INSTITUTO TECNOLOGICO DE LALAGUNA
Division de Estudios de Posgrado e Investigacion
Maestria en Ciencias en Ingenieria Electrica
Mecatronica y Control
ROBOTICA
Tarea 1
Matrices de Transformacion Homogenea
Ing. Ismael Medina LopezM1513050
Catedratico: Dr. Jose Alfonso Pamanes Garcıa
Torreon, Coah. - 25 de septiembre de 2015
Robotica
Matrices de Transformacion Homogenea
Ismael Medina Lopez
25 de septiembre de 2015
PROBLEMA:
La pinza de un robot debera extraer una flecha que esta ensamblada en otra pieza, como seobserva en la Figura 1. Para ello la pinza debera desplazarse de tal manera que el marco {P} unidoa ella coincida con el marco {F} unido a la flecha. La escena es registrada mediante una camara devıdeo, a cuyo marco {C} se refiere la situacion de la flecha a traves de la matriz de transformacionhomogenea C
FT . Por otra parte, la situacion de la pinza se especifica con respecto a la base delrobot mediante la matriz B
PT . A su vez, la ubicacion de la base del robot esta definida con respectoa la camara mediante la matriz C
BT .
CBT =
0 1 0... −20
1 0 0... −20
0 0 −1... 140
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
CFT =
1√6
1√6
−2√6
... 50
1√2
−1√2
0... 50
−1√3
−1√3
−1√3
... 20
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
BPT =
1√2
0 −1√2
... 30
−1√2
0 −1√2
... 30
0 1 0... 100
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
Figura 1: Escena de una estacion robotizada.
1 Ing. Ismael Medina Lopez
Robotica
Figura 2: Orientacion de los marcos.
Determinar:
a) La distancia que habra de desplazarse el punto OP de la pinza para lograra coincidir con elpunto OF .
Obtenemos la inversa de la matriz de transformacion homogenea definida de la pinza conrespecto a la base:
P
BT =B
P T−1 =
BPR
T ... −BPR
T BrB,P. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0... 1
−B
PRT BrB,P = −
1√2−1√2
0
0 0 1
−1√2−1√2
0
30
30
100
=
0
−100
60√2
2 Ing. Ismael Medina Lopez
Robotica
P
BT =
1√2
−1√2
0... 0
0 0 1... −100
−1√2
−1√2
0... 60√
2
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
Obtenemos la inversa de la matriz de transformacion homogenea definida de la base con respecto
a la camara:
B
CT =C
B T−1 =
CBR
T ... −CBR
T CrC,B. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0... 1
−C
BRT CrC,B = −
0 1 0
1 0 0
0 0 −1
−20
−20
140
=
20
20
140
B
CT =
0 1 0... 20
1 0 0... 20
0 0 −1... 140
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
B
FT =B
C TC
F T =
0 1 0... 20
1 0 0... 20
0 0 −1... 140
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
1√6
1√6
−2√6
... 50
1√2
−1√2
0... 50
−1√3
−1√3
−1√3
... 20
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
P
FT =P
B TB
F T =
1√2
−1√2
0... 0
0 0 1... −100
−1√2
−1√2
0... 60√
2
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
1√2
−1√2
0... 70
1√6
1√6
−2√6
... 70
1√3
1√3
1√3
... 120
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
3 Ing. Ismael Medina Lopez
Robotica
P
FT =
3−√3
6−(
3+√3
6
) √33
... 0
1√3
1√3
1√3
... 20
−(
3+√3
6
)3−√3
6
√33
... −40√
2
. . . . . . . . .... . . .
0 0 0... 1
Calculamos la distancia del punto OP de la pinza al punto OF de la flecha, ademas de los
angulos theta y phi (Coordenadas Esfericas):
PrP,F =
t14
t24
t34
=
0
20
−40√
2
r =
√(0)2 + (20)2 + (−40
√2)2 = 60
θ = ATAN2(20, 0) = 90◦
φ = ATAN2(−40√
2,√
02 + 202) = -70.5288◦
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b) Los angulos que deben girar los tres eslabones de la muneca del robot, alrededor de susrespectivos ejes de rotacion, para hacer que el marco {P} coincida con el marco {F} a finde realizar la extraccion dela flecha. Notese que los ejes de las articulaciones 4, 5 y 6 sonparalelas a los vectores XP, YP y ZP, respectivamente, del marco {P}.
Coordenadas de orientacion
Angulos de Bryant
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
=
cµcυ...− cµsυ
...sµ
sλsµcυ + cλsυ...− sλsµsυ + cλcυ
...− sλcµ−cλsµcυ + sλsυ
...cλsµsυ + sλcυ...cλcµ
=
3−√3
6−(
3+√3
6
) √33
1√3
1√3
1√3
−(
3+√3
6
)3−√3
6
√33
De la ecuacion anterior resulta que:
λ = ATAN2(−t23, t33) = ATAN2(− 1√3,√33
) = -45◦
µ = ATAN2(−t13, t33cλ ) = ATAN2(√33,
√3
3
cos(−45)) = 35.2644◦
υ = ATAN2(−t12, t11) = ATAN2(3+√3
6, 3−
√3
6) = 75◦
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c) Los angulos que deben girar los tres eslabones de la estructura de orientacion del robot,alrededor de sus respectivos ejes de rotacion, para hacer que el marco {P} coincida con elmarco {F} a fin de realizar la extraccion de la flecha, considerando ahora que la ubicacionde las articulaciones 4 y 6 se invierten, como se muestra en la Figura 3.
Figura 3: Arquitectura de la muneca conciderada en el inciso (c).
Angulos de Euler (z-y-x)
t11 t12 t13
t21 t22 t23
t31 t32 t33
=
cα cβ...cα sβ sγ − sα cβ
...cα sβ cγ + sα sγ
sα cβ...sα sβ sγ + cα cγ
...sα sβ cγ + cα sγ
−sα ...cβ sγ...cβ cγ
=
3−√3
6−(
3+√3
6
) √33
1√3
1√3
1√3
−(
3+√3
6
)3−√3
6
√33
De la ecuacion anterior resulta que:
α = ATAN2(t21, t11) = ATAN2( 1√3, 3−
√3
6) = 69.8960◦
β = ATAN2(−t31, t11cα ) = ATAN2(3+√3
6,
3−√3
6
cos(69,8960)) = 52.0618◦
γ = ATAN2(−t31, t21sα ) = ATAN2(3−√3
6,√33
) = 20.1039◦
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