Matematiikkalehti3/2009
http://solmu.math.helsinki.fi/
2 Solmu 3/2009
Solmu 3/2009
ISSN-L 1458-8048ISSN 1459-0395 (Painettu)ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)
Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hallstromin katu 2b)00014 Helsingin yliopisto
http://solmu.math.helsinki.fi/
Paatoimittaja:Matti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopisto
Toimitussihteeri:Juha Ruokolainen, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto
Sahkoposti: [email protected]
Toimituskunta:Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluHeikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluAapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAri Koistinen, FM, Metropolia AmmattikorkeakouluMika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoMarjatta Naatanen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAntti Rasila, tutkija, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluHilkka Taavitsainen, lehtori, Ressun lukio
Graafinen avustaja: Marjaana Beddard
Yliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilot:Virpi Kauko, FT, matemaatikko, [email protected], JyvaskylaJorma K. Mattila, professori, [email protected]
Sovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski, dosentti, [email protected]
Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Tampereen yliopistoAnne-Maria Ernvall-Hytonen, assistentti, [email protected]
Matematiikan laitos, Turun yliopistoMatti Nuortio, jatko-opiskelija, [email protected]
Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopistoTimo Tossavainen, lehtori, [email protected]
Savonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopisto
Numeroon 1/2010 tarkoitetut kirjoitukset pyydamme lahettamaan 11.1.2010 mennessa.
Kiitamme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.
Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sita erikseen pyytaneet. Toivomme,etta lehtea kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.
Solmu 3/2009 3
Sisallys
Paakirjoitus: Positiivisesti matematiikasta (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Monikulmion pinta-ala ylioppilaille (Mika Koskenoja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Paras kiinalainen muki (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2009 ei ole tylsa vuosi (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Matematiikkaolympialaiset 2009: vaikeatkin tehtavat ratkeavat (Matti Lehtinen). . . . . . . . . . . .15
Matematiikkadiplomeja Solmun avulla (Marjatta Naatanen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mitoista on moneksi (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Matematiikan lahtotasotestaus Turun ammattikorkeakoulussa tekniikan ja liikenteenalalla vuosina 1999–2004 ja 2008 (Raija Tuohi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kaunis kirja numeroista vai lukufloppi? (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Matematiikkaa ulkona luonnossa (Aulikki Laine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Lue matematiikasta suomeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Solmun uusitun etusivun kohdasta Matematiikan opetus loytyy tallaisia otsikoita . . . . . . . . . . . 34
Lahjoitus matematiikan olympiavalmennukselle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
4 Solmu 3/2009
Positiivisesti matematiikasta
Matematiikkakeskustelussa on aika usein moittiva savy.Tassakin Solmussa on useita kirjoituksia, joiden vies-tina on, etta matematiikan asema ja arvostus eivat oi-kein ole kohdallaan ja etta matematiikan opetus tai sentulokset jattavat toivomisen varaa. Usein tamansuun-taisia ajatuksia myos itse tuotan ja levitan. Kun Solmukuitenkin haluaa olla syvasti positiivinen julkaisu, ontarpeen neutraloida monia perustellusti kielteisia mie-lipiteita lausumalla myonteisia ajatuksia itse matema-tiikasta.
Miksi matematiikka on positiivista? Matematiikka onpositiivista, koska se on tarkeaa. Vain matematiikkaaosaaville aukeavat hyvat opiskelu- ja tyopaikat. Mate-matiikka on tarkeaa, koska nykyaikainen tekniikka eiolisi mahdollista ilman matematiikkaa. Matematiikkaon tarkeaa, koska luonnon kirja on matematiikan kielel-la kirjoitettu ja matematiikka on tieteellisen maailman-kuvamme tukiranka. Matematiikka on tarkeaa, koskasen kieli on universaalinen, kansalliset rajat ja kulttuu-rimuurit ylittava.
Tallaisin argumentein matematiikan opiskeluun kan-nustetaan. Nama argumentit eivat millaan muotoa olevirheellisia. Niiden perusteella voi mainiosti paattaa,etta matematiikka tai sen opettaminen on elamanteh-tava. Ja varsinkin voi paattaa opiskella ja oppia mate-matiikkaa siina mitassa ja maarassa, mika on tarpeenitse kullakin elaman ja toiminnan alueella.
Matematiikka on siis tarkeaa, koska se on mahtava tyo-kalu tai tyokalukokoelma. Mutta siinako kaikki? Kuu-
luuko matematiikka samaan sarjaan kuin jakoavain,sahkovatkain, moottorisaha tai tietokone? Naita miten-kaan vaheksymatta ajattelen, etta ei oikeastaan kuulu,sen arvo on syvempi ja universaalimpi.
Matematiikka on positiivista, koska se on kaunista.Mutta sanonta katsojan silman keskeisesta merkityk-sesta kauneuden mieltamisessa patee matematiikkaanenemman kuin moneen muuhun estetiikan mittapuil-la arvioitavaan. Patee siina mielessa, etta matematii-kan kauneus ei voi avautua heti samalla valittomyy-della kuin kauniin auringonlaskun tai korvaa hivelevanmelodian. Analogiaa kuitenkin on: musiikin lukematto-missa alalajeissa on monia, joiden kauneus avautuu vas-ta korvan saatua riittavasti kokemusta, moni runo vaa-tii avautuakseen lukijalta tietoa ja ymmarrysta. Ma-tematiikan kauneuden ymmartamiseksi on valttamattakaveltava matematiikan sisaan. Matematiikan abstrak-tien rakenteiden ja yllattavien asiakytkentojen kauneusei ole kauniisti varitetyissa fraktaaligeometrian kuviois-sa, niiden kauneus on matematiikalla, silla tyokalulla,tuotettua visuaalista kauneutta.
Mutta ennen kaikkea: matematiikka on positiivista,koska se on totta. Tai ainakin mahdollisimman paljonepailyksista vapaata ihmisen hengentoimintaa. Mate-matiikka maarittelee kasitteensa ja puhuu niista tas-mallisesti vain juuri sellaisina kuin ne maariteltiin. Ma-tematiikka rakentaa koko tietovarastonsa tukevasti pe-rustoille, joiden olemus on maaritelmin ja aksioominkiinnitetty. Matematiikka ei haihattele, romantisoi ei-ka harjoita mielipidesortoa.
Matti Lehtinen Paakirjoitus
Solmu 3/2009 5
Monikulmion pinta-ala ylioppilaille
Mika Koskenoja
Matematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopisto
Tehtava. Kuusikulmion M karjet ovat tason pisteissa(0, 0), (3,−1), (2, 2), (4, 3), (−2, 2) ja (1, 1). Laske M :npinta-ala.
-2 -1 0 1 2 3 4-1
0
1
2
3
M
Esitin Solmun numerossa 1/2009 kirjoituksessa ”Mo-nikulmion pinta-ala koululaisille” tehtavalle kaksi kes-kenaan samantapaista ratkaisua, jotka vaativat ainoas-taan jo peruskoulun ylaluokkien oppilaiden hallitsemiaalkeisgeometrian tietoja. Jatkan nyt samasta aihees-ta esittaen tehtavalle tyystin erilaisen ratkaisun, jokaperustuu vasta yliopistomatematiikan alussa opittaviinvektorianalyysin perusteisiin. Pyrin kuitenkin siihen,etta tamankertaisenkin ratkaisun seuraamiseen riittaalukion pitkan matematiikan derivointi- ja integrointi-taitojen hyva hallinta.
Vektorianalyysin alkeita
Koulumatematiikan funktio-opissa kasitellaan lahinnareaaliarvoisia funktioita, jotka on maaritelty reaaliak-selin osajoukossa. Kun ∆ ⊂ R, niin funktio f : ∆ → R
kuvaa maarittelyjoukon ∆ jokaisen luvun x joksikin re-aaliluvuksi f(x). Tallaisen funktion kuvaaja on tapa-na esittaa tason pisteina (x, f(x)). Alla olevassa kuvas-sa on esitetty eraan valilla [a, b] maaritellyn jatkuvanfunktion kuvaaja, joka on tasokayra.
b
a bx
f(x)(x, f(x))
Ensimmainen askel varsinaisen vektorianalyysin puolel-le tehdaan tutkimalla reaaliarvoisia funktioita, jotka onmaaritelty tason osajoukossa. Reaalitaso R2 koostuujarjestetyista reaalilukupareista (x, y), joita kutsutaantason pisteiksi. Nyt funktio f : D → R, missa D ⊂ R2,kuvaa pisteen (x, y) ∈ D reaaliluvuksi f(x, y). Tallai-sen funktion kuvaaja voidaan esittaa kolmiulotteisenavaruuden pisteina (x, y, f(x, y)). Seuraavassa kuvassaon neliossa N = [−10, 10] × [−10, 10] maaritellyn jat-kuvan funktion f : N → R, f(x, y) = x2 − y2, kuvaaja,joka on pinta avaruudessa R3.
6 Solmu 3/2009
10
-1005-10
-50
-5 0
0
y0-5x
50
5
100
-1010
Reaaliakselin osajoukon tilalle funktion maarittelyjou-koksi asetettiin edella tason osajoukko. Toisaalta funk-tioiden kasittelya voidaan yleistaa niin, etta arvojou-koksi asetetaan taso R2 reaalilukujoukon R sijasta.Kun ∆ ⊂ R, niin funktio f = (f1, f2) : ∆ → R2 ku-vaa maarittelyjoukon ∆ jokaisen luvun x joksikin re-aalilukupariksi f(x) = (f1(x), f2(x)) ∈ R2. Funktioi-ta f1, f2 : ∆ → R kutsutaan funktion f koordinaat-tifunktioiksi. Myos nyt funktion f = (f1, f2) kuvaa-ja voidaan esittaa kolmiulotteisen avaruuden pisteina(x, f1(x), f2(x)). Alla olevassa kuvassa on esitetty eraanvalilla [a, b] maaritellyn jatkuvan funktion (eli polun)kuvaaja, joka on kayra R3:ssa.
ba x
f1(x)
f2(x)
Funktion maarittely- ja arvojoukkojen laajennuksettasoon voidaan yhdistaa tutkimalla funktioita f =(f1, f2) : D → R2, missa D ⊂ R2. Talloin f ku-vaa jokaisen reaalilukuparin (x, y) ∈ D reaaliluku-pariksi f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)) ∈ R2. Nyt pis-teista (x, y, f(x, y)) = (x, y, f1(x, y), f2(x, y)) ∈ R4
koostuvan funktion kuvaajan havainnollistaminen eiole mahdollista yhta helposti kuin edella. Sen sijaankoordinaattifunktioiden f1 ja f2 kuvaajat voidaan esit-taa avaruuden R3 pistejoukkoina (x, y, f1(x, y)) ja(x, y, f2(x, y)), jatkuvassa tapauksessa erityisesti pin-toina. Funktiota f = (f1, f2) : D → R2 kutsutaan vek-torikentaksi.
Koulumatematiikasta tuttujen funktioiden f : ∆ → R,∆ ⊂ R, analyysissa derivointi ja integrointi ovat kes-keisia tyokaluja. Nain on myos vektorianalyysissa, jo-ten kasittelemme seuraavaksi vektorifunktioiden deri-vointia ja integrointia. Tarkastelemme tason avoimissatai suljetuissa joukoissa maariteltyja funktioita, joidenarvot ovat tilanteesta riippuen joko reaalilukuja tai re-aalilukupareja.
Osittaisderivaatat
Aloitetaan derivaatan kasittely tutkimalla funktioitaf : D → R, missa D ⊂ R2 on avoin. Olkoon (x0, y0) ∈D. Jos raja-arvo
∂xf(x0, y0) = limh→0
f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)
h
on olemassa, niin se on funktion f osittaisderivaattamuuttujan x suhteen pisteessa (x0, y0). Vastaavasti, jos
∂yf(x0, y0) = limh→0
f(x0, y0 + h) − f(x0, y0)
h
on olemassa, niin se on funktion f osittaisderivaattamuuttujan y suhteen pisteessa (x0, y0). Melko helpostihavaitaan, etta osittaisderivaattojen laskeminen palau-tuu tuttuun yksiulotteiseen derivointiin. Kun nimittaintarkastellaan avoimella valilla ]x0 − r, x0 + r[ maaritel-tya funktiota
g(x) = f(x, y0),
niin
∂xf(x0, y0) = g′(x0),
kunhan derivaatta on olemassa. Vastaavasti, kun tar-kastellaan avoimella valilla ]y0 − r, y0 + r[ maariteltyafunktiota
h(y) = f(x0, y),
niin ollessaan olemassa
∂yf(x0, y0) = h′(y0).
Esimerkki 1. Olkoon f : R2 → R, f(x, y) = x2 −y2, jonka kuvaaja neliossa N = [−10, 10] × [−10, 10]on esitetty taman sivun ensimmaisessa kuvassa. Nyt∂xf(x, y) = 2x ja ∂yf(x, y) = −2y. Nain ollen esimer-kiksi ∂xf(1, 3) = 2 · 1 = 2 ja ∂yf(1, 3) = −2 · 3 = −6.
Tarkastelimme edella ensimmaisen kertaluvun osittais-derivaattoja. Voimme jatkaa toisen kertaluvun osittais-derivaattoihin. Jos ensimmaisen kertaluvun osittaisde-rivaatat ovat olemassa jokaisessa D:n pisteessa, niinne maaraavat kaksi uutta funktiota ∂xf : D → R ja∂yf : D → R, joita voimme yrittaa osittaisderivoida.Jos kyseiset toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovatolemassa jokaisessa D:n pisteessa, niin merkitsemmeniiden maaraamia funktioita ∂xxf , ∂yyf , ∂xyf ja ∂yxf .Voimme jatkaa edelleen korkeamman kertaluvun osit-taisderivaattoihin pitaen mielessa, etta ne eivat valtta-matta ole olemassa, vaikka alemman kertaluvun osit-taisderivaatat olisivatkin.
Kun siirrymme vektorikenttaan f = (f1, f2) : D →R2, niin voimme tarkastella koordinaattifunktioidenf1 : D → R ja f2 : D → R osittaisderivaattoja∂xfi(x, y) ja ∂yfi(x, y), i = 1, 2. Edella esitetylla me-nettelylla voimme laskea naillekin korkeamman kerta-luvun osittaisderivaattoja, mikali ne ovat olemassa.
Solmu 3/2009 7
Esimerkki 2. Tarkastellaan vektorikenttaa f : R2 →R2, f(x, y) = (y sinx, x cos y). Nyt f1(x, y) = y sinx,joten ∂xf1(x, y) = y cosx ja ∂yf1(x, y) = sinx. Vas-taavasti f2(x, y) = x cos y, joten ∂xf2(x, y) = cos y ja∂yf2(x, y) = −x sin y. Koordinaattifunktion f1 toisenkertaluvun osittaisderivaatoiksi saadaan ∂xxf1(x, y) =−y sinx, ∂xyf1(x, y) = cosx, ∂yyf1(x, y) = 0 ja∂yxf1(x, y) = cosx. Vastaavasti f2:n toisen kerta-luvun osittaisderivaatoiksi saadaan ∂xxf2(x, y) = 0,∂xyf2(x, y) = − sin y, ∂yyf2(x, y) = −x cos y ja∂yxf2(x, y) = − sin y.
Sanomme, etta funktio f : D → R on n kertaa jatku-vasti derivoituva D:ssa, jos silla on olemassa n. kerta-luvun osittaisderivaatat jokaisessa pisteessa (x, y) ∈ Dja osittaisderivaattojen maaraamat funktiot ovat jat-kuvia. Erityisesti f on kerran (kaksi kertaa) jatkuvas-ti derivoituva D:ssa, jos silla on olemassa ensimmai-sen (ensimmaisen ja toisen) kertaluvun osittaisderivaa-tat jokaisessa pisteessa (x, y) ∈ D ja osittaisderivaat-tojen maaraamat funktiot ovat jatkuvia. Vektorikenttaf = (f1, f2) : D → R2 on n kertaa jatkuvasti derivoi-tuva D:ssa, jos f1 ja f2 ovat n kertaa jatkuvasti deri-voituva D:ssa. Jatkuvan derivoituvuuden maaritelmattehdaan vastaavasti myos funktioille f : ∆ → R, missa∆ ⊂ R on avoin.
Havaitsemme esimerkista 2, etta ∂xyf1 = cosx = ∂yxf1
ja ∂xyf2 = − sin y = ∂yxf2. Tama ei ole vain sattumaa,silla kyseiset yhtalot toteutuvat aina kaksi kertaa jatku-vasti derivoituville funktioille, jollainen myos esimerkinvektorikentta f on.
Pinta- ja kayraintegraalit
Lukion pitkassa matematiikassa tulee tutuksi maarattyintegraali ja sille voimassa oleva analyysin peruslause
b∫
a
f(x) dx =
b/
a
F (x) = F (b) − F (a),
missa F on valilla [a, b], a < b, maaritellyn rajoitetunfunktion f integraalifunktio. Maaratyn integraalin geo-metrinen merkitys on x-akselin, suorien x = a ja x = bseka jatkuvan ja positiivisen funktion f kuvaajan valiinjaavan alueen A pinta-ala, ks. seuraava kuva. Huomaa,etta suljetulla valilla [a, b] maaritelty jatkuva funktioon aina rajoitettu talla valilla.
ba
ala(A)
Pintaintegraali. Joukon, jonka yli integroidaan, eitarvitse valttamatta olla jana x-akselilla. Jos E ⊂ R2
on riittavan saannollinen suljettu ja rajoitettu joukko,seka f : E → R on jatkuva ja positiivinen, niin pintain-tegraalin ∫∫
E
f(x) dx
arvo on joukon E, sen reunan ∂E kautta kulkevan xy-tasoa vastaan kohtisuoran umpinaisen pinnan ja funk-tion f kuvaajan z = f(x, y) rajaaman kappaleen ti-lavuus. Pintaintegraali maaritellaan vastaavasti kuinreaaliakselin maaratty integraali Riemannin summienavulla, ks. [Martio, luku 4]. Riittavan saannollinenmerkitsee tassa yhteydessa sita, etta joukon E reunaei ole liian monimutkainen. Esimerkiksi monikulmiotovat aina riittavan saannollisia. Itse asiassa on melkohankalaa konstruoida joukko, joka ei ole tarpeeksi saan-nollinen pintaintegraalin laskemiseksi.
Kaytannossa pintaintegraalin arvo voidaan usein laskeaiteroituna integraalina. Jos suljettu ja rajoitettu joukkoE voidaan lausua muodossa
E = {(x, y) ∈ R2 : g(x) 6 y 6 h(x), x ∈ [a, b]},missa funktiot g, h : [a, b] → R ovat jatkuvia ja g(x) 6
h(x) kaikilla x ∈ [a, b], niin
∫∫
E
f(x, y) dx dy =
b∫
a
( h(x)∫
g(x)
f(x, y) dy
)
dx.
Ensin funktiota f integroidaan valilla [g(x), h(x)]muuttujan y suhteen niin kuin x olisi vakio, jolloinintegroitavaksi funktioksi saadaan vain x:sta riippu-va funktio, jota sitten integroidaan x:n suhteen valilla[a, b].
ba
E
g([a, b])
h([a, b])
Esimerkki 3. Olkoon E ⊂ R2 kolmio, jonka karjetovat pisteissa (0, 0), (2, 1) ja (2, 2). Lasketaan tasoin-tegraali yli E:n funktiolle f(x, y) = x. Valitaan nytfunktioiksi g, h : [0, 2] → R, g(x) = 1
2x ja h(x) = x, ks.seuraava kuva. Talloin
∫∫
E
f(x, y) dx dy =
2∫
0
( x∫
12
x
xdy
)
dx =
2∫
0
( x/
12x
xy
)
dx
=
2∫
0
(x2 − 1
2x2)dx =
2∫
0
12x2 dx =
2/
0
16x3 = 1
6 · 8 = 43 .
8 Solmu 3/2009
b
b b
bb
y
x
f(x, y)
E
f(E)
∼ (0, 0)= (0, 0, 0)
(0, 0, f(0, 0))
(2, 1, 0) ∼ (2, 1) (2, 2) ∼ (2, 2, 0)
(2, 2, 2)= (2, 2, f(2, 2))
(2, 1, 2) = (2, 1, f(2, 1))
Havaitsemme kuvasta, etta edella laskemamme tasoin-tegraalin arvo 4
3 on sellaisen monitahokkaan tilavuus,jonka karjet ovat pisteissa (0, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 2, 0),(2, 1, 2) ja (2, 2, 2). Tassa tason pisteet (0, 0), (2, 1) ja(2, 2) on samaistettu R3:n pisteiden (0, 0, 0), (2, 1, 0) ja(2, 2, 0) kanssa.
Havainto 1. Jos integroidaan vakiofunktiota f ≡ 1 yliriittavan saannollisen joukon E, niin saadaan joukonE, sen reunan ∂E kautta kulkevan xy-tasoa vastaankohtisuoran umpinaisen pinnan ja vakiofunktion 1 ku-vaajan rajaaman kappaleen tilavuus. Havaitsemme, et-ta saatu luku on itse asiassa samalla myos joukon Epinta-ala, eli
ala(E) =
∫∫
E
1 dx dy.
Vastaavasti yksiulotteisessa tapauksessa valin [a, b] pi-tuus saadaan integraalina
b∫
a
1 dx =
b/
a
x = b − a, a < b,
joka on toisaalta x-akselin, suorien x = a ja x = b sekavakiofunktion f ≡ 1 kuvaajan valiin jaavan alueen Apinta-ala. Havaitsemme lisaksi, etta A on suorakaide,jonka kannan pituus on b − a ja korkeus on 1.
E
11
y
x
f(x, y)
x
f(x)
a bb − a
A
Polku. Olkoon D ⊂ R2 avoin ja a < b. Jatku-vaa kuvausta γ = (γ1, γ2) : [a, b] → D sanotaan po-luksi joukossa D. Kuvauksen γ jatkuvuus tarkoittaa,etta molemmat koordinaattifunktiot γi : [a, b] → R,i = 1, 2, ovat jatkuvia. Polun γ derivaatta γ′(t) pis-teessa t ∈ [a, b] on vektori
γ′(t) = (γ′1(t), γ
′2(t)) ∈ R2,
mikali tavalliset derivaatat γ′i(t) pisteissa t ∈ ]a, b[ ja
toispuoleiset derivaatat pisteissa a ja b ovat olemassa.Jos derivaatta γ′ on olemassa koko valilla [a, b], niinsanomme, etta γ on derivoituva. Jos γ on derivoituvalukuunottamatta aarellista maaraa pisteita t ∈ [a, b],niin sanomme, etta γ on paloittain derivoituva. Edel-leen, mikali (paloittain) derivoituvan polun γ koordi-naattifunktiot γ1 ja γ2 ovat jatkuvasti derivoituvia jaγ′(t) 6= (0, 0) (mahdollisesti lukuunottamatta aarellistamaaraa pisteita t ∈ [a, b]), niin sanomme, etta polku γon (paloittain) saannollinen.
Esimerkki 4. Merkitaan tason pisteet K1 = (x1, y1)ja K2 = (x2, y2) yhdistavaa janaa [K1, K2], jolloinsiis [K1, K2] ⊂ R2. Janaa [K1, K2] esittava polkuγ = (γ1, γ2) : [0, 1] → [K1, K2] on
γ(t) = (1 − t)(x1, y1) + t(x2, y2)
= ((1 − t)x1 + tx2, (1 − t)y1 + ty2)
= (γ1(t), γ2(t)), t ∈ [0, 1].
Tallaista polkua on tapana kutsua janapoluksi.
b
b
b
0 1t x
y
K1 = (x1, y1) = γ(0)
K2 = (x2, y2)= γ(1)
γ(t)
γ : [0, 1] → [K1, K2]
Polku γ : [a, b] → D on umpinainen, jos γ(a) = γ(b).Olkoon nyt E ⊂ D sellainen suljettu ja rajoitettu jouk-ko, etta sen reuna ∂E voidaan esittaa umpinaisella (pa-loittain) saannollisella polulla γ : [a, b] → ∂E. Esimer-kiksi kaikkien n-kulmioiden reuna voidaan esittaa um-pinaisella paloittain saannollisella polulla. Joukon Ereunaa esittavan polun γ sanotaan olevan positiivisestisuunnistettu, jos γ kiertaa joukon E ainoastaan kerranja E on pisteen γ(t) laheisyydessa vektorin γ′(t) vasem-malla puolella kaikissa pisteissa t ∈ [a, b], joissa γ′(t) onolemassa.
Kayraintegraali. Olkoon γ : [a, b] → R2 (paloittain)derivoituva polku
γ(t) = (γ1(t), γ2(t)), t ∈ [a, b].
Jos γ([a, b]) ⊂ D ⊂ R2 ja f : D → R on jatkuva, niinpaadytaan (skalaarikentan) kayraintegraaliin
∫
γ
f ds =
b∫
a
f(γ(t))√
γ′1(t)
2 + γ′2(t)
2 dt.
Tama on tavallinen 1-ulotteinen maaratty integraali.Sen geometrinen tulkinta on polulle γ asetetun ”ai-dan” A pinta-ala, kun aidan korkeus pisteessa γ(t) onf(γ(t)), ks. seuraava kuva.
Solmu 3/2009 9
b
b
γ(t)
f(γ(t)) ala(A)
Jos kayraintegraalissa f ≡ 1, niin saadaan polun γ pi-tuus
ℓ(γ) =
∫
γ
ds =
b∫
a
√
γ′1(t)
2 + γ′2(t)
2 dt.
Esimerkki 5. Yksikkoympyran keha {(x, y) ∈ R2 :x2 + y2 = 1} voidaan esittaa polulla γ : [0, 2π] → R2,
γ(t) = (γ1(t), γ2(t)) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π],
joka on umpinainen, saannollinen ja positiivisesti suun-nistettu. Talloin γ′
1(t) = − sin t ja γ′2(t) = cos t, joten
ℓ(γ) =
2π∫
0
√
sin2 t + cos2 t dt =
2π∫
0
1 dt =
2π/
0
t = 2π,
joka on tunnetusti yksikkoympyran kehan pituus, mut-ta se on siis myos yksikkoympyran kehaa esittavan po-lun γ (joka on kuvaus) pituus.
b
b
0 2πt
γ(0)= γ(2π)= (1, 0)
γ(t)γ : [0, 2π] → R2
Olkoon tilanne muuten kuten edella skalaarikentankayraintegraalia maariteltaessa, mutta oletetaan, ettaf = (f1, f2) : D → R2 on jatkuva vektorikentta. Tal-loin maaritellaan (vektorikentan) kayraintegraali
∫
γ
f · ds =
b∫
a
f(γ(t)) · γ′(t) dt
=
b∫
a
(f1(γ(t))γ′
1(t) + f2(γ(t))γ′2(t)
)dt,
joka on edelleen tavallinen 1-ulotteinen maaratty inte-graali.
Jos integroidaan yli umpinaisen polun, niin kayrainte-graaleille on tapana kayttaa merkintoja
∮
γ
f ds ja
∮
γ
f · ds.
Monet maaratyn integraalin perusominaisuudet ovatvoimassa myos taso- ja kayraintegraaleille. Esimerkiksi
lineaarisuus integroitavan funktion suhteen on tasoin-tegraalille voimassa muodossa∫∫
E
(c1f + c2g) dx dy = c1
∫∫
E
f dx dy + c2
∫∫
E
g dx dy,
kun f, g : E → R ja c1, c2 ∈ R. Vektorikentan kayrain-tegraalille additiivisuus integroimisjoukon suhteen saamuodon
∫
γ
f · ds =
∫
γ1
f · ds +
∫
γ2
f · ds,
kun polku γ on suunnistuksen sailyttaen yhdistekahdesta polusta γ1 ja γ2. Kun kaannetaan polunγ : [a, b] → Rn suunta maarittelemalla uusi polku−γ(t) = γ(b − (t − a)), t ∈ [a, b], niin
∫
−γ
f · ds = −∫
γ
f · ds.
Mita maaratyn integraalin tuttua kaavaa tama vastaa?
Greenin lause ja monikulmion pinta-ala
Greenin lause on yksi analyysin peruslauseen yleistyk-sista tasoon, joissa on oleellista, etta pintaintegraaliyli tason joukon voidaan lausua integraalina yli jou-kon reunan. Tamahan on myos analyysin peruslauseenkeskeinen ominaisuus: integroimisjoukkona oleva reaa-liakselin vali [a, b] korvataan siina valin paatepisteilla,kun maaratyn integraalin arvo saadaan integraalifunk-tion pisteissa b ja a saamien arvojen erotuksena. Seu-raava Greenin lauseen muotoilu on tarpeisiimme sopivaja riittava, mutta tuloksella on useita erilaisia ja ylei-sempiakin muotoiluja.
Greenin lause. Olkoon D ⊂ R2 avoin ja rajoitettu,ja olkoon f = (f1, f2) : D → R2 kerran jatkuvasti de-rivoituva vektorikentta. Jos E ⊂ D on suljettu joukko,jonka reunaa ∂E esittaa paloittain saannollinen posi-tiivisesti suunnistettu polku, niin
∮
∂E
f · ds =
∫∫
E
(∂xf2(x, y) − ∂yf1(x, y)) dx dy.
Seuraus 1. Olkoon E ⊂ R2 suljettu ja rajoitettu jouk-ko, jonka reunaa ∂E esittaa paloittain saannollinen po-sitiivisesti suunnistettu polku. Tutkitaan vektorikent-taa f : R2 → R2, f(x, y) = (0, x). Talloin funktion fkoordinaattifunktiot ovat f1(x, y) = 0 ja f2(x, y) = x,joten ∂xf2(x, y) = 1 ja ∂yf1(x, y) = 0. Havainnon 1 jaGreenin lauseen mukaan
ala(E) =
∫∫
E
1 dx dy =
∫∫
E
(1 − 0) dx dy
=
∫∫
E
(∂xf2(x, y) − ∂yf1(x, y)) dx dy =
∮
∂E
f · ds.
10 Solmu 3/2009
Seuraus 2. (Monikulmion pinta-ala) Jos n-kulmionM karjet ovat vastapaivaan kiertaen pisteissa Ki =(xi, yi), i = 1, . . . , n, niin M :n pinta-ala on
ala(M) =
n∑
i=1
(xi+1 + xi)(yi+1 − yi)
2,
missa xn+1 = x1 ja yn+1 = y1.
Todistus. Esitetaan n-kulmion M reuna ∂M siten, et-ta γi on polku, joka esittaa janaa karjesta Ki karkeenKi+1, γi : [0, 1] → [Ki, Ki+1], γi(t) = (γi,1(t), γi,2(t)),missa
γi,1(t) = (1 − t)xi + txi+1,
γi,2(t) = (1 − t)yi + tyi+1,
i = 1, . . . , n ja t ∈ [0, 1]. Talloin γ′i,1(t) = xi+1 − xi ja
γ′i,2(t) = yi+1 − yi. Nyt vektorikentan kayraintegraalin
maaritelman perusteella
∫
γi
f · ds =
1∫
0
f(γi(t)) · γ′i(t) dt
=
1∫
0
(0, (1 − t)xi + txi+1) · (xi+1 − xi, yi+1 − yi) dt
= (yi+1 − yi)
1∫
0
((1 − t)xi + txi+1) dt
= (yi+1 − yi)
1/
0
(
xit +(xi+1 − xi)t
2
2
)
= (yi+1 − yi)
(
xi +xi+1 − xi
2
)
=(xi+1 + xi)(yi+1 − yi)
2.
Koska polkujen γi yhdiste reunan ∂E esityksena on pa-loittain saannollinen ja positiivisesti suunnistettu, niinseurauksen 1 ja vektorikentan kayraintegraalin additii-visuusominaisuuden perusteella saadaan
ala(M) =
∮
∂M
f · ds =
n∑
i=1
∫
γi
f · ds
=
n∑
i=1
(xi+1 + xi)(yi+1 − yi)
2. �
Seurauksen 2 perusteella saamme tehtavan ratkaisuksi
ala(M) = 12
[(3 + 0)(−1 − 0) + (2 + 3)(2 + 1)
+ (4 + 2)(3 − 2) + (−2 + 4)(2 − 3)
+ (1 − 2)(1 − 2) + (0 + 1)(0 − 1)]
= 12
[− 3 + 15 + 6 − 2 + 1 − 1
]= 16
2 = 8.
Tulos on tietysti sama kuin Solmun 1/2009 artikkelissa”Monikulmion pinta-ala koululaisille” kahdella eri ta-valla laskettu M :n pinta-ala.
Monikulmion pinta-alan kaavasta seuraa eras mielen-kiintoinen havainto. Jos n-kulmion M (kuinka moni-mutkaisen tahansa) karjet ovat kokonaislukupisteissa(l, m) ∈ Z2, niin ala(M) = k · 1
2 , missa k ∈ Z+, sil-la monikulmion pinta-alan summakaavassa osoittajas-sa oleva termi (xi+1 + xi)(yi+1 − yi) on talloin ainakokonaisluku.
Jatkan samasta aiheesta jossakin Solmun tulevassa nu-merossa viela kolmannella kirjoituksella. Esitan tehta-valle kahdessa kirjoituksessani jo esitetyista tavoistapoikkeavan ratkaisun, joka perustuu Pickin lauseeseen.
Tehtavia lukijalle
Tehtava 1. Laske alle piirretyn 12-kulmion pinta-ala.
-2 -1 0 1 2 3 4-1
0
1
2
3
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
Tehtava 2. Johda r-sateisen ympyran pinta-ala πr2
Greenin lauseen (seurauksen 1) avulla.
Tehtava 3. Johda saannollisen kuusikulmion, jonka si-
vun pituus on s, pinta-ala 3√
32 s2 Greenin lauseen (seu-
rauksen 2) avulla. Johda sama tulos tasogeometrisestikayttaen hyvaksesi Pythagoraan lausetta.
Tehtava 4. Kuusikulmion M karjet ovat vastapaivaankiertaen pisteissa (1, 0), (6, 1), (6, 2), K = (x, 2), (3, 4)ja (0, 3). Maarita karjen K = (x, 2) ensimmainen koor-dinaatti x siten, etta M :n pinta-ala on a) 12, b) 13, c)15. Piirra kuvat!
Tehtava 5. Piirra kuva itse keksimastasi 10-kulmiostaja laske sen pinta-ala.
Kirjallisuutta
Adams, Robert A., Calculus: a complete course, 6thedition, Addison Wesley, 2006.
Lehto, Olli, Differentiaali- ja integraalilaskenta II, Off-set Oy, 1982.
Martio, Olli, Vektorianalyysi, Limes ry, 2004.
Solmu 3/2009 11
Paras kiinalainen muki
Matti Lehtinen
Helsingin yliopisto
Kauan sitten, 1960-luvun alussa, olin nuori henkilo, jol-la oli harrastus. Olin sattumalta kerran valinnut kotim-me putkiradiosta lyhyet aallot, vaikka sielta ei mitaankuulukaan, niin kuin minua oli neuvottu. Sielta kuu-lui kuitenkin Pakistanin radion englanninkielinen oh-jelma. Minusta tuli DX-kuuntelija. Kuuntelin silla put-kiradiolla, hiukan viallisellakin. Elettiin kylman sodanaikaa, ja radioaalloilla kulki runsaasti propagandaa ylirauta- ja bambuesirippujen, molempiin suuntiin. Voi-makkaimmat lahettimet sijaitsivat tuohon aikaan Kii-nassa, eika Pekingin Radion lahetysten seuraaminen ol-lut putkiradiollakaan ongelma.
DX-kuunteluun liittyy paitsi kaukaisten radioasemienkuuntelu myos tositteiden hankkiminen siita, etta onjonkin tietyn aseman kuullut. Tama tapahtuu niin, et-ta asemalle kirjoitetaan kirje, niin sanottu vastaanotto-raportti, jossa kerrotaan, mita on kuullut ja miten hy-vin lahetys on tullut vastaanottimeen. Asema, jolle ra-dioaaltojen vaihtelevien etenemisominaisuuksien vuok-si on hyotya kuuntelijatiedoista, lahettaa sitten vas-tavuoroisesti todistuksen, ns. QSL-kortin. Harrastajatpyrkivat tietysti saamaan mahdollisimman hyvan ko-koelman naita kortteja.
Miten tama liittyy matematiikkaan? No, lahetin ai-kanaan Pekingin Radioon vastaanottoraportin ja sainmyos asianmukaisen QSL-kortin, sinansa DX-kuunte-lijalle varsin vahaarvoisen. Mutta sen lisaksi paasintai jouduin ja myos jain Pekingin Radion postituslis-talle. Vuosien mittaan postilaatikkoon putoili – aiti-ni kauhistukseksi – kaikenlaista painotuotetta Kiinasta,
Maon Punaisesta kirjasta alkaen. Viikoittain sain myoslentopostipaperille painetun Peking Review -nimisenenglanninkielisen uutislehden.
1966 alkoi niin sanottu kulttuurivallankumous, MaoZedongin masinoima massiivinen ja seurauksiltaan var-sin traaginen, Kiinan yhteiskuntarakenteita jarkytta-maan ja murtamaan pyrkiva liike. Siihen liittyvan pie-nen matematiikkaa sivuavan episodin sain lukea minul-le edella kuvatuista syista postitetusta uutislehdesta.Nain kertomus etenee.
Kiinassa oli yliopisto, jossa opetettiin matematiikkaa.Opiskelijat olivat siellakin passiivisia eika luennoitsijavoinut tilanteelle mitaan. Kunnes han eraana paiva-na saapui luennolle kadessaan peltimuki. ”Toverit opis-kelijat, matematiikan avulla voimme tehda peltimukitniin, etta niihin tarvaytyy mahdollisimman vahan rau-taa, jota sitten voidaan kayttaa muihin tarkeampiinvallankumouksellisiin tarkoituksiin.”
Todellakin, on yksinkertainen optimointitehtava ra-kentaa tietynvetoinen kanneton lierionmuotoinen astianiin, etta materiaalia tarvitaan mahdollisimman va-han. Oletetaan, etta astian tilavuus on V, sen korkeuson h ja pohjan sade r. Peltia kuluu silloin pinta-alanyksikoissa mitaten (jos saumoihin ehka tarvittavat yli-tykset ja mukin mahdollinen korva unohdetaan) poh-jaan πr2 ja vaippaan, joka muodostuu h-korkuisestasuorakaiteesta, jonka toinen sivu on pohjan ymparys,2πrh, yhteensa siis A = πr2 + 2πrh. Mutta r ja heivat ole toisistaan riippumattomat, vaan V = πr2h
12 Solmu 3/2009
eli h =V
πr2. Siten A on esimerkiksi vain r:n funktio,
A = A(r) = πr2 +2V
r. A:n minimi loytyy helposti A:n
derivaatan A′(r) = 2πr − 2V
r2ainoasta positiivisesta
nollakohdasta r = 3
√
V
π.
Kiinalaisen yliopiston matematiikanopetuksen kuvausjatkui tasta haltioituneesti. Opiskelijat havaitsivat nyt,etta matematiikasta on hyotya vallankumouksessa. Ai-kaisempi valinpitamattomyys muuttui palavaksi innos-tukseksi, joka sailyi ainakin kurssin loppuun asti.
Olen itsekin saanut aika monesti opettaa yksinkertai-sen aariarvotehtavan ratkaisua. Usein olen muistanutPeking Review ’n rohkaisevan kertomuksen ja yrittanyttoistaa sen, mita luin Kiinassa tapahtuneen. Menestyk-seni ei ole ollut sama. Ehka en ole osannut kertoa tari-naa oikein, ehka metallin saastoa mukinrakennuksessaei Suomessa koeta kovin ihmeelliseksi asiaksi. Muttaasialla on toinenkin ulottuvuus. Jos tarkastellaan la-hemmin optimaalista mukia ja sen muotoa, niin huo-
mataan, etta minimipeltimukin korkeus on
h =V
π
(
3
√
V
π
)2 =3
√
V
π= r.
Mukin pohjan halkaisija on siis kaksi kertaa mukin kor-keus, joten muki on varsin laakea, ennemmin vati kuinmuki. Laakeasta astiasta tunnetusti laikkyy helposti,joten pahimmillaan Kiina saattoi menettaa juomienlaikkymisessa sen, minka pellissa saasti.
Aariarvotehtavan ratkaisu on laajemmasti ajatellen op-timointia, parhaan vaihtoehdon etsimista. Mutta mikaon paras? Melkein aina jonkin ominaisuuden suhteenmahdollisimman hyva asia jattaa jonkin muun suh-teen toivomisen varaa. Monitavoiteoptimointi on so-velletun matematiikan tai operaatioanalyysin ala, jo-ka pyrkii etsimaan hyvia menetelmia tilanteisiin, joissaratkaisuun kohdistuu ristiriitaisia vaatimuksia. Muttatalloin joudutaan vakisin pelkan laskennon ulkopuolel-le, ottamaan huomioon ihmisen mieltymyksia ja valin-toja. Nain on matematiikan ja muiden maailman ilmioi-den valinen suhde yleisemminkin: matematiikka ei yk-sin tuota kaytannon ongelmien ratkaisua, mutta se ontyovaline, jota kayttaen ratkaisujen aarelle paastaan.
Solmun verkkoversiossa on ilmestynyt Markku Halmetojan ja Jorma Merikosken kirja Matemaattista fysiikkaalukiolaiselle. Kirja on osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/2009/mfl.pdf
Solmun keskustelupalsta on osoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl
Solmu 3/2009 13
2009 ei ole tylsa vuosi
Matti Lehtinen
Helsingin yliopisto
Maailmassa pidetaan joka vuosi satoja matematiikka-kilpailuja ja niissa esitettavien tehtavien lukumaara lie-nee tuhansissa. Kun kilpailutehtavat saisivat mielellaanolla jotenkin uusia ja ennen nakemattomia, ei ole ihme,etta laatijoille tulee aika usein mieleen istuttaa tehta-vaan vuosiluku, paivamaara tai kilpailun jarjestysluku.Istutus on joskus hiukan keinotekoista: vuosiluvun tilal-la saattaisi olla vaikkapa ”mielivaltainen, aika suuri ko-konaisluku n”. Toisinaan tehtavassa tulee aidosti kayt-toon jokin luvun matemaattinen ominaisuus. Kilpailu-matematiikan harrastaja katsookin jo valmiiksi esimer-kiksi vuosiluvun jaollisuusominaisuudet.
Seuraavassa esitetaan pieni valikoima taman vuodentehtavia eri maista. Yhden tehtavan muotoilusta ei loy-dy lukua 2009, mutta vihjeeksi voi sanoa, etta 2009on tehtavassa mukana kuitenkin. Kun seuraavan ker-ran vapaa-ajan ongelmat kayvat paallesi ja viihde-teollisuus on valmiina niita omalla tavallaan lievit-tamaan, niin kokeilepa ratkaista naita. Laheta rat-kaisujasi (yhteen tai useampaan tehtavaan) vuoden2009 aikana esimerkiksi suoraan Solmun paatoimitta-jalle, postissa osoitteeseen Matti Lehtinen, Taskilan-tie 30 A, 90580 Oulu, tai sahkopostilla [email protected]. Solmu julkaisee par-haat ratkaisut, joten palkintona on ainakin mainettaja kunniaa. – Ratkaisuja saavat lahettaa kaikenikaiset.
Ja sitten tehtaviin:
1. Olkoon A = 999 . . .9︸ ︷︷ ︸
2009 kpl
ja B = 444 . . .4︸ ︷︷ ︸
2009 kpl
ja olkoon
C = A · B. Maarita luvun C numeroiden summa.(Kolumbian matematiikkaolympialaiset, 6. ja 7. luokantehtava.)
2. Maarita kaikki positiiviset kokonaislukuparit (m, n),jotka toteuttavat yhtalon
mn2 = 2009(n + 1).
(Ukrainan matematiikkaolympialaiset, 7. luokan tehta-va.)
3. a) Lukujen 1, 2, . . . , 2009 neliot kirjoitetaan perak-kain satunnaisessa jarjestyksessa yhdeksi luvuksi. Voi-ko syntynyt luku olla nelioluku? b) Luvut 1, 2, . . . , 2009kirjoitetaan perakkain satunnaisessa jarjestyksessa yh-deksi luvuksi. Voiko tama luku olla nelioluku? (Ukrai-nan matematiikkaolympialaiset, 8. luokan tehtava.)
4. Tarkastellaan 2009 × 2009:sta yksikkoneliosta koos-tuvaa nelioruudukkoa. A ja B pelaavat seuraavaa pelia:kumpikin varittaa vuorollaan yhden yksikkonelion yh-den sivun keltaiseksi. Pelaaja, joka ensimmaiseksi on-nistuu varittamaan jonkin nelion viimeisen varittamat-toman sivun keltaiseksi, voittaa pelin. A aloittaa. Onkojommallakummalla pelaajalla voittostrategia, ts. voikohan valita varitettavat sivunsa niin, etta voittaa pe-lin riippumatta siita, miten toinen pelaaja on valinnutvaritettavat sivut? (Ukrainan matematiikkaolympialai-set, 8. luokan tehtava.)
5. Oppilaalla on 7 paperinpalaa. Han valitsee niista joi-takin ja pilkkoo nama seitsemaan palaan kunkin. Sittenhan valitsee taas joitakin paperinpaloistaan ja pilkkoo
14 Solmu 3/2009
jokaisen niista seitsemaan osaan. Voiko han tata jat-kaen paasta tilanteeseen, jossa hanella on 2009 pape-rinpalaa? (Kreikan matematiikkakilpailu, juniorisarja.)
6. Maarita kaikki positiivisista kokonaisluvuista muo-dostuvat kolmikot (x, y, z), joille 99x + 100y + 101z =2009. (Viron matematiikkaolympialaiset, 10. luokantehtava.)
7. Maarita sellaiset kokonaisluvut a ja b, etta√
2010 + 2√
2009 on yhtalon x2 + ax + b = 0 ratkai-
su. Osoita, etta talloin√
2010− 2√
2009 ei ole yhta-lon ratkaisu. (Slovenian matematiikkaolympialaiset, 10.luokan tehtava.)
8. Maarita ne positiiviset kokonaisluvut n, joille −53 <2009
53 − n< 53−n. (Slovenian 53. matematiikkaolympia-
laiset, 10. luokan tehtava.)
9. Maarita pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen2009:lla ja jonka numeroiden summa on 2009. (Serbianmatematiikkaolympialaiset.)
10. Tasossa on 2009 pistetta, joista jokainen on varitet-ty joko punaiseksi tai siniseksi. Jokaisessa 1-sateisessaympyrassa, jonka keskipiste on sininen, on tasan kak-si punaista pistetta. Maarita sinisten pisteiden suurinmahdollinen maara. (Balkanin matematiikkaolympia-laisten juniorisarja.)
11. Kumpi luvuista√
2008 +√
2009+√
2009 +√
2008
ja√
2008 +√
2008 +√
2009 +√
2009 on suurempi?(Ukrainan matematiikkaolympialaiset, 11. luokan teh-tava.)
12. Maarita kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joil-le funktion f(x) = cos(nx) · sin
(2009x
n2
)jakso on 3π.
(Ukrainan matematiikkaolympialaiset, 11. luokan teh-tava.)
13. 2009 × 2009 yksikkoneliosta koostuvan ruudukonjokaiseen nelioon on kirjoitettu jokin luvuista 1, 2, . . . ,2009 niin, etta joka rivilla ja joka sarakkeessa kukinnaista luvuista esiintyy tasmalleen kerran. Mika onsuurin mahdollinen ruudukon keskimmaisen ruudun jasita lahinna olevan sellaisen ruudun, jossa on numero1, etaisyys? Kahden ruudun valinen etaisyys on sama
kuin sakki-kuninkaan ruutujen valiseen liikkeeseen tar-vitsema vahimmaissiirtomaara. (Ukrainan matematiik-kaolympialaiset, 11. luokan tehtava.)
14. Onko olemassa polynomia f(x) = x3 +ax2+bx+c,joka tayttaa seuraavat ehdot: |c| ≤ 2009, |f(34)| onalkuluku ja f :lla on kolme kokonaislukunollakohtaa?(Ukrainan matematiikkaolympialaiset, 11. luokan teh-tava.)
15. Kertoma n! = 1 ·2 · · · (n−1) ·n ja ”kaksoiskertoma”
n!! =
{
1 · 3 · · · (n − 2) · n, kun n on pariton
2 · 4 · · · (n − 2) · n, kun n on parillinen,
ovat tunnettuja operaatiota. Maaritellaan nyt ”k-kertoma” Fk(n) = n(n − k)(n − 2k) · · · r, missa 1 ≤r ≤ k ja n ≡ r mod k. Maarita kaikki positiiviset ko-konaisluvut, joille F20(n)+2009 on nelioluku. (Itavallanmatematiikkaolympialaiset.)
16. Olkoon a positiivinen luku. Tarkastellaan lukujo-noa (an), missa a0 = a ja an = an−1 +40n!, kun n ≥ 1.Osoita, etta jokaisessa tallaisessa jonossa on aaretto-man monta 2009:lla jaollista lukua. (Itavallan 40. ma-tematiikkaolympialaiset.)
17. Sanomme, etta kaksi aritmeettista jonoa (an) =(a + bn) ja (cn) = (c + dn) ovat olennaisesti eri jonoja,jos ei ole niin, etta an = cn+p kaikilla tarpeeksi suuril-la n ja jollain kokonaisluvulla p. Monellako olennaisestieri aritmeettisella jonolla on osajonona geometrinen jo-no, jonka kolmas jasen on 40 ·2009 = 80360? (Itavallan40. matematiikkaolympialaiset.)
18. Kaytossa on mielivaltaisen monta postimerkkia ku-takin arvoa 134, 135, 136, . . . , 142 ja 143 senttia. Maa-rita suurin senttiarvo, jota ei voi koostaa naista mer-keista. (Itavallan matematiikkaolympialaiset.)
19. Jono (an) on ei-vakio aritmeettinen jono ja sen en-simmainen jasen a1 = 1. Jonon jasenet a2, a5 ja a11
muodostavat geometrisen jonon. Maarita jonon (an)2009 ensimmaisen jasenen summa. (Slovenian matema-tiikkaolympialaiset, 12. luokan tehtava.)
20. Osoita, etta 1005ln(121) = 11ln(1+3+···+2009). (Slove-nian matematiikkaolympialaiset, 12. luokan tehtava.)
Solmu 3/2009 15
Matematiikkaolympialaiset 2009: vaikeatkin tehtavat
ratkeavat
Matti Lehtinen
Helsingin yliopisto
Vuoden 2009 Kansainvaliset matematiikkaolympialai-set olivat juhlakilpailu: jarjestysnumero oli 50, ja en-simmaisista Kansainvalisista matematiikkaolympialai-sista oli kulunut 50 vuotta (tama paradoksaalinen ti-lanne selittyy silla, etta olympialaisia on pidetty jokavuosi lukuun ottamatta vuotta 1980). Juhlaa korostitilaisuus, jossa kuusi matematiikan huippuasemiin ko-honnutta entista kilpailijaa, joukossa kolme matema-tiikan tavoitelluimman kunnianosoituksen eli Fieldsinmitalin saajaa, kertoi ennatykselliselle kilpailijajoukol-le – 565 osallistujaa 104 maasta – matematiikastaanja sen yhteydesta kilpailumatematiikkaan. Historia oliesilla 104-jasenisen tuomaristonkin kokouksissa: edus-tajat oli istutettu siihen jarjestykseen, missa maat oli-vat tulleet olympiaosanottajiksi. Suomen edustaja istuisiis eturivissa Mongolian ja Ranskan edustajien valissa.
Olympialaisten ydin on kuitenkin kilpailu: kuusi vai-keaa tehtavaa, yhdeksan tuntia ratkaisuaikaa kahdellepaivalle jaettuna. Tuomaristo valitsi tehtavat eri mais-ta lahetetyista ehdokkaista ja pyrki noudattamaan ta-sapuolisuutta tehtavien sisallon suhteen ja samalla saa-maan eroja vaikeustasoon, jotta kaikki voisivat onnis-tua, mutta parhaat erottuisivat.
Lukuteoriasta helpoin tehtava
Valituksi tuli kaksi geometrista, kaksi algebrallista, yksilukuteoreettinen ja yksi kombinatorinen tehtava. Tuo-
maristo arveli lukuteoreettisen tehtavan helpoimmak-si ja sijoitti sen numeroksi 1. Tuomaristo arvasikin oi-kein. Kaikkiaan 324 kilpailijaa sai tehtavasta taydetpisteet ja nollille jatettiin vain 83. Kun olympialaistentehtavien arvosteluasteikko on 0–7, niin taman tehta-van keskimaarainen pistemaara oli 4,8, kaikista anne-tuista pisteista melkein 32 % annettiin tasta tehtavastaja 22 maata sai tehtavasta 42 pistetta eli suurimmanmahdollisen maaran (yksi naista maista oli Ruotsi).
Tehtava oli seuraavanlainen:
Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoot a1, . . . , ak
(k ≥ 2) joukon {1, . . . , n} eri lukuja niin, ettaai(ai+1 − 1) on jaollinen n:lla, kun i = 1, . . . , k − 1.Osoita, etta ak(a1 − 1) ei ole jaollinen n:lla.
Tama ei ollut tehtavan alkuperainen muotoilu. Tuoma-risto kasitteli sita aluksi tallaisena:
Eraassa kerhossa on n jasenta. Kullakin jasenella onoma jasennumero 1, 2, . . . , n. Ajoittain jasenet lahet-tavat toisille jasenille lahjoja, ja naiden joukossa voiolla jasenten aikaisemmin toisilta jasenilta saamia esi-neita. Jottei jouduttaisi ikavaan tilanteeseen, jossa ja-sen saa takaisin aikaisemmin antamansa lahjan, ker-hon vuosikokouksessa tehdaan seuraava saantojen li-says: ”Jasen, jonka numero on a saa lahettaa lahjanjasenelle b vain, jos n on luvun a(b−1) tekija.” Osoita,etta jos kaikki jasenet noudattavat tata saantoa, kukaan
16 Solmu 3/2009
ei saa toiselta jasenelta lahjaa, jonka itse on antanutjollekin jasenelle.
Tarinan keinotekoisuus johti valitsemaan abstraktim-man esitysmuodon; saattaa olla, etta tehtavasta naintuli helpompikin.
Tehtavan ratkaisemiseksi kannattaa sen oletus kirjoit-taa kongruenssimuotoon:
aiai+1 ≡ ai mod n,
kun i = 1, 2, . . . , k − 1. Siis a1a2 ≡ a1, a2a3 ≡ a2,joista a1a2a3 ≡ a1 ja niin edelleen, kunnes saadaan
a1 · · ·ak−1ak ≡ a1 mod n.
Tehdaan vastaoletus aka1 ≡ ak mod n. Silloin voidaantehtavan oletusta soveltaa uudestaan pudottamaan ter-meja tulon loppupaasta:
a1 ≡ a1 · · ·ak−1ak = aka1 · · · ak−1
≡ aka1 · · · ak−2 ≡ · · · ≡ aka1 ≡ ak mod n.
Koska a1 ja ak ovat eri lukuja, niiden erotuksen on ol-tava ainakin n. Mutta tama ei ole mahdollista, koskaa1, ak ∈ {1, 2, . . . , n}. Vastaoletus johti ristiriitaan,joten se on vaara.
Geometria oli helpommasta paasta
Kaksi geometrian tehtavaa arvioitiin vaikeudeltaan hel-poiksi tai keskinkertaisiksi ja helpompi sijoitettiin toi-sen paivan ykkostehtavaksi. Tassa tuomariston arviohiukan petti, silla vaikeammaksi arvioitu tehtava nu-mero 2 tuotti pisteita enemman. Taydet pisteet annet-tiin 214 kilpailijalle, nolla 101:lle; pistekeskiarvo oli 3,7ja tehtava tuotti lahes 25 % kaikista annetuista pisteis-ta. Joukkueista kymmenen sai tehtavasta tayden pis-tepotin. Naista Iran, Unkari, Romania ja Ukraina ei-vat kuitenkaan koko kilpailussa mahtuneet parhaaseenkymmenikkoon.
Tehtava on varsin perinteinen geometrinen todistusteh-tava, jossa jonkin verran mutkikkaasti kuvaillusta ti-lanteesta on loydettava olennainen.
Olkoon ABC kolmio ja O sen ympari piirretyn ympy-ran keskipiste. Piste P on sivun CA sisapiste ja pisteQ sivun AB sisapiste. Pisteet K, L ja M ovat janojenBP , CQ ja PQ keskipisteet, tassa jarjestyksessa, ja Γon pisteiden K, L ja M kautta kulkeva ympyra. Olete-taan, etta suora PQ on ympyran Γ tangentti. Osoita,etta OP = OQ.
Tehtavan monista ratkaisutavoista hauskimmalta vai-kuttaa seuraava, pisteen potenssia ympyran suhteenhyodyntava paattely. Palautetaan mieleen tarvittavatasiat pisteen potenssista. Pisteen X potenssi ympyran
C suhteenhan saadaan piirtamalla X :n kautta mielival-tainen suora, joka kuitenkin leikkaa C:n pisteissa Y jaZ. Talloin tulo XY · XZ on aina sama riippumattasiita, miten suora asetetaan. Jos suora asetetaan C:nkeskipisteen kautta, ja X on C:n sisalla, niin X :n po-tenssiksi tulee (R+d)(R−d) = R2−d2, missa R on C:nsade ja d on X :n etaisyys C:n keskipisteesta. Potenssiriippuu siis vain etaisyydesta, ja pisteet, joilla on samapotenssi, ovat samalla etaisyydella keskipisteesta.
Pyritaan nyt osoittamaan, etta P :lla ja Q:lla on sa-ma potenssi kolmion ABC ympari piirretyn ympyransuhteen. Pyritaan siis todistamaan, etta AP · PC =AQ · QB. Kuvio tarjoaa eraita ilmeisia johtolankoja.Koska M ja L ovat kolmion CQP sivujen keskipisteet,PC = 2·ML ja ML‖PC. Yhdensuuntaisuus antaa hetiseurauksen ∠LMP = ∠MPA. On myos hyodynnetta-va tietoa, jonka mukaan QP on ympyran Γ tangent-ti. Melkein vaistamatta tulee mieleen kehakulmalause.Sen mukaan ∠LMP = ∠MKL. Siis ∠MKL = ∠QPA.Aivan samalla tavalla osoitetaan, etta QB = 2 ·MK ja∠MLK = ∠AQP . Nyt onkin riittavasti tietoa, jottavoidaan todeta kolmiot AQP ja MLK yhdenmuotoi-siksi. Siis
AP
AQ=
MK
ML=
QB
PC.
Mutta tamahan merkitsee, etta AP · PC = AQ · QB,ja vaite on todistettu.
Toinen geometrian tehtava oli siis sarjan numero 4, toi-sen kilpailupaivan helpoimmaksi arvioitu tehtava. Sel-laiseksi se muodostuikin, ainakin pistekeskiarvolla 2,9mitattuna. Jaetuista pisteista 19 % tuli tasta tehtavas-ta. Taysiin pisteisiin paasi vain 100 kilpailijaa ja vainkaksi joukkuetta, Kiina ja Venaja, saivat puhtaan pis-tetilin. Tehtava oli siis selvasti edella kasiteltya toistasarjan geometrista tehtavaa vaikeampi.
Tehtavan muotoilu oli kysymys, ei todistus. Ratkaisuon hiukan yllattava.
Solmu 3/2009 17
Olkoon ABC kolmio, jossa AB = AC. Kulmien CABja ABC puolittajat leikkaavat sivut BC ja CA pisteis-sa D ja E, tassa jarjestyksessa. Olkoon K kolmionADC sisaan piirretyn ympyran keskipiste. Oletetaan,etta ∠BEK = 45◦. Maarita ∠CAB:n kaikki mahdolli-set arvot.
Tehtavan kuvioon on helppo sijoittaa tuntemattomak-si kulmaksi ∠CAB, sen puolikas tai neljannes, ja ru-veta laskemaan muita kuvion kulmia siina toivossa,etta loytyisi yhtalo, josta tuntematon olisi ratkaista-vissa. Tama ei kuitenkaan onnistu, ellei kayteta hiu-kan muutakin geometrista paattelya. Merkitaan kol-mion ABC sisaan piirretyn ympyran keskipistetta I:lla.Koska kolmio ABC on tasakylkinen, kulman puolitta-ja AD on kohtisuorassa BC:ta vastaan. Koska K onkulman ADC puolittajalla, niin ∠IDK = 45◦. Peila-taan nyt CA yli kulman ACB puolittajan CI. Silloinpuolisuora CA peilautuu puolisuoraksi CB ja piste Epeilautuu taman puolisuoran pisteeksi G. Nyt saattaaolla niin, etta G = D. Talloin jana EI on peilautu-nut janaksi DI, joten ∠IEC = ∠IDC = 90◦. Mut-ta silloin kolmion ABC B:sta piirretyt korkeusjana jakulmanpuolittaja yhtyvat. Tama on mahdollista vain,jos kolmio on tasakylkinen eli BC = BA. Mutta sil-loin kolmion ABC kaikki sivut ovat yhta pitkia, joten∠BAC = 60◦.
Voi myos kayda niin, etta G 6= D ja etta G on D:nja C:n valissa. Nyt ∠IGK = ∠IEK = ∠BEK. Jos∠BEK = 45◦, niin ∠IGK = ∠IDK. Pisteet I, D, G jaK ovat samalla ympyralla. Talloin ∠EIK = ∠GIK =∠GDK = 45◦, ∠BIC = 180◦ − ∠EIK = 135◦,2 · ∠BCI = 45◦, 2 · ∠BCA = 90◦ ja ∠BAC = 90◦.
Kolmas mahdollisuus olisi, etta G olisi B:n ja D:n va-lissa. Silloin olisi samoin ∠EIK = ∠KIG = ∠KDC =45◦, ∠BIC = 135◦ ja saataisiin ∠BAC = 90◦. Itseasiassa tama tilanne on kuitenkin mahdoton, esimer-kiksi koska olisi ∠GIE = ∠GIK + ∠EIK = 90◦, jol-loin kolmiossa BGI olisi suora kulma BIG ja tylppakulma BGI.
Kulman ∠BAC ainoat mahdolliset arvot ovat siis 60◦
ja 90◦. Ratkaisu tulee kuitenkin taydelliseksi vasta, kunvarmistetaan, etta nailla arvoilla todellakin ∠BEK =45◦. (Taman osion puuttumisesta sakotettiin 2 pistet-ta.) Olkoon siis ∠BAC = 60◦. Silloin BE⊥AC ja pei-laus yli IC:n kuvaa D:n E:lle. Koska ∠IDK = 45◦, on∠IEK = 45◦, ja asia on kunnossa. Olkoon sitten vie-la ∠BAC = 90◦. Silloin ∠AIE = ∠BID = ∠BEA =90◦−22,5◦ ja ∠EIK = 180◦−2 ·∠BID = 45◦. KolmioAIE on tasakylkinen, joten peilauksessa yli AK:n I jaE vastaavat toisiaan. Siis ∠IEK = ∠EIK = 45◦.
Geometrian tehtavat tuottivat vastaajille noin 44 %kaikista pisteista. Suomen kuudelle kilpailijalle geomet-ria antoi vain 16 % pisteista. Geometrian osaamisva-je, jota taman kirjoittaja on monesti valitellut, merkit-see huomattavaa tasoitusta muille joukkueille. Jossitel-len: pelkastaan ”keskimaaraisella” geometrian osaami-sella Suomen sijoitus olisi noussut noin 15 pykalaa.
Algebraa kokonaislukujonoilla
Tehtavasarjaan valikoitui kaksi algebrallista tehtavaa.Kummassakin oli kyse kokonaislukujonoista, vaikkatoinen tehtavista tuli funktionaaliyhtalotehtavan kaa-vussa. Tata pidettiin etukateen tehtavista helpompa-na, ja se sijoitettiin numeroksi 5 eli toisen kilpailupai-van ”keskinkertaiseksi” tehtavaksi. Sellaiseksi se muo-dostuikin. Tehtavan ratkaisi oikein useampi kilpailija,nimittain 153, kuin saman paivan ensimmaisen tehta-van. Toisaalta kokonaan ilman pisteita tehtava jatti270 kilpailijaa ja tehtavan pistekeskiarvo oli 2,5. Pe-rati kahdeksalle joukkueelle tehtava onnistui taydelli-sesti. Yksi joukkueista oli Puola, jonka kokonaissijoitusoli 25.
Tehtavassa on lieva geometrinen sivumaku, kasitellaan-han siina lukuja, jotka voivat olla kolmion sivujen pi-tuuksia:
Maarita kaikki sellaiset positiivisten kokonaislukujenjoukossa maaritellyt funktiot f , joiden arvot ovat po-sitiivisia kokonaislukuja ja joilla on seuraava ominai-suus: kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla a ja b onolemassa (ei-surkastunut) kolmio, jonka sivujen pituu-det ovat
a, f(b) ja f(b + f(a) − 1).
Tehtavan ratkaisu on hiukan mielikuvitukseton: osoit-tautuu nimittain, etta ainoa ratkaisu on identtinenfunktio f(x) = x. Varmistutaan ensin, etta tama funk-tio kelpaa. Olkoon siis f(x) = x ja olkoot a ja b positii-visia kokonaislukuja. Kolmion sivujen pituuksiksi ovattarjolla a, b ja c = a + b − 1. Nyt c < a + b, muttac ≥ a ≥ 1 ja c ≥ b ≥ 1. Silloin c > |a− b|, joten kolmio,jonka sivut ovat a, b ja c on olemassa.
18 Solmu 3/2009
Osoitetaan sitten, etta f(x) = x on ainoa ratkaisu.Tahan paastaan soveltamalla toistuvasti kolmioepayh-taloa, jonka mukaan kolmion kahden sivun pituuksiensumma on aidosti suurempi kuin kolmas sivu. Osoite-taan ensin, etta f(1) = 1. Jos olisi f(1) = 1 + m > 1,muodostaisi kaikilla a kolmikko 1, f(a), f(a + m) kol-mion sivujen pituudet. Silloin olisi f(a) − 1 < f(a +f(1)− 1) < f(a) + 1. Koska f :n arvot ovat kokonaislu-kuja, on valttamatta f(a + f(1)− 1) = f(a) kaikilla a.Jos olisi f(1)−1 = m > 0, f voisi saada enintaan m eriarvoa f(1), f(2), . . . , f(m), ja jokin niista olisi suurin;olkoon tama suurin M . Mutta silloin ei olisi kolmiota,jonka sivut olisivat 2M , f(b) ja f(b+f(2M)−1). Onkinoltava m = 0 eli f(1) = 1.
Osoitetaan seuraavaksi, etta f on niin sanottu involuu-tio eli etta f(f(a)) = a kaikilla a. Tama seuraa siita,etta a, 1 = f(1) ja f(1 + f(a) − 1) = f(f(a)) ovatkolmion sivut. Involuutiokuvaukset ovat niin sanottujainjektioita: ne saavat eri pisteissa eri arvot. Jos nimit-tain f(a) = f(b), niin a = f(f(a)) = f(f(b)) = b.Kaytetaan hyvaksi tata ominaisuutta.
Koska f on injektio, f(2) 6= 1, joten f(2) = 1 + c, mis-sa c ≥ 1. Jos b on mielivaltainen positiivinen kokonais-luku, niin 2, f(b) ja f(b + f(2) − 1) = f(b + c) ovatkolmion sivut, joten f(b) − 2 < f(b + c) < f(b) + 2 taif(b) − 1 ≤ f(b + c) ≤ f(b) + 1. Koska f(b + c) 6= f(b),niin f(b+ c) = f(b)± 1. Koska f(1 + c) = f(f(2)) = 2,f(1+2c) = f(1+c)±1 = 2±1. Injektiivisyyden vuoksiei voi olla f(1 + 2c) = 1. Siis f(1 +2c) = 3. Induktiollanahdaan helposti, etta f(1 + kc) = k + 1 kaikilla luon-nollisilla luvuilla k. Jos olisi c > 1, olisi f(c) = f(1+kc)jollain luonnollisella luvulla k. Tama on mahdotonta,joten on oltava c = 1. Tasta seuraa, etta f(1+k) = 1+kkaikilla k ≥ 0.
Osoitetaan sitten induktiolla, etta f(x) = x kaikil-la positiivisilla kokonaisluvuilla x. Tiedamme jo, ettaf(1) = 1. Oletamme, etta f(k) = k, kun 1 ≤ k ≤ n.Koska 1, n + 1 ja f(n + 1 + f(1) − 1) = f(n + 1) ovatkolmion sivut, f(n + 1) < n + 2 eli f(n + 1) ≤ n + 1.Jos olisi f(n + 1) = k ≤ n, olisi f(n + 1) = f(k),mika olisi ristiriidassa f :n injektiivisyyden kanssa. Siisf(n + 1) = n + 1, induktioaskel on otettu ja todistuson valmis.
Toinen algebrallinen tehtava oli ennakkoarvioissa vai-kea. Se sijoitetiin ensimmaisen kilpailupaivan viimei-seksi tehtavaksi. Ei tehtava helpoksi osoittautunut-kaan. Sen ratkaisi oikein 51 kilpailijaa, pistekeskiarvooli 1,0 ja tehtava tuotti alle 7 % jaetuista pisteista.Kokonaan pisteitta tehtava jatti 357 kilpailijaa. Kiinaoli ainoa joukkue, jonka jasenille myos tama tehtavatuotti tayden potin.
Tehtava koski kokonaislukujonoa, johon oli ovelastiupotettu kaksi aritmeettista osajonoa. Tehtavan tulos-ta voi pitaa yllattavana ja kauniinakin.
Oletetaan, etta s1, s2, s3, . . . on aidosti kasvava posi-tiivisten kokonaislukujen jono ja etta molemmat osajo-not
ss1, ss2
, ss3, . . . ja ss1+1, ss2+1, ss3+1, . . .
ovat aritmeettisia jonoja. Osoita, etta myos jonos1, s2, s3, . . . on aritmeettinen jono.
Jono (sn) on aritmeettinen jono, jos sen perakkaistentermien erotus on vakio. Merkitaan siis dn = sn+1 − sn
ja pyritaan osoittamaan (dn) vakiojonoksi. Ensimmai-nen askel tahan suuntaan on osoittaa jono rajoitetuksi.Olkoon aritmeettisen jonon (ssn
) perakkaisten termienerotus D. Siis D = ssn+1
− ssn. Termien ssn
ja ssn+1
valissa on ainakin dn askelta, joista jokainen on aina-kin 1. Siis dn ≤ D. Rajoitetussa kokonaislukujonossaon pienin ja suurin termi. Olkoon siis
m = min{dn | n = 1, 2, . . . },M = max{dn | n = 1, 2, . . . }.
Vaite tulee todistetuksi, jos osoitetaan, etta m = M .Osoitetaan ensin, etta mM = D. Jollain n on m =dn = sn+1 − sn. Nyt
D = ssn+1− ssn
= ssn+m − ssn
= dsn+ dsn+1 + · · · + dsn+m−1 ≤ mM,
(1)
koska summassa on m termia ja niista jokainen on≤ M . Toisaalta jollain n′ on dn′ = M . Samoin kuinedella saadaan
D = ssn′+M − ss
n′
= dsn′
+ dsn′+1 + · · · + ds
n′+M−1 ≥ Mm.(2)
Siis D = mM . Epayhtaloista (1) ja (2) nahdaan nytlisaksi, etta jos dn = m, niin dsn
= dsn+1 = · · · =dsn+1−1 = M ja vastaavasti jos dn = M , niin dsn
=dsn+1 = · · · = dsn+1−1 = m.
Tehdaan vastaoletus m < M . Kaikille n patee sn ≥s1 + (n − 1) ≥ n. Jos dn = m, niin dsn
= M . Talloinon myos oltava sn > n. Jos nimittain olisi sn = n, oli-si m = dn = dsn
= M , mika olisi ristiriidassa ole-tuksen m < M kanssa. Samoin, jos dn = M , niindsn
= m ja sn > n. On siis olemassa aidosti kasvavajono n1, n2, . . . , jolle dsn1
= M , dsn2= m, dsn3
= M ,dsn4
= m jne. Mutta jono ds1, ds2
, . . . on aritmeettis-ten jonojen ss1+1, ss2
, . . . ja ss1+1, ss2+1, . . . termienerotusjono ja siis myos aritmeettinen jono. Silla voi ollaosajono, joka ei ole aidosti kasvava eika aidosti vahene-va vain, jos se on vakiojono. Ei siis voi olla m < M , jatodistus on valmis.
Kombinatorinen tehtava oli vaikein
Tehtavaksi 6, toisen kilpailupaivan ja koko olympialais-ten viimeiseksi tehtavaksi on yleensa pyritty saamaanvaikein tehtava. Talla kertaa valinta osui tehtavaan,
Solmu 3/2009 19
joka luokiteltiin kombinatoriseksi. Kokonaislukujonos-ta siinakin on kysymys.
Olkoot a1, a2, . . . , an keskenaan eri suuria positiivisiakokonaislukuja ja olkoon M joukko, jonka alkiot ovatn − 1 positiivista kokonaislukua, joista mikaan ei oles = a1+a2+· · ·+an. Heinasirkka hyppelee reaaliakselil-la. Se lahtee origosta ja tekee n hyppya oikealle. Hyppy-jen pituudet ovat a1, a2, . . . , an jossain jarjestyksessa.Osoita, etta heinasirkka voi jarjestaa hyppynsa niin,ettei se milloinkaan osu pisteeseen, jonka koordinaattion joukossa M .
Tehtava osoittautui vaikeaksi. Vain kolme kilpailijaa,Saksan Lisa Sauermann, Japanin Makoto Soejima jaKiinan Dongyi Wei ansaitsivat taydet pisteet, tehta-van pistekeskiarvo oli 0,17 ja se tuotti noin yhden pro-sentin jaetuista pisteista. Tiettavasti vain kerran aikai-semmin matematiikkaolympialaisten tehtava on naillakriteereilla mitaten osoittautunut vaikeammaksi. Yri-tetaan kuitenkin tehtavan ratkaisua induktiolla heina-sirkan hyppyjen lukumaaran suhteen.
Vaite on ilmeisen tosi, kun n = 1. Oletetaan sitten,etta n > 1 ja etta vaite on tosi kaikilla n:aa pienemmil-la kokonaisluvuilla. Voidaan olettaa, etta annetut hy-pyn pituudet toteuttavat ehdon a1 < a2 < · · · < an.Lukujen 1, 2, . . . , n permutaatio i1, i2, . . . , in yksiloisilloin hyppysarjan. Olkoon d joukon M pienin luku.Luonnollisesti vain tapaus M < s on mielenkiintoinen.Tarkastellaan tilannetta sen mukaan, onko d < an vaid ≥ an.
Oletetaan ensin, etta d < an. Induktio-oletuksen mu-kaan heinasirkka pystyy hyppimaan n − 1:lla hypylla,joiden pituudet ovat a1, . . . , an−1 pisteesta an pistee-seen s. Kun sarjaan liitetaan hyppy origosta an:aan,saadaan vaadittu hyppysarja.
Olkoon sitten an = d. Tarkastellaan n − 1:ta joukkoa,joista jokaisella kahdella on tyhja leikkaus: {a1, a1 +an}, {a2, a2 + an}, . . . , {an−1, an−1 + an}. KoskaM \ {d}:ssa on n − 2 alkiota, ainakin yksi joukoistaei sisalla yhtaan M :n alkiota. Olkoon se {ai, ai + an}.Joukossa M ∩ [ai + an, s] on enintaan n − 3 alkiota,koska d, an < ai + an. Induktio-oletuksen perusteellaheinasirkka voi hypella pisteesta ai + an pisteeseen skayttaen kaikkia muita hypyn pituuksia kuin ai ja an.Jos nyt ensimmainen hyppy on ai ja toinen an ja sit-ten tehdaan mainitut n − 2 hyppya, saadaan vaadittusarja.
On viela kasiteltava tapaus d > an. OlkoonM ′ = M \ {d}. Induktio-oletuksen perusteella hei-nasirkka voi hyppia pisteesta an pisteeseen s kay-matta joukon M ′ pisteissa. Olkoon hyppyjarjestys(i1, . . . , in−1). Jos tama reitti ei kay pisteessa d, niin(n, i1, . . . , in−1) on kelvollinen hyppyjarjestys. Muus-sa tapauksessa voidaan olettaa, etta heinasirkka osuud:hen hypylla ij. Nyt (i1, i2, . . . , ij , n, ij+1, . . . , in−1)on myos hyppyjarjestys, joka valttaa muut M :npisteet kuin d:n. Koska aj+1 < an, jarjestys(i1, i2, . . . , ij , ij+1, n, . . . , in−1) valttaa myos d:n. To-distus on valmis.
20 Solmu 3/2009
Matematiikkadiplomeja Solmun avulla
Marjatta Naatanen
Dos., Helsingin yliopisto
Mika on matematiikkadiplomi?
Jyvaskylan normaalikoulun opettaja KT Pirjo Tikka-
nen sai idean matematiikkadiplomista Kirjan ja Ruu-sun paivana 2007, jolloin koulussa jaettiin alakoulu-laisille diplomeita lukuharrastuksesta. Lukudiplomi onoppilaiden lukuharrastusta kannustava tunnustus, jo-ka on ollut tarjolla jo vuosia. Pirjo Tikkanen alkoimiettia, voitaisiinko tarjota vastaavaa myos matema-tiikassa. Han tunsi matematiikkalehti Solmun ja ky-syi minulta, voisiko Solmu toimia jakelukanavana. Ai-kani mietittyani lupasin yrittaa. Solmun etusivultahttp://solmu.math.helsinki.fi loytyy nyt reitti matema-tiikkadiplomin sivulle, siella on ohjeet ja 1., 2. ja 3.Diplomi tehtavineen. Kauniit luontoaiheiset ja lapsiamotivoivat diplomit on suunnitellut graafikko Marjaa-na Beddard. Toimintaa on rahoittanut Jenny ja Antti
Wihurin saatio.
Lukudiplomin tavoin myos matematiikkadiplomin ontarkoitus antaa mahdollisuus hauskalle ja hyodyllisel-le harrastukselle, tarjota haasteita ja hauskaa toimin-taa lapsille. Diplomitehtavia voi tehda yksin, kaverienkanssa, perheen yhteisena harrastuksena, oppitunnilla.Diplomitehtavat sopivat myos kerhotoimintaan ja yksi-tyiseen kertaukseen. Diplomitoiminta ei ole oppilaidenvalista kilpailua, vaan oppilaille tarjotaan hauskoja jahaastavia tehtavia jo ensi luokasta alkaen. Niilla oppilasvoi ottaa mittaa itsestaan. Jotkut tehtavat ovat help-poja, jotta kaikki paasevat mukaan, toiset taas haasta-vat vaativampaan pohdintaan. Ajatteluahan on kehi-
tettava samoin kuin lihaksia. Ellei harjoittele, ei edis-tykaan. Tehtavia ratkaistaessa on toivottavaa keskus-tella toisten kanssa, jotta matematiikan kielen kayttokehittyy ja itse kukin joutuu pukemaan sanoiksi ajatte-lunsa. Oppilas saa pyytaa neuvoa ja tehda yhteistyota.Tarkeinta on, etta innostus heraa ja oppilaat huomaa-vat oppivansa matematiikkaa. Diplomi palkitsee har-rastuksen ja antaa ponnistelun jalkeisen tuloksen ilon.
Matematiikkadiplomin tehtavat
Tehtavat syventavat Perusopetuksen opetussuunnitel-man 2004 matematiikan sisaltoalueita. Diplomit eivatkuitenkaan ole tiukasti sidottuja vuosiluokkiin, vaikka-kin diplomien numerointi 1., 2., jne. kertoo etenemises-ta suunnilleen vuosiluokkien mukaisesti.
Esimerkiksi ensimmaiselle luokalle on tehtavia luvuis-ta ja laskutoimituksista, algebran alkeista, geometrias-ta ja mittaamisesta, tietojen kasittelysta ja tilastoista,eri vaihtoehtojen etsimisesta seka ongelmanratkaisus-ta. Naita tehtavia ratkaistaan tulosteelle kirjoittaen japiirtaen, jotta erittain tarkea ja nykyisin liian vahalleharjoitukselle jaava hienomotoriikka kehittyy. Tehta-vat ohjaavat koululaisia kayttamaan myos toimintava-lineita ongelmien ratkaisemiseksi. Esimerkiksi piirret-tya kynaa mitataan pienilla ja isoilla paperiliittimilla.Niiden tarkoituksena on tarjota oivallus mittayksikonmerkityksesta mittaustulokseen. Kuvioiden pinta-alanmittaamiseksi leikataan pikkunelioita, joilla kuvio pei-
Solmu 3/2009 21
tetaan kertaalleen. Nain oppilas saa konkreettisia ko-kemuksia ajattelunsa perustaksi.
Tehtavilla pyritaan antamaan lapsille kokemuksia ma-tematiikan kasitteista, jotka tarkentuvat myohem-min matkalla konkreettisesta abstraktiin. Matematii-kan oman rakenteen tuominen mukaan on tarkeaa. Esi-merkiksi lukujen jaollisuutta pohjustetaan alusta al-kaen, murtolukuja havainnollistetaan piirroksin paljonennen itse murtoluvuilla laskemisen aloittamista, sym-metriaa kaytetaan hyvaksi. Arviointia ja tulosten tar-kistamista tehdaan systemaattisesti, jotta suuruusluo-kat tulevat havainnollisiksi; tama on ilmeisesti tarpeen,silla viime aikoina on ylioppilaskirjoituksissakin annet-tu taysin mielettomia vastauksia arviointia vaativiintehtaviin.
Diplomin kaytto koulussa
Tehtavat ja diplomit ovat tulostettavissa matematiik-kalehti Solmun sivulta. Lukuvuoden alussa opettaja voikaynnistaa diplomitoiminnan. Alussa tehtaviin tutus-tutaan tunnilla tai parilla koulussa. Kun oppilaat ovatymmartaneet toiminnan idean, tehtavat voidaan antaavapaa-ajan harrastukseksi.
Opettaja voi esitella diplomitoimintaa vanhempainil-lassa. On toivottavaa, etta vanhemmat osallistuvatlastensa matematiikkaharrastukseen ainakin tukemal-la sita. Lukuvuoden lopulla tehtavat tuodaan kouluundiplomin saamiseksi.
Matematiikkadiplomia voidaan kayttaa monella taval-la; vaikka opettaja ei heti ryhtyisikaan diplomitoimin-taan, han voi kertoa siita niille, jotka haluavat harras-taa tehtavien ratkaisua itsenaisesti, kotona tai kaverei-den kanssa.
Myonteiset kokeilukokemukset
1. ja 2. Diplomin tehtavia on kokeiltu mm. Jyvaskylannormaalikoulussa. Noin puolet ykkosluokkalaisista onsiella tehnyt 1. Diplomitehtavat. Oppilaita ovat innos-taneet erityisesti haasteelliset paattelytehtavat. Hauki-putaalla melkein puolet kakkosluokkalaisista teki koko-naan 2. Diplomitehtavat. Heista tehtavien suorittami-nen oli mukavaa ja innostavaa, vanhemmatkin saivathieman pohdittavaa, silla tehtavat eivat suinkaan olepelkkia laskutehtavia. Oppilaat ovat innostuneita ja yl-peita diplomistaan. Joku oppilas on kehystanyt diplo-min huoneensa seinalle. Monet oppilaat ovat tallenta-
neet diplomin muistojen laatikkoon, jossa on merkitta-via tapahtumia lapsen elamasta.
Vanhempien mukaan lapset kysyvat usein: ”Mita nyttekisin?” Matematiikkadiplomin tehtavat ovat tyydyt-taneet lasten toiminnan tarvetta. Diplomi on myos mo-nipuolistanut lasten harrastuksia. Matematiikan talonrakentamisessa on alkuperustus erittain tarkea. En-simmaisina vuosina syntyvat perustiedot ja asenteet.Myonteiset kokemukset kannustavat jatkamaan. Diplo-mitehtavissa on vaikutteita monelta taholta. Toimin-nassa on mukana matematiikan opetuksesta kiinnos-tuneita luokanopettajia kuten Pirjo Tikkanen, joka oliidean keksija. Suomalaisten oppilaiden kansainvalisis-sa oppimistulosvertailuissa tulevat saannollisesti esillesuomalaisille ominaiset jakaumat, joista huiput puut-tuvat. Tuskin suomalaiset kuitenkaan eroavat muistamatematiikanoppimiskykyjensa suhteen. Kenties seli-tys onkin, ettei oppilaille tarjota kylliksi haasteita jaerityyppisia tehtavia seka painoteta keskittynytta itse-naista tyoskentelya ja ajattelua.
Diplomitoiminnan tulevaisuus
Nyt ovat valmiina 1., 2. ja 3. Diplomin tehtavat. Nii-ta voi tarjota oppilaille. Toiminnassa edetaan sita mu-kaa, kun tehtavat saadaan valmiiksi. Kevaalla on aikajakaa diplomit harrastajille juhlallisessa tilaisuudessalukudiplomien jaon yhteydessa.
Opettajien ehdotukset tehtaviksi, muut kom-mentit, kokemukset diplomien kaytosta ja ky-symykset ovat tervetulleita. Niita voi lahet-taa osoitteeseen [email protected] [email protected]
Mikali opettaja haluaa diplomitehtavien vastauksetkayttoonsa, voi han pyytaa niita koulunsa sahkopos-tiin. Julkiseen jakeluun vastauksia ei sijoiteta. Suo-malaisille oudoimpien tehtavatyyppien johdattelua onyleisissa ohjeissa Solmun Diplomisivuilla.
Kiitokset
Ideoita ja muuta tyopanosta ovat antaneet EszterNemenyi, Heli Hakulinen, Marja Huovila, Alli Huovi-nen, Anni Lampinen, Anna-Maija Risku, Pirjo Tikka-nen. Lukuisten yksityiskohtien hiomista vaativan tek-nisen tyon on suorittanut Juha Ruokolainen, diplomitsuunnitellut Marjaana Beddard ja taloudellisen tuen onantanut Jenny ja Antti Wihurin saatio.
22 Solmu 3/2009
Mitoista on moneksi
Matti Lehtinen
Helsingin yliopisto
Jarmo Gronros, Arja Hyvonen, Petteri Jarvi,
Juhani Kostet ja Seija Vaara: Tiima, tiu, tynny-
ri. Miten ennen mitattiin. Suomalainen mittasa-
nakirja. Turun maakuntamuseon julkaisuja 9. Viidesuudistettu painos. 112 sivua.
Kun matematiikkaa sovelletaan kaytantoon, on mel-kein aina kysymys jonkinlaisten mittausten tuloksenasyntyneiden lukujen kasittelysta. Mittaaminen ja las-kento liittyvat erottamattomasti toisiinsa.
Turun maakuntamuseoon kulkeutui 1980-luvulla Tu-run kaupungin vakaajan mallimittakokoelma. Tamanja muun museon kokoelmiin kuuluneen aineiston ym-parille museo rakensi mittaamista ja mittavalineitaesittelevan nayttelyn, joka on vuodesta 2004 kierta-nyt eri museoissa. Nayttelyn luetteloa, Tiima, tiu,tynnyri markkinoidaan erillisena kirjana. Sita voi os-taa esimerkiksi Matemaattisten aineiden opettajienliiton MFKA-Kustannuksen verkkokaupasta hintaan10,70 e. Kirjan viidennesta painoksesta, jota katselin,en loytanyt tietoa painopaikasta enka -vuodesta.
Esipuheensa mukaan kirja kohdentuu erityisesti nuoril-le, joille – varmaan perustellusti – arvellaan niin vaak-san, virstan, tiun kuin tikkurinkin olevan outoja. Van-hemman sukupolven laskennon oppimaariin toki vie-la kuuluivat esimerkiksi lukumaaranimitykset tikku-ri, tusina, tiu, kirja ja riisi ja massan yksikot leivis-ka ja sentteri, mutta ne ovat vaistyneet rationaalisem-man kymmenjarjestelman ja SI-yksikoiden tielta. Kou-lumatematiikan raamattu, MAOL-taulukkokirja ei niis-
ta hiiskahdakaan.
Tiima, tiu, tynnyri jakautuu kuuteen teemalukuun jasanasto-osaan. Se keskittyy kolmeen suureeseen, pituu-teen ja sen johdannaisiin alaan ja tilavuuteen eli ve-toisuuteen, aikaan ja painoon eli massaan. Kirja alkaajohdantoluvun lyhyella esittelylla muinaisen maailman,Egyptin ja Mesopotamian ensimmaisista mittayksikois-ta, ihmisen mukana kulkevista kyynarasta, jalasta jatuumasta seka punnituksen yksikoista kuten talentis-ta ja miinasta. Katsaus hyppaa sitten suoraan pohjois-maiseen keskiaikaan ja Ruotsiin, jonka kaytannot tie-tysti ovat olleet myos Suomessa kaytettyjen mittojenperusteina.
Toinen teemaluku esittelee perusteellisemmin ja taulu-koin Suomessa ennen metrijarjestelmaa kaytossa olleitamittoja. Kirjoittaja(t) eivat ole olleet aivan huolellisia,kun esimerkiksi sivulta 17 voi lukea allekkaisilta riveil-ta tiedot ”venalainen linja oli 1/280 tuumaa” ja ”ve-nalainen tuuma [oli] 2,54 cm eli 10 linjaa” ja viela sa-man sivun taulukosta tiedon, jonka mukaan tuuma oli-si 12 linjaa. Pintamittojen lahtokohta ei alkuaan ollutpituus kertaa pituus, vaan pellon kylvamiseen tarvit-tavaan siemenmaaraan perustuvat tynnyrinalat ja ka-panalat. Luku esittelee laajasti erilaisten tuotteiden jatavaroiden punnituksessa kaytettyja kirjavia yksikkojaja valineita. Ei ihme, etta kaupankaynti on ollut moni-mutkaista.
Kirjan kolmas luku esittelee ajan mittausta. Se al-kaa filosofisilla ja runollisilla ajan olemusta koskevil-
Solmu 3/2009 23
la pohdinnoilla ja siirtyy sitten esittelemaan kalen-terin ja kellojen historiaa. Mielenkiintoiseen vuosisa-dan tai -tuhannen tayttymista koskevaan erimielisyy-teen (jonka pohjana on vuosiluvun jarjestyslukuomi-naisuuden vaarin ymmartaminen) kirja ei kajoa, ei juu-ri myoskaan ajanmaarityksen tahtitieteellisiin perus-teisiin seurauksineen kuten kevatpaivantasaukseen japaasiaiseen. Hiukan epaillen lienee suhtauduttava kir-jan ilmoitukseen, jonka mukaan ”Suomen tarkein kan-sallinen symboli on Turun tuomiokirkon tornikello” jasen puolenpaivan lyonnit. Onhan meilla sentaan lippu,vaakuna ja Maamme-laulu. Turkulaisnakokulma tuleeesiin myos sanasto-osassa, jossa Turun aika on omanahakusananaan.
Lukumaaran ilmauksia eli kappalemittoja kasitellaanmuutaman sivun verran. Niissakin on vallinnut suurikirjavuus: tietynlaisia tuotteita on mahtunut sopivaankuljetus- tai myyntieraan maaria, jotka ovat synnyt-taneet lukumaaran nimityksia. Luvun aines koskee oi-keastaan yhta paljon painon tai tilavuuden mittaamis-ta, siina kun esitellaan esimerkiksi heinan tai puutava-ran mittaamisen menetelmia ja yksikkoja. Hiukan kum-malliselta tuntuu toteamus, etta perinteiset kappalemi-tat ovat kaytossa edelleen, koska kenkia ja hansikkai-ta ostetaan pareittain. Eikohan pari naissa tapauksissaviittaa ennemmin vastaavuuteen ja yhteensopivuuteenkuin lukumaaraan.
Kirjan viides teemaluku kasittelee rahaa, ennen muu-ta Ruotsin ja Suomen rahajarjestelman historiaa. Ra-han mittaaminen on alkuaan ollut metallin painon (taipedantin kasityksen mukaan massan) mittaamista jamittauksen oikeellisuuden takaamista kolikkoon lyodynleiman avulla. Eri metallien kaytto on tehnyt rahojenarvon vertailun monimutkaiseksi. Seteliraha on ruotsa-lainen 1600-luvun innovaatio.
Kirjan viimeinen teemaluku esittelee vakausjarjestel-mia, joilla on pyritty ja tietysti yha pyritaan pitamaankaytossa olevat mittalaitteet samoja ja oikeita tuloksiaantavina. Nakokulma on puhtaasti Ruotsin ja Suomen.
Muitakin kuin kirjan kasittelemia suureita mitataan jamittaukset ovat arjessakin lasna. Esimerkiksi lampoti-lan, paineen, kulman, voiman, energian ja tehon mit-taamiseen liittyy erilaisia yksikkoja ja mittakojeita, jot-ka ansaitsisivat varmaan paikkansa mittausta esittele-vassa teoksessa.
Kirjan laajin osa on 39-sivuinen aakkosellinen sanasto,jossa on 587 hakusanaa (useissa tietysti samankuuloisiarinnakkaisasuja). Sanojen selitykset vaihtelevat yhdenrivin pituisesta koko sivun mittaiseen palstaan. Sana-valinnan perusteet eivat lukijalle aivan kirkkaasti au-
kea. Mukana ovat esimerkiksi kuukaudet ja viikonpai-vat, loppiainen, kiirastorstai ja tuhkakeskiviikko, mut-tei joulua, juhannusta tai paasiaista, karkauspaiva mut-tei karkausvuotta, sotilasyksikkoja ryhmasta divisioo-naan ja armeijakuntaan, esiintyjien lukumaaraa osoit-tavia musiikkitermeja kuten duo ja duetto, muttei tert-settia (ja intervallin nimi kvintti on virheellisesti kvin-teton merkityksessa!) seka erinaisia paikallisia ja kan-sanomaisia termeja kuten kapalajuhla (nimen sanotaantarkoittavan helatorstaita, koska silloin oli tapa men-na kavellen virsut jalassa Ruokolahdelta Rautjarvelle).Uudempaa sanastoa edustavat sikspakki ja mayrakoira(muttei transistori, jota nimitysta kuuden olutpullonpakkauksesta omassa nuoruudessani kaytettiin). Raho-jen slanginimityksista mukaan on otettu femma, muttahunttia, satkua tai kybaa ei loydy. Sanaston hakusa-noista useat on varustettu ruotsinkielisella kaannoksel-la. Lukija jaa tata monessa kohdin ihmettelemaan. Ontoki ymmarrysta lisaavaa, kun kippunnan ruotsalai-nen vastine skepppund kerrotaan, mutta miksi hakusa-nan keskiviikko vastine on ilmoitettava. Ja kun tormaasanoin ”Karoliini (Karolin ursprungligen Carolin)” tai”Denga eli denezka (Denga elle deneschka)” otsikoitui-hin hakusanoihin, alkaa epailla jonkinlaista huolimat-tomuutta ruotsinkielisen alkuperaislahteen hyodynta-misessa.
Kriittisista huomautuksista huolimatta on selvaa, ettahakusanoissa on erittain paljon hyodyllista tietoa eri-laisten entisajan mittojen valisista suhteista ja niidenkoosta nykyaan ymmarretyin termein. Hauskaa olisiepailematta ollut myos anglosaksisten mittojen esittely.Niihinhan itse asiassa tormaa yha useammin. (Kirjas-ta loytyy kylla hakusanan jalka kohdalta virheellinentieto ”Englannissa nykyisinkin kaytossa oleva jalka on1/2 yardia”.) Tiima, tiu, tynnyri tuntuu monin osin jaa-neen ruotsalaisen esikuvansa vangiksi. Tata esikuvaa eiteoksessa suoraan mainita, mutta se lienee yksi lahde-luettelon 20:sta ruotsinkielisesta teoksesta. Luettelossaon kaikkiaan 46 nimiketta, niista yksi (sekin Ruotsiakoskeva) englanninkielinen, yksi venajankielinen ja lo-put suomea.
Tiima, tiu, tynnyri on kaunis ja kauniisti kuvitettu teos.Vanhat mittayksikot ja niiden vaihtelevan kokoiset osatantavat loputtomasti mahdollisuuksia murtolukulasku-tehtaviin. Tata voisi MFKA kayttaa yhtena mainos-valttina kirjaa markkinoidessaan. Kirja antaa aiheentoivoa hiukan paremman, kattavamman, huolellisem-min ja yhtenaisemmin kriteerein toimitetun mittasa-nakirjan julkaisemista. Olisi mukavaa, jos kirjoittaja-kunnassa olisi myos luonnontieteen, matematiikan jatieteenhistorian asiantuntemusta.
24 Solmu 3/2009
Matematiikan lahtotasotestaus Turun
ammattikorkeakoulussa tekniikan ja liikenteen alalla
vuosina 1999–2004 ja 2008
Raija Tuohi
Matematiikan yliopettajaTurun ammattikorkeakoulu
Lahtokohdat
Runsaat kymmenen vuotta sitten tekniikan ja liiken-teen alan matematiikan opettajat kummastelivat Tu-run ammattikorkeakoulussa, kuinka uudet opiskelijatsieventavat lausekkeita. Esimerkiksi lukion pitkan ma-tematiikan suorittanut opiskelija laski
√20 =
√16 + 4
ja sai tulokseksi 4+2 = 6. Opettajista tuntui silta, ettaaloittavien opiskelijoiden matemaattinen lahtotaso onvuosi vuodelta heikompi. Vuonna 1998 Turun ammat-tikorkeakoulun matematiikan opettajat tekniikan ja lii-kenteen alalta paattivat lahtea tutkimaan asiaa ja teh-da usean vuoden ajan saman testin aloittaville teknii-kan opiskelijoille. Tutkimukseen osallistui vuosien ku-luessa noin 20 matematiikan opettajaa.
Tutkimuksessa testattiin opintonsa aloittavien insinoo-riopiskelijoiden matematiikan taitoja vuosina 1999–2004. Testaukseen osallistui 2816 opiskelijaa, jokseen-kin kaikki tana aikavalina Turun ammattikorkeakoulus-sa insinooriopintonsa aloittaneet opiskelijat. Opiskelijatsuorittivat saman testin opintojensa alussa, matema-tiikan ensimmaisella oppitunnilla, ilman apuvalineita(laskimia ja taulukoita). Testilomake on liitteena. Vuo-sia 1999–2003 koskevat tulokset julkaistiin v. 2004 Tu-run ammattikorkeakoulun Raportteja -sarjassa nimellaTietoa vai luuloa – insinooriopiskelijan matemaattiset
lahtovalmiudet. Testaus uusittiin viela syksylla 2008 jatalloin Turun ammattikorkeakoulussa oli 234 vastaajaa.
Tehtavien tarkastuksessa on annettu kustakin tehta-vasta 1 piste vain taysin oikeasta vastauksesta. Esimer-kiksi tehtavasta 12 (Ratkaise x yhtalosta x2 − 2 = 0)on vastaus
√2 tuottanut nolla pistetta ja vasta ±
√2
on tuottanut yhden pisteen. Samoin tehtavan 13 (Rat-kaise x yhtalosta x2 − 2x = 0) oikeaan suoritukseen onvaadittu yhtalon molemmat ratkaisut. Puolikaspisteitaei ole annettu. Alkutestin maksimitulos on 20.
Testitulosten keskiarvot
Pitkalla aikavalilla alkutestien tulokset ovat heiken-tyneet. Esimerkiksi syksyn 1999 keskimaarainen tulos6,99 poikkeaa tilastollisesti merkitsevasti (5 %:n mer-kitsevyystasolla) syksyn 2001 ja sita myohempien syk-syjen tuloksista. Syksylla 2008 alkutestien keskiarvo oli5,68.
Koulutaustan vaikutus testituloksiin
Peruskoulupohjaisen 3-vuotisen ammatillisen tutkin-non on suorittanut suunnilleen kolmannes testatuista.
Solmu 3/2009 25
Taman koulutaustan omaavien opiskelijoiden alkutes-tien keskiarvot ovat vaihdelleet vuosittain pistemaaran3 kummallakin puolella.
Testin suorittaneista opiskelijoista noin kaksi kolman-nesta on suorittanut lukion. Huomiota herattaa lu-kion suorittaneiden opiskelijoiden tulosten keskiarvojenmuuttuminen vuoden 1999 arvosta 8,98 vuoden 2008arvoon 6,56.
Taulukossa 1 on lukion suorittaneiden opiskelijoiden tu-losten keskiarvot lukion matematiikan laajuuden mu-kaan eriteltyina.
Taulukko 1. Alkutestin keskiarvot koulutaustan ja vas-tausajankohdan mukaan eriteltyina.
Taulukkoa 1 tarkastellessa heraa kysymys: ”Onko lu-kion suorittaneiden joukosta tullut opiskelemaan sellai-sia henkiloita, joiden matematiikan arvosanat lukiostaovat vuosittain heikompia ja heikompia?”Vastausta onhaettu tutkimalla opiskelijoiden ilmoittamia viimeisiamatematiikan arvosanoja. Taulukko 2 osoittaa pitkanmatematiikan lukijoitten arvosanojen keskiarvon aset-tuvan valille 6,91–7,13. Vaihtelu on siis todella pien-ta. Lyhyen matematiikan lukeneitten matematiikan vii-meisten arvosanojen keskiarvot ovat valilla 7,49–7,93.Ei siis ole suurta vaihtelua tassakaan. Taman tutki-muksen valossa tuntuu silta, etta lukiosta saa matema-tiikassa hyvia arvosanoja helpommin kuin ennen tai sit-ten on tapahtunut muutoksia opetettavissa/opittavissaasiasisalloissa.
Taulukko 2. Alkutestiin osallistuneiden matematiikanviimeisten arvosanojen keskiarvot.
Tietotekniikan ja elektroniikan koulutus-ohjelmien alkutestitulosten tarkastelu
Vuosien kuluessa koulutusohjelmien vetovoima vaih-telee. Se saattaa vaikuttaa alkutestien tuloksiin.Vuosikymmen sitten tietotekniikan/tietoliikenneteknii-kan/elektroniikan koulutusohjelmien aloituspaikkojenmaarat olivat nousussa ja tietoliikennetekniikan koulu-tusohjelmassa aloittaneiden opiskelijoiden alkutestienkeskiarvot olivat parhaimmistoa vertailtuna Turun am-mattikorkeakoulun muissa koulutusohjelmissa aloitta-neiden opiskelijoiden tuloksiin. Syksylla 2002 yhdes-ta alun perin tietoliikennetekniikan koulutusohjelmastatehtiin kaksi koulutusohjelmaa: tietotekniikan ja elek-troniikan koulutusohjelmat. Seuraavassa on tarkasteltunaiden kahden koulutusohjelman alkutestituloksia yh-dessa mainitusta historiallisesta syysta.
Taulukossa 3 on tietotekniikan ja elektroniikan koulu-tusohjelmissa aloittaneiden opiskelijoiden alkutestikes-kiarvoja niin, etta mukana ovat vain lukion suorittaneetopiskelijat. Tuloksissa on joka vuosi selkea ero pitkanja lyhyen matematiikan suorittaneiden valilla niin, ettapitkan matematiikan suorittaneiden tulokset ovat noin5–7 pistetta parempia kuin lyhyen matematiikan suo-rittaneiden tulokset. Lisaksi havaitaan, etta alkutestinkeskiarvo on heikentynyt kummassakin ryhmassa vuo-sien kuluessa huomattavassa maarin, lyhyen matema-tiikan puolella arvosta 5,2 arvoon 2,6 ja pitkan mate-matiikan puolella arvosta 12,2 arvoon 8,2.
Taulukko 3. Alkutestin keskiarvot tietotekniikan ja elek-troniikan koulutusohjelmien osalta niin, etta mukanaovat vain lukion matematiikan suorittaneet opiskelijat.
Taulukossa 4 on esitetty tietotekniikan ja elektronii-kan opiskelijoiden viimeisten matematiikan arvosano-jen keskiarvot. Taulukko osoittaa, etta vuonna 2008aloittaneiden opiskelijoiden lukiosta saamien matema-tiikan arvosanojen keskiarvot ovat hieman heikompiakuin 1999 aloittaneiden. Ehka tietotekniikan ja elek-troniikan koulutusohjelmien vetovoima on hieman las-kenut vuosien kuluessa, mutta voidaanko heikommillamatematiikan arvosanoilla selittaa myos alkutestin tu-losten huima heikentyminen?
26 Solmu 3/2009
Koulutusohjelmien opetusjarjestelyissa on syyta ottaahuomioon lahtotason muuttuminen ja erityisesti huo-mattavaa on, etta lukion lyhyen matematiikan suorit-taneet opiskelijat ovat alkutestin perusteella heikom-malla matemaattisella tasolla kuin ammatillisen tut-kinnon suorittaneet. Ammatillisen tutkinnon suoritta-neiden opiskelijoiden alkutestikeskiarvo oli 3,66 elek-troniikan ja tietotekniikan koulutusohjelmissa vuonna2008.
Taulukko 4. Matematiikan viimeisen arvosanan kes-kiarvot tietotekniikan ja elektroniikan koulutusohjel-man osalta niin, etta mukana ovat vain lukion mate-matiikan suorittaneet opiskelijat.
Teknillisen korkeakoulun alkutestitulok-set
Teknillisessa korkeakoulussa on tehty syksylla 2002 jasyksylla 2008 sama lahtotasotestaus kuin Turun am-mattikorkeakoulussa. Taulukossa 5 on esitetty teknilli-sen korkeakoulun alkutestikeskiarvot ja opiskelijoidenilmoittamien viimeisten matematiikan kouluarvosano-jen keskiarvot. Niissa ei ole sanottavaa muutosta ta-pahtunut.
Taulukko 5. Teknillisen korkeakoulun alkutestituloksetja opiskelijoiden viimeisten kouluarvosanojen keskiar-vot.
Johtopaatoksia
Lahtotasotestaus on osoittanut ainakin, etta Turun am-mattikorkeakoulussa tekniikan ja liikenteen alalla ma-tematiikan opetuksessa on otettava huomioon opiske-lijoiden entista heikompi lahtotaso. Tavallisen murto-lukulaskun suorittaminen tuottaa aloittaville opiskeli-joille ongelmia. Alkutestin tehtavassa 2 piti sieventaa
lauseke13− 1
7
4 . Taman tehtavan on suorittanut oikein
noin kolmannes kaikista vastaajista. Voisi kuvitella jo-kaisen peruskoulun suorittaneen selviytyvan tehtavistavarsinkin, jos on hakeutunut opiskelemaan tekniikkaa.Taman tutkimuksen tulos on hyvin samansuuntainenkuin Sirpa ja Reijo Ernvallin julkaisema tulos. Sen mu-kaan Hameen ammattikorkeakoulussa tekniikan koulu-tusalalla vain 28 % testatuista osasi jakaa oikein mur-toluvun 5
3 murtoluvulla 157 ilman laskinta (Ernvall &
Ernvall 2003).
Tutkimus tukee myos sita ajatusta, etta lukion mate-matiikan suorittaneiden taso on laskenut. Asiasta ovatkirjoittaneet esimerkiksi Matti Lehtinen ja Hannu Kor-honen.
Ammattikorkeakouluun tekniikan ja liikenteen alallehakeutuvien opiskelijoiden opetusjarjestelyissa on syy-ta ottaa huomioon matematiikan entista heikompi lah-totaso. Kaikkein heikoimmassa asemassa ovat lukionlyhyen matematiikan suorittaneet.
Nyt tarvitsevat matematiikan opettajat hyvia neuvojaopetuksensa kehittamiseksi. Miten matematiikkaa voisiopettaa niin, etta saisi opiskelijat innostumaan ja teke-maan itsenaista ajatustyota?
Viitteet
Ernvall Reijo & Ernvall Sirpa. 2003. Opiskelijoiden it-searvio – haaste opetukselle. Dimensio 2/2003.
Lehtinen Matti. 2008. MatematiikkaolympialaisetMadridin helteessa. Dimensio 4/2008.
Korhonen Hannu. Opitaanko suomalaisessa koulussamatematiikkaa. Dimensio 5/2008.
Tuohi Raija, Helenius Juha & Hyvonen Raimo. 2004.Tietoa vai luuloa – insinooriopiskelijan matemaattisetlahtovalmiudet. Turun ammattikorkeakoulun raportte-ja 29.
Liite:
MATEMATIIKAN ALKUTESTITURUN AMMATTIKORKEAKOULU
TEKNIIKAN JA LIIKENTEEN
KOULUTUSALA
Kirjoita testitehtavien ratkaisut tehtavapaperille kun-kin tehtavan kohdalle. Testissa ei saa kayttaa laskintaeika kaavastoja. Testiin saa kayttaa korkeintaan 45 mi-nuuttia.
Kirjoita nimesi tikkukirjaimin:
Solmu 3/2009 27
Missa koulutusohjelmassa opiskelet? Vastaa mer-kitsemalla oikea vaihtoehto.
Millainen on koulutaustasi? Vastaa merkitsemallaoikeat vaihtoehdot.
Mika on viimeisen tutkintosi matematiikan ar-
vosana? Esita saamasi arvosana ja kaytetty asteikko,esim. 5 asteikolla 0 . . . 5 tai 7 asteikolla 4 . . . 10. Alaanna tassa ylioppilaskirjoitusten arvosanaa.
Arvosana asteikolla . . .
Kokeen tarkastaja tayttaa seuraavat kohdat.
Ratkaisut oikein tehtavissa:
Oikeita ratkaisuja yhteensa kappaletta.
Nimi:
Merkitse nimesi paperin oikeaan ylakulmaan. Kirjoitasaamasi tulos talle paperille kunkin tehtavan kohdalle.Lisaa rasti tuloksen peraan ruudukkoon ilmaisemaan,miten varma olet vastauksesi oikeellisuudesta (varmas-ti oikein = 3, epavarma = 2, hyvin epavarma, arvaus= 1). Tehtavien suorituksen aikana saa esilla olla vainkirjoitusvalineet.
Sievenna seuraavat lausekkeet 1-9:
1. | − 6| + | + 5| =1 2 3
2.13 − 1
7
4=
1 2 3
3.√
32 + 42 =1 2 3
4.2x + 2
5− x + 1
5=
1 2 3
5. a2 − (a + 1)2 + 2a =1 2 3
6.a2 − b2
a − b=
1 2 3
7. sin(π
2
)
=1 2 3
8. sin2 x + cos2 x =1 2 3
9. lnx2 − 2 lnx =1 2 3
10. Jarjesta pienimmasta suurimpaan
murtoluvut2
7,
2
6,
1
7,
1
6. 1 2 3
11. Ratkaise R kaavasta U = E − IR.1 2 3
12. Ratkaise x yhtalosta x2 − 2 = 0.1 2 3
13. Ratkaise x yhtalosta x2 − 2x = 0.1 2 3
14. Alla on esitetty yhtalot A, B, . . . , L.Minka yhtalon kuvaaja ona) nouseva suora, joka leikkaa y-akselin kohdassa 5b) alaspain aukeava paraabelic) origokeskinen ympyra, jonka sade on 5
A. y = 2x + 5 B. y = −x + 5C. y = 5 − 2x D. y = 2 + 5xE. y = 2x2 + 5 F. y = −2x2 + 5G. y = x2 − 2x + 5 H. y = x2 − 5I. x2 + y2 + 25 = 0 J. x2 + y2 − 5 = 0K. x2 − y2 + 5 = 0 L. x2 + y2 − 25 = 0
1 2 3
15. Maarita vektorin 6~ı − 8~ pituus.1 2 3
16. Laske ~a −~b, kun ~a = 2~ı − 3~ ja~b = −5~ı− 2~. 1 2 3
17. Derivoi x:n suhteen x3 + 2x − 1.1 2 3
18. MaaritadV
dr, kun V = 4
3πr3.1 2 3
19. Maarita∫
2xdx.1 2 3
20. Maarita∫ 1
0exdx.
1 2 3
28 Solmu 3/2009
Kaunis kirja numeroista vai lukufloppi?
Matti Lehtinen
Helsingin yliopisto
Peter J. Bentley: Numerot. Kuinka matematiik-
ka muutti maailmaa. Suomentanut Tommi Uscha-nov. Ajatus Kirjat 2009. 271 sivua.
On aina oltava iloinen, kun matematiikka saa julkisuut-ta. Gummerus-kustannuksen Ajatus-kirjat on julkais-sut suomeksi englantilaisen tietojenkasittelytieteilijanja tietokirjailijan Peter J. Bentleyn kirjan The Bookof Numbers . Kirja on kaunis ja loistavasti kuvitettu:jo kanteen on punaisen satunnaislukumaton paalle pai-nettu kuvat galaksista, mehilaiskennosta, dollarin sete-lista, valoa taittavasta prismasta, keskiaikaisesta mitta-laitteen tekijasta ja Alan M. Turingista. (Kirjapainoaei oikein pysty suoraan nimelta kiittamaan, koska ainoatieto siita on sijainti: Kiina.) Mutta kirjathan on tehtymyos luettaviksi eika vain selailtaviksi ja katsottavik-si. Lukukokemuksena Bentleyn kirja oli ainakin minullepettymys. Tallainen vaite on perusteltava.
Ilkea vaitoskirjan tarkastaja aloittaa huomautuksen-sa teoksen nimesta. Pakko on tehda samoin. Suomenkielessa numero tarkoittaa merkkeja, joilla lukuja il-maistaan, sellaisia kuin 1, 4, 9. Bentleyn ja yleensakinenglannin number on suomeksi luku, ja luvuista Bent-ley kirjoittaa. Kirjan avattuaan lukija saakin eteensasisallysluettelon, josta ilmenee, etta kirjan 15 lukua onnokkelasti nimetty lukujen avulla. ”Luku −1”, ”Luku0”, ”Luku 1”, ”Luku
√2” jne., ja koko kirjan sisalto kier-
taa kasitteen luku ymparilla. Tekstissa sanaa luku kay-tetaan muutenkin oikein. Mista siis kirjalle omituinennimi, eiko esimerkiksi alkuteoksen nimen kaannos olisikelvannut, tai Lukukirja?
Mutta unohdetaan nimi ja avataan kirja kunnolla.Bentleyn lennokkaasta tyylista saadaan maku jo kirjanluvun −1 ensimmaisista virkkeista ”Missa pain planeet-taa sitten olemmekin, luvut viilettavat ohitsemme kuinlumimyrsky. Ajamme pitkin lukujen jokia. Kuuntelem-me lukuja kuulokkeilla. Ranteessamme on vaihtuva lu-ku.”Makuasiat ovat makuasioita, mutta kylla tallainenlennokkuus syo jo alkuun teoksen uskottavuutta.
Kirjan toinen luku on nimetty nollan mukaan ja sii-na esitellaan eri tapoja kirjoittaa lukuja. Ennen pit-kaa tullaan paikkajarjestelmiin (kuten kymmenjarjes-telmaan) ja niihin liittyvaan tarpeeseen ilmaista tilan-ne, jossa jotain kantaluvun potenssia ei luvussa ole, siistarpeeseen keksia nolla. Intiassahan tama kaanteente-keva oivallus varsinaisesti tapahtui. Asiaa esitellessaanBentley johtuu kasittelemaan nollalla jakamisen ongel-maa, joka tietysti alkuun oli problemaattinen. Bent-leyn esitys on aika omituinen. Han on kylla sita mielta,etta 7/0 on maarittelematon ja han tuomitsee anka-rin sanoin ne, joiden mielesta 7/0 olisi aareton. Sittenhan kuitenkin perustelee, etta 0/0 ei ole samalla tavallakelvoton, etta 0/0 voi olla mika luku tahansa! Perus-telussa vedotaan markiisi l’Hopitaliin ja hanen saan-toonsa (jota ei kuitenkaan esiteta). Minusta aika har-haanjohtavaa – kylla 7/0:lle voi samalla tavalla kehit-taa raja-arvotulkintoja, joiden mukaan osamaara olisiesimerkiksi aareton! Nolla-lukuun sisaltyy viela lausun-toja kalenterista ja vuodesta 0. Gregoriaanisessa jarjes-telmassa ei Bentleyn mukaan ole nollaa, koska ”vuonna1582 [nykyisen kalenterin kayttoonottovuonna] nolla ei
Solmu 3/2009 29
ollut luku”. Tekstista voi toisaalta paatella, etta Bent-ley ymmartaa vuosilukujen olevan jarjestyslukuja.
Kolmas luku, ”0,000000001” kasittelee murtolukuja japienia lukuja. Lieko suomentajan syyta omituisuus,teksti ”tiedamme, etta koostumme triljoonista soluis-ta, joista kukin on noin 100000 kertaa pienempi kuinpituutemme”. Vaikka unohdamme ilmaukseen ”n ker-taa pienempi kuin” liittyvat mielipide-erot, niin mitta-suhteiden antama karkea arvio olisi, etta ihmisessa olisinoin (105)3 eli vain tuhannesosa triljoonaa solua. Tatajalkimmaista arviota tukevat muut lahteet. Pienia lu-kuja koskevaan lukuun on Bentley viela saanut maus-teeksi ikivanhan intialaisen tekstin, joka alkaa ”On ole-massa 7 ’ensimmaista atomia’ (paramanu raja) 1 pik-kuruisessa polyhiukkasessa (renu), 7 viimeksi mainit-tussa 1 pienessa polyssa (truti) . . . ” Seitseman kerran-naisia sisaltava ketju paattyy sormiluuhun. Bentley las-kee tasta, etta muinaisintialaisen ensimmaisen atominkoko on sama kuin hiiliatomin unohtaen kuitenkin, ettaatomit ym. hiukkaset ovat kolmiulotteisia.
Bentleyn kirjan neljas luku, Luku 1, on omistettu yk-koselle ja luonnollisille luvuille. Esittelyssa ovat taydel-liset luvut, ystavalliset lukuparit ja alkuluvut. Bentleyesittaa myos omituisenoloisen kysymyksen ”Kuinka voitietaa, etta lisaamalla luonnolliseen lukuun 1 sen ar-vo lisaantyy luvulla 1?” Bentleyn mukaan tama voi-daan todistaa, ja todistuskin on kirjassa: maaritellaanluonnolliset luvut seuraajarelaation S avulla ja todis-tetaan, etta a + 1 on aina S(a). Oireellista on, ettaBentley maarittelee seuraajarelaation yhdeksi ominai-suudeksi a + S(b) = S(a + b) ikaan kuin S(a + b) olisise tunnettu, jota S(b):n maarittelemiseksi tarvittaisiin.
Kirjan viidennen luvun numero on√
2. Siina kasitellaanirrationaalilukuja. Tasta luvusta saamme mm. sellaisenyllattavan tiedon, etta ”Irrationaalilukujen loytamisenmyota sellaiset muodot kuin kolmiot, neliot ja ympyratoli mahdollista maaritella.” Tama aasinsilta johtaakinBentleyn esittelemaan Platonin Akatemiaa, EukleideenAlkeita ja Arkhimedesta. Paadytaan algebraan, joka”oli todella tarkea keksinto, koska sen avulla pystymmekirjoittamaan lukuja, joita emme voi kirjoittaa”. Epai-lematta hieno keksinto tuollainen! (Samalta aukeamal-ta saamme myos tietaa, etta ”Descartes selitti myos,miten voimme kirjoittaa suoran muotoon y = kx + b”ja etta tuossa k on suoran kaltevuuskulma eli kulma-kerroin.)
Kirjan seitsemas luku on omistettu kakkoselle ja bi-naariluvuille. Babbagen kautta Bentley johtuu logiik-kaan, Booleen, Russelliin ja Godeliin seka viimein AlanTuringiin ja taman teoreettiseen laskulaitteeseen. Suo-mennoksen helmia on Turingin koneen luonnehdinta:”Se oli kasitteellinen kone, joka kykeni suorittamaanlaskettavia toimituksia.”
Kahdeksas luku on saanut nimensa e:sta. Siina kay-daan lapi logaritmit, Newton seka differentiaali- ja in-
tegraalilaskenta. Kummallisuuksia on tassakin, nayt-teena seuraava valaiseva katkelma: ”Integroiminen toi-mii toiseen suuntaan [kuin derivoiminen]. Jos tiedam-me kukkulan jyrkkyyden, voimme siita laskea sen muo-don. (Toisin sanottuna integroiminen tekee mahdolli-seksi laskea kayran alla olevan pinta-alan koon).”
Kirjan yhdeksas luku ottaa teemakseen luvun 3. Lu-ku alkaa, samoin kuin kirjan useat muutkin luvut,uskomusten ja sanomusten esittelylla. Metsaan Bent-ley kylla taitaa menna selittaessaan englannin sananeternity, ’ikuisuus’, olevan johdos sanasta trinity, ’kol-minaisuus’. (Æternitas on jo latinassa ja palautuu’ikaa’ tarkoittavaan ætas-sanaan.) Kolme johtaa sittenkolmioon, tietokonegrafiikankin hyodyntamaan pinnankolmiointiin ja topologiaan. Topologiaa havainnolliste-taan Konigsbergin siltaongelmalla; Topologia oli Eule-rin innovaatio, silla ”Ennen Euleria sellaiset matemaati-kot kuin Pythagoras ja Descartes olivat viettaneet kai-ken aikansa kappaleiden mittojen ja kulmien parissa”.Eulerin kuuluisa ratkaisu perustui siihen, etta ”jos graa-fissa on solmu, jolla on pariton maara kaaria, graafintoisesta paasta toiseen ja takaisin ei ole mahdollistakulkea kayttaen kutakin kaarta vain kerran”. Niinhanse on. – Eulerista Bentley sanoo myos, etta ”Han myospopularisoi tiedetta (varsin samaan tapaan kuin tamakirja).” Ei kai kukaan kaantynyt haudassaan?
Kolmosta seuraa luku π. Se ottaa ensin teemakseenArkhimedeen, sitten erilaiset tavat maarittaa π:n li-kiarvoja. Tasta siirrytaan kulmiin – ja kytkennan edel-liseen, kolmoslukuun tuo toteamus ”kolmion kussakinkulmassa on kolme kulmaa”. Samalta sivulta loytyymesopotamialaiseen 60-jarjestelmaan pohjautuva pe-rustelu kulma-asteen koolle: ”He [babylonialaiset] to-dennakoisesti jakoivat ympyran 60 osaan ja kunkinosan edelleen 60 osaan, jolloin tuloksena oli 360 as-tetta.” Luku etenee sitten Ptolemaioksen, trigonomet-rian, aaltoliikkeen ja heilurin kautta Galilein inkvisitio-oikeudenkayntiin. Bentley osaa todella yhdistella.
Bentley tekee π:n jalkeen harppauksen suoraan lu-kuun 10. Paitsi lukujarjestelman kantalukuna 10 ontietysti merkittava mittajarjestelmista, joiden kehitys-ta Bentley seuraa. Ensimmaisia pituuden mittayksikko-jen maapallon kokoon sitomista ehdottaneita oli 1600-luvulla elanyt ranskalaine Gabriel Mouton. Ei han kui-tenkaan ehdottanut pituusmitan mille eli maili mitaksimaapallon pituusastetta, niin kuin kirjassa kerrotaan,vaan pituusminuuttia. Tama mittahan elaa edelleenmeripeninkulman muodossa. Epatarkkuus jatkuu, kunBentley paasee metrijarjestelmaan. Metri ole miljoo-nasosa pohjoisnavan ja paivantasaajan valisesta etai-syydesta, kuten kirjassa todetaan, vaan kymmenesmil-joonasosa. Kymmenen sattuu olemaan kolmioluku (En-simmainen kolmioluku on T1 = 1 ja jos Tn on n:s kol-mioluku, niin Tk = Tk−1 + k kaikilla k). Tasta Bentleysaa aiheen loikata esittelemaan Blaise Pascalia – on-han Pascalin mukaan nimetty tunnettu kolmio (ja siina
30 Solmu 3/2009
esiintyvat myos kolmioluvut). Pascalin kolmion avulla”voimme myos laajentaa erikoisia yhtaloita, jotka tun-netaan binomeina”.
Kirjan luvuista minua miellyttaa eniten 12. luku. Seon otsikoitu 12a:ksi ja se kasittelee – luvun 13 kautta– taikauskoa ja todennakoisyytta.
Kirjan 13. luku hyppaa matematiikan ulkopuolelle. Ni-mikkoluku on nyt c, valon nopeus. Kasittelyssa on va-lon nopeuden maaritys, suhteellisuusteoria ja AlbertEinstein. Valon nopeuden tarkeys perustellaan kyllavahan kyseenalaisesti kaavalla E = mc2.
Kirjan viimeiset kaksi lukua on nimetty aarettomyy-den ja imaginaariyksikon mukaan. Aaretonta lahesty-taan seka matematiikan etta tahtitieteen suunnasta.Viimeiseen lukuun on saatu sijoitettua Tartaglian, Car-danon ja kolmannen asteen yhtalon ratkaisun tarina.Mukaan on pujahtanut sellainenkin nakemys, etta kol-mannen asteen polynomin kuvaaja saattaisi olla koko-naan x-akselin yla- tai alapuolella. Yhtalonratkaisu joh-taa algebran peruslauseeseen ja Gaussiin, jonka ”todis-tus osoitti, etta jokaiselle polynomiyhtalolle n:nnen as-teen kompleksilukujen kentassa (jossa n on suurempikuin 1) on n kompleksista ratkaisua”. Kompleksiluku-jen kautta tullaan viela polynomi-iteraatioihin, jotkaovat monien kauniiden fraktaalikuvioiden lahtokohta-na. Lieko suomentaja herpaantunut lopun haamottaes-sa, kun viimeista edellisella tekstisivulla on seuraavaa:”Jos i on esimerkiksi imaginaarinen kiertoliike, siita pa-tee seuraava trigonometrinen suhde:
eiπ = cosθ + i sin θ.′′
Kirjan lopussa luetellaan 194 kirjallisuusviitetta. Nii-den joukossa ei ole yhtaan varsinaista tunnustettuamatematiikan yleishistoriaa. Asiahakemiston ja mate-matiikan historian spiraalille taivutetun aikasuoran jal-keen tulee viela – ikaan kuin anteeksipyyntona – kom-mentti siita, etta kirjassa ei ole kasitelty yhtaan naista,ja kehotus naispuolisille lukijoille pyrkia korjaamaan ti-lanne.
Monenmoista puutetta kirjan lukeminen nayttaa pal-jastavan, edella oleva luettelo on vain nayte. On kysyt-tava, suhtaudunko teokseen fakki-idiootin pedanttisuu-della. Matematiikan lapikayvia ominaisuuksia ovat to-tuus ja tasmallisyys. Niita odottaisi matematiikkaa po-
pularisoivankin teoksen kunnioittavan. Tasapuolisuu-den nimissa on sanottava, etta kirjaa on – ainakin te-kijan kotisivuilta luettavissa kommenteissa – kiitettykiehtovaksi, helppotajuiseksi ja ihmislaheiseksi. Viimemainittu piirre tulee lapi kirjan esille siina, etta ka-siteltyjen henkiloiden kohdalla otetaan melkein poik-keuksetta esiin jokin asianomaisen inhimillinen heik-kous. Saamme tietaa, etta Johann Bernoulli oli kelju jakademielinen, von Neumann pelkasi kuolemaa, ClaudeShannon sairasti Alzheimerin tautia, Einsteinin ja Mi-leva Maricin ensimmainen lapsi syntyi ennen kuin pa-ri avioitui, Georg Cantorin mielisairaus ilmeni Shakes-pearea koskeneina pakkomielteina jne. Asioita yhdis-telemaan ja yksityiskohdasta toiseen siirtymaan Bent-ley on ilmeisen taitava. Mikaan matematiikan historianesitys ei varmastikaan esita asioitaan Bentleyn jarjes-tyksessa.
Osa Numerot-teoksen kompelyydesta selittynee silla,etta sen suomentaja ei selvastikaan ole hallinnut asi-aa ja suomenkielista terminologiaa. Han puhuu kuvios-ta, kun tarkoitetaan rakennetta, viivasta, kun tarkoite-taan janaa, uskomuksesta kasityksen sijasta, kalkyylis-ta differentiaali- ja integraalilaskennan tilalla ja surdus-luvuista juurilausekkeen sijasta. Itse riemastuin eni-ten siita, etta ensimmaiset tietokoneet kayttivat ”elekt-ronisia venttiileita”. Transistorit ja integroidut piiritovat todella painaneet elektroniputket unohduksiin sii-na kuin putkiradionkin!
Ja ne kauniit ja kehutut kuvat: osa maailman vanhim-piin matemaattisiin muistomerkkeihin kuuluvaa Rhin-din papyrusta on kuvattu sivulle 31. Kuva vain sattuuolemaan ylosalaisin.
Jollain tavalla Numerot kolkuttaa matemaatikonomaatuntoa. Miksi tallaisen kirjan kirjoittaa matemaa-tikon sijasta hyvaa tarkoittava ja aika paljon matema-tiikasta tietava henkilo, mutta selvasti henkilo, joka eiole ihan sisalla asioissa, joista han kirjoittaa. Ja miksimatemaatikot pitavat niin matalaa profiilia, etta kirjankustantajalle ei tule mieleen edes tarkastuttaa suomen-nosta jollain asioita paremmin tuntevalla?
Muuten, huomattavasti parempi matematiikan yleista-juinen esittely- ja katselukirja on Ursan Tiedetta kai-kille -sarjassaan vuonna 2006 julkaisema Hannu Kart-tusen – tahtitieteilijan – kirjoittama Matematiikka.
Solmu 3/2009 31
Matematiikkaa ulkona luonnossa
Aulikki Laine
Innoitus aiheeseen Ruotsista
Suomalaiset luontokoulunopettajat kiinnostuivat ulko-na pidettavasta matematiikan opetuksesta ruotsalais-ten kollegoidensa aloitteesta. Ruotsin luontokouluissamatematiikkaa on opetettu ulkona jo vuosia ja ruotsa-lainen Mats Wejdmark on kaynyt pitamassa opettajilleaiheesta koulutuksia Suomessakin.
Ulkona tapahtuvassa opetuksessa on omat haasteensa.Oppikirjoihin tukeutuvan opetuksen sijaan on loydetta-va uudenlaisia toimintamuotoja opetuksen onnistumi-seksi. Luontokoulun opettajat ovat tottuneet suunnit-telemaan opetuksen ulos, minka takia on hyvin luonte-vaa, etta juuri heidan aloitteestaan matematiikan ope-tuksesta ulkona innostuttiin laajemminkin.
Ruotsalaiset luontokoulunopettajat ovat koonneetkayttamansa matemaattiset harjoitteet kirjaan ”Att la-ra in matematik ute”, joka on suomennettu Hyvinkaanluontokoulun BSR Eagle -hankkeessa ”Ulkona luonnos-sa -matematiikka” -nimiseksi kirjaksi. Kirjan harjoit-teita on kaytetty pohjana Hyvinkaan ja Hameenlin-nan kaupunkien yhteisessa oppimisymparistojen kehit-tamisprojektissa, joka on ollut kaynnissa Hyvinkaal-la kevaalla 2009 ja aloitetaan Hameenlinnassa vuoden2009 syyslukukaudella.
Matikkapolkuja koulujen lahimetsissa
Hyvinkaan kaupungissa Opetushallituksen rahoittamaMatematiikkaa ulkona luonnossa -hanke sai hyvan vas-
taanoton. Kevaan 2009 aikana hankesuunnittelija tekiyhdessa luokanopettajien kanssa nelja erilaista 1,5 tun-nin mittaista opetuskokonaisuutta luokkien 1–4 mate-matiikan opetukseen. Suunnittelun alkuvaiheissa asian-tuntijoina olivat mukana myos Hameenlinnan opetta-jankoulutuslaitoksen ja normaalikoulun opettajat Jor-ma Joutsenlahti ja Risto Ilmavirta.
Koulujen lahiluonnossa toteutettavista opetuskokonai-suuksista kaytetaan nimea matikkapolku. Matikkapol-kuja testattiin Hyvinkaan koulujen lahimetsissa 18 ope-tusryhman kanssa ja tulokset olivat hyvia. Oppilaat jaopettajat innostuivat aiheesta ja matematiikan opetussujui kirjaimellisesti leikkien. Tehtavien aiheita oli 1–2 -luokkalaisille mittaaminen, arviointi, lukusuora, kymp-piparit ja kasitteet. Luokkien 3–4 oppilaat harjoitteli-vat myos arviointia ja mittaamista, vanhojen mittayk-sikoiden kayttoa seka kertolaskuja. Englanninkielista-kin matematiikan opetusta kokeiltiin neljan ryhmankanssa ja hyvien kokemusten myota yksi matikkapol-ku kaannettiin englanniksi kaikkien kayttoon.
Matikkapolkujen kytkeytyminen opetus-suunnitelmaan
Matikkapolkujen tarkoituksena oli alusta lahtien tiu-kan matematiikan oppisisalloissa pysyttelyn sijaan luo-da oppiaineiden valista integraatiota ja eheyttaa ope-tusta. Ulkona opetettaessa tama toteutuu lahes itses-taan. Esimerkiksi kertolaskuleikissa oppilaat laskevatkertolaskuja kuten matematiikan tunnilla ja juoksevat
32 Solmu 3/2009
metsassa kuten liikuntatunnilla. Salaisen pussin tehta-via suorittaessaan opettaja voi helposti opettaa oppi-laille kasvilajeja matemaattisten kasitteiden opettelunlisaksi. Kertolaskusatu-tehtavaan yhdistyy biologian,kuvaamataidon, matematiikan ja aidinkielen oppisisal-toja.
Oppiaineiden valinen integraatio on matikkapolkujenvahvuus verrattuna luokkatilassa tapahtuvaan kirja-tyoskentelyyn. Harjoitteiden opetussisalto on kuiten-kin suunniteltu puhtaasti matematiikan opetussuunni-telmasta lahtien. Vuosiluokkien 1–2 matematiikan ope-tuksen tavoitteissa painotetaan kasitteiden tuntemus-ta, keskittymisen, kuuntelun ja ajattelun kehittami-sen opetusta, luonnollisen luvun kasitteen oppimista,ilmioiden yhtalaisyyksien ja erojen loytamista ja syy-ja seuraussuhteiden oppimista. Tehtavana mainitaanmyos arkipaivan tilanteissa eteen tulevien ongelmienratkaisujen tehokas hyodyntaminen. Matikkapolun har-joitteet tukevat hyvin kaikkia mainittuja tavoitteita.
Luokkien 1–2 matikkapolun harjoitteiden kasitteet onvalittu opetussuunnitelman 2. luokan paattyessa osat-tavien kasitteiden joukosta. Kasitteiden opiskelu onmielekasta konkreettisia harjoitteita tekemalla. Tahantahtaavat muun muassa matikkapolun valkoinen liina-seka salainen pussi -harjoitteet.
Geometrian osalta vuosiluokkien 3–5 oppisisalloissa onmainittu mittayksikoiden kaytto, vertailu ja muun-taminen seka piirin ja pinta-alan kasitteet. Arviointion todettu Hameenlinnan opettajankoulutuslaitoksel-la yhdeksi aihealueeksi, jonka osaaminen on oppilaillapuutteellista. Taman vuoksi hankkeessa on seka luok-kien 1–2 etta luokkien 3–4 matikkapolkuihin sisallytet-ty arviointi mittaamisharjoituksien yhteyteen.
Vuosiluokkien 3–5 matematiikan opetussuunnitelmanensimmaisena tavoitteena mainitaan oppilaan onnis-tumisen kokemukset matematiikan opetuksen parissaja toisena kasitteiden oppiminen tutkien ja havainnoi-den. Osa opettajista piti matikkapolkujen leikinomai-sia harjoitteita turhan helppoina oppilailleen. Oppilaatkuitenkin tekivat harjoituksia innolla ja tarkeana op-pina olivat onnistumisen kokemukset kasitteiden kon-kreettisen ja tutkivan oppimisen keinoin. Keskittyneentyoskentelyn seka ryhmassa toimimisen oppiminen onmyos OPS:n tavoitteita. Ryhmatyon merkitys koros-tuu monissa matikkapolkujen harjoitteissa. Testiryh-mien matikkapoluilla ryhmatoiden tekoon tottumatto-mien luokkien vaikeudet tulivat selvasti esille. Ryhmas-sa toimimaan tottuneiden luokkien oppilaat pystyivatkeskittymaan harjoitteiden tekoon ja oppimiseen huo-mattavasti paremmin kuin siihen tottumattomat oppi-laat.
Luokasta ulos luontoon
Opettajan voi olla haasteellista lahtea yksin luokkansakanssa ulos pitamaan oppituntia. Luokkatilassa tyos-kentelyyn tottuneiden oppilaiden kanssa saattaa ulosmentaessa syntya tilanteita, jolloin ryhmaa on vaikeahallita. Suuret ryhmakoot ja luokkiin sijoitetut erityis-lapset lisaavat haasteita. Luontokoulun opettajan ko-kemuksella voi kuitenkin sanoa, etta opetus ryhmankuin ryhman kanssa sujuu ulkona, kunhan pelisaannottehdaan selvaksi ennen opetuksen alkua ja sen aikana.
Vilkkaat ja energiset lapset saattavat hyotya ulkonaopetuksesta temperamentiltaan rauhallisimpia lapsiaenemman. Paastessaan purkamaan energiaansa lasku-toimitusten valilla juosten, oppiminen on heille yleensamielekkaampaa ja helpompaa kuin luokkatilassa pul-petissa istuen. Toki on myonnettava, etta hyvin ener-gisista lapsista koostuvan ryhman kanssa opettajan onusein kaytettava enemman aikaa kurinpitoon kuin itseopetukseen, jos lapset eivat ole ulko-opetukseen tottu-neet. Karsivallisyys ja vaivannako kannattavat kuiten-kin vahitellen. Tehdessaan toiminnallisia harjoitteitaulkona lapsi kayttaa kaikkia aistejaan kokonaisvaltai-sesti. Vaikka olisi mahdollista tehda opettajan kannaltahelpommalla saman oppisisallon opetus luokkatiloissa,saattaa oppilaalle olla tarkeaa ulkona tehtyjen tehta-vien synnyttama innostuneisuus ja positiivinen asenne,mika mahdollisesti helpottaa oppimista myos jatkos-sa luokkatiloissa. Oppilaat, jotka eivat luokassa maltarauhoittua abstraktien tehtavien tekemiseen, saattavatulkona olla luokkatovereitaan etevampia konkreettistentehtavien suorittamisessa, mika varmasti kohottaa tal-laisten oppilaiden matemaattista itsetuntoa.
Hyvinkaan projektissa suunniteltujen matikkapolkujenharjoitteet on tehty sellaisiksi, etta niita voi kuka ta-hansa opettaja toteuttaa koulunsa lahimetsassa. Ma-tikkapolkujen harjoitteita voi kayttaa kokonaisuutenatai tehda yhden harjoitteen oppitunnin aluksi tai lo-puksi. Oppimateriaalina ovat saankestavaksi laminoi-dut tehtavakortit, huovutetut villanarut metrin mittoi-na, valkoinen vahakangas ja luonnosta loytyvat kivet,kepit, kavyt ja lehdet.
Matikkapolkujen harjoitteiden kuvaukset se-ka harjoitteissa tarvittavat tehtavakortit voitulostaa internetista Hyvinkaan kaupunginLuontokoulu Pikkutikan sivuilta osoitteestawww.hyvinkaa.fi/matematiikkaaluonnossa
Luokanopettajien kommentteja matikka-poluilta:
• ”Oli hienoa huomata, etta matematiikkaa voi ’tehda’monella eri tavalla. Sita loytyy kaikkialta ymparilta,ei vain kirjan kautta sisalla istumalla.”
Solmu 3/2009 33
• ”Lapset olivat innostuneita kaikista tehtavista.”
• ”Mittakaavaharjoitus oli mieleinen. Siina yhdistyi ra-kentaminen matemaattiseen ajatteluun. Rakentami-nen luonnonmateriaaleista on aina mieluista.”
• ”Mukavaa vaihtelua normaaleihin oppitunteihin.”
Kaksi esimerkkitehtavaa
Tulot piilossa
Ohjaaja jakaa oppilaille lukukortit 1–36, jotka he kiin-nittavat pyykkipojilla lahella oleviin puihin tai pensai-siin. Ensin tulee sopia rajat, joiden sisalle numerot saapiilottaa. Oppilaille kannattaa korostaa, etta numerottulee olla helposti leikin yhteydessa loydettavissa.
Varsinaisen tehtavan oppilaat suorittavat neljan hen-gen ryhmissa. Ohjaajalla on muovilaatikossa kaksi nop-paa, joita ryhmat saavat heittaa, kukin ryhman jase-nista vuorotellen. Noppien tulo ilmoittaa luvun, jokaheidan tulee etsia lahelle piilotetuista lapuista. Loydet-tyaan lapun he ottavat sen mukaansa ja lahtevat heit-tamaan noppaa uudestaan. Jos lappu on jo haettu, me-nee ryhma heittamaan uudestaan. Jos he tietavat, etteisaatujen nopanlukujen tuloa enaa ole piilotetuissa la-puissa, saavat he heittaa uudestaan, jotta sopiva lukutulee, kuitenkin korkeintaan kolme kertaa ennen kuinsiirtyvat heittamista odottavan jonon peralle.
Kun sopivia lappuja ei enaa tahdo loytya, muute-taan laskusaantoa: kaksi ensimmaista nopanlukua ker-
rotaan, naiden tulosta vahennetaan kolmanneksi hei-tetty noppa. Jos tuloksesta tulee miinusmerkkinen, hei-tetaan uudestaan. Ohjaaja voi paattaa leikin sopivak-si katsomansa ajan kuluttua, jos viimeisten lappujentuloja ei millaan tahdo noppien luvuista tulla. Leikinvoittaa ryhma, jolla on eniten lappuja kerattyna.
Laskusatu
Oppilaat muodostavat neljan hengen ryhmia. Kaikilleryhmille annetaan lapulla oma kertolasku, esimerkiksi3 · 4. Ryhmien tehtavana on muodostaa kertolaskustasatu tai kertomus. Sadusta tai kertomuksesta tehdaankuvitus luonnonmateriaaleja hyvaksi kayttaen valkoi-selle liinalle. Lopuksi kierretaan katsomassa ja kuunte-lemassa kaikkien ryhmien tarinat.
Esimerkkitarina kertolaskusta 3 · 4: Orava istui oksallavanhan variksen kanssa. Ne seurasivat elamaa puidenalapuolella ja juttelivat siita keskenaan. ”OO, katso ora-va!” varis sanoi. ”Karhut ovat heranneet talviuniltaan!””No, niinpa ovatkin”, totesi orava. ”Ja niitahan kulkeetuossa kolme kappaletta!” ”Niin, niin. Kolme karhua jakaikilla niilla on nelja jalkaa. Niiden tulohan on kaksi-toista jalkaa yhteensa, vai mita oravaiseni?” totesi va-ris. ”Juu, nainhan se on. Niinhan se pollo meita opettilaskemaan”, vastasi orava varikselle.
Sadusta voi tehda kuvituksen laittamalla tikun tai isonlehden liinalle puuksi, ruskean kaarnanpalan varikseksi,kiven oravaksi, kivista tai kavyista kolme karhua, joillejokaiselle tikuista nelja jalkaa.
34 Solmu 3/2009
Lue matematiikasta suomeksi
Matematiikkaa voi lukea muualtakin kuin oppikirjois-ta. Tassa muutama Solmun toimituksen vinkki.
Hannu Karttunen: Matematiikka (Ursa). Tiedettakaikille -sarjan patevanoloinen johdatus matematiikaneri alueille.Ian Stewart: Kirjeita nuorelle matemaatikolle
(Terra Cognita). Viehattava kokoelma kokeneen ma-temaatikon opastuksia matematiikan polun alkutaipa-leen kulkijalle.Mario Livio: Yhtalo, jota ei voinut ratkaista
(Terra Cognita). Viidennen asteen yhtalon ongelmanselvittajat, ja aika paljon muutakin.John Derbyshire: Alkulukujen lumoissa (TerraCognita). Riemannin hypoteesi on taman hetken kuu-luisin matemaattinen haaste. Kirja kertoo, mista on ky-symys.Simon Singh: Fermat’n viimeinen teoreema
(Tammi). Haaste, jonka matematiikka viimein voitti.Carl Boyer: Tieteiden kuningatar (Art House).Matematiikan pitka historia kattavasti ja mielenkiin-toisesti.Graham Flegg: Lukujen historia (Art House). Mo-nilla tavoin on lukumaarista puhuttu eri kulttuureissa,ja monia laitteita on keksitty.Peter J. Bentley: Numerot (Ajatus Kirjat),Andrew Robinson: Mittaamisen historia (Multi-kustannus). Kauniisti kuvitettuja katselukirjoja, joidentekstipuoli jattaa vahan toivomisen varaa.
Ja jos haluaa romaaneja lukea, niin tarjolla on esimer-kiksi:
Daniel Kehlmann: Maailman mittaajat (Perhe-mediat). Matemaatikkojen kuningas Gauss toisessapaaosassa.Jukka M. Heikkila: Tyranni (WSOY) ja Arkhi-
medes Syrakusalainen (Karisto). Arkhimedes histo-
riallisten romaanien henkilona.Fredrik Lang: Elamani Pythagoraana (Tammi).Oppinut fiktio matematiikan varhaisesta suurmiehesta.
Solmun uusitun etusivun kohdasta Ma-tematiikan opetus loytyy tallaisia otsi-koita
Ylaaste ja lukio
• Unkarilaisvaikutteinen matematiikan opetus: yla-aste ja lukio
• Tehtavia• Linkkeja ylaasteen matematiikan opetukseen• Linkkeja lukion matematiikan opetukseen• K. Vaisala: Algebra• Ylioppilaskirjoitukset
Esiopetus ja ala-aste
• Unkarilaisvaikutteinen matematiikan alkuopetusVarga-Nemenyi -menetelmalla
• Montessorin opetustapa
Lahjoitus matematiikan olympiavalmen-nukselle
Kustannusosakeyhtio Otava on lahjoittanut Suomenmatemaattisen yhdistyksen Valmennusjaostolle 40 kap-paletta Kalle Vaisalan kauan sitten myynnista poistu-neen ja hankalasti saatavissa olevan kirjan Lukuteorianja korkeamman algebran alkeet nakoispainosta. Nakois-painos on erikoisera, joka on valmistettu digipainotek-niikkaa hyvaksi kayttaen. Kalle Vaisalan kirja sisaltaa– paljon muun ohessa – suomen kielella ja helposti la-hestyttavassa muodossa sen lukuteoreettisen aineksen,jonka hallinta on tarpeen matematiikkakilpailujen teh-tavien ratkaisemisessa.
Recommended
