3. MECNICA PARA INGENIEROS " DINAMICA R. C. HIBBELER
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5. ~ MECANICA PARA INGENIEROS TRADUCCIN: Virgilio Gonzlez Pozo
Ingeniero Qumico Facultad de Qumica UNAM REVISIN TCNICA: Jos de la
Cera Alonso Ingeniero Civil UNAM Diplom Ingenieur Universidad
Tcnica de Munich Coordinador de Ingeniera Civil U A M Azcapotzalco
~ DINAMICA SEXTA EDICIN EN INGLS (TERCERA EDICIN EN ESPAOL) R.C.
HIBBELER OCTAVA REIMPRESIN MXICO, 2006 COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL
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6. Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por:
correo: .Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco,
02400, Mxico, D.F. fax pedidos: (015) 561 4063561 5231 e-mail:
[email protected] home page:
http://www.patriacultural.com.mx Ttulo original: ENGINEERING
MECHANICS: Dynamics, 6th. ed. ISBN 0-02-354686-7 Edicin autorizada
de la sexta edicin en ingls publicada por: MacmiJlan Publishing
Company, a division of Macmillan Inc. USA Copyright 1992, by R.e.
Hibbeler Mecnica. para. ingenieros. Dinmica. Derechos reservados
respecto a la edicin: 1994, 2000, Russell e. Hibbeler 1994, 2000,
COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE e.v. 2000, GRUPO PATRIA
CULTURAL, S.A. DE e.V. bajo el sello de Compaa Editorial
Continental Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin
AzcapotzaJco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara
Nacional de la Industria Editorial Registro nm. 43 ISBN
968-26-1244-6(tercera edicin) (ISBN 968-26-0843-0 segunda edicin)
(ISBN 968-26-0355-2 primera edicin) Queda prohibida la reproduccin
o transmisin total o parcial del conte- nido de la presente obra en
cualesquiera formas , sean electrnicas o mecnicas, sin el
consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en Mxico
Printed in Mexico Tercera edicin: 1994 Sptima reimpresin: 2004
Octava reimpresin: 2006 http://gratislibrospdf.com/
7. AL ESTUDIANTE Con la esperanza de que esta obra estimule su
inters en la mecnica de ingeniera y constituya una gua aceptahle
p;:ra su comprensi(n. http://gratislibrospdf.com/
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9. Prlogo El objeto de este libro es dar al estudiante una
presentacin cla- ra y completa de la teora y aplicaciones de la
mecnica de inge- niera. Desde luego que el autor no ha trabajado
solo, sino que este libro ha sido conformado en gran parte, por los
comentarios y sugerencias de ms de cien especialistas en el campo
de la en- seanza y de muchos de los alumnos del autor, que han sido
usuarios de las ediciones anteriores. Se ha hecho bastante para
preparar esta nueva edicin. Los usuarios de las ediciones
anteriores advertirn que la pre- sentacin artstica se ha mejorado
con el fin de dar un sentido ms real y comprensible al material. En
esta edicin se inclu- yen ms problemas que antes, y la mayor parte
de ellos son nuevos. Aunque el contenido del libro permanece en el
mismo orden, se han ampliado algunos temas, se han sustituido
varios ejemplos por otros nuevos, y se han mejorado las explicacio-
nes de muchos otros mediante la reformulacin de determina- das
frases. Sin embargo, la caracterstica principal del libro permanece
igual; es decir, cuando es necesario, se pon ,gran nfasis en el
trazado de un diagrama de cuerpo libre y se acenta tambin la
importancia de seleccionar un sistema de coordenadas adecuado, as
como la convencin de signo aso- ciada a los componentes de
vectores, cuando se aplican las ecuaciones de la mecnica.
Organizacin y mtodo. El contenido de cada captulo se halla
organizado en secciones bien definidas. Grupos selecciona- dos de
las secciones contienen una explicacin de temas especficos,
problemas de ejemplos ilustrativos y un conjunto de problemas de
tarea. Los temas dentro de cada seccin se incluyen dentro de
subgrupos que se identifican con ttulos en negritas. El objeto de
lo anterior es presentar un mtodo estructurado para introducir ca-
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10. viii PRLOGO da definicin o concepto nuevo, y hacer
accesible el libro para referencia y repaso posteriores. Al final
de muchas secciones se da un "procedimiento de anlisis" con objeto
de proporcionar al estudiante un repaso o resumen del material y un
mtodo lgico y ordenado para seguir al aplicar la teora. Como en las
ediciones anteriores, los proble- mas de ejemplo se resuelven
empleando el mtodo que se descri- be, con el fin de aclarar su
aplicacin numrica. Sin embargo, se entiende que, una vez que se
dominen los principios necesarios y se haya adquirido la confianza
y el criterio suficientes, el estu- diante puede continuar por s
mismo desarrollando sus propios procedimientos de resolucin de
problemas. En la mayora de los casos, se sugiere como primer paso
en cualquier procedi- miento trazar un diagrama. Al hacerlo as, el
estudiante se forma el hbito de tabular los datos necesarios, al
tiempo que enfoca los aspectos fsicos del problema y su geometra
relacionada. Si ese paso se lleva a cabo en forma correcta, la
aplicacin de las ecuaciones de la mecnica se vuelve de alguna
manera algo me- tdico, ya que los datos pueden tomarse directamente
del diagra- ma. Este paso es de importancia especial cuando se
resuelven problemas de cintica, y por esta razn en el libro se
recomienda siempre trazar el correspondiente diagrama de cuerpo
libre. Ya que las matemticas nos dan un medio sistemtico para
aplicar los principios de la mecnica, cabe esperar que el estu-
diante tenga conocimientos previos de lgebra, geometra, trigo-
nometra y, para una comprensin total, una parte de clculo. Se
presenta el anlisis vectorial en los puntos donde su aplicacin es
mayor. Su uso proporciona un medio conveniente para presentar
deducciones concisas de la teora, y hace posible una solucin
sencilla y sistemtica de muchos problemas tridimensionales. A
veces, los problemas de ejemplo se resuelven empleando ms de un
mtodo de anlisis, para que el estudiante desarrolle la capa- cidad
de usar las matemticas como herramienta mediante la cual se puede
llevar a cabo la solucin de cualquier problema del modo ms directo
y eficaz. Problemas. Numerosos problemas en el libro describen
casos realistas que se encuentran en la prctica de la ingeniera. Se
es- pera que ese realismo estimule el inters del estudiante en la
me- cnica de ingeniera y al mismo tiempo desarrolle la habilidad de
reducir cualquier problema, a partir de su descripcin fsica, a un
modelo o representacin simblica a los cuales se puedan aplicar los
principios de la mecnica. Como en las ediciones anteriores, se ha
hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pue- den
resolverse empleando mtodos numricos ejecutados en una computadora
personal o con una calculadora programable de bolsillo. En el
apndice B, se dan tcnicas numricas adecuadas y programas
relacionados de computadora. En este caso la inten-
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11. cin es ampliar la capacidad del estudiante para emplear
otras formas de anlisis matemtico sin sacrificar el tiempo
necesario para enfocarse hacia la aplicacin de los principios de la
mecni- ca. Los problemas de este tipo que se puedan o se deban
resolver con procedimientos numricos se identifican mediante un
"cua- dro" (-) antes del nmero del problema. En todo el texto hay
una cantidad equilibrada de probleqlas en los que se emplea el
sistema ingls y el SI. Adems, en cual- quier conjunto, se ha
tratado de presentar los problemas en or- den de dificultad
creciente. En la ltima parte del libro se pre- senta una lista de
las soluciones a todos los problemas, excepto uno de cada cuatro.
Para advertir al lector que se trata de un problema sin respuesta
en el libro se indica con un asterisco (*) antes del nmero del
problema. Contenido. El libro consta de 11 captulos.* En el captulo
12 se describe en especial la cinemtica de una partcula, seguida de
una presentacin, en el captulo 13, de la cintica de la partcula
(ecuacin de movimiento). El captulo 14 trata sobre trabajo y
energa, y el captulo 15 sobre impulso y cantidad de movimien- to.
Los conceptos de dinmica de partculas que contienen esos cuatro
captulos se resumen en una seccin de "repaso" y se da la
posibilidad al estudiante para que identifique y resuelva un
conjunto de diversos tipos de problemas. Para el movimiento de un
cuerpo rgido en el plano se sigue una secuencia de presenta- cin
similar: El captulo 16 trata sobre cinemtica en el plano; el 17
sobre ecuaciones de movimiento; el 18 sobre trabajo y ener- ga; y
el19 sobre impulso y cantidad de movimiento: estn segui- dos por un
resumen y un conjunto de problemas de repaso para esos captulos. Si
se desea, es posible cubrir los captulos 11 al19 sin prdida de
continuidad: Captulos 12 y 16 (cinemtica); cap- tulos 13 y 17
(ecuaciones de movimiento); captulos 14 y 18 (tra- bajo y energa);
y captulos 15 y 19 (impulso y cantidad de movi- miento). Si el
tiempo lo permite, se puede incluir en el curso algo del material
sobre movimiento tridimensional del cuerpo rgido. La cinemtica y la
cintica de ese movimiento se describen, respecti- vamente, en los
captulos 20 y 21. El captulo 22, sobre vibracio- nes, puede
incluirse si el estudiante cuenta con el respaldo mate- mtico
necesario. Las secciones del libro que se consideran estn ms all
del propsito del curso bsico de dinmica, se marcan con una estrella
(*) y se pueden omitir. Sin embargo, conviene advertir que este
material ms avanzado constituye una refe- rencia adecuada para los
principios bsicos cuando se ve en otros cursos. Los primeros once
captulos de la serie forman el contenido de Mecnica de Ingenie/fa:
Esttica, CECSA, Mxico. PRLOGO ix http://gratislibrospdf.com/
12. x PRLOGO Reconocimientos. Mi empeo al escribir este libro
ha consis- tido en que satisfaga tanto al estudiante como al
maestro. En el curso de los aos, mucha gente ha ayudado en su
desarrollo, y deseo reconocer sus valiosas sugerencias y
comentarios. En espe- cial, deseo dar personalmente las gracias a
las siguientes perso- nas que han contribuido a esta edicin; el
profesor Serge Abrate, University of Missouri-Rolla; profesor Henry
C. Christiansen, Brigham Young University; profesor E. S. Doderer,
Trinity Uni- versity, San Antonio; profesor A. Frank D'Souza,
Illinois Institu- te of Technology; profesor J. H. Gaines,
University of Texas at Arlington; profesor John Geremia, U. S.
Naval Academy; profe- sor Richard Gill, University of Idaho;
profesor Brian Mahoney, University of Wisconsin; profesor Larry
Oline, University of South Florida; capitn Joseph Schwarz, U. S.
Air Force Aca- demy; profesor William H. Walston, University of
Maryland, Co- llege Park; y profesor Alan Zehnder, Cornell
University. Se da una nota especial de agradecimiento a los
profesores Edward Hornsey, University of Missouri, Rolla y Will
Lidell, Jr., Auburn University at Montgomery, y a un exalumno
graduado mo, el se- or Kai Beng Yap, por su ayuda al comprobar las
soluciones a los problemas. Extiendo tambin mi agradecimiento a
todos mis estudiantes y a los miembros de la comunidad docente que
han dedicado su tiempo para mandarme sus sugerencias y comentarios.
Como la lista es demasiado larga para mencionarla, tenemos la
esperanza de que todos aquellos que han ayudado de esta forma
acepten este reconocimiento annimo. Adems, aprecio la libertad y el
apoyo que me dieron mis editores y el personal de Macmillan, en
especial David Johnstone, Gary Ostedt, Dora Rizzuto, Anna Yip y
Sandy Moore. Por ltimo, deseo reconocer la ayuda de mi es- posa,
Conny, durante el tiempo que tard en preparar el manus- crito para
su publicacin. Russell Charles Hibbeler - ,
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13. Contenido 12 Cinemtica de una partcula 13 12.1 12.2 12.3
12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 Cinemtica rectilnea: movimiento
continuo 1 Cinemtica en coordenadas rectangulares: movimiento
errtico 16 Movimiento curvilneo general 28 Movimiento curvilneo:
componentes rectangulares Movimiento de un proyectil 36 Movimiento
curvilneo: componentes normales y tangenciales 44 Movimiento
curvilneo: componentes cilndricas 58 Anlisis del movimiento
absoluto dependiente de dos partculas 72 Anlisis de movimiento
relativo de dos partculas empleando ejes en traslacin 79 Cintica de
una partcula: fuerza y aceleracin 13.1 Leyes de Newton del
movimiento 91 13.2 La ecuacin de movimiento 95 13.3 Ecuacin del
movimiento para un sistema de partculas 96 1 31 91
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14. xii CONTENIDO 13.4 Ecuaciones de movimiento: coordenadas
rectangulares 98 13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas normal
y tangencial 113 13.6 Ecuaciones de movimiento: coordenadas
cilndricas 124 * 13.7 Movimiento con fuerza central y mecnica del
espacio 133 14 Cintica de una partcula: trabajo y energa 143 14.1
El trabajo de una fuerza 143 14.2 El principio del trabajo y la
energa 148 14.3 El principio del trabajo y la energa para un
sistema de partculas 150 14.4 Potencia y eficiencia 163 14.5
Fuerzas conservativas y energa potencial 169 14.6 Conservacin de la
energa 173 15 Cintica de una partcula: impulso y cantidad de
movimiento 177 Repaso 1: 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 * 15.8
* 15.9 Principio del impulso y cantidad de movimiento lineales 185
Principio del impulso lineal y cantidad de movimiento para un
sistema de partculas 197 Conservacin de la cantidad de movimiento
lineal para un sistema de partculas 198 Impacto 209 Momento angular
221 Relacin entre el momento de una fuerza'y el momento angular 222
Los principios del impulso y momento angulares 225 Corrientes
estables de fluido 235 Propulsin con masa variable 240 Cinemtica y
cintica de una partcula 251 http://gratislibrospdf.com/
15. CONTENIDO xiii 16 Cinemtica plana de un cuerpo rgido 16.1
16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 17 Movimiento del cuerpo rgido
265 Traslacin 267 Rotacin con respecto a un eje fijo 268 Anlisis
del movimiento absoluto general en el plano 281 Anlisis del
movimiento relativo: velocidad 287 Centro instantneo de velocidad
cero 301 Anlisis del movimiento relativo: aceleracin 311 Anlisis de
movimiento relativo empleando rotacin de ejes .324 Cintica de un
cuerpo rgido en el plano: fuerza y aceleracin 17.1 Momento de
inercia 338 265 337 17.2 Ecuaciones cinticas del movimiento en el
plano 351 17.3 Ecuaciones de movimiento: traslacin 354 17.4
Ecuaciones de movimiento: rotacin con respecto a un eje fijo 367
17.5 Ecuaciones de movimiento: movimiento general en el plano 380
18 Cintica del cuerpo rgido en el plano: trabajo y energa 393 18.1
Energa cintica 393 18.2 Trabajo de una fuerza 397 18.3 Trabajo de
un par 399 18.4 Principio del trabajo y la energa 400 18.5
Conservacin de la energa 411 19 Cintica de un cuerpo rgido en el
plano: impulso y cantidad de movimiento 423 19.1 Cantidad de
movimiento lineal y momento angular 423 19.2 Principio del impulso
y la cantidad de movimiento 428 http://gratislibrospdf.com/
16. xiv CONTENIDO 19.3 Conservacin de la cantidad de movimiento
y del momento angular 433 19.4 Impacto excntrico 448 Repaso 2:
Cinemtica y cintica planas de un cuerpo rgido 457 20 Cinemtica de
un cuerpo rgido en tres dimensiones 471 21 * 20.1 Rotacin alrededor
de un punto fijo 471 * 20.2 Derivada de un vector con respecto al
tiempo, medida desde un sistema fijo y otro en traslacin y rotacin
474 * 20.3 Movimiento general 480 * 20.4 Anlisis de movimiento
relativo empleando ejes en traslacin y en rotacin 487 Cintica de un
cuerpo rgido en tres dimensiones 499 22 Vibraciones * 21.1 * 21.2 *
21.3 * 21.4 * 21.5 21.6 * 22.1 * 22.2 * 22.3 * 22.4 * 22.5 * 22.6
Momentos y productos de inercia Momento angular 510 Energa cintica
513 Ecuaciones de movimiento Movimiento giroscpico Movimiento libre
de pares 521 534 540 500 Vibracin libre no amortiguada 548 Mtodos
de energa 560 Vibracin forzada no amortiguada 566 Vibracin libre
con amortiguamiento viscoso Vibracin forzada con amortiguamiento
viscoso Analogas con circuitos elctricos 578 547 572 575
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17. .; CONTENIDO xv APNDICES A Expresiones matemticas 583 B
Anlisis numrico y computacional 587 C Anlisis vectorial 597
Respuestas 603 ndice 617 http://gratislibrospdf.com/
18. http://gratislibrospdf.com/
19. 12 Cinemtica de una partcula En este captulo estudiaremos
los aspectos geomtricos del movi- miento de una partcula, medido
respecto a marcos de referencia fi- jos y a marcos de referencia en
movimiento. Describiremos la trayectoria mediante diversos tipos de
sistemas coordenados y de- terminaremos las componentes del
movimiento a lo largo de los ejes coordenados. Para simplificar
describiremos el movimiento a lo largo de una lnea recta antes de
acometer el estudio general del movimiento a lo largo de una
trayectoria curva. Una vez completa- mente comprendidas estas
ideas, presentaremos en los siguientes captulos el anlisis de las
fuerzas que causan el movimiento. 12.1 Cinemtica rectilnea:
movimiento continuo La primera parte del estudio de la mecnica de
ingeniera se ocupa de la esttica, que trata del equilibrio de los
cuerpos en re- poso o en movimiento con velocidad constante. La
segunda parte se dedica a la dinmica, que se ocupa de los cuerpos
con movi- miento acelerado. En este libro, el tema d'11a dinmica se
pre- sentar en dos partes: la cinemtica, que slo trata los aspectos
geomtricos del movimiento, y la cintica, que es el anlisis de las
fuerzas que originan el movimiento. Para comprender mejor los
principios que intervienen, describiremos primero la dinmica de
partculas, y a continuacin se tratarn temas sobre la dinmica del
cuerpo rgido, presentado en dos dimensiones y despus en tres.
Comenzaremos nuestro estudio de la dinmica describiendo la
cinemtica de la partcula. Recurdese que una partcula tiene I
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20. 2 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA masa, pero tamao y
forma despreciables. Por lo tanto, debemos limitar la aplicacin a
aquellos objetos en los que sus dimensio- nes no tengan efectos en
el anlisis del movimiento. En la mayor parte de los problemas se
tiene inters en cuerpos de tamao fi- nito como cohetes, proyectiles
o vehculos. Estos objetos se pue- den considerar como partculas,
siempre y cuando su movimien- to est caracterizado por el
movimiento de su centro de masa y pueda despreciarse cualquier
rotacin del cuerpo. Cinemtica rectilnea. Una partcula se puede
mover a lo largo de una trayectoria tanto recta como curva. Para
presentar la cinemtica del movimiento de una partcula, comenzaremos
con el estudio del movimiento rectilneo. La cinemtica de ese
movimiento se caracteriza especificando, en cualquier instante
dado, la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula. Posicin.
Se puede especificar la trayectoria recta de la part- cula
empleando un solo eje coordenado s, figura I2.Ia . El origen O
sobre la trayectoria es un punto fijo, y a partir de ste se em-
plea el vector de posicin r para definir el lugar de la partcula P
en cualquier instante. Sin embargo, para el movimiento rectilneo,
la direccin de r siempre es a lo largo del eje s, y por lo tanto
nun- ca cambia. Lo que va a cambiar es su magnitud y su sentido o
sea la orientacin de la punta de la flecha. POrlo tanto, en el
trabajo analtico es conveniente representar a r con un
escalaralgebraico s, que representa a la coordenada de posicin de
la partcula, figura I2.Ia. La magnitud de s y de r es la distancia
de O a P medida en general en metros (m) o pies (ft), y el sentido
u orientacin de la punta de la flecha de r se define mediante el
signo algebraico de s. Aunque la seleccin es arbitraria, en este
caso s es positivo, ya que el eje de coordenadas es positivo a la
derecha del origen. Igualmen- te, ser negativo si la partcula est
ubicada a la izquierda de O. Desplazamiento. El desplazamiento de
la partcula se define como el cambio en su posicin. Por ejemplo, si
la partcula se mueve de P a P', figura I2.1b, el desplazamiento es
l1 r = r' - r. Empleando escalares algebraicos para representar a
l1 r, se tiene tambin que l1 s =s' - s. Aqu l1 s es positivo, ya
que la posicin final de la partcula est a la derecha de su posicin
inicial; es de- cir, s' >s. Igualmente, si la posicin final est
a la izquierda de su posicin inicial, l1 s es negativo. Como el
desplazamiento de una partcula es una cantidad vectorial, se debe
distinguir de la distancia que viaja la partcula. Es- pecficamente,
la distancia recolTida es un escalarpositivo que repre- senta la
longitud total de la trayectoria recorrida por la partcula.
Velocidad. Si la partcula se mueve a travs de un desplaza- miento
l1 r de P a P' durante el intervalo de tiempo l1 1, figura
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21. SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 3 12.1b,
la velocidad media de la partcula durante este intervalo de tiempo
es ~r v = - avg ~ t Si tomamos valores cada vez ms pequeos de ~ l,
la magnitud de ~ r se hace ms y ms pequea. En consecuencia, la
velocidad instantnea se define como v = lm (~r/~), o sea Posicin
(al lit-O drv = - dI rr'=t1~-----~rP-~'--- s O s -+LlS~ I------s'~
Desplazamiento (b) v -I P P' -o+----------~~ 'f t-Lls-j Velocidad
(e) Fig.12.1 Si se representa a v como escalar, figura 12.1c,
podemos escribir tambin (12.1) Como ~ t o dI siempre es positivo,
el signo que se emplea para definir el sentido de la velocidad es
el mismo que el de ~ s, o de ds. Por ejemplo, si la partcula se
mueve hacia la derecha, figura 12.1c, la velocidad es positiva;
mientras que si se mueve hacia la izquierda, la velocidad es
negativa. Se subraya aqu este hecho mediante la flecha que aparece
a la izquierda de la ecuacin 12.1. La magnitud de la velocidad se
llama rapidez y se expresa en general en unidades de mis o ft/s.
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22. 4 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA A veces se usa el trmino
"velocidad media". La velocidad media siempre es un escalar
positivo y se define como la distan- cia total recorrida por una
partcula, Sn dividida entre el tiempo transcurrido at, es decir, 3
- ST V = - sp a t -3 --~ P P' o ------'~.;.. e I p p , .
-o+-------~-s Aceleracin (d) ---y ' --- -y y ' Desaceleracin (e)
Aceleracin. Si se conoce la velocidad de la partcula en los dos
p~ntos P y P', se define a la aceleracin media de la partcula
durante el intervalo de tiempo a t como ava = - ovg a t Aqu, a v
representa la diferencia de la velocidad durante el in- tervalo de
tiempo a t; es decir, a v= v' - v, figura 12.1d. La aceleracin
instantnea en el tiempo t se calcula tomando valores cada vez
menores de a t y valores correspondientes, cada vez menores, de a
v, de modo que a = lm ca v/a t) o bien, em- pleando escalares
algebraicos, at-O Cdvl ~ (12.2) Sustituyendo la ecuacin 12.1 en
este resultado podemos escribir tambin que d 2s a=- dt2 Tanto la
aceleracin media como la aceleracin instantnea pueden ser positivas
o negativas. Especficament~ cuando la partcula est frenando, o su
velocidad decrece, se dice que est desacelerando. En este caso, en
la figura 12.1e, v' es menor que v, y entonces av = v' - v ser
negativa. En consecuencia, a ser tambin negativa, y por lo tanto
actuar hacia la izquierda en sentido contrario al de v. Tambin
ntese que cuando la veloci- dad es constante, la aceleracin es cero
ya que av = v - v = O. Las unidades que se usan normalmente para
expresar la magni- tud de la aceleracin son ro/s2 o ft/s2.
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23. SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 5 Se
puede obtener una ecuacin diferencial que implique al
desplazamiento, velocidad y aceleracin a lo largo de la tra-
yectoria eliminando la diferencial de tiempo dt entre las ecua-
ciones 12.1 y 12.2. Al hacerlo, es conveniente tomar en cuenta que
si bien en este caso podemos formular otra ecuacin, sta no ser
dependiente de las ecuaciones 12.1 y 12.2. Se demuestra que a ds =
vdv (12.3) Aceleracin constante, a =ac. Cuando la aceleracin es
constante, cada una de las tres ecuaciones cinemticas, ac = d v/dt,
v =ds/dt yac ds = v d v se pueden integrar para obtener frmulas que
relacionan a ac. v, s y t. Velocidad como funcin de tiempo. Se
integra ac =dv/dt, supo- niendo que inicialmente v = Vo cuando t =
O. v - Vo =ac (t- O) v = Vo + a,./ Aceleracin Constante (12.4)
Posicin como funcin del tiempo. Se integra v = ds/dt = Vo + act,
suponiendo que inicialmente s =So cuando t =O. Ssds = .CCVo + aJ)
dI So o s - So = voCt- O) + ac Ci t2 - O) s =So + VI) t + +Oc t2
Aceleracin Costante (12.5) Velocidad como funcin de la posicin. Se
puede despejar a t de la ecuacin 12.4 y sustituirla en la ecuacin
12.5, o bien inte- grar v d v = acds, suponiendo que inicialmente v
= Vo en s =so.http://gratislibrospdf.com/
24. 6 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA 1 v2- 1 JO = a (s - s )2
2 c o v2 = v~ + 2ac (s - so) Aceleracin Constante (12.6) Esta
ecuacin no es independiente de las ecuaciones 12.4 y 12.5. Porqu?
Las magnitudes y los signos de so. vo y ac se determinan de acuerdo
con el origen y la direccin positiva del eje s que se ha- yan
seleccionado. Como lo indica la flecha que aparece a la iz- quierda
de cada ecuacin, hemos supuesto que las cantidades positivas actan
hacia la derecha, de acuerdo con el eje s de coordenadas que
aparece en la figura 12.1. Tambin es impor- tante recordar que las
ecuaciones de arriba son tiles slo cuan- do es constante la
aceleracin y cuando t = 0, s =So Yv = vo. Un ejemplo comn de
movimiento de aceleracin constante se tiene cuando un cuerpo cae
libremente hacia el suelo. Si no se toma en cuenta la resistencia
del aire y la distancia de la cada es corta, entonces la aceleracin
constante hacia abajo del cuerpo cuando est cerca del suelo es
aproximadamente de 9.81 m/s2 , o 32.2 ft/s2 La prueba de lo
anterior aparece en el ejemplo 13.2. PROCEDIMIENTO DE ANLISIS
Sistema de coordenaoos. Siempre que se aplican las ecuacio- nes
cinemticas, es muy importante establecer primero una coordenada s
de posicin a lo largo de la trayectoria y espe- cificar su origen
fijo y direccin positiva. Como la trayectoria es rectilnea, las
lneas de direccin de la posicin, velocidad y aceleracin de la
partcula nunca cambian. Por lo tanto, se pueden representar esas
cantidades como escalares algebrai- cos. Para trabajo analtico se
puede determinar el sentido de s, v y a a partir de S!lS signos
algebraicos. En los siguientes ejemplos, se indicar el sentido
positivo para cada escalar mediante una flecha aliado de cada
ecuacin cinemtica al momento de aplicarla. Ecuaciones cinemticas.
Con frecuencia se puede establecer una relacin matemtica entre
cualesquiera dos de las cuatro variables a, v, s y t, ya sea por
observacin o por experimen- tacin. Cuando es se el caso, se pueden
obtener las relacio- nes entre las variables restantes por
diferenciacin o intcgra- http://gratislibrospdf.com/
25. SEC.12.1 CINEMTICA RECTILr-EA: MOVIMIENTO CONTINUO 7 clon,
empleando las ecuaciones cinemticas a =d v/dt, v = ds/dt o a ds =
vd v.* Como cada una de esas ecuacior.es rela- ciona a tres
variables, entonces, si se conoce una variable en funcin de otra,
se puede calcular una tercera variable selec- cionando la ecuacin
cineiitica que relacione a las tres. Por ejemplo, supongamos que la
aceleracin se conoce como funcin de la posicin, a =f(s). La
velocidad puede determi- narse a partir de a ds y vdv, ya que se
puede sustituir af(s) en lugar de a para obtenerf(s) ds = vd v.
Para despejar v se necesita integrar. Ntese que la velocidad no
puede obtener- se empleando a = dv/dt, ya que f(s)dt =dv contiene
dos variables, s y t del lado izquierdo y por lo tanto no puede in-
tegrarse. Siempre que se lleva a cabo la integracin, es im-
portante que se conozcan la posicin y la velocidad en de- terminado
instante para evaluar ya sea la constante de integracin, si se
emplea una integral ind~finida, o bien los lmites de integracin
cuando se usa una integral definida. Por ltimo, tngase en cuenta
que las ecuaciones 12.4 a 12.6 slo son de uso limitado. Nunca deben
aplicarse esas ecuacio- nes a menos que se est absolutamente seguro
de que la acele- racin es constante. En el apndice A se dan algunas
frmulas bsicas de diferenciacin y de inte- gracin.
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26. 8 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA Ejemplo 12.1 Fig.12.2 El
vehculo en la figura 12.2 se mueve en lnea recta de tal modo que
durante un breve tiempo su velocidad est definida por v =(9t2 + 21)
ft/s, estando t en segundos. Calcule su posi- cin y aceleracin
cuando t =3 s. Cuando t = O, s =O. . I - ' ----l a,Y " . ; ,~, ~
...SOLUCIN Sistema de coordenadas. La coordenada de posicin se
extien- de desde el origen fijo O hasta el vehculo. Hacia la
derecha es positiva. Posicin. La velocidad del vehculo se da como
funcin del tiempo, de modo que su posicin puede calcularse a partir
de v = ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona av, s y t. Teniendo en
cuenta que s =Ocuando t =O, tenemos* Cuando t =3 s, ds v = - = (9t2
+ 21) dt f;ds = f;(9t2 + 21) dt S t S 1o = 3t 3 + t21 o s = 3t3 +
t2 ) s = 3(3)3 + (3)2 = 90 ft Resp. Ace(eracin. Si se conoce la
velocidad como funcin del tiem- po, se calcula la aceleracin a
partir de a = d v/dt, ya que esta ecuacin relaciona a a, vy t.
(~"-+ ) dv d a =- =- (9t2 + 21) dt dt = 18t + 2 Cuando t =3 s, a =
18(3) + 2 = 56 ft/s2 -> Resp. No se pueden emplear las frmulas
para aceleracin cons- tante para resolver este problema. Por qu? Se
puede obtener el mismo resultado calculando una constante e de in-
tegracin y no usando lmites definidos de la integral. Por ejemplo,
si se inte- gra ds = (912 + 21) dI, se obtiene s = 313 + 12+ C. Se
usa la condicin de que cuan- do I = O, s = Oy, entonces e = O.
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27. SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 9
Ejemplo 12.2 Un proyectil pequeo se dispara verticalmente hacia
aba- jo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60
mis. Si el proyectil experimenta una desaceleracin igual a a =
(-0.4 }) m/s2, para la cual v se mide en mis, calcule la velo-
cidad y posicin del proyectil 4 s despus de haberlo disparado.
SOLUCIN Sistema de coordenadas. Como el movimiento es hacia abajo,
la coordenada de posicin es positiva hacia abajo, y el origen es- t
ubicado en 0, figura 12.3. Velocidad. Se da la aceleracin como
funcin de la velocidad, y por lo tanto, la velocidad se puede
calcular a partir de a = d v/dta, ya que esta ecuacin relaciona a
v, a y t. (Por qu no se usa v = Vo + act?). Separando las variables
e integrando, con Vo = 60 mis cuando t = O, se obtiene (+!) dv a =
di = - 0.4 v 3 En este caso se toma el signo positivo de la raz, ya
que el pro- yectil se mueve hacia abajo. Cuando t =4 s, v =0.559
mis ! Resp. Posicin. Conocida la velocidad como funcin del tiempo,
po- demos ahora calcular la posicin del proyectil a partir de v =
ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona a s, v y t. Empleando la
condicin inicial s =Ocuando t =O, tenemos que (+!) v = ds =[_1_+
O8t] -1/2 dt (60)2 . f"sds = f"'[_1_+ 0.8t] -1/2dt Jo Jo (60)2 S =
~[_1_ + O8t] 1/21 t 0.8 (60)2 . o s = _1_[_1_+ 0.8t] 1/2 -~} m 0.4
(60)2 60 Cuando t = 4 s, s = 4.43m Resp. Fig.12.3
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28. 10 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA Ejemplo 12.3 n Un;O r
VA; 15 mis A", 1'.11L- 1 ~ 40 In f e o Nivel del terreno Fig.12.4
Un nio lanza una pelota en direccin vertical hacia arriba a un lado
de una pared, como se ve en la figura 12.4. Si la veloci- dad
inicial de la pelota es de 15 mis hacia arriba y se lanza a 40 m
del fondo de la pared, calcule la altura mxima Sn que alcanza y su
velocidad justo antes de chocar contra el suelo. Durante todo el
tiempo que la pelota se encuentra en movimiento est sujeta a una
aceleracin constante hacia abajo igual a 9.81 m/s2 debida a la
gravedad. Desprecie el efecto de la resistencia del aire. SOLUCIN
Sistema de coordenadas. Se toma el origen O de la coordenada s de
posicin en el nivel del terreno inferior, y el sentido hacia arriba
como positivo. Vase figura 12.4. Altura mxima. A la altura mxima, s
= sa, la velocidad Vn = O. Como la pelota se arroja hacia arriba
cuando t = 0, est sujeta a una velocidad VA = + 15m/s. Es positiva
ya que tiene el mismo sentido que un desplazamiento positivo.
Durante todo el movimiento la aceleracin es constante, de modo que
a, = -9.81 m/s'. Es negativa ya que acta en sentido contrario al de
la velocidad positiva, o del desplazamiento positivo. Co- mo a, es
constante durante todo el movimiento, la posicin de la pelota se
puede relacionar con su velocidad en los dos pun- tosA y B de la
trayectoria, empleando la ecuacin 12.6, o sea (+ 1) v]= v~ +
2ac(Sa-SA) 0= (15)2 + 2(-9.81)(sa - 40) sa = 51.5m Resp. Velocidad.
Para obtener la velocidad de la pelota inmediata- mente antes de
chocar con el suelo podemos aplicar la ecua- cin 12.6 entre los
puntos B y e, figura 12.4. (+ 1) vl: = Vb + 'Ia (sc - sa) - = O +
2(-9.81)(0 - 51.5) Vc = -31.8m/s = 31.8 mis ~ Resp. Se escogi la
raz negativa porque la pelota se mueve hacia abajo, y el sentido
positivo de s es hacia arriba. Igualmente se puede aplicar tambin
la ecuacin 12.6 en- tre los puntos A y e, es decir (+ 1) vl: = 0t +
2aJ'c - SA) = 152 + 2(-9.81)(0 - 40) Vc = -31.8m/s = 31.8m/s~ Nota:
Se debe tener en cuenta que la pelota est sujeta a una
desaceleracin entre A a B igual a 9.81 m/s2, y a continua- cin, de
B a e, la pelota acelera a esa misma proporcin. Ade- ms, aun cuando
la pelota llega al reposo en B en forma momen- tnea (va = O), la
aceleracin en B es de 9.81 m/s? lhacia abajo! .! o
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29. L SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 11
Ejemplo 12.4 Una partcula metlica se halla sometida a la influencia
de un campo magntico tal que se mueve hacia abajo a travs de un
fluido que llena el espacio de la placa A a la B (vase Fig. 12.5).
Si la partcula parte del reposo en el punto medio e,s = 100 riun, Y
se mide que la aceleracin es a = (4s) m/s2, donde s est en' metros,
calcule la velocidad de la partcula al alcanzar la placa B, s =200
mm, y el tiempo que necesita para pasar de e a B. SOLUCIN Sistema
de coordenadas. Como se ve en la figura 12.5, se toma a s como
positiva cuando es hacia abajo, medida a partir de la placaA.
Velocidad. Como la aceleracin de la partcula se conoce como funcin
de la posicin, se puede obtener la velocidad como fun- cin de la
posicin a partir de v d v =a ds. Por qu no se usan las frmulas para
aceleracin constante? Si consideramos que v = Oparas = 100 mm = 0.1
m, tenemos que (+!) vdv=ads 1v v d v =l' 4s ds O 0.1 .1. v21 v = i
s21 ' 2 O 2 0.1 V = 2(S2 - 0.01)1/2 (1) Cuando s = 200 mm = 0.2 m,
VB = 0.346 mIs = 346 mm/s! Se escoge la raz positiva, ya que la
partcula viaja hacia abajo, es decir, en la direccin +s. Tiempo. El
tiempo para que la partcula viaje de e a B se puede calcular
mediante v = ds/dt y la ecuacin 1, siendo s = 0.1 m cuando t = O.
(+! ) ds = vdt =2(S2 - 0.01)1/2 dt f' ds = f'2dt Jo.! (S2 -
0.01)1/2 Jo In(s + .S2 _ 0.01) l'= 2t l'tU o In(s + .S2 - 0.01) +
2.30 = 2t Cuando s = 200 mm = 0.2 m, t = In(0.2 + . (0.2); - 0.(1)
+ 2.30 = 0.657 s Resp. A Ir200m ~B Fig.12.5
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30. 12 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA Ejemplo 12.5 v (mis) v
=3r2 - 6t -4--- - - - + - - - -- - t(s) (ls. - 3 mis) (a) (b) Fig.
12.6 Una partcula se mueve a lo largo de una lnea horizontal de tal
modo que su velocidad est dada por v = (3t2-6t) mis, donde t es el
tiempo en segundos. Inicialmente est en el ori- gen O. Calcule la
distancia que recorre la partcula durante el intervalo de tiempo
desde t = Ohasta t = 3.5 s, y la velocidad y la rapidez medias
durante ese intervalo de tiempo. SOLUCIN Sistema de coordenadas. En
este caso supngase que el movi- miento positivo es hacia la
derecha, medido desde el origen O. Distancia recorrida. Como la
velocidad est relacionada con el tiempo, la posicin en funcin del
tiempo se puede calcular integrando v = ds/dt con la condicin t =
O, S = O. (~) ds = vdl = (3t2 - 6t) dt f;ds = 3f~ t2 dt - 6f~ t dt
s = et3 - 3t2 ) m (1) Para calcular la distancia recorrida en 3.5
s, es necesario investigar la trayectoria del movimiento. En la
figura 12.6a la grfica de la funcin velocidad indica que para O: 0,
y en consecuencia, la direccin r se apro- xima a la tangente a la
curva en el punto P. Por lo tanto, v = lm (&-/D.f), o sea ~~O
(12.7) Como dr ser tangente a la curva en P, la direccin de v
tambin es tangente a la curva, figura 12.16c. La magnitud de v, se
obtiene notando que la magnitud del desplazamiento r es la longitud
del segmento de recta deP a P', figura 12.16b. Sabiendo que esta
longitud, r tiende a la longitud del arco & a medida que D.f
--> 0, tenemos que v = lm (&-/D.f) = lm (&/D.f), o sea
~~O ~t~O ~ ~ (12.8) As, la velocidad puede obtenerse diferenciando
la funcin tra- yectoria s con respecto al tiempo. Aceleracin. Si la
partcula tiene una velocidad v en el tiempo t y una velocidad v' =
v + V en el tiempo t + D.f, figura 12.16d, entonces la aceleracin
media de la partcula durante el intervalo D.f es .
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48. 30 CAP. 12 CINEMTICADEUNAPARTCULA p (d) (g) ;- /" ~v . I~
O' (e) ~v Odsrofa y ~ Fig. 12.16 (cont.) Av a = - avg A t O' (f)
donde Av = v' - v. Para estudiar esta rapidez de cambio con el
tiempo, se grafican los dos vectores velocidad en la figura 12,16d
en la figura 12.16e de tal modo que sus colas estn ubicadas en el
punto fijo O' y sus puntas tocan a los puntos de la curva puntea-
da. A esta curva se le lla~a odgrafa, y describe el lugar geom-
trico de las puntas del vector velocidad del mismo modo que la
trayectoria s describe el lugar geomtrico de las puntas de la fle-
cha del vector de posicin, figura 12.16a. Para obtener la
aceleracin instantnea, se hace que At -+ O en la ecuacin anterior.
En el lmite Av tender a la tangente de la odgrafa, y entonces lm
(AV/At), o sea 6t~O (12.9) Sustituyendo la ecuacin 12.7 en el
resultado anterior, podemos escribir tambin que Por definicin de la
derivada, a acta tangente a la odgrafa, figura 12.16f, y, por lo
tanto, en general, a no es tangente a la tra- yectoria del
movimiento, figura 12.16g. Para aclarar este punto, obsrvese que Av
y, en consecuencia, a deben explicar el cambio tanto de magnitud
como de direccin de la velocidad v a medida que la partcula se
mueve de Par, figura 12.16d, Tan slo un cambio de magnitud aumenta
(o disminuye) la "longitud" de v, y esto en s permitira que a
permaneciera tangente a la trayecto- ria. Sin embargo, para que la
partcula siga la trayectoria, el cam- bio de direccin siempre desva
al vector velocidad hacia el "in- terior", o "lado cncavo" de la
trayectoria, y por lo tanto a no puede permanecer tangente a la
trayectoria. http://gratislibrospdf.com/
49. SECo 12.4 MOVIMIENTO CURVILNEO: COMPONENTES RECTANGULARES
31 12.4 Movimiento curvilneo: componentes rectangulares En algunos
casos, el movimiento de una partk:ula se puede des- cribir mejor a
lo largo de una trayectoria representada, emplean- do un marco de
referencia fijo x, y, z. Posicin. Si en un instante dado la
partcula P est en un punto (x, y, z) en la trayectoria curva s,
figura 12.17a, entonces su ubica- cin se define mediante el vector
de posicin cr=xi + yj + zk I (12.10) Debido al movimiento de la
partculaey a la forma de la trayecto- ria, las componentes X, y y z
de r son todas en general, funciones del tiempo, es decir, x =x(t),
y =y(t), z =z(t), y por lo tanto r = r(t). De acuerdo con la
exposicin del apndice C, la magnitud de r siempre es positiva y,
segn la ecuacin C. 3, se define como La direccin de r se especifica
mediante las componentes del vector unitario Ur = r/r. Velocidad.
La primera derivada de r con respecto al tiempo da la velocidad v
de la partcula. Entonces, v = dr =--(Xi) + --(yj) + --(zk) dt dI dt
dt Cuando se toma la derivada, es necesario tener en cuenta los
cambios tanto en magnitud como en direccin de cada una de las
componentes del vector. La derivada de la componente i de v es por
lo tanto d(.) dx. di-XI =-I+X- dt dt dI El segundo trmino del lado
derecho es cero, ya que el marco de referencia x, y, z es fijo, y
por lo tanto la direccin y la magnitud de i no cambian con respecto
al tiempo. La diferenciacin de las componentes j y k se puede
llevar a cabo de manera semejante, con lo cual se llega al
resultado final dr . . k v =- = vT I + v,.J + Vz( 1 . (12.11) k
r=xi+yj+zk y x x y Posicin (a) /----------------- y x Velocidad (b)
Fig.12.17 http://gratislibrospdf.com/
50. , 32 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA donde V,=~ V). =~ Vz
=Z (12.12) La notacin de "punto" X, y, i; representa las primeras
derivadas con respecto al tiempo de las ecuaciones paramtricas x
=x(t), y =y(t), y z =z(t), respectivamente. La velocidad tiene una
magnitud que se define como el valor positivo de y una direccin que
se especifica mediante las componentes del vector unitario U v =
v/v. Esta direccin siempre es tangente a la trayectoria, como se
muestra en la figura 12.17b.. Aceleracin. La aceleracin de la
partcula se obtiene toman- do la primera derivada respecto al
tiempo de la ecuacin 12.11, o la segunda derivada con respecto al
tiempo de la ecuacin 12.10. Empleando puntos para representar las
derivadas de las compo- nentes con respecto al tiempo, tenemos que
dv . . ka=-=al+aJ+a dI ' y 1 (12.13) donde a, = v,=x ay =~). =Y a l
= Vl =Z (12.14) Aqu, aTO ay Yal representan, respectivamente, las
primeras deri- vadas con respecto al tiempo de las funciones Vx =
vit), vy = vit) y Vz = vz(t), o bien las segundas derivadas con
respecto al tiempo de las funciones x =x(t), y =y(t) y z =z(t). La
aceleracin tiene una magnitud que se define como el va- lor
positivo de a = ,a2 + a2 + a2 , y 1 y una direccin especificada por
las componentes del vector uni- tario u" = ala. Como a representa
la rapidez de cambio de la ve- http://gratislibrospdf.com/
51. SEC.12.4 MOVIMIENTO CURVILNEO: COMPONENTES RECTANGULARES 33
locidad con respecto al tiempo, a en general no ser tangente a la
trayectoria que sigue la partcula, figura 12.17c. PROCEDIMIENTO DE
ANLISIS Sistema de coordenadas. Se puede emplear un sistema de
coordenadas rectangulares para resolver problemas cuando puede
expresarse convenientemente el movimiento en tr- minos de sus
componentesx, y y z. x Cantidades cinemticas. Como el movimiento
rectilneo se lle- va a cabo a lo largo de cada eje, puede
determinarse una descripcin del movimiento de cada componente
empleando v =ds/dt ya =d v/dt, como se describi en la seccin 12.1,
y se formaliz anteriormente. Tambin, si el movimiento no se expresa
como parmetro del tiempo, se puede usar la ecua- cin a ds = v d vd
v. Una vez determinadas las componentes X, y, z de v y a, se
calculan las magnitudes de esos vectores me- diante el teorema de
Pitgoras, ecuacin C3, y sus direccio- nes mediante las componentes
de sus vectores unitarios, ecuaciones CA y C5. /-----------------y
Aceleracin (e) Fig. 12.17 (cont.) http://gratislibrospdf.com/
52. .. 34 CAP.12 CINEMTICADEUNAPARTfCULA "" Ejemplo 12.9
-------------------------IIIIII!En cualquier instante se define la
posicin de la cometa de la figura 12.1&zmediante las
coordenadas x = (30t) ft yY = (9t2) ft, en las cuales I est en
segundos. Calcule (a) la ecua- cin que describe la trayectoria y la
distancia de la cometa con respecto al nio, cuando t = 2 s, (b) la
magnitud y la direccin de la velocidad cuando I = 2 s, Y (e) la
magnitud y direccin de la aceleracin cuando I = 2 s. y B 1 .:~ 36r
A x .[ 60 ft I c:.::..? (a) SOLUCIN Posicin. La ecuacin de la
trayectoria se determina al elimi- nar a I de las ecuaciones para x
y y, es decir, I = x/30, de modo que y = 9(x/30)2, o sea Resp. sta
es la ecuacin es de una parbola, figura 12.18a. Cuando t = 2 s, x =
30(2) = 60 ft y = 9(2)2 = 36 ft La distancia en lnea recta deA a B
es, por lo tanto, Resp.r = .(60)2 + (36)2 = 70.0 ft Velocidad.
Empleando las ecuaciones 12.12, las componentes de la velocidad
cuando I = 2 s son d Vx = d(30/) = 30 ft/s -+ v = .!I(9t2) = 18t I
= 36 ft/s iy dt ,-25 ':: := 46.9 ftls 0"= 50.2 B (b) Cuando t = 2
s, la magnitud de la velocidad es v = .(30)2 + (36)2 = 46.9 ft/s
Resp. Su direccin es tangente a la trayectoria, figura 12.18b, en
donde v 368u = tan-J..::L= tan-1 30 = 50.2 Resp, VI Aceleracin. Las
componentes de la aceleracin se determinan a partir de las
ecuaciones 12.14, a = 4