MECCANICA
• STATICA
• CINEMATICA • DINAMICA
CINEMATICASTUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA
GEOMETRICO
DINAMICA
STUDIO DEL MOTO DAL PUNTO DI VISTA DELLE CAUSE
PUNTO MATERIALE: punto matematico senza dimensione dimensioni piccole rispetto al sistema che si sta studiando
xf
x
xi
X = 0
î
MOTO IN UNA DIMENSIONE
Velocità media
x
x
t=
xf - xi î tf - ti
Vm = [L][T]
ms
ti tf
tt = 0
t
Vm
10/3/06
x
t
1
n
t
x
x(t)
t1 tn
xn
x1
x(t) equazione oraria posizione istante per istantePiano x-t
x
tVm = = tg
x1 t1
x2 t2
x3 t3
… …
xn tn
Velocità istantanea
t
x
P
QQ’
Q’’
ti
t1
t2
t3
t3 tft2
xi
x3
x2
xfx1
tangente in P
x
tl i m
t 0Vi =
dx
dt=
modulo = tg
direzione data dalla retta del moto rettilineo
x2
t
x
SR
P
P
QS
viP = tgP > 0
ViQ = tgQ > 0
viR = tgR = 0
viS = tgS < 0
tS
xS Q
xP
xQ
xR
modulo vi = tg
Parte da xP, arriva in xRdove si ferma e torna indietro
Accelerazione media
v
t=
vf - vi î tf - ti
am = [T]
[T]
m
s2
[L]
Accelerazione istantanea
v
tl i m
t 0ai =
d2x
dt2=
dv
dt=
d
dt=
dx
dt
ACCELERAZIONE: variazione di v nel tempo
v(t) velocità istante per istantePiano v-t
v
tam = = tg
v1 t1
v2 t2
v3 t3
… …
vn tn
v
t
P
Q
t
v
v(t)
tP tQ
vQ
vP
)t(x
14)t(vdt
da xx
2735)( tttx t143vx 14ax
2t7t35)t(x
t143)t(xdt
dvx
)t(xdt
d)t(x
dt
d
dt
d)t(v
dt
da
2
2
xx
)t(xdt
dvx
14
10
06
0214tg
)()(
)()()(
)()()(
txdtvtvdtaa
tvdttvdt
ddtatv
dt
da
txtxdt
ddtvtx
dt
dv
xxxx
xxxxx
xx
)t(a x
5)t(a x
x0xx vdt)t(av
dtvdt)t(a(dt)t(v)t(x x0xx
002
0 52
15)()( xtvtdtvdttdttvtx xxx
xxx vtdttav 05)(
xx ata 0)( 2000 2
1)( tatvxtx xx tavv xxx 00
002
000
000
0
2
1)()()(
)(
)(
xtvtadtvtadttvtx
vtadtadttav
akta
xxxxx
xxxxx
x
Moto uniformementeaccelerato
t
v
xv0
t
a
xa0
t
x
0x
javahttp://www.walter-fendt.de/ph14i/
ALCUNI ESEMPI
200
0
2
1tatvxx
tavv
xx
xxx
2
200
00
0
2
1
x
xxx
x
xxx
x
xx
a
vva
a
vvvxx
a
vvt
xxxxx
x
vvvvva
xx 0000 2
1
2
11
xxxx
x
vvvva
xx2
1
2
11000
x
xxxxxx
x a
vvvvvv
axx
22
1 20
2
000
Velocità funzione dello spazioVelocità funzione dello spazio
02
02 2 xxavv xxx
02
0 2 xxavv xxx
se0
0
0
0
v
x
xav
xav
xx
xx
2
22
Velocità funzione dello spazioVelocità funzione dello spazio
02
0
200
0
0
2
2
1
xxavv
tatvxx
tavv
aa
xxx
xx
xxx
xx
Moto uniformementeMoto uniformementeacceleratoaccelerato
000
00
)(
)(
)(
xtvdtvtx
vvktkdtdttav
kta
xx
xxxx
x
Moto rettilineo uniforme
t
00)( xtvtx x
0x
t
v 0)( vtv
0v
t
a 0)( ta
0
200
0
0
2
1tatvxx
tavv
aa
xx
xxx
xx
tvxx
vv
a
x
xx
x
00
0
0
MOTO IN DUE DIMENSIONIMOTO IN DUE DIMENSIONI
y
x
)( 1tr
)( 2tr
piano x-y
traiettoria)( 1try
)( 1trx
http://www.pv.infn.it/~altieri
)()( 12 trtrr
12
12 )()(
tt
trtr
t
rvm
dt
rdt
rv
ti
0
lim
y
x
)( 1tr
)( 2tr
r
mv
)t(v 1
)t(v 2
Velocità vettorialeVelocità vettoriale
)()( 12 tvtvv
12
12 )()(
tt
tvtv
t
vam
dt
vdt
va
ti
0
lim
)( 1tvi
y
x
)( 1tr
)( 2tr )( 2tvi
v
Accelerazione vettorialeAccelerazione vettoriale
x
y
at
ar
a
a
at
ar
traiettoria
tr aaa
rata
acc. tangenziale
acc. radiale cambia
modulo velocità
direzione velocità
accelerazioneaccelerazione tangenzialetangenziale e e radialeradiale
jaiajdt
dvi
dt
dv
dt
vda yx
yx
z
y
x
r
r
r
r
z
y
x
v
v
v
v
z
y
x
a
a
a
a
tavv
tavv
tavv
zzz
yyy
xxx
0
0
0
tavv
0
i
xr
y
x
jyr
r
Equazioni Equazioni vettorialivettoriali
jvivjdt
dri
dt
dr
dt
rdv yx
yx
jrirr yx
MOTO DEL PROIETTILEMOTO DEL PROIETTILE
• accelerazione g costante verso il basso• no resistenza aria
moto con traiettoriaparabolica
2y00
y0y
y
gt2
1tvyy
gtvv
ga
tvxx
vv
x00
x0x
x
y
Lancio con velocità orizzontaleLancio con velocità orizzontale
Il pacco lanciato dall’aereoIl pacco lanciato dall’aereo
Lancio con velocità verticaleLancio con velocità verticale
Lancio con velocità verticaleLancio con velocità verticale
y
x
xv0
yv
xv0
yv
traiettoria parabolicamaxy
gittata
g yga ˆ
yv0
0v
xv0
0θ
xv0
yvθ
xv0
0yv0θ
Lancio con velocità verticaleLancio con velocità verticale
java
la scimmia e la bananala scimmia e la banana
DINAMICADINAMICAforzaforza
Forza:
operativamente: si misura col dinamometro
cambia lo stato di quiete o di moto di un oggetto
forte
debolenucleare forza
neticaelettromag forza
nalegravitazio forza
distanza a
molla una tirare
carrelloun spingere
palloneun calciare
contatto di
forze
Figura DinamometroE composizione forze
reazione e azione di principio :terza
amF :seconda
inerzia di principio :prima
dinamica della leggi tre
uniforme rettilineo moto di
quiete di:statoIn assenza di forza due possibili stati:
senza attrito
Principio di inerziaPrincipio di inerzia
Un oggetto in quiete o in moto rettilineo uniforme rimarrà nel suo stato stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché
non interverrà una forza dall’esterno.
Principio di inerziaPrincipio di inerziaUn oggetto permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non
interviene una forza che ne cambia lo stato
Sistemi inerzialiSistemi inerziali
Sistema di riferimento inerziale: un sistema in cui è valida la prima
legge di Newton
Qualunque sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme
rispetto ad un riferimento inerziale è un sistema inerziale
Un sistema fisso o in moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle “fisse” è un sistema di riferimento inerziale
La Terra ruota intorno al proprio asse e intorno al Sole, perciò un sistema fisso
rispetto alla Terra non è un sistema inerziale
23
riv.-c 104.4as
m
22
rot.-c 1037.3as
m
tuttavia
Nella maggior parte delle situazioni sarà possibile trascurare queste piccole
accelerazioni e considereremo inerziale un sistema solidale con la Terra
MOTO relativoMOTO relativo
O
S
r
'r
O’
u
0t
S’
'r
S’
O’
u
1tt
1tu
uvv
udt
rd
dt
'rd
turr
'
1'
aa
dt
ud
dt
vd
dt
vd
'
'
Un oggetto in moto rettilineo uniformein un sistema inerziale
risulta in moto rettilineo uniforme in uno qualsiasi dei sistemi inerziali.
Se è soggetto ad un’ accelerazione a, esso avrà lastessa accelerazione in tutti gli altri sistemi
Passaggio dall’uno all’altroper mezzo delle
trasformazioni di Galilei
'
'
'
aa
uvv
turr
Trasformazioni di Galilei
Invarianza galileiana
a
23/03/06
Seconda legge della dinamicaSeconda legge della dinamica
ka
F
a
F
a
F
a
F
a
F
n
n ...4
4
3
3
2
2
1
1
amF
oggettodell' massa mtgk
a1 an
a
F
F1
Fn
newtonNs
mkgmaF
1
2
La forza di 1 N imprime un’accelerazione di 2
1s
m
ad una massa di Kg 1
F1 F2 F3 F4 … Fn
a1 a2 a3 a4 … an
luce della velocità
1 2
2
0
ccv
mvm
Forza gravitazionale e pesoForza gravitazionale e peso
PgmF
gaamF
allora
seuna forza particolare:una forza particolare:
il pesoil pesoforza con cui un oggetto forza con cui un oggetto
viene attirato verso il centro viene attirato verso il centro della Terradella Terra
pesom KgNs
mKgmgP 18.98.91
2
P
Cambia da punto a punto sulla TerraCambia da punto a punto sulla Terra
76.9
80.9 70per
2
2
s
mg
s
mg
Kgm
al livelloal livello del maredel mare
in cima ad in cima ad unaunamontagnamontagna
NP 686
NP 683
Sulla Luna Sulla Luna
NP 113
Peso di 1 KgPeso di 1 Kgmm
Terza legge della dinamicaTerza legge della dinamicaprincipio di azione e reazioneprincipio di azione e reazione
TSST FF
1
2 2112 FF
F12
F21
S
TFST
FTS
Agiscono su corpi diversiAgiscono su corpi diversiSono uguali e opposteSono uguali e opposte
Quantità di motoQuantità di moto
m
v vmp
Quantità di motoo
Momento (lineare)
dt
vdmamF
00 dt
pdFse
cost3p
cost2p
cost1p
cost
z
y
x
p
Conservazione dellaquantità di moto
dt
pdvm
dt
dF
)(
Quando in un sistema di particelle queste sono soggette solo a forze interne newtoniane(e la risultante delle forze esterne è nulla) la quantità di moto totale del sistema rimane costante
http://www.walter-fendt.de/ph14i/
UrtiUrti
In un sistema In un sistema isolato isolato si conserva la si conserva la quantità di motoquantità di moto
Isolato:Isolato:la somma dellela somma delleforze esterneforze esterne
è nullaè nulla
PRIMA
11 vmp
02 p
21prima ppp
DOPO
primadopo pp
h/KmKg300h/Km20Kg15pp 1prima
v)6015(pp300 dopoprima
h/Km4)6015(
300v
PRIMA DOPO
11 vmp
02 p
primadopo pp
21 pppprima
s/mKg680pprima s/m4Kg)4080(
s/mKg680vdopo
java
Gravitazione universaleGravitazione universale
rr
MmGFg ˆ
2
M mr
gF
gF
gF
2211 KgmN1067.6G
Costante di gravitazione universaleCostante di gravitazione universale
r̂r
MmGF
2g
TM
TR
r
Sulla superficie
TRr
2T
TT R
mMGF
m
2L
LL R
mMGF
Sulla Luna Sulla Luna
NP 113NP 686
2
2
r
MGg
mgmar
MmGF