INSTITUTO TECNOLOGICO DE LALAGUNA

Division de Estudios de Posgrado e Investigacion

Maestria en Ciencias en Ingenieria Electrica

Mecatronica y Control

ROBOTICA

Tarea 1

Matrices de Transformacion Homogenea

Ing. Ismael Medina LopezM1513050

Catedratico: Dr. Jose Alfonso Pamanes Garcıa

Torreon, Coah. - 25 de septiembre de 2015

Robotica

Matrices de Transformacion Homogenea

Ismael Medina Lopez

25 de septiembre de 2015

PROBLEMA:

La pinza de un robot debera extraer una flecha que esta ensamblada en otra pieza, como seobserva en la Figura 1. Para ello la pinza debera desplazarse de tal manera que el marco {P} unidoa ella coincida con el marco {F} unido a la flecha. La escena es registrada mediante una camara devıdeo, a cuyo marco {C} se refiere la situacion de la flecha a traves de la matriz de transformacionhomogenea C

FT . Por otra parte, la situacion de la pinza se especifica con respecto a la base delrobot mediante la matriz B

PT . A su vez, la ubicacion de la base del robot esta definida con respectoa la camara mediante la matriz C

BT .

CBT =

0 1 0... −20

1 0 0... −20

0 0 −1... 140

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

CFT =

1√6

1√6

−2√6

... 50

1√2

−1√2

0... 50

−1√3

−1√3

−1√3

... 20

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

BPT =

1√2

0 −1√2

... 30

−1√2

0 −1√2

... 30

0 1 0... 100

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

Figura 1: Escena de una estacion robotizada.

1 Ing. Ismael Medina Lopez

Robotica

Figura 2: Orientacion de los marcos.

Determinar:

a) La distancia que habra de desplazarse el punto OP de la pinza para lograra coincidir con elpunto OF .

Obtenemos la inversa de la matriz de transformacion homogenea definida de la pinza conrespecto a la base:

P

BT =B

P T−1 =

BPR

T ... −BPR

T BrB,P. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0... 1

−B

PRT BrB,P = −

1√2−1√2

0

0 0 1

−1√2−1√2

0

30

30

100

=

0

−100

60√2

2 Ing. Ismael Medina Lopez

Robotica

P

BT =

1√2

−1√2

0... 0

0 0 1... −100

−1√2

−1√2

0... 60√

2

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

Obtenemos la inversa de la matriz de transformacion homogenea definida de la base con respecto

a la camara:

B

CT =C

B T−1 =

CBR

T ... −CBR

T CrC,B. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0... 1

−C

BRT CrC,B = −

0 1 0

1 0 0

0 0 −1

−20

−20

140

=

20

20

140

B

CT =

0 1 0... 20

1 0 0... 20

0 0 −1... 140

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

B

FT =B

C TC

F T =

0 1 0... 20

1 0 0... 20

0 0 −1... 140

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

1√6

1√6

−2√6

... 50

1√2

−1√2

0... 50

−1√3

−1√3

−1√3

... 20

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

P

FT =P

B TB

F T =

1√2

−1√2

0... 0

0 0 1... −100

−1√2

−1√2

0... 60√

2

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

1√2

−1√2

0... 70

1√6

1√6

−2√6

... 70

1√3

1√3

1√3

... 120

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

3 Ing. Ismael Medina Lopez

Robotica

P

FT =

3−√3

6−(

3+√3

6

) √33

... 0

1√3

1√3

1√3

... 20

−(

3+√3

6

)3−√3

6

√33

... −40√

2

. . . . . . . . .... . . .

0 0 0... 1

Calculamos la distancia del punto OP de la pinza al punto OF de la flecha, ademas de los

angulos theta y phi (Coordenadas Esfericas):

PrP,F =

t14

t24

t34

=

0

20

−40√

2

r =

√(0)2 + (20)2 + (−40

√2)2 = 60

θ = ATAN2(20, 0) = 90◦

φ = ATAN2(−40√

2,√

02 + 202) = -70.5288◦

4 Ing. Ismael Medina Lopez

Robotica

b) Los angulos que deben girar los tres eslabones de la muneca del robot, alrededor de susrespectivos ejes de rotacion, para hacer que el marco {P} coincida con el marco {F} a finde realizar la extraccion dela flecha. Notese que los ejes de las articulaciones 4, 5 y 6 sonparalelas a los vectores XP, YP y ZP, respectivamente, del marco {P}.

Coordenadas de orientacion

Angulos de Bryant

t11 t12 t13

t21 t22 t23

t31 t32 t33

=

cµcυ...− cµsυ

...sµ

sλsµcυ + cλsυ...− sλsµsυ + cλcυ

...− sλcµ−cλsµcυ + sλsυ

...cλsµsυ + sλcυ...cλcµ

=

3−√3

6−(

3+√3

6

) √33

1√3

1√3

1√3

−(

3+√3

6

)3−√3

6

√33

De la ecuacion anterior resulta que:

λ = ATAN2(−t23, t33) = ATAN2(− 1√3,√33

) = -45◦

µ = ATAN2(−t13, t33cλ ) = ATAN2(√33,

√3

3

cos(−45)) = 35.2644◦

υ = ATAN2(−t12, t11) = ATAN2(3+√3

6, 3−

√3

6) = 75◦

5 Ing. Ismael Medina Lopez

Robotica

c) Los angulos que deben girar los tres eslabones de la estructura de orientacion del robot,alrededor de sus respectivos ejes de rotacion, para hacer que el marco {P} coincida con elmarco {F} a fin de realizar la extraccion de la flecha, considerando ahora que la ubicacionde las articulaciones 4 y 6 se invierten, como se muestra en la Figura 3.

Figura 3: Arquitectura de la muneca conciderada en el inciso (c).

Angulos de Euler (z-y-x)

t11 t12 t13

t21 t22 t23

t31 t32 t33

=

cα cβ...cα sβ sγ − sα cβ

...cα sβ cγ + sα sγ

sα cβ...sα sβ sγ + cα cγ

...sα sβ cγ + cα sγ

−sα ...cβ sγ...cβ cγ

=

3−√3

6−(

3+√3

6

) √33

1√3

1√3

1√3

−(

3+√3

6

)3−√3

6

√33

De la ecuacion anterior resulta que:

α = ATAN2(t21, t11) = ATAN2( 1√3, 3−

√3

6) = 69.8960◦

β = ATAN2(−t31, t11cα ) = ATAN2(3+√3

6,

3−√3

6

cos(69,8960)) = 52.0618◦

γ = ATAN2(−t31, t21sα ) = ATAN2(3−√3

6,√33

) = 20.1039◦

6 Ing. Ismael Medina Lopez