Recenzenti:
dr Dobrilo \. To{i}, doktor matematike
dr Branko J. Male{evi}, doktor matematike
Dragica Mi{i}, profesor matematike
Za izdava~a
Milka Je{i}
Predmetni urednik
Dragica Mi{i}
Urednik produkcije
mr Nata{a Baba~ev
Ministar prosvete i sporta Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uybenika u ~etvrtom razredu osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00109/2008-06 od 20. 6. 2008.
ISBN 978-86-87715-22-6
dr Sini{a N. Je{i}Marko M. Igwatovi}
MATEMATIKAza ~etvrti razred osnovne {kole
ГЕРУНДИЈУМ
1. Skup prirodnih brojeva N i skup N0 6
1. Brojevi prve hiqade ..................................................................................... 6
2. Dekadne jedinice do milion, 1 000 000 ......................................................... 8
3. Zapisivawe dekadnih jedinica kao stepena broja 10 ........................... 11
4. Brojawe i zapisivawe po hiqadu.............................................................. 12
5. ^itawe i pisawe brojeva do milion .......................................................... 13
6. Brojawe po milion. Dekadne jedinice ve}e od milion ........................... 15
7. ^itawe i pisawe brojeva ve}ih od milion ................................................ 17
8. Zapisivawe prirodnih brojeva u obliku zbira proizvoda ..................... 19
9. Mesna vrednost cifre u zapisu broja ........................................................ 21
10. Upore|ivawe prirodnih brojeva ................................................................ 23
11. Skup prirodnih brojeva N i skup N0 ........................................................... 25
12. Brojevna poluprava .................................................................................... 27
SADR@AJ
2. Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 30
1. Sabirawe trocifrenih brojeva ................................................................... 30
2. Oduzimawe trocifrenih brojeva od brojeva druge hiqade .................. 32
3. Veza sabirawa i oduzimawa ....................................................................... 34
4. Zamena mesta i zdru`ivawe sabiraka ..................................................... 36
5. Dodavawe i oduzimawe zbira ................................................................... 38
6. Sabirawe vi{ecifrenih brojeva .............................................................. 40
7. Oduzimawe vi{ecifrenih brojeva ............................................................ 42
8. Izvodqivost sabirawa i oduzimawa u skupu N i skupu N0 .................... 44
9. Sabirawe i oduzimawe - izrazi sa dve ili vi{e operacija ............... 47
10. Zavisnost zbira od promene sabiraka .................................................... 50
11. Stalnost zbira .......................................................................................... 53
12. Zavisnost razlike od promene umawenika i umawioca ...................... 54
13. Stalnost razlike ..................................................................................... 57
14. Jedna~ine sa sabirawem i oduzimawem .................................................. 58
15. Nejedna~ine sa sabirawem i oduzimawem .............................................. 60
3. Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 62
1. Mno`ewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim................................................................................................ 62
2. Deqewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim................................................................................................ 64
3. Veza mno`ewa i deqewa .............................................................................. 66
4. Zamena mesta i zdru`ivawe ~inilaca........................................................ 68
5. Mno`ewe zbira i razlike ................................................................................ 70
6. Deqewe zbira i razlike .................................................................................. 72
7. Mno`ewe i deqewe dekadnom jedinicom ........................................................ 74
8. Mno`ewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim .............................................. 76
9. Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim .............................................. 78
10. Mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom ............................................. 80
11. Mno`ewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim ................................................ 81
12. Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim ................................................. 83
13. Mno`ewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem ................................ 85
14. Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem .................................. 87
15. Izvodqivost mno`ewa i deqewa u skupu N .................................................. 89
16. Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca ................................................... 90
17. Izra~unavawe nepoznatog ~inioca ................................................................ 91
18. Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca .................................... 92
19. Jedna~ine sa mno`ewem i deqewem ............................................................ 93
7. Razlomci 1301. Razlomci sa brojiocem jedan ......................................................................... 130
2. Razlomci sa brojiocem ve}im od jedan ........................................................... 133
3. Upore|ivawe razlomaka ............................................................................... 137
4. Predstavqawe razlomaka na brojevnoj polupravoj .................................... 140
4. Merewe povr{i i jedinice mere 94
1. Povr{. Upore|ivawe i merewe povr{i ........................................................... 94
2. Jedinice mere za povr{inu ............................................................................... 97
3. Jedinice mere za povr{inu ve}e od kvadratnog metra .............................. 99
4. Ra~unawe sa jedinicama mere za povr{inu .............................................. 100
5. Izra~unavawe povr{ine pravougaonika i kvadrata ................................. 102
5. Izrazi 1061. Matemati~ki izrazi .......................................................................................... 106
2. Odnos mno`ewa i deqewa prema sabirawu i oduzmawu ............................. 107
3. Odnos mno`ewa i deqewa ............................................................................... 111
6. Kvadar i kocka 1121. Osobine kvadra i kocke .................................................................................... 112
2. Crtawe kvadra i kocke ..................................................................................... 115
3. Model i mre`a kvadra i kocke .................................................................... 117
4. Izra~unavawe povr{ine kvadra ..................................................................... 120
5. Izra~unavawe povr{ine kocke ........................................................................ 121
6. Zapremina tela. Merewe zapremine............................................................... 122
7. Jedinice mere za zapreminu ............................................................................. 124
8. Izra~unavawe zapremine kvadra i kocke .................................................. 127
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
6
1 | Brojevi prve hiqade1
Brojevi 1, 10, 100 i 1 000 su dekadne jedinice prve hiqade.
1 (jedinica) = 1J
1 D = 10 J
1 S = 10 D = 100 J
1 H = 10 S = 100 D = 1000 J
1) 56 D = 560
3) 2 S 43 J =
2) 85 D =
4) 2 S 3 D 5 J =
Zapi{i broj ciframa, bez oznaka dekadnih jedinica, kao u datom primeru.
1.
Popuni tabelu.
prethodnik 59 104 359 498 800
broj 60 209 300 420
sledbenik 61 251 480 601 956
2.
00
1) trista pedeset dva
2) ~etiristo osamdeset tri
3) {eststo osam
4) sedamsto sedam
5) dvesta trideset
6) osamsto deset
Napi{i ciframa date brojeve.3.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
7
4. Brojeve 359, 1 000, 409 i 750 pro~itaj i zapi{i re~ima.
Predstavi date brojeve ciframa u narednoj tabeli.
Xiqade Stotine Desetice Jedinice
H S D J
3 5 9
5. Zapi{i sve trocifrene brojeve u kojima se cifra 7 javqa dva puta.
6. Ciframa 0, 3 i 5 zapi{i sve mogu}e trocifrene brojeve i pore|aj ih po veli~ini tako da se:
1) svaka cifra koristi samo jedanput;
2) ista cifra mo`e koristiti vi{e puta.
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
8
2 | Dekadne jedinice do milion, 1 000 000Vrednost nekih na{ih nov~anica iskazana je dekadnim jedinicama.
Grupisawem hiqada dobijamo vi{estruke hiqade.
1 dinar
1 dinar
10 dinara 100 dinara 1 000 dinara
~etiri hiqade dinara4 000 = 4 X
deset hiqada dinara 10 000 = 10 X~etiiri hiq araade dina
Jedna stotina hiqada 1 SH = 100 H = 100 000 (sto hiqada)
Jedna desetica hiqada 1 DX = 10 X = 10 000 (deset hiqada)
Neke dekadne jedinice ve}e od hiqadu predstavqamo hiqadama.
Nastavqaju}i da broji{ u deseticama hiqada popuni slede}u tabelu.
1 DH 10 000 deset hiqada
2 DH
trideset hiqada
40 000
pedeset hiqada
60 000
70 000
osamdeset hiqada
9 DH
1 SX 100 000 sto hiqada
1.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
9
Banka nov~anice pakuje u omote. U svakom omotu je po 100 istih nov~anica. Posmatrajmo omote sa po 100 nov~anica od hiqadu dinara.
1 omot 5 omota
stohiqada dinara
100 000 = 100 X = 1 SX
petsto hiqada dinara500 000 = 500 X = 5 SX
1 000 hiqada nazivamo 1 milion i ozna~avamo ga sa 1M.1 M = 1 000 H = 1 000 000 (jedan milion)
Na slici je prikazano 10 omota po 100 nov~anica od hiqadu dinara.
10 . 100 hiqada dinara = 1 000 hiqada dinara = 1 000 000 dinara
Dekadne jedinice koje smo upoznali izrazi jedinicama.
1 jedinica
1 desetica
1 stotina
1 hiqada
1 desetica hiqada
1 stotina hiqada
1 milion
= 1 J
= 1 D = 10 J
= 1 S =
= 1 H =
= 1 DH =
= 1 SH =
= 1 M =
2.
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
10
Dekadne jedinice koje poznaje{ upi{i u tabelu, polaze}i od najmawe.
milioni hiqade jedinice
M SX DX X S D J
1 0 0 0 0
Pro~itaj i re~ima zapi{i date brojeve.
1) 500 000
2) 40 000
3) 800 000
4) 60 000
Zapi{i ciframa broj:
3.
5.
6.
1) sedamsto hiqada
2) trideset hiqada
3) ~etiristo hiqada
4) {ezdeset hiqada
4. Brojeve sa oznakama hiqada zapi{i ciframa.
1) 200 H =
3) 500 H =
5) 800 H =
2) 400 H =
4) 600 H =
6) 900 H =
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
11
Dekadne jedinice mo`emo predstaviti kao proizvod jednakih ~inilaca, pri ~emu su svi ~inioci jednaki 10.
100 = 10 . 10 1 000 = 10 . 10 . 10
^itamo: deset na tre}i.
10 . 10 . 10= 103
Proizvod jednakih ~inilaca mo`emo skra}eno zapisivati.
^itamo: deset na drugi.
10 . 10 = 102
Zapis 102 nazivamo drugi stepen broja 10,a 103 nazivamo tre}i stepen broja deset.
Predstavimo i ostale dekadne jedinice skra}enim zapisom.
10 000 = 10 . 10 . 10 . 10 = 104
100 000 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 105
1 000 000 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 106
Navedeni zapisi su ~etvrti, peti i {esti stepen broja deset.
3 | Zapisivawe dekadnih jedinica kao stepena broja 10
Date brojeve zapi{i u obliku proizvoda jednocifrenog broja i stepena broja 10.
1) 20 000 = 2 . 10 000 = 2 . 104
2) 200 000 = 2 . = . 105
3) 50 000 = 5 . = .
4) 500 000 = . = .
5) 6 SH = . = .
6) 9 SH = . = .
1.
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
12
4 | Brojawe i zapisivawe po hiqadu1. Brojeve sa oznakama hiqada zapi{i ciframa.
1) 19 H = 19 000
2) 37 H =
3) 219 H =
4) 237 H =
5) 485 H =
6) 754 H =
Zapi{i ciframa date brojeve:
Upi{i brojeve koji nedostaju u nizovima.
Broje}i po hiqadu odredi i zapi{i tra`ene brojeve:
1) od sto devedeset pet hiqada do dvesta tri hiqade;
2) od {eststo osam hiqada do {eststo ~etrnaest hiqada;
3) od osamsto devedeset sedam hiqada do devetsto sedam hiqada.
2.
3.
4.
1) sto pedeset dve hiqade
2) trista sedamdeset ~etiri hiqade
3) sedamsto dvadeset hiqada
4) osamsto tri hiqade
456 000
457 000
462 000
513 000512 000
507 000
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
13
• Radi lak{eg ~itawa, cifre vi{ecifrenih brojeva zapisujemo u tabelu.
• Dekadne jedinice razvrstane su u klase, zdesna nalevo. U sklopu svake klase su jedinice, desetice i stotine.
• Brojeve ~itamo po klasama. Najpre pro~itamo koliko je jedinica najvi{e klase, imenujemo klasu, a zatim ~itamo slede}u klasu, sve do posledwe, sleva nadesno.
• Brojeve zapisujemo sa polurazmakom izme|u klasa (razmak je jednak polovini {irine cifre).
Navodimo primere zapisivawa vi{ecifrenih brojeva u tabeli.
Broj iz prve vrste prethodne tabele ~itamo 438 hiqada 562
i zapisujemo ga sa 438 562.
5 | ̂ itawe i pisawe brojeva do milion
KLASE
milioni hiqade jedinice
M SX DX X S D J
4 3 8 5 6 2
7 2 1 0 4
6 5 0 3 8 7
1 0 0 0 0 0 0
8 5 3 2 0 6
Pro~itaj i zapi{i preostale brojeve iz tabele, na dva na~ina:navode}i klase i samo ciframa, kao u datom primeru.
72 104
1.
72 hiqade 104
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
14
Zapi{i ciframa date brojeve.
a) sedamdeset osam hiqada petsto dva
b) dvesta pedeset hiqada pedeset dva
v) devetsto devet hiqada petsto pet
Pro~itaj cene prevoznih sredstava prikazanih na slikama.
950 800 din.
Brojeve sa oznakama dekadnih jedinica zapi{i samo ciframa i pro~itaj ih.
2.
3.
4.
a) 3 SH 5 DH 2 H 7 S 4 D 8 J =
b) 5 SH 5 H 3 S 3 D =
v) 8 SH 7 DH 6 S 5 J =
g) 7 SH 7 S 7 J =
d) 6 SH 6 D =
19 560 din. 349 988 din.
Ako je neka cifra broja jednaka 0, pri wegovom zapisivawu oznakama
dekadnih jedinica odgovaraju}u oznaku
izostavqamo.
12 080
= 1 DH 2 H 0 S 8 D 0 J
= 1 DH 2 H 8 D
Napi{i brojeve koji nedostaju i pro~itaj ih.
a) 376 438, 377 438, 378 438, , ,
, , , 384 438
b) 376 438, 376 538, 376 638, , ,
, , , 377 238
5.
6. Broj po hiqadu i zapi{i sve brojeve izme}u 155 000 i 162 000.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
15
• Broje}i po milion dobijamo brojeve iz slede}e tabele.
Dekadne jedinice ve}e od milion predstavqamo milionima (M).
1 000 000 jedan milion
2 000 000 dva miliona
3 000 000 tri miliona
4 000 000 ~etiri miliona
5 000 000 pet miliona
6 000 000 {est miliona
7 000 000 sedam miliona
8 000 000 osam miliona
9 000 000 devet miliona
10 000 000 deset miliona
6 | Brojawe po milion. Dekadne jedinice ve}e od milion
Jedna desetica miliona 1 DM = 10 M = 10 000 000 (deset miliona)
Jedna stotina miliona 1 SM = 100 M = 100 000 000 (sto miliona)
Jedna hiqada miliona 1 XM = 1 000 M = 1 000 000 000 (milijarda)
Hiqadu miliona nazivamo milijarda i ozna~avamo je sa Md.
1 Md = 1 000 M = 1 000 000 000 (jedna milijarda)
1 SM 10 DM 100 000 000 sto miliona
2 SM 200 000 000
30 DM
400 000 000
petsto miliona
6 SM
700 000 000 sedamsto miliona
9 SM
10 SM 100 DM 1 000 000 000
Popuni datu tabelu, broje}i u stotinama miliona.1.
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
16
Dekadne jedinice ve}e od milijarde izra`avamo milijardama (Md).
Jedan bilion predstavqa 1 000 milijardi i ozna~avamo ga sa 1 B.
Desetica milijardi 1 DMd = 10 Md = 10 000 000 000 (deset milijardi)
Stotina milijardi 1 SMd = 100 Md = 100 000 000 000 (sto milijardi)
Hiqada milijardi 1 XMd = 1 000 Md = 1 000 000 000 000 (bilion)
1 B = 1 HMa = 1 000 000 000 000
Posle Sunca, zvezda najbli`a Zemqi je Proksima Kentaur koja je od Zemqe
udaqena 40 biliona kilometara.
Radi preglednosti, dekadne jedinice do bilion zapisa}emo u tabelu.
Udaqenost Sunca i Zemqe je oko 150 miliona kilometara.
Bilioni Milijarde Milioni Hiqade Jedinice
SB DB B SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Napi{i ciframa date brojeve.
Re~ima zapi{i date brojeve.
1) osamsto miliona 2) sedam milijardi
3) pedeset miliona
1) 300 000 000
2) 20 000 000
3) 40 000 000 000
2.
3.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
17
7 | ̂ itawe i pisawe brojeva ve}ih od milion
• Kao i mawe, tako i brojeve ve}e od milion ~itamo po klasama, sleva nadesno i imenovawem klase pre prelaska na narednu klasu.
• Brojeve zapisujemo sa polurazmakom izme}u klasa.
Broj iz prve vrste tabele ~itamo 5 miliona 308 hiqada 245
Bilioni Milijarde Milioni Hiqade Jedinice
SB DB B SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J
5 3 0 8 2 4 5
1 0 0 5 4 8 7 3
8 7 0 2 0 3 0 2 4
6 0 5 0 3 8 5 4 2 6
1 8 1 0 3 0 5 0 5 0 3
2 8 3 5 5 0 4 0 7 0 2 0
1 0 5 4 2 0 8 0 5 0 0 7 8
i zapisujemo ga sa 5 308 245.
Pro~itaj i zapi{i preostale brojeve iz prethodne tabele.1.
Zapi{i ciframa broj:2.
1) dvadeset tri miliona pet hiqada osamdeset
2) osamsto miliona osamdeset hiqada osam
3) tri milijarde pet miliona pedeset hiqada petsto
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
18
3. Brojeve sa oznakama dekadnih jedinica napi{i samo ciframa i pro~itaj ih.
1) 2 DM 4 M 5 SH 3 H 8 S 4 D 5 J =
2) 7 DMd 5 Md 3 DM 4 SH 7 D 8 J =
a) Svi brojevi od 24 000 001 do 25 000 000 su brojevi dvadeset petog miliona. Zapi{i jo{ tri broja tog miliona.
b) Navedi tri broja pedeset osmog miliona.
v) Napi{i najmawi i najve}i broj sedamsto osamnaestog miliona.
a) Koliko desetica miliona i preostalih jedinica ima broj 376 742 235? (Podvu~eno je koliko ima desetica miliona.)
b) Koliko stotina miliona i preostalih jedinica ima broj 438 276 320 560? (Podvu~eno je koliko ima stotina miliona.)
376 742 235 = DM J
438 276 320 560 = SM J
4.
6.
Ciframa 2, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0 zapi{i one brojeve koji pripadaju tre}oj desetici miliona. Zatim brojeve pro~itaj i zapi{i re~ima pored zapisanog broja.
5.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
19
8 | Zapisivawe prirodnih brojeva u obliku zbira proizvoda
(a + n) + (b – n) = a + b
• Svaki prirodan broj mo`emo zapisati u obliku zbira vi{estrukih dekadnih jedinica.
• Svaku vi{estruku dekadnu jedinicu mo`emo zapisati u obliku proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice.
24 367 256 = 20 000 000 + 4 000 000 + 300 000 + 60 000 + 7 000 + 200 + 50 + 6
= 2 . 10 000 000 + 4 . 1 000 000 + 3 . 100 000 + 6 . 10 000 +
+ 7 . 1 000 + 2 . 100 + 5 . 10 + 6 . 1
• Ako je neka od cifara u zapisu broja jednaka 0, odgovaraju}i sabirak je 0, te ga ne zapisujemo.
5 070 400 006 = 5 . 1 000 000 000 + 7 . 10 000 000 + 4 . 100 000 + 6 . 1
Date brojeve napi{i kao zbir proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice.
1) 2 358 974 =
2) 48 003 570 =
3) 30 054 800 060 =
2.
Broj 7 243 586 zapi{i kao zbir vi{estrukih dekadnih jedinica, a zatim kao zbir proizvoda jednocifrenog broja i dekadne jedinice.
7 243 586 =
1.
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
20
Zapi{i broj, vi{estruku dekadnu jedinicu, odnosno izra~unaj vrednost izraza:
1) 5 . 103 =
2) 8 . 104 =
3) 2 . 105 =
4) 4 . 10 000 000 =
5) 3 . 100 000 000 =
3.
10 000 000 = 107
100 000 000 = 108
1 000 000 000 = 109
1 000 000 000 000 = 1012
deset milionasto milionajedna milijarda
jedan bilion
Imamo da je:
{to predstavqa stepene broja 10 koji odgovaraju dekadnim jedinicama ve}im od milion.
Izra~unaj:4.
1) 5 . 103 + 4 . 102 + 2 . 10 + 7 =
2) 2 . 105 + 3 . 103 + 4 . 102 + 8 =
3) 3 . 108 + 5 . 105 + 8 . 104 + 7 . 10 + 4 =
Brojeve 90 205 368 i 2 753 070 806 napi{i:
1) sa oznakama dekadnih jedinica;
2) kao zbir proizvoda jednocifrenih brojeva i dekadnih jedinica.
5.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
21
9 | Mesna vrednost cifre u zapisu broja
Svaka cifra, pored svoje osnovne vrednosti, ima i mesnu vrednost. Ta vrednost zavisi od mesta na kome se cifra nalazi u zapisu broja.
Mesna vrednost cifre izra`ava se tom cifrom i oznakom dekadne jedinice, koja je odre|ena mestom te cifre u zapisu broja.
U tabeli je zapisan broj 333 333 ~ije su sve cifre jednake 3.
• Broj 333 333 zapisan je samo cifrom 3 koja se ponavqa {est puta. • Mesna vrednost svake cifre 3 je deset puta ve}a od mesne vrednosti susedne cifre 3 s desne strane.• Mesna vrednost svake cifre 3 je deset puta mawa od mesne vrednosti cifre 3 s leve strane. • Na primer, druga cifra 3 zdesna nalevo ima mesnu vrednost 30 i ona je 10 puta ve}a od mesne vrednosti cifre 3 prve zdesna i deset puta mawa od mesne vrednost tre}e zdesna cifre 3, po{to je 3 S : 10 = 3 D = 3 J . 10.
Hiqade Jedinice
SH DH H S D J
broj 3 3 3 3 3 3
mesna vrednost cifre
300 000 30 000 3 000 300 30 3
• U zapisu broja 10 054 875 cifra 5 se pojavquje dva puta. Mesna vrednost cifre 5 u prvoj koloni zdesna je 5 J, a mesna vrednost cifre 5 u petoj koloni zdesna je 5 DH = 50 000 J.
Milioni Hiqade Jedinice
SM DM M SH DH H S D J
1 0 0 5 4 8 7 5
Svaki prirodan broj u dekadnom brojevnom sistemu mo`emo
zapisati pomo}u deset cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
22
Milijarde Milioni Hiqade Jedinice Mesna vrednost
cifre 3 cifre 7
U datu tabelu upi{i oznake dekadnih jedinica. U svaku od vrsta upi{i redom, po jedan od brojeva: trideset sedam, trideset sedam hiqada, trideset sedam miliona, trideset sedam milijardi. Odredi mesne vrednosti cifara 3 i 7 za svaki broj i upi{i ih u odgovaraju}e kolone.
Za koliko se promeni vrednost broja ako prva i tre}a cifra uzajamno zamene mesta?
1) 356 – =
2) 725 – =
3) 434 – =
Od cifara 1, 2, 3, 5, 7 i 9 napi{i dva {estocifrena broja tako da:
1) cifra 2 ima mesnu vrednost desetica (D), a cifra 9 mesnu vrednost stotina hiqada (SH);
2) cifra 3 ima vrednost stotina (S), a cifra 1 ima vrednost desetica hiqada (DH).
1.
2.
3.
4.
Milioni Hiqade Jedinice
SM DM M SH DH H S D J mesna vrednost
8 7 0 2 0 3 0 2 4
5 0 3 8 5 4 2 6
1 4 3 0 5 0 5 0 3
5 5 0 4 0 7 0 2 0
Odredi mesne vrednosti cifara koje su zaokru`ene u brojevima iz tabele.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
23
Svaki trocifreni broj ve}i je od bilo kog dvocifrenog broja, a svaki dvocifren ve}i je od bilo kog jednocifrenog. Ako upore|ujemo dva trocifrena broja ve}i je onaj koji ima ve}u cifru na mestu stotina. Ukoliko su te cifre iste nastavqamo upore|ivawe narednih cifara, gledaju}i sleva nadesno.
• Sli~no upore|ujemo i vi{ecifrene brojeve. Prikaza}emo to na primeru brojeva zapisanih u tabeli.
Milijarde Milioni Hiqade Jedinice
SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J
A 7 5 0 2 4 0 2 0 8
B 4 0 3 0 0 1 3 6 3 7 1
C 2 7 3 5 4 2 0 0 4 7 9
D 2 7 3 5 4 3 0 0 2 9 6
E 2 7 3 5 4 3 0 0 2 9 6
Upore|ivawem prvog i drugog broja (A i B) iz tabele, vidimo da je ve}i broj V jer je zapisan sa vi{e cifara. Ka`emo da je broj B ve}i od broja A, odnosno broj A je mawi od broja B, {to zapisujemo sa
B > A odnosno A < B.
Od dva prirodna broja sa jednakim brojem cifara, B i C, ve}i je onaj koji ima ve}u cifru najvi{eg reda (kome je ve}a prva cifra sleva).
B > C, jer je 4 DMd > 2 DMd.
10 | Upore|ivawe prirodnih brojeva
Stavqaju}i znak > , < ili = u kvadrati}, uporedi brojeve i tako proveri svoje znawe.
1.
94 114 326 87 268 512
725 376 527 5 S 2 D 7 J 648 645
406 4 S 5 J 750 7 S 5 D 2 J 824 8 S 2 D 4 J
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
24
Od dva prirodna broja sa jednakim brojem cifara u kojima je nekoliko cifara sleva jednog broja jednako odgovaraju}im ciframa drugog broja, kao {to su brojevi C i D, ve}i je onaj kod koga se sleva nadesno pre nai|e na ve}u cifru, odnosno
D > C, jer je 3 SH > 2 SH.
Dva prirodna broja, D i E, su jednaka, ako imaju jednak broj cifara i ako su ima jednake cifre na odgovaraju}im mestima, {to zapisujemo sa
D = E.
Uporedi brojeve. U kvadrati} upi{i potreban znak, < ili >.
36 725 106 203
83 657 205 58 604 320
504 378 268 504 054 607
14 648 372 506 14 648 374 213
Pore|aj date brojeve po~ev od
2) najve}eg: 56 248 731, 55 248 731, 56 348 731, 55 248 631, 56 249 731
Od {estocifrenih brojeva koji se mogu zapisati ciframa 1, 2, 3, 0, 0, 0, 0 odredi tri najve}a i tri najmawa koji pripadaju tre}em milionu. U sva-kom broju svaku cifru koristi samo jedanput.
najmawi
Napi{i najve}i i najmawi broj sedme milijarde.
2.
3.
4.
5.
najve}i
1) najmaweg: 735 278, 635 278, 725 278, 736 278, 735 478
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
25
• Ako zapi{emo sve jednocifrene prirodne brojeve po veli~ini
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
1, 2, 3, ... , 9.
10, 11, 12, ... , 99.
100, 101, 102, ... , 999.
N = {1, 2, 3, ... }.
ka`emo da smo zapisali kona~an niz prirodnih jednocifrenih brojeva.
• Kona~an niz dvocifrenih prirodnih brojeva mo`emo zapisati ovako:
• Kona~an niz trocifrenih prirodnih brojeva je:
Ako sve kona~ne nizove brojeva pore|amo tako da je svaki naredni broj za 1 ve}i od prethodnog dobijamo niz prirodnih brojeva.
Niz brojeva1, 2, ... , 9, 10, 11, ... , 99, 100, ... , 999, 1 000, 1 001, ... , 9 999, 10 000, ...
nazivamo niz prirodnih brojeva.
Svi prirodni brojevi ~ine skup prirodnih brojeva koji ozna~avamo slovom N i zapisujemo sa
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}.
Skup koji ~ine nula i svi prirodni brojevi oznavamo sa N0
(~itamo: en nula) i zapisujemo sa
11 | Skup prirodnih brojeva N i skup N0
• Ovaj niz brojeva mo`emo kra}e zapisati tako {to }emo neke brojeve izostaviti i umesto wih zapisati ... (tri ta~ke):
Nije te{ko uo~iti da je broj 1 najmawi prirodan broj. Ne postoji najve}i prirodan broj. Koliko god veliki prirodni broj zamislili,
postoji wegov neposredni sledbenik, broj za jedan ve}i od wega.
0 nije prirodan broj.
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
26
Navedi po dva uzastopna broja ako su oni:
a) trocifreni ,
b) ~etvorocifreni ,
v) petocifreni ,
1.
a) Napi{i kona~an niz svih parnih prirodnih brojeva do broja 20.
b) Napi{i kona~an niz svih neparnih prirodnih brojeva do broja 20.
v) Koliko ima parnih, a koliko neparnih prirodnih brojeva do broja 20?
3.
neparnihparnih
Koriste}i barem ~etiri broja i oznaku ... (tri ta~ke), zapi{i skup svih vrednosti promenqive x za koje va`i data nejednakost.
2.
a) 99 < x < 107
x ∈ { }
b) 1 001 < x < 1 000 101
x ∈ { }
v) x > 500 782
x ∈ { }
• Ako zamisli{ bilo koji prirodan broj, tada je u kona~nom nizu prirodnih brojeva koji se zavr{ava tim brojem broj parnih jednak
broju neparnih brojeva.
Ako je zami{qeni broj paran, tvr|ewe je , a ako je
zami{qeni broj neparan, tvr|ewe je .
Razmisli da li je ta~no naredno tvr|ewe i dopuni re~enicu tako da bude ta~na.
Odgovor
(upi{i: ta~no ili neta~no)
(upi{i: ta~no ili neta~no)
4.
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
27
x
• Nacrtajmo polupravu Ox, pri ~emu smo po~etnoj ta~ki te poluprave, ta~ki O, pridru`ili nulu (0). Uzmimo proizvoqnu du`
(nazivamo je podeona du`).
• Nano{ewem podeone du`i na polupravu Ox, po~ev od ta~ke O dobijamo ta~ku A. Postupak ponavqamo koliko god puta `elimo i dobijamo ta~ke A, B, C, D, E, F, G, ... kojima redom pridru`imo brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
12 | Brojevna poluprava
Polupravu Ox nazivamo brojevna poluprava, a podeonu du`, po{to joj je pridru`ena 1 J, nazivamo jedini~na du`.
O A B C D E F G
0 1 2 3 4 5 6 7
• Ne mo`emo nacrtati celu brojevnu polupravu (jer je ona neograni~ena) i na woj prikazati sve prirodne brojeve.
• Nije obavezno da se pri predstavqawu brojeva na brojevnoj polupravoj podeonoj du`i pridru`uje jedna brojevna jedinica.
• Koliko jedinica }emo pridru`iti podeonoj du`i zavisi od toga koje brojeve `elimo da prika`emo na brojevnoj polupravoj.
Na slede}oj slici prikazana je brojevna poluprava, pri ~emu smo podeonoj du`i pridru`ili 10 J.
x0 10 20 30 100
Na brojevnoj polupravoj prikazane su udaqenosti, vazdu{nom linijom, nekih evropskih gradova od Beograda. Podeonoj du`i odgovara razdaqina od 100 km.
1.
Po{to je poluprava beskona~na, svakom prirodnom broju mo`e se pridru`iti ta~no jedna ta~ka brojevne poluprave.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
xBe~ Cirih
Budimpe{taPariz
Beograd
Prag
Skup prirodnih brojeva N i skup N01
28
a) Od gradova predstavqenih na slici najudaqeniji od Beograda
je , a najbli`i Beogradu je .
b) Zamisli da je svaka podeona du`
na brojevnoj polupravoj podeqena
na 10 mawih podeonih du`i koje
odgovaraju rastojawu od 10
kilometara i odredi pribli`no
rastojawe gradova sa slike od
Beograda. Rastojawa gradova od
Beograda upi{i u prazna poqa.BUDIMPE[TA
BE^
PARIZ
PRAG
CIRIX
(upi{i ime grada) (upi{i ime grada)
Nacrtaj brojevnu polupravu ~ija podeona du` du`ine 2 cm odgovara 1 J i odredi ta~ke koje odgovaraju brojevima 1, 4 i 5.
Upi{i brojeve koji odgovaraju ta~kama na datoj brojevnoj polupravoj.
U prazna poqa upi{i brojeve koji se pridru`uju nazna~enim ta~kama brojevne poluprave.
2.
3.
4.
x0 200 000 1000 000
100 000
b)
376 550
376 560 376 620
a)a)
25 800
25 900 26 500
Skup prirodnih brojeva N i skup N0 1
29
• Koliko prirodnih brojeva ima izme|u brojeva a i b?
• prvo, broj 643 – 1 je neposredni prethodnik broja 643 i to je najve}i broj izme|u brojeva 356 i 643,
• drugo, svi brojevi od 1 do 356 i 356 nisu izme|u brojeva 356 i 643, te tra`enih prirodnih brojeva ima:
(643 – 1) – 356 = 286.
xa b
Na brojevnoj polupravoj prikazali smo dva prirodna broja a i b.
Odgovor na prethodno pitawe dajemo na primeru a = 356, b = 643. Uo~imo:
Ako sa x ozna~imo broj prirodnih brojeva izme|u dva proizvoqna prirodna broja a i b, pri ~emu je a < b, tada je:
x = (b – 1) – a.
Odredi koliko ima prirodnih brojeva:
1) izme|u brojeva 487 i 732;
2) izme|u brojeva 219 i 836;
3) izme|u brojeva 556 i 557.
5.
Koriste}i brojevnu polupravu iz zadatka 1 odredi koji grad je udaqeniji od Beograda i za koliko:
1) Prag ili Be~;
2) Be~ ili Pariz;
3) Prag ili Pariz?
6.
Nacrtaj brojevnu polupravu ~ija podeona du` ima du`inu 3 cm i odgovara broju 100 jedinica. Na toj polupravoj prika`i dva broja izme|u kojih ima 199 prirodnih brojeva.
7.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
30
1 | Sabirawe trocifrenih brojeva
U slede}oj tabeli navodimo primer pismenog sabirawa brojeva 675 i 568. Zbir tih brojeva je ve}i od 1 000.
H S D J
+
1
65
1
76
58
1 2 4 311
U tre}em razredu sabirali smo samo one trocifrene brojeve ~iji zbir nije ve}i od 1 000. Proveri svoje znawe izra~unavaju}i tra`eni zbir
2) pismenim sabirawem
1) usmenim sabirawem
536 + 382 = + 82 = + 2 = ;
346 + 432 = + = + = ;
476 + 248 = + = + = ;
257 + 470
487 + 356
368 + 215
Sabirawe, koje nazivamo usmenim, bilo koja dva trocifrena broja vr{imo tako {to prvom sabirku dodamo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice drugog sabirka, {to skra}eno mo`emo zapisivati podvla~ewem, kao u narednom primeru.
748 + 586 = 1 248 + 86 = 1 328 + 6 = 1 334
Pri pismenom sabirawu najpre sabiramo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine. Ukoliko postoji prelaz preko dekadne jedinice, dodajemo ga pri sabirawu elemenata u narednoj koloni, gledaju}i zdesna nalevo.
675 + 568
1 243
Kra}e zapisujemo:
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
31
Pri usmenom sabirawu dva trocifrena broja prvom sabirku najpre dodamo stotine, zatim desetice
i na kraju jedinice drugog sabirka.
Pri pismenom sabirawu sabiramo najpre jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.
Usmenim sabirawem izra~unaj zbir:
Izra~unaj zbir.
Odrediti broj koji je za 352 ve}i od broja 876.
Na sli~an na~in mo`emo da izra~unamo zbir vi{e sabiraka. Izra~unaj:
a) 305 + 827 =
b) 542 + 738 =
v) 859 + 643 =
1) 186 2) 376 385 436 + 874 586 + 732
1.
2.
3.
4.
1) 386 2) 458 3) 643 4) 459 + 795 + 893 + 958 + 695
Sabiramo na slede}i na~in:
• Najpre sabiramo jedinice: 5 i 8 je 13; 3 jedinice zapisujemo, a 1 deseticu dodajemo deseticama;
• potom sabiramo desetice: 7 D i 6 D je 13 D i 1 D je 14 D; 4 D zapisujemo, a 1 S dodajemo stotinama;
• na kraju sabiramo stotine: 6 S i 5 S je 11 S i 1 S je 12 S;zapisujemo 2 stotine i 1 hiqada.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
32
2 | Oduzimawe trocifrenih brojeva od brojeva druge hiqade
Navodimo primer pismenog oduzimawa trocifrenog od ~etvoro-cifrenog broja, pri ~emu su desetice ozna~ene strelicama „pozajmqeneß iz naredne kolone s leve strane.
H S D J
1 49
37
58
4 5 7
3
10 +3 10 +2
10 +520
Pri usmenom oduzimawu trocifrenog broja, najpre od umawenika oduzimamo stotine, zatim desetice, i na kraju jedinice umawioca.
Pri pismenom oduzimawu trocifrenog broja, najpre od umawenika oduzimamo jedinice, zatim desetice, i na kraju stotine umawioca.
1 546 – 863 = 746 – 63 = 686 – 3 = 683
Proveri svoje znawe iz prethodnog razreda izra~unavaju}i tra`ene razlike:
1) usmenim oduzimawem;
746 – 432 = – 32 = – 2 =
636 – 382 = – = – =
876 – 548 = – = – =
2) pismenim oduzimawem.
934 – 356
657 – 474
368 – 215
Postupak usmenog oduzimawa skra}eno zapisujemo podvla~ewem, kao u narednom primeru.
1 435 – 978
457
Kra}e zapisujemo:
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
33
Usmeno oduzimamo sleva nadesno, a pismeno zdesna nalevo.
Usmenim oduzimawem izra~unaj tra`ene razlike:
Izra~unaj razliku.
Odredi broj koji je za 758 mawi od 1 643.
1) 1 317 – 654 =
2) 1 253 – 825 =
3) 1 124 – 376 =
1) 1 324 2) 1 172 3) 1 225 4) 1 431 – 637 – 485 – 748 – 526
Na sportskom takmi~ewu je 1 212 devoj~ica. Broj de~aka je za 796 mawi. Koliko ima:
a) de~aka; b) ukupno u~esnika?
1.
2.
3.
4.
Oduzimamo na slede}i na~in:
• Najpre oduzimamo jedinice: kako je 8 ve}e od 5, 1 deseticu „pozajmimoß; 15 minus 8 je 7;
• potom oduzimamo desetice: 7 D ne mo`emo oduzeti od 2 D i zato 1 S „pozajmimo“ i „usitnimo“ u 10 D; od 12 D oduzmemo 7 D i dobijamo 5 D;
• zatim oduzimamo stotine: 9 S ne mo`emo oduzeti od 3 S i zato 1 H „pozajmimo“ i „usitnimo“ u 10 S; od 13 S oduzmemo 9 S i dobijamo 4 S;
• nije ostala nijedna hiqada.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
34
• Na slici je ukupno 25 kru`i}a, 17 naranyastih i 8 zelenih.
• Prema prikazu na slici mo`emo zapisati jednakosti:
17 + 8 = 25
25 – 8 = 17
8 + 17 = 25
25 – 17 = 8
Sli~no je i kada je broj naranyastih kru`i}a bilo koji prirodan broj a i zelenih bilo koji prirodan broj b. Wihov zbir je c = a + b.
Napisane jednakosti i wihovi ~lanovi me|usobno su povezani {to je prikazano slede}im graficima.
3 | Veza sabirawa i oduzimawa
a b
c
c – a = b razilika
umawilac umawenik
c – b = a umawilac
razlikazumawenik
prvi sabirak drugi sabirak
a + b = c zbir
17 8
25
+ = + =
– = – =
Prema prikazu na slici zapi{i ~etiri ta~ne jednakosti ~iji su ~lanovi prirodni brojevi a, b i c.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
35
a) Ako se od zbira oduzme jedan sabirak dobija se sabirak.
Ako je a + b = c, onda je c – a = i – b = .
b) Ako se saberu razlika i umawilac, dobija se .
Ako je c – a = b, onda je + = .
v) Ako se od umawenika oduzme razlika, dobija se .
Ako je c – b = a, onda je – = .
Ta~nost date jednakosti proveri sabirawem i oduzimawem.
Jednakost je
(upi{i: ta~na ili neta~na).
Jednakost je
(upi{i: ta~na ili neta~na).
Pomo}u brojeva 567, 856, 1 423 i znakova + i – napi{i ~etiri ta~ne jednakosti.
Dati su brojevi 932 i 584. Pomo}u datih brojeva, znakova + i – i tre}eg broja napi{i ~etiri ta~ne jednakosti, ako je tre}i broj:
+ =
– =
+ =
– =
+ = , + = ,
– = , – = .
+ =
– =
+ =
– =
a) zbir datih brojeva; b) razlika datih brojeva.
1) 1 235 – 748 = 487
2) 1 111 – 222 = 999
1.
2.
3.
4.
Dopuni re~enice tako da budu ta~ne.
487 748
1 235 487
– =
+ =
– =
+ =
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
36
Prikazano je 8 zelenih i 5 naranyastih kru`i}a. Bez obzira kojim redosledom su poslagani, vidimo da ih je ukupno 13.
Neka su a i b bilo koji prirodni brojevi.
8 + 5 = 5 + 8
a + b = b + a
Zamena mesta sabiraka
Ako sabirci zamene mesta, zbir se ne}e promeniti.
4 | Zamena mesta i zdru`ivawe sabiraka
a b b a
5 5 8 8
Prikazana su 4 zelena, 3 naranyasta i 5 crvenih kru`i}a. Ako ukupnom broju zelenih i naranyastih dodamo broj crvenih kru`i}a dobijamo isti broj 12 kao da smo broju zelenih dodali ukupan broj naranyastih i crvenih kru`i}a.
(4 + 3) + 5 = 4 + (3 + 5)
Zdru`ivawe sabiraka
Neka su a, b i c bilo koji prirodni brojevi.
(a + b) + c = a + (b + c)
Ako sabirke zdru`imo na razli~ite na~ine, zbir se ne}e promeniti.
a b c a b c
4 4 3 35 5
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
37
Izra~unaj vrednost leve i desne strane jednakosti i proveri da li je jednakost ta~na.
1) 785 + 476 = 476 + 785 2) 659 + 897 = 897 + 659
1.
Izra~unaj zbir 5 489 + 395 + 657 zdru`ivawem i zamenom mesta sabiraka na razli~ite na~ine. Uporedi dobijene rezultate.
+ ( + ) = + =
+ ( + ) = + =
( + ) + = + =
( + ) + = + =
2.
Ozna~i zagradama zdru`ivawe sabiraka i na najpodesniji na~in izra~unaj dati zbir.
1) 473 + 585 + 415 =
2) 775 + 225 + 685 =
3) 365 + 897 + 635 =
3.
Odredi broj koji se dobija kada se zbiru brojeva 675 i 897 doda broj 284.
Odredi nepoznati sabirak.
1) 327 + x = 468 + 327
4.
5.
2) y + 526 = 526 + 743
x =
y =
3) 645 + 869 = z + 645
4) (x + 436) + 827 = 745 + (436 + 827)
z =
x =
5) 586 + (375 + 694) = (586 + y) + 694 y =
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
38
Na osnovu osobine zdru`ivawa sabiraka va`i naredna osobina.
Zbir dodajemo tako {to najpre dodamo jedan, a zatim drugi sabirak.
Dodavawe zbira
5 | Dodavawe i oduzimawe zbira
Oduzimawe zbira
a – (b + c) = (a – b) – c
• Zakqu~ujemo da od broja a oduzimamo zbir brojeva b i c prema slede}em pravilu:
Zbir oduzimamo tako {to najpre oduzmemo jedan,a zatim drugi sabirak tog zbira.
• Neka su a, b i c bilo koja tri prirodna broja, pri ~emu je a > b + c.
a – (b + c) b + c
(a – b) – c b c
a
a
Broju 476 dodat je zbir brojeva 748 i 594. Uradi to na dva na~ina i uporedi rezultate.
1) + ( + ) = + = ;
2) + ( + ) = ( + ) +
= + = .
1.
Na parkingu se nalazi 658 belih, 346 zelenih i 475 plavih automobila. Koliko je ukupno automobila na parkingu?
2.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
39
Koriste}i pravilo o oduzimawu zbira izra~unaj:
1) 1 250 – (873 + 250) = ;
2) 1 375 – (175 + 650) = ;
3) 1 425 – (548 + 125) = .
Milica ima 1 000 dinara. U kwi`ari je kupila kwigu, koju je platila 456 dinara i sladoled za 125 dinara. Izra~unaj koliko je Milici ostalo novca.
Milo{ je po{ao u {kolu koja je udaqena 1 650 m od wegove ku}e. Na putu su dva drveta, kao na slici, i Milo{ se u wihovom hladu odmarao. Prvi put kada je pre{ao 550 m, a drugi put kada je pre{ao jo{ 630 m. Koristi sliku i na woj ozna~i zadate du`ine.
2) U povratku ku}i Milo{ se samo jedanput odmarao ispod jednog od dva drveta. Koliko je Milo{ pre{ao u povratku pre odmarawa i koliko posle odmarawa? (Postoje dva re{ewa, u zavisnosti od izbora drveta u ~ijem hladu se, pri povratku, odmarao.)
Prvo re{ewe: du`ina puta pre odmarawa je
,
a du`ina preostalog puta do ku}e je
.
Drugo re{ewe: du`ina puta pre odmarawa je
,
a du`ina preostalog puta do ku}e je
.
1 000 – ( + ) = .
1) Kolika je du`ina puta koji je Milo{ pre{ao do {kole, posle drugog odmarawa?
3.
4.
5.
550 m 630 m
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
40
• Vi{ecifrene brojeve, uglavnom, sabiramo pismeno.
• Najpre sabiramo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine klase jedinica. Postupak nastavqamo sabirawem jedinica, desetica i stotina naredne klase, gledaju}i zdesna nalevo.
Postupak sabirawa sastoji se u slede}im ra~unawima.
• Najpre sabiramo klasu jedinica, kao kod sabirawa trocifrenih brojeva, a zatim sabiramo hiqade.
• sabiramo X: 5 H i 6 H je 11 H; 1 H zapisujemo, a 1 DH dodajemo deseticama hiqada;
• sabiramo DH: 1 DH i 8 DH je 9 DH i 4 DH je 13 DH; 3 DH zapisujemo, a 1 SH dodajemo stotinama hiqada;
• sabiramo SH: 1 SH i 2 SH su 3 SH i 9 SH je 12 SH; zapisujemo 2 SH i 1 M.
Kra}e zapisujemo:
285 246 ili 285 246 + 946 578 = 1 231 824+ 946 578 1 231 824
6 | Sabirawe vi{ecifrenih brojeva
Postupak sabirawa brojeva 285 246 i 946 578 prikazan je u tabeli.
milioni hiqade jedinice
SM DM M SH DH H S D J
+
1
29
1
84
56
1
25
1
47
68
1 2 3 1 8 2 41111
Izra~unaj zbir.
1) 2 768 2) 18 346 3) 46 582 + 576 + 7 579 + 795 769
1.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
41
Koriste}i tabelu sabrati brojeve zadate u woj, zapisuju}i preno{ewa iz prethodne kolone.
Upi{i rezultat.
Kao {to sabiramo dva vi{ecifrena broja, sli~nim postupkom mo`e se sabirati i vi{e brojeva.
• Pri sabirawu dva broja u narednu kolonu se mo`e preneti najvi{e 1, dok pri sabirawu vi{e brojeva prenos u narednu kolonu mo`e biti ve}i od 1.
a) 473 b) 4 364 v) 63 072 g) 5 763 458 2 564 15 705 236 458 438 205 + 87 976 6 804 6 473 3 124 + 23 958 347 526 2 904 582 + 409 643 + 48 376 627
Izra~unaj zbir, zapisuju}i preno{ewa u dato poqe iznad brojeva, kao u re{enom primeru.
Razmisli o prethodnom zadatku i broju jedinica koje mo`e{ preneti!Popuni prazna poqa u re~enici:
Pri sabirawu ~etiri broja mo`emo preneti najvi{e jedinice, a
pri sabirawu sedam brojeva mo`emo preneti najvi{e jedinica
u narednu kolonu (napi{i koliko).
Izra~unaj zbir.
a) 675 836 b) 2 365 487 v) 32 786 394 + 7 478 795 + 872 564 + 48 675 736
milijarde milioni hiqade Jedinice
SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J
+1 7
634
65
97
29
84
56
25
47
68
2.
3.
4.
5.
prenos: 1 2 1
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
42
7 | Oduzimawe vi{ecifrenih brojeva
Izra~unaj razliku.
623 716 ili 623 716 – 346 578 = 277 138– 346 578 277 138
milioni hiqade jedinice
SM DM M SH DH H S D J
–63
11
24
13
36
75
10
17
16
68
2 7 7 1 3 8
Postupak oduzimawa sastoji se u slede}im ra~unawima.
• Najpre oduzmemo klasu jedinica, kao kod oduzimawa trocifrenih brojeva, a zatim oduzimamo hiqade.
• oduzimamo X: 6 H ne mo`emo oduzeti od 3 X i zato 1 DX „usitnimo” u 10 H i dodamo ih hiqadama;
od 13 H oduzmemo 6 H i dobijamo 7 H;
• oduzimamo DH: 4 DH ne mo`emo oduzeti od 1 DH, i zato „usitnimo” 1 SX iz naredne kolone levo u 10 DX;
od 11 DH oduzmemo 4 DH i dobijamo 7 DH;
• oduzimamo SH: od 5 SH oduzimamo 3 SH i dobijamo 2 SH.
Kra}e zapisujemo:
Postupak oduzimawa brojeva 623 716 i 346 578 prikazan je u tabeli.
1.
• Vi{ecifrene brojeve, uglavnom, oduzimamo pismeno.
• Najpre oduzimamo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine iz klase jedinica. Postupak nastavqamo oduzimawem jedinica, desetica i stotina naredne klase, gledaju}i zdesna nalevo.
1) 2 768 2) 18 346 3) 172 312 – 576 – 9 579 – 67 428
5 6
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
43
Koriste}i tabelu oduzmi brojeve zadate u woj, zapisuju}i „pozajmqivawaß iz naredne kolone gledaju}i zdesna nalevo.
Izra~unaj razliku.
Od 12 350 kg p{enice jednog meseca je samleveno 8 500 kg bra{na. Ostalo je samleveno drugog meseca. Koliko je kilograma p{enice samleveno drugog meseca?
Milanovi roditeqi imali su 217 050 dinara. Kupili su garnituru name{taja koja ko{ta 115 785 dinara, a od preostalog novca televizor po ceni od 68 211 dinara. Koliko im je novca ostalo?
milijarde milioni hiqade jedinice
SMd DMd Md SM DM M SH DH H S D J
–3 4
634
65
17
63
24
36
75
17
68
Rezultat:
Rezultat:
Upi{i rezultat.
2.
3.
4.
5.
1) 42 354 2) 317 415 3) 5 231 425 4) 32 435 246 – 5 867 – 68 239 – 892 546 – 7 593 728
115 785
68 21168 211
c
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
44
Izvodqivost operacije sabirawa u skupu N
Izra~unaj zbir trocifrenih brojeva.
Koliko cifara ima broj jednak prvom zbiru? Koliko cifara ima broj jednak drugom zbiru?
348 765 + 575 + 987
Vrednost prvog zbira je trocifren, a drugog ~etvorocifren broj.
• U prvom slu~aju rezultat operacije sabirawa je broj koji pripada istom skupu kao i sabirci, skupu trocifrenih prirodnih brojeva.
• U drugom slu~aju rezultat sabirawa je broj koji pripada skupu ~etvorocifrenih prirodnih brojeva, dok sabirci pripadaju skupu trocifrenih prirodnih brojeva.
• Kao {to smo uo~ili, u prvom zadatku, sabirawe nije izvodqivo u skupu trocifrenih prirodnih brojeva, jer postoje trocifreni brojevi ~iji zbir nije trocifren broj.
8 | Izvodqivost operacija sabirawa i oduzimawa u skupu N i skupu N0
Ra~unska operacija izvodqiva je u nekom skupu ako za svaka dva ~lana tog skupa i rezultat operacije pripada tom skupu.
• Skup prirodnih brojeva je neograni~en, to jest ne postoji najve}i prirodan broj. Od svakog broja postoji broj za jedan ve}i od wega.
Ako je a ∈ N, onda je i (a + 1) ∈ N, ((a + 1) + 1) ∈ N, ((a + 1) + 1 + 1 + 1 + . . . + 1) ∈ N
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
45
Dati su prirodni brojevi 246 375, 486 053 i 736 234.
a) Navedi dva trocifrena i dva ~etvorocifrena parna broja i proveri da je wihov zbir paran broj.
b) Navedi dva petocifrena i dva {estocifrenih neparna broja i proveri da je wihov zbir paran broj.
Izra~unaj zbirove, po dva od datih brojeva.
2.
3.
+ + +
+ +
Napi{i dva uzastopna sledbenika datih brojeva.
a) 72 432:
1.
b) 1 254 000 012:
Zbir dva parna prirodna broja je paran prirodan
broj.
+ ++
+
+
+
Zbir bilo koja dva prirodna broja je prirodan broj.
Ra~unska operacija sabirawa izvodqiva je u skupovima N i N0.
Ako je a, b ∈ N tada a + b = a + (1+1+1+... +1) ∈ N {
b jedinica
Da li je zbir svaka dva od datih brojeva prirodan broj? .
Zbir dva neparna prirodna broja je paran prirodan
broj.
Za bilo koji broj a ∈ N0 va`i da je a + 0 = a ∈ N0.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
46
Izvodqivost operacije oduzimawa u skupu N
Izra~unaj razliku brojeva.
4) 24 385 5) 632 214 – 8 746 – 285 437
• U prethodnim primerima umawenik je od umawioca. (upi{i: ve}i ili mawi)
Da li je mogu}e izra~unati razlike 4 – 7, 23 – 78 i 345 – 672 u skupu N?
Odgovor:
Navedene razlike mogu}e izra~unati, (upi{i: jeste ili nije)
jer je umawenik od umawioca. (upi{i: ve}i ili mawi)
Dati su prirodni brojevi 324 168, 117 256 i 39 234.
• Razliku prirodnih brojeva a i b nije uvek mogu}e izra~unati, tako da rezultat bude prirodan broj. Ako su a i b prirodni brojevi va`e naredne osobine.
• Kako postoje prirodni brojevi ~ija razlika nije prirodan broj, va`i naredna osobina.
Ra~unska operacija oduzimawa nije uvek izvodqiva u skupovima N i N0.
Ako je a > b, onda je a – b prirodan broj.Ako je a = b, onda je a – b = 0.
Ako je a < b, onda a – b nije mogu}e odrediti u skupu N.
4.
– – –
1) 8 – 5 =
2) 92 – 48 =
3) 634 – 284 =
a) Zapi{i razlike ~ije je vrednosti mogu}e izra~unati i odredi wi-hove vrednosti.
b) Zapi{i razlike ~ija vrednost nije prirodan broj:
, , .
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
47
Ako tri ili vi{e sabiraka zdru`imo na razli~ite na~ine, dobija se isti zbir.
Dati su brojevi 2 476, 13 285, 738, 36 462 i 8 057.
b) Izra~unaj zbir datih brojeva.
Zbir datih brojeva iznosi
a) Zbiru prva tri broja dodaj zbir preostala dva broja. Zapi{i izraz i izra~unaj.
U tabeli je prikazano koliko tri radnika proizvedu olovaka po danima u toku jedne nedeqe (5 radnih dana). Izra~unaj zbirove po vrstama i po kolonama i popuni datu tabelu, a potom odgovori na postavqena pitawa:
1) Koliko je svaki radnik proizveo olovaka u toku nedeqe?
2) Koliko je olovaka proizvedeno po danima?
• ponedeqak • utorak • sreda
• ~etvrtak • petak
prvi drugi tre}i
( + + ) + ( + ) =
= + =
P U S ^ P svega
prvi 8 450 9 575 11 280 10 325 7 056
drugi 7 630 10 246 9 370 8 427 6 874
tre}i 9 768 9 593 11 450 8 328 7 465
ukupno
9 | Sabirawe i oduzimawe – izrazi sa dve ili vi{e operacija
1.
2.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
48
b) Od zbira prva tri broja oduzmi razliku preostala dva broja.
( + + ) – ( – ) =
= – =
Na farmi je 12 000 pili}a. Prvog dana je prodato 1 050 pili}a, drugog 2 385, tre}eg 1 548, ~etvrtog 975 i petog dana 1 125 pili}a. Koliko pili}a nije prodato?Zadatak mo`emo re{iti na dva na~ina.
Prvi na~in: Ako postupno oduzimamo svaki umawilac (broj prodatih pili}a za jedan dan), mora}emo da pi{emo mnogo brojeva i zagrada.
Drugi na~in: Izraz mo`emo kra}e zapisati tako {to }emo od 12 000 oduzeti zbir brojeva pili}a prodatih za pet dana.
12 000 – (1 050 + 2 385 + 1 548 + 975 + 1 125) =
= 12 000 – =
Dati su brojevi 375 437, 76 258, 24 756, 8 243 i 5 765. Zapi{i odgovaraju}i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
a) Od razlike prva dva broja oduzmi zbir preostala tri broja.
(375 437 – 76 258) – (24 756 + 8 243 + 5 765) =
= – =
((((12 000 – 1 050) – 2 385) – 1 548) – 975) – 1 125 =
= ((( – 2 385) – ) – ) – 1 125 =
= (( – ) – ) – 1 125 =
= ( – ) – 1 125 = – 1 125 =
(a – b) – c ili a – (b – c).
U izrazima sa dva ili vi{e oduzimawa zagradama ozna~avamo koje je oduzimawe prvo, a koje je drugo, odnosno moramo pisati
3.
4.
Ako u izrazu imamo vi{e sabirawa i oduzimawa, onda zagradama treba nazna~iti redosled tih operacija.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
49
( – ) + ( – ) + ( – ) =
= + + =
( + + ) – ( + + ) =
= – =
Tri ~lana doma}instva su zaposlena. Jedan od wih mese~no zara|uje 24 500 dinara, drugi 28 750, tre}i 45 620 dinara. Za otplatu kredita drugi mese~no daje 7 385 dinara, a tre}i 9 250 dinara.
Doma}instvu ostaje dinara.
U prazan bazen se u toku prvog ~asa ulije 8 750 litara vode, a iz wega izlije 5 435 litara; drugog ~asa se ulije 7 286 litara, a izlije 6 838; tre}eg ~asa se ulije 5 785, a izlije 4 767 litara vode. Koliko ima litara vode u bazenu na kraju tre}eg ~asa? Zadatak uradi na dva na~ina.
a) Postupno, sabiraju}i koli~ine vode koje su nakon svakog ~asa ostale u bazenu.
b) Oduzimaju}i od ukupne koli~ine ulivene vode ukupnu koli~inu izlivene vode.
5.
6.
Napi{i izraz kojim se predstavqa prihod doma}instva nakon isplate rate kredita.
Odredi vrednost predhodnog izraza.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
50
Popuni tabele i odgovori na postavqena pitawa.
Kako se mewao prvi sabirak?
Kako se mewao zbir?
a 1 2 10 20 100 200 1 000 2 000
b 100 100 100 100 100 100 100 100
a + b
Ako se sabirak pove}ava, onda se pove}ava i zbir.
a + (b + n) ili (a + n) + b.
a + (b + n) = (a + b) + n i (a + n) + b = (a + b) + n.
• Ako u zbiru bilo koja dva prirodna broja a + b, jedan od sabiraka pove}amo za n, dobi}emo:
• Na osnovu zdru`ivawa i zamene mesta sabiraka, ta~ne su jednakosti
Ako se sabirak pove}a za neki broj n, onda se i zbir pove}a za taj isti broj n.
10 | Zavisnost zbira od promene sabiraka
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Kako se mewao drugi sabirak?
Kako se mewao zbir?
a 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000
b 2 000 1 000 200 100 20 10 2 1
a + b
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Ako se sabirak smawuje, onda se smawuje i zbir.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
51
Zavisnost zbira od promene sabiraka mo`emo prikazati i grafi~ki.
Kako }e se promeniti zbir brojeva 202 303 i 55 066 ako
a) prvi sabirak pove}amo za 1 707,
b) drugi sabirak pove}amo za 1 707,
1.
Ako se sabirak smawi za neki broj n, onda se i zbir smawi za taj isti broj n.
Na sli~an na~in mo`emo zakqu~iti:
v) drugi sabirak smawimo za 1 606?
a) (a + 4 495) + b = ;
b) a + (b – 5 550) = .
Ako je a + b = 895 505, izra~unaj:2.
a + (b + n) = (a + b) + n + a b n
n a b +
a + (b – n) = (a + b) – n a
(a + b) - n
a b
b - n n + a
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
52
Ako je a + b = 203 405, kako }e se promeniti zbir ako:
a) prvi sabirak pove}amo za 6 605, a drugi smawimo za 2 306?
Primenimo pravila o promeni zbira u zavisnosti od promene sabiraka.
b) prvi sabirak pove}amo za 7 458, a drugi smawimo za 3 825?
(a + 6 605) + (b – 2 306) = a + b + 6 605 – 2 306
= (a + b) + 6 605 – 2 306
= 203 405 + –
= –
= .
(a + 7 458) + (b – 3 825 ) = + –
=
= .
U skladi{tu je na jednom mestu 12 750 kg ugqa, a na drugom 9 360 kg. Ugaq treba utovariti u kamion i u prikolicu. Nosivost prikolice je 6 t. Kolika je ukupna masa ugqa i koliko je ugqa utovareno u kamion?
Ukupna masa ugqa je: .
Kako je u prikolicu utovareno 6 000 kg ugqa, preostali ugaq utovari}emo u kamion i ta koli~ina se mo`e iskazati slede}im izrazom:
12 750 + (9 360 – 6 000) = . (koristiti osobinu smawivawa sabirka)
3.
4.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
53
Da li }e se zbir a + b promeniti, ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n?
• Zbir se zbog promene prvog sabirka pove}a za n.
(a + n) + (b – n) = a + (b – n) + n
• Zbir se zbog promene drugog sabirka smawi za n.
(a + n) + (b – n) = (a + b) + n – n
2) (a – 16 308) + (b + 16 308) =
1) 29 987 + 76 453 = (29 987 + 13) +
= =
• Kako je n – n = 0, zbir ostaje isti.
(a + n) + (b – n) = a + b
Ako jedan sabirak pove}amo za neki broj n, a drugi sabirak smawimo za isti broj n, zbir se ne}e promeniti.
Prethodnu osobinu koju nazivamo stalnost (nepromenqivost) zbira mo`emo prikazati i grafi~ki na slede}i na~in:
11 | Stalnost zbira
1.
2.
(a + n) + (b – n) = a + b a b
a b - n n +
2) 37 856 + 299 875 = (37 856 – 125) +
= =
Izra~unaj, koriste}i osobinu stalnosti zbira.
Ako je a + b = 507 860, izra~unaj vrednost izraza.
1) (a + 47 365) + (b – 47 365) =
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
54
Zavisnost razlike od promene umawenika
Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa.
Kako se mewao umawenik?
Kako se mewala razlika?
a 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000
b 547 547 547 547 547 547 547 547
a – b
12 | Zavisnost razlike od promene umawenika i umawioca
Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
Ako se umawenik pove}ava, onda se pove}ava i razlika.
Neka je a > b. Zavisnost razlike a – b od pove}awa umawenika mo`emo prikazati grafi~ki.
Ako umawenik pove}amo za neki broj n, a umawilac ostane
nepromewen, onda se i razlika pove}a za isti broj n.
(a + n) – b = (a – b) + n
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
a n +
b
b
(a - b) + n
Za koliko se promeni razlika brojeva 405 304 i 125 105 ako umawenik
pove}amo za 94 700?
1.
Kako se mewao umawenik?
Kako se mewala razlika?
a 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300
b 547 547 547 547 547 547 547 547
a – b
Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa.
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
(a + n) - b
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
55
Zavisnost razlike od promene umawioca
Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa.
Za koliko se promeni razlika brojeva 405 304 i 125 105 ako umawenik
smawimo za 105 704?
1) (a + 6 200) – b = (a – b) + = ;
2) (a – 3 705) – b = (a – b) – = .
Kako se mewao umawilac?
Kako se mewala razlika?
a 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000
b 547 647 747 847 947 1 047 1 147 1 247
a – b
2.
3. Ako je a – b = 73 850, izra~unaj:
Ako se umawenik smawuje, onda se smawuje i razlika.
Neka je a > b. Zavisnost razlike a – b od smawewa umawenika mo`emo prikazati grafi~ki.
Ako umawenik smawimo za neki broj n, a umawilac ostane
nepromewen, onda se i razlika smawi za isti broj n.
(a – n) – b = (a – b) – n(n < a – b)
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
Ako u razlici bilo koja dva prirodna broja a – b, a > b,
umawilac b pove}amo za neki broj n, va`i naredno pravilo.
Ako se umawilac pove}ava, razlika se smawuje.
a – (b + n) = (a – b) – n(n < a – b)
Ako umawilac pove}amo za neki broj n, a umawenik ostane nepromewen, onda se razlika
smawi za isti broj n.
a
b
n (a - n) - b
(a - b) - n
b
n
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
56
5.
Ako u razlici bilo koja dva prirodna broja a – b, a > b,
umawilac b smawimo za neki broj n, va`i naredno pravilo.
Ako se umawilac smawuje, razlika se pove}ava.
Ako umawilac smawimo za neki broj n, a umawenik
ostane nepromewen, onda se razlika pove}a za isti broj n.
a – (b – n) = (a – b) + n
a – (b + 170 250) = (a – b) – =
4. Ako je a – b = 450 740, izra~unaj vrednost datog izraza.
Popuni tabelu i odgovori na postavqena pitawa.
Kako se mewao umawilac?
Kako se mewala razlika?
a 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000
b 1 638 1 538 1 438 1 338 1 238 1 138 1 038 938
a – b
Upi{i: pove}avao se ili smawivao se.
Upi{i: pove}avala se ili smawivala se.
a) umawenik pove}amo za 70 660, a umawilac pove}amo za 50 590?
(a + 70 660) – ( b + 50 590) = (a – b) + 70 660 – 50 590 =
b) umawenik smawimo za 107 220, a umawilac pove}amo za 19 246?
6. Neka je a – b = 330 450. Kako }e se promeniti razlika a – b ako:
a – (b – 150 380) = (a – b)
Ako je a – b = 450 740, izra~unaj vrednost datog izraza.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
57
Ako je a – b = 805 460, izra~unaj vrednost izraza.
1) (a + 14 506) – (b + 14 506) =
2) (a – 65 308) – (b – 65 308) =
Iskoristi osobinu stalnosti razlike i izra~unaj tra`ene vrednosti.
1) 204 732 – 5 987 = ( + ) – ( 5 987 + 13)
= ;
2) 306 453 – 19 875 = – (19 875 + 125)
= .
13 | Stalnost razlike
2.
3.
Da li }e se razlika a – b, a > b mewati, ako i umawenik i umawilac pove}amo (smawimo) za neki broj n?
• Na osnovu osobina o promeni razlike u zavisnosti od promene umawenika ili umawioca, va`e naredna pravila.
Ako i umawilac i umawenik pove}amo za neki broj n,
razlika se ne}e promeniti.
Ako i umawilac i umawenik smawimo za neki broj n,
razlika se ne}e promeniti.
(a + n) – (b + n) = a – b (a – n) – (b – n) = a – b
Dati su brojeva a = 15 382 i b = 9 082. Odredi tra`ene vrednosti i dopuni re~enice tako da budu ta~ne.
a) a – b =
b) (a + 1 024) – (b + 1 024) =
Umawenik i umawilac pove}ali smo za broj i razlika se promenila.
v) (a – 2 000) – (b – 2 000) =
Umawenik i umawilac smawili smo za broj i razlika se promenila.
1.
Upi{i: jeste ili nije.
Upi{i: jeste ili nije.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
58
Ako je nepoznat sabirak x u jedna~inama x + b = c ili a + x = c,
onda je vrednost nepoznatog sabirkax = c – b ili x = c – a.
Nepoznati sabirak dobijamo kada od zbira oduzmemo poznat sabirak.
Ako je nepoznat umawenik x u jedna~ini
x – a = b onda je x = a + b.
Nepoznati umawenik dobijamo kada razliku saberemo sa umawiocem.
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati sabirak.
1) x + 765 = 2 850 2) 1 345 + x = 6 020
x = – x = –
x = x =
1) x – 1 450 = 2 850 2) x – 2 345 = 5 720
x = + x = +
x = x =
1.
2.
Jedna~ine sa nepoznatim sabirkom
Jedna~ine sa nepoznatim umawenikom
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati umawenik.
14 | Jedna~ine sa sabirawem i oduzimawem
Jednakosti u kojima je barem jedna veli~ina nepoznatanazivaju se jedna~ine.
Ako je a + b = c, onda je a = c – b i b = c – a.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
59
Ako je nepoznat umawilac x u jedna~ini
a – x = b onda je x = a – b.
Nepoznati umawilac dobijamo kada od umawenika oduzmemo razliku.
1) 5 450 – x = 2 850
x = –
x =
1) 7 467 + x = 12 385
x =
x =
3) 25 314 – x = 17 484
x =
x =
2) x – 8 486 = 6 759
x =
x =
(1) + x = (2) (3)
3.
4.
5.
Jedna~ine sa nepoznatim umawiocem
Re{i jedna~ine.
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati umawilac.
Napi{i odgovaraju}e jedna~ine i re{i ih:
1) Ako broju 35 678 doda{ broj x koji sam zamislio, dobi}e{ najmawi {estocifreni broj. Koji sam broj zamislio?
2) Vagonom voza dopremqena je odre|ena koli~ina robe, ozna~ena sa x. U prvi kamion utovareno je 12 587 kg robe, a za drugi kamion je ostalo 16 855 kg. Koliko je robe dopremqeno vagonom?
3) Za izgradwu puta izme|u dva mesta obezbe|eno je 2 500 000 dinara. Kada je ispla}eno x dinara za prvu deonicu puta, za drugu je ostalo 958 650 dinara. Koliko je ispla}eno za prvu deonicu puta?
2) 8 345 – x = 5 725
x = –
x =
Ako nepoznat broj pove}a{ za 99 999, dobi}e{ broj jednak zbiru najmaweg i najve}eg sedmocifrenog broja. Napi{i jedna~inu i odredi nepoznati broj.
Jedna~ina:
Re{ewe:
6.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva2
60
Re{i nejedna~ine i zapi{i re{ewa u skupu N.
a) x + 999 999 > 1 000 000 b) x + 1 221 < 2 754
x ∈ { } x ∈ { }.
1.
15 | Nejedna~ine sa sabirawem i oduzimawem
0
N1 2 3 4 bb - 1
a) x < b: Skup svih prirodnih brojeva x koji su mawi od broja b.
Podseti se osnovnih nejedna~ina iz prethodnog razreda i na~ina prikazivawa skupa re{ewa na brojevnoj polupravoj. Re~ima zapi{i zna~ewe tih nejedna~ina.
0N
1 ba a + 1 b - 1
v) a < x < b:
b) x > a:
Ako je nepoznat sabirak x u nejedna~ini
x + b < c onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je
x < c – b.
Ako je nepoznat sabirak x u nejedna~ini
x + b > c onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je
x > c – b.
Nejedna~ine sa nepoznatim sabirkom
x ∈ {1, 2, ..., b - 1}.
x ∈ {a + 1, a + 2, ... }.
x ∈ {a + 1, ..., b - 1}.
0N
1 a a + 1
Nejednakosti u kojima je barem jedna veli~ina nepoznatanazivaju se nejedna~ine.
Sve vrednosti nepoznate veli~ine za koje je ta nejednakost ta~na ~ine skup re{ewa date nejedna~ine.
Sabirawe i oduzimawe prirodnih brojeva 2
61
Re{i nejedna~ine, zapi{i re{ewa u skupu N, nacrtaj brojevnu polupravu i grafi~ki predstavi skup re{ewa na woj:
1) 5 705 – x < 75
x ∈ { };
2) 1 105 – x > 105
x ∈ { }.
Brojevi nekog skupa imaju slede}u osobinu: Ako se od svakog od wih oduzme broj 1 100 dobija se skup brojeva koji su ve}i od 5 000. Odredi elemente polaznog skupa.
Nejedna~ina:
Re{ewe:
3.
4.
1) x – 5 701 < 5 705
x ∈ { };
2) x – 12 120 < 1 105
x ∈ { }.
2. Re{i nejedna~ine i zapi{i re{ewa u skupu N.
Ako je nepoznat umawilac x u nejedna~ini
a – x < b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je
x > a – b.
Ako je nepoznat umawilac x u nejedna~ini
a – x > b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je
x < a – b.
Nejedna~ine sa nepoznatim umawiocem
Ako je nepoznat umawenik x u nejedna~ini
x – a < b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je
x < a + b.
Ako je nepoznat umawenik x u nejedna~ini
x – a > b onda skup re{ewa nejedna~ine ~ine svi brojevi x takvi da je
x > a + b.
Nejedna~ine sa nepoznatim umawenikom
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
62
1 | Mno`ewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja jednocifrenim brojem
U tre}em razredu mno`ili smo trocifrene brojeve jednocifrenim, u slu~ajevima kada wihov proizvod nije ve}i od 1 000.
Podseti se i izra~unaj proizvod.
1) usmeno
a) 3 · 286 = 3 · 200 + 3 · 80 + 3 · 6
= + + =
b) 2 · 457 =
=
v) 6 · 128 = + 6 · 28
= =
1.
2) pismeno
b) 3 1 7 · 3
v) 1 1 6 · 8
a) 3 9 6 · 2
2. Izra~unaj usmenim mno`ewem, prema datim primerima.
a) 3 · 700 = 3 · 7 S = 21 S = 2 100
8 · 600 = . . 00 5 · 900 = . . 00 7 · 600 =
4 · 800 = 6 · 600 = 9 · 700 =
b) 5 · 463 = 5 · (400 + 60 + 3) = + + =
7 · 574 =
6 · 857 = + 6 · 57 = =
9 · 476 =
Na sli~an na~in mo`emo mno`iti bilo koji trocifren broj jednocifrenim brojem. Usmeno }emo mno`iti samo neke jednostavnije primere, u kojima nema prelaza preko svake dekadne jedinice.
Usmenim mno`ewem najpre mno`imo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
63
Na~in pismenog mno`ewa posmatrajmo na primeru mno`ewa brojeva 863 i 7.
S D J
8 6 3 · 7 = 6 0417 · 3 J = 21 J; pi{emo 1 J, 2 D pamtimo;
7 · 6 D = 42 D i sa 2 D koje smo zapamtili dobijamo 44 D, pi{emo 4 D i 4 S pamtimo;
7 · 8 S = 56 S i sa 4 S koje smo zapamtili je 60 S.
Kra}e zapisujemo
863 · 7 6 041
3. Broj 468 pove}aj 8 puta.
U kompoziciji jednog voza je 576 sedi{ta.Koliko putnika mogu da prevezu ~etiri takve kompozicije?
Izra~unaj proizvod.4.
5.
485 · 6 537 · 8 735 · 5 648 · 9
Pismenim mno`ewem najpre mno`imo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.
1 215 · 7 2 037 · 3 7 735 · 5 3 648 · 9
Izra~unaj proizvode.6.
Opi{i re~ima kako si mno`io i koliko si pamtio i prenosio dekadnih jedinica iz jedne u drugu kolonu, za prvi primer u ovom zadatku.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
64
2 | Deqewe trocifrenog i ~etvorocifrenog broja
jednocifrenim brojem
Izra~unaj koli~nik
1) usmeno;
a) 756 : 4 = (400 + 320 + 36) : 4
= + + =
b) 852 : 3 = (600 + 240 + ) : 3
=
v) 655 : 5 =
=
1.
2) pismeno.
b) 6 3 2 : 4 =
v) 8 5 4 : 7 =
a) 5 3 8 : 2 =
Usmeno }emo deliti samo neke jednostavnije primere, u kojima nema prelaza preko svake dekadne jedinice.
Podeli vi{estruke stotine.
1) 1 200 : 3 = 12 S : 3 = 4 S = 400 2) 5 400 : 6 =
3) 3 500 : 5 = 4) 5 600 : 7 =
2.
3. Usmenim deqewem, kao {to je zapo~eto, odredi tra`ene koli~nike.
1) 1 280 : 4 = (1 200 + 80) : 4 = + =
2) 2 800 : 5 = (2 500 + 300) : 5 = + =
3) 5 526 : 6 = (5 400 + + ) : 6 = + + =
4) 7 648 : 8 = (7 200 + + ) : 8 =
I pri usmenom i pri pismenom deqewu najpre delimo stotine, zatim desetice i na kraju jedinice.
4. Broj 736 umawi 4 puta.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
65
5. Koji je broj 9 puta mawi od 6 642?
• Pismeno izra~unavawe koli~nika prikaza}emo na deqewu broja 5 808 sa 6.
Crveno ozna~enim ciframa zapisivali smo rezultat.
Kra}e zapisujemo:
5 808 : 6 = 968 – 5 4 40
– 36 48
– 48 0
H S D J S D J
5 8 0 8 : 6 = 9 6 8– 5 4
4 0– 3 6
4 8– 4 8
0
Pri ovom deqewu imali smo naredne korake.
• 5 nije deqivo sa 6, te odmah delimo stotine;
• 58 S podeqeno sa 6 je 9 S, 54 S (6 · 9 S) oduzimamo od 58 S i dobijamo 4 S kao razliku;
• prepisujemo 0, 40 D podeqeno sa 6 je 6 D, oduzimamo 36 D (6 · 6 D) od 40 D i dobijamo 4 D;
• prepisujemo 8, 48 J podeqeno sa 6 je 8 J i ostatak je 0.
Izra~unaj koli~nik.
4 735 : 5 = 6 874 : 7 =
3 384 : 4 = 5 968 : 8 =
6.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
66
• Na slici je prikazano 15 kru`i}a raspore|enih u 3 vrste po 5 kru`i}a,odnosno u 5 kolona po 3 kru`i}a.
Na osnovu slike uo~avamo da su naredne ~etiri jednakosti ta~ne.
3 · 5 = 15 5 · 3 = 15 15 : 3 = 5 15 : 5 = 3
Ako je broj elemenata (kru`i}a) u jednoj vrsti bilo koji prirodan broj b, pri ~emu je a broj vrsta,
Ako je
onda je
tada je
3 | Veza mno`ewa i deqewa
3 · 5 = 15
15 : 3 = 5
5 · 3 = 15 15 : 5 = 3
Napisane jednakosti i wihovi ~lanovi su me|usobno povezani.
a · b = c
prvi ~inilac
drugi ~inilac
proizvod
c : a = b koli~nik
delilac
deqenik
c : b = a delilac
koli~nik
deqenik
a · b = c
b
a
a · b = c c : a = b c : b = a
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
67
Pomo}u brojeva 7, 485 i 3 395 i znaka · ili : napi{i ~etiri razli~ite, ta~ne jednakosti.
· = ; · = ;
: = ; : = .
Ta~nost izra~unavawa koli~nika proveri mno`ewem, a zatim zaokru`i jedan od ponu|enih odgovora, datih u zagradi.
1) 474 : 6 = 79, · = ( ta~no, neta~no )
2) 526 : 8 = 66, · = ( ta~no, neta~no )
Zami{qeni broj Petar je pomno`io sa 5 i dobio je proizvod 3 919. Pogre{io je i dobio je broj koji je za 4 ve}i od ta~nog proizvoda. Koji je broj Petar zamislio?
Odgovor:
Prvo re{ewe Drugo re{ewe
4 · 672 = ; 672 : 4 = ;
· = ; : = ;
: = ; · = ;
: = . · = .
1.
2.
3.
4.
5.
Pomo}u brojeva 4, 672 i tre}eg broja i znaka · ili : napi{i ~etiri ta~ne jednakosti.
Na osnovu prethodnog grafi~kog prikaza dopuni re~enice i zapi{i odgovaraju}e ~lanove u jednakostima.
a) Ako proizvod podelimo jednim ~iniocem, dobi}emo .
Ako je a · b = c, onda je c : a = i : b = .
b) Kada delilac i koli~nik pomno`imo, dobi}emo .
Ako je c : a = b, onda je · = .
v) Ako deqenik podelimo koli~nikom, dobi}emo .
Ako je c : b = a, onda je : = .
(u plavo uokvirena poqa upi{i brojeve koji predstavqaju tre}i broj)
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
68
Za brojeve ~iji je proizvod mawi od 1 000 osobinu zamene mesta ~inilaca upoznao si u prethodnom razredu. Podseti se i dopi{i re~i koje nedostaju.
Neka su ~inioci a i b bilo koji prirodni brojevi. Neka je po a kru`i}a raspore|eno u b vrsta, odnosno po b kru`i}a u a kolona.
Ako ~inioci uzajamno zamene mesta proizvod se ne}e promeniti.
Na osnovu slike zakqu~ujemo da va`i naredna osobina.
a · b = b · a.
Ako ~inioci uzajamno zamene mesta proizvod se .
4 | Zamena mesta i zdru`ivawe ~inilaca
Zamena mesta ~inilaca
1.
b · a
a · b
1 2 3 a
2
b
Odredi vrednost promenqive.
a =
b) 7 · 892 = a · 7
b =
a) 258 · b = 4 · 258 v) 12 · x = m · 12
x =
Dopuni slede}e jednakosti, tako da budu ta~ne.
1) 1 258 · 5 = 5 · 2) 9 · 3 892 = ·
2.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
69x = а =
Zdru`ivawe ~inilaca
Zdru`ivawe ~inilaca za proizvode do 1 000 upoznali smo ranije. Podseti se i dopi{i re~i koje nedostaju.
Isto va`i i kada su a, b i c bilo koji prirodni brojevi.
1) (36 · 6) · 8 = 36 · (a · 8) 2) 274 · (6 · x) = (274 · 6) · m
Ako ~inioce zdru`imo na razli~ite na~ine, proizvod se .
Ako ~inioce proizvoqno zdru`imo, proizvod se ne}e promeniti.
(a · b) · c = a · (b · c)
4.
(7 · 48) · 5 = · = ;1) 7 · 48 · 5
7 · (48 · 5) = · = ;
(4 · 76) · 8 = · = ;
2) 4 · 76 · 8
4 · (76 · 8) = · = ;
(3 · 246) · 9 = · = ;
3) 3 · 246 · 9
3 · (246 · 9) = · = .
3. Izra~unaj proizvod na dva na~ina, kao {to je zapo~eto.
Odredi vrednost promenqivih a i x.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
70
Izra~unaj na dva na~ina, prema zadatom primeru.
175 · 6 = 1) (79 + 96) · 6 =
79 · 6 + · = + =
· 8 = 2) (479 + 296) · 8 =
· 8 + · = + =
5 | Mno`ewe zbira i razlike
Mno`ewe zbiraOsobinu mno`ewa zbira za proizvode do 1000 zna{ iz prethodnog razreda.
1.
• Neka su a, b i c bilo koja tri prirodna broja. Neka je po a i b kru`i}a raspore|eno u c vrsta, kao na slici.
Zbir mo`emo mno`iti brojem tako {to tim brojem pomno`imo svaki sabirak i dobijene proizvode saberemo.
(a + b) · c = a · c + b · c
(a + b) · c
.......
.......
.......
.......
3 b21
3 b21
3 b21
3 b21
.......
.......
.......
.......
3 a21
3 a21
3 a21
3 a21
1
2
3
c
....
1
2
3
c
....
a · c + b · c
Jedna jabuka ko{ta 4 dinara. Koliko ko{taju jabuke koje se nalaze u tri korpe ako je u prvoj 76 jabuka, u drugoj 48, a u tre}oj 65 jabuka? Izra~unaj rezultat na dva na~ina, sa i bez kori{}ewa pravila o mno`ewu zbira.
2.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
71
Mno`ewe razlike
Izra~unaj na dva na~ina, prema zadatom primeru.
48 · 7 = 1) (93 – 45) · 7 =
93 · 7 – · = – =
· 5 = 2) (734 – 286) · 5 =
· 5 – · = – =
3.
• Razliku mo`emo prikazati i grafi~ki.
a · c
.......
.......
.......
.......
3 b21
3 b21
3 b21
3 b21
.......
.......
.......
.......
3 a-b21
321
321
321
1
2
3
c
....
1
2
3
c
....
(a – b) · c b · c
a-b
a-b
a-b
Razliku mo`emo mno`iti brojem tako {to tim brojem pomno`imo umawenik i umawilac, a zatim dobijene proizvode oduzmemo.
(a – b) · c = a · c – b · c za a > b
Mno`ewe zbira i razlike mo`emo koristiti kao olak{icu pri izra~unavawu proizvoda.
1) 497 · 8 = (500 – 3) · 8 =
2) 992 · 6 = (1 000 – 8) · 6 = 3) 705 · 7 = (700 + 5) · 7 =
U toku nedeqe (pet {kolskih dana) svakog dana {kolski autobus preveze 145 u~enika, od kojih je 78 devoj~ica. Koliko de~aka preveze autobus u toku tih pet dana? Re{i zadatak na dva na~ina.
4.
5.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
72
U kuhiwi je za nedequ dana potro{eno 679 kg crvenog i 595 kg belog krompira. Svakog dana potro{ena je ista koli~ina i jednog i drugog. Koliko je dnevno tro{eno crvenog krompira, a koliko belog? Primewuju}i pravilo o deqewu zbira, odgovori koliko je ukupno krompira potro{eno?
Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto i uveri se da }e dobijene vrednosti biti jednake.
150 : 6 =
a) (54 + 96) : 6 = 54 : 6 + 96 : 6 = + =
6 | Deqewe zbira i razlike
Deqewe zbira
: 8 =
b) (472 + 304) : 8 = : 8 + : = + =
1.
3.
• Neka su a, b i c prirodni brojevi, pri ~emu je svaki od brojeva a i b deqiv sa c.
(a + b) : c = a : c + b : c
Zbir mo`emo deliti brojem tako {to tim brojem podelimo svaki sabirak, a potom dobijene koli~nike saberemo.
Kada zbir podelimo nekim brojem dobijamo isti
rezultat kao kada sabirke podelimo tim brojem i
dobijene koli~nike saberemo.
Deqewe zbira mo`emo koristiti kao olak{icu pri izra~unavawima koli~nika.
a) 480 : 8 = (400 + 80) : 8 = b) 942 : 3 = (900 + 30 + 12) : 3 = v) 372 : 6 =
2.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
73
Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto i uveri se da }e dobijene vrednosti biti jednake.
75 : 5 =
a) (120 – 45) : 5 = 120 : 5 – 45 : 5 = – =
: 7 =
b) (805 – 294) : 7 = : 7 – : = – =
Deqewe razlike koristimo kao olak{icu pri izra~unavawima koli~nika.
a) 597 : 3 = (600 – 3) : 3 = b) 693 : 7 = (700 – 7) : 7 = v) 888 : 3 =
g) 776 : 8 =
Za 3 492 dinara kupqene su olovke i gumice za brisawe, po ceni od 12 dinara po komadu. Gumice su pla}ene ukupno 1 584 dinara. Koliko je kupqeno olovaka?
Deqewe razlike
4.
5.
6.
• Neka su a, b i c, (a > b) tri prirodna broja, pri ~emu se svaki od brojeva a i b mo`e podeliti sa c.
(a – b) : c = a : c – b : c za a > b
Razliku mo`emo deliti brojem tako {to tim brojem podelimo umawenik i umawilac, a potom dobijene koli~nike oduzmemo.
Kada razliku podelimo nekim brojem dobijamo isti
rezultat kao kada umawenik i umawilac podelimo tim brojem i dobijene koli~nike oduzmemo.
awima koli~nika.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
74
7 | Mno`ewe i deqewe dekadnom jedinicom
• Posmatrajmo mno`ewe broja 36 nekim dekadnim jedinicama.
36 · 10 = 36 · 1 D = 36 D = 360
36 · 100 = 36 · 10 · 10 = 360 · 10 = 3 600
• Broj smo pomno`ili sa 10 tako {to smo mu dopisali jednu nulu.
• Broj smo pomno`ili sa 100 tako {to smo mu dopisali dve nule.
Prirodan broj mno`imo dekadnom jedinicom tako {to mu dopi{emo onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.
• Na osnovu veze mno`ewa i deqewa mo`emo re}i:
Ako je 36 · 10 = 360, onda je 360 : 10 = 36.
Ako je 36 · 1 000 = 36 000, onda je 36 000 : 1 000 = 36.
• Broj smo podelili sa 10 tako {to smo mu izbrisali jednu nulu.
• Broj smo podelili sa 1 000, tako {to smo mu izbrisali tri nule.
Prirodan broj delimo dekadnom jedinicom tako {to zdesna izostavimo onoliko nula koliko ima ta dekadna jedinica.
Odredi proizvod i dopuni re~enicu tako da bude ta~na.
a) 36 · 1 000 = 36 · · · = · · =
Broj smo pomno`ili sa 1 000 tako {to smo mu dopisali .
b) 36 · 1 000 000 = ;
Broj smo pomno`ili sa milion tako {to smo mu dopisali .
1.
Prirodan broj je deqiv dekadnom jedinicom ako se wegov zapis zavr{ava sa onoliko nula koliko nula ima ta dekadna jedinica.
2. Izra~unaj koli~nik.
1) 240 300 : 10 = 2) 83 000 000 : 100 000 =
3) 5 040 000 : 104 = 4) 270 000 000 : 106 =
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
75
Izra~unaj vrednost izraza.
1) 730 · 100 : 10 = 2) (5 000 : 100) · 10 = 3) (64 000 000 : 104) · 100 =
4) 64 000 000 : (104 · 100) =
3.
Izra~unaj proizvod.
1) 138 · 1 000 =
2) 2 058 · 100 000 =
3) 465 · 104 =
4) 67 · 106 =
4.
5. Prirodne brojeve 236, 350 000, 52 000, 1 640 000, 2 560, 17 300 razvrstaj u skupove, zapisuju}i ih od najmaweg ka najve}em.
a) Brojevi deqivi sa 10 : { }
b) Brojevi deqivi sa 100 : { }
v) Brojevi deqivi sa 1 000 : { }
g) Brojevi deqivi sa 10 000 : { }
Kojim dekadnim jedinicama je deqiv zbir brojeva 58 460 i 41 540? Da li se na zbir prethodnih brojeva mo`e primeniti pravilo o deqewu zbira?
Dati zbir deqiv je slede}im dekadnim jedinicama:
Svaki od sabiraka pojedina~no deqiv svim gore nave-
denim dekadnim jedinicama, dok zbir deqiv. Dakle,
pravilo o deqewu zbira uvek primenqivo.
Upi{i: nije ili jeste.
6.
Upi{i: nije ili jeste.
Upi{i: nije ili jeste.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
76
K L A S E
Hiqade Jedinice
SH DH H S D J 5 4 0 6 7 · 6 = 324 402
• Vi{ecifreni broj mno`i}emo jednocifrenim sli~no kao {to smo mno`ili trocifreni. Kada pomno`imo jedinice, desetice i stotine nastavimo da mno`imo cifre naredne klase (zdesna nalevo).
U mno`ewu prethodnih brojeva najpre smo pomno`ili klasu jedinica brojem 6, a zatim nastavqamo mno`ewem hiqada.
• 6 · 4 H = 24 H; 4 H pi{emo, 2 DH pamtimo.• 6 · 5 DH = 30 DH i dodajemo zapam}ene 2 DH, pi{emo 32 DH.
• Na primeru mno`ewa brojeva 54 067 i 6 pokaza}emo postupak mno`ewa.
1) 58 435 · 7 2) 438 503 · 1 3) 375 087 · 8 4) 0 · 74 305
Mno`ewe brojeva 4 854 237 i 8 zapi{i u tabelu i izra~unaj proizvod. (strelicama nazna~i mno`ewa)
2 4 4
54 067 · 6 324 402
Milioni Hiqade Jedinice
SM DM M SH DH H S D J · 8 =
8 | Mno`ewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim
• Iznad rezultata, zapisivali smo one cifre koje smo prenosili u narednu kolonu, gledaju}i zdesna nalevo.
Izra~unaj proizvod.
Kra}ezapisujemo
1.
2.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
77
Odredi broj koji je od proizvoda brojeva 86 457 i 3:
a) ve}i 4 puta;
b) ve}i 6 puta.
a) a
b)
Odredi broj koji je ~etiri puta ve}i od broja 3 057 608.
(Zadatak re{i na dva na~ina - primenom pravila o mno`ewu zbira i bez primene tog pravila.)
a) 1 · 2 074 · 5 = b) 0 · 5 648 · 1 = v) 8 · 53 706 · 0 =
Svaki kombajn dnevno po`we 164 385 kg p{enice. Koliko po`we 8 kombajna za jedan dan?
Na farmi su koko{ke jednog meseca snele 36 850 jaja, a drugog meseca 41 735. Kolika je ukupna vrednost jaja, ako je svako jaje prodato za 5 dinara?
;
.
Skupqaju}i zrna p{enice, pti~ica je skupila pet gomila po 1 224 zrna i dve gomile po 2 743 zrna. Da li je sakupila dovoqno p{enice za 180 dana ako joj je dnevno potrebno 70 zrna?
zrna.(upi{i: nedostaje ili ima vi{ka i koliko)
Izra~unaj vrednost izraza.
• Ako nije, odgovori koliko joj nedostaje, a ako jeste, odgovori koliko zrna ima vi{ka.
Sakupila je zrna.
3.
4.
5.
6.
7.
8.c d
,a.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
78
Kra}ezapisujemo:
Vi{ecifreni broj delimo jednocifrenim kao {to smo delili trocifreni ili ~etvorocifreni. Najpre delimo dekadnu jedinicu najvi{eg reda.
Odredi broj koji je ~etiri puta mawi od broja 3 702 548.
62 322 : 6 = 10 387 – 6 2 3 – 1 8 52 – 48 42 – 42 0
K L A S E
hiqade jediniceSH DH H S D J
6 2 3 2 2– 6
2 3– 1 8
5 2– 4 8
4 2– 4 2
0
U deqewu prethodnih brojeva imamo slede}e korake:
• 6 DH podeqeno sa 6 je 1 DH; oduzmemo 6 DH od 6 DH;
• „spu{tamoß 2 H, 2 H podeqeno sa 6 je 0 H;
• „spu{tamoß i 3 S, 23 S podeqeno sa 6 je 3 S, 18 S (6 · 3 S) oduzimamo od 23 S i dobijamo 5 S kao razliku;
• „spu{tamoß 2 D, delimo 52 D sa 6 i dobijamo 8 D, 48 D (6 · 8 D) oduzimamo od 52 D i dobijamo 4 D;
• „spu{tamoß 2 J, 42 J podeqeno sa 6 je 7 J i ostatak je 0.
9 | Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim
: 6 = 10 387
Rezultat:
1.
˜Spustitiß cifru zna~i prepisati je iz polaznog broja koji delimo.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
79
Na gomili se nalazi 11 664 zrna kukuruza. Znaju}i da fazan jede 4 puta dnevno po 9 zrna kukuruza, za koliko dana ima hrane?
1) 58 435 : 5 = 2) 438 354 : 9 =
3) 207 404 : 4 = 4) 4 725 584 : 8 =
Izra~unaj vrednost izraza.
1) (2 075 : 1) : 5 ;
2) (5 648 : 8) : 1 ;
3) (0 : 6) : 7 .
Odredi broj koji je od koli~nika brojeva 133 884 i 3:
a) mawi 4 puta; b) mawi 6 puta.
Rezultat:
Rezultat:
Rezultat:
Izra~unaj koli~nik.2.
3.
4.
5.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
80
10 | Mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom
• Podseti se pojma ˜vi{estruka dekadna jedinicaß i predstavi naredne vi{estruke dekadne jedinice kao proizvod jednocifrenog broja i dekadne jedinice.
20 = 2 · 10 700 = 5 000 =
80 000 = 300 000 = 6 000 000 =
• Mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom pokaza}emo na primeru mno`ewa broja 4 358 i vi{estruke dekadne jedinice 700.
Broj mno`imo vi{estrukom dekadnom jedinicom tako {to ga pomno`imo jednocifrenim brojem koji odre|uje vi{estrukost te dekadne jedinice i dopi{emo onoliko
nula koliko ih ta vi{estruka dekadna jedinica ima.
4 358 · 700 = 4 358 · (7 · 100) = (4 358 · 7) · 100= · 100=
700 = 7 · 100zdru`ivawe ~inilaca
mno`ewe jednocifrenim brojem
mno`ewe dekadnom jedinicom 100
1. Izra~unaj proizvod, predstavqaju}i vi{estruku dekadnu jedinicu kao proizvod jednocifrenog broja i dekadne jedinice, kao {to je nazna~eno.
1) 357 · 400 = . . . . 00 2) 7 854 · 6 000 =
3) 857 · 50 000 = 4) 6 728 · 700 000 =
Izra~unaj vrednost izraza.
1) 600 · 87 : 10
2) 8 000 · 4 238 : 100
2.
U vre}e je pakovano po 48 kg krompira. Koliko krompira ima u 500 vre}a?
Odgovor:
3.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
81
4 726 · 38 = 4 726 · (30 + 8)
= 4 726 · 30 + 4 726 · 8
= 141 780 + 37 808
= 179 588
• Na~in zapisivawa mno`ewa brojeva, kao u uokvirenom delu, nazivamo potpisivawem. Jedan ispod drugog zapisujemo rezultate dobijene mno`ewem sa jedinicama i sa deseticama, a zatim ih sabiramo.
Cena jednog para patika je 2 750 dinara. Kolika je ukupna vrednost 28 takvih pari patika?
Izra~unaj proizvod.
Kra}e zapisujemo:
4 726 · 38 37 808+ 141 780 179 588
11 | Mno`ewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim
• Odredimo proizvod ~etvorocifrenog broja 4 726 dvocifrenim 38.
· =
1) 6 754 · 54 2) 38 506 · 75 3) 56 857 · 68 4) 472 936 · 43
+
+
+
+
+
1.
2.
Primewuju}i osobinu mno`ewa zbira, imamo da je:
• Pri potpisivawu, cifru 0 koja se nalazi na kraju sabirka izostavqamo u zapisu i vodimo ra~una kako potpisujemo brojeve koje sabiramo.
Pazi kako potpisuje{. Jedinice ispod jedinica, desetice ispod desetica...
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
82
Na jednom fakultetu zaposlena su 83 profesora sa visokim obrazovawem i 43 osobe sa sredwo{kolskim obrazovawem, u administraciji. Mese~na plata profesora je 64 500 dinara, a radnika u administraciji 28 750. Koliko je potrebno novca za
1) ( + ) ·
= · =
2) ( + ) ·
= · + ·
= + =
Jedan bicikl ko{ta 8 400 dinara. Za potrebe sekcije kupqeno je 14 novih bicikala. Koliko je ukupno pla}eno?
Name{taj za jednu sobu ko{ta 284 500 dinara. U hotelu je opremqeno 26 soba na isti na~in. Koliko je novca potro{eno?
Zbir brojeva 846 i 674 pomno`i brojem 46. Izra~unaj na dva na~ina.
+
a) jednu mese~nu platu svih radnika zajedno?
b) polugodi{wu isplatu zarada ({est plata) svim radnicima?
3.
4.
5.
6.
+
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
83
• Vi{ecifrene brojeve delimo dvocifrenim, naj~e{}e pismenim na~inom deqewa, na sli~an na~in kao {to smo delili trocifrene i ~etvorocifrene brojeve jednocifrenim brojevima.
K L A S E
Milioni Hiqade Jedinice
SM DM M SH DH H S D J
1 2 8 9 7 0 2 : 46 = 28 037
– 9 2
3 6 9
– 3 6 8
1 7 0
– 1 3 8
3 2 2
– 3 2 2
0
U deqewu prethodnih brojeva imamo slede}e korake:
• Po{to 1 M, kao i 12 SH ne mo`e da se podeli sa 46, odmah delimo 128 DH sa 46• 128 DH delimo sa 46 i dobijamo 2 DH, 92 DH (46 · 2 DH) oduzimamo od 128 DX i dobijamo 36 DH kao razliku;
• spu{tamo 9 JH, 369 JH podeqeno sa 46 je 8 JH, 368 JH (46 · 8 JH) oduzimamo od 369 JH i dobijamo 1 JH kao razliku;
• spu{tamo 7 S, po{to 17 S ne mo`e da se podeli sa 46 pi{emo 0 S i spu{tamo jo{ i 0 D, 170 D podeqeno sa 46 je 3 D, 138 D (46 · 3 D) oduzimamo od 170 D i dobijamo 32 D;
• spu{tamo 2 J, 322 J podeqeno sa 46 je 7 J, ostatak je 0.
12 | Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim
Kra}e zapisujemo:
1 289702 : 46 = 28 037– 92 369 – 368 170 – 138 322 – 322 0
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
84
Za isplatu mese~ne zarade 35radnika potrebno je 1 006 250 dinara. Kolika je mese~na zarada jednog radnika?
1) 23 142 : 57 = 2) 167 310 : 65 =
3) 4 258 888 : 76 = 4) 22 156 912 : 92 =
Izra~unaj koli~nike.
Odredi broj koji je 84 puta mawi od broja 311 472.
Izra~unaj vrednost izraza.
(304 416 : 48) : 7 =
Odredi broj koji je od koli~nika brojeva 11 664 i 9 mawi:
a) 36 puta: ;
b) 54 puta: .
Rezultat:
Rezultat:
1.
2.
3.
4.
5.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
85
Izra~unaj, primewuj}i mno`ewe vi{estrukom dekadnom jedinicom.
13 | Mno`ewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem
Izra~unaj proizvod.
• Vi{ecifrene brojeve mno`imo vi{ecifrenim naj~e{}e pismeno. • Mno`imo ih tako {to jedan ~inilac pomno`imo vi{estrukim dekadnim
jedinicama drugog ~inioca i dobijene proizvode saberemo, vode}i ra~una o potpisivawu.
Posmatrajmo mno`ewe brojeva 7 384 i 458 i primenimo postupak potpisivawa, od ranije.
7 384 · 458 mno`ewe brojeva 7 384 i 458
59072 mno`imo sa 8 J
36920 mno`imo sa 5 D
+ 29536 mno`imo sa 4 S
3381872
b) 284 346 · 537
+
v) 72 594 · 7 806
+
a) 83 756 · 390
+
0
0 b) 54 975 · 5 700
+
00
00
1.
2.
Obrati pa`wu! Ako mno`i{ brojem koji se zavr{ava nulama, nije potrebno da mno`i{ nulama. Dovoqno je da ih dopi{e{ u
kona~nom rezultatu.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
86
Pekara svakog dana proizvede 2 750 vekni hleba.
a) Koliko vekni proizvede za godinu dana (365 dana)?
b) Cena vekne je 54 dinara. Kolika je godi{wa vrednost proizvedenog hleba?
v) Kolika je masa proizvedenog hleba godi{we, ako je masa vekne 600 grama? (Izrazi rezultat u kilogramima.)
a) Koliko kilometara pre|e dnevno?
b) Koliko pre|e u toku 18 dana?
Vi{e novca je dobijeno od
prodaje
obu}e i ta razlika iznosi
dinara.
Fabrika obu}e je proizvela 1 580 pari `enskih i 2 350 pari mu{kih cipela. Cena para `enskih cipela je 2 670 dinara, a mu{kih 2 110 dinara. Da li je vi{e novca dobijeno prodajom mu{ke ili `enske obu}e?
Du`ina kru`ne biciklisti~ke staze je 375 m. Biciklista svakog dana na treningu vozi 256 krugova.
Rezultat:
Rezultat:
3.
4.
5.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
87
• Na osnovu veze mno`ewa i deqewa mo`emo proveriti ta~nost koli~nika.
1 773 695 : 385 = 4 607 – 1 540 233 6 – 231 0 2 695 2 695 0
• 1 773 podeqeno sa 385 je 4 i ostatak je 233, „spu{tamoß 6 pored ostatka 233;
• 2 336 podeqeno sa 385 je 6 i ostatak je 26, „spu{tamoß 9 pored ostatka 26;
• 269 podeqeno sa 385 je 0 i ostatak je 269, „spu{tamoß 5 pored ostatka 269;
• 2 695 podeqeno sa 385 je 7 i ostatak je 0.
36 942 podeqeno sa 5 486 je 6 i ostaje
.
• Kao {to smo vi{ecifrene brojeve delili dvocifrenim, sli~no delimo vi{ecifreni broj vi{ecifrenim brojem.
36 942 724 : 5 486 = 6 7 . . – 32 916
. . . . 7
– . . . . .
. . . . 2
– . . . . .
. . . . 4
– 21 944
0
Primewuju}i prethodni postupak, odredi koli~nik datih brojeva i izvr{i proveru. Plavim ta~kicama ozna~en je broj cifara koje treba da upi{e{.
14 | Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem
4 607 · 385 = 1 773 695
• Re~ima objasni postupak deqewa ovih brojeva.
Provera: 5 486 ·
+
1.
Kada deli{, koli~nik treba da bude broj koji se u proizvodu sa
deliocem najve}i broj puta sadr`i u deqeniku. Ostatak uvek
mora da bude mawi od delioca!
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
88
2) ako prodavnica radi 30 dana u mesecu?
Postavka zadatka:
Izra~unaj koli~nik brojeva.
b) 11 327 342 : 4 706 =a) 1 988 932 : 748 =
Koriste}i deqewe vi{ecifrenog broja dekadnom jedinicom, izra~unaj:
U toku meseca 135 prodavnica imalo je jednak promet robe ~ija je ukupna vrednost 383 818 500 dinara.
a) Koliki je mese~ni promet jedne prodavnice?
Postavka zadatka:
b) Koliki je dnevni promet robe u jednoj prodavnici:1) ako mesec ima 25 radnih dana;
Postavka zadatka:
2.
3.
4.
a) 997 200 : 360 = 997 200 : (10 · 36) = (997 200 : 10) : 36
= 99 720 : 36
=
b) 4 964 000 : 6 800 = =
=
=
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
89
• Proizvod bilo koja dva prirodna broja a i b mo`emo prikazati kao zbir a sabiraka, od kojih je svaki jednak broju b, odnosno
• Po{to je operacija sabirawa izvodqiva u skupu prirodnih brojeva, tada
• Da li je koli~nik bilo koja dva prirodna broja uvek prirodan broj?
Da li se broj 45 mo`e podeliti sa 6? Navedeni su proizvodi brojeva do 10, sa brojem 6. Zbog veze operacija mno`ewa i deqewa, brojevi iz doweg reda mogu se podeliti sa 6.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
· 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Prvi mawi broj od 45 koji se mo`e podeliti sa 6 je 42, a prvi ve}i broj od 45 koji se mo`e podeliti sa 6 je 48. Dakle svi brojevi iz skupa { 43, 44, 45, 46, 47 } ne mogu se podeliti sa 6.
Operacija mno`ewa izvodqiva je u skupu N.
Operacija deqewa nije uvek izvodqiva u skupu N.
• Uo~imo da brojevi iz skupa { 43, 44, 45, 46, 47 } pri deqewu sa 6 redom daju ostatke 1, 2, 3, 4 i 5. Dakle, ostatak je mawi od delioca.
Ako su prirodni brojevi a i b deqenik i delilac, k koli~nik deqewa i r ostatak deqewa, onda je ta~na jednakost
a = b · k + r, pri ~emu je ostatak r ∈ { 0, 1, 2, . . . , b – 1 }.Ako je r = 0, onda je a = b · k i a : b = k, odnosno a je deqiv brojem b.
Odredi koli~nik i ostatak deqewa.
a) 756 : 48 = i ostaje
b) 72 408 : 563 = i ostaje
15 | Izvodqivost mno`ewa i deqewa u skupu N
a ּ b = b + b + ... + b.
a sabiraka
1.
(b + b + b + . . . + b) ∈ N,
odakle zakqu~ujemo da je a · b ∈ N. Dakle, proizvod dva prirodna broja je prirodan broj.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
90
16 | Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca
Kada u proizvodu bilo koja dva prirodna broja a i b jedan od ~inilaca pove}amo n puta, dobijamo
a · (b · n) ili (a · n) · b.
Na osnovu osobina zdru`ivawa i zamene mesta ~inilaca va`i tvr|ewe.
Ako jedan od ~inilaca pove}amo n puta, a drugi ~inilac se ne mewa, i proizvod }e se pove}ati n puta.
a · (b · n) = (a · b) · n i (a · n) · b = (a · b) · n
Ako jedan od ~inilaca smawimo n puta, a drugi ~inilac se ne mewa, i proizvod }e se smawiti n puta.
a · (b : n) = (a · b) : n i (a : n) · b = (a · b) : n
Ako imamo proizvod dva prirodna broja, pa jedan od ~inilaca smawimo n puta, postavqa se pitawe: Da li }e se i proizvod smawiti n puta?
Izra~unaj i uporedi dobijene rezultate.
a) 72 · (12 : 2) = (72 · 12) : 2 =
b) (72 : 3) · 12 = (72 · 12) : 3 =
1.
Ako imamo proizvod dva prirodna broja a i b i ako jedan ~inilac pomno`imo, a drugi podelimo istim brojem n, bi}e
(a · n) · (b : n) = a · (b : n) · n zbog pove}awa prvog ~inioca
= (a · b) · n : n zbog smawewa drugog ~inioca
= (a · b) · 1 jer je n : n = 1 = a · b proizvod se nije promenio.
Prethodno uo~enu osobinu nazivamo stalnost proizvoda.
Proizvod se ne mewa ako jedan ~inilac pomno`imo, a drugi podelimo istim brojem.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
91
1) 34 · x = 6 290 2) x · 58 = 21 112 3) x · 287 = 27 265
x = 6 290 : 34 x = x =
x = 185 x = x =
Ako je a · b = c, onda je c : a = b i c : b = a.
Postavka zadatka:
Rezultat:
17 | Izra~unavawe nepoznatog ~inioca
2.
1. Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati ~inilac prema zadatom primeru.
Ako nepoznat broj x pove}amo 17 puta, dobi}emo 6 562. Napi{i jedna~inu i odredi nepoznat broj.
Nepoznati ~inilac izra~unavamo deqewem proizvoda sa drugim ~iniocem.
Ako je u jednakosti nepoznat ~inilac, onda imamo jedna~inu sa
nepoznatim ~iniocem.
x · b = c ili a · x = c.Tada je
x = c : b ili x = c : a.
Izra~unavawe nepoznatog ~inioca
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva3
92
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati deqenik.
1) x : 8 = 4 376 2) x : 63 = 2 307 3) x : 465 = 5 738
x = 4 376 · 8 x = _______________ x = _______________
x = 35 008 x = _____________ x = _____________
1) 17 345 : x = 5 2) 31 668 : x = 87 3) 125 856 : x = 276
x = _______________ x = _______________ x = _______________
x = _____________ x = _____________ x = _____________
18 | Izra~unavawe nepoznatog deqenika ili delioca
1.
2.
Ako je u jednakosti nepoznat deqenik, onda imamo jedna~inu sa nepoznatim deqenikom
x : a = b.Tada je nepoznati deqenik
x = a · bNepoznati deqenik dobijamo tako {to koli~nik pomno`imo sa deliocem.
Izra~unavawe nepoznatog deqenika
Ako je u jednakosti nepoznat delilac, onda imamo jedna~inu sa nepoznatim deliocem
c : x = b.tada je nepoznati delilac
x = c : b.Nepoznati delilac dobijamo tako {to deqenik podelimo sa koli~nikom.
Izra~unavawe nepoznatog delioca
Re{i jedna~inu, izra~unaj nepoznati delilac.
Mno`ewe i deqewe prirodnih brojeva 3
93
19 | Jedna~ine sa mno`ewem i deqewem
Jedna~ine u kojima je nepoznat ~inilac, deqenik ili delilac nazivamo jedna~ine sa mno`ewem ili deqewem.
1) 75 · x = 28 875 2) x : 284 = 38 3) 26 391 : x = 463x = _______________ x = _______________ x = _______________x = _____________ x = _____________ x = _____________
Re{i jedna~ine.1.
2. [est puta mawi broj od zami{qenog broja x jednak je broju koji je osam puta mawi od broja 2 000. Koji broj je zami{qen?
Postavka: ____________________________
Rezultat: ___________________
Koliko puta treba smawiti broj 2 003 400 da bi se dobio broj koji je 84 puta ve}i od 318?
Postavka: _________________
Rezultat: ___________________
Koliko puta treba da smawi{ broj37 037 da bi dobio najmawi broj druge hiqade?
Postavka: ____________________________
Rezultat: ___________________
Koli~nik broja 216 410 i nepoznatog broja
x jednak je proizvodu brojeva 67 i 85.
Odredi nepoznat broj.
Postavka: ____________________________
Rezultat: ___________________
3.
4.
5.
Merewe povr{i i jedinice mere4
94
1 | Povr{. Upore|ivawe i merewe povr{i
Na slici su razli~ite geometrijske figure. Ispod svake figure zapi{i wen naziv i povr{ svake oboj drugom bojom.
Na kvadratnoj mre`i su dva kvadrata, ABCD i EFGH.
k
A B
CD
E F
GH
• Da bismo precizno uporedili povr{ine kvadrata ABCD i EFGH, odredimo koliko puta se mawi kvadrat k sadr`i u svakom od wih.
• Kvadrat k nazivamo jedinicom mere, po{to merimo koliko puta se on sadr`i u svakoj od datih geometrijskih figura ABCD i EFGH.
• Prebrojavawem utvr|ujemo da se kvadrat k sadr`i 16 puta u kvadratu ABCD, a 25 puta u kvadratu EFGH.
Merewe povr{i i jedinice mere 4
95
• Povr{ina kvadrata ABCD iznosi P = 16 k (~itamo: povr{ina P je (jednaka je)
16 povr{ina kvadrata k), a povr{ina kvadrata EFGH iznosi P = 25 k.
Meru povr{i nazivamo povr{ina povr{i i ozna~avamo je slovom P, a izra`avamo je brojem jedinica mere koje se u toj povr{i sadr`e. Broj jedinica mere koje odre|uju povr{inu nazivamo merni broj.
• Kako je 16 < 25 zakqu~ujemo da je povr{ina kvadrata ABCD mawa od povr{ine kvadrata EFGH.
P = 25 kПОВРШИНА ПОВРШИ
ЈЕДИНИЦА МЕРЕ
МЕРНИ БРОЈ ПОВРШИНЕ
P1
k
P2
p
Prikazana su dva podudarna pravougaonika, P1 i P2. Povr{ pravougaonika P1 izmeri jedinicom mere kvadrati}em k, a P2 jedinicom mere pravougao-nikom p.
1.
P1 = ____ k ; P2 = ____ p .
• Jedinicu mere mo`emo izabrati na razli~ite na~ine, ali je pogodno da ima pravilan oblik tako da je wome mogu}e precizno izmeriti povr{inu.
• Za razli~ite jedinice mere, za istu povr{ dobijamo razli~ite merne brojeve wihovih povr{ina.
Merni broj povr{ine zavisi od izbora jedinice mere.
F2F1
• Na navedeni na~in mogu se meriti povr{ine povr{i koje su pravilnih oblika, jer ih mo`emo podeliti na vi{e mawih povr{i koje poznaje{.
• Na slicu su prikazane dve figure ~ije je povr{ine te{ko me|usobno uporediti, po{to oblici ovih figura nisu pravilni.
Merewe povr{i i jedinice mere4
96
• Postoje na~ini odre|ivawa povr{ine slo`enijih figura o kojima }e{ u~iti u starijim razredima. ̂ ak i ti slo`eniji metodi bi}e zasnovani na ideji podele povr{i na mawe jedinice mere.
Izmeri povr{i pravougaonika nacrtanih na kvadratnoj mre`i, ozna~enih sa P1 i P2, jedinicama mere k, t i p.
2.
P1 = k = t = p;
k
P1
P2
t p
P2 = k = t = p;
o1
Na narednoj slici zadate su dve jedinice mere, ozna~ene sa o1 i o2. Na kvadratnoj mre`i nacrtaj:
a) dve figure razli~itog oblika, tako da je wihova povr{ina P = 25 o1;
b) jednu povr{ tako da je wena povr{ina P = 5 o2.
3.
o2
Merewe povr{i i jedinice mere 4
97
• Videli smo da za razli~ite jedinice mere dobijamo razli~ite merne brojeve povr{ine iste povr{i. Da ne bi dolazilo do nesporazuma, dogovorom je izgra|en sistem jedinica mera za povr{inu, koji se naziva metarski sistem.
Osnovna jedinica mere za povr{inu je povr{ kvadrata ~ija je stranica du`ine 1 m i naziva se kvadratni metar, a ozna~ava sa m2.
• Navodimo jedinice mere za povr{inu, mawe od 1 m2. • 1 m2 podelimo na 100 podudarnih mawih kvadrata, tako {to stranice kvadrata podelimo na 10 jednakih delova i napravimo wegovu kvadratnu mre`u. Tako dobijen mawi kvadrat ima povr{inu 1 dm2 i nazivamo ga kvadratni decimetar.
• Podelom kvadratnog decimetra na 100 podudarnih kvadrata dobijamo kvadratni centimetar ~ija je povr{ina 1 cm2.
• Podelom kvadratnog centimetra na 100 podudarnih kvadrata dobijamo kvadratni milimetar ~ija je povr{ina 1 mm2.
2 | Jedinice mere za povr{inu
• Na slici su predstavqeni 1 dm2 i wegova podela na kvadratne centimetre i 1 cm2 i wegova podela na kvadratne milimetre.
1 cm2 = 100 mm2
Podelom 1 dm2 na 100 jednakih kvadrata dobijamo 1 cm2.
Podelom 1 cm2 na 100 jednakih kvadrata dobijamo 1 mm2.
1 dm2
1 dm2 = 100 cm2
Merewe povr{i i jedinice mere4
98
• Navodimo odnose veli~ina uvedenih jedinica mere povr{ine.
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2
1 cm2 = 100 mm2
1 m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2
1 dm2 = 102 cm2 = 104 mm2
1 cm2 = 102 mm2
• Povr{ina se izra`ava jednoimenim ili vi{eimenim brojem.
• Neka je povr{ina odre|ena vi{eimenim brojem
Kako je svaka jedinica mere (gledaju}i sleva nadesno) 100 puta ve}a od naredne, tu povr{inu izra`avamo jednoimenim brojem, najmawom od jedinica mere koja se pojavquje u vi{eimenom broju, sa
• Povr{inu izra`enu jednoimenim brojem izra`avamo vi{eimenim brojem na slede}i na~in
7 m2 20 dm2 64 cm2 57 mm2.
7 206 457 mm2.
7 206 457 mm2 = 7 m2 20 dm2 64 cm2 57 mm2.
Izrazi kvadratnim centimetrima.
Izrazi kvadratnim milimetrima.
a) 25 dm2 = cm2 b) 32 m2 = cm2
a) 64 cm2 = mm2 b) 48 dm2 = mm2
1.
2.
Vi{eimeni broj izrazi jednoimenim, najmawom jedinicom mere.
a) 5 cm2 36 mm2 = mm2
b) 27 dm2 8 cm2 45 mm2 = mm2
v) 8 m2 52 dm2 75 cm2 = cm2
3.
Izrazi vi{eimenim brojem.
a) 4 052 740 mm2 = m2 dm2 cm2 mm2
b) 27 505 008 mm2 = m2 dm2 cm2 mm2
v) 65 002 030 mm2 = m2 cm2 mm2
4.
m
Merewe povr{i i jedinice mere 4
99
Za merewe povr{ine velikih povr{i, koristimo jedinice mere ve}e od kvadratnog metra. Zamisli da povr{inu mesta u kome ̀ ivi{ treba da izmeri{ kvadratnim metrom koji je, kao {to ti je poznato, ne{to ve}i od tvoje {kolske klupe. Takvo merewe bi dugo trajalo i bilo bi veoma mukotrpno. Da bismo merewe velikih povr{i lak{e obavqali i povr{inu tih povr{i mogli da izrazimo mawim mernim brojevima, uvodimo slede}e jedinice mere za povr{inu:
Povr{ina teritori-je koju zauzima
dr`ava Srbija je 88 361 km2.
a) 8 a 35 m2 = m2
b) 42 ha 6 a 50 m2 = m2
v) 2 km2 75 ha 35 a 7 m2 = m2
3 | Jedinice mere za povr{inu ve}e od kvadratnog metra
1.
2.
3.
Ar je kvadrat stranice 10 m i ozna~avamo ga sa 1 a.Hektar je kvadrat stranice 100 m i ozna~avamo ga sa 1 ha.
Kvadratni kilometar je kvadrat stranice 1 000 m, u oznaci 1 km2.
1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2
1 ha = 100 a = 10 000 m2
1 a = 100 m2
• Navodimo odnose me|u jedinicama mere ve}im od 1 m2.
Izrazi kvadratnim metrima.
Izrazi arima.
1) 6 a = m2 2) 4 ha = m2
3) 25 a = m2 4) 68 ha = m2
1) 5 ha = a
2) 3 km2 = a
3) 73 ha = a
4) 45 km2 = a
Vi{eimeni broj izrazi jednoimenim.
Povr{ine dvori{ta Povr{ine dvori{ta naj~e{}e se mere arima.naj~e{}e se mere arima.
Merewe povr{i i jedinice mere4
100
4 | Ra~unawe sa jedinicama mere za povr{inu
• Ako su sabirci vi{eimeni brojevi, sabiramo brojeve uz odgovaraju}e jedinice mere ili sabirke najpre izrazimo jednoimenim brojem.
1 1 18 m2 45 dm2 6 cm2 78 mm2
+ 56 m2 68 dm2 85 mm2
= 75 m2 1 13 dm2 7 cm2 1 63 mm2
sabirawe vi{eimenih brojeva
18 450 678 mm2
+ 56 680 085 mm2
= 75 130 763 mm2
= 75 m2 13 dm2 7 cm2 63 mm2
sabirawe jednoimenih brojeva
Pri ra~unawima sa mernim brojevima najboqe je da ih izrazi{ jednoimenim brojem.
Izra~unaj zbir.1.
23 km2 75 ha 38 a 96 m2
+ 54 km2 56 ha 37 a 57 m2
vi{eimeni zapis
m2
+ m2
= m2
jednoimeni zapis
• Sli~no oduzimamo vi{eimene brojeve, na primer:
oduzimawe vi{eimenih brojeva oduzimawe jednoimenih brojeva
72 km2 1 45 ha 6 a 1 78 m2 72 450 678 m2
– 56 km2 68 ha 85 m2 – 56 680 085 m2
= 15 km2 77 ha 5 a 93 m2 = 15 770 593 m2
= 15 km2 77 ha 5 a 93 m2
Izra~unaj razliku.2.
43 m2 25 dm2 34 cm2 96 mm2
– 28 m2 56 dm2 79 cm2 56 mm2
vi{eimeni zapis
mm2
– mm2
= mm2
jednoimeni zapis
Merewe povr{i i jedinice mere 4
101
Izra~unaj proizvod vi{eimenog broja 7 km2 27 ha 4 a 45 m2 i broja 28.3.
Rezultat: km2 ha a m2
• Pri izra~unavawu koli~nika vi{eimenog broja i prirodnog broja, vi{eimeni deqenik najpre izrazimo jednoimenim brojem. Na primer:
75 km2 6 ha 44 a 05 m2 : 47 = 75 064 405 m2 : 47 = 1 597 115 m2
– 47 28 0
= 1 km2 59 ha 71 a 15 m2
– 23 5 4 56 – 4 23 33 . . .
• Pri izra~unavawu proizvoda vi{eimenog broja i prirodnog broja najpre vi{eimeni izrazimo jednoimenim brojem. Posmatrajmo primer:
18 m2 5 dm2 4 cm2 6 mm2 · 74 = 18 050 406 mm2 · 74 72 201 624 mm2
1 263 528 42 1 335 730 044 mm2 =13 a 35 m2 73 dm2 0 cm2 44 mm2
Izra~unaj koli~nik vi{eimenog broja 467 m2 35 dm2 6 cm2 32 mm2 i 56.4.
Rezultat: m2 dm2 cm2 mm2
Merewe povr{i i jedinice mere4
102
5 | Izra~unavawe povr{ine pravougaonika i kvadrata
Ako je du`ina pravougaonika a jedinica mere, a {irina pravougaonika b jedinica mere, tada je obim pravougaonika O = 2 · (a + b).
Ako je stranica kvadrata a jedinica mere, tada je obim kvadrata O = 4 · a.
k
P
• Stranica kvadrata k je du`ine 1 cm, odnosno, kvadrat k predstavqa 1 cm2, odakle sledi da je povr{ina P pravougaonika sa slike
• Da bismo odredili povr{inu P pravougaonika sa slike, izdelili smo ga na kvadrate k, kao {to je predstavqeno.
• Povr{inu pravougaonika P mo`emo odrediti na slede}i na~in: izbrojati broj vrsta i pomno`iti sa brojem kvadrata k u vrsti, odakle sledi da je P = 3 · 5 k, ili izbrojati broj kolona i pomno`iti sa brojem kvadrata k u koloni,odakle sledi da je P = 5 · 3 k. U oba slu~aja dobijamo da je povr{ina datog pravougaonika P = 15 k.
• U svakoj vrsti imamo 5, a u svakoj koloni 3 kvadrata k, stranica du`ine 1 cm, te sledi da je du`ina pravougaonika 5 cm, a {irina 3 cm. Zakqu~ujemo da je merni broj povr{ine pravougaonika jednak proizvodu mernih brojeva wegove du`ine i {irine.
P = 15 cm2.
• Ako du`ina ili {irina pravougaonika nisu merqive jedinicom 1 cm, ali se mogu izmeriti jedinicom 1 mm, tada za stranicu kvadrati}a k
1 uzimamo 1 mm, kao u narednom primeru.
P2 = 45 mm · 25 mmP2 = 1 125 mm2
Merewe povr{i i jedinice mere 4
103
Ako je du`ina pravougaonika a, a {irina b pri ~emu su du`ina i {irina izra`ene istom jedinicom mere, wegova povr{ina je
P = a · b.
P = a · b
a
b
Ako je du`ina stranice kvadrata jednaka a, wegova povr{ina je
P = a · a.a
a
P = a · a
Znamo da je kvadrat figura ~ija je {irina jednaka du`ini, te imamo:
1. Nacrtaj pravougaonik ~ija je du`ina a = 35 mm, a {irina b = 25 mm i izra~unaj wegovu povr{inu.
P =
.
1) a = 18 cm, b = 43 cm; 2) a = 385 m, b = 67 m; 3) a = 436 dm, b = 45 dm.
P = P = P =
Izra~unaj povr{inu pravougaonika, ako su date wegova du`ina a i {irina b.
2.
1) a = 45 m 2) a = 736 cm
P = P =
Izra~unaj povr{inu kvadrata, ako je data wegova stranica a.3.
Merewe povr{i i jedinice mere4
104
Ako su du`ina i {irina izra`ene razli~itim jedinicama mere, onda ih najpre izrazimo istom jedinicom.
1) a = 57 m, b = 65 dm
P =
=
2) a = 2 km, b = 84 m
P =
=
Izra~unaj povr{inu pravougaonika, ako su date wegova du`ina a i {irina b.4.
P =
=
Povr{inu wive oblika pravougaonika izrazi arima, ako je du`ina a = 175 m, a {irina b = 64 m.
5.
Izra~unaj drugu stranicu i obim pravougaonika povr{ine P = 3 588 m2 i jedne stranice b = 46 dm.
a =
=
O =
=
6.
(postavi izraz)
Izra~unaj stranicu i povr{inu kvad- rata, ako je wegov obim O = 736 cm.
a =
=
P =
=
7.
(postavi izraz)
Merewe povr{i i jedinice mere 4
105
Izra~unaj drugu stranicu i povr{inu pravougaonika, ako wegov obimO = 302 cm, a jedna stranica a = 94 cm.
8.
b =
=
P =
=
(postavi izraz)
Figura je podeqena na pravougaonika i kvadrat(a).
Povr{ina je P = = .
P
5
4
2
3 1
3
(napi{i izraz)
Izra~unaj povr{inu figura na slici, wihovom podelom na pravougaonike i kvadrate i dopuni re~enice tako da budu ta~ne. Jedinica mere za du`inu je 1 cm.
a)
9.
b)
3
2
2
2 2
2
4
4 1
1
Figura je podeqena na pravougaonika i kvadrata.
Povr{ina je P = = .(napi{i izraz)
Izrazi5
106
Brojeve i slova koja ozna~avaju promenqive veli~ine povezane matemati~kim operacijama i zagradama koje ozna~avaju redosled operacija, ili samo brojeve ili samo slova
nazivamo matemati~kim izrazima.
Ukoliko u izrazima ne u~estvuju promenqive veli~ine nazivamo ih brojevni matemati~ki izrazi, a ukoliko
u~estvuju i promenqive veli~ine nazivamo ih matemati~ki izrazi sa promenqivim veli~inama.
Ako se u izrazu primewuje samo jedna ra~unska operacija takav izraz nazivamo jednostavnim izrazom.
Ako ima vi{e ra~unskih operacija ka`emo da je izraz slo`en.
Za brojeve 9 472 i 37 zapi{i tra`eni izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
a) zbir datih brojeva + =
b) koli~nik datih brojeva : =
Odaberi tri proizvoqna broja (po jedan: dvocifren, trocifren i ~etvorocifren, redom) i rasporedi ih u osen~ena poqa od najmaweg ka najve}em. Izra~unaj vrednosti tako dobijenih izraza i odgovori na pitawe: Koji od dobijenih izraza je jednostavan, koji je slo`en, a koji je sa promenqivom veli~inom?
Upi{i odabrane brojeve: , i .
1) – = { }
2) ( – ) · = { }
3) x + = ; x = { }
(U viti~aste zagrade upi{i koje je vrste izraz sa leve strane znaka =.)
1 | Matemati~ki izrazi
1.
2.
Kada u matemati~kom izrazu postoje zagrade prvo izvr{avamo operacije unutar zagrada. Zagrade koristimo kada `elimo druga~iji redosled operacija od onog koji je pravilima izvr{avawa operacija utvr|en.
Izrazi 5
107
• Posmatrajmo slede}e primere.
54 · 28 + 73 · 5 + 46 · 3 = + + =
3 240 : 3 + 810 : 15 + 552 : 46 = + + =
Postavqa{ sebi pitawe da li prvo da sabira{ ili da mno`i{ i deli{. Ne brini, to pitawe postavqaju sebi i tvoji drugovi, ali obrati pa`wu na slede}e pravilo.
Sli~no pravilo va`i i za operacije mno`ewa i deqewa, kada su one u izrazu u kome imamo i oduzimawe.
Izra~unaj vrednost izraza.
1) (54 · 28 + 73) · 5 + 46 · 3
2) 54 · 28 + 73 · (5 + 46 · 3)
3) (54 · 28 + 73 · 5 + 46) · 3
4) (54 · 28 + 73) · (5 + 46 · 3)
2 | Odnos mno`ewa i deqewa prema sabirawu i oduzimawu
1.
2.
1) (3 240 : 3 + 810) : 15 + 552 : 46 =
2) 3 240 : 3 + 810 : (15 + 552 : 46) =
Izra~unaj.
Ako u izrazu imamo vi{e mno`ewa i sabirawa ili deqewa i sabirawa, bez zagrada koje ozna~avaju redosled izvr{avawa
operacija, onda najpre mno`imo, odnosno delimo.
Ako u izrazu imamo vi{e mno`ewa i oduzimawa ili deqewa i oduzimawa, onda najpre mno`imo, odnosno delimo.
Redosled oduzimawa treba nazna~iti zagradama.
Izrazi5
108
Izra~unaj.
1) (54 · 28 – 73 · 5) – 46 · 3 = ( – ) – =
2) 54 · 28 – (73 · 5 – 46 · 3) = – ( – ) =
3) (54 · 28 – 73) · 5 – 46 · 3 =
4) 54 · 28 – (73 · 5 – 46) · 3 =
Zbir brojeva 248, 75 i 6 pomno`i razlikom brojeva 111 i 74.Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
( + + ) · ( – ) = .
Izra~unaj vrednost slo`enih izraza.
1) (3 240 : 3 – 810 : 15) – 552 : 46 = ( – ) –
=
2) 3 240 : 3 – (810 : 15 – 552 : 46) = – ( – )
=
3) (3 240 : 3 – 810) : 15 – 552 : 46
=
4) 3 240 : 3 – 810 : (15 – 552 : 46) =
=
3.
4.
5.
Izrazi 5
109
Zbir brojeva 1 309 i 1 122 podeli wihovom razlikom. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
( + ) : ( – ) =
Zbir brojeva 48 534, 53 845 i 37 169 podeli razlikom brojeva 2 013 i 1 955.
( + + ) : ( – ) =
Razliku proizvoda brojeva 87 i 9 i proizvoda brojeva 68 i 5 pove}aj za proizvod brojeva 72 i 43. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
( · – · ) + · =
Razliku koli~nika brojeva 1 414 i 7 i koli~nika brojeva 7 770 i 74 pove}aj za koli~nik brojeva 595 i 35. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
( : – : ) + : =
U kamionu je bilo 112 vre}a po 50 kg i 85 vre}a po 38 kg krompira. Istovareno je 7 ve}ih i 5 mawih vre}a. Koliko je krompira ostalo u kamionu? Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
6.
7.
8.
9.
10.
Izrazi5
110
Data su tri broja: 11 100, 888 i 24. Razliku prva dva broja podeli koli~nikom drugog i tre}eg od navedeih brojeva. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
1) Koliko u~enika IV razreda ima u toj {koli?
11.
12. Svaki u~enik IV razreda jedne {kole zasadio je po 4 sadnice bora, 8 sadnica hrasta i 12 sadnica bagrema. Ukupno je zasa|eno 2 040 sadnica.
2) Koliko je zasa|eno sadnica:
• bora
• hrasta
• bagrema?
Izrazi 5
111
Izra~unaj vrednost izraza.
a) ((39 366 : 54) : 27) : 9 =
b) (39 366 : 54) : (27 : 9) =
Izra~unaj.
((10 368 : 24) · 108) : (12 · 3) =
10 368 : (24 · (108 : 12) · 3) =
Koli~nik brojeva 956 450 i 47 podeli koli~nikom brojeva 5 032 i 68. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
Proizvod brojeva 246 i 74 pomno`i koli~nikom brojeva 608 i 38. Napi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
U prazan bazen svakog ~asa se ulije 780 litara vode, a iz wega izlije pet puta mawe. Koliko }e vode biti u bazenu ako se puni jedan dan?
Vo}ar je prodao 850 kg jabuka po 36 dinara i pet puta mawe kru{aka po 48 dinara za kilogram. Koliko je novca dobio za prodato vo}e?
Koli~nik brojeva 1 825 i 25 pomno`i koli~nikom brojeva 15 848 i 283.
3 | Odnos mno`ewa i deqewa
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ako u izrazu imamo vi{e mno`ewa i deqewa, ili samo vi{e deqewa, zagradama nazna~avamo redosled izvr{avawa operacija.
Kvadar i kocka6
112
1 | Osobine kvadra i kocke
Ispod svake slike napi{i naziv geometrijskog tela.
kvadar ABCDEFGH
Kvadar je ograni~en sa {est ravnih povr{i, {est pravougaonika, koje
nazivamo strane kvadra.
Svake dve susedne strane kvadra imaju zajedni~ku ivicu, koju
nazivamo ivica kvadra.
Ta~ke iz kojih polaze tri ivice kvadra nazivamo temenima kvadra.
A
E
H
D
B
F
G
C
СТРАНА КВАДРА
ИВИЦ
А КВАДРА
ТЕМЕ КВАДРА
1. Posmatraj kvadar predstavqen na prethodnoj slici i zapi{i
a) svih {est strana kvadra:
ABCD, , , , , ;
b) svih dvanaest ivica kvadra:
BF, , , , , , , , , , , ;
v) svih osam temena kvadra:
A, , , , , , , .
Svojstva geometrijskih tela posmatramo i upoznajemo uz pomo} crte`a i modela koje pravimo od kartona, drveta ili drugog materijala.
Posmatraj kvadar ABCDEFGH.
Kvadar i kocka 6
113
Navedi strane kvadra ABCDEFGH kojima je zajedni~ka data ivica.
2.
1) DH je zajedni~ka ivica strana:
2) AE je zajedni~ka ivica strana:
3) CD je zajedni~ka ivica strana:
A
E
H
D
B
F
G
C
Za zadato teme kvadra ABECDEFGH odredi sve tri ivice koje ga sadr`e.
1) Teme F je zajedni~ka ta~ka ivica:
2) Teme C je zajedni~ka ta~ka ivica:
3) Teme D je zajedni~ka ta~ka ivica:
3.
A
E
H
D
B
F
G
C
Naspramne strane kvadra su podudarni pravougaonici.
Po{to su naspramne strane kvadra podudarni pravougaonici, odgovaraju}e ivice kvadra su me|usobno jednakih du`ina.
Na slici kvadra obojeni su neki parovi wegovih naspramnih strana.4.
A
E
H
D
B
F
G
C
Koje su naspramne strane kvadra obojene istom bojom?
i ; i .
Koji par naspramnih strana kvadra na slici nije obojen?
i .
5.Dopuni tekst zapisuju}i ivice kvadra, koje su jednakih du`ina.
AB = DC = EF = = a
BC = = = = b
AE = = = = c A
E
H
D
B
F
G
C
a
bc
Ivice kvadra sa slike koje su jednakih du`ina nacrtane su istom bojom.
Kvadar i kocka6
114
Posebna vrsta kvadra kome su jednake du`ina, {irina i visina predstavqa
kocku i ona je odre|ena istim elementima kao kvadar: stranama,
ivicama i temenima kocke.
kocka ABCDEFGH
A
E
H
D
B
F
G
CСТРАНА
ИВИЦ
А
ТЕМЕ
Sve strane kocke su me|usobno podudarni kvadrati.
Sve ivice kocke su jednakih du`ina.
6. Posmatraj kocku sa prethodne slike. Kocka ima 12 jednakih ivica. Zapi{i ih.
Kocka je ograni~ena sa kvadrata. Zapi{i te kvadrate.
Sa ivicom AE paralelne su ivice: , i .
Kocka ABCDEFGH i kvadar BJKCFLMG imaju jednu zajedni~ku stranu.
A
E
H
D
B
F
G
C
J
L
M
K
7.
8. Sada zna{ {ta je kvadar, a {ta kocka. Napi{i po dva objekta iz tvoje okoline koji imaju oblik
a) kocke:
b) kvadra (koji nije kocka):
b) Navedi jednake ivice kvadra BJKCFLMG.
BJ = = =
BC = = = = = =
v) Koje su strane kvadra AJKDELMH, koji je dobijen spajawem polaznog
kvadra i kocke, me|usobno podudarni pravougaonici?
a) Koja je zajedni~ka
strana kvadra i
kocke?
Kvadar i kocka 6
115
2 | Crtawe kvadra i kocke
Kvadar i kocku mo`emo crtati na kvadratnoj mre`i.
• Na kvadratnoj mre`i najpre nacrtamo pravougaonik ABEF.
• Zatim nacrtamo podudaran pravougaonik DCGH, tako da im stranice budu paralelne.
• Spojimo odgovaraju}a temena A i D, B i C, E i H, F i G.
• Ivice koje su sa zadwe strane, koje se ne vide, crtamo isprekidanom linijom.
Sli~no crtamo i kocku.
EF
A
H
D
B
G
C
EF
A
H
D
B
G
C
E
A B
F
EF
A
H
D
B
G
C
E
A B
F EF
A
H
D
B
G
C
Kvadar i kocka6
116
Nacrtaj dva kvadra i dve kocke i oboji ih po `eqi tako da se uo~ava barem jedan par paralelnih strana.
1.
Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i kocku A1A2A3A4A5A6A7A8, ~ije su neke ivice nacrtane na slici.
2.
A B
G
A5
A6
A1
A7
A3
Uputstvo: Crtaj odgovaraju}e paralelne ivice.
3. Dovr{i crtawe kvadra i kocke prema zapo~etim primerima.
Kvadar i kocka 6
117
3 | Mre`a kvadra i kocke Nacrtaj sliku kvadra u svesci i odgovori.
– Koliko strana ima kvadar? ;
– Koje geometrijske figure su strane kvadra? ;
– Kakve su naspramne strane kvadra? .
Mre`a tela je figura u ravni od koje se savijawem bez se~ewa mo`e napraviti to telo u prostoru.
Kutija oblika kvadra, napravqena od kartona, rase~ena je po nekim ivicama tako da se karton mo`e postaviti u ravan.
Dobijena geometrijska figura predstavqa mre`u tog kvadra.
Kako je kutiju mogu}e rase}i na vi{e razli~itih na~ina, za isti kvadar mogu}e je dobiti razli~ite mre`e.
Nacrtajmo mre`u kvadra. To mo`emo uraditi na slede}i na~in:
1) nacrtamo paralelne poluprave p i q na me|usobnom rastojawu c koje
sadr`e krajwe ta~ke visine c;2) na poluprave p i q {estarom naizmeni~no nanosimo du`ine b, a, b, a;
3) paralelno sa ivicama kvadra pove`emo krajeve du`ina nanesenih {estarom i nacrtamo stranice pravougaonika koje na slici nedostaju.
Kvadar i kocka6
118
c
bb
a b a
b
p
qTada dobijamo mre`u kvadra kao na slici.
Na isti na~in, kao i u slu~aju kvadra, dobijamo mre`u kocke. e.
Nacrtaj mre`u kvadra na kartonu, izre`i je i savij po zajedni~kim stranicama pravougaonika, zalepi odgovaraju}e stranice i napravi model kvadra.
Nacrtaj sliku kocke u svesci i odgovori.
– ^ime je ograni~ena kocka?
– Kakve su ivice kocke?
1.
Sli~no mre`i kvadra crtamo i mre`u kocke.
Nacrtaj mre`u kocke na kartonu i napravi model kocke.2.
Kvadar i kocka 6
119
2) Koja od narednih figura predstavqa mre`u kvadra, a koja ne?
(upi{i: jeste ili nije) (upi{i: jeste ili nije)
a) Koja od narednih figura predstavqa mre`u kocke, a koja ne?
(upi{i: jeste ili nije) (upi{i: jeste ili nije)
3.
4. Nacrtaj mre`u kvadra ~ije su ivice jednake du`ima a, b, c. Poku{aj da napravi{ neku novu mre`u kvadra.
a b c
Kvadar i kocka6
120
4 | Izra~unavawe povr{ine kvadra
Povr{ kvadra sastoji od tri para podudarnih pravougaonika.
Povr{ina kvadra jednaka je zbiru povr{ina wegovih strana.
P = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · cili
P = 2 · (a · b + a · c + b · c).
Kao primer uzmino kadar ~ije su ivice
a = 14 cm, b = 8 cm, c = 25 cm.Wegova povr{ina iznosi
P = (2 · 14 · 8 + 2 · 14 · 25 + 2 · 8 · 25) cm2
P = = cm2
Izra~unaj povr{inu kvadra ~ije su ivice:
1) a = 12 cm, b = 15 cm, c = 20 cm;
2) a = 20 m, b = 25 m, c = 40 m.
1.
a · b
a · cb · ca · cb · c
a · b
a
b
c
Kvadar i kocka 6
121
Povr{ kocke sastoji se od {est podudarnih kvadrata.
Povr{ina kocke ~ija je ivica, na primer, a = 12 cm je
P = 6 · 12 cm · 12 cm = cm2
Povr{ina kocke jednaka je zbiru povr{ina {est wenih strana (kvadrata).
P = 6 · a · a
5 | Izra~unavawe povr{ine kocke
a · a a
a
1.
2.
Izra~unaj povr{inu kocke ~ija je ivica
1) a = 8 cm; 2) a = 48 cm.
Zbir svih ivica kocke je 324 cm. Izra~unaj povr{inu kocke.
Kvadar i kocka6
122
• Oko nas se nalaze razli~iti predmeti, odnosno tela i svako od wih zauzima, odnosno zaprema, neki deo prostora.
• Ako u ~a{u ispuwenu te~no{}u spustimo neki predmet, na primer, lopticu, onda }e se jedan deo te~nosti preliti. Preli}e se onaj deo te~nosti koji je zauzela (zapremila) lopta.
Deo prostora koji zauzima (zaprema) telo naziva se zapremina tela.
• ̂ a{a, ili neka druga prazna posuda, ispuwena je vazduhom. Ako je napunimo nekom te~no{}u, onda je unutra{wi prostor ~a{e zauzela (zapremila) te~nost.
• Posmatrajmo lopte na slici. Najve}a od wih zauzima najve}i, a najmawa od wih najmawi deo prostora. Dakle, ve}a tela imaju ve}u,
a mawa tela mawu zapreminu.
6 | Zapremina tela. Merewe zapremine
Zapreminu tela izra`avamo brojem jedinica mere koje se u tom telu sadr`e i oznakom jedinice mere.
Zapreminu tela naj~e{}e ozna~avamo slovom V.
• Tela se mogu upore|ivati po veli~ini, ali da bismo to mogli precizno uraditi potrebno je ta~no izmeriti zapreminu.
• Meri}emo i odre|ivati zapremine tela koja imaju oblik kvadra ili kocke, upore|ivawem sa mawim telima, koja predstavqaju jedinice mere.
Broj jedinica mere koje odre|uju zapreminu nazivamo
merni broj zapremine.
Kvadar i kocka 6
123V = ____________
V = ____________V = ____________
V = ____________
V = ____________
• Za merewe zapremine kvadra K uzmimo za jedinicu mere mawi kvadar p
1 ili mawu kocku k
1.
• Ako zapreminu kvadra K merimo jedinicom mere p1, vidimo da se u
kvadru K sadr`e 4 kvadra p1, odnosno zapremina kvadra K je V = 4 p
1.
• Ako zapreminu kvadra K merimo jedinicom mere kockom k1, vidimo da se u kvadru K sadr`e 8 kocki k1, te je V = 8 k1.
Odredi zapreminu tela prikazanih na slici, ako je jedinica mere kocka k
1. Figure na slici, koje nisu podeqene, najpre podeli na
jedini~ne kocke.
1.
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
k1
K
k1
p1
p1
p1
p1
p1
Kvadar i kocka6
124
Jedinice za merewe zapremine mawe od kubnog metra su:
Kubni decimetar. 1 dm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 dm.Kubni centimetar. 1 cm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 cm. Kubni milimetar. 1 mm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 mm.
• Ako zapreminu istog kvadra merimo razli~itim jedinicama mere dobijamo razli~ite merne brojeve.
• Da ne bi dolazilo do razlika, usvojen je metarski sistem mera. • Osnovna jedinica mere za zapreminu je zapremina kocke ~ija je ivica du`ine 1 m. Nazivamo je kubni metar i ozna~avamo sa 1 m3 (jedan kubni metar).
Osnovna jedinica mere za zapreminu je kubni metar, u oznaci 1 m3.
7 | Jedinice mere za zapreminu
1dm3
1cm3
Kvadar i kocka 6
125
• Koliko kubnih centimetara ima u kubnom decimetru?
Po{to je ivica kubnog decimetra jednaka 10 cm, to se u jednoj vrsti kocke sa prethodne slike nalazi 10 kockica zapremine 1 cm3. U prvom sloju je 10 vrsta te u prvom sloju imamo, 10 · 10 cm3 = 100 cm3. Kako u kocki imamo 10 slojeva, 1 dm3 iznosi 10 · 10 · 10 cm3 = 1 000 cm3.
• Na sli~an na~in mo`emo uporediti 1 mm3 sa 1 cm3 . Podelom 1 cm3 na 1 mm3 zakqu~ujemo da 1 cm3 sadr`i 1 000 mm3 .
Jedinice za merewe zapremine, ve}e od kubnog metra imaju malu prakti~nu primenu u svakodnevnom `ivotu. Jedinice za merewe zapremine ve}e od kubnog metra su:
Nije te{ko uo~iti da i za jedinice ve}e od kubnog metra va`i da je svaka 1000 puta ve}a od prethodne mawe.
Jedinice mere za merewe zapremine te~nosti i rastresitog materijala upoznali smo u tre}em razredu. Podsetimo se.
Zapreminu od jednog kubnog decimetra druga~ije nazivamo litar. 1 litar = 1 kubni decimetar odnosno 1 l = 1 dm3
1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3
1 dm3 = 1 000 cm3 = 1 000 000 mm3
1 cm3 = 1 000 mm3
J j
Jedinice za merewe zapremine ve}e od kubnog metra su:
Kubni dekametar. 1 dkm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 10 m. Kubni hektometar. 1 hm3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 100 m.Kubni kilometar. 1 km3 je zapremina kocke ~ije su ivice du`ine 1 km.
Svaka jedinica mere za zapreminu je 1 000 puta ve}a od prethodne mawe.
Primewuju}i prethodno dobijamo da je
Kvadar i kocka6
126
Izrazi kubnim decimetrima:
a) 84 000 cm3 = b) 378 000 000 mm3 =
Izrazi kubnim centimetrima:
a) 75 000 mm3 =
b) 3 705 000 mm3 =
Izrazi vi{eimenim brojem.
a) 56 403 068 cm3
b) 24 000 730 058 mm3
Izrazi litrima.
a) 8 m3 200 dm3
b) 274 m3 900 dm3
Izrazi najmawom navedenom jedinicom mere za zapreminu.
a) 4 m3 17 dm3 328 cm3
b) 8 m3 624 dm3 65 mm3
Saberi vi{eimene brojeve iz prethodnog zadatka i wihov zbir predstavi jednoimenim brojem, najmawom jedinicom mere.
Izrazi kubnim metrima.
a) 35 000 dm3 = b) 24 000 000 cm3 =
5.
6.
1.
2.
3.
4.
7.
Kvadar i kocka 6
127
• U jednom redu je 5 cm3, jer je du`ina kvadra 5 cm, a imamo ~etiri reda, jer je {irina kvadra 4 cm. Zna~i, u jednom sloju je
5 · 4 cm3 = 20 cm3.
Zapremina kvadra
• Kvadar je izdeqen na kocke ~ija je ivica 1 cm, odnosno kubne centime-tre. Kako je visina kvadra 3 cm, mo`emo ga podeliti u tri prostorna sloja, gledano po visini.
• Po{to je visina kvadra 3 cm, odnosno imamo tri prostorna sloja, a u svakom od wih po 20 cm3, zapremina kvadra je V = 3 · 5 · 4 cm3 = 60 cm3.
8| Izra~unavawe zapremine kvadra i kocke
4 cm
3 cm
5 cm
• Razmotrimo slu~aj ako du`ina, {irina ili visina kvadra nisu merqive sa 1 cm, a mogu se izraziti milimetrima.
• Za kvadar ~ije su dimenzije a = 54 mm, b = 38 mm, c = 45 cm, imamo da je zapremina tog kvadra
V = 54 · 38 · 450 mm3 = 923 400 mm3.
Izra~unaj zapreminu kvadra ~ije su ivice a = 27 cm, b = 48 cm, c = 54 cm.
Zapremina kvadra jednaka jeproizvodu wegove du`ine, {irine i visine.
V = a · b · c
1.
Ako je du`ina kvadra a, {irina b, a visina c pri ~emu su sve tri veli~ine izra`ene istom jedinicom mere, zapremina kvadra jednaka je wihovom proizvodu.
ab
c
Kvadar i kocka6
128
Izra~unaj zapreminu sportske sale ~ije su dimenzije 54 m, 25 m i 57 dm.
2.
Pakovawe margarina je oblika kvadra ~ije su dimenzije 10 cm, 6 cm i 25 mm. Koliko pakovawa margarina mo`e stati u kutiju oblika kvadra ~ije su unutra{we dimenzije 7 dm, 6 dm, 5 dm?
Zadatak re{i na dva na~ina:
1) najpre odredi koliko se pakovawa margarina mo`e staviti u jednu vrstu, a koliko u prvom sloju i najzad, koliko ima slojeva.
2) najpre izra~unaj zapreminu jednog pakovawa margarina i uporedi sa unutra{wom zapreminom kutije.
3.
Izra~unaj zapreminu tela prikazanog na slici, ako su date du`ine ivica izra`ene u milimetrima.
16
65
38
10
24
4.
Izra~unaj povr{inu kvadra ~ija je zapremina V = 15 120 cm3, a dve du`ine ivica su a = 16 cm, b = 27 cm.
Izra~unaj zapreminu kvadra ~ija je povr{ina P = 1 456 cm2, a dve du`ine ivica su b = 8 cm, c = 28 cm.
5.
6.
Kvadar i kocka 6
129
Ivica kocke je 10 cm. Ako se du`ina kocke pove}a za 1 cm, {irina za 2 cm i visina za 3 cm dobije se kvadar. Za koliko je zapremina dobijenog kvadra ve}a od zapremine date kocke?
Zapremina kocke
7.
8.
Kvadar ~ije su du`ina, {irina i visina jednake je kocka.
Kocka ~ija je ivica du`ine a ima zapreminu
V = a · a · a
a
Izra~unaj zapreminu kocke ivice a.
1) a = 7 cm
2) a = 24 mm
3) a = 3 cm 6 mm
Zapremina kocke je
.
Zapremina kvadra je
.
Zapremina kvadra ve}a je od
zapremine kocke za .
Kocka zapremine 8 cm3 izrezana je na osam istih mawih kocki, koje su spojene kao {to je prikazano na slici.
Kolika je povr{ina tako dobijenog tela?
9.
a
a
Razlomci7
130
1 | Razlomci sa brojiocem jedanAko neku celinu podelimo na
n jednakih delova, gde je n ∈{2, 3, ... , 9, 10}
tada jedan od tih delova
zapisujemo razlomkom 1 _n
.
Torta se sastoji od6 jednakih delova. Jedan od wih
predstavqa 1 _6
torte.
Na cvetu jebilo 5 latica.Otpala latica
predstavqa 1 _5
broja latica cveta.
Ispod svake slike razlomkom zapi{i koji deo kruga je obojen.
Oboji razlomkom odre|en deo kruga.
1.
2.
1 _2
1 _8
1 _9
1 _6
1 _7
1 _10
1 _5
_ _ _ _
_ _ _ _
Postupak deqewa celine na proizvoqan broj delova mo`emo nastaviti tako {to }emo dobijene razlomke posmatrati kao nove celine i deliti ih na proizvoqan broj delova.
1 _m
od 1 _n
dobijamo podelom 1 _n
na m jednakih delova i uzimawem jednog dela.
Razlomci 7
131
• Odredimo 1 _3
od 1 _2
. To mo`emo predstaviti na slede}i na~in:
polovinu kruga podelimo na tri dela.
• Jasno je sa slike da ovako dobijeni deo predstavqa 1 _6
kruga.
Nacrtaj slike kruga u svesci i podelom kruga odredi:
1) 1 _2
od 1 _4
je ; 2) 1 _2
od 1 _3
je ; 3) 1 _2
od 1 _5
je ;
4) 1 _4
od 1 _2
je ; 5) 1 _3
od 1 _3
je ; 6) 1 _5
od 1 _2
je .
3.
Koriste}i vezu mno`ewa i deqewa, izra~unaj.
a) Neka je 1 _5
od nekog broja x broj 317. Tada je x = .
b) Neka je 1 _8
od nekog broja x broj 5 086. Tada je x = .
Dopuni tekst i izra~unaj:
a) Tre}inu dobijamo podelom celine na (koliko?) dela.
1 _3
od 747 je 747 : 3 = .
b) Sedminu dobijamo podelom celine na (koliko?) delova.
1 _7
od 5 922 je = .
1 _n
od nekog broja a nazivamo n-ti deo broja a i on je jednak a : n.
n-ti deo za n ∈{2, 3, 4, ... , 9, 10} nazivamo redom polovina, tre}ina, ~etvrtina, ... , devetina i desetina.
4.
5.
Razlomci7
132
1 _3
1 _7
1 _6
Razlomkom odre|en deo povr{ine figure oboji na dva razli~ita na~ina, tako da obojeni delovi ne budu figure istog oblika.
a)
b)
v)
6.
Razli~itim bojama oboji 1 _4
, 1 _6
i 1 _9
figure na slici, tako da se delovi
obojeni razli~itim bojama ne preklapaju.
7.
Izra~unaj i dopuni odgovaraju}im tekstom slede}e re~enice.
a) Petina od 3 180 je broj i on je od tre}ine od
2 181 koja iznosi . (upi{i: ve}i ili mawi)
b) Sedmina od 1 561 je broj i on je od ~etvrtine
od 884 koja iznosi . (upi{i: ve}i ili mawi)
8.
Razlomci 7
133
Na slici su krug, kvadrat i pravougaonik, podeqeni na po 4 jednaka dela.
Dva dela kruga oboji crveno, dva dela kvadrata oboji plavo i tri dela pravougaonika oboji zeleno. Ka`emo da smo obojili dve ~etvrtine kruga, dve ~etvrtine kvadrata i tri ~etvrtine pravougaonika, {to razlomkom zapisujemo:
2
_4
i 3 _4
.
Na slici su prikazane ptice sa zelenim i sa naranyastim perjem. Razlomkom izrazi koliko ima jednih, a koliko drugih u odnosu na ukupan broj ptica.
2 | Razlomci sa brojiocem ve}im od jedan
Zapis oblika k
_n
gde je n ∈{2, 3, 4, ... , 9, 10}, a k ∈{2, 3, ... , n} nazivamo
razlomkom sa brojiocem ve}im od jedan.
1.
( Obrati pa`wu da imenilac razlomaka kojima }e{ predstaviti rezultat predstavqa ukupan broj ptica, a brojilac broj ptica sa istom bojom perja.)
Zelenih ima , a
naranyastih ima .
Broj n nam govori (imenuje) na koliko je jednakih delova podeqena celina i nazivamo ga imenilac.
Broj k nam govori (broji) koliko je jednakih delova uzeto i nazivamo ga brojilac.
Crta izme|u brojioca i imenioca naziva se razloma~ka crta.
Razlomci7
134
Ispod svake slike razlomkom zapi{i koji deo kruga je obojen.
Posmatraju}i krugove iz prethodnog zadatka razlomkom zapi{i koji deo kruga nije obojen.
• Posmatrajmo prve od razlomaka u prethodnom zadatku. Imamo da je
2 _ 6
= 1 _ 6
+ 1 _6
i 4 _6
= 1 _6
+ 1 _6
+ 1 _ 6
+ 1 _6
, odnosno 2 _6
+ 4 _6
= 6 _6
= 1.
a) U narednim primerima broj delova na koje je podeqen kvadrat jednak je broju u imeniocu razlomka.
2.
4.
Ako imamo dva razlomka sa istim imeniocem, k
_n
i m
_n
, pri ~emu je
k + m = n, tada je k
_n
+m
_n
= 1, odnosno k
_n
= 1 – m
_n
.
Oboji deo kvadrata odre|en razlomkom.
2 _6
4 _6
_
_ _ _ _
_ _ _
2 _ 9
5 _ 8
7 _ 10
3 _ 5
Lako mo`e{ uo~iti da obojeni i neobojeni delovi ~ine celinu, {to zna~i da je zbir razlomaka koji predstavqaju obojen i
neobojen deo kruga jednak 1.
3.
Razlomci 7
135
b) U narednim primerima vi{e delova na koje je podeqen kvadrat odgovaraju jednoj jedinici imenioca. Pre nego {to oboji{ tra`eni deo kvadrata odgovori na pitawe: Koliko delova odgovara jednoj jedinici imenioca?
Jednoj jedinici imenioca odgovaraju:
Razlomak: tra`ena du`ina:
1) 1 _ 8
od 3 744 je .
2) 3 _ 8
od 3 744 je 3 puta 1 _8
od 3 744 je 3 · (3 744 : 8) = .
3) 5 _ 8
od 3 744 je .
4) 7 _ 8
od 3 744 je .
5) 1 _ 7
od 5 292 je .
6) 2 _ 7
od 5 292 je 2 puta 1 _7
od 5 292 je 2 · (5 292 : 7) = .
7) 4 _ 7
od 5 292 je .
8) 5 _ 7
od 5 292 je .
5.
6.
Izra~unaj i dopuni slede}e iskaze.
dela, redom.
Du`ina jedne ulice je 1 km 200 m. Dve petine du`ine ulice je asfalti-rano, a ostalo je prekriveno kamenim kockama. Koji deo puta je prekri-ven kockama? Rezultat izrazi razlomkom i odredi tra`enu du`inu.
2 _ 3
3 _ 4
2 _ 5
5 _ 6
3
Razlomci7
136
Tri radnika su za obavqeni posao zaradila 19 880 dinara. Prvi je radio jedan dan, drugi dva dana i tre}i pet dana. Ako su im dnevne zarade jednake, koji deo zarade i koliki iznos }e dobiti drugi i tre}i radnik?
(Prvi radnik je zaradio 1 _ 8
ukupnog novca, {to iznosi 2 485 dinara)
1) drugi radnik .
2) tre}i radnik .
Izra~unaj nepoznat broj x, ako:
1) 2 _ 5
od x iznosi 1 736;
Ako su dve petine broja x jednakej 1 736, onda je jedna petina dva puta mawa, a pet petina pet puta ve}a od jedne petine, odnosno imamo da je:
x = (1 736 : 2) · 5 = .
2) 3 _ 8
od x iznosi 378;
x = .
a) Ako 2 _ 7
od x iznosi 468, izra~unaj x kao i 5 _ 9
od x.
x = ; 5 _ 9
od x je .
b) Ako 4 _ 5
od x iznosi 2 736, izra~unaj x kao i 5 _ 9
od x.
x = ; 5 _ 9
od x je .
Nacrtaj pravougaonik ~ije su 3 _ 8
prikazane na slici, kao i wemu
podudaran pravougaonik. Oboji 5 _ 6
novog pravougaonika.
7.
8.
10.
9.
Razlomci 7
137
> > > > > > >
Na koliko je delova podeqen svaki krug prikazan na slici? Ispod svakog kruga razlomkom zapi{i koji je deo kruga obojen.
Dakle, ako obojimo vi{e delova kruga, zna~i da smo razlomkom izrazili ve}i deo kruga od prethodnog. Iz toga sledi:
Od dva razlomka sa jednakim imeniocima ve}i je onaj razlomak ~iji je brojilac ve}i.
Od dva razlomka sa jednakim brojiocima ve}i je onaj razlomak ~iji je imenilac mawi.
Lako je zakqu~iti da, ako jednu celinu delimo na ve}i broj jednakih
delova, onda su ti delovi mawi (na primer 1 _6
> 1 _7
, te je i 2 _6
> 2 _7
).
Razlomkom izrazi koji deo trougla je obojen i uporedi zapisane razlomke stavqaju}i u kru`i} < ili >.
Ispod svakog kruga razlomkom zapi{i koji je deo kruga obojen.
3 | Upore|ivawe razlomaka
1.
2.
3.
_ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _
< < < < < < _ _ _ _ _ _0= = 10 _6
2 _9
Razlomci7
138
Razlomkom zapi{i koji je deo jednakih kvadrata obojen i uporedi zapisane razlomke upisuju}i znak < ili > u kru`i}.
1) 1 _3
, 1 _7
, 1 _4
: 2) 2 _5
, 2 _3
, 2 _9
:
3) 2 _7
, 5 _7
, 3 _7
: 4) 3 _4
, 3 _8
, 3 _5
:
5) 3 _6
, 6 _6
, 1 _6
: 6) 5 _8
, 5 _5
, 5 _9
:
Plata zaposlenog ~lana porodice je 28 450 dinara. Za stanarinu daje
1 _10
plate, a za ishranu 7 _10
plate. Koliko mu novca ostaje za druge potrebe?
1) 2 _5
m 38 cm (jer je
2 _5
m = (100 cm : 5) · 2 = cm);
2) 400 kg
3 _8
t (jer je 3 _8
t = kg);
3) 3 _4
km 752 m (jer je
3 _4
km = m);
4) 3 _5
t 650 kg (jer je
3 _5
t = kg).
5.
6.
7.
4.
Pore|aj po veli~ini, od najmaweg do najve}eg, date razlomke.
Izrazi istim jedinicama mere i uporedi vrednosti.
_ _ _ _ _ _
Razlomci 7
139
U zadacima 8, 9 i 10 odgovori na postavqeno pitawe u zadatku, a zatim upore|uju}i dobijene delove koji odgovaraju razlomcima uporedi razlomke koji se u okviru jednog zadatka pojavquju i upi{i odgovaraju}i znak nejednakosti u kvadrati}.
Na fudbalskoj utakmici je 2 724
gledalaca; 2 _3
gledalaca su
mu{karci, 1 _6
`ene, a ostalo deca.
Koliko je dece na fudbalskoj
utakmici?
Odgovor: ; 2 _3
1 _6
.
Povr{ina ba{te je 23 a 94 m2; na 2 _9
je zasa|en paradajz, na 3 _7
paprika, a na preostalom delu
kupus. Kolika povr{ina je zasa|ena kupusom?
Odgovor: ; 2 _9
3 _7
.
Put du`ine 79 km 380 m gradila su tri preduze}a. Jedno preduze}e
je izgradilo 2 _7
puta, drugo 4 _9
puta,
a ostatak puta gradilo je tre}e preduze}e. Koliku du`inu puta je gradilo tre}e preduze}e? Uporedi razlomke.
Odgovor: ; 2 _7
4 _9
.
8.
9.
10.
Razlomci7
140
• Neka je na brojevnoj polupravoj Ox odre|ena jedini~na du` OA = 1 (du` koju uzimamo za jedinicu mere du`ine).
• Ako je jedini~na du` OA ta~kom M podeqena na dva jednaka dela, onda
ta~ki M pridru`ujemo razlomak 1 _2
.
• Sli~no predstavqamo na brojevnoj polupravoj i ostale razlomke koje smo upoznali. Ako je ta~kama M
1 i M
2 jedini~na du` OA podeqena na tri
jednaka dela, tada su tim ta~kama pridru`eni razlomci 1 _3
i 2 _3
.
Ta~kama brojevne poluprave Ox pridru`i razlomke:
a) 1 _4
, 2 _4
, 3 _4
i 4 _4
.
b) 1 _6
, 2 _6
, 3 _6
, 4 _6
, 5 _6
i 6 _6
.
4 | Predstavqawe razlomaka na brojevnoj polupravoj
O
x
O
x
O A x
M
O M1 M2 A
x
1.
1_2
1_3
2_3
1
1
1
1
0
0
0
0
_
_ _ _ _ _
_ _
Razlomci 7
141
Nacrtati brojevnu polupravu Ox i merewem odredi ta~ke kojima }e{ pridru`iti razlomke.
a) 1 _7
, 2 _7
, 3 _7
, 4 _7
, 5 _7
, 6 _7
i 7 _7
b) 1 _9
, 2 _9
, 3 _9
, 4 _9
, 5 _9
, 6 _9
, 7 _9
, 8 _9
i 9 _9
1.
x
x
x
x
x
x
x
p q
• Prikazivawem na brojevnoj polupravoj mo`emo upore|ivati razlomke, jer, mawi je onaj razlomak koji je bli`i nuli. Predstavqene su paralelne brojevne poluprave na kojima su jedini~ne du`i jednake. Na svakoj od brojevnih polupravih predstavqeni su razlomci sa istim imeniocem.
1_3
1_4
1_5
1_6
1_7
1_8
1_9
2_9
3_9
4_9
5_9
6_9
7_9
8_9
9_9
2_8
3_8
4_8
5_8
6_8
7_8
8_8
2_6
2_7
3_6
3_7
4_6
4_7
5_6
5_7
6_7
6_6
7_7
2_5
3_5
4_5
5_5
2_4
3_4
4_4
2_3
3_3
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
Razlomci7
142
• Pomo}u prethodne slike vr{imo upore|ivawe razlomaka. • Nacrtamo pravu normalnu na brojevne poluprave u nekom podeqku. • Levo od prave su mawi, desno ve}i, a na pravoj su jednaki razlomci.
• Na primer, na pravoj p su razlomci 1 _3
, 2 _6
i 3 _9
, pa je 1 _3
= 2 _6
= 3 _9
.
• Razlomak 5 _8
je na pravoj q, levo od prave q je 3 _5
, a desno 4 _6
, pa je 3 _5
< 5 _8
< 4 _6
.
a) 2 _4
, 3 _6
, 4 _8
: b) 2 _5
, 2 _6
, 3 _8
:
v) 5 _6
, 6 _8
, 7 _9
: g) 2 _5
, 3 _8
, 4 _9
:
2. Pore|aj razlomke, od najmaweg do najve}eg, posmatrawem slike sa prethodne strane.
dr Sini{a N. Je{i}, Marko M. Igwatovi}
Matematikaza ~etvrti razred osnovne {kole
Izdava~Gerundium d.o.o.Patrisa Lumumbe 18, Beograd
Godina2011
IlustracijeLidija Taranovi}
Lektura i korekturaVesna Oparu{i}
Dizajn i priprema za {tampuPozitiv MVP, Beograd
KoricePozitiv MVP, Beograd
[tampaGrafostil, Kragujevac
Tira`5 000
Пласман
„Герундијум“ д.о.о., Патриса Лумумбе 18, Београд телефон. 011/2775-251, 063/527-903
e-mail [email protected]
Ниједан део ове књиге не може бити репродукован, нити смештен у систем за претраживање или трансмитовање у било ком облику, електронски, механички, фотокопирањем, смањивањем или увећањем или на други начин, без претходне писмене дозволе издавача.
CIP - Каталогизација у публикацијиНародна библиотека Србије, Београд
37.016:51(075.2)
ЈЕШИЋ, Синиша Н., 1968- Математика : за четврти разред основне школе / Синиша Н. Јешић, Марко М. Игњатовић ; [илустрације Лидија Тарановић]. - 1. изд. -Београд : Герундијум, 2011 (Крагујевац : Графостил). - 142 стр. : илустр. ; 29 cm
Тираж 5.000.
ISBN 978-86-87715-22-61. Игњатовић, Марко М., 1926- [аутор]
COBISS.SR-ID 185067276
Recommended