées d'un actif financier pour déterminer de façon certaine son prix actuel
ou l'évolution future de son cours.
Les investisseurs sous réserve qu'ils soient à la fois informés et
rationnels, sont supposés avoir déjà analysé l'ensemble des informations
diffusées dans le passé et les avoir répercuter dans les cours des titres
respectifs.
Le prix à la date t de chaque actif financier est de ce fait totalement
indépendant du prix du même actif à la date t-1 ou aux autres dates
précédentes.
A-4A-4 Notion du portefeuille efficient
Un portefeuille est efficient par rapport à l’ensemble des portefeuilles
existants, si à un niveau de risque donné il a la plus forte espérance de
rendement, et si pour un niveau donné d’espérance de rendement, il a le
risque le plus faible.
Une combinaison intéressante d'instruments financiers, pour un
investisseur prudent et avisé, pourrait inclure un certain pourcentage
d'instruments à rendement élevé attendus et à hauts risques en combinaison
avec un certain pourcentage d'instruments à faible rendement mais avec des
corrélations faibles (ou négatives), si bien que leurs fluctuations se
neutralisent mutuellement. Le portefeuille en résultant rapportera un taux de
rendement moyen élevé et présentera moins de fluctuations négatives de
ses actifs pour le même niveau de risque.
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La théorie moderne de portefeuille envisage toutes les combinaisons
des instruments financiers au grand complet sur le marché et trace un
diagramme des taux de rendement et des écarts types. Le résultat est une
zone unie par une courbe à pente positive. La ligne supérieure gauche, ou
"frontière", de la zone mentionnée correspond à une série spéciale de
portefeuilles que Markowitz appelait la frontière efficiente. Markowitz
l'appelait efficiente parce que pour un certain niveau de risque (écart type)
tout point figurant sur cette ligne (ou frontière) présente la combinaison
d'actifs (ou de portefeuilles) qui ont le taux de rendement le plus grand
possible. Les portefeuilles les plus fortement diversifiés ou portefeuilles
"optimaux" peuvent être définis comme des portefeuilles:
• ayant le rendement attendu le plus élevé pour n'importe quel niveau
de risque (tel que défini par la volatilité ou l'écart type);
• ayant le plus faible risque (comme défini par la volatilité ou l'écart
type) pour n'importe quel niveau de rendement attendu.
12
chapitre II. Le modèle de marchéSECTION1:SECTION1: Présentation du modèle et sa formulation
1. Présentation du modèle
Dans le champ des pratiques financières professionnelles, la gestion
d’actifs représente un domaine où cette interaction semble en tous les cas
fortement validée. Les travaux empiriques sur l’analyse des rentabilités
obtenues par les gérants professionnels ont conduit la profession de
gestionnaire à modifier son regard sur elle-même. Cette modification a
conduit à l’idée non triviale et non intuitive d’indexer des portefeuilles gérés
sur un indice de référence, puis à développer des indices en nombre de plus
en plus grand, afin de pouvoir caler toute gestion sur un indice représentatif
de son segment d’activité ,La gestion indicielle passive constitue la
conséquence de ce mouvement intellectuel, suivi par une gestion moins
passive, quoique restant référencée à un indice de marché, et que l’on
pourrait qualifier de gestion indicée,
Le premier soubassement intellectuel de la gestion indicée provient de
la théorie du portefeuille. C’est en 1952 que cette théorie émerge dans le
champ de la finance, avec les célèbres quatorze pages d’Harry Markowitz,
qui introduit dans la logique des investissements boursiers un raisonnement
d’optimisation qu’il a importé de la recherche opérationnelle. L’approche de
Markowitz est qualifiée d’approche moyenne- variance car elle ne prend en
compte que les deux paramètres de moyenne et de variance des
rentabilités, c'est-à-dire les deux premiers moments de leurs distribution,
pour caractériser le portefeuille de l’investisseur. Cela revient à supposer que
les moments d’ordre plus élevés sont nuls. Ceci n’est vérifié que si les
rentabilités sont distribuées suivant une loi normale ou si la fonction d’utilité
de l’investisseur est quadratique. L’approche moyenne variance est donc
basée sur hypothèse restrictive.
Le modèle simplifié de modélisation du portefeuille construit par
William Sharpe en 1963 inspiré des travaux de Markowitz est basé sur la
possibilité de simplifié les calculs de façon à développer l’utilisation pratique
13
de ce modèle. Du fait de la lourdeur du calcul de la matrice de complète de
corrélation définit par Markowitz et qui était un obstacle à la mise en œuvre
du modèle. Sharpe a donc postulé que les rentabilités des actifs étaient
constituées d’un facteur commun à tous les actifs et d’une composante
propre à chaque titre. Les études ont montré que le meilleur facteur
explicatif était la rentabilité du marché dans son ensemble. Ce modèle
appelé aussi modèle empirique de marché ou modèle à un seul indice. Ce
modèle de Sharpe n’a pas de fondement théorique, contrairement au modèle
d’évaluation des actifs financiers(MEDAF).
2. Formulation du modèle
Les variations des rentabilités des actifs dépendent linéairement de
facteurs communs à l’ensemble du marché et de facteurs spécifiques à
chaque entreprise. Les facteurs communs à l’ensemble du marché sont
représentés par un indice de marché. Le modèle de marché empirique
s’écrit donc :
Rit=αi+βi RMt+ε it
Où :
Rit : désigne le taux de la rentabilité de l’actif i RMt désigne la rentabilité de l’indice de marché εit : désigne la rentabilité spécifique de l’actif αi et βi sont des coefficients à déterminer.
Les coefficients αi et βi de la droite s’obtiennent par régression linéaire
des rendements du marché sur les rendements d’un actif pour une même
période. La méthode utilisée est celle des moindres carrés ordinaire. Le
coefficient Bêta est donné par :
βi=cov (Rit ; RMt)var (RMt)
14
Alpha constitue l’intersection de la droite de régression avec l’axe desordonnées, il représente donc la rentabilité qui aurait pu être obtenu surl’action si la rentabilité du marché avait été nulle.
Les alphas peuvent être positifs, négatifs ou nuls (alors que les bêtas sonttous supérieurs à zéro sauf dans certaines circonstances exceptionnellespour certaines valeurs comme les mines d’or par exemple). Ils ne sontabsolument pas stables d’une période sur l’autre et présentent de ce faitune importance tout a fait mineure dans le cadre du modèle du marché.
Par définition du modèle, les termes résiduels εi sont non corrélésavec la rentabilité du marché. Le risque total d’un actif se décomposedonc en un terme de risque systématique (ou risque de marché) et unterme de risque non systématique (ou non diversifiable), soit :
Rit=αi+βi RMt+ε it
La même décomposition peut être faite pour le risque du titre i. var (Rit )
s’obtient comme la variance d’une somme de variables aléatoires
var (Rit )=var (αi+βi RMt+ε it )
var (Rit )=βi ² var (RMt )+var (εit )+2 βiCov (RMt , εit )
15
Rendement du titre
Rendement lie aumarché
Rendement lié auxcaractéristiques propres
du titre
Composanteincorporée
dans ladroite
Composanteindépendante de la
droite
Risque propreOu risquespécifique
Risque lié aumarché Ou
risque systématique
Nulle par construction dela droite de régression
Risquediversifiable
Risque nondiversifiable
Le risque total de l’action est donné par la relation
var (Rit )=βi ² var (RMt )+var (εit )
Cette relation est illustrée de manière géométrique par référence au théorème de Pythagore bien connu en géométrie
Les statisticiens ont un autre outil qui permet de déterminer dans quellemesure les observations divergent de la droite de régression : c’est lecoefficient de détermination
Le coefficient de détermination R² est la carré du coefficient de corrélationentre l’action i et le marché. Il peut prendre toute valeur entre 0 et 100%et indiquer dans quelle mesure les variations des actions sont expliquéespar les variations du marché. Un coefficient de détermination de 100%signifierait que toutes les observations sont sur la droite de régression, cequi voudrait dire que les variations de l’action sont intégralement etexclusivement expliquées par les variations du marché.
Cette relation, appliquée à un portefeuille contenant n titres dans lesmêmes proportions, permet de mettre en évidence l’intérêt de ladiversification dans la réduction du risque. En effet, le risque de ceportefeuille s’écrit :
16
Risque to
tal
Risque to
tal
var (Rit )=βp ² var (RMt )+1n ²
∑i=1
n
var (εit )
Le deuxième terme de cette relation tend vers 0 pour n suffisamment
grand. Le risque d’un portefeuille bien diversifié est donc uniquement
constitué du risque de marché.
Pour tous les portefeuilles, le coefficient de corrélation entre l’indice
et le portefeuille, élevé au carré, donne le pourcentage de la variance
totale des rendements du portefeuille expliqué par les mouvements de
l’indice
Exemple :
Les taux de rendement mensuels suivants ont été calculés a partir
des données observées sur la bourse de New York (New York Stock
Exchange : NYSE) au cour de l’année N2. La première série numérique
concerne l’action IBM, la deuxième le marché (moyenne de l’ensemble des
titres cotés sur le NYSE).
Mois R(IBM) R(M)1/N 0,0952 0,05872/N 0,0195 0,02783/N -0,0033 0,00534/N 0,0677 0,03595/N -0,0113 -0,00796/N -0,0418 -0,07437/N 0,0459 0,02918/N 0,0449 0,04519/N 0,0271 0,0308
10/N 0,04 0,047411/N -0,0122 0,0312/N -0,0495 0,0327
2 Chiffres tirés de E.Fama, Foundations of Finance, Basic Books,1976,Ch3 et4
17
Prenons comme exemple IBM ; les fluctuations du marché
(mouvements de l’indice) sont portés sur l’axe horizontal (du graph). Il
s’agit du pourcentage de variation par mois pendant un an . Les
mouvements du cours de IBM sont portés sur l’axe vertical. Donc chaque
point correspond à la variation du mois. Il est facile de faire passer une
droite par ces points, soit visuellement, soit par une méthode statistique
(méthode des moindres carrés par exemple) cette droite s’appelle la droite
de régression du titre ; sa pente représente sa sensibilité au marché.
Le graphe obtenu pour le titre IBM est parfaitement représentatif de
l’ensemble des valeurs et montre très clairement le degré de dépendance
a l’égard du marché. Pour chaque titre, la relation linéaire est très nette et
facile à estimer avec une bonne précision. Avec une sensibilité de 0,81 le
titre IBM est défensif. Quand le taux de rendement du marché augmente
d’un point (passant par exemple de 3% a 4%), le taux de rendement du
titre IBM augmente de moins d’un point, de 0,8 point seulement (passant
de 2,5 à 3, 3%), et inversement quand le marché baisse d’un point, le taux
de rendement du titre IBM baisse de moins d’un point. Le titre IBM atténue
les fluctuations du marché.
Le fait que tous les points soient proches de la droite tracée, indique le
caractère systématique, période après période, de la rentabilité du titre
IBM.
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D’où les calculs pour le titre IBM
Mois R(M) R(IBM) (RMt -ŘM)² (Rit -Ři)²(RMt
-ŘM)*(Rit-Ři)
1/N 0,058
700 0,
095200 0,005399
80,00588
0333,17526E
-05
2/N 0,027
800 0,
019500 4,91361E
-069,6694E-
074,75119E
-12
3/N 0,005
300 -
0,003300 0,000625
8340,00047
5972,97876E
-07
4/N 0,035
900 0,
067700 0,002114
4670,00241
95,1149E-
06
5/N-
0,007900
-0,011300
0,0010901
0,00088903
9,69136E-07
6/N-
0,074300
-0,041800
0,004034367
0,0036381
1,46774E-05
7/N 0,029
100 0,
045900 0,000584
8340,00074
9854,38536E
-07
8/N 0,045
100 0,
044900 0,000537
4670,00069
6083,7412E-
07
9/N 0,030
800 0,
027100 2,89803E
-057,3674E-
052,13508E
-09
10/N 0,047
400 0,
040000 0,000334
280,00046
1531,54282E
-07
19
11/N 0,030
000 -
0,012200 0,001150
340,00094
3511,08536E
-06
12/N 0,032
700 -
0,049500 0,005071
8140,00462
6272,34636E
-05
∑ 0,260
600 0,
222200 0,013504
480,02085
4320,011019
56
EM est estimée par :
ŘM=0,2606
12=0,02172
Ei est estimée par
Ři=0,2222
12=0,01852
VM est estimée par :
VAR (M )=0,01350448
11=0,00123
σM est estimé par :
σM=√0,00123 =0,035
Vi est estimée par :
VAR (i )=0,02085432
11=0,00189585
σi est estimé par :
σi=√0,00189585 =0,04354
Cov(Ri, RM) est estimée par :
Cov(Ri ,RM )=0,01101956
11=0,001002
20
βi estimée par : βi=Cov(Ri , RM )
σM ²=
0,0010020,00123
=0,81463
αi estimé par : αi=Ři−βi ŘM=0,01852−0,81463∗0,02172=0,00083
Equation estimée de la droite Ri=0,0083+0,81463RM
Le risque total du titre est estimé par var(i)≈0,0019
Le risque total se décompose en :
Risque lié au marché= βp ² var (RMt ) = (0,81463)²*0,00123=0,00082
Risque propre au titre= risque total – risque de marché=0,0019-
0,00082=0,00108
D’où risquedemarchérisque total
=βp ² var (RMt )
var (Rit )=
(R∗σi∗σM ) ²σM ²∗var (Rit )
=R ²=(0,001002) ²
0,0019∗0,00123=0,43
R² est le coefficient de détermination, environ de 43% du risque total du
titre IBM est dû à l’influence du marché
En définitive, les trois mesures essentielles β , α et ε dont nous venons
de décrire les caractéristiques sont résumées sur la figure sous dessus
21
SECTION2:SECTION2: Le modèle de marché et la sensibilité
Les fluctuations que connaît le cours d’un titre ont une double origine.
D’une part, certains événements se produisent qui touchent l’économie dans
son ensemble, événements d’ordre économique comme la crise du pétrole
ou la crise financière actuelle ou d’ordre plus strictement monétaire comme
une dévaluation ou encore politique. Les conséquences se font sentir sur
l’ensemble des titres composant le marché. On dit que le marché est orienté
à la hausse ou la baisse.
D’autre part, interviennent des événements propres à l’entreprise émettrice
du titre comme le lancement d’un nouveau produit, l’extension géographique
du marché ; la réorganisation de la gestion ou le déclenchement d’une grève.
Les titres émis par la firme concernée, et non l’ensemble du marché, s’en
ressentent.
22
La droite de régression et ses principaux
…..
Face aux fluctuations du marché, tous les titres ne comportent pas de
façon identique. La plupart d’entre eux a tendance à suivre le marché, mais
cette évolution peut se faire avec plus de ou moins d’intensité ; certains
titres, montant plus ; d’autres moins que le marché. Il existe également des
titres, beaucoup plus rare, qui évoluent à contre courant du mouvement
général, et la encore avec plus ou moins d’intensité.
La sensibilité mesure cette réactivité du titre aux mouvements du
marché. Elle peut être positive ou négative et plus ou moins forte selon que
les fluctuations du titre accentuent ou atténuent celles du marché.
Deux approches3 sont possibles pour évaluer la sensibilité d’un titre. La
première se fonde sur une connaissance approfondie de la société, de son
secteur, de son produit, de son organisation, du comportement des
actionnaires, des projets de la direction et cherche à déterminer à partir de
ces éléments quelle sera la réponse du titre aux fluctuations du marché. Les
documents comptables jouent un rôle important dans cette approche.
La deuxième approche aborde le problème sous un angle différent et se
fonde sur un raisonnement statistique. Elle part du marché, d’où le nom de
modèle de marché.
La droite de régression du modèle de marché (voir fondement
statistique du modèle de marché) est parfois appelée droite caractéristique
du titre i sa pente βi mesure la sensibilité du titre i. lorsque le titre évolue
dans le même sens que le marché, la pente βi est positive est positive. Si elle
est supérieure à un (β ≥ 1), le titre i est a tendance a amplifié les
fluctuations du marché, il s’agit d’un titre offensif ou agressif : lorsque le
marché est orienté à la hausse, un tel titre a tendance à progresser plus
rapidement que le marché, mais lorsque le marché est la baisse, ce titre a
tendance à baisser plus que le marché.
3 M.A. Leutennegger » gestion de portefeuille et théorie des marchés financiers » 2° édition économica
23
. Les actions pour lesquelles une variation de plus ou moins 1% de l’indiceentraîne une variation de leur rentabilité supérieure à plus ou moins 1% cesactions sont dites volatiles. Leur Bêta est supérieure à 1
Si elle est comprise entre zéro et un (0<βi<1) le titre i a tendance à
suivre σ les fluctuations du marché de façon atténuée, c’est un titre
défensif.
Les actions pour lesquelles une variation donnée de l’indice entraine la
même variation de rentabilité. Leur bêta est proche de 1. Les sociétés
Holding qui constituent des sociétés diversifiées appartiennent à cette
catégorie
Si égale à un (βi= 1), il s’agit d’un titre neutre qui a tendance à
reproduire les mouvements du marché.
24
Les actions pour lesquelles une variation de plus ou moins 1% du marché entraîne une variation de leur rentabilité inférieure à plus ou moins 1%. Ces actions sont dites peu volatiles. Leur bêta est inférieur à 1. Appartiennent à cette catégorie les sociétés foncières.
Inversement, lorsque la sensibilité est négative (βi<0), le titre évolue en
opposition avec le marché. De tels titres sont rares. Selon l’intensité de
cette tendance, on aura comme dans le cas des sensibilités positives, des
titres agressifs (β<-1), neutres (βi=-1) ou défensifs (-1<βi<0) à l’opposé du
marché.
Cette analyse peut être prolongée par trois remarques4.
La sensibilité se rapporte aux mouvements du titre le long de la droite
de régression, c'est-à-dire aux mouvements liés au marché. Cette droite ne
rend pas compte de la totalité des mouvements du titre, mais seulement de
leur orientation générale face au marché.La sensibilité d’un portefeuille se calcule à partir des sensibilités des
titres qui le composent, soit un portefeuille constitué en proportion X1 et X2
des titres T1et T2. Sachant que CovPM =X1COV1M+X2COV2M, on peut écrire en
notant βp, β1 et β2 les sensibilités respectives du portefeuille et de chacun des
titres T1 et T2 :
βp =
Cov PmσM ² =
X1COV 1M +X 2COV 2MσM ² = X1β1+X2β2
4 M.A. Leutennegger » gestion de portefeuille et théorie des marchés financiers » 2° édition économica
25
La sensibilité d’un portefeuille est la moyenne pondérée des sensibilités
des titres qui le composent. Connaissant β1 et β2, en choisissant X1 et X2 de
façon pertinente, il est possible de construire un portefeuille ayant le degré
souhaité de sensibilité à partir de titres T1 et T2 quelconques.La sensibilité d’un titre ne peut être observée, en toute rigueur, elle
découle d’anticipations portant sur la période pour la quelle on envisage de
détenir un portefeuille. Cependant, il est possible d’estimer la sensibilité
future à partir des données passées.
SECTION3:SECTION3: Les reproches du modèle de marché
Historiquement le modèle du marché a révolutionné les méthodes de
gestion de portefeuille en proposant la première approche quantifiée au
risque. Son utilisation s’est grandement développée, car la plupart des
investisseurs étudient la rentabilité et le risque d’un portefeuille par rapport
au comportement du marché en général.
Toutefois, l’utilisation de ce modèle pour évaluer le risque de titres
individuels pose problème. Les bâtas sont généralement estimés
statistiquement sur une période passée, mais l’expérience montre
que ces estimations sont instables.Le bêta d’un titre mesuré sur l’année passée ne donne pas toujours de très
bonnes indications sur ce que sera la sensibilité de ce titre aux mouvements
du marché dans l’année à venir.
Il s’agit d’abord d’un problème d’estimation statistique et diverses méthodes
ont été développées afin d’améliorer la stabilité des paramètres estimés. Un
événement exceptionnel dans la vie d’une société va effectuer le calcul du
bêta sur une période donnée, mais a peu de chance de se reproduire dans le
futur. Ainsi, Blume (1975) a constaté que les bêtas avaient tendance à
retourner vers la moyenne, c'est-à-dire vers un. Par exemple, si le bêta d’une
société a été estimé à deux sur l’an passé, il est probable qu’il sera compris26
entre deux et un l’année suivante. Une méthode d’ajustement Bayesien
permet d’améliorer l’estimation du bêta futur.
Il est également possible d’utiliser des données «fondamentales» sur
l’entreprise pour améliorer l’estimation des bêtas et leur stabilité. Ainsi,
l’analyste financier peut contribuer à affiner l’estimation du risque futur d’un
titre.
Toutefois le problème fondamental du modèle de marché est qu’il tente de
résumer en un seul facteur, identique pour tous les titres, une réalité bien
plus complexe. Le facteur de marché n’est pas l’unique facteur influençant
simultanément un ensemble de titres boursiers. La séparation simplement en
deux facteurs d’influence, le marché et des facteurs purement spécifiques au
titre concerné, peut sembler une simplification exagérée de la réalité.
D’ailleurs, ce facteur de marché n’explique qu’environ 30 à 40% des
variations du cours de chaque titre. D’autres facteurs influencent
périodiquement l’évolution du cours d’un ensemble de titres. Ainsi, certains
mois, les titres à haut rendement (c'est-à-dire versant un dividende élevé)
semble exhiber une meilleure performance que les titres à faibles
rendement; d’autres mois c’est l’inverse. De même certains titres semblent
être plus sensibles aux mouvements de taux d’intérêt que d’autres et quelle
que soit l’évolution du marché. Bien que la notion du secteur d’activité soit
floue pour certaines entreprises diversifiées, il n’empêche que les cours des
sociétés appartenant à une industrie spécifique ont tendance à êtres
influencés par des causes communes.
27
CONCLUSION :
Certes , la mise en place du modèle de marché par W. Sharpe constitue le
premier pas dans la gestion de portefeuille et de la gestion indicielle, du fait de la
simplicité de sa mise en œuvre et que les études empiriques ont montrées sa
validité, mais il subit des insuffisances comme tout modèle théorique ou empirique
l’enseignements pratique à en tirer est que la volatilité augmente
proportionnellement au rétrécissement de l'horizon de temps (les investissements
à court terme présentent des risques); la diversification diminue efficacement la
volatilité; investir dans des indices du marché représentatifs ou dans des fonds
indiciels est une bonne méthode pour investir dans des portefeuilles diversifiés. Les
théories modernes de portefeuilles offrent une solution simple et intuitive pour
investir en dépit de leurs limites et devraient être l'un des nombreux éléments à
prendre en compte par les investisseurs. Les pratiques de bonne gestion strictes et
la prudence devraient être les conditions primordiales à un investissement efficient
et sûr.
Le modèle de Sharpe de 1964 s’est évolué avec l’établissement par le même
auteur du modèle d’équilibre des actifs financiers(MEDAF). Qui lui vaudra le prix
Nobel en 1990, qui conduira directement à la fondation de la gestion indicielle
passive et à l’usage intensif des indices de références ou « benchmarks » qui vont
devenir l’ultima ratio de la gestion d’actifs dite « moderne »
28
BILIOGRAPHIE
1) B.Jacquilliat & B.Solinik « marchés financiers « 4° édition DUNOD2) Conférence internationale sur l'investissement des fonds de la sécurité
sociale Mérida, Mexique, 27-28 septembre 20053) Finance" R.merton chapitre 10; p291, 2éme édition 20074) M.A. Leutennegger » gestion de portefeuille et théorie des marchés
financiers » 2° édition économica5) Rapport « finance comportementale » management financier de
l’entreprise FSJES Marrakech
29