Tugas ini dikerjakan bersama tim dan dikirim melalui blog masing-masing dengan maksud dan tujuan untuk memenuhi
penilaian pelajaran matematika di semester II
Dikirim oleh:
Nama : AzharRidwanNIM : 0031433Kelas : 1 EBProdi : Teknik ElektronikaBlog : nugenerazi.blogspot.com
Tahun Ajaran2014-2015
TAMBAHAN TURUNAN
Turunan-turunan alami fungsi eksponensial ex
Fungsi eksponensial didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = bx (b ≠ 1,b > 0), dimana b
adalah dasar dari fungsi eksponensial. Alam fungsi eksponensial adalah fungsi eksponensial
yang dasar dari irasional nomor e.
Nomor e adalah limit sebagai n pendekatan yang tak terhingga dari ⌊1+ 1n⌋n, yang sekitar
2.718281828 (sampai Sembilan tempat decimal).
Alam fungsi eksponensial itu sendiri adalah turunan, yaitu,ddx
(ex) = ex .
selanjutnya, oleh aturan rantai,jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
ddx
(eu) = eu.dudx
Jika f(x) = 6ex , kemudian f’(x) = 6.ddx
(ex) = 6ex
Jika y = e2x , kemudian y’= e2x .ddx
(2x) = e2x(2) = 2e2x
ddx
(e−3 x2
) =e−3 x2
.ddx
(-3x2) =e−3 x2
(-6x) = -6xe−3 x2
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 20ex 1. f(x) = 15x2 +10ex
2. y = e3x 2. g(x) = e7x−2x3
3. g(x) = e5x3
3. f(t) = 100
e−0.5 t
4. y = -4e5x3
4. g(t) = 2500e2t+1
5. h(x) = e−10 x3
f(x) = 1
√2 πex2
2
solusi dan cara penyelesaiannya
1. f(x) = 20ex
fꞌ(x) = 20.ddx
(ex)
= 20ex
2. y = e3x
yꞌ(x) = e3x.ddx
(5x3)
= e5x3
(15x2)
= 15x2e5x3
3. g(x) = e5x3
gꞌ(x) = e5x3
(.ddx
(5x3)
= e5x3
( (15x2)
= 15x2e5x3
4. y = -4e5x3
yꞌ= -4.ddx
(e5x3
)
= -4.e5x3
.ddx
(5x3)
= -4.e5x3
(15x2)
= -60x2e5x3
5. h(x) = e−10 x3
hꞌ(x) = e−10 x3
.ddx
(-10x3)
= e−10 x3
(-30x2)
= -30x2e−10 x3
6. f(x) = 15x2 + 10ex
fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx
(ex)
= 30x + 10ex
7. g(x) = e7x−2x3
gꞌ(x) = e7x−2x3
.ddx
(7x-2x3)
= e7x−2x3
(7-6x)
= 7-6xe7x−2x3
8. f(t) = 100e−0.5 t
fꞌ(t) = 100.e0.5t
= 100. e0.5t.ddx
(0.5t)
= 100. e0.5t(0.5)
= 50e0.5t
9. g(t) = 2500e2t+1
gꞌ(t) = 2500e2t+1.ddx
(2t+1)
= 2500e2t+1.(2)
= 5000e2t+1
10. f(x) = 1
√2 πex22
fꞌ(x) = 1
√2 π.e
12
x2.ddx
(12
x2)
= 1
√2 π.e
12
x2.(x)
= x
√2 π.e
12
x2
Turunan alami fungsi logaritmik ln x
Fungsi logaritmik didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = logbx dan jika hanya by = x (x >
0), dimana b adalah dasar dari fungsi logaritmik, (b ≠ 1,b > 0). Untuk diberikan dasar, fungsi
logaritmik adalah fungsi invers yang sesuai dan saling dengan fungsi eksponensial. Fungsi
logaritmatik didefinisikan berdasarkan y =loge x, biasanya dilambangkan dengan ln x , adalah
alam fungsi logaritmatik.itu adalah fungsi invers dari alam fungsi eksponensial y = ex.
Turunan dari alam fungsi logaritmatik adalah sebagai berikut:
ddx (ln x) = 1
x
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
ddx
( ln u)= 1u .
dudx
jika f(x) = 6 ln x, kemudian f’(x) = 6.ddx
(ln x) =6. 1x
= 6x
jika y = ln(2x3),kemudian y’= 1
2x3 . ddx
(2x3) = 1
2x3 . (6x2) = 3x
ddx
(ln 2x) = 1
2x . ddx
(2x) = 1
2x . (2) =
1x
Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,
ddx
( ln kx) = 1kx .
ddx (kx) =
1kx . (k) =
1x
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 20 ln x 6. f(x) = 15x2 + 10ln x
2. y = ln 3x 7. g(x) = ln(7x-2x3)
3. g(x) = ln(5x3) 8. f(t) = ln(3t2 + 5t – 20)
4. y = -4 ln (5x3) 9. g(t) = ln(et)
5. h(x) = ln(-10x3) 10. f(x) = ln(ln x)
solusi dan cara penyelesaiannya :
1. f(x) = 20 ln x
fꞌ(x) = 20 . ddx
(ln x)
= 20.1x
= 20x
2. y = ln 3x
yꞌ = 1
3x . ddx
(3x)
= 1
3x . (3x)
= 1x
3. g(x) = ln(5x3)
gꞌ(x) = 1
5x3 . ddx
(5x3)
= 1
5x3 .(15x2)
= 3x
4. y = -4 ln (5x3)
yꞌ = -4.1
5x3 .ddx
(5x3)
= -4. 1
5x3 .(15x2)
= -4.3x
= -12x
5. h(x) = ln(-10x3)
hꞌ(x) = 1
−10x3 . ddx
(-10x3)
= 1
−10x3 (-30x2)
= 3x
6. f(x) = 15x2 + 10ln x
fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx
(ln x)
= 30x + 10.1x
= 30x + 10x
7. g(x) = ln(7x-2x3)
gꞌ(x) = 1
7 x−2x3 .ddx
(7x-2x3)
= 1
7 x−2x3 . (7x-2x3)
= 7−6 x2
7 x−2x3
8. f(t) = ln(3t2 + 5t – 20)
fꞌ(t) = 1
3t 2+5 t−20.ddx
(3 t 2+5 t−20¿
= 1
3t 2+5 t−20. (6 t+5 )
= 6 t+5
3t 2+5 t−20
9. g(t) = ln(et)
gꞌ(t) = 1
et . ddx
(et)
=1
et(e)
= e
et
10. f(x) = ln(ln x)
fꞌ(x) = 1
ln x . ddx
(ln x)
= 1
ln x . (
1x
)
= 1
ln x . x
Turunan-turunan dari fungsi eksponensial untuk basis selain e
Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian
ddx
(bx) = (ln b)bx
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
ddx
(bu) = (ln b)bu . ddx
Jika f(x) = (6)2x, kemudian fꞌ(x) = 6.ddx
(2x) = 6(ln2)2x
Jika y =52x, kemudian yꞌ = (ln 5)52x.ddx
(2x) = (ln 5)52x.(2) = 2(ln 5)52x
ddx
.(10−3 x2
) = (ln 10)10−3 x2
.ddx
(-3x2) = (ln 10)10−3 x2
(-6x) = -6x(ln 10)10−3 x2
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 20 (3x) 6. f(x) = 15x2 + 10(5x3)
2. y = 53x 7. g(x) = 37 x−2 x3
3. g(x) =25 x3
8. f(t) = 100
10−0.5 t
4. y = -4(25 x3
) 9. g(t) = 2500(52t+1)
5. h(x) = 4−10 x3
10. f(x) = 8 x2
2
Solusi dan cara penyelesaiaannya
1. f(x) = 20 (3x)
fꞌ(x) = 20.ddx
(3x)
= 20(ln3)3x
2. y = 53x
yꞌ = (ln 5)53x.ddx
(3x)
= (ln 5)53x.(3)
= 3(ln 5)53x
3. g(x) = 25 x3
gꞌ(x) = (ln 2)25 x3
.ddx
(5x3)
= (ln 2)25 x3
(15x2)
= 15x2(ln 2)25 x3
4. y = -4(25 x3
)
yꞌ = -4.ddx
(25 x3
)
= -4(ln 2)25 x3
.(15x2)
= -60x2(ln 2)25 x3
5. h(x) = 4−10 x3
hꞌ(x) = (ln 4)4−10 x3
.ddx
(-30x2)
= (ln 4)4−10 x3
. (-30x2)
= -30x2(ln 4)4−10 x3
6. f(x) = 15x2 + 10(5x3)
fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx
(53x)
= 30x + 10(ln 5)53.3
= 30x + 30(ln 5)53
7. g(x) = 37 x−2 x3
gꞌ(x) = (ln 3)37 x−2 x3
.ddx
(7x-2x3)
= (ln 3)37 x−2 x3
.(7-6x2)
= 7-6x2(ln 3)37 x−2 x3
8. f(t) = 100
10−0.5 t
fꞌ(t) = 100. 100.5t
= 100.(ln 10)100.5t.ddx
(0.5t)
= 100.(ln 10)100.5t. 0.5 = 50(ln 10)100.5t
9. g(t) = 2500(52t+1)
gꞌ(t) = 2500.ddx
(52t+1)
= 2500(ln 5)52t+1.ddx
(2t+1)
= 2500(ln 5)52t+1.2
= 5000(ln 5)52t+1
10. f(x) = 8 x2
2
= 8−12
x2
fꞌ(x) = (ln 8)8−12
x2.ddx
(−12
x2)
= (ln 8)8−12
x2.(-x)
= (-x).(ln 8)8−12
x2
Turunan-turunan dari fungsi logaritmik untuk basis selain e
Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian
ddx
(logb x) = 1¿¿
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka
ddx (logb u) = 1
¿¿.dudx
jika f(x) = 6log2 x,kemudian fꞌ(x) = 6.ddx
(log2 x) = 6. 1¿¿
= 6x ln 2
jika y = log5(2x3),kemudian yꞌ(x) = 1¿¿
.dd x
(2x3) = 1¿¿
.(6x2) = 3x ln 5
ddx
.(log3 2x) = 1¿¿
.ddx
(2x) = 1¿¿
.(2x) = 1x ln 3
Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,
ddx
(logb kx) = 1¿¿ .
dd x
(kx) = 1¿¿ (k) =
1x ln b
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
5. f(x) = 20log4 6. f(x) = 15x2 + 10log2 x
6. y = log10 3x 7. g(x) = log6(7x-2x3)
7. g(x) = log8(5x3) 8. f(t) = log16(3t2+5t – 20)
8. y = -4log8(5x3) 9. g(t) = log2(et)
9. h(x) = log5(-10x3) 10. f(x) = log10(log10x)
Solusi dan cara penyelesaiaannya
1. f(x) = 20log4
fꞌ(x) = 20.ddx
(log4x)
= 20. 1¿¿
= 20x ln 4
2. y = log10 3x
yꞌ = 1¿¿
.ddx
(3x)
= 1¿¿ (3)
= 3
x ln 10
3. g(x) = log8(5x3)
gꞌ(x) = 1¿¿
.ddx
(5x3)
= 1¿¿
= 3x ln 8
4. y = -4log8 (5x3)
yꞌ = 4¿¿
.ddx
(5x3)
= 4¿¿ .(15x2)
= −60 x2
¿¿
= −12x ln 8
5. h(x) = log5(-10x3)
hꞌ(x) = 1¿¿
.ddx
(-10x3)
= 1¿¿
.(-30x2)
= 3x ln 5
6. f(x) = 15x2 + 10log2 x
fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx
.(log2 x)
= 30x + 10. 1¿¿
= 30x + 10x ln 2
7. g(x) = log6(7x-2x3)
gꞌ(x) = 1¿¿
.ddx
(7x-2x)
= 7−6 x2
¿¿
= 7−6 x2
7 x−2x3 ¿¿
8. f(t) = log16(3t2+5t – 20)
fꞌ(t) = ddx
(log16(3t2+5t-20)
= 1¿¿
.ddx
(3t2+5t-20)
= 1¿¿ .(6t + 5)
= 6 t+5
3t 2+5 t−20¿¿¿
9. g(t) = log2(et)
gꞌ(t) = ddx
.( log2(et))
= 1¿¿
.ddx
(et)
= 1¿¿
. (et)
= 1¿¿
10. f(x) = log10(log10x)
fꞌ(x) = ddx
(log10(log10x))
= 1¿¿
.ddx
(log10 x)
= 1¿¿
. 1¿¿
.ddx
(x)
= 1¿¿
Turunan-turunan yang berkenaan dengan fungsi trigonometri
Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
ddx
(sin x) = cos x
ddx
(cos x) = -sin x
ddx
¿ = sec2 x
ddx
(cot x) = -csc2 x
ddx
(sec x) = sec x tan x
ddx
(csc x) = - csc x cot x
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:
ddx
(sin u) = cos u.dudx
ddx
(cos u) = -sin u.dudx
ddx
(tan u) = sec2 u.dudx
ddx
(cot u) = -csc2 u.dudx
ddx
(sec u) = (sec u tan u).dudx
ddx
(csc u) = (- csc x cot u).dudx
Jika h(x) = sin 3x,kemudian hꞌ(x) = (cos3x)ddx
(3x) = (cos3x)(3) = 3cos3x
Jika y = 3cos( x3 ),kemudian yꞌ = -3sin( x3 ) ddx ( x3 ) = -3[sin( x3 )]( 13 ) = -sin( x3 )
ddx
(tan2x + cot2x) = ddx
(tan2x)+ddx
(cot 2x ) = sec2(2x)ddx
(2x)-csc2(2x)ddx
(2x)
= [ sec2(2x )](2)-[csc 2(2x )](2) = 2sec2(2x) – 2csc2(2x)
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = 5 sin 3x 6. s(t) = 4 cot5t
2. y = 14
cos(2x2) 7. g(x) = 6tan3( 2x3 )-20√ x
3. g(x) = 5tan( 3 x5 ) 8. f(x) = 2xsinx+cos2x
4. f(x) = 10sec2x9. h(x) =
sin 3 x1+sin 3x
5. y = 23
sec(2x3)10. f(x) = e4xsin2x
Solusi dan cara penyelesaiaanya
1. f(x) = 5sin3x
fꞌ(x) = 5 cos3xddx
(3x)
= 15 cos 3x
2. f(x) = 14
cos(2x2)
fꞌ(x) = 14
-sin 2x2 ddx
(2x2)
= 14
-sin 2x2.4x
= −4 x
4 sin2x2
= -xsin2x2
3. g(x) = 5tan( 3 x5 )
gꞌ(x) = 5 sec2( 3 x5 ) ddx (3 x
5 ) = 5 sec2( 3 x
5 ).35 = 3 sec2( 3 x
5 )4. f(x) = 10 sec 2x
fꞌ(x) = 10 sec 2x tan 2xddx
(2x)
= 20 sec 2x tan 2x
5. y = 23
sec(2x3)
yꞌ = 23
sec 2x3 tan 2x3 ddx
(2x3)
= 23
sec 2x3 tan 2x3.6x2
= 4x2sec 2x3 tan 2x3
6. s(t) = 4 cot 5t
sꞌ(t) = -4 csc2 5t ddt
(5t)
= -20 csc2 5t
7. g(x) = 6tan3( 2x3 )-20√ x
gꞌ(x) = 6 sec6( 2x3 ) ddx ( 2 x
3 )-10x−12
= 6 sec6( 2x3 ).( 2x
3 )−10 x−12
= 4 sec6( 2x3 ) -
10
√x8. f(x) = 2x sinx + cos 2x
fꞌ(x) = 2 cos x ddx
(x) + (-sin 2x)ddx
(2x)
= 2 cos x – 2 sin 2x
9. h(x) = sin 3 x
1+sin 3x
hꞌ(x) = cos3 x
ddx
(3x )
cos3 xddx
(3x )
= 3 cos3 x3 cos3 x
= 1.
10. f(x) = e4xsin2x
fꞌ(x) = e4x ddx
(4x). cos 2xddx
(2x)
= 4e4x.2cos 2x
Turunan-turunan dari trigonometri invers fungsi
Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
dd x
(sin-1 x) = 1
√1−x2
ddx
(cos-1 x) = −1
√1−x2
ddx
(tan-1 x) = 1
1+ x2
ddx
(cot-1 x) = −1
1+ x2
ddx
(sec-1 x) = 1
[x ] √x2−1
ddx
(csc-1 x) = −1
[x ] √x2−1
Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:
ddx
(sin-1 u) = 1
√1−u2 .dudx
ddx
(cos-1 u) = −1
√1−u2 .dudx
ddx
(tan-1 u) = 1
1+u2 .dudx
ddx
(cot-1 u) = −1
1+u2 .dudx
ddx
(sec-1 u) = 1
[u ]√u2−1.dudx
ddx
(csc-1 u) = −1
[u ]√u2−1.dudx
If h(x) = sin-1(2x),kemudian hꞌ(x) = 1
√1−(2 x)2 .ddx
(2x) = 1
√1−4 x2 .(2) = 2
√1−4 x2
If y = cos-1( x3 ),kemudian yꞌ =
−1
√1−( x3 )2 .ddx ( x3 ) =
−1
√1− x9
2 .( 13 ) = -
1
3√ 9− x9
2
ddx
(tan-1 x + cot-1 x) = ddx
(tan-1 x) + ddx
(cot-1 x) = 1
1+ x2 + −1
1+ x2 = 0
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = sin-1( -x3) 6. f(x) = cos-1(x2)
2. h(x) = cos -1(ex) 7. h(x) = csc-1(2x)
3. g(x) = tan-1(x2)8. g(x) = 4 sec-1( x2 )
4. f(x) = cot-1(7x-5) 9. f(x) = x sin-1(7x2)
5. y = 15
sin-1(5x3) 10. y = arcsin(√1−x2 )
Solusi dan cara penyelesaiaannya
1. f(x) = sin−1(−x3)
fꞌ (x) = −1
√1−¿¿¿ . ddx
.¿)
= −3 x2
√1−x9
2. h(x) = cos -1(ex)
hꞌ(x) = −1
√1−(ex)2 .ddx
(ex)
= −e x
√1−(ex)2
3. g(x) = tan-1(x2)
gꞌ(x) = 1
1+(x2)2 .ddx
(x2)
= 2 x
1+ x4
4. f(x) = cot-1(7x-5)
fꞌ(x) = −1
1+(7 X−5)2 .ddx
(7x-5)
= −7
49 X2−70 X+25
5. y = 15
sin-1(5x3)
yꞌ = 1
√1+(5 x3)2 .ddx
(5x3).1
15
= 1
√1+25 x6 .15x2.1
15 =
15 x2
√1+25 x6 .15
6. f(x) = cos-1(x2)
fꞌ(x) = 1
√1−(x2)2.ddx
(x2)
=−2 x
√1+x4
7. h(x) = csc-1(2x)
hꞌ(x) = −1
|2 x|√(2x )2−1. ddx
. (2x)
= - 2
2x √4 x2−1
8. g(x) = 4 sec-1( x2 )
gꞌ(x) = 4.
−1
|x2|√( x2 )2 .ddx
.( x2 )
=
−4
x2 √ x2
4−1
. 14
=
−4
x2 √ x2
4– 1.4
9. f(x) = x sin-1(7x2)
fꞌ(x) = 1.1
√1−(7 x¿¿2)2¿.ddx
.7x2
= 14 x
√1−49 x4
10. y = arcsin(√1−x2 )
yꞌ = 1
√1−(√1−x2 )2.ddx
.√1−x2
= 1
√1−(1−x2 ) . 12
(1 – x2)
= 1−x2
2√ x2
Exercise 6.7
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan
1. f(x) = x7 + 2x10 , Temukan
fꞌꞌꞌ(x)6. s(t) = 16t2-
2t3
+10 ,
Temukan sꞌꞌ(t)
2. h(x) = 3√ x , Temukan
hꞌꞌ(x)
7. g(x) = ln3x , Temukan
D x3 [ g(x )]
3. g(x) = 2x , Temukan g(5)
(x)8. f(t) =
10
x5 + x3
5 , Temukan
f(4)(x)
4. f(x) = 5ex , Temukan f(4)(x) 9. f(x) = 32x , Temukan
fꞌꞌꞌ(x)
5. y(x) = sin3x , Temukan
d3 yd3 x
10. y = log 25x , Temukan
d4 yd4 x
Solusi dan penyelesaiaannya
1. f(x) = x7 + 2x10
solusi :
fꞌ(x) = 7x6 + 20x9
fꞌꞌ(x) = 42x5 + 180x8
fꞌꞌꞌ(x) = 210x4 + 1440x7
2. h(x) = 3√ x = x13
solusi :
hꞌ(x) = 13
x23
hꞌꞌ(x) = −29x
−53
3. g(x) = 2x
solusi :
gꞌ(x) = 2
gꞌꞌ(x) = 0
gꞌꞌꞌ(x) = 0
g4(x) = 0
4. f(x) = 5ex
solusi :
fꞌ(x) = 5ex.1
fꞌꞌ(x) = 5ex.1 = 5ex
fꞌꞌꞌ(x) = 5ex.1
= d3gd3 x
= 5ex
5. y = sin 3x
solusi :
d1 yd1 x
= 3 cos 3x
d2 yd2 x
= -9 sin 3x
d3 yd3 x
= - 27 cos 3x
6. s(t) = 16t2 - 2t3
+ 10
solusi :
sꞌ(t) = 32t - 23
sꞌꞌ(t) = 32
7. g(x) = ln 3x
solusi :
D1(x)[ g(x )] = 3
3x =
1x
= x−1
D2(x)[ g(x )] = −x−2
D3(x)[ g(x )] = 2 x−3
8. f(x) = 10
x5 + x3
5 = 10 x−5 +
15
x3
solusi :
fꞌ(x) = -50 x−6 + 35
x2
fꞌꞌ(x) = 300 x-7 + 65
x
fꞌꞌꞌ(x) = -2100 x-8 + 65
f4(x) = 16800 x-9