CIV2106 - Instabilidade das Estruturas - Prof. Raul
Tópico: Flambagem de Anéis Circulares no Espaço2014.2
A análise a seguir permite obter cargas críticas (dentro da aproximação usual de pequenos deslocamentos), considerandopequena curvatura, cisalhamento desprezável, pressão radial uniforme e seção duplamente simétrica. Serão consideradosos casos de carga de direção constante, dirigida para o centro e hidrostática. O tratamento a seguir, propositadamente,segue um formato clássico (corpo rígido+modos de deformação, em vez de modos associados a deslocamentos nodais).O deslocamento fora do plano é w(x) e a rotação em torno do eixo (curvilineo) é fi(x). É importante notar que as cargas clássicas de comparação de Hencky e Timoshenko desprezam o efeito da força axialna rigidez à torção (via termo P.ρ^2), sendo válidas para uma área muito grande. O valor de Vlasov pode ser tambémparticularizado para esta situação.Os resultados abaixo confirmam a validade dos valores de cargas críticas de Hencky, Timoshenko e Vlasov, ajudando aexplicar porque os resultados de Yoo por elementos finitos não são corretos (erros devido a descuidos nas aproximaçõessimplificativas e desconhecimento da importância da rigidez de carga na aproximação por elementos finitos -lembrar "pitfalls").
Iw 1:= Iz 1:=E 1:= G 0.5:= Iy 1:= J 1:= A 1:=
ρIy Iz+
A:= ρ 1.414=
t 1:= b 10:= h 10:=
Jt3
32 b⋅ h+( )⋅:= (seção H)
r 100:=Cargas clássicas - caso espacial L 2 π⋅ r⋅:= (notar ângulo central)
J 10=
Iwt h
2⋅ b
3⋅
241⋅:=
Modos de corpo rígido: Iw 4.167 103
×=
A 2 b⋅ h+( ) t⋅:= A 30=
dfir x( )
0
cosx
r
−
r2
sinx
r
r2
:=wr x( )
1
sinx
r
cosx
r
:= dwr x( )
0
cosx
r
r
sinx
r
−
r
:= Izh3t⋅
122 b t
3⋅ b t⋅
h
2
2
⋅+
⋅+:=fir x( )
0
sinx
r
−
r
cosx
r
−
r
:=
Iz 603.333=
Iyh t
3⋅
12
2 t⋅ b3
⋅
12+:=
Iy 167.5=
ddwr x( )
0
sinx
r
−
r2
cosx
r
−
r2
:=ddfir x( )
0
sinx
r
r3
cosx
r
r3
:=
Modos de deformação (deslocamentos independentes para w e fi):
Nw 2:= Nfi Nw:= Comentário: os modos derivados da eq. diferencialsão acoplados via EIy/GJ . nw 1 Nw..:= nfi 1 Nfi..:=
w x nw, ( ) sin nw 1+( )x
r⋅
:= fi x nfi, ( ) sin nfi 1+( )x
r⋅
:=
dw x nw, ( ) cos nw 1+( )x
r⋅
nw 1+( )
r⋅:= ddw x nw, ( ) sin nw 1+( )
x
r⋅
−nw 1+( )
2
r2
⋅:=
ddfi x nfi, ( ) sin nfi 1+( )x
r⋅
−nfi 1+( )
2
r2
⋅:=dfi x nfi, ( ) cos nfi 1+( )
x
r⋅
nfi 1+( )
r⋅:=
Matrizes de rigidez elástica (observar que há três famílias de deslocamentos):
i 1 Nfi..:= j 1 Nfi..:=
KEfifii j,
0
L
xG J⋅ dfi x i, ( )⋅ dfi x j, ( )⋅E Iy⋅
r2
fi x i, ( )⋅ fi x j, ( )⋅+⌠⌡
d:=
i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=
KEwwi j,
0
L
xG J⋅
r2
dw x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅ E Iy⋅ ddw x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅+⌠⌡
d:=
i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=
KEfiwi j,
0
L
xG J⋅
rdfi x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅
E Iy⋅
rfi x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅−
⌠⌡
d:=
i 1 3..:= j 1 3..:=
KErr1i j,
0
L
xG J⋅ dfir x( )i
⋅ dfir x( )j
⋅E Iy⋅
r2
fir x( )i
⋅ fir x( )j
⋅+G J⋅
r2
dwr x( )i
⋅ dwr x( )j
⋅+ E Iy⋅ ddwr x( )i
⋅ ddwr x( )j
⋅+⌠⌡
d:=
KErr2i j,
0
L
xG J⋅
rdfir x( )
idwr x( )
j⋅ dfir x( )
jdwr x( )
i⋅+( )⋅
E Iy⋅
rfir x( )
iddwr x( )
j⋅ fir x( )
jddwr x( )
i⋅+( )⋅−
⌠⌡
d:=
KErri j, KErr1
i j, KErr2i j, +:=
i 1 3..:= j 1 Nfi..:=
KErfii j,
0
L
xG J⋅ dfir x( )i
⋅ dfi x j, ( )⋅E Iy⋅
r2
fir x( )i
⋅ fi x j, ( )⋅+⌠⌡
d:= KErr
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KErwi j,
0
L
xG J⋅
r2
dwr x( )i
⋅ dw x j, ( )⋅ E Iy⋅ ddwr x( )i
⋅ ddw x j, ( )⋅+G J⋅
rdfir x( )
i⋅ dw x j, ( )⋅+
E Iy⋅
rfir x( )
i⋅ ddw x j, ( )⋅−
⌠⌡
d:=
KEsup augment KErr KErfi, ( ):= KEsup augment KEsup KErw, ( ):=
KEmid augment KErfiT
KEfifi, ( ):= KEmid augment KEmid KEfiw, ( ):=
KEinf augment KErwT
KEfiwT
, ( ):= KEinf augment KEinf KEww, ( ):=
KE stack KEsup KEmid, ( ):= KE stack KE KEinf, ( ):=
KE
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5.89
0
0.217
0
0
0
0
0
6.676
0
0.488
0
0
0
0.217
0
8.482 103−
×
0
0
0
0
0
0.488
0
0.043
=
Matriz geométrica (para carga de direção constante):q 1:=
t1 1:=i 1 3..:= j 1 3..:=
KGrri j,
0
L
xq r⋅ dwr x( )idwr x( )
j⋅ 1
ρ2
r2
t1⋅+
⋅ dfir x( )idfir x( )
j⋅ ρ
2⋅ t1⋅+ dfir x( )
idwr x( )
j⋅ dfir x( )
jdwr x( )
i⋅+( ) ρ
2
r⋅ t1⋅+
⋅
⌠⌡
d:=
i 1 3..:= j 1 Nfi..:=
Os multiplicadores t1= 0 ou 1 correspondem ao cálculosimplificado em que se despreza o efeito da força decompressão na rigidez 'torção uniforme (notar que a existênciadeste fator foi o motivo da polêmica de Ojalvo-Chen em 1989).Caso se deseje incluir este efeito, basta colocar t1=1 nostermos em fi.fi (os termos em w constam de Vlasov 1956 mas
KGrfii j,
0
L
xq r⋅ dfir x( )i
⋅ dfi x j, ( )⋅ ρ2
⋅ 1⋅⌠⌡
d:=
são menos importantes ainda ). Quando se tomam valoresrealistas para raio e dimensões da seção, tais efeitos sãopouco importantes.
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KGrwi j,
0
L
xq r⋅ dwr x( )i
⋅ dw x j, ( )⋅ 1ρ2
r2
t1⋅+
⋅
⌠⌡
d:=
i 1 Nfi..:= j 1 Nfi..:=
KGfifii j,
0
L
xq r⋅ dfi x i, ( )⋅ dfi x j, ( )⋅ ρ2
⋅ t1⋅⌠⌡
d:=
i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=
KGwwi j,
0
L
xq r⋅ dw x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅ 1ρ2
r2
t1⋅+
⋅
⌠⌡
d:=
i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=
KGfiwi j,
0
L
xq dfi x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅ ρ2
⋅ t1⋅⌠⌡
d:=
KGsup augment KGrr KGrfi, ( ):= KGsup augment KGsup KGrw, ( ):=
KGmid augment KGrfiT
KGfifi, ( ):= KGmid augment KGmid KGfiw, ( ):=
KGinf augment KGrwT
KGfiwT
, ( ):= KGinf augment KGinf KGww, ( ):=
KG stack KGsup KGmid, ( ):= KG stack KG KGinf, ( ):=
KG
0
0
0
0
0
0
0
0
3.142
0
0
0
0
3.202 1015−
×
0
0
3.142
0
0
0
4.141 1015−
×
0
0
0
25.133
1.979− 1015−
×
0.251
0
0
0
0
1.434− 1015−
×
56.549
0
0.565
0
0
0
0.251
0
12.569
0
0
3.202 1015−
×
4.141 1015−
×
0
0.565
0
28.28
=
CARGA CRÍTICA PARA CARGA DE DIREÇÃO CONSTANTE
Para o cálculo da carga crítica clássica, colocam-se impedimentos aos deslocamentos decorpo rígido (no caso, apenas suprimimos os 3 primeiros deslocamentos).
Valor teórico (Timoshenko 1923):
qcrtE Iy⋅
r3
9
4E Iy⋅
G J⋅+
⋅:=
KE1 1, KE
1 1, 1018
+:=
KE2 2, KE
2 2, 1018
+:= qcrt 4.02 105−
×=
InvPcr sort eigenvals KE1−
− KG⋅( )( ):=KE
3 3, KE3 3, 10
18+:=
qcrconst1
InvPcr1
:= qcrconst 4.014− 105−
×=
(primeiro modo)
x 3.5− r⋅ 3.49− r⋅, 3.5 r⋅..:=v1 eigenvec KE
1−− KG⋅
1
qcrconst,
:=InvPcr
24911.361−
61.215−
4.261−
0
0
0
2.334 1034
×
=
v1
0
0
0
0.037
0
0.999−
0
=
fiplot1 x( ) v140.2⋅ cos 2
x
r⋅
⋅ r⋅ sinx
r
⋅ v160.2⋅ sin 2
x
r⋅
⋅ r⋅ cosx
r
⋅+ r cosx
r
⋅+:=
wplot1 x( ) v160.8⋅ cos 2
x
r⋅
⋅ r⋅ cosx
r
⋅ v140.8⋅ sin 2
x
r⋅
⋅ r⋅ sinx
r
⋅− r sinx
r
⋅+:=
100− 0 100
100−
0
100
wplot1 x( )
r sinx
r
⋅
r cosx
r
⋅
Modo de flambagem típico (fora do plano)
CASO DE CARGA DIRIGIDA PARA O CENTRO
i 1 3..:= j 1 3..:=
KLrri j,
0
L
xq
r− wr x( )
i⋅ wr x( )
j⋅
⌠⌡
d:=
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KLrwi j,
0
L
xq
r− wr x( )
i⋅ w x j, ( )⋅
⌠⌡
d:=
i 1 Nw..:= j 1 Nw..:= KLwr KLrwT
:=
KLrr
6.283−
0
0
0
3.142−
0
0
0
3.142−
=
KLwwi j,
0
L
xq
r− w x i, ( )⋅ w x j, ( )⋅
⌠⌡
d:=
Soma na matriz geométrica global:
i 1 3..:= j 1 3..:=
KGi j, KG
i j, KLrri j, +:=
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KGi j 3+ Nfi+, KG
i j 3+ Nfi+, KLrwi j, +:=
KGj 3+ Nfi+ i, KG
j 3+ Nfi+ i, KLwrj i, +:=
cE Iy⋅
G J⋅:= c 33.5=
i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=
(seção retangular fina, em aço, c=0.65)KG
i 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KGi 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KLww
i j, +:=
Valor teórico (Hencky, 1921):
qcrhenckyE Iy⋅
r3
12
4E Iy⋅
G J⋅+
⋅:=
InvPcr sort eigenvals KE1−
− KG⋅( )( ):=qcrhencky 5.36 10
5−×=
qcr1
InvPcr1
:=
InvPcr
18692.458−
3555.651−
8.395−
4.259−
5.495− 1014−
×
0
0
=qcr 5.35− 10
5−×=
w1 eigenvec KE−( )1−KG⋅
1
qcr,
:=
fiplot x( ) w140.2⋅ cos 2
x
r⋅
⋅ r⋅ sinx
r
⋅ w160.2⋅ sin 2
x
r⋅
⋅ r⋅ cosx
r
⋅− r cosx
r
⋅+:=
w1
0
0
0
0.037−
0
0.999
0
=wplot x( ) w1
6− 0.3⋅ sin 2
x
r⋅
⋅ r⋅ sinx
r
⋅ w140.3⋅ cos 2
x
r⋅
⋅ r⋅ cosx
r
⋅− r sinx
r
⋅+:=
(modo nw,nfi=1)
100− 0 100
100−
0
100
wplot x( )
r sinx
r
⋅
r cosx
r
⋅
Removendo o efeito da matriz de carga da matriz geométrica global:
i 1 3..:= j 1 3..:=
KGi j, KG
i j, KLrri j, −:=
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KGi j 3+ Nfi+, KG
i j 3+ Nfi+, KLrwi j, −:=
KGj 3+ Nfi+ i, KG
j 3+ Nfi+ i, KLwrj i, −:=
i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=
KGi 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KG
i 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KLwwi j, −:=
CASO DE CARGA HIDROSTÁTICA
i 1 3..:= j 1 3..:=
KLrri j,
0
L
xq fir x( )i
⋅ wr x( )j
⋅⌠⌡
d:=
(notar assimetria da matriz)
i 1 3..:= j 1 Nw..:=(observar sinal positivo, neste caso - a carga de tração édesestabilizante)
KLrwi j,
0
L
xq fir x( )i
⋅ w x j, ( )⋅⌠⌡
d:=
i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=
KLfiwi j,
0
L
xq fi x i, ( )⋅ w x j, ( )⋅⌠⌡
d:=
Soma na matriz geométrica global:
i 1 3..:= j 1 3..:=
KGi j, KG
i j, KLrri j, +:=
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KGi j 3+ Nfi+, KG
i j 3+ Nfi+, KLrwi j, +:=
i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=
KGi 3+ j 3+ Nfi+, KG
i 3+ j 3+ Nfi+, KLfiwi j, +:=
Valor da carga de Vlasov (fórmula simplificada): qcrvlasovsimp3− E⋅ Iy⋅
r3
:=
( )( )
InvPcr sort eigenvals KE1−
− KG⋅( )( ):=qcrvlasovsimp 5.025− 10
4−×=
qcr1
InvPcr1
:=
InvPcr
1990.05−
746.269−
40−
40−
0
0
0
=
qcr 5.025− 104−
×=
Deve ser notado que a carga crítica para carga"hidrostática", i.e., que segue a rotação fi, tem um valormuito mais alto que as anteriores (que são afetadaspelo fator c=EIy/GJ)
w1 eigenvec KE−( )1−KG⋅
1
qcr,
:=qcrconst 4.014− 10
5−×=
qcrhencky 5.36 105−
×=w1
0
0
0
10 103−
×
0
1−
0
=
CONSIDERAÇÃO DE EMPENAMENTO NÃO-UNIFORME
Basta incluir a contribuição da energia de empenamento na matriz de rigidez elástica.
i 1 Nfi..:= j 1 Nfi..:=
KEfifii j, KEfifi
i j, 0
L
xE Iw⋅ ddfi x i, ( )⋅ ddfi x j, ( )⋅⌠⌡
d+:=
i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=
KEwwi j, KEww
i j,
0
L
xE Iw⋅
r2
ddw x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅⌠⌡
d+:=
i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=
KEfiwi j, KEfiw
i j,
0
L
xE Iw⋅
rddfi x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅
⌠⌡
d+:=
i 1 3..:= j 1 3..:=
KErri j, KErr
i j,
0
L
xE Iw⋅ ddfir x( )iddfir x( )
j⋅
ddwr x( )iddwr x( )
j⋅
r2
+ddfir x( )
iddwr x( )
j⋅
r+
ddfir x( )jddwr x( )
i⋅
r+
⋅
⌠⌡
d+:=
i 1 3..:= j 1 Nfi..:=
KErfii j, KErfi
i j, 0
L
xE Iw⋅ ddfir x( )i
⋅ ddfi x j, ( )⋅⌠⌡
d+:=
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KErwi j, KErw
i j,
0
L
xE Iw⋅
r2
ddwr x( )i
⋅ ddw x j, ( )⋅⌠⌡
d+:=
KEsup augment KErr KErfi, ( ):= KEsup augment KEsup KErw, ( ):=
KEmid augment KErfiT
KEfifi, ( ):= KEmid augment KEmid KEfiw, ( ):=
( )
KEinf augment KErwT
KEfiwT
, ( ):= KEinf augment KEinf KEww, ( ):=
KE stack KEsup KEmid, ( ):= KE stack KE KEinf, ( ):=
KE
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6.1
0
0.219
0
0
0
0
0
7.736
0
0.498
0
0
0
0.219
0
8.503 103−
×
0
0
0
0
0
0.498
0
0.043
=
KE1 1, 10
10:= KE
2 2, 10108
:= KE3 3, 10
10:=
InvPcr sort eigenvals KE1−
− KG⋅( )( ):=InvPcr
1.99− 103
×
746.269−
30−
22.857−
0
0
0
=qcr
1
InvPcr1
:=
qcr 5.025− 104−
×=
O aumento da carga crítica por efeito doempenamento não-uniforme no casohidrostático é pequeno pois não houve restriçãoao empenamento (apenas os movimentos decorpo rígido foram impedidos).
w1 eigenvec KE1−
− KG⋅1
qcr,
:=
w1
0
0
0
10 103−
×
0
1−
0
=
Valor teórico de Vlasov (Thin-Walled Elastic Beams, trad. Nat. Science Foundation,1963), para o caso de carga hidrostática:
q2 4 E⋅ Iy⋅
r3
1
r ρ2
⋅
4 E⋅ Iw⋅
r2
G J⋅+
⋅+
q⋅−
3
4
4 E⋅ Iy⋅
r3
⋅1
r ρ2
⋅⋅
4 E⋅ Iw⋅
r2
G J⋅+
⋅+ 0=
qesp
2 E⋅Iy
r3
⋅2
r3ρ2
⋅( )E⋅ Iw⋅+
1
2 r ρ2
⋅( )⋅ G⋅ J⋅+
1
2
16 E2
⋅ Iy2
⋅ ρ4
⋅ 16 E2
⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2
⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅ ρ2
⋅− 16 E2
⋅ Iw2
⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅+ G2J2
⋅ r4
⋅+
r3ρ2
⋅( )⋅+
2 E⋅Iy
r3
⋅2
r3ρ2
⋅( )E⋅ Iw⋅+
1
2 r ρ2
⋅( )⋅ G⋅ J⋅+
1
2
16 E2
⋅ Iy2
⋅ ρ4
⋅ 16 E2
⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2
⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅ ρ2
⋅− 16 E2
⋅ Iw2
⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅+ G2J2
⋅ r4
⋅+
r3ρ2
⋅( )⋅−
:=
qesp
0.034
4.999 104−
×
=
No caso particular em que Iw= 0:
Iw 0:=
qesp
2 E⋅Iy
r3
⋅2
r3ρ2
⋅( )E⋅ Iw⋅+
1
2 r ρ2
⋅( )⋅ G⋅ J⋅+
1
2
16 E2
⋅ Iy2
⋅ ρ4
⋅ 16 E2
⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2
⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅ ρ2
⋅− 16 E2
⋅ Iw2
⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅+ G2J2
⋅ r4
⋅+
r3ρ2
⋅( )⋅+
2 E⋅Iy
r3
⋅2
r3ρ2
⋅( )E⋅ Iw⋅+
1
2 r ρ2
⋅( )⋅ G⋅ J⋅+
1
2
16 E2
⋅ Iy2
⋅ ρ4
⋅ 16 E2
⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2
⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅ ρ2
⋅− 16 E2
⋅ Iw2
⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2
⋅+ G2J2
⋅ r4
⋅+
r3ρ2
⋅( )⋅−
:=
Uma forma simplificada para Iw=0 (vide valor anteriormente obtido):qesp
0.025
4.991 104−
×
=qcrvlasovsimp 5.025− 10
4−×=
Retirando da matriz geométrica global a matriz de cargas (para obter o caso de direção constante):
i 1 3..:= j 1 3..:=
KGi j, KG
i j, KLrri j, −:=
i 1 3..:= j 1 Nw..:=
KGi j 3+ Nfi+, KG
i j 3+ Nfi+, KLrwi j, −:=
i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=
KGi 3+ j 3+ Nfi+, KG
i 3+ j 3+ Nfi+, KLfiwi j, −:=
Este valor deveria ser comparado ao obtidoanteriormente sem efeito de empenamentonão-uniforme (nota-se que houve umaaumento significativo):
InvPcr sort eigenvals KE1−
− KG⋅( )( ):=qcrconstnu
1
InvPcr1
:=
qcrconstnu 5.169− 105−
×=qcrconst 4.014− 10
5−×=