CIV2106 - Instabilidade das Estruturas - Prof. Raul

Tópico: Flambagem de Anéis Circulares no Espaço2014.2

A análise a seguir permite obter cargas críticas (dentro da aproximação usual de pequenos deslocamentos), considerandopequena curvatura, cisalhamento desprezável, pressão radial uniforme e seção duplamente simétrica. Serão consideradosos casos de carga de direção constante, dirigida para o centro e hidrostática. O tratamento a seguir, propositadamente,segue um formato clássico (corpo rígido+modos de deformação, em vez de modos associados a deslocamentos nodais).O deslocamento fora do plano é w(x) e a rotação em torno do eixo (curvilineo) é fi(x). É importante notar que as cargas clássicas de comparação de Hencky e Timoshenko desprezam o efeito da força axialna rigidez à torção (via termo P.ρ^2), sendo válidas para uma área muito grande. O valor de Vlasov pode ser tambémparticularizado para esta situação.Os resultados abaixo confirmam a validade dos valores de cargas críticas de Hencky, Timoshenko e Vlasov, ajudando aexplicar porque os resultados de Yoo por elementos finitos não são corretos (erros devido a descuidos nas aproximaçõessimplificativas e desconhecimento da importância da rigidez de carga na aproximação por elementos finitos -lembrar "pitfalls").

Iw 1:= Iz 1:=E 1:= G 0.5:= Iy 1:= J 1:= A 1:=

ρIy Iz+

A:= ρ 1.414=

t 1:= b 10:= h 10:=

Jt3

32 b⋅ h+( )⋅:= (seção H)

r 100:=Cargas clássicas - caso espacial L 2 π⋅ r⋅:= (notar ângulo central)

J 10=

Iwt h

2⋅ b

3⋅

241⋅:=

Modos de corpo rígido: Iw 4.167 103

×=

A 2 b⋅ h+( ) t⋅:= A 30=

dfir x( )

0

cosx

r

−

r2

sinx

r

r2

:=wr x( )

1

sinx

r

cosx

r

:= dwr x( )

0

cosx

r

r

sinx

r

−

r

:= Izh3t⋅

122 b t

3⋅ b t⋅

h

2

2

⋅+

⋅+:=fir x( )

0

sinx

r

−

r

cosx

r

−

r

:=

Iz 603.333=

Iyh t

3⋅

12

2 t⋅ b3

⋅

12+:=

Iy 167.5=

ddwr x( )

0

sinx

r

−

r2

cosx

r

−

r2

:=ddfir x( )

0

sinx

r

r3

cosx

r

r3

:=

Modos de deformação (deslocamentos independentes para w e fi):

Nw 2:= Nfi Nw:= Comentário: os modos derivados da eq. diferencialsão acoplados via EIy/GJ . nw 1 Nw..:= nfi 1 Nfi..:=

w x nw, ( ) sin nw 1+( )x

r⋅

:= fi x nfi, ( ) sin nfi 1+( )x

r⋅

:=

dw x nw, ( ) cos nw 1+( )x

r⋅

nw 1+( )

r⋅:= ddw x nw, ( ) sin nw 1+( )

x

r⋅

−nw 1+( )

2

r2

⋅:=

ddfi x nfi, ( ) sin nfi 1+( )x

r⋅

−nfi 1+( )

2

r2

⋅:=dfi x nfi, ( ) cos nfi 1+( )

x

r⋅

nfi 1+( )

r⋅:=

Matrizes de rigidez elástica (observar que há três famílias de deslocamentos):

i 1 Nfi..:= j 1 Nfi..:=

KEfifii j,

0

L

xG J⋅ dfi x i, ( )⋅ dfi x j, ( )⋅E Iy⋅

r2

fi x i, ( )⋅ fi x j, ( )⋅+⌠⌡

d:=

i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=

KEwwi j,

0

L

xG J⋅

r2

dw x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅ E Iy⋅ ddw x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅+⌠⌡

d:=

i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=

KEfiwi j,

0

L

xG J⋅

rdfi x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅

E Iy⋅

rfi x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅−

⌠⌡

d:=

i 1 3..:= j 1 3..:=

KErr1i j,

0

L

xG J⋅ dfir x( )i

⋅ dfir x( )j

⋅E Iy⋅

r2

fir x( )i

⋅ fir x( )j

⋅+G J⋅

r2

dwr x( )i

⋅ dwr x( )j

⋅+ E Iy⋅ ddwr x( )i

⋅ ddwr x( )j

⋅+⌠⌡

d:=

KErr2i j,

0

L

xG J⋅

rdfir x( )

idwr x( )

j⋅ dfir x( )

jdwr x( )

i⋅+( )⋅

E Iy⋅

rfir x( )

iddwr x( )

j⋅ fir x( )

jddwr x( )

i⋅+( )⋅−

⌠⌡

d:=

KErri j, KErr1

i j, KErr2i j, +:=

i 1 3..:= j 1 Nfi..:=

KErfii j,

0

L

xG J⋅ dfir x( )i

⋅ dfi x j, ( )⋅E Iy⋅

r2

fir x( )i

⋅ fi x j, ( )⋅+⌠⌡

d:= KErr

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KErwi j,

0

L

xG J⋅

r2

dwr x( )i

⋅ dw x j, ( )⋅ E Iy⋅ ddwr x( )i

⋅ ddw x j, ( )⋅+G J⋅

rdfir x( )

i⋅ dw x j, ( )⋅+

E Iy⋅

rfir x( )

i⋅ ddw x j, ( )⋅−

⌠⌡

d:=

KEsup augment KErr KErfi, ( ):= KEsup augment KEsup KErw, ( ):=

KEmid augment KErfiT

KEfifi, ( ):= KEmid augment KEmid KEfiw, ( ):=

KEinf augment KErwT

KEfiwT

, ( ):= KEinf augment KEinf KEww, ( ):=

KE stack KEsup KEmid, ( ):= KE stack KE KEinf, ( ):=

KE

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

5.89

0

0.217

0

0

0

0

0

6.676

0

0.488

0

0

0

0.217

0

8.482 103−

×

0

0

0

0

0

0.488

0

0.043

=

Matriz geométrica (para carga de direção constante):q 1:=

t1 1:=i 1 3..:= j 1 3..:=

KGrri j,

0

L

xq r⋅ dwr x( )idwr x( )

j⋅ 1

ρ2

r2

t1⋅+

⋅ dfir x( )idfir x( )

j⋅ ρ

2⋅ t1⋅+ dfir x( )

idwr x( )

j⋅ dfir x( )

jdwr x( )

i⋅+( ) ρ

2

r⋅ t1⋅+

⋅

⌠⌡

d:=

i 1 3..:= j 1 Nfi..:=

Os multiplicadores t1= 0 ou 1 correspondem ao cálculosimplificado em que se despreza o efeito da força decompressão na rigidez 'torção uniforme (notar que a existênciadeste fator foi o motivo da polêmica de Ojalvo-Chen em 1989).Caso se deseje incluir este efeito, basta colocar t1=1 nostermos em fi.fi (os termos em w constam de Vlasov 1956 mas

KGrfii j,

0

L

xq r⋅ dfir x( )i

⋅ dfi x j, ( )⋅ ρ2

⋅ 1⋅⌠⌡

d:=

são menos importantes ainda ). Quando se tomam valoresrealistas para raio e dimensões da seção, tais efeitos sãopouco importantes.

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KGrwi j,

0

L

xq r⋅ dwr x( )i

⋅ dw x j, ( )⋅ 1ρ2

r2

t1⋅+

⋅

⌠⌡

d:=

i 1 Nfi..:= j 1 Nfi..:=

KGfifii j,

0

L

xq r⋅ dfi x i, ( )⋅ dfi x j, ( )⋅ ρ2

⋅ t1⋅⌠⌡

d:=

i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=

KGwwi j,

0

L

xq r⋅ dw x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅ 1ρ2

r2

t1⋅+

⋅

⌠⌡

d:=

i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=

KGfiwi j,

0

L

xq dfi x i, ( )⋅ dw x j, ( )⋅ ρ2

⋅ t1⋅⌠⌡

d:=

KGsup augment KGrr KGrfi, ( ):= KGsup augment KGsup KGrw, ( ):=

KGmid augment KGrfiT

KGfifi, ( ):= KGmid augment KGmid KGfiw, ( ):=

KGinf augment KGrwT

KGfiwT

, ( ):= KGinf augment KGinf KGww, ( ):=

KG stack KGsup KGmid, ( ):= KG stack KG KGinf, ( ):=

KG

0

0

0

0

0

0

0

0

3.142

0

0

0

0

3.202 1015−

×

0

0

3.142

0

0

0

4.141 1015−

×

0

0

0

25.133

1.979− 1015−

×

0.251

0

0

0

0

1.434− 1015−

×

56.549

0

0.565

0

0

0

0.251

0

12.569

0

0

3.202 1015−

×

4.141 1015−

×

0

0.565

0

28.28

=

CARGA CRÍTICA PARA CARGA DE DIREÇÃO CONSTANTE

Para o cálculo da carga crítica clássica, colocam-se impedimentos aos deslocamentos decorpo rígido (no caso, apenas suprimimos os 3 primeiros deslocamentos).

Valor teórico (Timoshenko 1923):

qcrtE Iy⋅

r3

9

4E Iy⋅

G J⋅+

⋅:=

KE1 1, KE

1 1, 1018

+:=

KE2 2, KE

2 2, 1018

+:= qcrt 4.02 105−

×=

InvPcr sort eigenvals KE1−

− KG⋅( )( ):=KE

3 3, KE3 3, 10

18+:=

qcrconst1

InvPcr1

:= qcrconst 4.014− 105−

×=

(primeiro modo)

x 3.5− r⋅ 3.49− r⋅, 3.5 r⋅..:=v1 eigenvec KE

1−− KG⋅

1

qcrconst,

:=InvPcr

24911.361−

61.215−

4.261−

0

0

0

2.334 1034

×

=

v1

0

0

0

0.037

0

0.999−

0

=

fiplot1 x( ) v140.2⋅ cos 2

x

r⋅

⋅ r⋅ sinx

r

⋅ v160.2⋅ sin 2

x

r⋅

⋅ r⋅ cosx

r

⋅+ r cosx

r

⋅+:=

wplot1 x( ) v160.8⋅ cos 2

x

r⋅

⋅ r⋅ cosx

r

⋅ v140.8⋅ sin 2

x

r⋅

⋅ r⋅ sinx

r

⋅− r sinx

r

⋅+:=

100− 0 100

100−

0

100

wplot1 x( )

r sinx

r

⋅

r cosx

r

⋅

Modo de flambagem típico (fora do plano)

CASO DE CARGA DIRIGIDA PARA O CENTRO

i 1 3..:= j 1 3..:=

KLrri j,

0

L

xq

r− wr x( )

i⋅ wr x( )

j⋅

⌠⌡

d:=

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KLrwi j,

0

L

xq

r− wr x( )

i⋅ w x j, ( )⋅

⌠⌡

d:=

i 1 Nw..:= j 1 Nw..:= KLwr KLrwT

:=

KLrr

6.283−

0

0

0

3.142−

0

0

0

3.142−

=

KLwwi j,

0

L

xq

r− w x i, ( )⋅ w x j, ( )⋅

⌠⌡

d:=

Soma na matriz geométrica global:

i 1 3..:= j 1 3..:=

KGi j, KG

i j, KLrri j, +:=

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KGi j 3+ Nfi+, KG

i j 3+ Nfi+, KLrwi j, +:=

KGj 3+ Nfi+ i, KG

j 3+ Nfi+ i, KLwrj i, +:=

cE Iy⋅

G J⋅:= c 33.5=

i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=

(seção retangular fina, em aço, c=0.65)KG

i 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KGi 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KLww

i j, +:=

Valor teórico (Hencky, 1921):

qcrhenckyE Iy⋅

r3

12

4E Iy⋅

G J⋅+

⋅:=

InvPcr sort eigenvals KE1−

− KG⋅( )( ):=qcrhencky 5.36 10

5−×=

qcr1

InvPcr1

:=

InvPcr

18692.458−

3555.651−

8.395−

4.259−

5.495− 1014−

×

0

0

=qcr 5.35− 10

5−×=

w1 eigenvec KE−( )1−KG⋅

1

qcr,

:=

fiplot x( ) w140.2⋅ cos 2

x

r⋅

⋅ r⋅ sinx

r

⋅ w160.2⋅ sin 2

x

r⋅

⋅ r⋅ cosx

r

⋅− r cosx

r

⋅+:=

w1

0

0

0

0.037−

0

0.999

0

=wplot x( ) w1

6− 0.3⋅ sin 2

x

r⋅

⋅ r⋅ sinx

r

⋅ w140.3⋅ cos 2

x

r⋅

⋅ r⋅ cosx

r

⋅− r sinx

r

⋅+:=

(modo nw,nfi=1)

100− 0 100

100−

0

100

wplot x( )

r sinx

r

⋅

r cosx

r

⋅

Removendo o efeito da matriz de carga da matriz geométrica global:

i 1 3..:= j 1 3..:=

KGi j, KG

i j, KLrri j, −:=

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KGi j 3+ Nfi+, KG

i j 3+ Nfi+, KLrwi j, −:=

KGj 3+ Nfi+ i, KG

j 3+ Nfi+ i, KLwrj i, −:=

i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=

KGi 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KG

i 3+ Nfi+ j 3+ Nfi+, KLwwi j, −:=

CASO DE CARGA HIDROSTÁTICA

i 1 3..:= j 1 3..:=

KLrri j,

0

L

xq fir x( )i

⋅ wr x( )j

⋅⌠⌡

d:=

(notar assimetria da matriz)

i 1 3..:= j 1 Nw..:=(observar sinal positivo, neste caso - a carga de tração édesestabilizante)

KLrwi j,

0

L

xq fir x( )i

⋅ w x j, ( )⋅⌠⌡

d:=

i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=

KLfiwi j,

0

L

xq fi x i, ( )⋅ w x j, ( )⋅⌠⌡

d:=

Soma na matriz geométrica global:

i 1 3..:= j 1 3..:=

KGi j, KG

i j, KLrri j, +:=

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KGi j 3+ Nfi+, KG

i j 3+ Nfi+, KLrwi j, +:=

i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=

KGi 3+ j 3+ Nfi+, KG

i 3+ j 3+ Nfi+, KLfiwi j, +:=

Valor da carga de Vlasov (fórmula simplificada): qcrvlasovsimp3− E⋅ Iy⋅

r3

:=

( )( )

InvPcr sort eigenvals KE1−

− KG⋅( )( ):=qcrvlasovsimp 5.025− 10

4−×=

qcr1

InvPcr1

:=

InvPcr

1990.05−

746.269−

40−

40−

0

0

0

=

qcr 5.025− 104−

×=

Deve ser notado que a carga crítica para carga"hidrostática", i.e., que segue a rotação fi, tem um valormuito mais alto que as anteriores (que são afetadaspelo fator c=EIy/GJ)

w1 eigenvec KE−( )1−KG⋅

1

qcr,

:=qcrconst 4.014− 10

5−×=

qcrhencky 5.36 105−

×=w1

0

0

0

10 103−

×

0

1−

0

=

CONSIDERAÇÃO DE EMPENAMENTO NÃO-UNIFORME

Basta incluir a contribuição da energia de empenamento na matriz de rigidez elástica.

i 1 Nfi..:= j 1 Nfi..:=

KEfifii j, KEfifi

i j, 0

L

xE Iw⋅ ddfi x i, ( )⋅ ddfi x j, ( )⋅⌠⌡

d+:=

i 1 Nw..:= j 1 Nw..:=

KEwwi j, KEww

i j,

0

L

xE Iw⋅

r2

ddw x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅⌠⌡

d+:=

i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=

KEfiwi j, KEfiw

i j,

0

L

xE Iw⋅

rddfi x i, ( )⋅ ddw x j, ( )⋅

⌠⌡

d+:=

i 1 3..:= j 1 3..:=

KErri j, KErr

i j,

0

L

xE Iw⋅ ddfir x( )iddfir x( )

j⋅

ddwr x( )iddwr x( )

j⋅

r2

+ddfir x( )

iddwr x( )

j⋅

r+

ddfir x( )jddwr x( )

i⋅

r+

⋅

⌠⌡

d+:=

i 1 3..:= j 1 Nfi..:=

KErfii j, KErfi

i j, 0

L

xE Iw⋅ ddfir x( )i

⋅ ddfi x j, ( )⋅⌠⌡

d+:=

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KErwi j, KErw

i j,

0

L

xE Iw⋅

r2

ddwr x( )i

⋅ ddw x j, ( )⋅⌠⌡

d+:=

KEsup augment KErr KErfi, ( ):= KEsup augment KEsup KErw, ( ):=

KEmid augment KErfiT

KEfifi, ( ):= KEmid augment KEmid KEfiw, ( ):=

( )

KEinf augment KErwT

KEfiwT

, ( ):= KEinf augment KEinf KEww, ( ):=

KE stack KEsup KEmid, ( ):= KE stack KE KEinf, ( ):=

KE

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

6.1

0

0.219

0

0

0

0

0

7.736

0

0.498

0

0

0

0.219

0

8.503 103−

×

0

0

0

0

0

0.498

0

0.043

=

KE1 1, 10

10:= KE

2 2, 10108

:= KE3 3, 10

10:=

InvPcr sort eigenvals KE1−

− KG⋅( )( ):=InvPcr

1.99− 103

×

746.269−

30−

22.857−

0

0

0

=qcr

1

InvPcr1

:=

qcr 5.025− 104−

×=

O aumento da carga crítica por efeito doempenamento não-uniforme no casohidrostático é pequeno pois não houve restriçãoao empenamento (apenas os movimentos decorpo rígido foram impedidos).

w1 eigenvec KE1−

− KG⋅1

qcr,

:=

w1

0

0

0

10 103−

×

0

1−

0

=

Valor teórico de Vlasov (Thin-Walled Elastic Beams, trad. Nat. Science Foundation,1963), para o caso de carga hidrostática:

q2 4 E⋅ Iy⋅

r3

1

r ρ2

⋅

4 E⋅ Iw⋅

r2

G J⋅+

⋅+

q⋅−

3

4

4 E⋅ Iy⋅

r3

⋅1

r ρ2

⋅⋅

4 E⋅ Iw⋅

r2

G J⋅+

⋅+ 0=

qesp

2 E⋅Iy

r3

⋅2

r3ρ2

⋅( )E⋅ Iw⋅+

1

2 r ρ2

⋅( )⋅ G⋅ J⋅+

1

2

16 E2

⋅ Iy2

⋅ ρ4

⋅ 16 E2

⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2

⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅ ρ2

⋅− 16 E2

⋅ Iw2

⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅+ G2J2

⋅ r4

⋅+

r3ρ2

⋅( )⋅+

2 E⋅Iy

r3

⋅2

r3ρ2

⋅( )E⋅ Iw⋅+

1

2 r ρ2

⋅( )⋅ G⋅ J⋅+

1

2

16 E2

⋅ Iy2

⋅ ρ4

⋅ 16 E2

⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2

⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅ ρ2

⋅− 16 E2

⋅ Iw2

⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅+ G2J2

⋅ r4

⋅+

r3ρ2

⋅( )⋅−

:=

qesp

0.034

4.999 104−

×

=

No caso particular em que Iw= 0:

Iw 0:=

qesp

2 E⋅Iy

r3

⋅2

r3ρ2

⋅( )E⋅ Iw⋅+

1

2 r ρ2

⋅( )⋅ G⋅ J⋅+

1

2

16 E2

⋅ Iy2

⋅ ρ4

⋅ 16 E2

⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2

⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅ ρ2

⋅− 16 E2

⋅ Iw2

⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅+ G2J2

⋅ r4

⋅+

r3ρ2

⋅( )⋅+

2 E⋅Iy

r3

⋅2

r3ρ2

⋅( )E⋅ Iw⋅+

1

2 r ρ2

⋅( )⋅ G⋅ J⋅+

1

2

16 E2

⋅ Iy2

⋅ ρ4

⋅ 16 E2

⋅ Iy⋅ Iw⋅ ρ2

⋅− 4 E⋅ Iy⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅ ρ2

⋅− 16 E2

⋅ Iw2

⋅+ 8 E⋅ Iw⋅ G⋅ J⋅ r2

⋅+ G2J2

⋅ r4

⋅+

r3ρ2

⋅( )⋅−

:=

Uma forma simplificada para Iw=0 (vide valor anteriormente obtido):qesp

0.025

4.991 104−

×

=qcrvlasovsimp 5.025− 10

4−×=

Retirando da matriz geométrica global a matriz de cargas (para obter o caso de direção constante):

i 1 3..:= j 1 3..:=

KGi j, KG

i j, KLrri j, −:=

i 1 3..:= j 1 Nw..:=

KGi j 3+ Nfi+, KG

i j 3+ Nfi+, KLrwi j, −:=

i 1 Nfi..:= j 1 Nw..:=

KGi 3+ j 3+ Nfi+, KG

i 3+ j 3+ Nfi+, KLfiwi j, −:=

Este valor deveria ser comparado ao obtidoanteriormente sem efeito de empenamentonão-uniforme (nota-se que houve umaaumento significativo):

InvPcr sort eigenvals KE1−

− KG⋅( )( ):=qcrconstnu

1

InvPcr1

:=

qcrconstnu 5.169− 105−

×=qcrconst 4.014− 10

5−×=