Populasi dan Sampel
• Populasi : keseluruhan objek yang menjadi pusat perhatian dalam statistika Parameter besaran yang menggambarkan karakteristik dari populasi
• Sampel : Himpunan bagian dari populasi
Statistik besaran yang digunakan untuk menggambarkan karakteristik suatu sampel
Statistik digunakan untuk pendugaan parameter
Populasi vs Sampel
• Parameter Populasi
Sebuah parameter populasi selalu konstan
Sebuah populasi hanya memiliki sebuah nilai µ
• Statistik Sampel
Merupakan variabel acak (random)
Setiap statistik sampel memiliki sebuah
distribusi peluang (probability distribution)
Distribusi peluang dari suatu statistik sampel
disebut ‘distribusi sampling’
• Teori sampling didasarkan atas adanya pengaruh saling meniadakan
diantara anggota populasi ‘Random Sampling’
• Random Sampling pemilihan acak yang menjamin setiap anggota
populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih sebagai sampel
– Simple random Sampling
– Systematic Random Sampling misal: tiap selang 10 NPM
mahasiswa
– Stratified Random Sampling populasi dibagi dalam kelas,
kemudian sampling acak dilakukan pada tiap-tiap kelas
– Cluster (area) Random Sampling definisikan ‘clusters’ suatu
individu-individu & ambil sampel dari tiap cluster
Metode Sampling
Manfaat Sampling
• Estimasi suatu parameter populasi
• Pengujian hypotesa
• Peramalan
Metode Penarikan Sampel
Sampel Probabilitas
(Probability Sampling)
Sampel Nonprobabilitas
(Nonprobability Sampling)
1. Penarikan sampel acak sederhana
(simple random sampling)
2. Penarikan sampel sistematis
(systematic sampling)
3. Penarikan sampel acak terstruktur
(stratified random sampling)
4. Penarikan sampel cluster (cluster
sampling)
1. Penarikan sampel kuota (kuota
sampling)
2. Penarikan sampel purposive
(purposive sampling)
8
Sampel Non-Probabilitas
Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari
populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki
probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan
sampel.
Sampel Probabilitas Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari
populasi sehingga masing-masing anggota populasi
memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk
dijadikan sampel.
9
• Merupakan pengambilan sampel dari populasi secara acak
tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi dan
setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama
untuk dijadikan sampel.
• Cocok untuk populasi yang bersifat Uniform/homogen
1. Sampel Acak Sederhana
10
Cara Sampel Acak Sederhana:
1. Sistem Kocokan/undian
Sistem sampel acak sederhana dengan cara sama Sistem
arisan yaitu cara undian (lotere).
2. Menggunakan Tabel Bilangan Acak
Memilih sampel dengan menggunakan suatu tabel.
Dalam penggunaannya ditentukan terlebih dahulu titik
awal (starting point).
12
CONTOH MENCARI SAMPEL DENGAN
TABEL ACAK
1. Menentukan titik awal (starting point)
2. Memulai dari titik baris dan kolom
pertama dengan membandingkan antara
angka acak dan jumlah populasi. Misal.
N=59 dan n=6, maka angka acak diambil
< 59.
13
2. Sampel Acak Sistematis
• Penarikan dikatakan sampel sistematis apabila
setiap unsur atau anggota dalam populasi disusun
dengan cara tertentu-Secara alfabetis, dari besar
kecil atau sebaliknya-kemudian dipilih titik awal
secara acak lalu setiap anggota ke-k dari populasi
dipilih sebagai sampel
• Sering dipandang sebagai cara yang lebih efesien
bila populasi tersebar dalam geografis yang luas.
14
• Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan
membagi anggota populasi dalam beberapa sub
kelompok yang disebut strata, lalu suatu sampel
dipilih dari masing-masing stratum.
• Setiap stratum akan menjadi uniform/homogen
3. Sampel Acak Terstruktur/Stratifikasi:
16
Contoh Menentukan Jumlah Sampel
Setiap Stratum
Stratum Kelompok Jumlah Persentase Jumlah sampel
anggota dari total per stratum
1 Bulat 5 5/24=21% (0,21 x 10)=2
2 Segitiga 7 7/24=29% (0,29 x 10)=3
3 Kotak 12 12/24=50% (0,50 x 10)=5
Jumlah Total 24 100% 10
17
Contoh Memilih Perusahaan di BEJ
Startum Kelompok Jumlah Persentase Jumlah Sampel
Anggota dari Total per Stratum
Bank 25 50 8(0,50 x 15)
Asuransi dan pembiayaan 17 34 5(0,34 x 15)
Efek 8 16 2(0,16 x 15)
Jumlah Total 50 100 15
18
Latihan Sampel Stratifikasi
• N=2.000 yang terdiri dari 4 stratum: N1=500, N2=1200,
N3=200 dan N4=100. dengan ukuran n=80.
• Berapa besar sampel yang harus di alokasikan pada
masing-masing stratum (metode alokasi proporsional)?
Jawab:
• Alokasi proporsional 𝑛𝑖 =𝑁
𝑖
𝑁. 𝑛
• n1=(500/2000).80=20
• n2=(1.200/2000).80=48
• n3=(200/2000).80=8
• n4=(100/2000).80=4
19
4. Sampel Acak Kluster
• Dilakukan dengan mengambil beberapa kluster/kelompok
dari populasi.
• Sering dipandang sebagai cara yang lebih efesien bila
populasi tersebar dalam geografis yang luas.
Sampel
Terstruktur
Sampel
Terstruktur
Sampel Cluster
Distribusi Populasi
• Distribusi Populasi merupakan distribusi
peluang yang diturunkan dari informasi
seluruh elemen populasi
Contoh 1:
Ada 5 mahasiswa yang mengambil m.k. Statistika
Lanjut dengan hasil akhir masing2 adalah:
70, 78, 80, 80, 95
Jika tidak dilakukan pengelompokkan, maka
buatlah distribusi peluang populasinya !
Distribusi Populasi
• Distribusi Peluang Populasi
Jawab:
Tabel Distribusi Peluang x
x f P(x)
70 1 1/5 = 0.2
78 1 1/5 = 0.2
80 2 2/5 = 0.4
95 1 1/5 = 0.2
P(x) = 1.0
Distribusi Sampling
( ) 5
3
Distibusi Sampling yaitu suatu distribusi peluang semua nilai
statistik dari suatu sample yang diambil dari sebuah populasi
– Dalam suatu populasi, hanya ada 1 nilai rata-rata
populasi µ
– Rata-rata sampel x, nilainya merupakan variabel acak
sehingga memiliki distribusi peluang = distribusi
sampling rata-rata, x
– Contoh :
Dari contoh sebelumnya dengan 5 elemen anggota
populasi, buatlah semua kemungkinan sampel yang
dapat terjadi jika masing2 sampel terdiri dari 3 score
yang diambil tanpa pemulihan dari populasi tersebut.
Penyelesaian:
Jumlah kombinasi sampel yang terjadi dihitung dengan
rumus kombinasi:
= (kemungkinan kombinasi sampel) 10
! 3)-(5 ! 3
! 5
Sampel Score Dalam
Sampel x
ABC 70, 78, 80 76.00
ABD 70, 78, 80 76.00
ABE 70, 78, 95 81.00
ACD 70, 80, 80 76.67
ACE 70, 80, 95 81.67
ADE 70, 80, 95 81.67
BCD 78, 80, 80 79.33
BCE 78, 80, 95 84.33
BDE 78, 80, 95 84.33
CDE 80, 80, 95 85.00
x f P(x)
76.00 2 2/10 = 0.2
76.67 1 1/10 = 0.1
79.33 1 1/10 = 0.1
81.00 1 1/10 = 0.1
81.67 2 2/10 = 0.2
84.33 2 2/10 = 0.2
85.00 1 1/10 = 0.1
ΣP(x) = 1.0
23
Tabel 2. Semua Kemungkinan Sampel dan rata-rata dengan ukuran sampel = 3
Tabel 3. Distribusi Peluang Rata-rata Sampling x
• Jika dipilih suatu sampel yang berukuran 3 dari populasi yang
berukuran 5, maka akan didapatkan 10 kemungkinan sampel
terpilih. Masing2 sampel akan memiliki Rata-rata Sampel x.
• Table 3 menunjukkan peluang rata-rata sampel x yang terdiri dari
3 score yang diambil secara acak.
P(x = 81.67) = 0.20
24
• Sampling Error perbedaan antara nilai suatu statistik sampel
dengan nilai parameter populasi.
Dalam kasus rata-rata, dimana diasumsikan bahwa sampel diambil
secara acak dan tidak terjadi non-sampling error
Sampling Error = 𝑥 − 𝜇
• Non-Sampling Error Error yang terjadi dalam proses
pengumpulan, perekaman, atau tabulasi data.
• Contoh 3:
Berdasar populasi 5 score pd Contoh 1, yaitu 70, 78, 80, 80, 95.
Rata-rata populasi adalah:
µ = (70+78+80+80+95)/5 = 80.60
Kemudian, anggap diambil sebuah sampel secara acak dari populasi
tersebut, dan diperoleh score 70, 80, dan 95. Maka diperoleh rata-
rata sampel yaitu:
𝑥 = (70+80+95)/3 = 81.67
Sehingga,
Sampling Error = 𝑥 − 𝜇 = 81.67 - 80.60 = 1.07
Sampling and Non-Sampling Error
25
Contoh 3 : …………… (Lanjutan )
Kemudian, jika terjadi kesalahan dimana score 80 ditulis 82, maka
sebagai hasil sampel score 70, 82, dan 95. Maka diperoleh rata-rata
sampel yaitu:
𝑥 = (70+82+95)/3 = 82.33
Dan,
𝑥 − 𝜇 = 82.33 - 80.60 = 1.73
Sehingga disini perbedaan Mean Sampel dan Mean Populasi bukan
menunjukkan Sampling Error, yang seharusnya = 1.07.
Dalam kasus ini terjadi Non-Sampling Error,
Non-Sampling Error = 1.73 – 1.07 = 0.66
Sampling Error Non-Sampling Error
µ = 80.60 81.67 82.33
26
Mean dan Simpangan Baku 𝑥 • Sampel yang berbeda,namun berukuran sama akan menghasilkan
nilai Rata-rata sampel yang berbeda pula.
• Ukuran keragaman Rata-Rata dari satu sampel dengan sampel
lainnya diukur dengan Standard Error of the Mean (Simpangan
baku distribusi sampling Rata-Rata
• Rata-rata dan simpangan baku yang dihitung untuk distribusi
sampling 𝑥 disebut Mean dan Simpangan Baku 𝑥 dan dinotasikan
dengan 𝜇𝑥 dan 𝜎𝑥 • Mean distribusi sampling 𝑥 sama dengan mean populasinya.
𝜇𝑥 = µ
• Simpangan baku 𝜎𝑥 tidak sama dengan simpangan baku populasi
(kecuali jika n=1).
𝜎𝑥 = , jika (n = ukuran sampel; n =ukuran populasi)
𝜎𝑥 = , jika
• Contoh 5:
Rata-rata upah per jam dari 5000 karyawan suatu pabrik adalah $13.50 dengan
simpangan baku $ 2.90. Jika 𝑥 adalah rata-rata sebuah sampel yg diambil acak dari
5000 karyawan tersebut, tentukan Mean dan simpangan baku distribusi sampling
untuk suatu sampel yang berukuran:
a. 30 b. 200
n
σ0.05
N
n
1 - N
n - N
n
σ0.05
N
n
Normal Population
Distribution
Normal Sampling
Distribution
(has the same mean)
Sampling Distribution Properties
x
x
μμx
μ
xμ
Sampling Distribution Properties
As n increases,
decreases
Larger sample
size
Smaller sample
size
x
(continued)
xσ
μ
Z-value for Sampling Distribution of the Mean
• Z-value for the sampling distribution of 𝑥 :
where: = sample mean
= population mean
= population standard deviation
n = sample size
Xμ
σ
n
σ
μ)X(
σ
)μX(Z
X
X
If the Population is not Normal
• We can apply the Central Limit Theorem:
– Population is not normal,
– …sample means from the population will be approximately normal as long as the sample size is large enough.
Properties of the sampling distribution:
and μμ x n
σσx
n↑
Central Limit Theorem
As the
sample size
gets large
enough…
the sampling
distribution
becomes almost
normal
regardless of
shape of
population
x
Population Distribution
Sampling Distribution
(becomes normal as n increases)
Central Tendency
Variation
x
x
Larger
sample
size
Smaller sample
size
If the Population is not Normal (continued)
Sampling distribution
properties:
μμx
n
σσx
xμ
μ
How Large is Large Enough?
• For most distributions, n > 30 will give a
sampling distribution that is nearly
normal
• For fairly symmetric distributions, n > 15
• For normal population distributions, the
sampling distribution of the mean is
always normally distributed
Example
• Suppose a population has mean μ = 8
and standard deviation σ = 3. Suppose a
random sample of size n = 36 is selected.
• What is the probability that the sample
mean is between 7.8 and 8.2?
Example
Solution:
• Even if the population is not normally
distributed, the central limit theorem can
be used (n > 30)
• … so the sampling distribution of is
approximately normal
• … with mean = 8
• …and standard deviation
(continued)
x
xμ
0.536
3
n
σσx
Example Solution (continued):
0.31080.4)ZP(-0.4
363
8-8.2
nσ
μ- X
363
8-7.8P 8.2) X P(7.8
Z 7.8 8.2 -0.4 0.4
Sampling
Distribution
Standard Normal
Distribution 0.1554 +
0.1554
Population
Distribution
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? Sample Standardize
8μ 8μX 0μz xX
38
Aplikasi Distribusi Sampling x
Contoh:
Suatu perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam pada
perusahaan tersebut terdistribusi normal dengan rata-rata µ adalah 800 jam dan simpangan baku sama dengan 40 jam. Hitunglah
peluang bahwa suatu contoh acak yang terdiri dari 18 bohlam,
memiliki umur rata-rata 𝑥 kurang dari 775 jam !
Penyelesaian:
Karena populasi bohlam terdistribusi normal, maka sampel juga
terdistribusi normal meskipun ukuran sampel < 30, sehingga:
Ditanyakan P(𝑥 < 775)…?
Untuk menghitungnya, kita menggunakan distribusi normal baku z,
dimana:
µx = µ = 800 dan x = = = 10
n
σ
16
40
xσ
μ-x z 2.5-
10
800-775
P(x < 775) = P(z < -2.5)
= 0.0062 (Tabel distribusi z)
µx = 800
0 -2.5 z
x 775
daerah terarsir
= 0.0062