MATEMATIKA
ÉRETTSÉGI - 2005
Közép szint
I. rész
K.1. Adott két pont: ,2
1 ;4
A és
2
3 ;1B
Írja fel az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit
2
3
2
14
x
12
2
3
2
1
y
1 ;
2
3F 2 pont
K.2. Az ábrán egy [-2; 2] intervallumon értel-mezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabá-lyát!
2 2 xx :A
2 2 x x :B2)2( xx :C
B 2 pont
K.3. Határozza meg a 2. feladatban megadott, [-2; 2] intervallumon értelmezett függvény értékkészletét !
A függvény értékkészlete:
a 2-nél nem kisebb és 6-nál nem nagyobb valós számok halmaza:
3 pont62 y
K.4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis!
A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. B: Egy négyszögnek lehet 180o-nál nagyobb belső szöge is. C: Minden trapéz paralelogramma.
A: hamis B: igaz C: hamis
1 pont
1 pont
1 pont
K.5. Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a (-3; 5) pont. Írja fel a kör egyenletét!
16)5()3( 22 xx
2 pont
K.6. Egy rendezvényen 150 tombolajegyet adtak el. Ági 21-et vásárolt. Mekkora annak a való-színűsége, hogy Ági nyer, ha egy nyereményt sor-solnak ki? (A jegyek nyerési esélye egyenlő.)
A nyerés valószínűsége:
14,0150
21 2 pont
K.7. Egy derékszögű háromszög egyik befo-gójának hossza 3 cm, a vele szemközti szög 18,5o. Mekkora a másik befogó? Készítsen vázlatot, és válaszát számítással indokolja!
x
35,18tg
x
33346,0
cm 966,83346,0
3x
2 + 1 pont
K.8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa .2
1
Számítsa ki a sorozat ötödik tagját!
2
1 ,1 ,2 ,4 ,8 54321 aaaaa
A sorozat ötödik tagja: 2
1
2 pont
K.9. Egy gráfban 4 csúcs van. Az egyes csú-csokból 3; 2; 2; 1 él indul. Hány éle van a gráf-nak?
A gráf éleinek a száma: 4
2 pont
K.10. Ábrázolja az 42
1)( xxf
[-2; 10] intervallumon!
függvényt a
2 pont
K.11. A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból vélet-lenszerűen kiválasztani az első csoportba tarto-zókat? Először mindenki történelemből felel. b) Hányféle sorrendben felelhet történelemből az 5 kiválasztott diák?
263345432
2221201918
!17!5
!22
5
22 )
a
120!5 ) b
2 pont
2 pont
K.12. Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja!
dm 3,1cm 13
. 33
dm 2024,93
3,14
V
A labdában kb. 9,2 liter levegő van.
2 + 1 pont
II. rész
A
K.13. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
xxx 22 sin3cos4cos )cos1(3cos4cos 22 xxx
xxx 22 cos33cos4cos
03cos4cos4 2 xx
8
48164cos 2,1
x
(hamis), 2
3cos 1 x
2
1cos 2 x )( 2
3Z
kkx
12 pont
K.14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora az első 150 tag összege?Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 25 863. b) Igaz-e, hogy 25 863 számjegyeit tetszőleges sorrendben felírva mindig hárommal osztható számot kapunk? (Válaszát indokolja!) c) Gábor olyan sorrendben írja fel 25 863 számjegyeit, hogy a kapott szám néggyel osztható legyen. Milyen számjegy állhat a tízes helyiértéken? (Válaszát indokolja!)
a) .13417 ,41721 1 ad
466502
150)4149132(150
S 5 pont
b) Igaz, mert számjegyeit tetszőleges sorrend-ben felírva, a számjegyek összege mindig osztható hárommal, tehát a kapott ötjegyű szám osztható 3-mal. 3 pontc) Az utolsó két jegy lehet: 32, 52, 36, 56, 28, 68
Tehát a tízes helyiértéken 2, 3, 5 vagy 6 állhat.
4 pont
K.15. Egy dolgozatnál az elérhető legmagasabb
pontszám 100 volt. 15 tanuló eredményeit tartal-
mazza a következő táblázat:
a) Határozza meg az összes dolgozat pont-
számának átlagát (számtani közepét), móduszát és
mediánját!
b) A dolgozatok érdemjegyeit az alábbi táblázat alapján kell megállapítani!
Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot!
c) Készítsen kördiagramot az osztályzatok megoszlásáról! Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is!
a) Az átlag:
6115
915
15
5817231265802919521003
A módusz: 100, a medián: 80 5 pont b)
2 pont
c)
5 pont
1-es: 96o,
2-es: 48o,
3-as: 0o,
4-es: 24o,
5-s: 192o
2415
360
BAz alábbi 16.-18. feladatok
közül tetszés szerint
választott kettőt kell
megoldania…
K.16. Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a kúp alkotójával. A kúp magasságának hossza 35 cm. Készítsen vázlatot!
a) Mekkora a kúp felszíne?
b) Mekkora a kúp térfogata?
c) Mekkora a kúp kiterített palástjának közép-
ponti szöge?
a) 353 r 5 r10l
2cm 61,23575)( lrrA
9 pont
b)
32
cm 72,2263
3525
3
mrV
2 pont
c) A palást területe:
rlP
Ez egy 10l sugarú, középponti szögű körcikk
területe, tehát
360
2
lrl
360
105 180
6 pont
K.17. Anna és Zsuzsi szeretné megvenni az újságosnál az egyik magazint, de egyik lánynak sincs elegendő pénze. Anna pénzéből hiányzik a magazin árának 12%-a, Zsuzsi pénzéből pedig az ár egyötöde. Ezért elhatározzák, hogy közösen veszik meg a magazint. A vásárlás után összesen 714 Ft-juk maradt. a) Mennyibe került a magazin, és mennyi pénzük volt a lányoknak külön-külön a vásárlás előtt? b) A maradék 714 Ft-ot igazságosan akarják elosztani, azaz úgy, hogy a vásárlás előtti és utáni pénzük aránya azonos legyen. Hány Ft-ja maradt Annának, illetve Zsuzsinak az osztozkodás után?
a) Legyen Anna pénze a, Zsuzsi pénze z, a
magazin ára m. Ekkor
714 ,8,0 ,88,0 mzamzma
7148,088,0 mmm 71468,0 m
Tehát a magazin ára: Ft 1050m
Ft 84010508,0 Ft, 924105088,0 za
Anna és Zsuzsi eredeti pénze:
10 pont
b) Anna és Zsuzsi pénze osztozkodás után
Anna pénze: Ft 374840924
924714
Zsuzsi pénze: Ft 340840924
840714
7 pont
K.18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két,
szinte azonos rajz látható, amelyek között 23 apró
eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először
Ádám és Tamás nézték meg figyelmesen az
ábráka: Ádám 11, Tamás 15 eltérést talált, de csak
7 olyan volt, amelyet mindketten észrevettek.
a) Hány olyan eltérés volt, amelyet egyikük sem
vett észre?
Közben Enikő is elkezdte számolni az eltéréseket, de ő sem találta meg az összeset. Mindössze 4 olyan volt, amelyet mind a hárman megtaláltak. Egyeztetve kiderült, hogy az Enikő által bejelöltekből hatot Ádám is, kilencet Tamás is észrevett, és örömmel látták, hogy hárman együtt az összes eltérést megtalálták. b) A feladat szövege alapján töltse ki az alábbi halmazábrát arról, hogy ki hányat talált meg!
c) Fogalmazza meg a következő állítás taga-
dását!
Enikő minden eltérést megtalált.
d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy
eltérést véletlenszerűen kiválasztva azt legalább
ketten eltalálták?
a)
A halmazábrából kiolvasható, hogy Ádám és Ta-más együtt összesen 19 hibát vettek észre, tehát
41923 eltérés volt, melyet egyikük sem vett észre.
4 pont
b) A feladat szövege alapján a helyes halmazábra:
7 pont
c)Az állítás ragadása: Enikő nem talált meg min-den eltérést
2 pont
d)
Az összes lehetőségek száma: 23.
A kedvező lehetőségek száma:
Tehát a keresett valószínűség:
145432
6087,023
14
4 pont