mcm: Comunes y no comunes con su mayor exponente Funciones
MCD: Comunes con su menor exponente
a a a a a a b b b b b b c c c c c d
Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva
Producto Notable
OJO [SIGNOS] ±
Factorización Sumados 2° Multiplicados 3°
Fracción Generatriz número sin la coma sobre 1 seguido de tantos
ceros como decimales tenga; luego simplifico. número sin la coma menos todo lo que esté antes del período sobre tantos 9 como tenga el período seguido de tantos ceros como tenga ante período.
Raíz Cuadrada
Raíz Cúbica
Raíz Enésima La raíz enésima de un número real, a, es otro número, b, cuya potencia enésima es a.
Pitágoras Potenciación
Racionalización (eliminar la raíz del denominador)
Ecuación de Segundo Grado
Ecuación con valor absoluto
Sistema de Ecuaciones
222 2)( bababa 32233 33)( babbaaba 22))(( bababa
))(()())(( 2 cbacbacaba
aa 1
00 a
1b
b
ab
ba
)2(363 XX )3)(5()3(5)3( XaXXa ))(( yzbabyaybzaz
222 )(2 aXaaXX ]331][431[)3)(1(342 XXXX
)3)(3(9 224 XXX))(( 2233 XaaXaXaX 33223 )(33 bXbXbbXX
4
375,04
3
20
15
100
07575,0
9
483,59
48
9
5533,5
90
28121,390
3131221,3
1214412322322322144 2 222222
62166323232216 33 333 333
93339
abba nn
222 bah
h: hipotenusa a y b: catetos
n
nn
b
a
b
a
mnnm aa n
n
aa
1
nnnbaba 10 a aa 1
nmnm aaa nmnm aaa
nnn abba
nn
n
b
a
b
a
mnn m aa
nm
n m aa aa 2
1
n mm
n aa n nn abba
nn aa 1
2
2
2
2
2
1
3
25
25
25
25
1
3
3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
325
5
55
5
55
5
5
5
5
3
27
3
3
33
31
3
3
9
1 5
5 5
5 3
5 35 2
5 3
5 3
5 3
5
632323232864 7 777 427 357
02 cbXaXa
acbbX
2
42
1
a
acbbX
2
42
2
baX baX baX abX 1 abX 1
92
13
YX
YX
5123
2105
195
9132
92
13
YY
XX
X
XX
YX
XY
nSustitució
5123
2105
1923
2913
29
13
YY
XX
XX
XX
XY
XY
Igualación
5123
2
105
1005
92
13
YY
X
X
YX
YX
YX
Reducción
Se puede resolver por tres métodos
diferentes
Los valores de “X” & “Y” son los mismos para ambas ecuaciones
1
313
3tan
2
1
2
2
2
3cos
2
3
2
2
2
1sin
604530
Trigonometría Razones Trigonométricas (Triangulo Rectángulo)
Ángulos Notables Signo de las Razones Límites Reducción al primer cuadrante Sistema de Medida de Ángulos existen tres sistemas: he aquí su relación →
Transformaciones
Identidad Trigonométrica Signos Ic y IIc (α) Ic (α/2) IIIc y IVc (α) IIc (α/2)
Teorema del Seno Teorema del Coseno Ecuación Trigonométrica
Logaritmo Cologaritmo Antilogaritmo Propiedades de los Logaritmos
Cateto opuesto (CO)
a de α b de β
Cateto adyacente (CA)
a de β b de α
hip
COsin
hip
CAcos
CA
COtan
CO
hipcsc α
CA
hipsec α
CO
CAcot α
sin
1csc
cos
1sec
tan
1cot
cos
sintan
sin
coscot
csc
sectan
00tan
0101cos
1010sin
270180900
IIc al Ic [180°- α]
IIIc al Ic [α -180°]
IVc al Ic [360°- α]
30330360
330tan
3
330tan
3
3330tan
g4002360 rad
Sistema sexagesimal
360°→circunferencia
Radianes
2π rad→circunferencia
Sistema centesimal
400g→circunferencia
g200180 rad
180radagrados
g200radacentesimal
g200
180gradosacentesimal
1sincos 22 22 sectan1 22 csccot1
cossincossinsin sinsincoscoscos
tantan1
tantantan
cossin22sin 22 sincos2cos
2tan1
tan22tan
2
cos1
2sin
2
cos1
2cos
cos1
cos1
2tan
sinsinsin
cba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
bccba
abbac
accab
2
1sin X
2
1arcsinX
30
330IVc
210IIIc0sin
X
XX
NaXN X
a log 164216log 2
4
NN aa logcolog X
a aX antilog
718281828,2
lnlog
e
aae
nmmn aaa logloglog
nmn
maaa logloglog
mnm a
n
a loglog
aa loglog10
mn
mnlog
log
log
0loga
1log aa
01log a
8loga
2
3
Ecuaciones Exponenciales (La variable se encuentra en el exponente)
Números Complejos
Potencias de i
A cada 4 se repite
Progresión Aritmética (2,4,6,8) Progresión Geométrica (2,4,8,16)
Ecuaciones de grado superior El número de raíces que posee la ecuación corresponde al grado del
polinomio, en este caso “4”; para determinarlas de procede factorizándolo. Una vez factorizado el polinomio igualado a cero se obtienen todas sus raíces.
Límites con la Indeterminación
División de Polinomios Grado del Cociente Diferencia de los grados del dividendo y divisor
Grado del Residuo Una unidad menos que el grado del divisor
Inecuaciones
En el eje se marcan las raíces. En un mismo intervalo la función no cambia de signo mientras que en los Intervalos contiguos el signo es el contrario
4233
Iguales) (Bases 1 # Caso
42 XX 045
204252
Variable) de (Cambio 2 # Caso
2
2
YY
YXXX
1) # (Caso2
2
83213
833233
Común)(Factor 3 # Caso
X
XXX
3log
)2log(
)3log(
3log2log
3log2log
32
)(Logaritmo 4 # Caso
2
X
X
X
X
X
i1
iii
iii
3
2
1
0
1
1
217i 4
541
17217
ii 1
ii 217
binómica formaiba
compleja forma,ba
22Módulo baZ
a
barctanArgumento
trica trigonoméformasincos iZ
polar formaCisZ Z
rnaan 11
2
.1 naaS n
n
8na21 a4n 2r 20nS
1
1
n
n raa r
raS
n
n
1
1116na21 a4n 2r 30nS
01833183 234 XXXX
0)3)(2)(1)(0( XXXX 3210 4321 XXXX
aciónIndetermin0
0
0
N
0
N0
0
N
3
65lim
2
3
X
XX
X
3
32lim
3
X
XX
X
2lim3
XX
23lim3
X
1lim3X
ResiduoCocientedD XX )()(
6234 234)( XXXXD X
122)( XXd X BAXXCociente 2: DCXResiduo :
DCXBAXXXXXXXX 22234 126234
8422 DCBA
22: 2 XXCociente 84: XResiduo
2
126
2
13226
2
1326
2
1326
2
326 ibinómica) (forma 33 i
compleja) (forma 3,3
32Z 30
polar) (Forma 3032
3
5
3
8
X
X
X
X0
3
5
3
8
X
X
X
X
033
3538
XX
XXXX
i24
14
033
158245 22
XX
XXXX
0
33
393
XX
X
033
133
XX
X
0
33
158245 22
XX
XXXX
33
13
yrdenominado elen Raíces
numerador elen Raíces
,133,3:S
B A y entre distanciad BA,
Geometría Analítica Es el estudio de la geometría con la utilización de coordenadas
Eje de Coordenadas
Gráfica de un segmento de recta AB en el eje de coordenadas
Distancia entre dos puntos
Punto medio de un segmento
Pendiente de un segmento Condiciones de paralelismo y perpendicularidad Ecuación de la Recta
Ecuación de la recta que corresponde al lugar geométrico del
segmento AB
Cónicas Ecuación de segundo grado que corresponde, dependiendo de ciertas condiciones a
la ecuación del lugar geométrico de una circunferencia, una elipse, una hipérbola, o
una parábola (siempre en el plano).
Circunferencia
X2 & Y
2 poseen el mismo coeficiente
(De canónica a general resolver productos notables, de general a canónica resolver por método de completación de cuadrados)
Parábola Ecuación General de una parábola dependiendo del
eje vertical u horizontal; ejemplo de eje vertical Cuando el eje es VERTICAL Cuando el eje es HORIZONTAL
5,-3- B1,4A 2211 ,X B,XA YY
Y, X OrdenadoPar BA
221
2
21BA,d YYXX 22
BA, 3451d 85d BA,
2,
2P 2121
M
YYXX
2
34,
2
51P
BAM
2
1,2P
BAM
marctan 12
12
XX
YYm
15
43ABm 43,553249
6
7arctan
2121 mmll ll 12121 mmll
0 CByAx Recta la de General Ecuación
11 XXmYY ella de punto un y pendiente su conociendo Recta la de Ecuación
bmxY Reducida Ecuación
1
b
Y
a
X Canónica o Simétrica Ecuación 1
6
74 XY
6
17
6
7 XY 01767 yx Recta la de General Ecuación
022 FExyDyCxByAx
20
2
0 YYXX PC,d Radio d PC,
2
2
0
2
0
YYXX Radio2
20
2
0
2 YYXXR
022 DCyBxAyAx
6
7m
Pendiente m
separado por puntos ambos calculan Se
0
2
0 4 YYpXX
02 DCyBxAx 02 DCxByAy
0
2
0 4 XXpYY
pYX 00 , Foco 00 ,YpX Foco
0XX eje del Ecuación 0YY eje del Ecuación
pYY 0 directriz la de E. pXX 0 directriz la de E.
p4 recto lado del Longitud p4 recto lado del Longitud
00 ,YXV
pd QP 4,
4
Elipse ecuación general
Eje mayor HORIZONTAL Eje mayor VERTICAL
Centro: C(X0,Y0) / Focos: F & F’ / Eje mayor: d(A,A’) / Eje menor: d(B,B’) / Distancia focal: d(F,F’)=2c / Directrices: l1 & l2 / Lados rectos: PQ & P’Q’
Hipérbola ecuación general Eje mayor VERTICAL Eje mayor HORIZONTAL
Centro: C(X0,Y0) / Focos: F & F’ / Eje mayor: d(A,A’) / Eje menor: d(B,B’) / Distancia focal: d(F,F’)=2c / C es el punto medio de AA’, BB’ y FF’
Teoría Combinatoria Permutaciones, Variaciones y Combinaciones
Permutación Si importa el orden / No importa característica
Variación Si importa el orden / Si importa característica
Combinación No importa el orden
Binomio de Newton
Propiedades de los números combinatorios se emplea, dada su practicidad la notación de Euler:
Triangulo Pascal
Se ubica el 5 en el triangulo y con ello todos los resultados de los N° Combinatorios
222 cba
1
2
2
0
2
2
0
b
YY
a
XX 1
2
2
0
2
2
0
a
YY
b
XX
00 ,' YaXAA
00 ,' YcXFF
bYXBB 00 ,'
aYXAA 00 ,'
cYXFF 00,'
00 ,' YbXBB [“a
2” siempre es el
denominador mayor]
1
2
2
0
2
2
0
b
YY
a
XX 1
2
2
0
2
2
0
a
YY
b
XX
00 ,' YaXAA
00 ,' YcXFF
bYXBB 00 ,'
aYXAA 00 ,'
cYXFF 00 ,'
00 ,' YbXBB 222 bac [“a2” siempre es el denominador
de la fracción positiva]
EDyCxByAx 22
EDyCxByAx 22
5040!71234567!7 Factorial
!nPn
!!
,nm
mV nm
!!
!,
nmn
mC nm
121, nmmmmV nm
n
nm
nmP
VC
,
,
4032012345678 88 PP
3
3,7
3,7P
VC
123
5673,7
C 353,7 C
nm
EulerC nm ,
1025
1012
45
!3!2
!345
!3!2
!5
25
2,5C
nnnnnnnnba
nn
ban
nba
nn
ban
ban
ban
ban
ba 011223322110
123210
nba nn ba
2
908890
I nm
mnm
155
10
II mmm
515
11III m
mmm
77
67
781
11
IV n
mnm
nm
89
88
78
11
1V
nm
nm
nm
11378
11266
111
110
1
1
2867011217157615761217701286
220481736840736481220
5516531642042031616555
4512019622419612045
9368411211284369
828567056288
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
78131
66121
111
101
1
1
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0Este triangulo muestra de manera
práctica los resultados de los números combinatorios del Binomio de Newton:
5041322314055
55
45
35
25
15
05
bababababababa
543223455510105 babbababaaba
5
34
35
37
31
x
x
x
x
24
25
27
21
x
x
x
x
44
45
47
41
x
x
x
x
Matrices
A 4 x 4
filas columnas
fila columna
Suma de matrices dos o más matrices pueden sumarse si tienen el mismo orden; es decir, igual cantidad de filas y columnas.
Multiplicación de una escalar por una Matriz se obtiene al multiplicar una escalar por cada elemento
Diferencia de matrices para restar A – B basta multiplicar por (–1) la matriz B y sumar algebraicamente:
Multiplicación de matrices para poder multiplicar (AxB) el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B
Una matriz sólo puede ser multiplicada por una matriz siendo el producto
Determinantes a cada matriz se le hace corresponder un número al que se le llama determinante
_
Determinante de segundo orden Determinante de tercer orden se resuelve cruzado se resuelve por el método de la estrella
Mediante este método se pueden también resolver determinantes de grado superior, se van suprimiendo filas y columnas hasta obtener tercer orden
Resolver un sistema de ecuaciones por determinantes
6
44434241
34333231
24232221
14131211
4x4A
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
41
31
21
11
4x1A
a
a
a
a
141312111x4A aaaa
4305
7213A2x4
4473
4432B2x4
0178
3225 BA
2121
12121111 BA
aa
aaaa
4305
7213A2x4
86010
14426A2
4473
4432B2x4
1212219
121296B3
4305
7213A2x4
4473
4432B1- 2x4
8972
11641 BA B1-ABA
mxpA pxnBmxnAB 2x3A 3x1B
2x1AB
354
132A2x3
7
1
2
B3x1
731524
711322AB2x1
18
0AB2x1
21122211
2221
1211aaaa
aa
aa
112332332112312213312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Se determina las dimensiones de la matriz resultante, para entonces determinar el valor de
cada elemento combinando la fila con la columna correspondiente de ambos factores
8784
5365
4227
4231
Para resolver un determinante de cuarto orden se
suprime una fila y una columna para resolverlo por el
método de la estrella
8784
5365
4227
4231
El resultado que se obtiene de esta operación es el valor numérico que le corresponde al determinante
87812
53615
42221
4233
872012
532115
422321
4203
87204
53215
42237
4201
87208
532110
422314
4202
81208
572110
4162314
4002
81204
57215
416237
4001
812016
572120
4162328
4004
812016
1572120
24162328
0004
81204
157215
2416237
0001
8120
15721
241623
92
13
YX
YX
12
13
9
1
12
13 YX
19
11
X
92
13
Y
Sólo se sustituye la columna de la incógnita que se desea
encontrar por la columna de los términos independientes y este
determinante resultante se divide entre delta.
55
10
X 2X
5
25
Y 5Y
Este método sirve para resolver sistemas de ecuaciones de mayor
complejidad puesto que sólo con los datos que se dan, permite averiguar el valor de las incógnitas de forma directa
Reglas de la DERIVADA
0
00
0
limXX
XfXfXf
XX
0 cuando Entonces
: variablede Cambio
0
0
hXXXXh
X
hXX
Dm
h
XfhXfmmm
XX
XfXfm
XX
YYm
tan
limtanseclimtan
secsec
00
0
0
0
0
0
0
Derivadas Funciones Algebraicas Funciones Exponenciales Funciones Logarítmicas
ax
uDauuD x
aa
x 1
xa
uDaaaD x
uu
x ln
xalog
au
uDuD x
axln
log
Derivadas Funciones Trigonométricas Funciones Inversas
xxDx cossin
xxDx
2sectan
xxxDx tansecsec
xxDx sincos
xxDx
2csccot
xxxDx cotcsccsc
21
1arcsin
xxDx
21
1arccos
xxDx
21
1arctan
xxDx
1
1sec
2
xxxarcDx
Integrar:
1. Identificar el diferencial, conocer la variable de integración.
2. Identificar si se trata de una integral definida o indefinida.
3. Identificar que función esta presente en el integrando.
4. Si se trata de una integral definida calcular el dominio de dicha función y compararlo
con el intervalo comprendido por los límites de integración.
5. Si parte del intervalo comprendido entre los límites de integración no pertenece al
dominio de la función: separar en integrales impropias.
6. Verificar si se trata de alguna Integral de tabla o una forma parecida.
7. Si alguna constante esta multiplicando la función sacarla de la integral
8. La función presente en el integrando puede ser:
8.1. Algebraica
8.2. Trigonométrica
8.3. Inversa
8.4. Exponencial
8.5. Logarítmica
8.6. Una combinación de varias funciones
9. Si hay una combinación de varias funciones se procede mediante integración por partes
9.1. Se escoge cual función es “u” en la prioridad ILATE y el resto es “dv”
9.2. El procedimiento se repite tantas veces sea necesario
9.3. Si se trata de una integral cíclica: una vez encontrada la integral de partida
construir la ecuación y despejar la integral.
10. Si el integrando es una función algebraica:
10.1. Polinomio: cada término es una integral, se recomienda desarrollar todos los
productos y simplificar al máximo.
10.2. Se calcula la antiderivada del término algebraico de esta forma:
uvuvvu dd
xxbxxaxbxax mnmn ddd
Cn
xxx
nn
1d
1
Universidad Simón Bolívar
10.3. De existir funciones compuestas tales como: potencias muy grandes o de estar
presente raíces o simplemente polinomios a lo que no es posible desarrollar o
simplificar, se recomienda hacer “u” sustitución.
10.3.1. “u” sustitución: cambiar la variable de integración, es decir: toda la integral
debe quedar en términos de “u” tanto los límites de integración como el
integrando y por supuesto el diferencial.
10.3.1.1. Para que el cambio sea eficaz es necesario que la derivada de “u”
este presente en el integrando.
10.3.1.2. Hacer tantos cambios como sea necesario mientras que sea posible
hasta conseguir polinomios sencillos o integrales de tabla.
10.3.1.3. Devolver el cambio de variable de tratarse de una integral indefinida.
10.3.2. Sustituciones para racionalizar: igualmente consiste en cambiar la variable
de integración por lo que habrá que cambiar los límites, el integrando, y el
diferencial.
10.3.2.1. Dependiendo del índice de de la raíz se cambia por “u” elevado a ese
índice todo lo que este dentro de la raíz.
10.3.2.2. De aparecer alguna de las siguientes formas:
10.3.2.2.1. en el primer caso se recomienda hacer el cambio:
10.3.2.2.2. en el segundo caso se recomienda hacer el cambio:
10.3.2.2.3. en el tercer caso se recomienda hacer el cambio:
10.3.2.2.3.1. Construir un triangulo rectángulo para averiguar el valor
del ángulo.
10.4. De tratarse de una fracción de la forma
10.4.1. Si el grado de P(x) es mayor o igual al grado de Q(x) efectuar una división
de polinomios para separar las integrales.
10.4.2. Si el grado de P(x) es menor al grado de Q(x) separar en fracciones simples
para separar las integrales.
10.4.2.1. Factorizar el denominador y obtenemos factores de la forma:
22 ua 22 au 22 au
senau tanau secau
xQ
xP
mqpx
mcbxax 2
mm
qpx
A
qpx
A
qpx
A
qpx
A
3
3
2
21
mmm
cbxax
BA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
232
33
22
22
2
11
11. Si el integrando es una función trigonométrica:
11.1. Verificar si se trata de una integral de tabla
11.2. Si se presenta sólo la función seno o coseno de la forma:
11.2.1. Si “m” es impar:
11.2.1.1. Separar una potencia para conseguir una par, aplicar la identidad
pitagórica para poder realizar el cambio de variable.
11.2.2. Si “m” es par:
11.2.2.1. Aplicar la identidad trigonométrica del ángulo medio para separar en
integrales mas simples disminuyendo la potencia.
11.3. Si se presenta la forma:
11.3.1. Si “m” o “n” es impar:
11.3.1.1. Separar una potencia impar para conseguir la par, aplicar la identidad
pitagórica para poder realizar el cambio de variable.
11.3.2. Si tanto “m” como “n” son pares:
11.3.2.1. Aplicar la identidad trigonométrica del ángulo medio para separar en
integrales mas simples disminuyendo la potencia.
11.4. Si se presenta la forma:
11.4.1. Aplicar las identidades del seno y coseno de la suma y resta de ángulos.
12. Si el integrando es una función exponencial:
13. Si el integrando es una función logarítmica o Inversa:
13.1. Integración por partes donde dx = dv y la función es u
dxsin xm
dxcos xm
dxcossin xx mn
dxsinsin mxnx dxcossin mxnx dxcoscos mxnx
a
aa
xx
ln
dx