5.

ISBN 978-86-7762-117-9

9 788677 621179

5.

5

5

: , ,

: : . , -

. , - , ,

: Total Idea, : : :

: Klett ... 15/IV, 11 000 Te.: 011/3348-384, : 011/3348-385o ce@klett.rs, www.klett.rs

: -: : , : 20.000

650-02-00268-5/2007-06.

, , , , , , . .

Klett, 2010.

ISBN 978- 86-7762-117-9

CIP - ,

37.016 : 51(075.2)

5 : / ... [ .] ; [ ] - 3. . - : Klett, 2010 ( : ). - 191 . : . ; 30 cm

20.000

ISBN 978-86-7762-117-91. , , 1973 []

COBISS.SR-ID 173760012

, ,

.

, .

, ,

.

! , :

, !

,

, .

4Ka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 2 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 4 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 3 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

6

,

.

.

, ,

.

, ( )

.

( ). ,

, .

, , (

, ). .

,

, .

.

!

7

, N , . N . N 8, o {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} o {2, 4, 6,...} . .

,

!

, !

!

1 !

?

!

,

1 ?

!

!

. , , .

1, 2, 3, 4, ... . T N N = {1, 2, 3, 4,...}. 1. ?

8

. ?

( ) .

.

.

, , .

.

.

.

.

.

, , , .

1. .

. , .

9 : = {, , , }.

A, B, C, D, { } .

4 . 4 . . 9 . 9 B. .

. , . . 1, 2, 7 9 S 3, 4, 5 8 .

.

.

.

.

1. : = {2, 4, 6, 8, 10}.

2. : ) 2 ; ) 4 D; ) 11 ; ) 100 F.

3. j A = {2, 4, 6, 8, 10}.

4. : p M, q M, r M, s M f M.

2. . a K, b K, c K, d K, e K, p K, q K r K., K = {a, b, c, d, e}.

.

10

D , o D = {11, 12, 13, 14,..., 20}. D, P = {12, 14, 16, 18, 20}. P D.

5. P D {12, 14, 16, 18, 20} {11, 12, 13, ..., 18, 19, 20}.

( ) . , . , . , , , .

, . A B. .

, .

, , B C = .

.

, { }.

. A 500:

A = {x | x N x < 500}. (), (x N x < 500). . 4. = {n | n n < 5 001} n 5 001. 2 500 .

5. D k 133 5 : D = {k | k N 5 < k < 133}. , D?

11

= {3, 1, 5, 9, 7} B = {1, 3, 5, 7, 9}. , A B, , B A. , = .

n(), .

9. U = {1, 4}, V = {1, 1, 1, 1, 4, 4} W = {4, 1}?

6. N je , N0 0. N N0, N N0, N N0.

6. X = {a, d, j} Y = {a, d, g, k, j}? Z = {a, d, g, i, f}?

7. = {1, 2, 3} , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

7. V = {a, b, c}.

8. S = {2, 4, 6} P = {2, 2, 4, 6, 6, 6}. S P, P S. , S = P. . ( ).

( {a, b} = {b, a}), ( {a, a} = {a}).

8. U = {1, 4}, V = {1, 1, 1, 1, 4, 4} W = {4, 1}?

9. A = {a, a, b, c}, B = {1, 6, 6, 8} C = {1, a, 6, d} n(A) = 3, n(B) = 3 n(C) = 4.

a , , .

( , ). ( , ).

12

, .

S , . :

S = {, , , }

= {, , , }

. .

, S C.

, . X Y X Y ( ) Y X. , S C S C S C = {, }.

1. = {5, 10, 15, 20, 25} = {4, 10, 14, 20, 24}, A B = {10, 20}.

1. P = {1, 2, 3, c} Q = {1, 3, 5, a, c, e}.

X Y X Y = Y X.

.

13

. , . , .

. . , .

N a, c r,

.

b d ,

.

p q N,

N .

, .

O . , 12, . , , , , . , S C.

2. M = {a, b, c, d, r} N = {a, c, p, q, r}.

2. F = {3, 4, 7, 8, 10, 23} K = {2, 3, 15, 21, 23}.

3. A = {2, 5, 9} B = {1, 3, 6, 7} .

.

.

14

, . X Y X Y ( ) Y X. , S C S C S C = {, , , , , , }.

, .

.

, . S C . , . . S C, S C.

Y \ Y ( ), Y Y \ .

, S C S \ C S \ C = {, }. , , , S \ S = {, }.

4. = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8, 10}, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}.

3. C matematika, C = {m, a, t, e, i, k}, D tetrapak, D = {t, e, r, a, p, k}, C D.

5. S = {1, 3, 7, 9, 13} R = {5, 9, 11, 13}, S R = {9, 13}, S R = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}.

Y , Y.

.

X Y \ Y Y \ .

X Y X Y = Y X.

15

. \ , \ .

, \ B (). .

S = {, , , } = {, , , }, , L, . 12

L = {, , }.

, . , . , S C L. S C, L. .

S C L = {, , , } {, , , } {, , } = {, } {, , } =

{}.

6. D G D = {m, a, r, k, o} G = {p, e, t, a, r}, D \ G = {m, k, o}, G \ D = {p, e, t}.

4. V \ U U \ V V = {2, 4, 6, 8, 10, 12} U = {3, 6, 9, 12}.

7. P = {1, 2, 5, 7, 8, 9}, T = {1, 4, 8, 9, 11}, P T = {1, 8, 9}, P T = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11}, P \ T = {2, 5, 7} T \ P = {4, 11}.

8. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {3, 6, 9}. , : () = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.

, .

16

, : (A P) L, P \ (R Q), (D \ S) (F H), ... A, P, L, ... . .

. , . . :

I II III IV V VI VII

.

.

.

9. K = {1, 3, 5, 7, 9}, H = {1, 2, 4, 5, 7, 8} F = {1, 4, 7, 10}, K H F = {1, 5, 7} {1, 4, 7, 10} = {1, 7}.

5. S, C L K, H F 9, S C L K H F. S C L?

10. = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {0, 3, 6, 9, 12} C = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, : ) (A C) \ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12} \ {0, 3, 6, 9, 12} = {2, 4, 5, 7, 8, 10}, ) B (C \ A) = {0, 3, 6, 9, 12} {3, 5, 7} = {3}, ) (C B) (A \ C) = {3, 6} {2, 10, 12} = .

11. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 5, 7, 8, 9} C = {3, 4, 5, 6, 7, 10}, .

17

D \ , , . , 17 7 = 10.

2. B = {{3}, {1}, {5, 8}}, n(B) = 3, {3}, {1} {5, 8}.

1. A = {1, 2, 3, {2, 4}}, n(A) = 4, 1, 2, 3 {2, 4}.

. 20 , 17 , 7 . ? ?

? , D. n(E) = 20 n(D) = 17. , n(E D) = 7. . , :

n( D) = n() + n(D) n( D) = 20 + 17 7 = 30.

. , , . .

. ? . , . , , . , :

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B).

,

n(D) = n(D \ E) + n(E D).

18

. 2 607,

2 607 = 2 1 000 + 6 100 + 0 10 + 7 1.

(0, 1, ..., 8, 9) . , . .

N . a b a < b b < a. N . < >, .

( ). , ( ).

a < b b < c a < c. .

a < b b < a. , a b b a, a = b.

: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 3 7 (4, 5 6), 1 2, 2 3, ... . . , 1 (2 1, 3 2, 4 3,...).

, 1, . (1 3 2, 2 4 3, ...). , . , 1.

1. 2 938, : = {x | x N, x < 2 938 x = 2 938}. x < 2 938 x = 2 938, x 2 938.

2.

a b b c, a c.

19

1 N , N .

, . /- N0. , N0 = N {0}.

.

N0 N0 . , , , N0 .

, , 3 5 = 5 + 5 + 5, , . N0 .

, N0 , 12 18, 44 132, 13 : 2, 15 : 4. N0 N0 .

b N0 a b.

k a b, r , a = b k + r. r {0, 1, ..., b 1}. N0 . r = 0, a b.

.

.

a + b = b +a

(a + b) + c = a + (b + c)

24 6 6 24

(24 4) 2 24 (4 2)

a b = b a

(a b) c = a (b c)

24 : 6 6 : 24

(24 : 4) : 2 24 : (4 : 2)

N0 : , , .

20

. a + 0 = 0 + a = a, a 1 = 1 a = a. 0 , 1 . a 0 = 0 a N0, .

a (b + c) = a b + a c. . : a (b c) = a b a c.

. 0, , 1, 2, ...

50 1 2 3 4

: ( ); , , , .

, .

0 15 30 45 60 75 0 100 200 300 400 500

0 23 46 69 92 115 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000

3. , .

132 63 + 132 37 = 132 (63 + 37) 26 918 26 908 = 26 (918 908) = 132 100 = 26 10 = 13 200 = 260

1. 1cm.

21

, . .

a 4 a a a . a . . .

.

4. 32 12 + 11, (74 42) 13, ((32 + 16): 8) 5, 31, 416 1. 5. a 4 a, a a.

7. O P a b 2 a + 2 b. a b. a = 5cm b = 7cm O = 24cm P = 35cm2.

6. 4 .

a 1 2 5 7 134 a 4 8 20 28 52

. , , . , .

32 000 . , 1937. .

, . . , , , , ...

1 10 100 1 000

10 000 100 000 1 000 000

22

. . , . .

.

, .

1700. .

() .

, , , . 4 000 , , , .

- . . . 16. , .

I II III IV V

VI VII VIII IX X

L C D M

1

6

50

2

7

100

3

8

500

4

9

1000

5

10

23

. , , , , , . , , , . , (427347. . .). , ( VIII ). .

, , , . 2 000 ( 4. . . 3. . .). 13 . () .

24

, . ! ! , ?

, , , .

.

1. . , , , . , , , .

1) , 1m ( ).

2) ?

3) , , , ?

4) ? ? ?

5) /- , ?

25

2. 80cm 50cm. .

1) .2) ?

, . , ( ). ( ) ( !). ( , ) 2 500 . . . , .

( ), . . , , . , , . . , .

20cm50cm 50cm

10cm 10cm

270cm

3cm

3m

26

, , , () , , , .

, . . , .

(18661944), , . , , , , , , , , , , , .

(18781935), , . (1915). , , .

(18721944), , . , , , . .

I, , . , . .

: .

. : . , , () ().

VIII (1923)

(1915)

(1923)

27

, ( ), .

. : () : A, B, C, D,

: a, b, c, d, , p, q,

: ( ), (), (), (),...

a

b

c

A

B

GDE

A

B

G

A

B

C

, ,

28

, :

, . , . , ( , ). , !

, . . , , a b .

, , , () , . , , , , ! , .

, , , , , , . .

, , , () , (, ) .

a, b, c () , (, ) ;

, B, C () , (, ) ;

29

A a A a, B a B a.

1. .

1) A___a; 2) A___b; 3) B___a;4) B___b; 5) C___a; 6) D___b.

A A , B a B a.

3. a b A, B, C : C a, C b, A a, C B A.

1. :R S T, R S U, R T U, S T U.

2. .

1) A B C _______; 2) B C E _______;

3) E C A _______; 4) A D E _______.

C A B C B B C A.

, , .

30

.

o : .

, A B a, , , a. C1, A C1 B., A C1 a, , , C2 a, A C2 C1., C1 B. , . a, A B.

( ), . !

. A B p(A,B).

.

, A B, C A B C, D D A B.

.

31

. , , , ( ).

2. ?

?

, .

P, Q, R, , , A, B, C, , .

4. e A, B, C, D ?1) 2)

.

, A, B C p(A,B), p(B,C), p(C,A), .

.

: p(A,D), _____, _____, _____. : _______________________________.

, .

32

A A , B ( ) B .

a a , a , a .

5. A B . .

1) {A, B}____ ; 2) p(A, B)____ ; 3) {A, B}____p(A, B); 4) A____; 5) B____p(A, B).

6. , , , .

1) P ; 2) R ; 3) p(Q, S) ; 4) p(R, S) ; 5) p(P, S)____; 6) {P, Q, R}____; 7) {P}____; 8) {P} ____p(Q,S).

.

7. . .

1) ; 2) ; 3) ;4) p(B, C)____; 5) {A, B, C}____; 6) {A, B, C}___a; 7) {A, C, D}____a;8) A____p(B,C); 9) {A, B, C, D}____.

1)

2)

33

.

. ( ).

a b P, a b = {P}.

8. :

1) a b = {B} __________; 2) a c = A __________;

3) b c = {C} __________; 4) p(B,D) c = {D} __________.

9. .1) A a, B a, C a, p(B,C) a = {A}; 2) A a, B a, C a, p(B,C) a.

() , .

.

, a b.

34

a P , P a, b P.

10. p A B . a b A a, B b , p b p. a b ? c, a, A. c b p ?

11. b (a b), A B a (A a, B a) C a b (C a, C b). , ?

1) p(A,C) b; 2) p(A,C) p(B,C); 3)p(A,C) a ; 4) p(B,C) b.

, , . .

a

P

( ) , .

a P , P a, b P a.

35

, . p c . .

. a A .

B C A A B C.

B C a A , B A C C A B

a A, A.

. , . , , , .

1. a A, B, C, D, E, F, G, H, I J .

{H, E, F, D} A. , {C, B, G, I, J} A. E B A, , , .

Ap Ac.

, .

36

2. , : Ap a, Ac a, Ac Ap = {A}, Ac Ap = a.

, , , , !

2. , :

1) Dd = ____; 2) p(A, D) = ____; 3) p(A, D) = ____;

4) p(B, D) = ____; 5) p(B, D) Cc = ____.

1. = :

1) Aa Bb ____ ; 2) Aa Cc ____ ;

3) Aa Dd ____ ; 4) Aa Aa ____ ;

5) Bb Cc ____ ; 6) Bb Dd____ ;

7) Cc Dd ____ .

37

. , A B.

1. A B A B, p(A,B) .

7. :

1cm = 10mm1dm = 10cm = 100mm1m = 10dm = 100cm = 1 000mm1km = 1 000m = 10 000dm = 100 000cm = 1 000 000mm.

6. : ( m), (dm), (cm), (mm), (km).

5. , .

4. A B .

3. p(A,B) AB.

2. A B AB ( ), A B AB.

0 1 2 3 4 5

A BAB = 5cm

38

, . /-, !

3. e A, B, C, D ?1) 2)

: ___, ___, ___, ___,___, ___. : _______________________________

3. A AB 6cm, C 3cm.

. , .

. AB CD , AB = CD.

C AB, AC BC , AB.

Ap BC , D BC AD .

.

39

4. AB CD ( ) ?

, AB CD. AB > CD CD < AB., .

Ox, X Y OX = CD OY = AB ( ). O X Y OX < OY, CD < AB.

5. AB, CD EF.

, () Ox. , , X X Ox OX = AB. , Ox, Y O X Y XY = CD. , Z Ox X Y Z YZ = EF. OZ AB, CD EF.

K OZ .

4. .

1) AC EF; 2) AC BE; 3) AB AC; 4) AB BC; 5) AC BD; 6) (AB BC) CD; 7) BE CD; 8) AB CD.

40

5. A S. B S AB. C B AC. AC AS?

6. A, B, C B A C, BA = 4cm, AC = 6cm. S BC T BA, BC, AS, TS.

8. 10 . . , , , .

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

: 115km , 59km , 54km , 42km 190km .

. A B, . . 100m . .

AB A B. : AB A B. .

7. A, B, C B A C, BA = 3cm, AC = 8cm. S B T C, AC, AS TS.

A

B

41

A B p, p AB.

p AB, A B p.

, p . . .

, p , . , p, p p .

1. , :

p , p , p p = p, p p = .

p p.

1. p p p. , p, A p, B p. , .1) a A p, a p.2) B p.3) p A.

, .

42

A, B, C () ABC AB BC.

, A, B, C, D , ABCD AB, BC, CD.

A, B, C, D. BCDA, DBCA .

2. A, B, C, D ? ( ).

.

. , .

43

2. , ? A, B, C : ABC, BCA, CAB. !

, , .

, , , .

3. ADBEC, . .

4. AEDBC, .

5. 20 .

.

.

44

3. ?

4. BCDEF, IJ .

5. d , IJ .

( ): 1) d < 5; 2) 5 d

45

, A, B, C, D, E, F G.

AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA . A, B, C, D, E, F, G , AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA . A, B, C, D, E, F, G , .

: .

P . P, , , P . , , P .

.

.

46

. .

. 3, 4, 5 ... ( ) , , ...

1. ABCD PQR .

:

____, ____, ____,____, ____,

:

____, ____, ____,____, ____ .

2. X Ox OX ABCDE.

3. A, B, C, D , ? .

, , . , , ( ).

47

4. : 1) ;2) ;3) .

5. ?

6. ?

7. ?

8. O IJ, O :

9. .

1) 13;

2) 23;

3) 33;

4) 43.

48

, ? .

: , .

. , , .

, . , , o , .

1. 1) ?2) ?3) ?4) ?

2. 1) ?2) ?3) ?

3. .

, F, A B F (A, B F), AB F (AB F).

49

O

a

. r . r, . .

. , .

. k(, r) K(O, r). O , r K(O, r).

K(O, r) \ k(O, r) k(O, r).

. , .

. O r k(O, r).

k(O, r)

k(O, r)

r

50

1. k(,5cm). S OS 6cm, (r = 5cm). , U OU 3cm, . , U K(,5cm), k(,5cm), U K(,5cm), U k(,5cm). .

. .

. .

1. A B. A B.

, k(A, AB), K(A, AB).

.

2. A, B C , D, E F . A, B, C, D, E F .

3. k(,3cm) OA 5cm. 1) A ? 2) A ?

4. p 4cm A.

51

, , . k(O,r) k(S,s), K(O, r) K(S, s). d OS, .

d > r + s, . .

, k(O,r) k(S,s) = . , , K(O,r) K(S,s) = .

d = r + s, . .

, k(O, r) k(S, s) = {T}, . K(O, r) K(S, s) = {T}.

d < r + s, . . .

, , , d , d > s r, s > r.

B : k(O, r) k(S, s) = {A, B}. , , .

52

d = s r, :

1) : k(O, r) k(S, s) = {T} T.

2) , K(O, r) K(S, s) = K(O, r).

d < s r, :

1) : k(O, r) k(S, s) = .

2) , K(O, r) K(S, s) = K(O, r).

, , , d = 0. , , .

53

1. K(O1, 3cm) K(O2, 5cm), k(O1, 3cm) k(O2, 5cm), O1 O2 :1) 9cm; 2) 8cm; 3) 6cm; 4) 2cm; 5) 1cm. , ?

2. k(O1, 2cm) k(O2, 4cm), :1) ; 2) ?

3. O k(S, 5cm), :1) O ; 2) O .

4. .1) K1 K2 K2, K1 K2.2) , .3) , .4) .

5. AB, AB = 6cm.1) 5cm A B.2) 2cm A B? .

6. k(O, r) . S, S k(O, r).

7. K(O, r), . S, a S K(O, r).

. ( ). ( ).

54

: ( ) . : ... .

?

? ?

, /- , ! , , .

. , ( ).

AB BC ? ?

55

( )!

, . , . , , . . , .

. , . .

, .

12345679 9 = 111 111 11112345679 18 = 222 222 22212345679 27 = 333 333 33312345679 36 = 444 444 44412345679 45 =12345679 54 =12345679 63 =12345679 = 888 888 88812345679 = 999 999 999

143 7 111 = 111 111143 7 222 = 222 222143 7 333 = 333 333143 7 444 = 444 444143 7 555 = 555 555143 7 666 =143 7 = 777 777 7 888 = 888 888143 999 = 999 999

0 9 + 1 = 1 1 9 + 2 = 11 12 9 + 3 = 111 11 11 = 123 9 + 4 = 1111 111 111 = 1234 9 + 5 = 11111 1111 1111 = 12345 9 + 6 = 111111 11111 11111 = 123456 9 + 7 = 1111111 111111 111111 = 1234567 9 + 8 = 11111111 1111111 1111111 = 1234567654321 12345678 9 + 9 = 111111111 11111111 11111111 = 123456787654321 123456789 9 + 10 = 1111111111 111111111 111111111 = 12345678987654321

1 8 + 1 = 9 9 + 7 = 12 8 + 2 = 9 98 + 6 = 123 8 + 3 = 9 987 + 5 = 1234 8 + 4 = 9 9876 + 4 = 12345 8 + 5 = 9 98765 + 3 = 123456 8 + 6 = 9 987654 + 2 = 1234567 8 + 7 = 9876543 9 9876543 + 1 = 12345678 8 + 8 = 98765432 9 98765432 + 0 =123456789 8 + 9 = 987654321 9 987654321 1 =

: 163 21 2 5 1 1 2

=

56

12 . 12 ( ):

12 = 1 12, 12 : 1 = 12, 12 = 4 3, 12 : 4 = __, 12 = 2 6, 12 : 2 = 6 , 12 = 6 2, 12 : __ = 2, 12 = 3 4, 12 : 3 = __, 12 = 12 1, 12 : __ = __.

, 12 1, 2, 3, 4, 6 12.

, , . M , 10 23, 18 91, 34 237 25 : 6, 18 : 5.

b , b < , b < , b . , b () b < . , , .

: b b | . : b , b | , b | , : b . , b | b .

2. ) 5 | 10, 10 = 5 2 ) 18 : 6 = 3 6 | 18. 5 | 35, 35 = 5 __ 48 : 16 = 3 16 | __. 5 | 105, 105 = __ __ 182 : 2 = 91 __ | 182.

1. M je 12 4 . ? , 12 4 (12 : 4 = 3), 3 . 14 , ? , , 14 4 . 20?

, .

: b , b b | .

57

n Dn. 12 :

D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

1 . 1, .

. 4. 4, 4 . 4, 4, 8, 4 3, 4 3 = 12, 4 4, 4 4 = 16 . , 4 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... . n Sn. 4 S4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}.

, .

15? 21? , .

1. : ) 4 D4 = {1, 2, 4}; ) 7 D7 = {1, 7}; ) 20 D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}; ) 41 D41 = {1, 41}.

1. : ) 11; ) 15; ) 31; )12.

1 .

.

2. : ) 2 S2 = {2, 4, 6, ...}; ) 6 S6= {6, 12, 18, ...}; ) 15 S15= {15, 30, 45, ...}; ) 21 S21 = {21, 42, 63, ...}.

2. : ) 3; ) 5; ) 10; ) 12.

4 12, 4 12. 12 4, 12 4.

b , b. b | b .

, .

58

, 4 | 36 4 | 48, 4 | (36 + 48) ?

36 + 48 = 4 9 + 4 12 = 4 (9 + 12) 36 48 4 21, 4. 4 | (36 + 48).

, .

.

1. A 36 , 48. 4 9. 4 12 . , 4 , ?

2. ) 8 | 72, 8 | 8, 8 | 56 8 | 32 8 | (72 + 8 + 56 + 32) 8 | 168. ) 11 | (33 + 44 + 55) 11 | 33, 11 | 44 11 | 55.

3. ) 7 12 5, 7 + 12 = 19 5.) 41 4 5, 41 + 4 = 45 5.

1. : ) 4 | (240 + 16); ) 5 | (20 + 65); ) 7 | (70 +10).

2. : ) 4 | (124 32); ) 12 | (120 48).

4. ) 5 | 35 5 | 25 5 | (35 25); ) 7 | (77 35) 7 | 77 7 | 35.

5. ) 6 | (42 + 12 48) 42, 12 48 6.) 7 | (49 + 77 35 14) 49, 77, 35 14 7.

, . , .

59

8. . 6 , 3 . 24 6 . 3 ?

, 3 | 6 6 | 24, 3 | 24?

3 6 6 24, 3 24.

6. 49 7 , . (49 3) 7 , ?

49 = 7 7, 49 : 7 = 7, 49 7. 49 3 = (7 7) 3 = 7 (7 3) = 7 21 (49 3) : 7 = 21 49 3 7. , 3 49 7 .

:

7.) 15 3, 15 7 = 105 3.) 8 4, 8 7 5 = 280 4.

3. : ) 3 | 99 100; ) 5 | 99 100.

( | a | b), ( | b).

60

?

, , .

, ?

0 = 5 0 0 : 5 = 0, 0 = 2 0 0 : 2 = 0, 0 = 31 0 0 : 31 = 0, , 0 . , n, 0 n = 0 ( 0).

, . (, ...). ( ), (, ...).

9. ) 8 | 64 64 | 128, 8 | 128. ) 11 | 99 99 | 198, 11 | 198.

, b a | b b | c a | c.

a:0

5. , ?) 0 : 42; ) (83 (38 + 45)) : 2; ) 58 : 0; ) 49 : (63 63);) 88 (44 : 0); ) (566 328) : 0; ) (483 483) : (28 28).

4. ) 51 | 221 493 , 17 | 221 493 ) 56 | 588 616 , 7 | 588 616, 8 | 588 616 14 | 588 616.

.

0 .

61

25 , . , , ? 25 : 7 = 3 4, 3 (3 7 = 21) 4 . :

25 = 7 3 + 4. 27 ? , , 27 = 7 3 + 6.

, b a = b k + r, k r . 0, .

a = b k + r r r = a b k. 0 (r = 0), 0 = a b k, a = b k. a b, b | a.

1. :) 54 5; 54 = 5 10 + 4, 10 , 4 .) 127 10; 127 = 10 12 + ____, ____ , ____ .) 97 3; 97 = 3 ____ + 1, ____ , ____ .) 222 11. 222 = 11 ____ + ____, ____ , ____ .

0, 0 r < b.

0, a b, 0, b.

2. :) 49 3; k = _____, r = _____ ) 98 7; k = _____, r = _____) 324 15; k = _____, r = _____ ) 1 234 26. k = _____, r = _____

3. 32 3, 4, 5 6.

62

10, 100, ... . .

10 0. 100 0. 1 000 0.

(2, 5, 4, 25, 3, 9). , .

2 5 10. ,

458 = 45 10 + 8, 1 765 = 176 10 + 5, 4 077 = 407 10 + 7. 10 = 2 5 (45 10, 176 10, 407 10) 10, 2 5, 2 5 (8, 5, 7), .

2. 2 : 12, 138, 2 304, 7 000, 8 776, ...

2 0, 2, 4, 6 8.

1. ) 260 10 26, 260 : 10 = 26. , 260 10.) 2 300 100 23, 2 300 : 100 = 23. , 2 300

100.) 347 000 1 000 347, 347 000 : 1 000 = 347. ,

347 000 1 000 .

.

1. :) 600 _________________; ) 41 000 _________________; ) 5 700 _________________?

2. 2 : _____, _____, _____, _____, _____. 2 : _____, _____, _____, _____, _____.

63

2 ( ) 2 ( N0). 2 2 + 1 ( N0).

4 25 4? 25?

, , .

100. ,

543 = 5 100 + 43, 3 236 = 32 100 + 36, 98 750 = 987 100 + 50.

100 = 4 25, (5 100, 32 100, 987 100) 100, 4 25, 4 25 (43, 36, 50), , .

1.

) 45 637 37.

) 28 605 05.

3. 5 : 35, 10, 385, 7 895, 27 000, ...

2. 4 : 68, 324, 8 900, 532, ...

2. 1 000 4 : ______, ______, ______, ______, ______. 1 000 4 : ______, ______, ______, ______, ______.

1. : ) 4 865; ) 30 803; ) 100 200.

4. 50 5 : ______, ______, ______, ______, ______. 500 5 : ______, ______, ______, ______, ______.

3. :) )

k 0 1 2 3 4 5 6 k 0 1 2 3 4 5

2 k 2 k + 1

5 0 5.

4 4, : 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, ...

64

? , :384 = 3 100 + 8 10 + 4, 5 403 = 5 1 000 + 4 100 + 0 10 + 3, 80 097 = 8 10 000 + 9 10 + 7 (a, b, c ...) *, :

= 3 100 + 8 10 + a, = 5 1 000 + b 100 + 3, = 8 10000 + c 10 + 7, ... 38a, 38 a . , , .

8. 824, 432, 54 321, 750, 6 800 2, 4, 5, 10 25.

2 4 5 10 25

822,

2

432,

2

, 32

54 321

750,

0

,

0

, 0

, 50

6 800,

0

, 00

, 0

, 0

, 00

3. 25 : 75, 600, 23 725, 950, ...

3. 50 25 : ______, ______, ______, ______ ______. 500 25 : ______, ______, ______, ______ ______.

.) 2 | , a { 0, 2, 4, 6, 8 }; ) 4 | , c { 1, 3, 5, 7, 9 };) 5 | , b { 0, 5 }; ) 25 | , * = 0.

. a b :

) 2 | ) 5 | ) 4 | ) 25 |

25 25, : 00, 25, 50, 75.

65

3 9 , , 3 9.

T 9, 99, 999 9, 1 9 ( 3 9 = 3 3).

3, 2.

8 235 = (8 999 + 2 99 + 3 9) + (8 + 2 + 3 + 5)

9 3. 3 9, 3 .

.

1. : ) 24 567; ) 1 000 000; ) 90 564.

9 9.

3 3.

1.) 73 482

7 + 3 + 4 + 8 + 2 = 24.) 450 218

4 + 5 + 0 + 2 + 1 + 8 = 20.

9

9.

2. :8235 = 8 000 + 200 + 30 + 5 = = 8 1 000 + 2 100 + 3 10 + 5 = = 8 (999 +1) + 2 (99 +1) + 3 (9 + 1) + 5 = = 8 999 + 8 1 + 2 99 + 2 1 + 3 9 + 3 1 + 5 = = 8 999 + 8 + 2 99 + 2 + 3 9 + 3 + 5 = = 8 999 + 2 99 + 3 9 + 8 + 2 + 3 + 5

9, 9 (8 + 2 + 3 + 5 = 18). 18 9, 8 235 9.

8 235.

66

2 3 2 3 = 6. 12, 15, 36, ...

3. 267 3, 2 + 6 + 7 = 15 3 | 15.

4. 7 032 1 234 3. 7 032 3, 7 + 0 + 3 + 2 = 12, 12 3. 1 234 3, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 10 3.

2. 3:) 345; ) 1 313; ) 28 113.

5. 8 460 9 876 9.- 8 460 9, 8 + 4 + 6 + 0 = 18, 18 9.- 9 876 9, 9 + 8 + 7 + 6 = 30, 30

9. 3 3 | 30.

3. 9:) 225; ) 7 123; ) 54 864.

) 6 2 3.) 12 3 4.) 15 3 5.) 36 4 9.

. : ) 126 6; ) 480 15; ) 288 12 ; ) 756 36.

. :

) 222 6; ) 840 15.

) 222 2 2 3

2 + 2 + 2 = 6 3, 222 2 3 = 6.

) 840 3 8 + 4 + 0 = 12 3 5 0, 840 3 5 = 15.

6, 12, 15, 36

18 2 6, 2 6 = 12.

67

:

D1 = {1}, D6 = {1, 2, 3, 6},

D2 = {1, 2}, D7 = {1, 7},

D3 = {1, 3}, D8 = {1, 2, 4, 8},

D4 = {1, 2, 4}, D9 = _________,

D5 = {1, 5}, D10 = _________.

:

D1 ,D2 , D3 , D5 , D7 , ... ,

D4 , D6 , D8 , ... .

, 20 2 . 23.

D23 = {1, 23}

100 ? 1 . , , 3, 5, ... , , 113 ? , D113 = {1, 113}.

: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, ...

, , 3, 5 7 . ? . , 9 1 3.

1 , 1 , .

1 .

1 1. 1 . 2 .

1. 12, 13, 22, 23 25, .

D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, D13 = {1, 13}, D22 = {1, 2, 11, 22}, D23 = {1, 23}, D25 = {1, 5, 25}.

13 23 , . 12, 22 25 , .

68

1.

2. ) : 3 7, 13 47, 5 29, ...) 15 8 , , D15 = {1, 3, 5, 15} D8 = {1, 2, 4, 8}

D15 D8 = {1}.

1. : ) D8 D9; ) D20 D21; ) D23 D24; ) D120 D121.

. ( III ). .

. 100.

1 100.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

. 1 , . 2 , 2, 2 ( , ). 3 , , 3 3, 3 . , a 6, 12, 18, ..., 2 3. 4, , , 5. , , 5 5, 5 . . . 100, : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

69

V1 30 . . , ?

je 30 = 2 15 = 3 10 = 5 6 30 2 , 15 , 3 , 10 , 5 , 6 . 30 . , .

1.

65 = 5 13 143 = 11 13

30 = 2 15 = 2 3 5 105 = 3 35 = 3 5 7

65, 30, 143 105 , .

12 = 2 6 = 2 2 3 36 = 4 9 = 2 2 3 3 75 = 3 25 = 3 5 5

2.

1. 34, 42, 77 385 .

2. 63, 100 500 .

70

32 = 4 8 = 2 2 2 4 = 2 2 2 2 2

2 . , , , :

3 3 = 32 ( 3 , 2 ),2 2 2 2 = 24 ( 2 , 4 ),5 5 5 = 53 ( 5 , 3 ). 2 ( ):12 = 22 3 36 = 22 3_ 75 = 3 __ 32 = __ ? : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., . , , . 1. 20 .

20 20 220 : 2 = 10 10 210 : 2 = 5 5 55 : 5 = 1

20 210 2

5 51

:

, 20 = 2 2 5 = 22 5.

, .

3. 48. : : :

, .

48 224 212 2

6 23 31

48 = 2 24 = 2 2 12 = 2 2 2 6 = 2 2 2 2 3 = 24 3

3. 400, 1 250 4 840.

71

8 12 . , . ? 1, 2, 4 8 . , , 8

D8 = {1, 2, 4, 8}. 1, 2, 3, 4, 6, 12 . 12

D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} , 1, 2 4 . 1, 2 4 8 12, 8 12.

N a b, . Da,b. 1 Da,b.

8 12 4. .

1. : ) 10 16; ) 48 54.

) D10 = {1, 2, 5, 10} D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D10,16 = D10 D16 = {1, 2}

10 16 2, D(10, 16) = 2.

) D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} D54 = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} D48,54 = D48 D54 = {1, 2, 3, 6} D(48, 54) = 6.

a b a b D(a, b).

D8 D12 = D8,12 = {1, 2, 4}

72

1 : - , - , - - . 2, , .

Da,b = Da Db , Da,b, = Da Db D .

D(a,b) Da,b, D(a, b, ) Da,b,.

105 335 5

7 71

150 275 325 5

5 51

48 224 212 2

6 23 31

72 236 218 2

9 33 31

96 248 224 212 2

6 23 31

Da,b , D(a, b) .

1. :) 24 60; ) 30 50.

2. 24 36.

24 = 2 2 2 3,36 = 2 2 3 3.

:

24 = 2 2 2 3,36 = 2 2 3 3.

24 36 ,

D(24,36) = 2 2 3 = 12.

.

3. ) 105 150

.105 = 3 5 7150 = 2 3 5 5D(105, 150) = 3 5 = 15

) 48, 72 96.

48 = 2 2 2 2 372 = 2 2 2 3 396 = 2 2 2 2 2 3 D(48, 72, 96) = 2 2 2 3 = 24

73

4. :

) 7 13; ) 8 9; ) 4, 11 17.

D(7, 13) = 1 D(8, 9) = 1 D(4, 11, 17) = 1

, . 3.

105, 150 335, 50 5

7, 10D(105, 150) = 3 5 = 15 D(48, 72, 96) = 2 2 2 3 = 24

, 1.

1. 1.

. , , ... . .

, .

48, 72, 96 224, 36, 48 212, 18, 24 2

6, 9, 12 32, 3, 4

3. :) 15 16; ) 31 32; ) 25 49.

a b D(a, b) = 1.

| b, D(a, b) = .

2. :) 12 42; ) 60 80.

74

6. , 75m 105m, . ?

, 75 105, 75 105 ( ). , 75 105.

D(75, 105) = 3 5 = 15

15m. . 75 : 15 = 5 , 105 : 15 = 7 , 12 .

75 = 3 5 5 105 = 3 5 7

D(75, 105) = 3 5 = 15

15m. 5 + 7 = 12 .

75 325 5

5 51

105 335 5

7 71

75, 105 325, 35 5

5, 7

5. 6 42.

6 | 42 D(6, 42) = 6.D(6, 42) = 2 3 = 66, 42 23, 21 31, 7

4. 72 162 ?

75

, , -. , . , , ?

, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... . 3.

S3 = { 3, 6, 9, 12,15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... } , 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... . 4.

S4 = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... } 12, 24, 36, ... . 3 4.

3 , 3 k (k N). 4 , 4 k (k N). , 3 4 . , 12, 3 4.

S(3, 4) = 12.

N a b, .

b Sa,b.

a b a b S(a,b).

S3 S4 = S3,4S3,4= { 12, 24, 36, }

76

. .

.

1. 3, 5 6.

1. 3,S3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, }.

2. 5, S5 = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, }.

3. 6, S6 = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, }.

4. 3, 5 6, S3 S5 S6S3,5,6 = {30, 60, }.

5. 3, 5 6. S(3, 5, 6) = 30.

2. ) 9 12. 12, 12 4 9. 12 9, 12 9, 24 9, 24 9, 36 : 9 = 4, 36 9 12. S(9, 12) = 36.) 45 60. 60 45 120 45 180 : 45 = 4, a je S(45, 60) = 180.

3. ) 9 12.

9 = 3 3 12 = 2 2 3 S(9, 12) = 2 2 3 3 = 36.

9 12 9 12. ( , .)

9 33 31

12 26 23 31

) 45 60.

45 = 3 3 5 60 = 2 2 3 5S(45, 60) = 2 2 3 3 5 = 180

60 230 215 3

5 51

45 315 3

5 51

77

( ) , . , , , , , , . .

4. : a) 54 90; ) 45, 60 75.

S(54, 90) = 2 3 3 3 5 = 270 S(45, 60, 75) = 2 2 3 3 5 5 = 900

45, 60, 75 245, 30, 75 245, 15, 75 315, 5, 25 3

5, 5, 25 51, 1, 5 51, 1, 1

54, 90 227, 45 3

9, 15 33, 5 31, 5 51, 1

6. a) S(4, 9). 4 9 , ,

S (4, 9) = 4 9 = 36.

) S(10, 33).

D(10, 33) = 1

S(10, 33) = 10 33 = 330.

a b D(a, b) S(a, b) = b. , a b .

1. : ) 12 16; ) 24 30; ) 4, 6 8.

A | b, S(a, b) = b.

5. a) 5 10 10, 5 | 10, S(5, 10) = 10.) S(6, 18, 72). ao je 6 | 72 18 | 72, S(6, 18, 72) = 72.

D(a, b) = 1, S(a, b) = b.

, .

, .

,

D(a, b) S(a, b) = b.

78

, .

. , 6 1, 2 3. . . , 6 . , 6 1, 2 3, 6 6 = 1 + 2 + 3. 28, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. , . 496, 8 128, 33 550 336.

, ( ). , .

6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 30 + 31

, . : ? , , , 300 100 000 000 000 000 000 000.

. , 220 284 . 220 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 284. , 284 1, 2, 4, 71, 142, 220. . , 1636. , , 17 296 18 416. . , , 1866. 1 184 1 210.

. , ?

79

1. , . ? ? ?

3. , , , , . ? . , . , , . , . , .

2. ? , ?

. : 24 , 60 ? ? ?

!

80

, OP OQ, o pOq, P Op Q Oq. OP OQ POQ.

POQ POQ!

1. a b O . Oa1 Oa2 a O, Ob1 Ob2 b O, : a1Ob1, a1Oa2 = a, a1Ob2, b1Oa2,

b1Ob2 = b, a2Ob2.

. , A p p.

. , .

Op Oq pOq. , pOq = Op q.

81

1. A, B, C, D p. 1) DBC p?2) DBC p?3) A,

, p?

4) p?

2. ) , .

1) xOy uSv = {A, B, C, D};2) OAB uSv = AS;3) xOy CDA = AD;4) OBA BCD = {B}.

) :1) ODC xOy = _________;2) AOB BSC = _________;3) DCA ABC = _________;4) ABC ADC = _________.

. , . A B A B (, , ) . , A B .

2. T X, Y Z, , pOq. Z T, Z X, Y T, Y X .

82

. .

! Op Oq , , , . , , .

. : pOq pOq pOq.

3. ( ) .

.

.

.

.

Op Oq , , , . .

,

!

,

!

83

. : , , , . : ( ), (), ().

4. .

1) 2) 3)

5. a, Ob Oc.

: aOb, aOb, ______ , ______ , ______ , ______ .

: ________________________

____________________________________.

6. :1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) ;8) .

84

?

X ( ) (Oq) (Op) . . . , . !

1. . . :

AOB, AOB, ____________________________

.

85

k(O, r) POQ r, POQ, , . , , . PQ. PQ , () () .

1. , . , AOB AB C. , ___. . AOB AB

2. :

3. k(O,5cm) P. P 3cm? !

. .

( ) , . , , .

.

86

: ( ) , . ? , ?

1. 1 185 .

, !

, . , , . , , .

() . , .

() . .

87

1. , , . , , . r . . = .

!

Ox pTq?

1. , T, r. pTq P Q.

2. O r ( ). X Ox .

3. PQ. , k(X,PQ). Y Z O.

, XY = PQ XZ = PQ, XOY ZOX pTq, :

XOY = pTq = ZOX.

88

1. 2. r = OX () .

, , .

2. Aa, Bb, Cc aAx, bBy, cCz , , ABC.

3. AB . Aa Bb, p(A,B), aAB bBA .

4. . .

89

1. OA = OB = SC = SD = TP = TQ.

a , .

CD < AB < PQ. , :

CSD < AOB < PTQ.

xOy pTq XY PQ . XY < PQ, xOy < pTq, o xOy pTq.

1. , , .

.

90

2. j .

_______

91

K

, , .

2. aSb cTd.

!

!

:

, ,

Ox!

xOy < xOz, xOy = cTd xOz = aSb, cTd < aSb.

5. , , ABC.

.

92

, .

aTb pSq.

1, 2 3.

1. Ox.

2. xOy , pSq.

3. yOz: Oy, aTb xOy.

xOz xOy yOz, aTb pSq, xOz = xOy + yOz = aTb + pSq.

93

1. :1) xOy, aSb, uTv;2) xOy,

xOy + xOy;3) uTv.

2. 1) ? 2) ? .

, . aTb pSq, aTb pSq, :

Ox xOy aTb,

zOy Oy, pSq xOy. ,

xOz = xOy yOz = aTb pSq.

3. . :1) ;2) 2;3) 2 3.

4. , , ABC.

94

.

. , , , . . !

(), . .

. !

.

. , .

95

, .

1. ABC, EFG PQR. : , .

ABC: ABC _________ , BCA _________ , CAB _________ .

EFG: EFG _________ , FGE _________ , GEF _________ .

PQR: PQR _________ , QRP _________ , RPQ _________ .

2. :1) ;2) ;3) .

. .

96

3. :1) ;2) .

4. :

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

. !

. !

, .

/- !

97

. .

!

5. 2, .

6. 3, .

7. ?

8. .

1) : ) ; ) ; ) .

2) : ) ; ) ; ) .

3) : ) ; ) ; ) .

4) : ) ; ) ; ) .

. , . , .

. , 1173. . . , , .

98

.

, , .

p. !

n A p; p n n p.

p A . , , N p n p A. X p, AN < AX.

N n A p p A. A p AN.

p q , p q, . .

An

p

q

p

99

1. A, B, C, D p? , , E p A p B.

k(O,r), K(O,r), (). , . O !

. d O p r, p k(O,r) K(O,r) k(O,r) p = K(O,r) p = .

. d O p r, p , A B, k(O,r), AB K(O,r) p k(O,r) p = {A, B} K(O,r) p = AB.

.

.

.

100

5. O 3cm, 5cm, 6cm. , , k(,5cm) .

. d O p r, p , T, k(O,r) K(O,r) k(O,r) p = {T} K(O,r) p = {T}.

2. p k(O,5cm), p k(,5cm) = {A, B} p. AB?

3. k(S,6cm) . k(S,6cm) .

4. k(O,r), P (OP < r) Q (Q > r). ?

1) P k(O,r).

2) P k(O,r).

3) Q k(O,r) .

4) Q k(O,r).

5) Q k(O,r).

6) k(O,r) P.

7) k(O,r) Q.

p T k(O,r), K(O,r), p , , T. p k(O,r), K(O,r). OT p!

101

, , . , , .

.

. , 1.

360. 180. 90.

, , . ( ) .

. , , = 90.

1. :

2. , :1) 45; 2) 20; 3) 120; 4) 330; 5) 297.

3. 10:1) ;2) .

Ox

yxOy=70

30

6090

150

180 0

120

102

, . : , , ....

4. .

1 = 60' = 3 600''2 = _____' = _____''

_____ = _____' = 36 000''_____ = 5 400' = _____''

.

1. = 463', 463' = 7 60' + 43' = 7 + 43', = 7 43'.

2. , = 17 41' 51'' = 17 36' 37''. 1741'51''+ 1736'37'' = 3477'88'' = 34 + 77' + 60'' + 28'' = 34 + 77' + 1' + 28'' = 34 + 78' + 28'' = 34 + 60' + 18' + 28'' = 34 + 1 + 18' + 28''= 3518'28''

, + = 35 18' 28''.

3. , = 23 17' 16'' = 14 21' 28''. 2317'16'' 1421'28''= 2316'76'' 1421'28''= 2276'76'' 1421'28''= 2276'76'' 1421'28''= 855'48

, = 8 55' 48''.

, , . , , .

, 1' ( ). , 1 = 60'. , 1'' ( ). , 1' = 60'' 1 = 3 600''.

103

5. = 14 56' 21'', = 7 18' 17'', = 45 56' 38'', = 17 12'', :1) + ; 2) 2; 3) 2 + ; 4) ; 5) 2 3; 6) + + .

6. = 71 14' 14'', .

7. 30 . .

. 4 187 ( ) . x ( ) () (13cm). , () . O . . , 21. 35.

60 3 600 ( ), 360 , 60 60 . 60 360 ( 365, 366 ). , , 4 000 .

O

104

.

1. . 2 185. ( , , , ) , .

:

1. :______ = ______, ______ = ______.

2. :

______ + ______ = 180, ______ + ______ = 180, ______ + ______ = 180, ______ + ______ = 180.

. .

, 3. _____ _____, _____ _____.

4. : _____ _____, _____ _____, _____ _____, _____ _____.

2. , .

105

.

3. . 185 3 ( ) . , : ( ), ( ), ( ), ( ). .

:

1. ______ = ______ = ______ = ______,

2. ______ = ______ = ______ = ______.

:

+ = ______, + = ______. .

______ + ______ = 180, ______ + ______ = 180, ______ + ______ = 180, ______ + ______ = 180.

4. .

CED = ______, DEI = ______, AEG = ______

BEC = ______, GEI = ______, EGF = ______

FGH = ______, HGI = ______, EIG = ______

GIK = ______, KIJ = ______, JIE = ______

.

106

: .

/- . , :

= = = = 1 = 1 = 1 = 1.

5. : = ______ = ______ = ______ = ______ = ______ = ______ = ______. : + 1 = ______, +1 = ______, + 1 = ______, + 1 = ______, + 1 = ______, + 1 = ______, 1 + 1 = ______.

, () .

!

.

.

pOq = p1O1q1 pOq = s1O1r1 pOq + p1O1r1 = 180

107

6. aOb S. S, aOb : 1) aOb;2) aOb.

7. p(A,B) p(C,D) p(B,C) p(D,A), .

8. . , .

9. , = 50.

. , , . . , , . ( ) . = 7 12'. ( ) .

. ( ) 6 247km . () 6 378km.

?

108

1. , ,

xOy. , , ? , x y, !

2. .

?

.

3. A p.

109

. /- 10. . , .

. .

, a ,

.

.

,

.

, a

.

110

? . .

, , ( ). 4 3, , () . ?

, /- . , . ?

, , .

?

! , . ,

!

111

, , .

: 43 .

, .

.

( ), , . .

.

.

37

( ), . A 2, , 3 , 4 , . , ( ).

1. , . ) ) ) )

12

13

25

56

112

1. .

34

:

:

:

______

____________________

______

____________________

38

:

:

:

______

____________________

______

____________________

2. . ( ). , .

32

115

53

198

)

)

) )

)

)

)

)

)

)

113

2. .

, 4 : 3

. /- 4 3 43

, 4 : 3 = 43

.

.

. a b a : b = ab

.

. , ab

= a : b, a, b N.

0 , , , 0 = 0 : n = 0n

n.

54

:

:

:

______

____________________ ____________________

:

:

:

______

____________________

______

1. a = b, ab

= 1 ( , a = b = 2, 22

= 1).

2. a b, ab

( , a = 4, b = 2,

42

= 2).

3. n n1

( 1,

), n : 1 = n. ,

.

a b .

114

. , , 1 200 . 900 , , , 600 . .

1 200 : 4 = 300, 900 : 3 = 300 600 : 2 = 300, ( ) . ,

1 200 : 4 = 900 : 3 = 600 : 2,

1 2004

= 9003

= 6002

.

ab

?

1. 5 189 , , 2, 4, 8 . , . , . ?

1. , 189 ( 6) . ?

13

= =

12

24

48

= =

115

, . .

12

= 1 22 2

= 24

, 13

= 1 33 3

= 39

, 12

= 1 42 4

= 48

, 13

= 1 63 6

= 618

.

n > 1 ( ), n.

ab

= a nb n

2.

23

, 15

1724

2 11.

23

= 2 23 2

= 46

23

= 2 113 11

= 2233

15

= 1 25

=

15

= 1 5 11

= 1724

= = 1724

= =

2. 7 189 , 16, 8, 2 . , , . , . ?

3. , 189 ( 8) . ?

2030

= =

816

48

12

= =

116

.

816

= 8 : 216 : 2

= 48

, 2030

= 20 : 530 : 5

= 46

, 48

= 4 : 48 : 4

= 12

, 46

= 4 : 26 : 2

= 23

.

n > 1

n.

( ab = a : nb : n )

4.

68

, 912

, 2580

119187

.

68

= 6 : 28 : 2

= 34

912

= 9 : 312 :

= 2580

= :80 : 5

= 119187

= ::

= 11

3. 413

.

413

(

2, 3, 4, ), 5 12.

. , 2, 3, 6 ( 2 3 = 6).

413

= 4 513 5

= 2065

413

= 4 1213 12

= 48156

413

= 4 213 2

= 826

= 8 326 3

= 2478

413

= 4 613 6

= 2478

4. 1620

.

,

16 20. D16,20 = {1, 2, 4}, 1620

2 4.

1.

117

1620

2. 1620

= 16 : 220 : 2

= 810

810

,

, D8,10 = {1, 2}. 8

10 = 8 : 2

10 : 2 = 4

5, 16

20 2.

1620

= 16 : 220 : 2

= 810

= 8 : 210 : 2

= 45

, , 1620

4. 1620

= 16 : 420 : 4

= 45

, 4 ,

2. 4 = 2 2.

1620

4, D(16,20) = 4.

1620

4 45

, , 4

5 .

. .

() .

5. 92

, 37

, 49

, 25

, ... .

, .

5.

.

) 14

= 12

, 23

= 15

, 76

= 28, 135

= 91;

) 68

= 4

, 2718

= 2

, 159

= 5 , 812

= 2 .

ab

a b.

a b ab

.

118

/- , .

1. 37

57

?

37

< 57

1.

: ) 29

, 49

, 79

; ________________________

) 811

, 611

, 1011

; ________________________

) 98107

, 51107

, 5107

. ________________________

2. 310

34

?

310

< 34

2.

: ) 52

, 53

, 512

; ________________________

) 1457

, 143

, 1475

; ________________________

) 567876

, 5671000

, 567222

. ________________________

.

a < b, ac

< bc

.

a > b, ca

< cb

.

.

119

,

, .

!

.

23

> 58

, 23

.

3. ,

:

, 58

23

? ,

.

.

, ,

. 58

23

,

. , S(3,8).

S(3,8) = 24, 3, 8.

58

= 5 38 3

= 1524

23

= 2 83 8

= 1624

.

1524

1624

. 16 > 15, 1624

> 1524

, 23

> 58

.

58

23

, . S(5,2) = 10, 58

2, 23

5.

58

= 5 28 2

= 1016

23

= 2 53 5

= 1015

.

1016

1015

. 16 > 15 1016

< 1015

, 58

< 23

.

120

. .

4. 1215

35

.

1215

= 12 : 315 : 3

= 45

45

> 35

, 1215

> 35

.

5. 2035

1224

.

, 2035

= 20 : 535 : 5

= 47

1224

= 12 : 324 : 3

= 48

, 2035

> 1224

.

3. < > .

) 35

710

; ) 27

49

; ) 52

5321

;

) 313

518

; ) 415

1236

; ) 66120

96160

.

1. 29

+ 59

.

( ) .

2 + 5 = 7 , 79

.

9

, 19

.

29

, 59

.

( 58

23

)

.

121

1. :

) 25

+ 15

= 5

; ) 712

+ 412

= 11 ; ) 710

+ 210

= ;

) 34

+ 24

= ; ) 1724

+ 1924

= ; ) 119

+ 59

= .

2. 45

.

4 = 1 + 3 = 2 + 2, 45

a :

45

= 1 + 35

= 15

+ 35

45

= 2 + 25

= 25

+ 25

.

2.

57

, 89

1217

.

3. 3 + 34

.

4 , 1 = 44

,

.

, 12 ,

3 = 31

= 3 41 4

= 124

.

, 3 34

.

3 + 34

= 124

+ 34

= 154

, .

3. :

) 1 + 12

= 2

+ 12

= 2

; ) 2 + 13

= 3

+ 13

= ;

) 5 + 310

= + 310

= ; ) 4 + 23100

= + = .

ac

+ bc

= a + bc

.

,

,

122

2. .

1. .

13

() (). , , .

( ). , , .

1. 35

?

35

< 55

= 1, 3 < 5, 35

.

32

< b, ab

.

1, .

a)

a)

)

)

)

)

)

)

123

2. 75

?

75

> 55

= 1, 7 > 5, 75

.

2 . .

32

= 2 + 12

= 22

+ 12

= 1 + 12

32

1 12

1 12

2424

= 1 2424 1 - 1

154

= 124

+ 34

= 3 + 34

154 3

34

3 34

() () . . . , , . :

32

= 1 12

2424

= 1

154

= 3 34

. .

3. 679

. . . , .

9 67 7 4, 679

= 7 49

.

a b, ab

.

124

3.

: ) 54

= ; ) 5615

= ; ) 45617

= .

4.

b

:

a) 1 14

= 1 + 14

= + 14

= ; ) 3 17

= ; ) 15 323

= .

4. b

3 37

.

3 37

= 3 + 37

= 3 77

+ 37

= 21 + 37

= 247

, ,

. 3 37

= 3 7 + 37

= 21 + 37

= 247

.

.

, 85,55 . , . ?

- . 10, 100, 1 000, 10 000 . ,

25 678 = 2 10 000 + 5 1 000 + 6 100 + 7 10 + 8,

8, 7, 6, 5, 2.

B

11,9 g

70,4 g

14,5 g

12,3 g

5,9 g

73,2 mg

0,91 mg

160,15 mg

3,33 mg

125

1. . :

110

, 1100

, 11 000

, 110 000

.

.

. , . .

:1

10 = 0,1 1

100 = 0,01 1

1 000 = 0,001 ...

1 , 1 , 1 , .

, , , , .

1. :

710

= ; 9100

= ; 31 000

= ;

3 310

= ; 101 4100

= ; 6 61 000

= .

1. 310

, 2100

57 91 000

.

310

< 1, 310

.

3, 3 3 . , 3

10 = 0,3. 2

100 = 0,02 57 9

1 000 = 57,009.

.

126

2. 10 3451 000

.

, , .

10 3451 000

= 10 + 3451 000

= 10 + 300 + 40 + 51 000

= 10 + 3001 000

+ 401 000

+ 51 000