Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:0
1. Si
1) z1 = −1 + 2 i
2) z2 = 3 e13 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3− 2 i+ (3 + 4 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2− 1
2i√
3
determine las raıces sextas de z. Reporte los argumentos
de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar 3 va-
lores intepretados como angulos en radianes en el intervalo
(−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 5 ≤ Re(−4− 2 i+ (2 + i) z)
b) −3 < Im(2− 2 i+ z) < 1
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta inclinada
2) semiplano inclinado
3) banda horizontal
4) banda vertical
5) banda inclinada
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 siguiendo la recta
y = x
2) f(z) = zz , acercandose a zo = 0 horizontalmente
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = 2− 2 i
3) z3 = −1− 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = −4 y − 2x y − 12 y
2
v(x, y) = 4x+ x2 + 4 y + x y
b) u(x, y) = x+ y2
v(x, y) = 1− 10x2 − 2 y + y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1− 2 t2, y(t) = 2− 3 t, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = −1− 3 i+ 2 z − i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ −1−2 i−3+2 i
cosh(2 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (8 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 18
b) C : |z| = 98
c) C : |z| = 10
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
(i
6− 2 i
)mindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
4 + 3 i
kk(−3 i + z)
k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 2 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −3,
k = 0, y k = 4.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z2
z2 − 25
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 6 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−4)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−4)nu(n) y 6n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 19
42
a
, 5
6
4
, 7
2
8
Respuesta:
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2
1
1
,−2
6
−6
0
,
−1
2− b−1− 2 b+ b2
19− 2 b− b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para el valor b=
2 No existe valor de b.
3 Hay mas de dos valores de b.
4 Solo para b = 0 y para b=
Respuesta:
19. Indique la dimension del subespacio:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 0 3
(1) Generado por
1
2
2
2
,
2
4
4
4
,
−2
−4
−4
−4
,
−1
−2
−2
−2
(2) Generado por
1
3
1
−3
,
5
−7
3
7
,
−3
13
−1
−13
,
3
−2
2
2
(3) El conjunto de todas las soluciones al sistema: 3 1 −2
1 −6 7
2 7 −9
x = 0
(4) El conjunto de todas las soluciones al sistema: 3 1 −2
−6 −2 4
15 5 −10
x = 0
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−1
−2
−5
2.
−3
−15
−39
3.
−1
−5
−13
4.
1
2
5
5.
1
1
2
son vectores propios de la matriz
A =
3 −28 11
−15 22 −5
−42 76 −20
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−10 −13 17
16 21 −28
2 4 −7
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:6 1 0 0 0
−1 4 0 0 0
2 3 6 0 0
−4 −6 2 4 1
−11 −16 4 −4 8
Determine la dimension algebraica de λ1 = 5 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 6.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
51 13 6
−92 −23 −11
−216 −56 −25
es diagonalizable.
A Falso
B Cierto
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −18x+ 5 y
y′ = −60x+ 17 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −14x− 6 y + 12 z
y′ = −30x− 13 y + 26 z
z′ = −30x− 15 y + 28 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −48.55
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:1
1. Si
1) z1 = −5 + 3 i
2) z2 = 2 e43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−2 + 2 i+ (4 + 5 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 6 y |z1| = 3, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z1/z2
3) z2√z1
4) (z2)2√z1
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−i− 5 z| = 1
b) 1 < Re(−5 + 4 i+ (−2− 2 i) z) < 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) banda horizontal
3) banda inclinada
4) cırculo con centro en el eje real
5) cırculo con centro en el eje imaginario
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−5−4 i
−10 i+ (−5 + 2 i) z + z2
−4− 5 i+ z
2) lımz→−1−i
(40 + (8 + 10 i) z + (5 + 2 i) z2 + z3
)Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 2 i
2) z2 = 2 + 3 i
3) z3 = 1− 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = −3x+ y
v(x, y) = x− 3 y
b) u(x, y) = 5 + 4x− 2x y
v(x, y) = x2 + 4 y − y2
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1 + 2 t2, y(t) = 2− 2 t, 0 ≤ t ≤ 5
y donde
f(z) = −2 + 2 i+ 2 z + 3 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −3+4 i
1−3 i(−3− i+ (−2− i) z)2 dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=1
(i
4 + 2 i
)nindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
(−1)n
n3 5n(−2 + i + z)
n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =8
z
alrededor de zo = 2 i. Reporte la parte real de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 2 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 3
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −3,
k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =9 z2
9 z2 − 9 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
2y(n− 1)
si y(−1) = −2 y x(n) = (−1/2)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/2)n y (1/2)n.
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− y − z = −4
4x+ 5 y = 11
2x+ 7 y − z = 16
12 y − 2 z = 30
se puede decir que es . . .
1 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
2 el punto P ( , , ).
3 vacıo porque el sistema es inconsistente.
4 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
−2
1
,
2
−3
−2
2
,
1
−1− a−2− 3 a+ a2
1− 30 a+ 6 a2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de a.
2 No existe valor de a.
3 Solo para el valor a=
4 Solo para a = 0 y para a=
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 1 3
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
4
−1
−2
, 1
5
−3
, −5
6
−1
b)
5
10
7
, 3
2
4
, 5
−1
−3
, 2
8
3
c)
3
9
8
, 8
−1
−5
, 19
7
−2
d)
−5
1
2
, 8
10
5
, 1
5
3
e)
4
−5
2
, −1
−2
−4
, 10
4
6
, 29
10
14
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
2
3
7
2.
−1
−2
−5
3.
1
1
3
4.
1
2
5
5.
3
3
9
son vectores propios de la matriz
A =
−8 5 1
−19 4 5
−49 7 14
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−91 −31 −14
210 72 32
150 50 24
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:6 1 0 0 0
−9 0 0 0 0
19 −7 −2 0 0
49 −21 2 −3 1
20 −9 2 −1 −1
Determine la dimension geometica de λ1 = 3 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −2.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
4 0 0
0 6 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −20x+ 9 y
y′ = −42x+ 19 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 3x− 6 y + 8 z
y′ = 6x− 13 y + 18 z
z′ = 5x− 9 y + 12 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 169.8
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:2
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 1 + 5 i+ (−4 + 3 i)− (1 + 5 i)
2) z2 = (3 + 5 i) (5 + 3 i)
3) z3 = −1+2 i−2−2 i
4) z4 = 1+4 i−5+3 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1− 4 i+ (1 + 2 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2− 1
2i√
3
determine las raıces sextas de z. Reporte los argumentos
de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar 3 va-
lores intepretados como angulos en radianes en el intervalo
(−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 5 ≤ |−5 + i+ z| ≤ 7
b) |5 + z| = 5
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) banda inclinada
2) cırculo con centro en el eje real
3) exterior de un disco
4) anillo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 horizontalmente
2) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la izquierda
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = −1− 3 i
3) z3 = 1− i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = 5x+ 5 y − 8x y
v(x, y) = 4x2 + 5 y − 4 y2
b) u(x, y) = x+ y
v(x, y) = −x− 5 y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −2− 3 t+ i(−1− 2 t2
), 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = 2− 2 i− z − i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ −3−3 i1+3 i
e4 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (4 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 14
b) C : |z| = 54
c) C : |z| = 6
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=1
(i
2 + i
)1+n
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=0
(2 + 3 i)n
(1 + 3 i + z)n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =64
z
alrededor de zo = 4 i. Reporte la parte real de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 4 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
4 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −3,
k = −1, k = 0, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =5 z + z2
z2 − 2 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = 5 y x(n) = (−1/4)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/4)n y (1/4)n.
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 2 y − 2 z = −10
−2x+ y + 4 z = 9
6x− 5 y − 5 z = −26
−18x+ 14 y + 20 z = 80
se puede decir que es . . .
1 vacıo porque el sistema es inconsistente.
2 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
3 el punto P ( , , ).
4 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
4
0
,
0
1
0
1
,−4
−6
x
−2
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 2 3
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
donde a+ 3 b = 0 y b+ c = 0, ¿es un subespacio vectorial?
A No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
B No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
C Sı es subespacio.
D No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−222 −40 20
870 157 −78
−780 −141 70
de la lista de vectores:
1.
−3
11
−12
2.
−9
34
−34
3.
5
−19
18
4.
1
−4
3
5.
8
−30
30
6.
−30
114
−111
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
2 −9 −6
−4 1 −2
6 −3 2
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:2 1 0 0 0
−9 −4 0 0 0
−14 −21 6 0 0
−38 −63 2 5 1
−1 −11 2 −1 7
Determine la dimension algebraica de λ1 = 6 y la dimen-
sion geometica de λ2 = −1.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
−133 −45 15
432 146 −48
108 36 −10
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −20x− 10 y + 14 z
y′ = −24x− 10 y + 16 z
z′ = −48x− 24 y + 34 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −10x− 5 y + 7 z
y′ = −12x− 5 y + 8 z
z′ = −24x− 12 y + 17 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 27.61
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:3
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = −3 + 4 i+ (−4 + 3 i)− (−1 + 4 i)
2) z2 = (3 + 4 i) (1 + 3 i)
3) z3 = 1−4 i−2+5 i
4) z4 = −1+4 i4−i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−5− 3 i+ (−3 + 4 i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2i+
1
2
√3
determine las raıces sextas de z. Reporte los argumentos
de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar 3 va-
lores intepretados como angulos en radianes en el intervalo
(−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−1 + 2 z| = 3
b) 2 ≤ |2 + 2 i+ z| ≤ 7
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) semiplano inclinado
2) cırculo con centro en el eje real
3) cırculo con centro fuera de los ejes
4) anillo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→5−2 i
−11 + 16 i− 2 z + z2
−5 + 2 i+ z
2) lımz→4+2 i
2− 4 i+ i z
12 + 16 i+ (−8− 4 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −i2) z2 = 2 + 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x3 + 12x y − 92 y
2
v(x, y) = −6x2 + 9x y − 3 y2
b) u(x, y) = −5 y − 2x y − 52 y
2
v(x, y) = 5x+ x2 + 25 y + 5x y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −1 + i (3− t) + 3 t2, 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = 2− 2 i+ 2 z − i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 2+i
−2
(−4 + 4 i+ (−1− 4 i) z + 3 z2
)dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (4 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 14
b) C : |z| = 54
c) C : |z| = 6
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(4 + i)k−1
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=0
1
(1 + i)1+m (−3− 3 i + z)
m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 3 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −3,
k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−3 z
z2 − 4 z + 4
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 3 y(n)
si y(0) = 3 y x(n) = (−3)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−3)nu(n) y 3n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 60
60
a
, 7
1
2
, 4
7
2
Respuesta:
18. ¿Para que valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
1
1
,−2
1
−1
−3
,
2
−2− 2 c
2− c+ c2
2− 17 c+ 5 c2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de c.
2 No existe valor de c.
3 Solo para c = 0 y para c=
4 Solo para el valor c=
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 3 3
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
que cumplen:
a+ b = 0
¿es un subespacio vectorial?
A Sı es subespacio.
B No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
C No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
D No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
77 −15 17
350 −68 78
0 0 0
de la lista de vectores:
1.
−3
−15
0
2.
−2
−9
0
3.
2
9
−1
4.
1
4
−1
5.
−3
−14
0
6.
0
−1
−1
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−18 −12 2
−4 2 4
−100 −54 21
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: 4 1 0 0 0
−1 2 0 0 0
−1 −3 4 0 0
−3 −9 2 3 1
0 −1 2 −1 5
Determine la dimension algebraica de λ1 = 4 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 3.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
277 −110 55
1025 −408 205
650 −260 132
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −21x+ 6 y
y′ = −72x+ 21 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 2 y + 5 z
y′ = −7x− 4 y + 11 z
z′ = −2x− 4 y + 8 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −24.3
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:4
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 3 + 5 i+ (2 + 3 i)− (5 + 4 i)
2) z2 = (−3 + 5 i) (−1 + 2 i)
3) z3 = 3−3 i−1+4 i
4) z4 = 5−5 i4+5 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1 + 2 i+ (−3− i) z)4 = −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2− 1
2i√
3
determine las raıces cuartas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) −5 > Re(4− i+ (4 + 4 i) z)
b) Re(−2 + i+ z) = Im(−2− i+ z)
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) recta inclinada
3) semiplano inclinado
4) cırculo con centro en el eje imaginario
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la izquierda
2) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 verticalmente
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −3− 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 5 y − 2x y − y2v(x, y) = −5x+ x2 − 10 y + 2x y
b) u(x, y) = x+ y2
v(x, y) = 1− 8x2 + 5 y + y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −2− 2 t, y(t) = −3− t2, 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = −2− 3 i+ 3 z − 3 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 2+4 i
−2+3 i
cosh(3 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (3 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 13
b) C : |z| = 43
c) C : |z| = 5
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(i
3 + i
)1+k
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
(−1)n
n2 2n(1− 2 i + z)
n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =27
z
alrededor de zo = 3 i. Reporte la parte real de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 3 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
5 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −3,
k = −1, k = 1, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
4 z2 − 8 z + 4
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = −1 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1)n y (1/4)n.
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−2x− 4 y − z = 4
−4x− 8 y − 3 z = 10
4x+ 8 y + 2 z = −8
se puede decir que es . . .
1 vacıo porque el sistema es inconsistente.
2 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
3 el punto P ( , , ).
4 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
−2
2
,
0
1
2
0
,
−2
2 + 2x
4− x+ x2
−4− 30x+ 6x2
Indique su respuesta en las posibles:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 4 3
1 No existe valor de x.
2 Hay mas de dos valores de x.
3 Solo para x = 0 y para x=
4 Solo para el valor x=
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
0
−2
−3
6
,
3
−3
5
−2
,−1
5
5
4
,
1
3
−5
2
Respuesta:
20. Los vectores
1.
1
1
1
2.
2
2
2
3.
−2
−1
2
4.
−7
−5
2
5.
−6
−3
6
son vectores propios de la matriz
A =
−87 116 −32
−78 103 −28
−36 44 −11
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−39 12 7
−98 31 17
−62 18 12
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:8 1 0 0 0
−4 4 0 0 0
−18 11 −2 0 0
−46 22 2 −3 1
−6 −6 2 −1 −1
Determine la dimension geometica de λ1 = 6 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −2.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−2 0 0
0 3 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −20x+ 6 y
y′ = −63x+ 19 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 7x− 7 y + 5 z
y′ = 15x− 15 y + 11 z
z′ = 15x− 13 y + 9 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −74.13
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:5
1. Si
1) z1 = −4− 3 i
2) z2 = 2 e43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−5 + i+ (−3 + 5 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si z = 3− 5 i determine el cuadrante donde esta
1) la primera raız de 3√z
2) la primera raız de 5√z
3) la quinta raız de 7√z
4) la primera raız de 8√z
Notas: 1) Las raıces estaran ordenadas de manera que la
primera raız es la principal. 2) Para los cuadrantes estaran
etiquetados por enteros de manera que 1 significara prime-
ro, 2 segundo, etcetera.
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−2 + 5 i+ z|+ |5− 5 i+ z| = 11
b) |3 + 4 i+ z| > 0
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) banda inclinada
2) cırculo con centro en el eje real
3) el plano complejo
4) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−5−3 i
(−9 + (3− 6 i) z + (−3 + 2 i) z2 + z3
)2) lım
z→−3−4 i
1
−10 i+ (−5 + 2 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = 3 + 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x+ y2
v(x, y) = 1− 2x2 + y + y2
b) u(x, y) = 4 y − 2x y − 12 y
2
v(x, y) = −4x+ x2 + x y − y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1 + 3 t2, y(t) = −3− t, 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = −3− 2 i+ 3 z + 3 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ −2+3 i
2+i
e−i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (2 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 12
b) C : |z| = 32
c) C : |z| = 4
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
(2− 2 i)m−1
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
1
k
(i
1− 3 i
)kzk
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =27
z
alrededor de zo = 3 i. Reporte la parte real de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 3 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −1,
k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =4 z
2− 4 z + z2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 7 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−7)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−7)nu(n) y 7n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− y + 2 z = −3
−4x− z = −6
4x+ 2 y + z = 12
18x+ 7 y + 3 z = 52
se puede decir que es . . .
1 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
2 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
3 vacıo porque el sistema es inconsistente.
4 el punto P ( , , ).
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
3
0
,
0
1
0
1
,−3
−2
x
1
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 5 3
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
6
4
−2
−5
,
2
3
6
4
,
1
−5
−5
1
,
4
−2
−1
4
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−2
6
6
2.
1
−3
−3
3.
1
0
7
4.
−1
2
0
5.
1
−2
0
son vectores propios de la matriz
A =
21 9 −2
−126 −60 18
−294 −147 49
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
47 10 14
−108 −23 −32
−60 −12 −19
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: −2 1 0 0 0
−1 −4 0 0 0
10 26 5 0 0
37 78 2 5 1
−19 −43 0 0 5
Determine la dimension geometica de λ1 = −3 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 5.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
151 55 13
−281 −101 −25
−482 −181 −38
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 18 y + 12 z
y′ = −9x− 23 y + 15 z
z′ = −18x− 54 y + 34 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −2, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 10x− 8 y + 5 z
y′ = 24x− 19 y + 12 z
z′ = 24x− 18 y + 11 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −15.85
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:6
1. Si
1) z1 = 3 + 2 i
2) z2 = 3 e43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1− 4 i+ (−3 + 5 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2i+
1
2
√3
determine las raıces cubicas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 4 ≤ |2− 3 i+ z| < 9
b) |−1 + 3 z| = 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) semiplano horizontal
2) banda inclinada
3) cırculo con centro en el eje real
4) exterior de un disco
5) anillo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→4−i
3 i+ (−3− i) z + z2
3 + 2 i+ z
2) lımz→3+4 i
(8 + (−2− 12 i) z + (−4 + 3 i) z2 + z3
)
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = −2− i3) z3 = 1− 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = 3x− x2 + 3 y + 4x y + y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = 3− t+ i(−3− 2 t2
), 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = −2 + 2 i− z + 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 3+3 i
4+2 i
e4 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (8 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 18
b) C : |z| = 98
c) C : |z| = 10
2
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=0
7
(2
(1 + 2 i)
)kindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=1
m2m (3 i + z)m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 2 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 4
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −5,
k = −2, k = −1, y k = 0.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =5 z2
z2 − 25
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 2 y(n)
si y(0) = 2 y x(n) = (−2)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−2)nu(n) y 2n u(n).
Respuesta:
17. Si
v =
[6
18
], w =
[3
9
], y S = {w}.
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. w ∈ Gen {S} 2. w ∈ S3. v ∈ S 4. v ∈ Gen {S}
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−1
2
,
1
4
−3
6
,
0
−2x
−2x+ x2
−12x+ 2x2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de x.
2 Solo para el valor x=
3 Solo para x = 0 y para x=
4 Hay mas de dos valores de x.
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
donde a− b = 0 y b+ c = 0, ¿es un subespacio vectorial?
A No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
B No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
C No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
D Sı es subespacio.
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 6 3
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
252 90 −27
−964 −345 104
−916 −330 101
de la lista de vectores:
1.
−27
102
93
2.
4
−15
−13
3.
12
−45
−40
4.
10
−38
−35
5.
1
−4
−4
6.
−2
7
5
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−30 −50 −22
35 59 26
−35 −58 −25
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:4 1 0 0 0
−9 −2 0 0 0
12 −1 −2 0 0
−30 2 2 −5 1
−105 8 6 −9 1
Determine la dimension algebraica de λ1 = −2 y la di-
mension geometica de λ2 = 1.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−4 6 c
−4 6 c
−4 6 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −20x− 10 y + 14 z
y′ = −24x− 10 y + 16 z
z′ = −48x− 24 y + 34 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −1, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −18x− 4 y + 10 z
y′ = −20x− 4 y + 11 z
z′ = −40x− 10 y + 23 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −19.29
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:7
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = −5 + 5 i+ (−1 + 2 i)− (1 + 4 i)
2) z2 = (4 + 2 i) (−4 + 4 i)
3) z3 = −3+5 i−1+4 i
4) z4 = −4+5 i1+3 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−4 + 2 i+ (−3 + 4 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 2 y |z1| = 4, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z21 z2
3) z1 z2
4) (z1)2√z2
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Re(3− 4 i+ z) ≤ |3− 4 i+ z|b) Re(−4 + i+ z) ≤ |−4 + i+ z|
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) banda horizontal
2) cırculo con centro en el eje imaginario
3) exterior de un disco
4) el plano complejo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→5−5 i
−2 + i+ z
5− 15 i+ (−7 + 6 i) z + z2
2) lımz→−4+5 i
40− 9 i+ (10 + 8 i) z + i z2
4− 5 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −1− i
3) z3 = −2− 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x− 2 y2
v(x, y) = 1− 6x2 − 5 y + y2
b) u(x, y) = −y − 2x y + 32 y
2
v(x, y) = x+ x2 − 3 y − 3x y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = 3− 2 t+ i(−2− t2
), 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = −1− 3 i+ 2 z − i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 1+2 i
−2+i(5− 3 i+ (2 + i) z)
2dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (7 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 17
b) C : |z| = 87
c) C : |z| = 9
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=0
5
(−2
(1− 2 i)
)mindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=1
(−1)m
m3 2m(2 + 2 i + z)
m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 3 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −5, k = −2,
k = 2, y k = 4.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
2 z2 − 4 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 2 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−2)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−2)nu(n) y 2n u(n).
Respuesta:
17. Considere los vectores:
v1 =
−5
2
3
, v2 =
3
5
−6
v3 =
20
−8
−12
, v4 =
−7
9
0
v5 =
27
−17
−12
, v6 =
5
−4
−1
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cual de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 = W2
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
D W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 7 3
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
2
2
,−1
1
2
−4
,
−1
−1− b−2− 6 b+ b2
18− 16 b+ 3 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para el valor b=
2 Hay mas de dos valores de b.
3 No existe valor de b.
4 Solo para b = 0 y para b=
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
que cumplen:
b+ c ≥ 0
¿es un subespacio vectorial?
A No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
B No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
C Sı es subespacio.
D No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−78 −44 −8
123 65 14
219 131 20
de la lista de vectores:
1.
8
−10
−26
2.
2
−3
−6
3.
7
−9
−23
4.
−3
4
9
5.
5
−6
−17
6.
18
−24
−57
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
35 11 13
−80 −25 −30
−10 −3 −4
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:4 1 0 0 0
−1 2 0 0 0
−6 −6 −3 0 0
5 12 2 −6 1
28 43 6 −9 0
Determine la dimension algebraica de λ1 = 3 y la dimen-
sion geometica de λ2 = −3.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
−11 −2 −3
19 6 4
51 7 14
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −30x− 12 y + 20 z
y′ = −36x− 14 y + 24 z
z′ = −70x− 30 y + 48 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 9x− 12 y + 7 z
y′ = 18x− 25 y + 15 z
z′ = 22x− 30 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 21.07
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:8
1. Si
1) z1 = −4− 5 i
2) z2 = 3 e−53 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1 + i+ (2 + 5 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 3 y |z1| = 6, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z31 z2
3) z1 z2
4) (z2)2√z1
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Im(1− 3 i+ z) ≤ |1− 3 i+ z|
b) Re(1− 2 i+ z) ≤ |1− 2 i+ z|
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) cırculo con centro en el eje real
2) cırculo con centro fuera de los ejes
3) el plano complejo
4) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−4−4 i
−32 + (−8 + 8 i) z + i z2
4 + 4 i+ z
2) lımz→−3−5 i
37 + 5 i+ 7 z + z2
3− 5 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = 3− 3 i
3) z3 = −1 + 3 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 2 y − 2x y + 32 y
2
v(x, y) = −2x+ x2 − 3x y − y2
b) u(x, y) = x2 − 25 y2
v(x, y) = x+ 2x y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 2
que va desde z1 = 2 i hasta z2 = 2 en el sentido antihorario
y donde
f(z) =3− 3 i+ 3 z
z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ −3+i4−2 i
(3 + 2 i+ (−2− 3 i) z)2dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (7 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 17
b) C : |z| = 87
c) C : |z| = 9
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
(i
8 + 2 i
)mindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=0
(5 + 2 i
2 i
)m(3 + i + z)
m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 2 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
5 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −3,
k = −1, k = 1, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =25 z2
25 z2 − 25 z + 4
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 5 y(n)
si y(0) = 5 y x(n) = (−7)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−7)nu(n) y 5n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 50
31
a
, 5
3
8
, 8
5
3
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
3
−3
0
,
0
1
0
−2
,−3
−12
x
6
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
0
0
6
0
,−4
6
6
−6
,−22
21
−16
−21
,−6
−3
−4
3
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 8 3
20. Los vectores
1.
13
17
−9
2.
26
34
−18
3.
1
1
−2
4.
3
3
−6
5.
3
4
−2
son vectores propios de la matriz
A =
237 −157 40
308 −204 52
−166 110 −28
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
1 3 0
0 −8 −6
0 12 10
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: −2 1 0 0 0
0 −2 0 0 0
4 −5 2 0 0
4 0 2 2 1
−8 14 0 0 2
Determine la dimension geometica de λ1 = −2 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 2.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
90 −37 13
92 −35 14
−304 132 −42
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 23x− 28 y + 16 z
y′ = 52x− 63 y + 36 z
z′ = 64x− 76 y + 43 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 17 y + 10 z
y′ = −6x− 20 y + 12 z
z′ = −12x− 44 y + 26 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 40.91
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:9
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = −1 + 5 i+ (−2 + 4 i)− (3 + 3 i)
2) z2 = (−4 + 4 i) (−3 + 2 i)
3) z3 = −2−5 i−3+3 i
4) z4 = 5−4 i−5+3 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−5 + i+ (−3− i) z)4 = −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si z = −5− 5 i determine el cuadrante donde esta
1) la segunda raız de 3√z
2) la tercera raız de 4√z
3) la cuarta raız de 7√z
4) la segunda raız de 8√z
Notas: 1) Las raıces estaran ordenadas de manera que la
primera raız es la principal. 2) Para los cuadrantes estaran
etiquetados por enteros de manera que 1 significara prime-
ro, 2 segundo, etcetera.
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 3 < |3− 5 i+ z| ≤ 5
b) |3− 5 i− 4 z| = 1
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) cırculo con centro en el eje real
3) cırculo con centro fuera de los ejes
4) exterior de un disco
5) anillo
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = Re(z) Im(z)z , acercandose a zo = 0 siguiendo
la recta y = x
2) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la derecha
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 2 i
2) z2 = −3 + 2 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:
(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x3 − 5 y
v(x, y) = 5x+ 4 y − y3
b) u(x, y) = x+ 2 y2
v(x, y) = 1− 4x2 − 2 y + y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
2
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −1− 3 t2 + i (2 + 2 t) , 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = −1 + 2 i+ 2 z − i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 4−i
2+i
e2 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(i
6 + i
)kindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=0
(1 + i)k
(1− 2 i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 5 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
5 < |z + 1|Si ak es el coeficiente de (z + 1)
ken el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −2,
k = −1, k = 1, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z
14− 8 z + z2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 7 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−3)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−3)nu(n) y 7n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 82
72
a
, 8
6
2
, 3
4
2
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
1
1
,
2
−1
1
1
,
1
−1 + 2x
1− 4x+ x2
7− 11x+ 3x2
Indique su respuesta en las posibles:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 9 3
1 Solo para el valor x=
2 No existe valor de x.
3 Solo para x = 0 y para x=
4 Hay mas de dos valores de x.
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−25
3
18
40
,
0
−1
−3
−6
,
1
6
1
6
,
6
−1
−1
−4
Respuesta:
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
70 −8 16
88 −10 20
−232 24 −54
de la lista de vectores:
1.
1
1
−4
2.
3
4
−11
3.
−2
−3
6
4.
−1
−1
3
5.
6
9
−21
6.
−3
−4
10
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
22 −14 8
29 −18 11
7 −4 3
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−1 1 0 0 0
−9 5 0 0 0
2 −1 1 0 0
4 −1 2 4 1
−7 1 −6 −9 −2
Determine la dimension geometica de λ1 = 2 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 1.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
−2 −2 1
12 8 −3
8 4 0
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 6x− 24 y + 16 z
y′ = 6x− 26 y + 18 z
z′ = 10x− 36 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 8 y + 5 z
y′ = −4x− 11 y + 7 z
z′ = −8x− 26 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −1.914
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:10
1. Si
1) z1 = 5 + 5 i
2) z2 = 3 e43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−2− 5 i+ (5 + i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2− 1
2i√
3
determine las raıces quintas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) −3 < Re(4− 2 i+ (−3 + 5 i) z) ≤ −2
b) |5 + 2 i+ z| < 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) semiplano horizontal
3) banda vertical
4) banda inclinada
5) interior de un disco
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→2+4 i
−26− 2 i+ (1− 9 i) z + z2
−2 + 4 i+ z
2) lımz→4−i
−1− 4 i+ i z
15− 8 i+ (−8 + 2 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 2 i
2) z2 = −2− 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = 3x− 4x2 + y − 10x y + 4 y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = 2 + 3 t+ i(2 + 3 t2
), 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = 3 + 2 i− 2 z − 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −1−2 i1+4 i
ei z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (4 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 14
b) C : |z| = 54
c) C : |z| = 6
2
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
(i
6− i
)mindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=0
(5 + 2 i)k
(2 + i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 5 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 3
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −5, k = −3,
k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−4 z + 20 z2
−z2 + 4 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 7 y(n)
si y(0) = 7 y x(n) = (−2)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−2)nu(n) y 7n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x+ 3 y + z = −3
−2x− 6 y − 2 z = 6
3x+ 9 y + 3 z = −9
se puede decir . . .
1 que es el punto P ( , , ).
2 que es un plano con vector normal
n =< 1, , >.
3 que es vacıo porque el sistema es inconsistente.
4 que es una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2
−3
0
,
0
1
0
−4
,
2
−7
x
12
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
0
2
−5
2
,
1
3
−2
5
,−1
−19
22
−18
,
2
−6
6
1
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 10 3
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−6 9 6
14 −29 −18
−28 66 40
de la lista de vectores:
1.
−6
15
−31
2.
−2
6
−13
3.
−2
5
−10
4.
4
−9
18
5.
3
−7
14
6.
1
−2
4
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
1 13 10
0 −16 −14
0 21 19
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−1 1 0 0 0
−9 5 0 0 0
32 −4 4 0 0
101 −12 2 1 1
248 −29 6 −9 7
Determine la dimension algebraica de λ1 = 2 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 4.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−5 2 c
−5 2 c
−5 2 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −17x− 9 y + 12 z
y′ = −24x− 14 y + 18 z
z′ = −45x− 27 y + 34 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 22x− 18 y + 12 z
y′ = 48x− 39 y + 26 z
z′ = 36x− 28 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 264.7
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:11
1. Si
1) z1 = −4− 4 i
2) z2 = 3 e−34 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(1 + 3 i+ (3 + i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 3 y |z1| = 5, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z1 z
22
3) z1√z2
4) (z1)2√z2
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 4 < Re(4 + 4 i+ z)
b) −2 < Im(2 + 3 i+ z) < 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta inclinada
2) semiplano horizontal
3) semiplano vertical
4) banda horizontal
5) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→5+3 i
(40 + (8 + 10 i) z + (5 + 2 i) z2 + z3
)
2) lımz→−2−2 i
−2 i+ (−2 + i) z + z2
−4 + 4 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −i2) z2 = −1 + 2 i
3) z3 = 2− 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = −5 y
v(x, y) = 5x− 3 y
b) u(x, y) = x+ y
v(x, y) = −x− y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −2− t2 + i (−2 + 3 t) , 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = −1− 3 i− 3 z − 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 2 i π
−2 i πcosh(i z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (3 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 13
b) C : |z| = 43
c) C : |z| = 5
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(i
3 + i
)1+k
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
n2n (2 + 2 i + z)n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 4 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 3
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −3, k = −1, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−6 z + 16 z2
−1 + 10 z − 32 z2 + 32 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
2y(n− 1)
si y(−1) = −3 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1)n y (1/2)n.
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 2 y + 3 z = −9
−2x− 4 y − 5 z = 19
−4x = −8
−6x+ 8 y + 11 z = −60
se puede decir que es . . .
1 vacıo porque el sistema es inconsistente.
2 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
3 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
4 el punto P ( , , ).
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
−2
2
,
1
3
−6
6
,
−2
−2 + 2 a
4− 7 a+ a2
−4− 8 a+ 4 a2
Indique su respuesta en las posibles:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 11 3
1 Solo para el valor a=
2 Solo para a = 0 y para a=
3 Hay mas de dos valores de a.
4 No existe valor de a.
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
10
6
−2
, −4
0
4
b)
−5
−2
2
, 4
5
3
, −4
3
1
c)
0
−4
−5
, 9
8
4
, −2
−2
3
, 9
4
−1
d)
8
−3
8
, 8
1
10
, 10
−2
−1
e)
4
−2
4
, −3
3
3
, 5
−1
11
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
526 200 72
−1668 −634 −228
844 320 114
de la lista de vectores:
1.
1
−3
1
2.
5
−16
8
3.
−3
10
−6
4.
−19
61
−32
5.
45
−144
75
6.
4
−13
7
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−4 10 6
−4 8 4
0 2 2
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:4 1 0 0 0
−9 −2 0 0 0
10 6 5 0 0
11 6 2 6 1
−22 −11 −2 −1 4
Determine la dimension algebraica de λ1 = 5 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 1.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
3 0 0
0 1 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −7x+ 3 y
y′ = −18x+ 8 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− y + 5 z
y′ = −6x− y + 6 z
z′ = −6x− 3 y + 8 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 8.213
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:12
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 4 + 2 i+ (2 + 4 i)− (3 + 3 i)
2) z2 = (−2 + 5 i) (−1 + 3 i)
3) z3 = −5+3 i−2+5 i
4) z4 = 4−4 i5+4 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(1− i+ (3 + 3 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 6 y |z1| = 3, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z2/z1
2) z1 z2
3) z1√z2
4) (z1)2√z2
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) −1 < Im(−4 + 3 i+ z) ≤ 0
b) Re(2 + 4 i+ z) = Im(−4− i+ z)
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta inclinada
2) semiplano horizontal
3) banda horizontal
4) banda vertical
5) cırculo con centro en el eje real
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la derecha
2) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 horizontalmente
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = 1− 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x3 − 2 y
v(x, y) = 2x+ 2 y − y3
b) u(x, y) = x− 3 y2
v(x, y) = 1 + 4x2 + 2 y + y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1− t, y(t) = −3− 3 t2, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = 3− 3 i− 2 z + 2 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 1+2 i
2−3 ie3 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (5 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 15
b) C : |z| = 65
c) C : |z| = 7
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
4 i
(i
3
)m−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
2 + 3 i
kk(3− i + z)
k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 4 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 5
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −3, k = −1, y k = 0.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z
23− 10 z + z2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 4 y(n)
si y(0) = 4 y x(n) = 6n u(n). Determine la forma cerrada
de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 6n u(n)
y 4n u(n).
Respuesta:
17. Si
v =
[6
3
], w =
[−2
−1
], y S = {w}.
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. v ∈ Gen {S} 2. w ∈ S3. w ∈ Gen {S} 4. v ∈ S
Respuesta:
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
2
0
,
1
3
4
0
,
0
−2 b
−7 b+ b2
−20 b+ 4 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de b.
2 Solo para el valor b=
3 Solo para b = 0 y para b=
4 No existe valor de b.
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 12 3
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−4
−1
2
−3
,
16
4
−8
12
,−8
−2
4
−6
,
12
3
−6
9
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−1
−2
1
2.
8
15
−11
3.
1
2
−1
4.
−4
−7
8
5.
−12
−21
24
son vectores propios de la matriz
A =
448 −200 48
847 −378 91
−581 260 −61
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
4 3 3
6 4 0
−12 −9 −5
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−3 1 0 0 0
−4 1 0 0 0
16 −1 1 0 0
−28 2 2 −2 1
−112 8 6 −9 4
Determine la dimension geometica de λ1 = −1 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 1.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
4 0 0
0 5 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −48x+ 15 y
y′ = −150x+ 47 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 16 y + 10 z
y′ = −6x− 19 y + 12 z
z′ = −12x− 42 y + 26 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −295.7
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:13
1. Si
1) z1 = 2 + 2 i
2) z2 = 3 e53 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−4− 2 i+ (−3− 2 i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2− 1
2i√
3
determine las raıces sextas de z. Reporte los argumentos
de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar 3 va-
lores intepretados como angulos en radianes en el intervalo
(−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Im(2− 2 i+ z) = 2
b) 2 < Im(1− 4 i+ z) < 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) semiplano inclinado
3) banda horizontal
4) cırculo con centro en el eje imaginario
5) interior de un disco
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−4+i
1
−i+ (−1 + i) z + z2
2) lımz→−2−5 i
−i+ (1− i) z + z2
−5 + 2 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −2− 3 i
3) z3 = 3 + 2 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = −4x+ 3x2 + 5 y − 2x y − 3 y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 1
que va desde z1 = −i hasta z2 = −1 en el sentido antiho-
rario y donde
f(z) =−1− 3 i− 3 z
z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −1+3 i
−3−icosh(3 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
2
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=1
(i
2− 3 i
)nindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
1
k
(i
1− 2 i
)kzk
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 4 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −5, k = −1,
k = 1, y k = 4.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−8 z + 25 z2
−1 + 12 z − 45 z2 + 50 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 4 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−7)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−7)nu(n) y 4n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− 2 y + 2 z = 12
−4x+ 4 y − 5 z = −27
4x− 4 y + 4 z = 24
se puede decir que es . . .
1 vacıo porque el sistema es inconsistente.
2 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
3 el punto P ( , , ).
4 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
1
1
,−2
4
0
−2
,
1
−1− 2 b
1− 6 b+ b2
16− 12 b+ 2 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para b = 0 y para b=
2 Solo para el valor b=
3 No existe valor de b.
4 Hay mas de dos valores de b.
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
18
30
−6
12
,−15
−25
5
−10
,
15
25
−5
10
,
3
5
−1
2
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 13 3
20. Los vectores
1.
1
−2
−1
2.
−4
9
2
3.
−8
18
4
4.
−1
2
1
5.
−8
19
3
son vectores propios de la matriz
A =
−148 −60 −28
358 145 68
49 20 9
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−67 24 −18
−147 53 −39
69 −24 20
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:3 1 0 0 0
−1 5 0 0 0
−5 −9 −3 0 0
−11 −9 2 −2 1
22 19 −2 −1 −4
Determine la dimension geometica de λ1 = 4 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −3.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−3 0 0
0 3 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −14x+ 6 y
y′ = −30x+ 13 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 10x− 8 y + 5 z
y′ = 24x− 19 y + 12 z
z′ = 24x− 18 y + 11 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −72.95
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:14
1. Si
1) z1 = 5 + 2 i
2) z2 = 2 e14 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(1− i+ (1− 3 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 3 y |z1| = 6, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 z22
2) z1 z2
3) z1√z2
4) (z1)2√z2
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 5 ≤ Re(5 + i+ (3 + i) z) ≤ 6
b) Im(4− 2 i+ z) = 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) semiplano vertical
3) banda inclinada
4) cırculo con centro fuera de los ejes
5) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−5+4 i
1
8 i+ (−2− 4 i) z + z2
2) lımz→−5+4 i
−15 i+ (−3 + 5 i) z + z2
−2− 5 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −1− 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = −3x+ 12 x
2 − y − 12 y
2
v(x, y) = x− 4 y + x y
b) u(x, y) = −x− y − 10x y
v(x, y) = 5x2 − y − 5 y2
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −2− t2 + i (3 + 3 t) , 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = −3− 3 i− 2 z − 3 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 2+2 i
4+3 i
(−5 + i+ (−5 + 3 i) z + 2 z2
)dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (2 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 12
b) C : |z| = 32
c) C : |z| = 4
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=0
2
(3
(1 + 3 i)
)kindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=1
m2m (−3− 3 i + z)m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =27
z
alrededor de zo = 3 i. Reporte el modulo de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 3 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
4 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −2,
k = −1, k = 0, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =2 z
z2 − 6 z + 9
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 2 y(n)
si y(0) = 2 y x(n) = 5n u(n). Determine la forma cerrada
de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 5n u(n)
y 2n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 14
18
a
, 1
1
6
, 5
7
4
Respuesta:
18. ¿Para que valor de k el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
−2
1
,−1
−1
−2
−5
,
−1
1 + k
2 + k2
2− 6 k + 3 k2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para el valor k=
2 Hay mas de dos valores de k.
3 No existe valor de k.
4 Solo para k = 0 y para k=
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
3
−4
−3
, 10
7
10
b)
−5
2
−4
, 10
7
1
, 4
10
10
, 2
−13
−19
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 14 3
c)
1
6
8
, −2
7
6
, 0
19
22
d)
−5
5
8
, 0
3
−2
, 2
4
2
e)
10
−3
0
, 0
−5
10
, 10
7
−20
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
2
−7
−11
2.
0
−1
4
3.
0
3
−12
4.
3
−12
−12
5.
4
−14
−22
son vectores propios de la matriz
A =
198 40 10
−796 −160 −41
−716 −148 −33
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
44 16 12
−72 −26 −20
−48 −18 −12
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:2 1 0 0 0
−9 −4 0 0 0
29 23 4 0 0
31 23 2 5 1
−80 −61 −2 −1 3
Determine la dimension geometica de λ1 = −1 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 4.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
−7 7 6
−28 24 19
19 −15 −11
es diagonalizable.
A Falso
B Cierto
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −37x+ 12 y
y′ = −120x+ 39 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 22x− 18 y + 12 z
y′ = 48x− 39 y + 26 z
z′ = 36x− 28 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = −11.01
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:15
1. Si
1) z1 = −4 + 2 i
2) z2 = 2 e−43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−4− 3 i+ (−1 + i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 2 y |z1| = 5, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1/z2
2) z21 z2
3) z1 z32
4) (z2)2√z1
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 8 + |1 + 3 i+ z| < 8
b) Re(−2− 4 i+ z) ≤ |−2− 4 i+ z|
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) semiplano inclinado
2) banda inclinada
3) interior de un disco
4) el plano complejo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−2−i
−4 + 3 i+ (−2 + 4 i) z + i z2
2 + i+ z
2) lımz→−4−3 i
−3 + 4 i+ i z
7 + 24 i+ (8 + 6 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = 2− i
3) z3 = 3− 2 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = 2x+ 2 y − 8x y
v(x, y) = 4x2 + 2 y − 4 y2
b) u(x, y) = −2x+ 12 x
2 − 2 y − 12 y
2
v(x, y) = 2x− 3 y + x y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = 3 + 2 t, y(t) = −3− 2 t2, 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = 2 + 2 i− z − 2 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 2−2 i
−2+3 i
cosh(z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (2 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 12
b) C : |z| = 32
c) C : |z| = 4
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=1
(i
7 + i
)1+n
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
n2n (−3− 3 i + z)n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 3 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
3 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −2,
k = −1, k = 1, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−2 z2
z2 − 9
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
5y(n− 1)
si y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1)n y (1/5)n.
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 32
33
a
, 4
3
6
, 2
6
8
Respuesta:
18. ¿Para que valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
2
1
,−1
−3
−4
1
,
−1
−2 + 2 c
−2 + c2
14− 16 c+ 2 c2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de c.
2 Hay mas de dos valores de c.
3 Solo para el valor c=
4 Solo para c = 0 y para c=
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 15 3
19. Indique la dimension del subespacio:
(1) Generado por
2
2
0
1
,
1
−1
−1
2
,
1
−2
0
−2
,
2
1
−1
1
(2) Generado por
−3
−4
−1
−1
,
−1
−2
1
−2
,
2
6
−6
9
,
1
0
3
−3
(3) El conjunto de todas las soluciones al sistema: −5 2 −2
5 2 −3
−10 0 1
x = 0
(4) El conjunto de todas las soluciones al sistema: −5 2 −2
−15 6 −6
15 −6 6
x = 0
Respuesta:
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−768 −156 −72
3204 651 300
1332 270 126
de la lista de vectores:
1.
21
−88
−35
2.
5
−21
−8
3.
−3
13
4
4.
−8
34
12
5.
16
−67
−27
6.
1
−4
−2
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−4 28 −12
−6 38 −16
−12 68 −28
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: 6 1 0 0 0
−1 4 0 0 0
−3 −1 3 0 0
6 3 2 2 1
13 4 2 −1 4
Determine la dimension algebraica de λ1 = 3 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 5.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−5 2 c
−5 2 c
−5 2 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x+ 5 y
y′ = −10x+ 7 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −14x− 6 y + 9 z
y′ = −16x− 6 y + 10 z
z′ = −32x− 14 y + 21 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −8.806
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:16
1. Si
1) z1 = −5 + 5 i
2) z2 = 2 e−34 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1 + i+ (1 + 5 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si z = 2− 2 i determine el cuadrante donde esta
1) la segunda raız de 3√z
2) la segunda raız de 4√z
3) la primera raız de 6√z
4) la tercera raız de 7√z
Notas: 1) Las raıces estaran ordenadas de manera que la
primera raız es la principal. 2) Para los cuadrantes estaran
etiquetados por enteros de manera que 1 significara prime-
ro, 2 segundo, etcetera.
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Re(2− 5 i+ z) = Im(2 + i+ z)
b) −2 < Im(−1 + i+ z) ≤ −1
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta inclinada
2) banda horizontal
3) exterior de un disco
4) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−1+3 i
10− 10 i+ (−1− i) z + z2
1− 3 i+ z
2) lımz→−5+3 i
30 + 16 i+ (6 + 10 i) z + i z2
5− 3 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −i2) z2 = −1 + 2 i
3) z3 = 3− i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x− 8x y + y2
v(x, y) = x+ y − 4 y2
b) u(x, y) = x2 + y2
v(x, y) = 1− 6x− 5 y + y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 2
que va desde z1 = 2 hasta z2 = −2 i en el sentido antiho-
rario y donde
f(z) =−1− i− 3 z
z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ −1+4 i
4−2 icosh(2 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
7 i
(i
3
)k−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
k2 k (1 + 3 i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =64
z
alrededor de zo = 4 i. Reporte la parte real de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 4 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 2
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −1,
k = 1, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =25 z2
25 z2 − 25 z + 4
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = 1 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1)n y (1/4)n.
Respuesta:
17. Determine el valor de x para el cual
Gen
1
4
0
, −1
5
−1
, 0
1
x
, 4
16
0
no es todo R3.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de k el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−2
−2
,
2
5
−3
−3
,
1
2 + k
−2− 2 k + k2
−2− 5 k + 2 k2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de k.
2 Solo para k = 0 y para k=
3 Solo para el valor k=
4 No existe valor de k.
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 16 3
a)
−3
3
−1
, −5
3
1
b)
0
−4
−1
, −4
−5
−4
, −1
−4
−2
, −2
3
0
c)
−5
3
−4
, −1
7
1
, −11
13
−7
d)
−3
−2
−2
, 0
−1
4
, 1
4
−4
e)
1
8
1
, 1
1
−3
, 3
10
−5
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−2
−6
−6
2.
1
3
3
3.
9
25
26
4.
12
33
33
5.
−4
−11
−11
son vectores propios de la matriz
A =
23 −55 47
66 −154 131
66 −160 137
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−7 −2 2
24 11 −6
0 4 1
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:0 1 0 0 0
−1 −2 0 0 0
−3 −1 −3 0 0
−3 0 2 −4 1
4 1 2 −1 −2
Determine la dimension geometica de λ1 = −1 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −3.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−2 3 c
−2 3 c
−2 3 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 8 y + 12 z
y′ = −6x− 9 y + 14 z
z′ = −6x− 12 y + 17 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −10x− y + 5 z
y′ = −12x− y + 6 z
z′ = −24x− 4 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −2.446
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:17
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 2 + 2 i+ (4 + 5 i)− (−1 + 2 i)
2) z2 = (−1 + 5 i) (4 + 3 i)
3) z3 = 5+4 i−2−2 i
4) z4 = −2−5 i1−2 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−5 + 3 i+ (5− i) z)4 = −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 2 y |z1| = 4, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z2/z1
3) z1√z2
4) (z2)2√z1
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |5 i− z| = 5
b) |2 + 2 i− z| = 5
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) cırculo con centro en el eje imaginario
3) cırculo con centro fuera de los ejes
4) exterior de un disco
5) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la izquierda
2) f(z) = Im(z)z , acercandose a zo = 0 horizontalmente
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = 1− 3 i
3) z3 = −2− i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = 3x+ 3x2 + 5 y − 8x y − 3 y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 1
que va desde z1 = −1 hasta z2 = i en el sentido antihorario
y donde
f(z) =2 + 2 i+ 2 z
zReporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ i π
2 i π
cosh(−i z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (7 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
2
a) C : |z| = 17
b) C : |z| = 87
c) C : |z| = 9
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
7 i
(i
4
)k−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
1
k
(i
1− i
)kzk
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =27
z
alrededor de zo = 3 i. Reporte la parte imaginaria de los
primeros 5 coeficientes de la potencias de (z − 3 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
3 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −2,
k = −1, k = 0, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−3 z
z2 − 6 z + 9
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = 1 y x(n) = (−1/4)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/4)n y (1/4)n.
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x+ y − z = 3
−x− y + z = −3
−2x− 2 y + 2 z = −6
se puede decir . . .
1 que es una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
2 que es vacıo porque el sistema es inconsistente.
3 que es el punto P ( , , ).
4 que es un plano con vector normal
n =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−2
−2
,
0
−2
−2
2
,
1
2 + 2 c
−2− 3 c+ c2
−2− 22 c+ 4 c2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de c.
2 Solo para c = 0 y para c=
3 No existe valor de c.
4 Solo para el valor c=
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
donde a+ 3 b = 0 y b+ c = 0, ¿es un subespacio vectorial?
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 17 3
A Sı es subespacio.
B No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
C No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
D No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
152 −45 13
644 −191 56
462 −138 43
de la lista de vectores:
1.
1
4
2
2.
6
21
3
3.
2
10
12
4.
−1
−3
1
5.
0
−1
−4
6.
−3
−12
−7
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
28 8 −6
−60 −16 14
36 12 −6
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−4 1 0 0 0
−1 −2 0 0 0
6 −22 5 0 0
27 −66 2 3 1
43 −81 4 −4 7
Determine la dimension geometica de λ1 = 5 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −3.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−3 0 0
0 1 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 10x− 15 y + 18 z
y′ = 24x− 35 y + 42 z
z′ = 18x− 24 y + 28 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = −1, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = x− 9 y + 6 z
y′ = 2x− 12 y + 8 z
z′ = 5x− 19 y + 12 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 38.91
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:18
1. Si
1) z1 = −1 + 2 i
2) z2 = 2 e43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(2 + i+ (2 + 5 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2− 1
2i√
3
determine las raıces cuartas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) −2 ≤ Im(2− 2 i+ z) ≤ −1
b) |2 + 2 i+ z| ≤ 4
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) semiplano inclinado
2) banda horizontal
3) cırculo con centro fuera de los ejes
4) interior de un disco
5) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 siguiendo la recta
y = x
2) f(z) = zz , acercandose a zo = 0 verticalmente
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = −2 + 2 i
3) z3 = 2− i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = 5x− x2 + 3 y − 4x y + y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −3 + i (2− 2 t) + 2 t2, 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = −1− 2 i− 3 z − 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ i π
−i πcosh(i z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (8 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
2
a) C : |z| = 18
b) C : |z| = 98
c) C : |z| = 10
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
(i
8 + i
)1+m
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=0
(5 + 2 i)n
(−2 + 2 i + z)n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =125
z
alrededor de zo = 5 i. Reporte el modulo de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 5 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 3
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −5,
k = −3, k = −1, y k = 0.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−3 z + 12 z2
−z2 + 3 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 6 y(n)
si y(0) = 6 y x(n) = (−2)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−2)nu(n) y 6n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x+ 3 y − 3 z = −1
−2x− 6 y + 6 z = 2
−x− 3 y + 3 z = 1
se puede decir . . .
1 que es el punto P ( , , ).
2 que es vacıo porque el sistema es inconsistente.
3 que es una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
4 que es un plano con vector normal
n =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−2
−1
,
1
0
0
3
,
−2
−4 + 2 b
4− 4 b+ b2
5− 4 b− b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de b.
2 No existe valor de b.
3 Solo para el valor b=
4 Solo para b = 0 y para b=
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
que cumplen:
b+ c ≥ 0
¿es un subespacio vectorial?
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 18 3
A Sı es subespacio.
B No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
C No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
D No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
20. Los vectores
1.
1
4
3
2.
14
52
52
3.
9
33
33
4.
−1
−4
−3
5.
7
26
26
son vectores propios de la matriz
A =
−151 23 19
−572 87 72
−572 89 70
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
15 −4 4
76 −23 16
92 −32 13
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:4 1 0 0 0
−1 6 0 0 0
−8 20 −1 0 0
−13 20 2 −1 1
17 −47 0 0 −1
Determine la dimension geometica de λ1 = 5 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −1.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−2 0 0
0 1 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −12x+ 10 y
y′ = −15x+ 13 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 3, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 12x− 17 y + 10 z
y′ = 26x− 37 y + 22 z
z′ = 32x− 44 y + 26 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = 65.07
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:19
1. Si
1) z1 = 4− 5 i
2) z2 = 2 e−13 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−3 + 3 i+ (−3 + 3 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 2 y |z1| = 6, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z2/z1
2) z21 z2
3) z1√z2
4) (z2)2√z1
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) −5 ≥ Re(−4− 4 i+ z)
b) Re(−3 + 3 i+ z) ≤ |−3 + 3 i+ z|
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) semiplano vertical
3) cırculo con centro fuera de los ejes
4) exterior de un disco
5) el plano complejo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−2+4 i
(−10 i+ (2− 5 i) z + z2
)
2) lımz→−2+4 i
1
8 i+ (−4− 2 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = 3− i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 1 + 6x+ 5x2 − 2x y
v(x, y) = x2 + 6 y + 10x y − y2
b) u(x, y) = x− 3 y2
v(x, y) = 1− 4x2 − 3 y + y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1 + 2 t, y(t) = −3− 2 t2, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = −2 + 3 i+ 2 z + 3 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 2 i π
i π
cosh(i z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=0
5
(2
(1 + 2 i)
)kindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
k2 k (3 + 2 i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =8
z
alrededor de zo = 2 i. Reporte la parte imaginaria de los
primeros 5 coeficientes de la potencias de (z − 2 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −1,
k = 2, y k = 4.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
5 z2 − 10 z + 5
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = 4 y x(n) = (−1/4)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/4)n y (1/4)n.
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 24
25
a
, 6
5
5
, 4
5
8
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
−2
0
,
0
1
0
−4
,−4
2
x
8
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−4
1
−5
−6
,
6
3
4
−1
,−1
4
−1
−1
,
0
1
−5
0
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 19 3
20. Los vectores
1.
1
−4
2
2.
−45
189
−84
3.
−4
17
−7
4.
4
−17
7
5.
2
−8
4
son vectores propios de la matriz
A =
−532 −95 75
2212 395 −312
−1022 −182 145
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−44 −18 12
54 22 −15
−90 −36 25
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:9 1 0 0 0
−9 3 0 0 0
14 3 5 0 0
−18 −3 2 2 1
−73 −13 6 −9 8
Determine la dimension geometica de λ1 = 5 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 6.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
−881 −208 −52
3740 883 220
0 0 3
es diagonalizable.
A Falso
B Cierto
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 15x− 20 y + 12 z
y′ = 36x− 47 y + 28 z
z′ = 48x− 60 y + 35 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −2, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 10x− 8 y + 5 z
y′ = 24x− 19 y + 12 z
z′ = 24x− 18 y + 11 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = 24.29
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:20
1. Si
1) z1 = −1 + 5 i
2) z2 = 3 e43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3 + i+ (3 + 3 i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2i− 1
2
√3
determine las raıces quintas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−5− 4 z| = 1
b) Re(1 + 3 i+ z) = Im(−4− 2 i+ z)
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta inclinada
2) semiplano horizontal
3) cırculo con centro en el eje real
4) cırculo con centro en el eje imaginario
5) exterior de un disco
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−5+5 i
5− 5 i+ z
−15 + 25 i+ (1− 4 i) z + z2
2) lımz→1−i
3− 5 i+ 3 i z + z2
−1 + i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = 3 + 2 i
3) z3 = 2− i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 3x2 − 12x y + 9 y2 + y3
v(x, y) = 9x2 + 6x y − 6 y2
b) u(x, y) = x3 − 12x y + 32 y
2
v(x, y) = 6x2 − 3x y − 3 y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = 2 + 3 t+ i(−2− 3 t2
), 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = −2− 2 i+ 3 z + 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 1−2 i
−2−3 iei z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (4 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 14
b) C : |z| = 54
c) C : |z| = 6
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
8 i
(i
−2
)k−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=0
(8 + 3 i
3 i
)m(3− 2 i + z)
m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =125
z
alrededor de zo = 5 i. Reporte la parte real de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 5 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
3 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −3,
k = −1, k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
2 z2 − 4 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 4 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−3)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−3)nu(n) y 4n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− y − 2 z = −4
2x+ 2 y + 7 z = 11
−2x− 2 y − 4 z = −8
se puede decir que es . . .
1 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
2 vacıo porque el sistema es inconsistente.
3 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
4 el punto P ( , , ).
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
−1
−2
,
0
−1
1
1
,
1
1− 2 b
−1− b+ b2
10− 2 b
Indique su respuesta en las posibles:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 20 3
1 Solo para b = 0 y para b=
2 No existe valor de b.
3 Solo para el valor b=
4 Hay mas de dos valores de b.
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
−2
8
3
, 2
−1
8
b)
3
−4
9
, 2
3
−3
, −3
−1
10
, 8
5
−23
c)
1
−3
1
, 2
0
−2
, 3
−3
−1
d)
−3
2
−3
, 2
7
8
, 7
9
10
, −5
−5
−11
e)
4
0
8
, 6
8
−1
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
18
32
3
2.
4
7
0
3.
1
2
1
4.
−36
−64
−6
5.
−3
−6
−3
son vectores propios de la matriz
A =
694 −396 96
1246 −711 172
168 −96 22
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
11 12 −18
18 20 −30
18 15 −25
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−1 1 0 0 0
0 −1 0 0 0
4 −9 3 0 0
−4 18 2 6 1
4 −32 −6 −9 0
Determine la dimension geometica de λ1 = −1 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 3.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
−12 5 −1
−55 21 −2
−13 4 3
es diagonalizable.
A Falso
B Cierto
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 23x− 18 y + 12 z
y′ = 48x− 38 y + 26 z
z′ = 36x− 28 y + 19 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = x− 6 y + 9 z
y′ = x− 12 y + 19 z
z′ = 2x− 8 y + 12 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 40.8
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:21
1. Si
1) z1 = −5 + 3 i
2) z2 = 3 e−34 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(2 + i+ (−2 + 4 i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si z = −3− 4 i determine el cuadrante donde esta
1) la primera raız de 3√z
2) la segunda raız de 4√z
3) la primera raız de 7√z
4) la quinta raız de 8√z
Notas: 1) Las raıces estaran ordenadas de manera que la
primera raız es la principal. 2) Para los cuadrantes estaran
etiquetados por enteros de manera que 1 significara prime-
ro, 2 segundo, etcetera.
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 2 > Re(−5− 4 i+ (−4 + 5 i) z)
b) |−2− 4 i+ z| > 0
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) semiplano inclinado
2) banda horizontal
3) banda vertical
4) interior de un disco
5) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = Im(z)z , acercandose a zo = 0 horizontalmente
2) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 siguiendo la recta
y = x
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −2 + 3 i
3) z3 = 1 + 2 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = −5 y − 2x y + 12 y
2
v(x, y) = 5x+ x2 − 5 y − x y
b) u(x, y) = 1 + 4x+ 3x2 − 4x y
v(x, y) = 2x2 + 4 y + 6x y − 2 y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
2
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1− t, y(t) = 3− 3 t2, 0 ≤ t ≤ 5
y donde
f(z) = −3 + 2 i+ 2 z − 2 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 4−3 i
1+2 i
cosh(3 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (5 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 15
b) C : |z| = 65
c) C : |z| = 7
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(i
6 + 2 i
)kindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=1
1
m
(i
1− 2 i
)mzm
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 5 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 5
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −5,
k = −2, k = −1, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =5 z
2− 4 z + z2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 3 y(n)
si y(0) = 3 y x(n) = 6n u(n). Determine la forma cerrada
de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 6n u(n)
y 3n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 4
−2
a
, 5
2
1
, 2
2
3
Respuesta:
18. ¿Para que valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−2
0
,
2
3
−5
2
,
−2
−4 + 2 a
4− 2 a+ a2
15− 16 a+ 2 a2
Indique su respuesta en las posibles:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 21 3
1 Solo para a = 0 y para a=
2 Solo para el valor a=
3 Hay mas de dos valores de a.
4 No existe valor de a.
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
2
6
−1
−2
,−2
−43
26
−9
,−2
5
−1
−3
,
1
0
−3
5
Respuesta:
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−389 −46 62
1030 119 −166
−1735 −209 274
de la lista de vectores:
1.
1
−3
4
2.
−3
8
−13
3.
−10
27
−44
4.
−42
114
−183
5.
8
−22
34
6.
5
−14
21
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
3 0 −4
6 5 0
2 0 −3
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: −4 1 0 0 0
−9 2 0 0 0
−12 −1 2 0 0
30 2 2 2 1
33 2 0 0 2
Determine la dimension algebraica de λ1 = −1 y la di-
mension geometica de λ2 = 2.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
1 0 0
0 2 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −11x+ 4 y
y′ = −24x+ 9 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 2x− 5 y + 7 z
y′ = 3x− 10 y + 15 z
z′ = 3x− 7 y + 10 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −0.4066
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:22
1. Si
1) z1 = 3− 3 i
2) z2 = 2 e23 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−5− 5 i+ (−2 + 3 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2+
1
2i√
3
determine las raıces cubicas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−4 + 4 i+ z| > 0
b) |−4 + 5 i+ z| > 0
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) interior de un disco
2) exterior de un disco
3) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
4) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−2+4 i
9 i+ (−3− 3 i) z + z2
−5 + i+ z
2) lımz→−5−5 i
(−80 + (20 + 4 i) z + (−4− i) z2 + z3
)Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −2− i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = 4x+ y
v(x, y) = −3x+ 4 y
b) u(x, y) = −3 y
v(x, y) = 3x− 2 y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = 3 + i (2− t)− 2 t2, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = 3− 2 i− 2 z + 3 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 2+2 i
−2+4 i
(−5− 3 i+ (−3 + i) z)2dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (7 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 17
b) C : |z| = 87
c) C : |z| = 9
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
3 i
(i
4
)k−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
2 + 2 i
nn(1− 2 i + z)
n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =8
z
alrededor de zo = 2 i. Reporte la parte imaginaria de los
primeros 5 coeficientes de la potencias de (z − 2 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
4 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −2,
k = −1, k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =4 z2
z2 − 25
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 7 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−5)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−5)nu(n) y 7n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
x+ y − 3 z = −2
−2x− 2 y + 6 z = 4
−x− y + 3 z = 2
se puede decir . . .
1 que es una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
2 que es vacıo porque el sistema es inconsistente.
3 que es un plano con vector normal
n =< 1, , >.
4 que es el punto P ( , , ).
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
3
0
,
0
1
0
3
,−4
−6
x
6
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 22 3
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
que cumplen:
b+ c ≥ 0
¿es un subespacio vectorial?
A Sı es subespacio.
B No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
C No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
D No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
13 −3 2
156 −38 16
384 −96 30
de la lista de vectores:
1.
3
12
0
2.
0
−1
−3
3.
0
−1
−4
4.
1
3
−3
5.
2
7
−3
6.
0
−2
−7
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
5 13 −10
0 10 −6
0 18 −11
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−2 1 0 0 0
0 −2 0 0 0
−1 2 −3 0 0
0 −2 2 0 1
2 1 −6 −9 −6
Determine la dimension geometica de λ1 = −2 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −3.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
91 32 28
−140 −49 −44
−112 −40 −33
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −15x+ 12 y
y′ = −16x+ 13 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 9 y + 6 z
y′ = −6x− 12 y + 8 z
z′ = −12x− 28 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 23.76
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:23
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 4 + 3 i+ (−1 + 5 i)− (1 + 4 i)
2) z2 = (−3 + 2 i) (−4 + 5 i)
3) z3 = 5−4 i−4+2 i
4) z4 = −3−i2−2 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(1 + 2 i+ (−3− 3 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 5 y |z1| = 4, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z1 z
32
3) z1 z2
4) (z2)2√z1
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) −1 > Re(3 + 5 i+ z)
b) Im(1− 4 i+ z) = −2
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) semiplano vertical
3) banda vertical
4) banda inclinada
5) exterior de un disco
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−1+4 i
4 + i+ i z
−15− 8 i+ (2− 8 i) z + z2
2) lımz→−5−5 i
−50 + (−10 + 10 i) z + i z2
5 + 5 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = 1− i3) z3 = −1 + 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = −4x+ y
v(x, y) = −4x− 4 y
b) u(x, y) = 3x+ y
v(x, y) = −5x− 3 y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 2
que va desde z1 = −2 hasta z2 = 2 i en el sentido antiho-
rario y donde
f(z) =3 + 2 i− 2 z
zReporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 3−3 i
−1+2 i
(5− 4 i+ (3 + 4 i) z)2dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (5 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 15
b) C : |z| = 65
c) C : |z| = 7
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(i
3 + i
)1+k
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
1
n
(i
1− 2 i
)nzn
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 5 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
3 < |z + 1|Si ak es el coeficiente de (z + 1)
ken el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −3,
k = −1, k = 1, y k = 2.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−4 z + 9 z2
−1 + 8 z − 21 z2 + 18 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 3 y(n)
si y(0) = 3 y x(n) = (−6)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−6)nu(n) y 3n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 89
75
a
, 7
5
6
, 8
8
6
Respuesta:
18. ¿Para que valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
1
0
,
1
0
0
0
,
1
1− c1− 5 c+ c2
−8 c+ 2 c2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de c.
2 Solo para c = 0 y para c=
3 Solo para el valor c=
4 No existe valor de c.
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−6
−9
6
−12
,
6
9
−6
12
,−10
−15
10
−20
,−2
−3
2
−4
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 23 3
20. Los vectores
1.
1
−3
4
2.
−10
27
−48
3.
2
−5
11
4.
20
−54
96
5.
2
−6
8
son vectores propios de la matriz
A =
751 176 −56
−2088 −489 156
3408 800 −253
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
84 −40 22
106 −50 28
−104 50 −27
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:8 1 0 0 0
−9 2 0 0 0
16 −16 −3 0 0
−11 0 2 0 1
10 27 −6 −9 −6
Determine la dimension geometica de λ1 = −3 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 5.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−4 2 c
−4 2 c
−4 2 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −14x− 6 y + 9 z
y′ = −19x− 9 y + 13 z
z′ = −36x− 18 y + 25 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −1, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 2 y + 5 z
y′ = −7x− 4 y + 11 z
z′ = −2x− 4 y + 8 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −22.43
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:24
1. Si
1) z1 = −4− 5 i
2) z2 = 3 e53 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−2 + 2 i+ (1 + 2 i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 3 y |z1| = 5, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z21 z2
2) z1 z2
3) z1√z2
4) (z2)2√z1
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 1 ≤ |−3− 2 i+ z| < 3
b) 1 < |−4 + 4 i+ z| ≤ 6
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) banda horizontal
3) cırculo con centro en el eje real
4) anillo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−3−2 i
−17− 6 i− 6 i z + z2
3 + 2 i+ z
2) lımz→−2+2 i
8 + (4 + 4 i) z + i z2
2− 2 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −1− i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x2 + y2
v(x, y) = 1 + 8x+ y + y2
b) u(x, y) = x+ 2 y2
v(x, y) = 1− 8x2 − 3 y + y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1− 2 t2, y(t) = −3− t, 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = −1− i− 2 z + 3 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 1+3 i
−2−2 icosh(z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (4 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 14
b) C : |z| = 54
c) C : |z| = 6
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=1
(6− 2 i)n−1
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=0
(1− 3 i)k
(−3− 2 i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 5 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 5
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −3, k = −1, y k = 1.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z + z2
z2 − 2 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 5 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−4)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−4)nu(n) y 5n u(n).
Respuesta:
17. Considere los vectores:
v1 =
3
9
6
, v2 =
−1
6
−4
v3 =
0
9
−2
, v4 =
5
3
−5
v5 =
10
6
−10
, v6 =
−5
−3
5
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cual de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
B W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
C W1 = W2
D W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 24 3
18. ¿Para que valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2
1
1
,
2
−3
3
2
,
0
2 c
−c+ c2
−12 c+ 4 c2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para c = 0 y para c=
2 Hay mas de dos valores de c.
3 No existe valor de c.
4 Solo para el valor c=
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
4
8
0
, −5
−1
−5
, 19
11
15
b)
9
9
10
, 1
8
10
, 8
2
6
c)
−3
6
6
, 10
4
−1
d)
−2
7
0
, 0
−2
−5
, 1
5
10
, 3
13
25
e)
7
2
9
, 6
7
7
, 9
7
6
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−166 77 36
−708 327 152
732 −336 −155
de la lista de vectores:
1.
−1
−5
6
2.
2
9
−10
3.
−7
−31
33
4.
0
−1
2
5.
−7
−32
35
6.
−8
−36
39
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−7 0 6
15 5 −9
−9 0 8
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:3 1 0 0 0
−1 1 0 0 0
−4 −1 1 0 0
−14 −3 2 4 1
51 11 −6 −9 −2
Determine la dimension geometica de λ1 = 2 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 1.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
5 0 0
0 1 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −27x+ 12 y
y′ = −56x+ 25 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 3, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −3x− 12 y + 7 z
y′ = −4x− 13 y + 8 z
z′ = −8x− 30 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = −27.29
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:25
1. Si
1) z1 = −4− 2 i
2) z2 = 3 e−34 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1− 2 i+ (2− 3 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2i− 1
2
√3
determine las raıces quintas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Re(3 + i+ z) ≤ |3 + i+ z|
b) |−1 + i+ z|+ |1 + 5 i+ z| = 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) semiplano horizontal
2) banda horizontal
3) banda vertical
4) el plano complejo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−2+i
1
4 i+ (2 + 2 i) z + z2
2) lımz→1+3 i
(30 + (15 + 4 i) z + (2 + 2 i) z2 + z3
)
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −1 + 3 i
3) z3 = 1 + 2 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 3x2 − 6x y + 3 y2 + y3
v(x, y) = 9x2 + 6x y − 3 y2
b) u(x, y) = x3 + y2
v(x, y) = 1− 10x2 − 2x3 + 75 y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1 + 2 t2, y(t) = 3 + 2 t, 0 ≤ t ≤ 5
y donde
f(z) = −1− 2 i− z − 3 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 2+2 i
4+4 i
ei z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (7 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 17
b) C : |z| = 87
c) C : |z| = 9
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=0
6
(2
(1 + 2 i)
)mindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
5 + 2 i
kk(3− 3 i + z)
k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 4 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 2
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −5, k = −1,
k = 0, y k = 4.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−7 z + 25 z2
−1 + 13 z − 55 z2 + 75 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 7 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−3)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−3)nu(n) y 7n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 21
52
a
, 1
4
2
, 2
4
8
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
3
2
0
,
0
1
0
1
,
2
5
x
−1
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−10
11
12
8
,
17
−4
30
−1
,−5
2
−6
1
,−1
−1
−6
−1
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 25 3
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
135 −80 −28
224 −133 −46
−32 20 5
de la lista de vectores:
1.
5
8
0
2.
7
11
1
3.
3
4
3
4.
1
1
2
5.
−1
−2
1
6.
6
9
2
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
35 −11 −13
75 −23 −29
15 −5 −5
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−1 1 0 0 0
−4 −5 0 0 0
−12 −13 −1 0 0
−36 −39 2 2 1
136 147 −6 −9 −4
Determine la dimension algebraica de λ1 = −3 y la di-
mension geometica de λ2 = −1.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −11x+ 8 y
y′ = −12x+ 9 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = x− 6 y + 5 z
y′ = 2x− 13 y + 11 z
z′ = 6x− 18 y + 14 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −5.04
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:26
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 4 + 5 i+ (−3 + 2 i)− (1 + 3 i)
2) z2 = (2 + 4 i) (−2 + 2 i)
3) z3 = −3+5 i4−i
4) z4 = −1−5 i4+2 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3− 4 i+ (−1 + i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2− 1
2i√
3
determine las raıces quintas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |3− 3 i+ z| > 0
b) Re(4 + 3 i+ z) = 1
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) recta horizontal
3) banda horizontal
4) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−3−3 i
−3 + 3 i+ i z
18 i+ (6 + 6 i) z + z2
2) lımz→4+5 i
24− 11 i+ (−5− i) z + z2
−4− 5 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −i2) z2 = −3− 2 i
3) z3 = 1 + 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 1 + 30x− 4x2 − 6x y
v(x, y) = 3x2 + 30 y − 8x y − 3 y2
b) u(x, y) = x2 − 25 y2
v(x, y) = −2x+ 2x y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 2
que va desde z1 = 2 hasta z2 = −2 en el sentido antihora-
rio y donde
f(z) =−3 + 3 i− z
zReporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −1−2 i1−i
cosh(2 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (5 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 15
b) C : |z| = 65
c) C : |z| = 7
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(i
8 + i
)1+k
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=0
(4 + 2 i
2 i
)n(2 i + z)
n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 4 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 2
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −3,
k = 2, y k = 4.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z + z2
z2 − 2 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
5y(n− 1)
si y(−1) = 1 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/5)n y (1/5)n.
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: −12
−3
a
, 7
2
3
, 3
1
6
Respuesta:
18. ¿Para que valor de c el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
−2
0
,
0
1
1
1
,
0
−2 c
−4 c+ c2
3− 2 c− c2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para c = 0 y para c=
2 Solo para el valor c=
3 No existe valor de c.
4 Hay mas de dos valores de c.
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 26 3
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
que cumplen:
a+ c = 0
¿es un subespacio vectorial?
A No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
B No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
C Sı es subespacio.
D No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
20. Los vectores
1.
3
3
−18
2.
−2
−5
5
3.
1
1
−6
4.
1
3
−1
5.
−1
−3
1
son vectores propios de la matriz
A =
−112 32 −14
−365 105 −44
65 −17 12
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
6 −6 2
8 −14 8
8 −18 12
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:3 1 0 0 0
−4 7 0 0 0
5 −4 4 0 0
16 −12 2 5 1
−22 17 −2 −1 3
Determine la dimension geometica de λ1 = 4 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 5.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−3 0 0
0 5 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 11x− 28 y + 16 z
y′ = 13x− 33 y + 19 z
z′ = 19x− 46 y + 26 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −1, z(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 5x− 16 y + 10 z
y′ = 6x− 19 y + 12 z
z′ = 9x− 26 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −16.4
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:27
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = −3 + 3 i+ (−4 + 2 i)− (−5 + 3 i)
2) z2 = (3 + 2 i) (5 + 4 i)
3) z3 = −1+3 i4+2 i
4) z4 = −5−5 i−4−2 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1− 5 i+ (5− i) z)4 = −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 2 y |z1| = 4, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z2/z1
2) z1 z22
3) z1 z2
4) (z2)2√z1
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−2− 3 i+ z|+ |−2 + 4 i+ z| = 6
b) |−2 + 3 i− z| = 4
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) banda horizontal
2) cırculo con centro fuera de los ejes
3) interior de un disco
4) el plano complejo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la izquierda
2) f(z) = zz , acercandose a zo = 0 siguiendo la recta
y = x
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 2 i
2) z2 = 3 + 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = x− x2 + 4 y − 10x y + y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −2− t2 + i (3 + 3 t) , 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = −1 + 3 i− 3 z − i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −2+4 i
4−3 ie2 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
2
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(i
2− 2 i
)kindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=1
1
m
(i
1 + i
)mzm
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 2 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 4
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −3, k = −1, y k = 1.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =9 z2
9 z2 − 9 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 6 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−4)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−4)nu(n) y 6n u(n).
Respuesta:
17. Si
v =
[4
6
], w =
[2
3
], y S = {w}.
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. w ∈ S 2. w ∈ Gen {S}3. v ∈ Gen {S} 4. v ∈ S
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
2
−2
,
2
3
3
−5
,
2
4− 2x
4− 5x+ x2
4− 2x− x2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de x.
2 No existe valor de x.
3 Solo para x = 0 y para x=
4 Solo para el valor x=
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
donde a · b · c = 0, ¿es un subespacio vectorial?
A No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
B Sı es subespacio.
C No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
D No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 27 3
20. Los vectores
1.
−1
−2
3
2.
2
5
−9
3.
4
10
−18
4.
5
14
−28
5.
1
2
−3
son vectores propios de la matriz
A =
−38 29 7
−70 49 10
84 −48 −5
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−5 −27 15
−6 −42 23
−12 −94 51
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:5 1 0 0 0
−9 −1 0 0 0
−19 −11 4 0 0
−1 0 2 6 1
49 27 −4 −4 2
Determine la dimension geometica de λ1 = 2 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 4.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
10 −24 4
2 −20 5
12 −100 24
es diagonalizable.
A Falso
B Cierto
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x+ 4 y
y′ = −20x+ 9 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 3
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 10 y + 7 z
y′ = −6x− 13 y + 9 z
z′ = −12x− 30 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 64.31
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:28
1. Si
1) z1 = 2 + 4 i
2) z2 = 2 e−13 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−4− 5 i+ (1 + i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 6 y |z1| = 3, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1/z2
2) z1 z32
3) z1 z2
4) (z1)2√z2
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−4 + 4 i+ z|+ |−2− 3 i+ z| = 6
b) |−5− 2 i+ z| > 0
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) banda vertical
3) el plano complejo
4) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = Im(z)z , acercandose a zo = 0 verticalmente
2) f(z) = (Re(z))2z , acercandose a zo = 0 siguiendo la
recta y = x
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = −2 + 2 i
3) z3 = 3− 3 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = −x+ 12 x
2 − y − 12 y
2
v(x, y) = x− 2 y + x y
b) u(x, y) = −3x+ y
v(x, y) = −4x− 3 y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −2− 3 t+ i(−1− 3 t2
), 0 ≤ t ≤ 4
y donde
f(z) = −3 + 2 i− 2 z − i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 2 i π
−2 i πcosh(i z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (2 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 12
b) C : |z| = 32
c) C : |z| = 4
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(3− i)k−1
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
k2 k (−2 + 3 i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 4 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 3
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −5,
k = −2, k = −1, y k = 1.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =6 z
2− 4 z + z2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
5y(n− 1)
si y(−1) = 2 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/5)n y (1/5)n.
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x+ 3 y + 3 z = 10
−4x− 8 y − 4 z = −20
4x+ 2 y + 9 z = 18
−2x+ 3 y − 8 z = −8
se puede decir que es . . .
1 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
2 el punto P ( , , ).
3 vacıo porque el sistema es inconsistente.
4 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 28 3
18. ¿Para que valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
2
0
,
1
1
3
1
,
−1
−2− a−2− a+ a2
−7 a+ 4 a2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para el valor a=
2 No existe valor de a.
3 Solo para a = 0 y para a=
4 Hay mas de dos valores de a.
Respuesta:
19. Indique la dimension del subespacio:
(1) Generado por
−4
−1
−2
−3
,
2
2
0
1
,
2
5
−2
0
,
−2
1
−2
−2
(2) Generado por
0
−3
3
−3
,
1
−3
2
2
,
0
2
0
3
,
3
−3
0
3
(3) El conjunto de todas las soluciones al sistema: 7 6 −6
−21 −18 18
42 36 −36
x = 0
(4) El conjunto de todas las soluciones al sistema: 7 6 −6
1 2 −1
6 4 −5
x = 0
Respuesta:
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−308 68 −36
−1101 243 −129
624 −138 72
de la lista de vectores:
1.
−12
−45
18
2.
24
87
−45
3.
4
14
−9
4.
−3
−11
5
5.
1
4
−1
6.
5
19
−7
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
38 40 −21
−90 −95 50
−114 −120 63
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: 2 1 0 0 0
−1 0 0 0 0
1 −5 4 0 0
−1 15 2 1 1
−4 59 6 −9 7
Determine la dimension algebraica de λ1 = 1 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 4.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−3 6 c
−3 6 c
−3 6 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 15 y + 18 z
y′ = −6x− 20 y + 24 z
z′ = −6x− 24 y + 28 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −1, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 10x− 9 y + 6 z
y′ = 24x− 21 y + 14 z
z′ = 24x− 19 y + 12 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 70.57
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:29
1. Si
1) z1 = 4− 3 i
2) z2 = 3 e−43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3 + i+ (−1− 2 i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2− 1
2i√
3
determine las raıces cubicas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Re(−3 + 4 i+ z) = 1
b) 3 ≥ Im(5− 2 i+ z)
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) recta inclinada
3) semiplano horizontal
4) banda inclinada
5) interior de un disco
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 siguiendo la recta
y = x
2) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la derecha
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −1− 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = −2x− 3x2 − 3 y + 10x y + 3 y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −1 + i (3− 3 t)− t2, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = 3− 3 i− 2 z + 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −2 i πi π
cosh(2 i z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
2
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(8− 2 i)k−1
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=0
1
(1− 3 i)1+k
(3− 3 i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =27
z
alrededor de zo = 3 i. Reporte el modulo de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 3 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 2
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −2,
k = 1, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
4 z2 − 8 z + 4
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 7 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−7)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−7)nu(n) y 7n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 50
62
a
, 3
5
8
, 4
4
2
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
3
−2
0
,
0
1
0
−4
,−3
−7
x
−8
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
10
−2
0
, 9
−4
5
, 28
−10
10
b)
−5
9
4
, −3
9
2
, 9
−4
3
c)
2
−3
−5
, −5
10
7
, 10
3
0
, 15
16
7
d)
10
6
−2
, 8
2
−4
e)
3
6
3
, 9
−1
10
, 15
11
16
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 29 3
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
14
−50
4
2.
1
−4
1
3.
−1
4
−1
4.
−6
21
0
5.
2
−7
0
son vectores propios de la matriz
A =
219 62 26
−805 −228 −95
112 32 13
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
14 −12 −3
0 −2 1
30 −24 −7
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:0 1 0 0 0
−9 −6 0 0 0
20 15 2 0 0
−18 −15 2 5 1
23 23 −6 −9 −1
Determine la dimension geometica de λ1 = −3 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 2.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
2 0 0
0 1 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −17x+ 5 y
y′ = −60x+ 18 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −2x− 6 y + 12 z
y′ = −4x− 13 y + 26 z
z′ = −9 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 22.36
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:30
1. Si
1) z1 = −1− 5 i
2) z2 = 2 e14 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3− 4 i+ (−3− 3 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si z = −4 + 2 i determine el cuadrante donde esta
1) la cuarta raız de 5√z
2) la quinta raız de 6√z
3) la primera raız de 7√z
4) la primera raız de 8√z
Notas: 1) Las raıces estaran ordenadas de manera que la
primera raız es la principal. 2) Para los cuadrantes estaran
etiquetados por enteros de manera que 1 significara prime-
ro, 2 segundo, etcetera.
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−4 + 2 i+ z| ≤ 3
b) −3 < Re(3 + i+ z) ≤ −2
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) banda vertical
2) cırculo con centro en el eje real
3) interior de un disco
4) anillo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→−1−2 i
1
−25 i+ (5− 5 i) z + z2
2) lımz→−2−2 i
15 i+ (−5− 3 i) z + z2
4 + 4 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = −3− 3 i
3) z3 = 3 + 3 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Reporte los valores de las constantes a, b, c, d y d para que
la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y) + v(x, y) i
con
u(x, y) = 4x+ 2x2 + y − 6x y − 2 y2
v(x, y) = a x+ b y + c x y + d x2 + e y2
se analıtica en todo el plano complejo.
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 3
que va desde z1 = −3 hasta z2 = −3 i en el sentido anti-
horario y donde
f(z) =2 + 3 i− 2 z
z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −i π−2 i π
cosh(−i z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
2
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
6 i
(i
4
)m−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
1
n
(i
1 + i
)nzn
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 5 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −2,
k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−3 z2
z2 − 25
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
3y(n− 1)
si y(−1) = 1 y x(n) = (−1/3)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/3)n y (1/3)n.
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 15
49
a
, 8
7
2
, 1
6
4
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
3
4
0
,
0
1
0
1
,−3
−7
x
2
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
4
0
−5
0
,
0
5
5
3
,
4
6
−2
−6
,
5
−2
2
−2
Respuesta:
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
234 −51 −15
1140 −249 −72
−474 106 25
de la lista de vectores:
1.
4
17
4
2.
9
39
6
3.
12
54
−2
4.
−2
−9
0
5.
1
4
2
6.
9
40
1
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 30 3
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
6 −9 13
−8 14 −20
−8 9 −15
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−3 1 0 0 0
−1 −1 0 0 0
8 −8 6 0 0
1 8 2 9 1
−18 −1 −6 −9 3
Determine la dimension algebraica de λ1 = 6 y la dimen-
sion geometica de λ2 = −2.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
5 0 0
0 5 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −23x+ 10 y
y′ = −50x+ 22 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 3, y(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x− 4 y + 8 z
y′ = −20x− 8 y + 17 z
z′ = −20x− 10 y + 19 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = −36.55
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:31
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = −4 + 3 i+ (−3 + 2 i)− (−1 + 5 i)
2) z2 = (−3 + 4 i) (4 + 3 i)
3) z3 = 4+5 i−3−2 i
4) z4 = 2−2 i−2−4 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−4 + 2 i+ (−3 + i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 6 y |z1| = 2, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z1/z2
3) z31 z2
4) (z2)2√z1
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Re(−3− 4 i+ z) = −3
b) 10 + |1 + 2 i+ z| < 10
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) recta inclinada
3) semiplano inclinado
4) banda vertical
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = (Re(z))2z , acercandose a zo = 0 siguiendo la
recta y = x
2) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 verticalmente
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 2 i
2) z2 = 3− i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 3 y − 2x y − 52 y
2
v(x, y) = −3x+ x2 − 15 y + 5x y
b) u(x, y) = x2 − 25 y2
v(x, y) = 2x+ 2x y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = 2 + 3 t2, y(t) = −2 + 2 t, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = 3− i− 2 z − 2 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ −2+4 i
2−2 ie−3 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (5 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 15
b) C : |z| = 65
c) C : |z| = 7
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=0
8
(−2
(1− 2 i)
)nindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
8 + 2 i
nn(3 i + z)
n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 3 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 3
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −2, k = −1, y k = 0.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
3 z2 − 6 z + 3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = −1 y x(n) = (−1/4)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/4)n y (1/4)n.
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 45
48
a
, 5
4
4
, 7
8
3
Respuesta:
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
−4
0
,
0
1
0
−1
,−4
−3
x
−1
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−3
21
21
30
,−4
−4
−3
−4
,
2
18
17
24
,−5
3
4
6
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 31 3
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−6 −3 2
60 33 −10
156 87 −20
de la lista de vectores:
1.
0
−1
−4
2.
2
−3
2
3.
1
−2
−1
4.
2
−1
9
5.
2
−2
5
6.
1
0
6
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−18 10 8
−28 16 12
−16 8 8
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: 3 1 0 0 0
−4 −1 0 0 0
13 14 4 0 0
−38 −42 2 4 1
−22 −23 0 0 4
Determine la dimension geometica de λ1 = 1 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 4.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−5 6 c
−5 6 c
−5 6 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 25x− 30 y + 17 z
y′ = 60x− 71 y + 40 z
z′ = 78x− 90 y + 50 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = −1, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 19x− 15 y + 9 z
y′ = 39x− 31 y + 19 z
z′ = 27x− 21 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 160.
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:32
1. Si
1) z1 = 5 + 2 i
2) z2 = 3 e−13 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−4 + i+ (−2 + i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 3 y |z1| = 2, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1/z2
2) z21 z2
3) z2√z1
4) (z2)2√z1
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |4 + 5 i− z| = 2
b) Im(3 + i+ z) ≤ |3 + i+ z|
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) cırculo con centro fuera de los ejes
2) exterior de un disco
3) anillo
4) el plano complejo
5) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = |z|z , acercandose a zo = 0 horizontalmente por
la derecha
2) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 siguiendo la recta
y = x
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −2− 2 i
3) z3 = 2− 3 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = −x+ x2 − y2v(x, y) = 5− y + 2x y
b) u(x, y) = −x+ y
v(x, y) = −5x+ y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 3
que va desde z1 = 3 hasta z2 = −3 en el sentido antihora-
rio y donde
f(z) =3− 3 i− z
z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 4−3 i
−1+4 i
(1− i+ (3− i) z)2 dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
(7 + 3 i)k−1
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
1
k
(i
1− 3 i
)kzk
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 2 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −4, k = −1,
k = 2, y k = 4.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =4 z2
−1 + 8 z − 20 z2 + 16 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 2 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−7)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−7)nu(n) y 2n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
−x− y + 3 z = −1
x+ 3 y − 4 z = 0
x+ 7 y − 7 z = −1
2x− 6 y = 4
se puede decir que es . . .
1 vacıo porque el sistema es inconsistente.
2 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
3 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
4 el punto P ( , , ).
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 32 3
18. ¿Para que valor de x el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2
−4
0
,
0
1
0
2
,−2
7
x
6
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
−5
8
−5
, −4
−1
7
, 6
3
2
, −10
−4
5
b)
−1
0
−2
, 5
10
5
, −11
−20
−12
c)
7
−1
8
, 0
0
9
, 21
−3
33
d)
1
3
4
, −3
5
6
e)
7
8
0
, 4
8
5
, 2
−2
10
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−4
−10
12
2.
7
19
−23
3.
21
57
−69
4.
3
9
−12
5.
1
3
−4
son vectores propios de la matriz
A =
−30 48 29
−91 139 83
112 −172 −103
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
13 −9 −3
24 −14 −6
−12 0 4
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: −5 1 0 0 0
−9 1 0 0 0
19 3 5 0 0
67 9 2 5 1
−29 −2 0 0 5
Determine la dimension geometica de λ1 = 5 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = −2.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
13 15 −11
−24 −41 34
−24 −46 39
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −7x− 6 y + 9 z
y′ = −18x− 11 y + 19 z
z′ = −18x− 14 y + 22 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 2, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 2x− 7 y + 10 z
y′ = 4x− 15 y + 22 z
z′ = 4x− 10 y + 14 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −11.85
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:33
1. Si
1) z1 = 4− 2 i
2) z2 = 3 e−34 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3 + i+ (1− i) z)4 = −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 6 y |z1| = 3, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z31 z2
2) z1 z2
3) z1√z2
4) (z1)2√z2
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) Re(2− 5 i+ z) = 2
b) Im(5 + i+ z) = −3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) recta horizontal
3) semiplano inclinado
4) cırculo con centro fuera de los ejes
5) anillo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−3+3 i
−15− 9 i+ (−1 + 4 i) z + z2
3− 3 i+ z
2) lımz→1+3 i
3− i+ i z
−8 + 6 i+ (−2− 6 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 2 i
2) z2 = −1 + 2 i
3) z3 = −2− i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x2 + y2
v(x, y) = 1− 4x+ 5 y + y2
b) u(x, y) = −3 y − 2x y + 2 y2
v(x, y) = 3x+ x2 − 4x y − y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −2 + 3 t+ i(−3− 3 t2
), 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = 3− 2 i− 2 z + 3 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ −1−3 i1+2 i
(1− 4 i+ (−5 + i) z + 2 z2
)dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (8 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 18
b) C : |z| = 98
c) C : |z| = 10
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑m=1
5 i
(i
−3
)m−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=0
(4 + 3 i)n
(1− 3 i + z)n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 3 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 4
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −2, k = −1, y k = 1.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =4 z + z2
z2 − 2 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
2y(n− 1)
si y(−1) = 4 y x(n) = (−1/2)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/2)n y (1/2)n.
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 38
34
a
, 7
2
6
, 1
8
8
Respuesta:
18. ¿Para que valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2
2
1
,
2
−2
6
4
,
1
−2− a2− 3 a+ a2
7− 8 a+ 2 a2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Solo para el valor a=
2 Solo para a = 0 y para a=
3 No existe valor de a.
4 Hay mas de dos valores de a.
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 33 3
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
donde a− b− 2 c = 0, ¿es un subespacio vectorial?
A Sı es subespacio.
B No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
C No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
D No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−104 48 14
−58 26 8
−640 300 85
de la lista de vectores:
1.
−10
−7
−53
2.
5
4
24
3.
−3
−2
−16
4.
8
6
40
5.
−5
−3
−29
6.
1
1
4
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−23 16 10
−24 17 12
−36 24 11
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: 0 1 0 0 0
−4 4 0 0 0
−8 −1 4 0 0
20 2 2 1 1
80 8 6 −9 7
Determine la dimension geometica de λ1 = 2 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 4.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
2 0 0
0 −2 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −4x− 25 y + 14 z
y′ = −6x− 31 y + 18 z
z′ = −12x− 70 y + 40 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 2, y(0) = −2, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −4x− y + 5 z
y′ = −9x− 2 y + 11 z
z′ = −3x− 3 y + 8 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −1
Determine el valor de t tal que x(t) = −1.295
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:34
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 3 + 4 i+ (2 + 2 i)− (1 + 3 i)
2) z2 = (2 + 5 i) (5 + 4 i)
3) z3 = 3−i5+3 i
4) z4 = −4+2 i−3−4 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3 + i+ (2 + 3 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 4 y |z1| = 3, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z2/z1
3) z1 z22
4) (z1)2√z2
5) (z2)2/ 3√z1
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) 1 < |4− 4 i+ z| ≤ 6
b) 1 ≤ Im(−4 + 4 i+ z) ≤ 4
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) recta inclinada
3) banda horizontal
4) anillo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−4+3 i
−11 + 27 i− z + z2
4− 3 i+ z
2) lımz→−1+5 i
5 + 4 i+ z
25− 21 i+ (6− i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = −3− 2 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x3 + y
v(x, y) = −x+ 4 y − y3
b) u(x, y) = x3 + y2
v(x, y) = 1 + 8x2 − 2x3 + 48 y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 2
que va desde z1 = −2 hasta z2 = 2 en el sentido antihora-
rio y donde
f(z) =3− i+ 2 z
z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 3+2 i
−3−2 i(2− 3 i+ (−3 + 4 i) z)
2dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=0
4
(−3
(1− 3 i)
)nindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=0
1
(1− 3 i)1+m (3− i + z)
m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 4 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 5
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −5,
k = −2, k = −1, y k = 0.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
2 z2 − 4 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
5y(n− 1)
si y(−1) = 3 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/5)n y (1/5)n.
Respuesta:
17. Considere los vectores:
v1 =
−5
4
−4
, v2 =
5
1
4
v3 =
−35
−2
−28
, v4 =
50
−20
40
v5 =
−15
−8
−12
, v6 =
−4
−2
−4
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cual de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 = W2
B W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
C W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
D W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 34 3
18. ¿Para que valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
1
0
,−2
−1
−4
−2
,
0
a
−4 a+ a2
−2 a
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de a.
2 Solo para a = 0 y para a=
3 Solo para el valor a=
4 Hay mas de dos valores de a.
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
donde a+ b = 0 y b− 3 c = 0, ¿es un subespacio vectorial?
A No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
B No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
C Sı es subespacio.
D No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
324 123 27
−512 −196 −42
−1450 −545 −123
de la lista de vectores:
1.
16
−26
−70
2.
1
−2
−3
3.
4
−7
−16
4.
−5
8
22
5.
−3
5
13
6.
−7
11
32
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
10 −21 −15
18 −37 −26
−18 42 31
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:0 1 0 0 0
−4 4 0 0 0
8 −1 4 0 0
−12 2 2 3 1
−24 4 2 −1 5
Determine la dimension geometica de λ1 = 4 y la dimen-
sion algebraica de λ2 = 2.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
2 0 0
0 2 0
0 0 2
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x+ 3 y
y′ = −18x+ 7 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 3, y(0) = 2
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −12x− 3 y + 7 z
y′ = −15x− 4 y + 9 z
z′ = −29x− 9 y + 18 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = 22.46
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:35
1. Si
1) z1 = −3 + 3 i
2) z2 = 3 e43 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(2− 5 i+ (−1 + 4 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2− 1
2i√
3
determine las raıces cuartas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−2 + 5 i+ z| = 4
b) −5 < Im(2− 5 i+ z) < −2
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) banda horizontal
2) banda vertical
3) banda inclinada
4) cırculo con centro fuera de los ejes
5) el plano complejo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→5+5 i
10 i+ (−2− 5 i) z + z2
5− i+ z
2) lımz→−4+5 i
(16 + 16 z + z2 + z3
)
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = 3 + 3 i
3) z3 = −3− 2 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = −2 + x2 + y − y2v(x, y) = −x+ 2x y
b) u(x, y) = 2x+ x2 − y2v(x, y) = 1 + 2 y + 2x y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 2
que va desde z1 = 2 i hasta z2 = −2 en el sentido antiho-
rario y donde
f(z) =3 + 2 i+ 2 z
zReporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 3−3 i
−2+icosh(3 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (5 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 15
b) C : |z| = 65
c) C : |z| = 7
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=0
5
(−2
(1− 2 i)
)kindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=1
1
k
(i
1 + 3 i
)kzk
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =8
z
alrededor de zo = 2 i. Reporte la parte imaginaria de los
primeros 5 coeficientes de la potencias de (z − 2 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 4
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −3, k = −1, y k = 0.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−3 z + 16 z2
−1 + 13 z − 56 z2 + 80 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
2y(n− 1)
si y(−1) = 3 y x(n) = (−1/2)n u(n). Determine la forma
cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1/2)n y (1/2)n.
Respuesta:
17. Si
v =
[−14
−16
], w =
[7
8
], y S = {w}.
Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:
1. v ∈ Gen {S} 2. v ∈ S3. w ∈ Gen {S} 4. w ∈ S
Respuesta:
18. ¿Para que valor de a el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−1
1
−1
,
2
0
0
0
,
−2
2− a−2− a+ a2
8− 4 a
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de a.
2 Solo para el valor a=
3 No existe valor de a.
4 Solo para a = 0 y para a=
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
donde a+ 2 b+ c = 0, ¿es un subespacio vectorial?
A No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 35 3
B Sı es subespacio.
C No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
D No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
20. Los vectores
1.
−1
0
7
2.
−3
−3
12
3.
−6
−2
37
4.
1
1
−4
5.
−18
−6
111
son vectores propios de la matriz
A =
−223 95 −32
−84 36 −12
1351 −575 194
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−86 −24 −18
198 55 42
162 45 34
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: 5 1 0 0 0
0 5 0 0 0
−2 1 3 0 0
0 −1 2 2 1
4 −5 2 −1 4
Determine la dimension algebraica de λ1 = 3 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 5.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
−34 5 5
−91 14 13
−147 21 22
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = 29x− 21 y + 12 z
y′ = 60x− 44 y + 26 z
z′ = 45x− 33 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 2, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −16x− 2 y + 8 z
y′ = −19x− 3 y + 10 z
z′ = −37x− 7 y + 20 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 1, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −62.44
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:36
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 4 + 4 i+ (3 + 3 i)− (2 + 2 i)
2) z2 = (2 + 2 i) (5 + 5 i)
3) z3 = −2−5 i5−3 i
4) z4 = 1+2 i−3+4 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−3− 3 i+ (3 + 2 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2i+
1
2
√3
determine las raıces cuartas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−1 + 5 i+ z| > 3
b) |−3− 5 i+ 5 z| = 5
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) banda horizontal
3) cırculo con centro fuera de los ejes
4) exterior de un disco
5) el plano complejo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−4+4 i
4− 4 i+ z
16 + 8 i+ (5− i) z + z2
2) lımz→1+3 i
−5− 5 i+ z
−10 + 20 i+ (−6− 8 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −1− 2 i
3) z3 = 3 + 3 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = x+ y2
v(x, y) = 1 + 6x2 − 3 y + y2
b) u(x, y) = −5 y − 2x y + 32 y
2
v(x, y) = 5x+ x2 − 3x y − y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es el arco del cırculo |z| = 1
que va desde z1 = i hasta z2 = 1 en el sentido antihorario
y donde
f(z) =2− i− z
zReporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −1+4 i
3+i
cosh(z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (3 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 13
b) C : |z| = 43
c) C : |z| = 5
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=0
7
(3
(1 + 3 i)
)nindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=1
(−1)m
m2 3m(3 i + z)
m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =8
z
alrededor de zo = 2 i. Reporte la parte real de los primeros
5 coeficientes de la potencias de (z − 2 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −5, k = −3,
k = 1, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z
z2 − 6 z + 9
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
5y(n− 1)
si y(−1) = 1 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−1)n y (1/5)n.
Respuesta:
17. Si
v =
[2
6
], w =
[−1
−3
], y S = {w}.
Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:
1. w ∈ Gen {S} 2. w ∈ S3. v ∈ S 4. v ∈ Gen {S}
Respuesta:
18. ¿Para que valor de k el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2
2
−2
,
1
−3
0
−3
,
−1
2 + 2 k
−2 + k + k2
10− 10 k + 3 k2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de k.
2 Solo para el valor k=
3 Solo para k = 0 y para k=
4 Hay mas de dos valores de k.
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
a)
9
−3
−1
, 4
−2
4
b)
3
3
5
, 6
3
7
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 36 3
c)
7
−3
3
, 4
8
10
, 10
7
2
, −6
1
8
d)
0
5
−4
, 6
9
8
, 4
8
7
e)
9
1
10
, 2
2
5
, 11
3
15
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−4
14
14
2.
−2
7
7
3.
−3
9
6
4.
1
−3
−2
5.
−21
72
72
son vectores propios de la matriz
A =
101 47 −19
−336 −156 63
−336 −154 61
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
10 −4 −4
0 2 −2
24 −12 −8
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: −3 1 0 0 0
−1 −1 0 0 0
6 3 1 0 0
16 6 2 0 1
5 2 2 −1 2
Determine la dimension algebraica de λ1 = 1 y la dimen-
sion geometica de λ2 = −2.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
28 −12 −2
43 −18 −3
34 −16 0
es diagonalizable.
A Cierto
B Falso
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 10 y + 12 z
y′ = −12x− 23 y + 28 z
z′ = −12x− 26 y + 31 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −1, y(0) = 1, z(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −10x− y + 5 z
y′ = −12x− y + 6 z
z′ = −24x− 4 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = −2
Determine el valor de t tal que x(t) = −0.4066
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:37
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = −4 + 4 i+ (4 + 2 i)− (−5 + 3 i)
2) z2 = (−2 + 4 i) (2 + 3 i)
3) z3 = −3+2 i2+3 i
4) z4 = 1+4 i3−5 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−1− i+ (4 + 3 i) z)4
= −1
Reporte los modulos de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2i+
1
2
√3
determine las raıces cuartas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−5− 4 i− z| = 5
b) 4 < |−4− 2 i+ z| < 8
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) recta inclinada
3) semiplano inclinado
4) cırculo con centro fuera de los ejes
5) anillo
Respuesta:
5. Determine el modulo del valor al cual se aproxima la
expresion en la direccion dada:
1) f(z) = zz , acercandose a zo = 0 siguiendo la recta
y = x
2) f(z) = Re(z)z , acercandose a zo = 0 horizontalmente
Nota: Usted debe calcular los lımites, que en general son
numeros complejos, y observar las diferencias; se pide el
modulo solo para que el sistema pueda revisar la respuesta.
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3 i
2) z2 = −2 + 3 i
Determine la parte real del valor principal de las expre-
siones:(1) iz1
(2) iz2
Respuesta:
7. Las siguientes funciones de variable compleja f(z) =
u(x, y) + v(x, y) i
a) u(x, y) = 3x2 − 15x y + 12 y2 + y3
v(x, y) = −3x2 + 6x y − 152 y
2
b) u(x, y) = x+ 6x y + y2
v(x, y) = x+ y + 3 y2
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en solo al-
gunos puntos. Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes ca-
tegorıas:
1) Se cumplen en una recta vertical
2) Se cumplen en una recta horizontal
3) Se cumplen en una recta inclinada
4) Se cumplen en una parabola con eje vertical
5) Se cumplen en una parabola con eje horizontal
6) Se cumplen en un cırculo
7) Se cumplen en un punto
8) Se cumplen en dos puntos
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −3− 2 t, y(t) = 2 + 3 t2, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = −2− 3 i+ 3 z − 2 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 3−2 i
2 i
(−1 + 4 i+ (−5− 4 i) z + 5 z2
)dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (6 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 16
b) C : |z| = 76
c) C : |z| = 8
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
6 i
(i
4
)k−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=0
1
(1 + i)1+n (1 + 2 i + z)
n
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. Encuentra la representacion en Serie de Taylor para
f(z):
f(z) =27
z
alrededor de zo = 3 i. Reporte la parte imaginaria de los
primeros 5 coeficientes de la potencias de (z − 3 i).
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
4 < |z + 1|
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −2,
k = −1, k = 0, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−2 z2
z2 − 25
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 5 y(n)
si y(0) = 0 y x(n) = (−6)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−6)nu(n) y 5n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de x para el cual
Gen
1
2
0
, −1
2
−1
, 0
1
x
, 2
4
0
no es todo R3.
Respuesta:
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
−2
1
1
,−2
5
−1
−3
,
1
−2 + b
1− 4 b+ b2
25− b− b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de b.
2 No existe valor de b.
3 Solo para el valor b=
4 Solo para b = 0 y para b=
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 37 3
a)
−2
9
9
, −2
2
4
, 0
10
8
b)
−2
2
−1
, −4
6
4
, −10
12
1
c)
−3
7
2
, 1
9
6
, 6
−5
4
, −6
−20
−16
d)
−5
−3
−2
, 7
3
3
e)
4
10
0
, 4
−1
4
, 8
−1
4
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−4
−3
−14
2.
1
1
3
3.
−5
−3
−18
4.
4
3
14
5.
15
9
54
son vectores propios de la matriz
A =
16 −14 −1
−6 −4 3
72 −54 −7
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
41 −15 −13
30 −10 −10
78 −30 −24
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−4 1 0 0 0
−4 0 0 0 0
11 −3 −1 0 0
−8 3 2 −2 1
−26 8 2 −1 0
Determine la dimension algebraica de λ1 = −2 y la di-
mension geometica de λ2 = −1.
Respuesta:
23. Diga si la matriz
A =
3 0 0
0 3 0
0 0 3
es diagonalizable.
A Falso
B Cierto
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −4 y + 7 z
y′ = −2x− 8 y + 16 z
z′ = 2x− 8 y + 13 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = −2, z(0) = −1
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 6 y + 6 z
y′ = −9x− 7 y + 7 z
z′ = −18x− 18 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −2, y(t = 0) = −2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = 64.99
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:38
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = −3 + 2 i+ (3 + 5 i)− (−4 + 3 i)
2) z2 = (3 + 4 i) (−4 + 3 i)
3) z3 = 2−2 i5−i
4) z4 = −1+2 i−4−i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(3− 2 i+ (−2− i) z)4 = −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si |z1| = 3 y |z1| = 6, determine el modulo de los siguientes
numeros complejos:
1) z1 · z22) z1/z2
3) z1√z2
4) (z1)2√z2
5) (z1)2/ 3√z2
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |−5 + z| = 5
b) |−1− 5 i+ z| ≥ 3
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta horizontal
2) cırculo con centro en el eje real
3) cırculo con centro fuera de los ejes
4) exterior de un disco
5) anillo
Respuesta:
5. Indique cuales de las siguientes opciones contienen lımites
que sı existen:
1) lımz→−2+i
−4 + 8 i+ (2 + 5 i) z + z2
2− i+ z
2) lımz→5+i
−5− i+ z
−1− 21 i+ (−4 + 3 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = −2− i
3) z3 = −3 + 3 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|
Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = 2 y
v(x, y) = −2x+ y
b) u(x, y) = −4x+ y
v(x, y) = −5x− 4 y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = −2 + i (3− t) + 2 t2, 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = 3 + 2 i+ 2 z + 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
2
9. Calcule la integral indicada:∫ 2−i
−2+icosh(2 z) dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (4 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 14
b) C : |z| = 54
c) C : |z| = 6
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑k=1
4 i
(i
−2
)k−1indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑n=1
1
n
(i
1− 2 i
)nzn
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 3 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =3 z
(z + 1) (z − 2)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 3
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −5,
k = −3, k = −1, y k = 1.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
2 z2 − 4 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 6 y(n)
si y(0) = 6 y x(n) = 4n u(n). Determine la forma cerrada
de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 4n u(n)
y 6n u(n).
Respuesta:
17. Respecto al conjunto de R3 formado por las soluciones a
2x− y + 3 z = 7
6x− y + 8 z = 13
−4x+ 8 y − 7 z = −34
−14x+ 23 y − 23 z = −100
se puede decir que es . . .
1 un plano con vector normal
n =< 1, , >.
2 el punto P ( , , ).
3 vacıo porque el sistema es inconsistente.
4 una lınea con vector de direccion
d =< 1, , >.
Indique su seleccion y de ser necesario reporte los numeros
que completan la respuesta.
Respuesta:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 38 3
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
1
−2
,−2
−5
−4
4
,
−1
−2− b−1− 6 b+ b2
2− 12 b+ 3 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de b.
2 Solo para el valor b=
3 No existe valor de b.
4 Solo para b = 0 y para b=
Respuesta:
19. El subconjuto de R3 formado por solo vectores de la forma a
b
c
que cumplen:
a+ b ≤ 0
¿es un subespacio vectorial?
A No, es cerrado bajo producto pero no bajo suma.
B No, es cerrado bajo suma pero no bajo producto.
C No, no es cerrado ni bajo suma ni bajo producto.
D Sı es subespacio.
20. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz
A =
−78 83 −40
56 −57 28
280 −292 142
de la lista de vectores:
1.
2
0
−4
2.
2
−1
−6
3.
21
−12
−69
4.
0
−1
−2
5.
1
−1
−4
6.
8
−5
−27
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
10 16 4
−12 −22 −8
18 36 16
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:0 1 0 0 0
−4 4 0 0 0
6 −13 −2 0 0
−14 26 2 0 1
20 −32 −4 −4 −4
Determine la dimension algebraica de λ1 = 2 y la dimen-
sion geometica de λ2 = −2.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−1 0 0
0 3 1
0 0 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −5x− 33 y + 18 z
y′ = −6x− 44 y + 24 z
z′ = −12x− 96 y + 52 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = −2, y(0) = 2, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x− 6 y + 10 z
y′ = −20x− 13 y + 22 z
z′ = −20x− 15 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 14.14
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:39
1. Si
1) z1 = −2 + 4 i
2) z2 = 2 e34 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−4− i+ (2− 2 i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z =1
2i− 1
2
√3
determine las raıces sextas de z. Reporte los argumentos
de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar 3 va-
lores intepretados como angulos en radianes en el intervalo
(−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |1− 4 z| = 3
b) Re(−1 + 3 i+ z) = −1
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) recta vertical
2) recta inclinada
3) banda inclinada
4) cırculo con centro en el eje real
5) el plano complejo excepto un numero finito de puntos
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→2+4 i
(−30 i+ (6 + 10 i) z − 2 z2
)2) lım
z→−4−i
−15 i+ (−5 + 3 i) z + z2
2 + 2 i+ z
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −3 i
2) z2 = 2− 2 i
3) z3 = −1 + 3 i
Determine:(1) Re(senh(z1))
(2) Im(cosh(z2))
(3) |sin−1(z3)|Cuando aplique, use solo valores principales.
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = 3x+ 3 y − 10x y
v(x, y) = 5x2 + 3 y − 5 y2
b) u(x, y) = 3x3 + y3
v(x, y) = 3x− 3 y
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz donde C es:
x(t) = −1− 2 t, y(t) = −1 + 2 t2, 0 ≤ t ≤ 2
y donde
f(z) = −3− 2 i+ 2 z − 2 i z
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ −2+3 i
−1+i(4 + 2 i+ (−4− i) z)2 dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (4 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 14
b) C : |z| = 54
c) C : |z| = 6
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=1
(5− i)n−1
indique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑k=0
(1− 3 i)k
(−2− 2 i + z)k
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Encuentre una serie de Maclaurin para esta funcion. To-
ma los primeros 5 terminos y evalua en z = 4 i. Reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =4 z
(z + 1) (z − 3)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
0 < |z + 1| < 4
Si ak es el coeficiente de (z + 1)k
en el desarrollo solici-
tado, indique los valores de ak para los valores k = −4,
k = −3, k = −1, y k = 1.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =5 z2
z2 − 25
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 7 y(n)
si y(0) = 7 y x(n) = (−7)n u(n). Determine la forma ce-
rrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen
(−7)nu(n) y 7n u(n).
Respuesta:
17. Considere los vectores:
v1 =
−15
3
−12
, v2 =
2
−3
−2
v3 =
−3
−2
−6
, v4 =
−1
−3
−2
v5 =
−2
−6
−4
, v6 =
1
3
2
y los subespacios generados:
W1 = Gen {v1,v2,v3}W2 = Gen {v4,v5,v6}
¿Cual de las siguientes afirmaciones es cierta?
A W1 ⊆W2 y W2 6⊆W1
B W1 6⊆W2 y W2 6⊆W1
C W2 ⊆W1 y W1 6⊆W2
D W1 = W2
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 39 3
18. ¿Para que valor de k el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
1
2
2
,
2
3
3
2
,
2
2 + k
4− 4 k + k2
16− 15 k + 3 k2
Indique su respuesta en las posibles:
1 No existe valor de k.
2 Hay mas de dos valores de k.
3 Solo para el valor k=
4 Solo para k = 0 y para k=
Respuesta:
19. Determine la dimension del subespacio:
Gen
−5
5
4
0
,−2
−22
−20
12
,−27
3
0
12
,−4
−4
−4
4
Respuesta:
20. Los vectores
1.
−1
3
−2
2.
10
−33
27
3.
20
−66
54
4.
1
−3
2
5.
−3
10
−8
son vectores propios de la matriz
A =
190 98 52
−624 −322 −171
516 266 141
De en orden los valores propios a los cuales corresponden.
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−4 0 −2
24 10 0
24 12 −2
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz:−2 1 0 0 0
−9 4 0 0 0
−21 −1 4 0 0
27 1 2 3 1
78 3 2 −1 5
Determine la dimension algebraica de λ1 = 1 y la dimen-
sion geometica de λ2 = 4.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−4 1 c
−4 1 c
−4 1 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −7x+ 4 y
y′ = −8x+ 5 y
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 3, y(0) = 1
Como respuesta determine x(t = 1) y y(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −8x− 3 y + 6 z
y′ = −18x− 7 y + 14 z
z′ = −18x− 9 y + 16 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = −1, y(t = 0) = −1, z(t = 0) = 2
Determine el valor de t tal que x(t) = 65.65
Respuesta:
4
Matematicas Avanzadas para IngenierıaLaboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2013
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:40
1. Considere las siguientes expresiones:
1) z1 = 1 + 5 i+ (4 + 3 i)− (5 + 4 i)
2) z2 = (−3 + 2 i) (2 + 3 i)
3) z3 = 2+4 i−1+5 i
4) z4 = −5−4 i1−5 i
Determine la parte real de cada uno de ellos.
Respuesta:
2. Resuelva la ecuacion:
(−5− 4 i+ (5 + 3 i) z)4
= −1
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Respuesta:
3. Si
z = −1
2i− 1
2
√3
determine las raıces cuartas de z. Reporte los argumen-
tos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar
3 valores intepretados como angulos en radianes en el in-
tervalo (−π, π].
Respuesta:
4. Clasifique los conjuntos de puntos que satisfacen las si-
guientes relaciones:
a) |2− 3 i+ z|+ |4 + 3 i+ z| = 5
b) 1 ≤ |2 + 4 i+ z| < 5
de acuerdo a la siguiente lista de clasificacion:
1) semiplano vertical
2) cırculo con centro en el eje imaginario
3) anillo
4) el plano complejo
5) conjunto vacıo
Respuesta:
5. Determine el modulo de cada uno de los siguientes lımi-
tes:
1) lımz→2−3 i
(−60 i+ (20 + 12 i) z − 4 z2
)2) lım
z→−4−i
1
5 i+ (1 + 5 i) z + z2
Respuesta:
6. Considere los siguientes numeros complejos:
1) z1 = −2 i
2) z2 = 1− 3 i
3) z3 = −3− 2 i
Determine:(1) Re(sen(z1))
(2) Im(cos(z2))
(3) |tan(z3)|
Respuesta:
7. Clasifique la funcion de variable compleja f(z) = u(x, y)+
v(x, y) i para
a) u(x, y) = 2x+ 12 x
2 − 2 y − 12 y
2
v(x, y) = 2x+ y + x y
b) u(x, y) = −4x− 4 y + 8x y
v(x, y) = −4x2 − 4 y + 4 y2
respecto a satisfacer o no las ecuaciones de Cauchy-
Riemann:1. ∂u
∂x = +∂v∂y
2. ∂u∂y = − ∂v
∂x
Clasifıquelas de acuerdo a las siguientes categorıas:
1) No satisface ninguna de las ecuaciones
2) Satisface solo la ecuacion 1
3) Satisface solo la ecuacion 2
4) Satisface ambas ecuaciones
Respuesta:
8. Calcule∫Cf(z) dz, donde C es:
z(t) = 3 + i (−1− t)− t2, 0 ≤ t ≤ 3
y donde
f(z) = −1 + 2 i+ 3 z + 2 i z2
Reporte la parte real y la parte imaginaria.
Respuesta:
9. Calcule la integral indicada:∫ 4−3 i
−2+4 i
e4 i z z dz
Reporte el modulo del resultado.
Respuesta:
2
10. Utilice donde sea apropiado los teoremas de Cauchy para
calcular la integral:∮C
1
(z − 1) (3 + z)2 dz
para cada una de las siguientes curvas:
a) C : |z| = 13
b) C : |z| = 43
c) C : |z| = 5
Reporta los modulos de cada resultado.
Respuesta:
11. Para la serie∞∑n=0
7
(2
(1 + 2 i)
)nindique como se clasifica:
1 diverge
2 converge al valor L = + i
Si acaso escoge la segunda opcion, completela con los va-
lores indicados.
Respuesta:
12. Para la serie de potencias
∞∑m=0
(1 + 2 i)m
(1− 3 i + z)m
indique como se clasifica:
1 converge solo para su centro
2 converge para todo z
3 converge dentro del cırculo con centro en
zo = 2 + 3i y radio R = 4
Si acaso escoge la tercera opcion, completela con los valo-
res indicados.
Respuesta:
13. La funcion error erf(z) se define como
erf(z) =2√π
∫ z
0
e−t2
dt
Aproxime el valor de la funcion error en z = 2 i; reporta
la parte real y la parte imaginaria del resultado. Sugeren-
cia: utilice una serie de Maclaurin usando los primeros 5
terminos.
Respuesta:
14. Considere la funcion de variable compleja definida por la
formula:
f(z) =5 z
(z + 1) (z − 4)
Determine el desarrollo en serie de Laurent que sea vali-
do en el anillo
1 < |z| < 4
Si ak es el coeficiente de zk en el desarrollo solicitado, in-
dique los valores de ak para los valores k = −5, k = −2,
k = 2, y k = 3.
Respuesta:
15. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
2 z2 − 4 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Respuesta:
16. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n+ 1) = x(n) + 6 y(n)
si y(0) = 6 y x(n) = 5n u(n). Determine la forma cerrada
de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 5n u(n)
y 6n u(n).
Respuesta:
17. Determine el valor de a para que el primer vector sea una
combinacion lineal de los restantes: 33
76
a
, 1
4
2
, 4
8
5
Respuesta:
18. ¿Para que valor de b el siguiente conjunto de vectores es
linealmente dependiente?
1
2
2
1
,
1
4
6
−1
,
−1
−2− b−2− 6 b+ b2
−1− 19 b+ 5 b2
Indique su respuesta en las posibles:
1 Hay mas de dos valores de b.
2 No existe valor de b.
3 Solo para b = 0 y para b=
4 Solo para el valor b=
Respuesta:
19. Clasifique cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:
MA3002, Laboratorio Final, Tipo: 40 3
a)
8
0
−5
, 2
−2
−1
b)
2
5
9
, 1
8
4
c)
4
1
2
, 2
−2
5
, 6
3
5
, −16
−11
−10
d)
−3
1
6
, 3
7
10
, 6
6
9
e)
1
−4
2
, −4
8
6
, 8
2
−5
, −3
4
8
Respecto a si son base o no para R3. Indica la opcion que
clasifica a cada conjunto respecto a alguna de las siguientes
categorias:
1) Es base
2) No es base: Genera pero es linealmente dependiente
3) No es base: Es linealmente independiente pero no ge-
nera
4) No es base: Ni genera ni es linealmente independiente
Respuesta:
20. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz
A =
−50 60 36
67 −88 −51
−191 250 145
de la lista de vectores:
1.
−11
15
−42
2.
−24
33
−93
3.
−6
8
−22
4.
1
−1
3
5.
4
−5
14
6.
−2
3
−8
Respuesta:
21. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz
A =
−10 6 −2
−10 5 0
25 −18 11
De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De
ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.
Respuesta:
22. Para la matriz: −4 1 0 0 0
−9 2 0 0 0
14 −2 1 0 0
33 −4 2 −1 1
47 −5 4 −4 3
Determine la dimension algebraica de λ1 = −1 y la di-
mension geometica de λ2 = 1.
Respuesta:
23. Para que valor de c la matriz siguiente no es diagonaliza-
ble:
A =
−5 1 c
−5 1 c
−5 1 c
Respuesta:
24. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −7x− 6 y + 9 z
y′ = −18x− 14 y + 22 z
z′ = −18x− 18 y + 26 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = −2
Como respuesta determine x(t = 1), y(t = 1) y z(t = 1)
Respuesta:
25. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales:
x′ = −9x− 6 y + 10 z
y′ = −20x− 13 y + 22 z
z′ = −20x− 15 y + 24 z
sujeto a las condiciones iniciales:
x(t = 0) = 2, y(t = 0) = 2, z(t = 0) = 1
Determine el valor de t tal que x(t) = −63.73
Respuesta: