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1. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page 2 2. Momentos de inercia de formas geomtricas comunes Rectngulo Tringulo Crculo Semicrculo Cuarto de crculo Elipse JO 1 4 ab1a2 b2 2 Iy 1 4 a3 b Ix 1 4 ab3 JO 1 8 r4 Ix Iy 1 16 r4 JO 1 4 r4 Ix Iy 1 8 r4 JO 1 2 r4 Ix Iy 1 4 r4 Ix 1 12bh3 Ix 1 36bh3 JC 1 12bh1b2 h2 2 Iy 1 3b3 h Ix 1 3bh3 Iy 1 12b3 h Ix 1 12bh3 h b x' x y'y C h b x' x h 3 C x y r O x y O r C x y O r C x b y O a Momentos de inercia de formas geomtricas comunes Barra delgada Placa rectangular delgada Prisma rectangular Disco delgado Cilindro circular Cono circular Esfera Ix Iy Iz 2 5ma2 1 4a2 h2 2Iy Iz 3 5m1 Ix 3 10ma2 Iy Iz 1 12m13a2 L2 2 Ix 1 2ma2 Iy Iz 1 4mr2 Ix 1 2mr2 Iz 1 12m1a2 b2 2 Iy 1 12m1c2 a2 2 Ix 1 12m1b2 c2 2 Iz 1 12mb2 Iy 1 12mc2 Ix 1 12m1b2 c2 2 Iy Iz 1 12mL2 G Lz y x xz y c b G az y c b x x z y r xz y L a x z y h a a xz y bee76934_fm.qxd 1/5/10 7:21 PM Page 1 3. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page 2 4. MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS Dinmica bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page iii 5. REVISIN TCNICA ARGENTINA Ricardo Bosco Universidad Tecnolgica Nacional, Buenos Aires COLOMBIA Carlos Eduardo Muoz Rodrguez Pontificia Universidad Javeriana, Bogot Jaime Guillermo Guerrero Casadiego Universidad Nacional de Colombia Rubn Daro Arboleda Vlez Universidad Pontificia Bolivariana, Medelln Wilson Rodrguez Caldern Universidad de la Salle, Bogot MXICO Antonio Rubn Bentez Gasca Universidad Veracruzana Danelia Hernndez Surez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad Obregn Carlos Mellado Osuna Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus La Marina Eduardo Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa Enrique Zamora Gallardo Universidad Anhuac, campus Norte Francisco Tern Arvalo Instituto Tecnolgico Regional de Chihuahua Gladys Karina Ruiz Vargas Universidad Anhuac, campus Norte Ignacio Arrioja Crdenas Instituto Tecnolgico de Tuxtla Gutirrez, Chis. Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hidalgo Jos Antonio Corona Lpez Instituto Tecnolgico de Veracruz Jos Luis Carranza Santana Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Juan Abugaber Francis Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Juan Ocriz Castelazo Universidad Nacional Autnoma de Mxico Luis Adolfo Torres Gonzlez Universidad Iberoamericana, campus Len Luis G. Cabral Rosetti Centro Interdisciplinario de Investigacin y Docencia en Educacin Tcnica, Santiago de Quertaro Martn Daro Castillo Snchez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico Nacional Ral Escalante Rosas Universidad Nacional Autnoma de Mxico Ral Soto Lpez Universidad de Occidente, campus Culiacn bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page iv 6. Novena edicin MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS Dinmica FERDINAND P. BEER (finado) Late of Lehigh University E. RUSSELL JOHNSTON, JR. University of Connecticut PHILLIP J. CORNWELL Rose-Hulman Institute of Technology Revisin tcnica: Miguel ngel Ros Snchez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de Mxico Felipe de Jess Hidalgo Cavazos Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page v 7. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductores: Jess Elmer Murrieta Murrieta Gabriel Nagore Cazares MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS DINMICA Novena edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2010 respecto a la novena edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN-13: 978-607-15-0261-2 (ISBN: 970-10-6102-0 edicin anterior) Traducido de la novena edicin en ingls de: Vector mechanics for engineers. Dynamics. Copyright 2010 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN: 0-07-724916-8 1234567890 109876543210 Impreso en Mxico Printed in Mexico bee76934_fm.qxd 12/15/09 11:31 AM Page vi 8. Acerca de los autores Los autores de esta obra con frecuencia son cuestionados acerca de c- mo fue que, estando uno en Lehigh y otro en la University of Connec- ticut, empezaron a escribir sus libros juntos. La respuesta a esta pregunta es sencilla. Russ Johnston inici su ca- rrera acadmica en el departamento de ingeniera civil y mecnica de Lehigh University y all conoci a Ferd Beer, quien haba comenzado a trabajar en ese departamento dos aos antes y estaba a cargo de los cursos de mecnica. Ferd se sinti muy complacido al descubrir que el joven contrata- do para impartir cursos de ingeniera estructural en posgrado no slo estaba dispuesto, sino tambin ansioso por ayudarlo a reorganizar los cursos de mecnica. Ambos crean que dichos cursos deberan ensear- se a partir de unos cuantos principios bsicos, y que los distintos conceptos involucrados seran mejor comprendidos y recordados por los estudiantes si les eran presentados en forma grfica. Juntos escribieron apuntes para las clases de esttica y dinmica, a los cuales posteriormente les agregaron problemas que supusieron interesantes para los futuros ingenieros, y poco despus produjeron el manuscrito de la primera edicin de Mecnica para ingenieros, el cual se public en junio de 1956. Al publicarse la segunda edicin de Mecnica para ingenieros y la primera de Mecnica vectorial para ingenieros, Russ Johnston estaba en el Worcester Polytechnic Institute, y en las ediciones subsecuentes en la University of Connecticut. Mientras tanto, Ferd y Russ haban asu- mido funciones administrativas en sus respectivos departamentos y ambos se dedicaban a la investigacin, la consultora, y a asesorar estudiantes de posgrado Ferd en el rea de procesos estocsticos y vibraciones aleatorias, y Russ en el rea de estabilidad elstica y en diseo y anlisis estructurales. Sin embargo, su inters por mejorar la enseanza de los cursos bsicos de mecnica no haba disminuido, y conti- nuaron impartindolos mientras revisaban sus libros y comenzaban a preparar el manuscrito de la primera edicin de Mecnica de materiales. La colaboracin entre estos dos autores ha abarcado muchos aos y muchas revisiones exitosas de todos sus libros, y las contribuciones de Ferd y Russ a la educacin en ingeniera los han hecho acreedores de numero- sas distinciones y reconocimientos. Recibieron el Western Electric Fund Award por parte de sus respectivas secciones regionales de la American So- ciety for Engineering Education por su excelencia en la instruccin de estudiantes de ingeniera y, adems, el Distinguished Educator Award de la vii bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page vii 9. divisin de mecnica de esa misma asociacin. A partir de 2001, el recono- cimiento denominado New Mechanics Educator Award de la divisin de mecnica ha sido nombrado en honor de Beer y Johnston. Ferdinand P. Beer. Nacido en Francia y educado en Francia y Sui- za, Ferd obtuvo una maestra en la Sorbona y un doctorado en cien- cias en el rea de mecnica terica en la Universidad de Ginebra. Emigr a Estados Unidos despus de servir en el ejrcito francs durante la primera parte de la Segunda Guerra Mundial e imparti clases por cuatro aos en el Williams College en el programa conjunto de ingeniera y artes Williams-MIT. Despus de su servicio en esta institucin, Ferd ingres al profesorado de Lehigh University, donde ense durante treinta y siete aos. Ocup varios puestos, incluyen- do el de profesor distinguido de la universidad y director del departamento de Mecnica e Ingeniera Mecnica. En 1995 recibi el grado de Doctor honoris causa en Ingeniera por la Lehigh University. E. Russell Johnston, Jr. Nacido en Filadelfia, Russ posee un ttulo de ingeniero civil de la Universidad de Delaware y un doctorado en cien- cias en el rea de ingeniera estructural del Instituto Tecnolgico de Massachussets (MIT). Imparti clases en Lehigh University y en el Worcester Polytechnic Institute antes de ingresar al profesorado de la Universidad de Connecticut, donde ocup el puesto de director del departamento de Ingeniera Civil y ense durante veintisis aos. En 1991 recibi el Outstanding Civil Engineer Award, seccin Connecti- cut, que otorga la American Society of Civil Engineers. Phillip J. Cornwell. Phil posee un ttulo en Ingeniera Mecnica de la Texas Tech University, y grados de maestra y doctorado en Ingeniera Mecnica y aeroespacial por la Universidad de Princeton. En la actualidad es profesor de Ingeniera Mecnica en el Instituto Rose-Hulman de Tecnologa, donde ha impartido clases desde 1989. Sus intereses ac- tuales incluyen dinmica estructural, monitoreo de la salud estructural, y educacin en ingeniera a nivel de licenciatura. En los veranos, Phil trabaja en el Laboratorio Nacional de Los lamos, donde es responsa- ble de la escuela de verano de dinmica, y realiza investigacin en el rea de monitoreo de la salud estructural. Recibi un premio en educacin SAE Ralph R. Teetor en 1992, el premio escolar por imparticin de clases en Rose-Hulman en 2000, y el premio por imparticin de clases del profesorado de Rose-Hulman en 2001. viii Acerca de los autores bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page viii 10. Contenido Prefacio xiv Agradecimientos xx Lista de smbolos xxi 11 CINEMTICA DE PARTCULAS 601 11.1 Introduccin a la dinmica 602 Movimiento rectilneo de partculas 603 11.2 Posicin, velocidad y aceleracin 603 11.3 Determinacin del movimiento de una partcula 607 11.4 Movimiento rectilneo uniforme 616 11.5 Movimiento rectilneo uniformemente acelerado 617 11.6 Movimiento de varias partculas 618 *11.7 Solucin grfica de problemas de movimiento rectilneo 630 *11.8 Otros mtodos grficos 631 Movimiento curvilneo de partculas 641 11.9 Vector de posicin, velocidad y aceleracin 641 11.10 Derivadas de funciones vectoriales 643 11.11 Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleracin 645 11.12 Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslacin 646 11.13 Componentes tangencial y normal 665 11.14 Componentes radial y transversal 668 Repaso y resumen del captulo 11 682 Problemas de repaso 686 Problemas de computadora 688 12 CINTICA DE PARTCULAS: SEGUNDA LEY DE NEWTON 691 12.1 Introduccin 692 12.2 Segunda ley de movimiento de Newton 693 12.3 Cantidad de movimiento lineal de una partcula. Razn de cambio de la cantidad de movimiento lineal 694 ix bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page ix 11. 12.4 Sistemas de unidades 695 12.5 Ecuaciones de movimiento 697 12.6 Equilibrio dinmico 699 12.7 Cantidad de movimiento angular de una partcula. Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular 721 12.8 Ecuaciones de movimiento en trminos de las componentes radial y transversal 723 12.9 Movimiento bajo una fuerza central. Conservacin de la cantidad de movimiento angular 724 12.10 Ley de gravitacin de Newton 725 *12.11 Trayectoria de una partcula bajo la accin de una fuerza central 736 *12.12 Aplicacin en mecnica celeste 737 *12.13 Leyes de Kepler del movimiento planetario 740 Repaso y resumen del captulo 12 749 Problemas de repaso 753 Problemas de computadora 756 13 CINTICA DE PARTCULAS: MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 759 13.1 Introduccin 760 13.2 Trabajo de una fuerza 760 13.3 Energa cintica de una partcula. Principio del trabajo y la energa 764 13.4 Aplicaciones del principio del trabajo y la energa 766 13.5 Potencia y eficiencia 767 13.6 Energa potencial 786 *13.7 Fuerzas conservativas 788 13.8 Conservacin de la energa 789 13.9 Movimiento bajo una fuerza central conservativa. Aplicacin a la mecnica celeste 791 13.10 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 810 13.11 Movimiento impulsivo 813 13.12 Impacto 825 13.13 Impacto central directo 825 13.14 Impacto central oblicuo 828 13.15 Problemas en los que interviene la energa y la cantidad de movimiento 831 Repaso y resumen del captulo 13 847 Problemas de repaso 853 Problemas de computadora 856 14 SISTEMAS DE PARTCULAS 859 14.1 Introduccin 860 14.2 Aplicacin de las leyes de Newton al movimiento de un sistema de partculas. Fuerzas efectivas 860 14.3 Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de partculas 863 x Contenido bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page x 12. 14.4 Movimiento del centro de masa de un sistema de partculas 864 14.5 Cantidad de movimiento angular de un sistema de partculas alrededor de su centro de masa 866 14.6 Conservacin de la cantidad de movimiento para sistemas de partculas 868 14.7 Energa cintica de un sistema de partculas 877 14.8 Principio del trabajo y la energa. Conservacin de la energa para un sistema de partculas 879 14.9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento de un sistema de partculas 879 *14.10 Sistemas variables de partculas 890 *14.11 Corriente estacionaria de partculas 890 *14.12 Sistemas que ganan o pierden masa 893 Repaso y resumen del captulo 14 908 Problemas de repaso 912 Problemas de computadora 916 15 CINEMTICA DE CUERPOS RGIDOS 919 15.1 Introduccin 920 15.2 Traslacin 922 15.3 Rotacin alrededor de un eje fijo 923 15.4 Ecuaciones que definen la rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo 926 15.5 Movimiento plano general 936 15.6 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el movimiento plano 938 15.7 Centro instantneo de rotacin en el movimiento plano 950 15.8 Aceleraciones absoluta y relativa en el movimiento plano 961 *15.9 Anlisis del movimiento plano en trminos de un parmetro 963 15.10 Razn de cambio de un vector con respecto a un sistema de referencia en rotacin 975 15.11 Movimiento plano de una partcula relativa a un sistema de referencia en rotacin. Aceleracin de Coriolis 977 *15.12 Movimiento alrededor de un punto fijo 988 *15.13 Movimiento general 991 *15.14 Movimiento tridimensional de una partcula con respecto a un sistema de referencia en rotacin. Aceleracin de Coriolis 1002 *15.15 Sistema de referencia en movimiento general 1003 Repaso y resumen del captulo 15 1015 Problemas de repaso 1022 Problemas de computadora 1025 16 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS: FUERZAS Y ACELERACIONES 1029 16.1 Introduccin 1030 16.2 Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rgido 1031 xiContenido bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xi 13. 16.3 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido en movimiento plano 1032 16.4 Movimiento plano de un cuerpo rgido. Principio de dAlembert 1033 *16.5 Observacin acerca de los axiomas de la mecnica de cuerpos rgidos 1034 16.6 Solucin de problemas que implican el movimiento de un cuerpo rgido 1035 16.7 Sistemas de cuerpos rgidos 1036 16.8 Movimiento plano restringido o vinculado 1055 Repaso y resumen del captulo 16 1077 Problemas de repaso 1079 Problemas de computadora 1082 17 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RGIDOS: MTODOS DE LA ENERGA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1085 17.1 Introduccin 1086 17.2 Principio del trabajo y la energa para un cuerpo rgido 1086 17.3 Trabajo de las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido 1087 17.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en movimiento plano 1088 17.5 Sistemas de cuerpos rgidos 1089 17.6 Conservacin de la energa 1090 17.7 Potencia 1091 17.8 Principio del impulso y la cantidad de movimiento para el movimiento plano de un cuerpo rgido 1107 17.9 Sistemas de cuerpos rgidos 1110 17.10 Conservacin de la cantidad de movimiento angular 1110 17.11 Movimiento impulsivo 1124 17.12 Impacto excntrico 1124 Repaso y resumen del captulo 17 1140 Problemas de repaso 1144 Problemas de computadora 1146 18 CINTICA DE CUERPOS RGIDOS EN TRES DIMENSIONES 1149 *18.1 Introduccin 1150 *18.2 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1151 *18.3 Aplicacin del principio del impulso y la cantidad de movimiento al movimiento tridimensional de un cuerpo rgido 1155 *18.4 Energa cintica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1156 *18.5 Movimiento de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1169 *18.6 Ecuaciones de movimiento de Euler. Extensin del principio de dAlembert al movimiento de un cuerpo rgido en tres dimensiones 1170 *18.7 Movimiento de un cuerpo rgido alrededor de un punto fijo 1171 *18.8 Rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo 1172 *18.9 Movimiento de un giroscopio. ngulos de Euler 1187 *18.10 Precesin estable de un giroscopio 1189 xii Contenido bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xii 14. *18.11 Movimiento de un cuerpo simtrico con respecto a un eje y que no se somete a ninguna fuerza 1190 Repaso y resumen del captulo 18 1203 Problemas de repaso 1208 Problemas de computadora 1211 19 VIBRACIONES MECNICAS 1215 19.1 Introduccin 1216 Vibraciones sin amortiguamiento 1216 19.2 Vibraciones libres de partculas. Movimiento armnico simple 1216 19.3 Pndulo simple (solucin aproximada) 1220 *19.4 Pndulo simple (solucin exacta) 1221 19.5 Vibraciones libres de cuerpos rgidos 1230 19.6 Aplicacin del principio de la conservacin de la energa 1242 19.7 Vibraciones forzadas 1253 Vibraciones amortiguadas 1263 *19.8 Vibraciones libres amortiguadas 1263 *19.9 Vibraciones forzadas amortiguadas 1266 *19.10 Analogas elctricas 1267 Repaso y resumen del captulo 19 1279 Problemas de repaso 1284 Problemas de computadora 1288 Apndice A ALGUNAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES TILES DEL LGEBRA VECTORIAL 1291 Apndice B MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS 1297 Apndice C FUNDAMENTOS PARA LA CERTIFICACIN EN INGENIERA EN ESTADOS UNIDOS 1337 Crditos de fotografas 1339 ndice analtico 1341 Respuestas a problemas 1351 xiiiContenido bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xiii 15. Prefacio OBJETIVOS El objetivo principal de un primer curso de mecnica debe ser desa- rrollar en el estudiante de ingeniera la capacidad de analizar cualquier problema en forma lgica y sencilla, y la de aplicar para su solucin unos cuantos principios bsicos perfectamente comprendidos. Se es- pera que este texto y el tomo complementario, Mecnica vectorial para ingenieros: Esttica, permitirn que el profesor alcance este objetivo. ENFOQUE GENERAL En la parte inicial del primer tomo se introdujo el anlisis vectorial, el cual se utiliza en la presentacin y exposicin de los principios fundamentales de la esttica, as como en la solucin de muchos problemas. De manera similar, el concepto de diferenciacin vectorial se introdu- ce al inicio de este volumen, y el anlisis vectorial se utiliza a lo largo de la presentacin de la dinmica. Este planteamiento conduce a una especificacin ms concisa de los principios fundamentales de la mecnica. Tambin hace posible analizar muchos problemas en cinemtica y cintica que no podran resolverse mediante mtodos escalares. Sin embargo, se mantiene el nfasis en el correcto aprendizaje de los principios de la mecnica y en su aplicacin para resolver problemas de ingeniera, por lo que el anlisis vectorial se presenta, primordialmente, como una herramienta til. Se introducen aplicaciones prcticas desde una etapa inicial. Una de las caractersticas del enfoque usado en estos tomos es que la mecnica de partculas se ha separado en forma clara de la mecnica de cuerpos rgidos. Este enfoque hace posible considerar aplicaciones prcticas simples en una etapa inicial y posponer la introduccin de los conceptos ms avanzados. Por ejemplo: En Esttica, la esttica de partculas se estudia primero, y el principio de equilibrio de una partcula se aplica inmediatamente a si- tuaciones prcticas que involucran slo fuerzas concurrentes. La esttica de cuerpos rgidos se considera posteriormente, cuando ya se ha hecho la presentacin de los productos escalar y vectorial de dos vectores; estos conceptos se utilizan para definir el momento de una fuerza con respecto a un punto y a un eje. xiv bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xiv 16. En Dinmica se observa la misma divisin. Se introducen los conceptos bsicos de fuerza, masa y aceleracin, de trabajo y energa, y de impulso y cantidad de movimiento, y se aplican en primera instancia a la solucin de problemas que involucran slo partculas. De esta forma, los estudiantes pueden familiarizarse por s mis- mos con los tres mtodos bsicos utilizados en dinmica y apren- der sus respectivas ventajas antes de enfrentar las dificultades asociadas con el movimiento de cuerpos rgidos. Los conceptos nuevos se presentan en trminos simples. Como este texto est diseado para un primer curso sobre dinmica, los conceptos nuevos se presentan en trminos simples y cada paso se explica en forma detallada. Por otro lado, este enfoque alcanza una ma- durez definitiva al analizar los aspectos ms relevantes de los problemas considerados, y al ampliar los mtodos de aplicabilidad general. Por ejemplo, el concepto de energa potencial se analiza para el caso general de una fuerza conservativa. Adems, el estudio del movimien- to plano de cuerpos rgidos est ideado para conducir de manera natural al estudio de su movimiento general en el espacio. Lo anterior se cumple tanto en cinemtica como en cintica, donde el principio de equivalencia de fuerzas externas y efectivas se aplica de manera directa al anlisis de movimiento plano, lo que facilita la transicin al estudio del movimiento tridimensional. Los principios fundamentales se utilizan en el contexto de aplicaciones simples. Se enfatiza el hecho de que la mecnica es, esencialmente, una ciencia deductiva que se basa en algunos principios fundamentales. Las derivaciones se presentan siguiendo su secuencia lgica y con todo el rigor requerido a este nivel. Sin embargo, en virtud de que el proceso de aprendizaje es primordialmente inductivo, se consideran primero las aplicaciones ms simples. Por ejemplo: La cinemtica de partculas (captulo 11) antecede a la cinemtica de cuerpos rgidos (captulo 15). Los principios fundamentales de la cintica de cuerpos rgidos se aplican primero a la solucin de problemas bidimensionales (captulos 16 y 17), los cuales pueden ser visualizados con mayor facilidad por los estudiantes, mientras que los problemas tridimensionales se posponen hasta el captulo 18. La presentacin de los principios de la cintica se unifica. La octava edicin de Mecnica vectorial para ingenieros tiene la presentacin unificada de los principios de la cintica que caracterizaron a las siete ediciones anteriores. Los conceptos de cantidad de movimiento lineal y angular se presentan en el captulo 12, de modo que la segunda ley de Newton para el movimiento pueda presentarse no s- lo en su forma convencional F ma, sino tambin como una ley que relaciona, respectivamente, la suma de fuerzas que actan sobre una partcula y la suma de sus momentos con las razones de cambio de la cantidad de movimiento lineal y angular de la partcula. Esto hace posible una introduccin temprana del principio de conservacin de la cantidad de movimiento angular, y un anlisis ms lgico del movimien- to de una partcula bajo una fuerza central (seccin 12.9). An ms importante, este planteamiento puede extenderse sin dificultad al movimiento de un sistema de partculas (captulo 14) y efectuar un trata- xvPrefacio bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xv 17. miento ms conciso y unificado de la cintica de cuerpos rgidos en dos y tres dimensiones (captulos 16 a 18). Se emplean diagramas de cuerpo libre para resolver problemas de equilibrio y expresar la equivalencia de sistemas de fuerzas. Los diagramas de cuerpo libre se introdujeron al principio del libro de esttica, y su importancia se enfatiz a lo largo de todo el texto. Estos diagramas se emplean no slo para resolver problemas de equilibrio, sino tambin para expresar la equivalencia de dos sistemas de fuerzas o, de modo ms general, de dos sistemas de vectores. La ventaja de este enfoque se vuelve evidente en el estudio de la dinmica de cuerpos rgidos, donde se utiliza para resolver problemas tridimensionales y bidimensionales. Se pudo lograr una comprensin ms intuitiva y completa de los principios fundamentales de la dinmica al poner mayor nfasis en las ecuaciones de los diagramas de cuerpo libre en lugar de en las ecuaciones algebraicas estndar de movimiento. Este enfoque, introducido en 1962 en la primera edicin de Mecnica vectorial para ingenieros, ha obtenido a la fecha una amplia aceptacin en Estados Unidos entre los profesores de mecnica. Por lo tanto, en la resolucin de todos los problemas resueltos de este libro, se prefiere su utilizacin en lugar del mtodo de equilibrio dinmico y de las ecuaciones de movimiento. Se utilizan presentaciones en cuatro colores para distinguir los vectores. El color se ha usado no slo para mejorar la calidad de las ilustraciones, sino tambin para ayudar a los estudiantes a distinguir entre los diversos tipos de vectores que pueden encontrar. En virtud de que no haba intencin de colorear por completo este texto, en un captulo dado se utiliza el mismo color para representar el mismo tipo de vector. Por ejemplo, a lo largo del tomo de esttica, el rojo se utiliza en forma exclusiva para representar fuerzas y pares, mientras que los vectores de posicin se muestran en azul y las dimensiones en negro. Esto vuelve ms fcil para los estudiantes la identificacin de las fuerzas que actan sobre una partcula o un cuerpo rgido dado y la comprensin de los problemas resueltos y de otros ejemplos proporcionados en el libro. En Dinmica, para los captulos de cintica, el rojo se usa de nuevo para fuerzas y pares, as como para fuerzas efectivas. El rojo tambin se utiliza para representar impulsos y cantidades de movimiento en ecuaciones de diagramas de cuerpo libre, mientras que el verde es utilizado para velocidades, y el azul en aceleraciones. En los dos captulos de cinemtica, donde no se involucra ninguna fuerza, se usan azul, verde y rojo, respectivamente, para indicar desplazamientos, velocidades y aceleraciones. Se mantiene, en forma consistente, un cuidadoso balance entre las unidades del SI y las unidades del sistema ingls. De- bido a la tendencia que existe en la actualidad en el gobierno y la industria estadounidenses de adoptar el Sistema Internacional de unidades (unidades mtricas SI), las unidades SI que se usan con mayor frecuencia en mecnica se introducen en el captulo 1 y se emplean en todo el libro. Aproximadamente la mitad de los problemas resueltos y un 60 por ciento de los problemas de tarea estn planteados en este sistema de unidades, mientras que el resto se proporciona en las unidades de uso comn en Estados Unidos. Los autores creen que este enfoque es el que xvi Prefacio bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xvi 18. xviiPrefaciose adecuar mejor a las necesidades de los estudiantes, quienes, como ingenieros, tendrn que dominar los dos sistemas de unidades. Tambin se debe reconocer que el uso de ambos sistemas de unidades significa algo ms que aplicar factores de conversin. Como el sistema de unidades SI es absoluto basado en el tiempo, la longitud y la masa, mientras el sistema ingls es gravitacional basado en el tiempo, la longitud y la fuerza, se requieren diferentes enfoques en la solucin de muchos problemas. Por ejemplo, cuando se usan las unidades SI, por lo general, un cuerpo se especifica mediante su masa expresada en kilo- gramos; en la mayora de los problemas de esttica ser necesario determinar el peso del cuerpo en newtons, para lo cual se requiere un clculo adicional. Por otro lado, cuando se aplican las unidades del sistema ingls, un cuerpo se especifica mediante su peso en libras y, en problemas de dinmica, se requerir un clculo adicional para determinar su masa en slugs (o lbs2 /ft). Por tanto, los autores creen que los problemas asignados a los estudiantes deben incluir ambos sistemas de unidades. En las secciones opcionales se tratan temas avanzados o especializados. En el libro se incluye un gran nmero de secciones opcionales identificadas mediante asteriscos y, por tanto, se distin- guen fcilmente de aquellas que constituyen la parte fundamental de un curso bsico de dinmica. Estas secciones pueden omitirse sin per- judicar la comprensin del resto del texto. Entre los temas cubiertos en las secciones opcionales se encuen- tran los mtodos grficos para la resolucin de problemas de movimiento rectilneo, trayectoria de una partcula bajo una fuerza central, desviacin de corrientes de fluido, problemas que implican propulsin a chorro y cohetes, la cinemtica y la cintica de cuerpos rgidos en tres dimensiones, vibraciones mecnicas amortiguadas, y analogas elctricas. Estos temas adquirirn un inters particular cuando el curso de dinmica se imparta durante el primer ao de estudios. El material presentado en el libro y la mayor parte de los problemas no requieren conocimiento matemtico previo superior al lgebra, la trigonometra y el clculo elementales; todos los conocimientos de l- gebra elemental necesarios para comprender el texto se presentan con detalle en los captulos 2 y 3 del volumen de esttica. Sin embargo, se incluyen problemas especiales que requieren un conocimiento ms avanzado de clculo, y ciertas secciones, como las 19.8 y 19.9 sobre vibraciones amortiguadas, slo deben asignarse cuando los estudiantes posean los fundamentos matemticos adecuados. En las partes del tex- to que utilizan el clculo elemental, se pone mayor nfasis en la apro- piada comprensin de los conceptos matemticos bsicos incluidos que en la manipulacin de las frmulas matemticas. Al respecto, se debe mencionar que la determinacin de los centroides de reas compuestas precede al clculo de centroides por integracin, lo cual posibilita esta- blecer firmemente el concepto de momento de un rea antes de introducir el uso de integrales. Algunas definiciones y propiedades tiles de lgebra se resumen en el apndice A al final del libro, para comodidad del lector. Asimismo, las secciones 9.11 a 9.18 del volumen de esttica, donde se estudian los momentos de inercia de masas, se reproducen en el apndice B. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xvii 19. ORGANIZACIN DE LOS CAPTULOS Y CARACTERSTICAS PEDAGGICAS Introduccin del captulo. Cada captulo comienza con una introduccin que establece el propsito y los objetivos del mismo, y en la que se describe en trminos sencillos el material que ser cubierto y sus aplicaciones en la resolucin de problemas de ingeniera. Los nuevos lineamientos del captulo proporcionan a los estudiantes una visin previa de los temas que ste incluye. Lecciones en el captulo. El cuerpo del texto est dividido en unidades, cada una de las cuales consiste en una o ms secciones de teora, uno o varios problemas resueltos, y una gran cantidad de problemas de tarea. Cada unidad corresponde a un tema bien definido que, por lo general, puede ser cubierto en una leccin. Sin embargo, en ciertos casos el profesor encontrar que es deseable dedicar ms de una leccin a un tema en particular. Problemas resueltos. Los problemas resueltos se plantean de manera muy similar a la que usarn los estudiantes cuando resuelvan los problemas que se les asignen. Por tanto, estos problemas cumplen el doble propsito de ampliar el texto y demostrar la forma de trabajo clara y ordenada que los estudiantes deben cultivar en sus propias soluciones. Resolucin de problemas en forma independiente. Entre los problemas resueltos y los de tarea, cada leccin incluye una seccin ti- tulada Resolucin de problemas en forma independiente. El propsito de estas secciones es ayudar a los estudiantes a organizar mentalmen- te la teora ya cubierta en el texto y los mtodos de resolucin de los problemas resueltos, de manera que puedan resolver con mayor xito los problemas de tarea. Adems, en estas secciones tambin se incluyen sugerencias y estrategias especficas que les permitirn enfrentar de manera ms eficiente cualquier problema asignado. Series de problemas de tarea. La mayora de los problemas son de naturaleza prctica y deben llamar la atencin del estudiante de ingeniera. Sin embargo, estn diseados para ilustrar el material presentado en el texto y ayudar a los estudiantes a comprender los principios de la mecnica. Los problemas se han agrupado de acuerdo con las partes del material que ilustran y se presentan en orden de dificultad creciente. Los problemas que requieren atencin especial estn sealados mediante asteriscos. Al final del texto se proporcionan las respuestas correspondientes a 70 por ciento de los problemas propuestos; y aquellos para los cuales no se da respuesta se indican en el libro escribiendo su n- mero en cursivas. Repaso y resumen del captulo. Cada captulo finaliza con un repaso y un resumen del material cubierto en el mismo. Las notas al margen se utilizan para ayudar al estudiante a organizar su trabajo de revisin, adems se han incluido referencias cruzadas para ayudarlos a encontrar las partes de material que requieren atencin especial. Problemas de repaso. Al final de cada captulo se incluye un grupo de problemas de repaso. Estos problemas proporcionan a los estudiantes una oportunidad adicional de aplicar los conceptos ms importantes presentados en el captulo. xviii Prefacio bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xviii 20. xixPrefacioProblemas de computadora. Cada captulo incluye un grupo de problemas diseados para ser resueltos mediante programas de computadora. Muchos de estos problemas son importantes para el proceso de diseo. Por ejemplo, pueden involucrar la determinacin del movimiento de una partcula bajo condiciones iniciales, el anlisis ci- nemtico o cintico de mecanismos en posiciones sucesivas, o la integracin numrica de diferentes ecuaciones de movimiento. El desarrollo del algoritmo requerido para resolver un problema de mecnica dado beneficiar a los estudiantes en dos formas diferentes: 1) les ayudar a lograr una mejor comprensin de los principios de la mecnica involucrados; 2) les proporcionar la oportunidad de aplicar sus habilidades con la computadora a la resolucin de un problema relevante de ingeniera. MATERIALES DE APOYO Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de los mis- mos, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill o enve un correo electrnico a [email protected]. CONEXIN CON LA INGENIERA DE MCGRAW-HILL La Conexin de McGraw-Hill con la Ingeniera (McGraw-Hill Connect Engineering) es una plataforma de tareas y evaluacin que proporciona a los estudiantes los medios para conectarse de mejor manera con su curso, sus profesores y los conceptos importantes que necesitarn conocer para su xito en la actualidad y en el futuro. Mediante la Conexin con la Ingeniera, los profesores pueden entregar con facilidad tareas, tests y exmenes en lnea. Los estudiantes pueden practicar habilidades importantes a su propio ritmo y de acuerdo con su propio programa. La Conexin con la Ingeniera de Mecnica vectorial para ingenieros est disponible en www.mhhe.com/beerjohnston e incluye problemas algortmicos del texto, presentaciones en PowerPoint, un banco de imgenes y animaciones. OPCIONES DE LIBRO ELECTRNICO Los libros electrnicos son una forma innovadora de ahorrarle dinero a los estudiantes y al mismo tiempo crear un medio ambiente ms verde. Un libro electrnico puede ahorrarle a los estudiantes cerca de la mitad del costo de un libro de texto tradicional y ofrece caractersticas nicas como un poderoso dispositivo de bsqueda, texto resaltado y la capacidad de compartir notas con compaeros de clase que usan libros electrnicos. McGraw-Hill ofrece dos opciones de libros electrnicos: la com- pra de un libro descargable de VitalSource o una suscripcin al libro de CourseSmart. Para conocer ms acerca de las opciones de libros electrnicos, contacte a su distribuidor McGraw-Hill o visite los sitios de manera directa en www.vitalsource.com y www.coursesmart. com. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xix 21. xx Prefacio AGRADECIMIENTOS Los autores desean agradecer de manera especial a Dean Updike, de Lehigh University, quien verific completamente las soluciones y respuestas de todos los problemas de esta edicin, y despus prepar las soluciones del Manual para el instructor y de soluciones adicional al texto. Es un placer reconocer el trabajo de Dennis Ormond de Fine Line Illustrations por las artsticas ilustraciones que contribuyen en gran medida a la efectividad del texto. Los autores agradecen a las diferentes empresas que proporcionaron fotografas para esta edicin. Tambin desean reconocer el esfuerzo determinado y la paciencia de Sabina Dowell, quien seleccion las fotografas. Un agradecimiento adicional para los miembros de la organizacin McGraw-Hill por su apoyo y dedicacin en preparar esta nueva edicin. Por ltimo, los autores expresan su gratitud por los numerosos comentarios y sugerencias proporcionados por los usuarios de las ediciones anteriores de Mecnica vectorial para ingenieros. E. Russell Johnston, Jr. Phillip J. Cornwell bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xx 22. xxi Lista de smbolos a, a Aceleracin a Constante; radio; distancia; eje semimayor de la elipse a, a Aceleracin del centro de masa aBA Aceleracin de B relativa al sistema de referencia en traslacin con A aP Aceleracin de P relativa al sistema de referencia en rotacin ac Aceleracin de Coriolis A, B, C, . . . Reacciones en soportes y conexiones A, B, C, . . . Puntos A rea b Ancho; distancia; eje semimenor de la elipse c Constante; coeficiente de amortiguamiento viscoso C Centroide; centro instantneo de rotacin; capacitancia d Distancia en, et Vectores unitarios a lo largo de la normal y la tangente er, e Vectores unitarios en las direcciones radial y transversal e Coeficiente de restitucin; base de los logaritmos naturales E Energa mecnica total; voltaje f Funcin escalar ff Frecuencia de vibracin forzada fn Frecuencia natural F Fuerza; fuerza de friccin g Aceleracin de la gravedad G Centro de gravedad; centro de masa; constante de gravitacin h Momento angular por masa unitaria HO Momento angular alrededor del punto O HG Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a un sistema de referencia de orientacin fija ( HG)Gxyz Razn de cambio de la cantidad de movimiento angular HG con respecto a un sistema de referencia en rotacin Gxyz i, j, k Vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas i Corriente I, Ix, . . . Momentos de inercia I Momento centroidal de inercia Ixy, . . . Productos de inercia J Momento polar de inercia k Constante de resorte kx, ky, kO Radio de giro k Radio de giro centroidal l Longitud L Cantidad de movimiento lineal L Longitud; inductancia m Masa m Masa por unidad de longitud M Par; momento MO Momento alrededor del punto O MR O Momento resultante alrededor del punto O M Magnitud de par o momento; masa de la Tierra MOL Momento alrededor del eje OL n Direccin normal bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xxi 23. N Componente normal de la reaccin O Origen de coordenadas P Fuerza; vector P Razn de cambio del vector P con respecto a un sistema de referencia de orientacin fija q Razn de flujo de masa; carga elctrica Q Fuerza; vector Q Razn de cambio del vector Q con respecto a un sistema de referencia de orientacin fija ( Q)Oxyz Razn de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia Oxyz r Vector de posicin rBA Vector de posicin de B relativo a A r Radio; distancia; coordenada polar R Fuerza resultante; vector resultante; reaccin R Radio de la Tierra; resistencia s Vector de posicin s Longitud de arco t Tiempo; espesor; direccin tangencial T Fuerza T Tensin; energa cintica u Velocidad u Variable U Trabajo v, v Velocidad v Rapidez v, v Velocidad del centro de masa vBA Velocidad de B relativa al sistema de transferencia en traslacin con A vP Velocidad de P relativa al sistema de referencia en rotacin V Producto vectorial V Volumen; energa potencial w Carga por unidad de longitud W, W Peso; carga x, y, z Coordenadas rectangulares; distancias x, y, z Derivadas temporales de las coordenadas x, y, z x, y, z Coordenadas rectangulares del centroide, centro de gravedad o centro de masa , Aceleracin angular , , ngulos Peso especfico Elongacin Excentricidad de seccin cnica o de rbita Vector unitario a lo largo de una lnea Eficiencia Coordenada angular; ngulo euleriano; ngulo; coordenada polar Coeficiente de friccin Densidad; radio de curvatura Periodo n Periodo de vibracin libre ngulo de friccin; ngulo euleriano; ngulo de fase; ngulo Diferencia de fase ngulo euleriano , Velocidad angular f Frecuencia circular de vibracin forzada n Frecuencia circular natural Velocidad angular del sistema de referencia xxii Lista de smbolos bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xxii 24. bee76934_fm.qxd 12/14/09 7:45 PM Page xxiii 25. El movimiento del transbordador espacial se describe en trminos de su posicin, velocidad y aceleracin. Al aterrizar, el piloto debe considerar la velocidad del viento y el movimiento relativo del transbordador con respecto al viento. El estudio del movimiento se conoce como cinemtica y es el objeto de estudio en este captulo. 600 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 600 26. Cinemtica de partculas CAPTULO 11 601 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 601 27. 602 11.1. INTRODUCCIN A LA DINMICA Los captulos 1 al 10 se dedicaron a la esttica, esto es, al anlisis de los cuerpos en reposo. Ahora se inicia el estudio de la dinmica, parte de la mecnica que se refiere al anlisis de los cuerpos en movimiento. En tanto que el estudio de la esttica se remonta al tiempo de los filsofos griegos, la primera contribucin importante a la dinmica la realiz Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en cuerpos uniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a formular sus leyes de movimiento fundamentales. La dinmica incluye: 1. La cinemtica, la cual corresponde al estudio de la geometra del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento. 2. La cintica, que es el estudio de la relacin que existe entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo. La cintica se utiliza para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento especfico. Los captulos 11 al 14 abordan la dinmica de partculas; en el captulo 11 se considera la cinemtica de partculas. El uso de la pala- bra partculas no significa que el estudio se restringir a pequeos corpsculos, sino que en estos primeros captulos el movimiento de cuerpos posiblemente tan grandes como automviles, cohetes o aviones ser considerado sin tomar en cuenta su tamao. Al afirmar que los cuerpos se analizan como partculas, se entiende que slo se va a considerar su movimiento como una unidad completa, y se ignora cualquier rotacin alrededor de su propio centro de masa. Sin embargo, hay casos en los que dicha rotacin no es despreciable; entonces no pueden considerarse como partculas. Este tipo de movimiento se analiza en los captulos finales, en los que se trata la dinmica de cuerpos rgidos. En la primera parte del captulo 11 se estudia el movimiento rectilneo de una partcula; esto es, se determina la posicin, velocidad y aceleracin de una partcula en todo instante conforme sta se mueve a lo largo de una lnea recta. Primero, se emplean mtodos generales de anlisis para estudiar el movimiento de una partcula; despus se consideran dos casos particulares importantes, a saber, el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado de una partcula (secciones 11.4 y 11.5). En la seccin 11.6, se aborda el movimiento simultneo de varias partculas, y se presenta el concepto de movimiento relativo de una partcula con respecto a otra. La primera parte de este captulo concluye con un estudio de mtodos grficos de anlisis y su aplicacin en la solucin de diversos problemas que implican el movimiento rectilneo de partculas (secciones 11.7 y 11.8). En la segunda parte de este captulo se analiza el movimiento de una partcula cuando sta se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Puesto que la posicin, velocidad y aceleracin de una partcula se definen como cantidades vectoriales, el concepto de la derivada de una funcin vectorial se presenta en la seccin 11.10 y se aade a las herramientas matemticas. Despus se estudian las apli- CAPTULO 11 CINEMTICA DE PARTCULAS 11.1 Introduccin a la dinmica 11.2 Posicin, velocidad y aceleracin 11.3 Determinacin del movimiento de una partcula 11.4 Movimiento rectilneo uniforme 11.5 Movimiento rectilneo uniformemente acelerado 11.6 Movimiento de varias partculas 11.7 Solucin grfica de problemas de movimiento rectilneo 11.8 Otros mtodos grficos 11.9 Vector de posicin, velocidad y aceleracin 11.10 Derivadas de funciones vectoriales 11.11 Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleracin 11.12 Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslacin 11.13 Componentes tangencial y normal 11.14 Componentes radial y transversal bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 602 28. 60311.2. Posicin, velocidad y aceleracincaciones en las que el movimiento de una partcula se define mediante las componentes rectangulares de su velocidad y aceleracin; en este punto se analiza el movimiento de un proyectil (seccin 11.11). En la seccin 11.12 se estudia el movimiento de una partcula en relacin con el sistema de referencia en traslacin. Por ltimo, se analiza el movimiento curvilneo de una partcula en trminos de componentes que no sean las rectangulares. Las componentes tangencial y normal de la velocidad y la aceleracin de una partcula se presentan en la seccin 11.13 y las componentes radial y transversal de su velocidad y aceleracin en la seccin 11.14. MOVIMIENTO RECTILNEO DE PARTCULAS 11.2. POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACIN Una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilneo. En cualquier instante dado t, la partcula ocupar cierta posicin sobre la lnea recta. Para definir la posicin P de la partcula se elige un origen fijo O sobre la direccin positiva a lo largo de la lnea. Se mide la distancia x desde O hasta P, y se marca con un signo ms o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la lnea en la direccin positiva o en la negativa, respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posicin de la partcula, y se denomina como la coordenada de la posicin de la partcula. Por ejemplo, la coordenada de la posicin correspondiente a P en la figura 11.1a) es x 5 m; la coordenada correspondiente a P en la figura 11.1b) es x 2 m. Cuando se conoce la coordenada de la posicin x de una partcula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partcula. El itinerario del movimiento puede expresarse en forma de una ecuacin en x y t, tal como x 6t2 t3 , o en una grfica de x en funcin de t, como se indica en la figura 11.6. Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada de la posicin x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades ingls. El tiempo t suele medirse en segundos (s). Considere la posicin P ocupada por la partcula en el tiempo t y la coordenada correspondiente x (figura 11.2). Considere tambin la posicin P ocupada por la partcula en un tiempo posterior t t; la coordenada de la posicin P puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeo desplazamiento x, el cual ser positivo o negativo segn si P est a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se define como el cociente entre el desplazamiento x y el intervalo de tiempo t: Velocidad promedio x t Cf. Seccin 1.3. Figura 11.1 Figura 11.2 O O P x x a) b) 1 m P x x 1 m O P x x(t) (t + t) P' x Fotografa 11.1 El movimiento de este vehculo solar se describe mediante su posicin, velocidad y aceleracin. bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 603 29. 604 Cinemtica de partculas Si se usan unidades del SI, x se expresa en metros y t en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso comn en Estados Unidos, x se expresa en pies y t en segundos; la velocidad promedio se expresar entonces en pies por segundo (ft/s). La velocidad instantnea v de la partcula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos t y desplazamientos x cada vez ms cortos: Velocidad instantnea v lm ty0 La velocidad instantnea se expresa tambin en m/s o ft/s. Observando que el lmite del cociente es igual, por definicin, a la derivada de x con respecto a t, se escribe v (11.1) La velocidad v se representa mediante un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la partcula se mueve en la direccin positiva (figura 11.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la partcula se mueve en direccin negativa (figura 11.3b). La magnitud de v se conoce como la rapidez de la partcula. Considere la velocidad v de la partcula en el tiempo t y tambin su velocidad v v en un tiempo posterior t t (figura 11.4). La aceleracin promedio de la partcula sobre el intervalo de tiempo t se refiere como el cociente de v y t: Aceleracin promedio Si se utilizan las unidades del SI, v se expresa en m/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresar entonces en m/s2 . Si se recurre a las unidades de uso comn en Estados Unidos, v se expresa en ft/s y t en segundos; la aceleracin promedio se expresa entonces en ft/s2 . La aceleracin instantnea a de la partcula en el instante t se obtiene de la aceleracin promedio al escoger valores de t y v cada vez ms pequeos: Aceleracin instantnea a lm ty0 v t v t dx dt x t Figura 11.3 Figura 11.4 Como se ver en la seccin 11.9, la velocidad es en realidad una cantidad vectorial. Sin embargo, puesto que aqu se considera el movimiento rectilneo de una partcula, en el cual la velocidad de la misma tiene una direccin conocida y fija, slo es necesario especificar el sentido y la magnitud de la velocidad; esto puede llevarse a cabo de manera con- veniente utilizando una cantidad escalar con un signo ms o menos. Lo mismo se cumple para la aceleracin de una partcula en movimiento rectilneo. a) b) P P x x v > 0 v < 0 (t) (t + t) v + vP'P x v bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 604 30. 60511.2. Posicin, velocidad y aceleracin La aceleracin instantnea se expresa tambin en m/s2 o ft/s2 . El lmite del cociente, el cual es por definicin la derivada de v con respecto a t, mide la razn de cambio de la velocidad. Se escribe a (11.2) o, con la sustitucin de v de (11.1), a (11.3) La aceleracin a se representa mediante un nmero algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el nmero algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la partcula se est moviendo ms rpido en la direccin positiva (figura 11.5a) o que se mueve ms lentamente en la direccin negativa (figura 11.5b); en ambos casos, v es positiva. Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya sea que la partcula se est moviendo ms lentamente en la direccin positiva (figura 11.5c) o que se est moviendo ms rpido en la direccin negativa (figura 11.5d). d2 x dt2 dv dt Figura 11.5 El trmino desaceleracin se utiliza en algunas ocasiones para re- ferirse a a cuando la rapidez de la partcula (esto es, la magnitud de v) disminuye; la partcula se mueve entonces con mayor lentitud. Por ejemplo, la partcula de la figura 11.5 se desacelera en las partes b y c; en verdad se acelera (es decir, se mueve ms rpido) en las partes a y d. Es posible obtener otra expresin para la aceleracin eliminando la diferencial dt en las ecuaciones (11.1) y (11.2). Al resolver (11.1) para dt, se obtiene dt dxv; al sustituir en (11.2), se escribe a v (11.4) dv dx Vase la nota al pie, pgina 604. v P x P' v' a > 0 a) x v PP' v' a > 0 b) x v P P' v' a < 0 c) x v PP' v' a < 0 d) bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 605 31. 606 Cinemtica de partculas Ejemplo. Considere la partcula que se mueve en una lnea recta y suponga que su posicin est definida por la ecuacin x 6t2 t3 donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x con respecto a t v 12t 3t2 La aceleracin a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t: a 12 6t La coordenada de la posicin, la velocidad y la aceleracin se han graficado contra t en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se cono- cen como curvas de movimiento. Recurdese, sin embargo, que la partcula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la partcula se mueve en una lnea recta. Puesto que la derivada de una funcin mide la pendiente de la curva correspondiente, la pendiente de la curva x-t en cualquier tiempo dado es igual al valor de v en ese tiempo y la pendiente de la curva v-t es igual al valor de a. Puesto que a 0 en t 2 s, la pendiente de la curva v-t debe ser cero en t 2 s; la velocidad alcanza un mximo en este instante. Adems, puesto que v 0 en t 0 y t 4 s la tangente a la curva x-t debe ser horizontal para ambos de estos valores de t. Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 11.6 muestra que el movimiento de la partcula desde t 0 hasta t puede dividirse en cuatro etapas: 1. La partcula inicia desde el origen, x 0, sin velocidad pero con una aceleracin positiva. Bajo esta aceleracin, gana una velocidad positiva y se mueve en la direccin positiva. De t 0 a t 2 s, x, v y a son todas positivas. 2. En t 2 s, la aceleracin es cero; la velocidad ha alcanzado su valor mximo. De t 2 s a t 4 s, v es positiva, pero a es negativa. La partcula an se mueve en direccin positiva, pero cada vez ms lentamente; la partcula se est desacelerando. 3. En t 4 s, la velocidad es cero; la coordenada de la posicin x ha alcanzado su valor mximo. A partir de ah, tanto v como a son negativas; la partcula se est acelerando y se mueve en la direccin negativa con rapidez creciente. 4. En t 6 s, la partcula pasa por el origen; su coordenada x es en ese caso cero, en tanto que la distancia total recorrida desde el principio del movimiento es de 64 m. Para valores mayores de t que 6 s, x, v y a sern todas negativas. La partcula con- tina movindose en la direccin negativa, alejndose de O, cada vez ms rpido. dv dt dx dt Figura 11.6 x(m) v(m/s) t(s) t(s) t(s) 32 24 16 8 0 12 2 2 4 4 6 6 0 12 a(m/s2) 12 0 24 12 24 36 2 4 6 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 606 32. 60711.3. Determinacin del movimiento de una partcula 11.3. DETERMINACIN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA En la seccin anterior se afirma que el movimiento de una partcula es conocido si se sabe la posicin de la partcula para todo valor del tiempo t. En la prctica, sin embargo, un movimiento rara vez se define por medio de una relacin entre x y t. Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarn por el tipo de aceleracin que posee la partcula. Por ejemplo, un cuerpo en cada libre tendr una aceleracin constante, dirigida hacia abajo e igual a 9.81 m/s2 , o 32.2 ft/s2 ; una masa unida a un resorte que se ha estirado tendr una aceleracin proporcional a la elongacin instantnea del resorte, medida desde la posicin de equilibrio, etc. En general, la aceleracin de la partcula puede expresarse como una funcin de una o ms de las variables x, v y t. Para determinar la coordenada de la posicin x en trminos de t, ser necesario efectuar dos integracio- nes sucesivas. Se considerarn tres clases comunes de movimiento: 1. a f(t). La aceleracin es una funcin dada de t. Al resolver (11.2) para dv y sustituir f(t) por a, se escribe dv a dt dv f(t) dt Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuacin dv f(t) dt que define v en trminos de t. Sin embargo, debe notarse que una constante arbitraria se introducir como resultado de la integracin. Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que corresponden a la aceleracin dada a f(t). Para definir en forma nica el movimiento de la partcula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, esto es, el valor de v0 de la velocidad y el valor x0 de la coordenada de la posicin en t 0. Al sustituir las integrales indefinidas por integrales definidas con los lmites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales t 0 y v v0 y los lmites superiores correspondientes a t t y v v, se escribe v v0 dv t 0 f(t) dt v v0 t 0 f(t) dt lo cual produce v en trminos de t. La ecuacin (11.1) puede resolverse ahora para dx, dx v dt y la expresin que se acaba de obtener sea sustituida por v. Ambos miembros se integran despus, el miembro izquierdo con respecto a x desde x x0 hasta x x, y el miembro de- bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 607 33. 608 Cinemtica de partculas recho respecto a t desde t 0 hasta t t. La coordenada de la posicin x se obtiene de ese modo en trminos de t; el movimiento est completamente determinado. Dos casos particulares importantes se estudiarn con gran detalle en las secciones 11.4 y 11.5: el caso en el que a 0, que corresponde a un movimiento uniforme, y en el que a constante, que corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. 2. a f(x). La aceleracin se da en funcin de x. Al reordenar la ecuacin (11.4) y sustituir f(x) para a, se escribe v dv a dx v dv f(x) dx Puesto que cada miembro contiene slo una variable, se puede integrar la ecuacin. Denotando de nuevo mediante v0 y x0, respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la coordenada de la posicin, se obtiene v v0 v dv x x0 f(x) dx 1 2 v2 1 2 v2 0 x x0 f(x) dx la cual produce v en trminos de x. A continuacin se resuel- ve (11.1) para dt, dt y se sustituye por v la expresin que acaba de obtenerse. Ambos miembros pueden integrarse entonces para obtener la relacin deseada entre x y t. Sin embargo, en muchos casos esta ltima integracin no puede llevarse a cabo de manera analtica y debe recurrirse a un mtodo de integracin numrico. 3. a f(v). La aceleracin es una funcin dada de v. Es posible sustituir f(v) por a en (11.2) u (11.4) para obtener cualquiera de las relaciones siguientes: f(v) d d v t f(v) v d d v x dt f d (v v ) dx v f( d v) v La integracin de la primera ecuacin producir una relacin entre v y t; la integracin de la segunda ecuacin ori- ginar una relacin entre v y x. Cualquiera de estas relaciones puede utilizarse junto con la ecuacin (11.1) para obtener la relacin entre x y t que caracteriza el movimiento de la partcula. dx v bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 608 34. PROBLEMA RESUELTO 11.1 La posicin de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta est definida por la relacin x t3 6t2 15t 40, donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad ser cero, b) la posicin y la distancia recorrida por la partcula en ese tiempo, c) la aceleracin de la partcula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partcula desde t 4 s hasta t 6 s. SOLUCIN Las ecuaciones de movimiento son x t3 6t2 15t 40 (1) v d d x t 3t2 12t 15 (2) a d d v t 6t 12 (3) a) Tiempo en el cual v 0. Se fija v 0 en (2): 3t2 12t 15 0 t 1 s y t 5 s Slo la raz t 5 s corresponde a un tiempo despus de que el movimiento se ha iniciado: para t 5 s, v 0, la partcula se mueve en direccin negativa; para t 5 s, v 0, la partcula se mueve en direccin positiva. b) Posicin y distancia recorrida cuando v 0. Al sustituir t 5 s en (1), se tiene x5 (5)3 6(5)2 15(5) 40 x5 60 ft La posicin inicial en t 0 fue x0 40 ft. Puesto que v 0 durante el intervalo t 0 a t 5 s se tiene Distancia recorrida x5 x0 60 ft 40 ft 100 ft Distancia recorrida 100 ft en la direccin negativa c) Aceleracin cuando v 0. Se sustituye t 5 s en (3): a5 6(5) 12 a5 18 ft/s2 d) Distancia recorrida desde t 4 s hasta t 6 s. La partcula se mueve en la direccin negativa desde t 4 s hasta t 5 s y en direccin positiva desde t 5 s hasta t 6 s; por lo tanto, la distancia recorrida durante cada uno de estos intervalos de tiempo se calcular por separado. De t 4 s a t 5 s: x5 60 ft x4 (4)3 6(4)2 15(4) 40 52 ft Distancia recorrida x5 x4 60 ft (52 ft) 8 ft 8 ft en la direccin negativa De t 5 s a t 6 s: x5 60 ft x6 (6)3 6(6)2 15(6) 40 50 ft Distancia recorrida x6 x5 50 ft (60 ft) 10 ft 10 ft en la direccin positiva La distancia total recorrida desde t 4 s hasta t 6 s es de 8 ft 10 ft 18 ft 609 x(ft) v(ft/s) t(s) t(s) t(s) 18 0 0 0 a(ft/s2) 40 60 +5 +5 +2 +5 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 609 35. PROBLEMA RESUELTO 11.2 Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleracin de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determine a) la velocidad v y la elevacin y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo t, b) la elevacin ms alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de t, c) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la velocidad correspondiente. Dibuje las curvas v-t y y-t. SOLUCIN a) Velocidad y elevacin. El eje y que mide la coordenada de la posicin (o elevacin) se elige con su origen O sobre el suelo y su sentido positivo hacia arriba. El valor de la aceleracin y los valores iniciales de v y y son como se indica. Al sustituir a en a dvdt y observar que en t 0, v0 10 m/s, se tiene d d v t a 9.81 m/s2 v v0 10 dv t 0 9.81 dt [v]v 10 [9.81t]t 0 v 10 9.81t v 10 9.81t (1) Al sustituir v en v dydt y observar que en t 0, y0 20 m, se tiene d d y t v 10 9.81t y y0 20 dy t 0 (10 9.81t) dt [y] y 20 [10t 4.905t2 ]t 0 y 20 10t 4.905t2 y 20 10t 4.905t2 (2) b) Mxima elevacin. Cuando la pelota alcanza su mxima elevacin, se tiene v 0. Al sustituir en (1), se obtiene 10 9.81t 0 t 1.019 s Al sustituir t 1.019 s en (2), se tiene y 20 10(1.019) 4.905(1.019)2 y 25.1 m c) La pelota golpea el suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, se tiene y 0. Al sustituir en (2), se obtiene 20 10t 4.905t2 0 t 1.243 s y t 3.28 s Slo la raz t 3.28 s corresponde a un tiempo despus de que el movimiento se ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene v 10 9.81(3.28) 22.2 m/s v 22.2 m/sw 610 y O a = 9.81 m/s2 v0 = +10 m/s y0 = +20 m v(m/s) t(s) y(m) 3.28 3.28 22.2 25.1 1.019 1.019 Curva velocidad-tiempo Curva posicin-tiempo 10 20 0 0 t(s) Pendiente = a = 9.81 m /s 2 Pendiente= v0= 10m /s Pendiente=v=22.2m/s bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 610 36. PROBLEMA RESUELTO 11.3 El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso en ciertos tipos de caones consiste esencialmente en un mbolo unido a un can que se mueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el can retrocede con una velocidad inicial v0, el mbolo se mueve y el aceite es forzado a travs de los orificios en el mbolo, provocando que este ltimo y el can se desaceleren a una razn proporcional a su velocidad; esto es, a kv. Exprese a) v en trminos de t, b) x en trminos de t, c) v en trminos de x. Dibuje las curvas del movimiento correspondiente. SOLUCIN a) v trminos de t. Al sustituir kv por a en la expresin fundamental que define a la aceleracin, a dvdt, se escribe kv d d v t d v v k dt v v0 d v v k t 0 dt ln v v 0 kt v v0ekt b) x en trminos de t. Al sustituir la expresin que acaba de obtenerse para v en v dxdt, se escribe v0ekt d d x t x 0 dx v0 t 0 ekt dt x v k 0 [ekt ]t 0 v k 0 (ekt 1) x v k 0 (1 ekt ) c) v en trminos de x. Mediante la sustitucin kv para a en a v dv/dx, se escribe kv v d d v x dv k dx v v0 dv k x 0 dx v v0 kx v v0 kx Comprobacin. La parte c) podra haberse resuelto al eliminar t de las respuestas obtenidas para las partes a) y b). Este mtodo alternativo puede utilizarse como una comprobacin. De la parte a) se obtiene ekt vv0; al sustituir en la respuesta de la parte b), se obtiene x (1 ekt ) 1 v v0 kx (comprobacin) v v0 v0 k v0 k 611 mbolo Aceite v O t x O t v0 v0 k v O x v0 v0 k bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 611 37. R E S O L U C I N D E P R O B L E M A S E N F O R M A I N D E P E N D I E N T E En los problemas de esta leccin se pide determinar la posicin, la velocidad o la aceleracin de una partcula en movimiento rectilneo. En cada problema, es importante identificar tanto la variable independiente (por lo comn t o x) y qu es lo que se pide (por ejemplo, la necesidad de expresar v como una funcin de x). Se reco- mienda empezar cada problema escribiendo tanto la informacin dada como un enun- ciado simple de lo que se va a determinar. 1. Obtencin de v(t) y a(t) para una x(t) dada. Como se explic en la seccin 11.2, la primera y segunda derivadas de x con respecto a t son respectivamente igua- les a la velocidad y a la aceleracin de la partcula [ecuaciones (11.1) y (11.2)]. Si la velocidad y la aceleracin tienen signos opuestos, la partcula puede llegar al reposo y despus moverse en la direccin opuesta [problema resuelto 11.1]. As, cuando se calcula la distancia total recorrida por una partcula, se debe determinar primero si la partcula lleg al reposo durante el intervalo de tiempo especificado. Al construir un diagrama similar al del problema resuelto 11.1 que muestra la posicin y la velocidad de la partcula y cada instante crtico (v vmx, v 0, etc.), se contar con una ayuda para visualizar el movimiento. 2. Obtencin de v(t) y x(t) para una a(t) dada. La solucin de problemas de este tipo se analiz en la primera parte de la seccin 11.3. Se recurre a las condiciones iniciales, t 0 y v v0, como los lmites inferiores de las integrales en t y v, pero es posible utilizar cualquier otro estado conocido (por ejemplo, t t1, v v1). Adems, si la funcin a(t) contiene una constante desconocida (por ejemplo, la constante k si a kt), primero se debe determinar la constante al sustituir un conjunto de valores conocidos de t y a en la ecuacin que define a a(t). 3. Obtencin de v(x) y x(t) para una a(x) dada. ste es el segundo caso considerado en la seccin 11.3. Los lmites inferiores de integracin pueden ser los de cualquier estado conocido (por ejemplo, x x1, v v1). Adems, puesto que v vmx cuando a 0, las posiciones donde ocurren los valores mximos de la velocidad se determinan con facilidad al escribir a(x) 0 y al resolver para x. 4. Obtencin de v(x), v(t) y x(t) para una a(v) dada. ste es el ltimo caso que se abord en la seccin 11.3; las tcnicas de solucin apropiadas para problemas de este tipo se ilustran en el problema resuelto 11.3. Todos los comentarios generales correspondientes a los casos anteriores tambin se aplican en esta situacin. El problema resuelto 11.3 proporciona un resumen de cmo y cundo utilizar las ecuaciones v dxdt, a dvdt y a v dvdx. 612 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 612 38. 613 Problemas 11.1 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x 1.5t4 30t2 5t 10, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de la partcula cuando t = 4 s. 11.2 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x = 12t3 18t2 2t 5, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la posicin y la velocidad cuando la aceleracin de la partcula es igual a cero. 11.3 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x = 53 t3 52 t2 30t 8x, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine el tiempo, la posicin y la aceleracin cuando v 0. 11.4 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x 6t2 8 40 cos t, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Determine la posicin, la velocidad y la aceleracin de la partcula cuando t 6 s. 11.5 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x 6t4 2t3 12t2 3t 3, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine el tiempo, la posicin y la velocidad cuando a 0. 11.6 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x 2t3 15t2 24t 4, donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la posicin y la distancia total viajada hasta ese momento cuando la aceleracin es cero. 11.7 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x t3 6t2 36t 40, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la velocidad, la aceleracin y la distancia total viajada cuando x 0. 11.8 El movimiento de una partcula est definido por la relacin x t3 9t2 24t 8, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Determine a) cundo la velocidad es cero, b) la posicin y la distancia total recorrida cuando la aceleracin es cero. 11.9 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin a 8 m/s2 . Si se sabe que x 20 m cuando t 4 s y x 4 m cuando v 16 m/s, determine a) el tiempo cuando la velocidad es cero, b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando t 11 s. Las respuestas a todos los problemas cuyo nmero est en tipo recto (como en 11.1) se presentan al final del libro. No se dan las respuestas a los problemas con nmeros en itlicas (como en 11.7). bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 613 39. 614 Cinemtica de partculas 11.10 La aceleracin de una partcula es directamente proporcional al cuadrado del tiempo t. Cuando t 0, la partcula est en x 24 m. Si se sabe que en t 6 s, x 96 m y v 18 m/s, exprese x y v en trminos de t. 11.11 La aceleracin de una partcula es directamente proporcional al tiempo t. Cuando t 0, la velocidad de la partcula es v 16 in./s. Si se sabe que v 15 in./s, y que x 20 in. cuando t 1 s, determine la velocidad, la posicin y la distancia total recorrida cuando t 7 s. 11.12 La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a kt2 . a) Si se sabe que v 32 ft/s cuando t 0 y que v 32 ft/s cuando t 4 s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de movimiento, sabiendo tambin que x 0 cuando t 4 s. 11.13 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin a A 6t2 , donde A es constante. En t 0, la partcula inicia en x 8 m con v 0. Si se sabe que t 1 s y v 30 m/s, determine a) los tiempos en los que la velocidad es cero, b) la distancia total recorrida por la partcula cuando t 5 s. 11.14 Se sabe que desde t 2 s hasta t 10 s, la aceleracin de una partcula es inversamente proporcional al cubo del tiempo t. Cuando t 2 s, v 15 m/s y cuando t 10 s, v 0.36 m/s. Si se sabe que la partcula est dos veces ms lejos del origen cuando t 2 s que cuando t 10 s, determine a) la posicin de la partcula cuando t 2 s y cuando t 10 s, b) la distancia total recorrida por la partcula desde t 2 s hasta t 10 s. 11.15 La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a k/x. Se ha determinado experimentalmente que v 15 ft/s cuando x 0.6 ft y que v 9 ft/s cuando x 1.2 ft. Determine a) la velocidad de la partcula cuando x 1.5 ft, b) la posicin de la partcula en la que su velocidad es cero. 11.16 Una partcula que inicia desde el reposo en x 1 ft se acelera de forma que la magnitud de su velocidad se duplica entre x 2 ft y x 8 ft. Si se sabe que la aceleracin de la partcula est definida por la relacin a k[x (A/x)], determine los valores de las constantes A y k si la partcula tiene una velocidad de 29 ft/s cuando x 16 ft. 11.17 Una partcula oscila entre los puntos x 40 mm y x 160 mm con una aceleracin a k(100 x), donde a y x se expresan en mm/s2 y mm, respectivamente, y k es una constante. La velocidad de la partcula es de 18 mm/s cuando x 100 mm y es cero cuando x 40 mm y cuando x 160 mm. Determine a) el valor de k, b) la velocidad cuando x 120 mm. 11.18 Una partcula parte desde el reposo en el origen y recibe una aceleracin a k(x 4)2 , donde a y x se expresan en m/s2 y m, respectivamente, y k es una constante. Si se sabe que la velocidad de la partcula es de 4 m/s cuando x 8 m, determine a) el valor de k, b) la posicin de la partcula cuando v 4.5 m/s, c) la velocidad mxima de la partcula. 11.19 Una pieza de equipo electrnico que est rodeada por material de empaque se deja caer de manera que golpea el suelo con una velocidad de 4 m/s. Despus del impacto, el equipo experimenta una aceleracin de a kx, donde k es una constante y x es la compresin del material de empaque. Si dicho material experimenta una compresin mxima de 20 mm, determine la aceleracin mxima del equipo.Figura P11.19 v bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 614 40. 11.20 Con base en observaciones experimentales, la aceleracin de una partcula est definida por la relacin a (0.1 sen x/b), donde a y x se expresan en m/s2 y metros, respectivamente. Si se sabe que b 0.8 m y que v 1 m/s cuando x 0, determine a) la velocidad de la partcula cuando x 1 m, b) la posicin de la partcula en la que su velocidad es mxima, c) la velocidad mxima. 11.21 A partir de x 0, sin velocidad inicial, la aceleracin de una partcula est definida por la relacin a 0.8 v2 49, donde a y v se expresan en m/s2 y m/s, respectivamente. Determine a) la posicin de la partcula cuando v 24 m/s, b) la rapidez de la partcula cuando x 40 m. 11.22 La aceleracin de una partcula est definida por la relacin a kv, donde k es una constante. Si se sabe que en t 0, x 0 y v 81 m/s y que v 36 m/s cuando x 18 m, determine a) la velocidad de la partcula cuando x 20 m, b) el tiempo requerido para que la partcula quede en reposo. 11.23 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin a 0.8v, donde a se expresa en in./s2 y v en in./s. Si se sabe que cuando t 0 la velocidad es de 40 in./s, determine a) la distancia que recorrer la partcula antes de quedar en reposo, b) el tiempo requerido para que la partcula quede en reposo, c) el tiempo requerido para que la velocidad de la partcula se reduzca a 50 por ciento de su valor inicial. 11.24 Una bola de boliche se deja caer desde una lancha, de manera que golpea la superficie del lago con una rapidez de 25 ft/s. Si se supone que la bola experimenta una aceleracin hacia abajo a 10 0.9v2 cuando est en el agua, determine la velocidad de la bola cuando golpea el fondo del lago. 11.25 La aceleracin de una partcula se define mediante la relacin a 0.4(1 kv), donde k es una constante. Si se sabe que en t 0 la partcula parte desde el reposo con x 4 m, y que cuando t 15 s, v 4 m/s, determine a) la constante k, b) la posicin de la partcula cuando v 6 m/s, c) la velocidad mxima de la partcula. 11.26 Una partcula se proyecta hacia la derecha desde la posicin x 0 con una velocidad inicial de 9 m/s. Si la aceleracin de la partcula se define mediante la relacin a 0.6v3/2 , donde a y v se expresan en m/s2 y m/s, respectivamente, determine a) la distancia que habr recorrido la partcula cuando su velocidad sea de 4 m/s, b) el tiempo cuando v 1 m/s, c) el tiempo requerido para que la partcula recorra 6 m. 11.27 Con base en observaciones, la velocidad de un atleta puede aproximarse por medio de la relacin v 7.5(1 0.04x)0.3 , donde v y x se expresan en mi/h y millas, respectivamente. Si se sabe que x 0 cuando t 0, determine a) la distancia que ha recorrido el atleta cuando t 1 h, b) la aceleracin del atleta en ft/s2 cuando t 0, c) el tiempo requerido para que el atleta recorra 6 mi. 11.28 Datos experimentales indican que en una regin de la corriente de aire que sale por una rejilla de ventilacin, la velocidad del aire emitido est definido por v 0.18v0/x, donde v y x se expresan en m/s y metros, respectivamente, y v0 es la velocidad de descarga inicial del aire. Para v0 3.6 m/s, determine a) la aceleracin del aire cuando x 2 m, b) el tiempo requerido para que el aire fluya de x 1 a x 3 m. 615Problemas 30 ft Figura P11.24 v Figura P11.27 v x Figura P11.28 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 615 41. 616 Cinemtica de partculas 11.29 La aceleracin debida a la gravedad a una altura y sobre la superficie de la Tierra puede expresarse como a donde a y y se expresan en ft/s2 y pies, respectivamente. Utilice esta expresin para calcular la altura que alcanza un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre si su velocidad inicial es a) 1 800 ft/s, b) 3 000 ft/s, c) 36 700 ft/s. 11.30 La aceleracin debida a la gravedad de una partcula que cae hacia la Tierra es a gR2 /r2 , donde r es la distancia desde el centro de la Tierra a la partcula, R es el radio terrestre y g es la aceleracin de la gravedad en la superficie de la Tierra. Si R 3 960 mi, calcule la velocidad de escape, esto es, la velocidad mnima con la cual una partcula debe proyec- tarse hacia arriba desde la superficie terrestre para no regresar a la Tierra. (Sugerencia: v 0 para r .) 11.31 La velocidad de una partcula es v v0[1 sen(t/T)]. Si se sabe que la partcula parte desde el origen con una velocidad inicial v0, determine a) su posicin y su aceleracin en t 3T, b) su velocidad promedio durante el intervalo de t 0 a t T. 11.32 La velocidad de una corredera se define mediante la relacin v vsen(wnt ). Si se denota la velocidad y la posicin de la corredera en t 0 con v0 y x0, respectivamente, y se sabe que el desplazamiento m- ximo de la corredera es 2x0, demuestre que a) v (v2 0 x2 02 n)2x0n, b) el valor mximo de la velocidad ocurre cuando x x0[3 (v0x0n)2 ]2. 11.4. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME El movimiento rectilneo uniforme es un tipo de movimiento en lnea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prcticas. En este movimiento, la aceleracin a de una partcula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante, y la ecuacin (11.1) se transforma en v constante La coordenada de posicin x se obtiene cuando se integra esta ecuacin. Al denotar mediante x0 el valor inicial de x, se escribe x x0 dx v t 0 dt x x0 vt x x0 vt (11.5) Esta ecuacin puede utilizarse slo si la velocidad de la partcula es constante. dx dt 32.2 [1 (y20.9 106 )]2 Figura P11.29 Figura P11.30 P y R P r bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 616 42. 11.5. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO El movimiento rectilneo uniformemente acelerado es otro tipo comn de movimiento. En ste, la aceleracin a de la partcula es constante, y la ecuacin (11.2) se convierte en d d v t a constante La velocidad v de la partcula se obtiene al integrar esta ecuacin: v v0 dv a t 0 dt v v0 at v v0 at (11.6) donde v0 es la velocidad inicial. Al sustituir por v en (11.1), se escribe d d x t v0 at Al denotar mediante x0 el valor inicial de x e integrar, se tiene x x0 dx t 0 (v0 at) dt x x0 v0t 1 2 at2 x x0 v0t 1 2 at2 (11.7) Tambin se puede recurrir a la ecuacin (11.4) y escribir v d d v x a constante v dv a dx Al integrar ambos lados, se obtiene v v0 v dv a x x0 dx 1 2 (v2 v2 0) a(x x0) v2 v2 0 2a(x x0) (11.8) Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones tiles entre la coordenada de posicin, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores apro- piados de a, v0 y x0. El origen O del eje x debe definirse primero y es- cogerse una direccin positiva a lo largo del eje; esta direccin se usar para determinar los signos de a, v0 y x0. La ecuacin (11.6) relaciona v y t y debe utilizarse cuando se desee que el valor de v corresponda a un valor determinado de t, o de manera inversa. La ecuacin (11.7) 61711.5. Movimiento rectilneo uniformemente acelerado bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 617 43. 618 Cinemtica de partculas relaciona a x y t; la ecuacin (11.8) relaciona a v y x. Una aplicacin importante del movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de un cuerpo en cada libre. La aceleracin de un cuerpo en cada libre (usualmente denotada mediante g) es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2 . Es importante recordar que las tres ecuaciones anteriores pueden utilizarse slo cuando se sabe que la aceleracin de la partcula es constante. Si la aceleracin de la partcula es variable, su movimiento se debe determinar a partir de las ecuaciones fundamentales (11.1) a (11.4) segn los mtodos sealados en la seccin 11.3. 11.6. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTCULAS Cuando varias partculas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma lnea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partcula. Siempre que sea factible, el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial para todas las partculas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismo origen y en la misma direccin. En otras palabras, deben usarse un solo reloj y una sola cinta mtrica. Movimiento relativo de dos partculas. Considere dos partculas A y B que se mueven a lo largo de la misma lnea recta (figura 11.7). Si las coordenadas de posicin xA y xB se miden desde el mismo origen, la diferencia xB xA define la coordenada de posicin relativa de B con respecto a A y se denota por medio de xBA. Se escribe xBA xB xA o xB xA xBA (11.9) De manera independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen, un signo positivo para xBA significa que B est a la derecha de A, y un signo negativo indica que B se encuentra a la izquierda de A. La razn de cambio xBA se conoce como la velocidad relativa de B con respecto a A y se denota por medio de vBA. Al diferenciar (11.9), se escribe vBA vB vA o vB vA vBA (11.10) Un signo positivo de vBA significa que a partir de A se observa que B se mueve en direccin positiva; un signo negativo indica, segn se observa, que sta se mueve en direccin negativa. La razn de cambio de vBA se conoce como la aceleracin relativa de B con respecto a A y se denota mediante aBA. Al diferenciar (11.10), se obtiene aBA aB aA o aB aA aBA (11.11) Movimientos dependientes. Algunas veces, la posicin de una partcula depender de la posicin de otra o de varias partculas. En ese Advierta que el producto de los subndices A y BA que se usa en el miembro izquierdo de las ecuaciones (11.9), (11.10) y (11.11) es igual al subndice B utilizado en el miembro del lado izquierdo. x xA AO B xB/A xB Figura 11.7 Fotografa 11.2 En esta gra de embarcadero se utilizan mltiples cables y poleas. bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 618 44. caso se dice que los movimientos son dependientes. Por ejemplo, la posicin del bloque B en la figura 11.8 depende de la posicin del bloque A. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud constante, y puesto que las longitudes de las porciones de cuerda CD y EF alrededor de las poleas permanecen constantes, se concluye que la suma de las longitudes de los segmentos AC, DE y FG es constante. Al observar que la longitud del segmento AC difiere de xA slo por una constante y que, de manera similar, las longitudes de los segmentos DE y FG difieren de xB nicamente por una constante, se escribe xA 2xB constante la cual recibe el nombre de ecuacin de ligadura. Puesto que slo una de las dos coordenadas xA y xB pueden elegir- se de manera arbitraria, se afirma que el sistema que se presenta en la figura 11.8 tiene un grado de libertad. De la relacin entre las coordenadas de posicin xA y xB se deduce que xA presenta un incremento xA, esto es, si el bloque A desciende una cantidad xA, la coordenada xB recibir un incremento xB 1 2 xA. En otras palabras, el bloque B ascender la mitad de la misma cantidad; lo anterior puede verificar- se con facilidad de modo directo de la figura 11.8. En el caso de los tres bloques de la figura 11.9, se puede observar de nuevo que la longitud de la cuerda que pasa por las poleas es constante y, en consecuencia, las coordenadas de posicin de los tres bloques deben satisfacer la siguiente relacin: 2xA 2xB xC constante Puesto que es posible elegir de manera arbitraria dos de las coordenadas, se afirma que el sistema que se muestra en la figura 11.9 tiene dos grados de libertad. Cuando la relacin que existe entre las coordenadas de posicin de varias partculas es lineal, se cumple una relacin similar entre las velocidades y entre las aceleraciones de las partculas. En el caso de los bloques de la figura 11.9, por ejemplo, se diferencia dos veces la ecuacin obtenida y se escribe 2 d d x t A 2 d d x t B d d x t C 0 o 2vA 2vB vC 0 2 d d v t A 2 d d v t B d d v t C 0 o 2aA 2aB aC 0 A B C xB xC xA xA xB A B C D E F G Figura 11.8 Figura 11.9 61911.6. Movimiento de varias partculas bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 619 45. PROBLEMA RESUELTO 11.4 Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 metros en el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismo instante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m, movindose hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. Determine a) cundo y dnde golpea al elevador, b) la velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador cuando sta lo golpea. SOLUCIN Movimiento de la pelota. Puesto que la pelota tiene una aceleracin constante, su movimiento es uniformemente acelerado. Al colocar el origen de O del eje y a nivel del suelo, es decir su direccin positiva hacia arriba, encontramos que la posicin inicial es y0 12 m, la velocidad inicial corresponde a v0 18 m/s, y la aceleracin equivale a a 9.81 m/s2 . Sus- tituyendo estos valores en las ecuaciones para movimiento uniformemente acelerado, se escribe vB v0 at vB 18 9.81t (1) yB y0 v0t 1 2 at2 yB 12 18t 4.905t2 (2) Movimiento del elevador. Puesto que el elevador tiene una velocidad constante, su movimiento es uniforme. Al ubicar el origen O en el nivel del suelo y elegir la direccin positiva hacia arriba, se observa que y0 5 m y se escribe vE 2 m/s (3) yE y0 vE t yE 5 2t (4) La pelota golpea el elevador. Se usaron el mismo tiempo t y el mismo origen O al escribir las ecuaciones de movimiento tanto de la pelota como del elevador. Se observa en la figura que cuando la pelota golpea el elevador, yE yB (5) Al sustituir para yE y yB en (2) y (4) en (5), se tiene 5 2t 12 18t 4.905t2 t 0.39 s y t 3.65 s Slo la raz t 3.65 s corresponde a un tiempo despus de que se ha iniciado el movimiento. Al sustituir este valor en (4), se obtiene yE 5 2(3.65) 12.30 m Elevacin desde el suelo 12.30 m La velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador es vBE vB vE (18 9.81t) 2 16 9.81t Cuando la pelota golpea al elevador en el tiempo t 3.65 s, se tiene vBE 16 9.81(3.65) vBE 19.81 m/s El signo negativo significa que desde el elevador se observa que la pelota se mueve en el sentido negativo (hacia abajo). 620 t = t t = 0 yB a = 9.81 m/s2 v0 = 18 m/s vE = 2 m/s y0 = 12 m O t = t yE y0 = 5 m O yB yE O t = 0 bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Pgina 620 46. PROBLEMA RESUELTO 11.5 El collarn A y el bloque B estn conectados por medio de un cable que pasa por tres poleas C, D y E, como se indica. Las poleas C y E se mantienen fijas, en tanto que B est unida a un collarn que se jala hacia abajo con una velocidad constante de 3 in./s. En t 0, el collarn A empieza a moverse hacia abajo desde la posicin K con una aceleracin constante y sin velocidad inicial. Si se sabe que la velocidad del collarn A es 12 in./s cuando ste pasa por el punto L, determine el cambio de la elevacin, la velocidad y la aceleracin del bloque B cuando el collarn A pasa por L. SOLUCIN Movimiento del collarn A. Se sita el origen O en la superficie horizontal superior y se elige la direccin positiva hacia abajo. Se observa que cuando t 0, el collarn A est en la posicin K y (vA)0 0. Puesto que vA 12 in./s y xA (xA)0 8 in., cuando el collarn pasa por L, se escribe v2 A (vA)2 0 2aA[xA (xA)0] (12)2 0 2aA(8) aA 9 in./s2 El tiempo en el cual el collarn A alcance el punto L se obtiene al escribir vA (vA)0 aAt 12 0 9t t 1.333 s Movimiento de la polea D. Recordando que la direccin positiva es hacia abajo, se escribe aD 0 vD 3 in./s xD (xD)0 vDt (xD)0 3t Cuando el collarn A llega a L, en t 1.333 s, se tiene xD (xD)0 3(1.333) (xD)0 4 En consecuencia, xD (xD)0 4 in. Movimiento del bloque B. Hay que observar que la longitud total del cable ACDEB difiere de la cantidad (xA 2xD xB) slo por una constante. Puesto que la longitud del cable es constante durante el movimiento, esta cantidad tambin debe permanecer constante. De tal modo, conside- rando los tiempos t 0 y t 1.333 s, se escribe xA 2xD xB (xA)0 2(xD)0 (xB)0 (1) [xA (xA)0] 2[xD (xD)0] [xB (xB)0] 0 (2) Sin embargo, se sabe que xA (xA)0 8 in. y xD (xD)0 4 in.; al sustituir estos valores en (2), se obtiene 8 2(4) [xB (xB)0] 0 xB (xB)0 16 in. De tal modo: El cambio en la elevacin de B 16 in.x Al diferenciar (1) dos veces, se obtienen ecuaciones que relacionan las velocidades y las aceleraciones de A, B y D. Al sustituir las velocidades y aceleraciones de A y D en t 1.333 s, se tiene vA 2vD vB 0: 12 2(3) vB 0 vB 18 in./s vB 18 in./sx aA 2aD aB 0: 9 2(0) aB 0 aB 9 in./s2 aB 9 in./s2 x 621 C E K L A B D 8 in. A O L K C E A B