Matematické modelování transportu neutronů
Milan Hanuš
Konference komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ
16. – 18. 6. 2010
Matematické modelování neutronového pole
1. Proč se jím zabývat
2. Co modelovat?• Jaká jaderná zařízení se modelují?• Jaké veličiny nás zajímají?• Jaké úlohy se řeší?
3. Jak modelovat?• Jaký použít fyzikální model?• Jaký použít matematický model?• Jaký použít numerický model?• Jak prakticky použít zvolené modely?
Proč modelovat?
• výběr nejvhodnější konfigurace jaderných zařízení
simulace šíření neutronů v daném prostředí a zkoumání jeho důsledků
Proč modelovat?
• simulace havarijních stavů
Proč modelovat?
• návrh radiačního stínění
Proč modelovat?
• plánování radiačních terapií
Proč modelovat?
• prozkoumávání ropných nalezišť
Důležité veličiny
• skalární neutronový tok:– vyjadřuje hustotu neutronů
• koeficient násobení:– poměr počtu neutronů ve dvou po sobě jdoucích fázích štěpné
řetězové reakce– popisuje vývoj neutronového toku
• Aktivní zóna klasického jaderného reaktoru – snaha o rovnoměrné rozložení neutronového toku
– kritický stav:
• Aktivní zóna v urychlovačem řízených systémech– specifický neutronový tok v oblastech určených pro transmutaci MA
– podkritický stav:
Typické úlohy
• stacionární – úloha na vlastní čísla
• určení koeficientu násobení a asymptotického rozložení toku• úlohy na kritické rozměry či složení štěpné soustavy
– úloha s pevnými zdroji• asymptotické rozložení toku v podkritických systémech • návrh úložiště použitého paliva• radiační zátěž strukturálních prvků
• kvazi-stacionární– sled stacionárních úloh v daných okamžicích
pozvolného přechodového děje• kinetika Xe-135, I-135
Typické úlohy
• kinetika– rychlé přechodové děje
(nehody, ...)
• dynamika– termodynamické zpětné vazby– změna koncentrace nuklidů
• vyhořívání paliva, transmutace, ...
TMI-1: prasknutí hl. parovodu + zaseknutá regulační tyč
Skalární neutronový tok
• Boltzmannova rovnice transportu neutronů
popisuje rozložení směrového neutronového toku
v prostoru, energetickém spektru, směrové sféře a čase
• L ... operátor přenosu ( ) – změna polohy• H ... operátor rozptylu ( ) – změna energie a směru• F … operátor štěpen ( ) – implicitní zdroj neutronů• Q ... vnější neutronový zdroj (explicitní)
Matematicko-fyzikální model
í
( + O.P., P.P. )
Matematicko-fyzikální model
Ustálený stav – vnější zdroje
Ustálený stav – bez vnějších zdrojů, homogenní O. P.
• dominatní vlastní číslo: • příslušná vlastní funkce:
Výpočetní metody
• Deterministické– přímé řešení rovnice transportu neutronů
– diskretizace nezávisle proměnných
– přibližné metody pro vyčíslení integrálů, derivací
• Statistické (Monte Carlo)– simulace pohybu jednotlivých svazků neutronů prostředím
– pravděpodobnostní popis drah neutronů i jejich interakcí
– statistické metody pro získání požadovaných informací
– v porovnání s deterministickými metodami:• přesnější, snazší modelování komplexních geometrií• vyšší výpočetní náročnost, ztráta informací o některých veličinách
Mnohagrupová aproximace
Aproximace energetické závislosti
s
Deterministické numerické metody
• rozvoj směrové závislosti do (konečné) řady podle bázových funkcí (sférické harmonické fce)
• řešení transportní rovnice v konečném počtu směrů (diskrétní ordináty)
• předpoklad izotropního pohybu neutronů(difúzní aproximace)
PDR v prostorových proměnných– diskretizace standardními numerickými metodami
(FDM, FVM, FEM)
• metody založené na integrální formulaci rovnice(metoda srážkových pravděpodobností, charakteristik)
operátory + funkce matice + vektory
Nároky heterogenního 3D výpočtu zóny
• 163 kazet x 331 proutků • FVM: 40 axiálních x 6 radiálních podoblastí
Celkový počet výpočetních oblastí: 54000 x 240 ~
• Směr: 250 směrů (diskrétní ordináty 8. řádu)• Energie: 100 grup
Celkově neznámých
Paměťové nároky jen na uchování neznámých: 1 TB (double precision)
~ 54000 elementárních oblastí~ 240 podoblastí na každou
Optimalizace nároků
• Urychlení transportního výpočtu pomocí fyzikálních aproximací nižšího řádu (např. difúze)
• Homogenizace + nodální metody (FDM, FVM)– řešení na hrubé síti zachycující všechny podstatné efekty mikroškál
Optimalizace nároků
• Různé druhy adaptivní FEM aproximace – a posteriorní odhady chyb
– adaptivita cílená na zpřesnění specifických veličin
VHTR reaktorvýpočetní síť ve dvou fázích zpřesnění
2-grupový UOX/MOX benchmark (NEACRP-L-336)
rozložení termálního toku
Přímé a inverzní úlohypřímé úlohy
• dány– geometrie– materiálové vlastnosti– okrajové podmínky
• neznámý– neutronový tok
inverzní úlohy
• dány– geometrie– neutronový tok– okrajové podmínky
• neznámé– materiálové vlastnosti
detektor
Inverzní úlohy
• postupné upravování materiálových parametrů v transportní rovnici tak, aby rozdíl jejího řešení a naměřených toků byl minimální
• použití:– hraniční kontroly (pašování jaderných materiálů)– materiálový výzkum (neutronová CT)
neutrony 14 MeV RTG 250 keV
Shrnutí – úlohy transportu neutronů
• stacionární• kvazi-stacionární• kinetické• dynamické• s pevnými zdroji• na vlastní čísla• přímé• inverzní
Shrnutí – metody řešení
• stochastické– metoda Monte Carlo
• deterministické– aproximace směrové závislosti
• metoda sférických harmonických funkcí, diskrétních ordinát• metoda srážek, charakteristik• difúzní aproximace
– aproximace prostorové závislosti• FDM, FEM, FVM• nodální metody
– aproximace energetické závislosti• mnohagrupová aproximace
Použité zdroje• http://www.ornl.gov/sci/ees/nstd/index.shtml
– radiační stínění• https://engineering.purdue.edu/PARCS
– simulace přechodového děje• http://neutra.web.psi.ch
– inverzní úlohy• http://nuclear.tamu.edu/
http://hpfem.org – adaptivita pro FEM
Děkuji za pozornostDěkuji za pozornost