1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
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Matemáticas
Grado 11º
Unidad 1
Secciones cónicas
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LOGRO: Identificar las diferentes secciones cónicas con sus
principales características y reconociendo la forma de
graficarlas.
INDICADORES DE LOGRO:
Determina la gráfica y ecuación de una circunferencia
dada según su radio y centro.
Reconoce las diferencias sustanciales entre la
circunferencia, la elipse y la parábola.
Reconoce y halla las partes de la elipse partiendo de la
ecuación.
Identifica la gráfica, el vértice, abertura y los interceptos
con los ejes coordenados.
Resuelve problemas relacionados con las secciones
cónicas.
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SECCIONES CÓNICAS
RESEÑA HISTÓRICA
El matemático griego Menecmo (vivió sobre 350 a.C.) descubrió estas
curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 a. C.) De Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente
las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los
que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.
Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.
Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie
cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).
Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie
cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).
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Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan
actualmente para definirlas.
Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se
construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o
hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz
reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos
incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco
En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que
un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la
carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco,
esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.
En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes desarrolló un
método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas
cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y.
El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones
cónicas se lo debemos a Jan de Witt
Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión
son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas
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alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de
cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.
Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano
con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas:
CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA.
Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos “P” del
plano tales que la distancia no dirigida de “P” a un punto fijo está en
razón constante a la distancia no dirigida de “P” a una recta fija que
no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior
se llama excentricidad.
Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la
tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver
problemas donde se apliquen cada una de ellas.
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CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que (equidistan)
de un punto C(h, k) llamado Centro.
R = radio
C(h,k) = Centro
P(x,y) = Punto Cualquiera de
Circunferencia.
Vamos a obtener la ECUACIÓN CANÓNICA de circunferencia. Por
definición de Distancia entre dos puntos, se tiene:
R = d(C, P)
Esto es:
d(C,P) = 22 )()( kyhx R = 22 )()( kyhx
2222 ))()(( kyhxR
R2 = (x-h)2 + (y-k)2
Ecuación canónica de Circunferencia de centro C(h, k) y radio R.
Ejemplos:
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(x – 1)2 + (y + 3)2 = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de
centro C(1,-3) y radio R = 4
x2 + (y – 4)2 = 7 es la Ecuación de una circunferencia de centro
C(0, 4) y Radio R = 7 .
Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es:
x2 + y2 = 25
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Al desarrollar la Ecuación Canónica (x-h)2 + (y-k)2 = R2 resulta:
(x-h)2 + (y-k)2 = R2 x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = R2
x2 + y2 - 2hx – 2ky + h2 + k2 = R2
Ahora tenemos:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
Donde A = B y no aparece producto de la variable x e y.
Ejemplo: Una circunferencia tiene centro C(-3, 4) y pasa por el punto
P(1, -2) . Determinar su Ecuación General.
Solución:
Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación canónica:
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R2 = (x-h)2 + (y-k)2
Observamos si tenemos el centro, en este caso C(-3, 4) pero el radio
no está dado. ¿Cómo encontrarlo? Es sencillo, ya que nos dan un punto
P(1, -2) por donde pasa las circunferencia; y sabemos que R = d(C, P).
Entonces, por definición de distancia, tenemos:
R = d(C, P) 22
42)3(1R
22
64R
3616R 52R
Luego, sustituyendo tenemos:
(x-h)2 + (y-k)2 = R2 (x+3)2 + (y-4)2 2
52 Desarrollando la
Ecuación canónica. La ecuación general queda:
x2 + y2 + 6x – 8y – 27 = 0
Su representación gráfica es:
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ACTIVIDAD: Resolver
1.- Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro
C2
3,
2
1 y Radio R = 23 .
2.- Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los extremos
del diámetro son A(-2, 4) y B(0, -8) .
3.- Determinar la Ecuación de la Circunferencia de centro C(-1,4) y es
tangente al eje de las abscisas.
TRABAJEMOS EN
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ELIPSE
Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de
distancias a dos puntos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica)
d(P,F1) + d(P,F2) = d(A1, A2)
Donde:
C(h, k) es el centro.
A1, A2, B1, B2 Son los Vértices
F1, F2 Focos.
21 AA = 2a Eje Mayor.
21FF = Eje Focal
21BB = Eje Menor.
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ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
A partir de la definición se obtienen dos ecuaciones llamadas canónicas.
Estas son:
CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1).
12
2
2
2
b
ky
a
hx
CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las coordenadas (y,
y1).
12
2
2
2
a
ky
b
hx
Observación: El centro es C(h, k) a2 y b2 están relacionadas con el eje
mayor y menor respectivamente por lo tanto para identificar los dos
casos, solo tienes que ver con quien está el mayor denominador (con la
variable x o con la variable y)
Ejemplo:
La Ecuación 14
1
9
322
yx Corresponde a una elipse de centro C(3, -
1) y el eje mayor paralelo a las abscisas.
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Viene dada por Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 donde A ≠ B pero de igual
signo. Ejemplo:
2x2 + 3y2 - 6x + 12y + -1 = 0
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Excentricidad: es la relación entre “C” y “a” esto es a
Ce
Coordenadas de los vértices y focos: es importante conocer estos
puntos de la elipse; pero es báñate sencillo determinar sus coordenadas,
tomando en cuenta que siempre se puede llegar a partir del centro de
la elipse.
CASO I:
A1(h+a, k) ; A2(h-a, k)
F1(h+c, k) ; F2(h-c, k)
B1(h, k+b) ; B2(h, k-b)
CASO II:
A1(h, k+a) ; A2(h, k-a)
F1(h, k+c) ; F2(h, k-c)
B1(h+b, k) ; B2(h+b, k
Dónde C(h, k) “a” distancia del centro hasta A1 y A2,
“b” distancia del centro hasta B1, B2
“c” distancia del centro hasta F1, F2.
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ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes ejercicios
Dibujar la elipse (x2/64) + (y2/16) = 1
Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos
focos son los puntos F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de
la gráfica con el eje x es el punto (5, 0).
Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100
PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan
(están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y una
recta fija llamada Directriz. Veamos la gráfica para identificar los
elementos en sistemas de coordenadas cartesianas.
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Por Definición
d(P, F) = d(P, M)
F = Foco
E = Eje
V = Vértice
I = Pto. De
Intersección. Eje Directriz.
d(F, V) = d(V, I) = p parámetro
ESTUDIAREMOS CUATRO CASOS DE LA ECUACIÓN CANÓNICA
DE LA PARÁBOLA
CASO 1 CASO 2
Cuando la parábola abre hacia
arriba, cuya ecuación canónica
es:
(x – h)2 = 4p(y – k)
Donde C(h, k) es el centro de “p”
el parámetro.
ELEMENTOS:
Cuando la Parábola abre hacia
abajo, cuya ecuación canónica
es:
(x – h)2 = - 4p(y – k)
Donde C(h, k) es el centro de “p”
el parámetro.
ELEMENTOS:
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V(h, k)
F(h, k+p)
I(h, k-p)
Eje: x = h
Directriz: y = k - p
EJEMPLO: (x – 2)2 = 8(y – 3).
Ecuación de Parábola de vértice
V(2, 3)
4p = 8 p = 2 parámetro.
Foco:
F(h, k +p) = F(2, 3+2) = (2, 5)
I(h, k – p) = I(2, 3-2) = (2, 1)
Eje x = h entonces x = 2
Directriz y = k – p entonces y =
3 – 2 = 1
Veamos su Grafica.
V(h, k)
F(h, k - p)
I(h, k + p)
Eje: x = h
Directriz: y = k – p
EJEMPLO: (x – 3)2 = - 8(y – 1).
Ecuación de Parábola de vértice
V(3, 1)
-4p = -4 p = 1 parámetro.
Foco:
F(h, k +p) = F(3, 1 - 1) = (3, 0)
I(h, k – p) = I(3, 1+1) = (3, 2)
Eje x = h entonces x = 3
Directriz y = x + p entonces y =
1 + 1 = 2
Veamos su Grafica
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CASO 3 CASO 4
Cuando la parábola abre hacia la
derecha, cuya ecuación canónica
es:
(y – k)2 = 4p(x – h)
Donde C(h, k) es el centro de “p”
el parámetro.
ELEMENTOS:
V(h, k)
F(h+p, k)
I(h-p, k)
Eje: y = k
Directriz: x = h - p
EJEMPLO: (y – 4)2 = 12(x – 1).
Ecuación de Parábola de vértice
Cuando la parábola abre hacia la
izquierda, cuya ecuación
canónica es:
(y – k)2 = - 4p(x – h)
Donde C(h, k) es el centro de “p”
el parámetro.
ELEMENTOS:
V(h, k)
F(h-p, k)
I(h+p, k)
Eje: y = k
Directriz: x = h + p
EJEMPLO: (y – 3)2 = -8x
Ecuación de Parábola de vértice
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V(1, 4)
4p = 12 p = 3 parámetro.
Foco:
F(h+p, k) = F(1+3, 4) = (4, 4)
I(h - p, k) = I(1 - 3, 4) = (-2, 1)
Eje y = 4
Directriz x = 1 – 3 entonces x =
3–2 = -2
Veamos su Grafica.
V(0, 3)
-4p = -8 p = 2 parámetro.
Foco:
F(h-p, k) = F(0-2, 4) = (-2, 3)
I(h+ p, k) = I(0+2, 3) = (2, 3)
Eje y = 3
Directriz x = 0 + 2 entonces x
= 2
Veamos su Grafica.
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso
llegamos a una ecuación de la forma:
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a) Ax2 +Cx +Dy + E = 0 o b) Ay2 +Cx +Dy + E=0
ACTIVIDAD: Resuelve los siguientes puntos
Escribe las ecuaciones de las parábolas que tienen los elementos
que se señalan:
i) directriz x = -3 y foco F(3,0)
ii) foco F(2,0) y vértice V(0,0)
iii) directriz y = 4 y vértice V(0,0)
Dada la parábola 2xy , halla el vértice, el foco y la directriz.
Representa las parábolas:
i) 21 xy ii) 36
2xy
ii) 26xy iv) 432
xy
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Calcular la distancia entre los centros de la circunferencia de
ecuación:
(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25 y (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16
Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x – y = 1 y
la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x – 4y – 1 = 0.
Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto
P(1,6) y tangente a la recta de la ecuación x – y – 1 = 0
Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que
tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0
Halla la ecuación reducida de la elipse sabiendo que tiene:
i) Por focos F(2,0); F´(-2,0) y suma de distancias 5.
ii) Por focos F(0,2); F´(0,-2) y suma de distancias 5.
Halla la ecuación de la elipse conociendo:
A(10,0); A´(-10,0) y la excentricidad es e = 0,2.
Recolectemos
lo aprendido
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Halla la ecuación de la elipse conociendo:
i) C(0,0); F(0,2); a = 4.
ii) C(-3,0); F(-3,-2); a = 4.
Halla los valores “a”, “b”, “c” y “e” sabiendo que la ecuación es:
i) 922 yx
ii) 144916 22 yx
¿Entre qué valores máximo y mínimo puede estar comprendida la
excentricidad de la elipse?
¿Cuál es la excentricidad de la circunferencia?
Halla la ecuación de la elipse de eje mayor 16 y excentricidad ¼.
Halla las coordenadas del vértice y del foco, así como las
ecuaciones de la directriz y del eje de la parábola 22xy .
Calcula el radio vector del punto de la parábola yx 42 , cuya
abscisa es -4.
Halla la intersección de la recta 072yx con la parábola
442 yyx .
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan del eje de abscisas y del punto (2,2).
Halla los puntos de la parábola 652 yyx que equidistan de los
puntos (-3,-2) y (7,4).
Halla la longitud de la cuerda común de la circunferencia
1322 yx y la parábola 332 xy .
Halla la ecuación de la parábola que tiene por foco el punto F(0,2)
y por directriz la recta 2xy