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Meccfinquianica dei Sistemi e Termodinamica
modulo di: Onde e OscillazioniCorsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,Tecnologie Fisiche Innovative
Lezioni ( docente: Savrié Mauro )lunedì : 10:30-12:30 aula G10martedì : 14:30-16:30 aula G10
- prova scritta: esito positivo: p ≥18/30(valida 1 A.A.) sconsigliato: 15/30≤p<18/30
non ammesso: p<15/30- prova orale : esito positivo: p≥18/30
Esercitazioni ( docente:M.Stancari)giovedì : 10:30-12:30 aula G10
Le copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all’ indirizzo:www.fe.infn.it/~savrie
.........cercare...ma occhio agli errori
Inizio lezioni: 02 aprile 2007Fine lezioni: 15 giugno 2007ricevimento studenti:venerdì 14:30-18:30 su appuntamento
obbligo di registrazione on-line
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Principali Argomenti Trattati:
Testi consigliati:1) Mazzoldi,Nigro,Voci:
FISICA (1° vol. ) ed. EdiSES Napoli2) Mencuccini,Silvestrini:
Fisica I Meccanica Termodinamica ed. Liguori3) H.C. Ohanian:
FISICA ( 1° e 2° vol. ) ed. Zanichelli Bologna4) Borgia,Grilli
FISICA Meccanica Termodinamica ed. C.I.S.U. Roma
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CALENDARIO ESAMI ANNO ACCADEMICO 2006-2007 CORSO DI LAUREA IN FISICA ED ASTROFISICA _ Riforma (trimestri)
CORSO DI LAUREA IN Tecnologie Fisiche Innovative_ Riforma (trimestri)MATERIA DI INSEGNAMENTO: meccanica dei sistemi e termodinamica
9:006 dicembre9:004 dicembre
9:004 luglio9:002 luglio
9:0020 giugno 9:0018 giugno
OraGiornoOraGiorno
OraleScritto
TERZA SESSIONEDal 16 giugno 2006 al 29 luglio 2006
9:0028 marzo9:0026 marzo
9:0021 marzo9:0019 marzo
OraGiornoOraGiorno
OraleScritto
SECONDA SESSIONEDal 20 marzo 2006 al 31 aprile 2006
9:0020 dicembre
OraGiornoOraGiorno
OraleScritto
PRIMA SESSIONEDal 2 dicembre 2006 al 5 gennaio 2007
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9:0019 settembre9:0017 settembre
OraGiornoOraGiorno
OraleScritto
QUARTA SESSIONEDal 1 settembre 2007 a inizio lezioni a.a. 2007/08
COMMISSIONE GIUDICATRICEProfessore ufficiale della materia: Prof. Savrié Mauro
Secondo membro: Dr. Michelle Stancari, SUPPLENTI: Dr. Ricci Barbara Prof. Zini Grazia, Prof. Luppi
Eleonora, Dr. Baldini Wander,Dr. Michele Marziani
IL PRESIDENTE DELLA COMMISSIONE D’ESAME
Prof. Savrié Mauro
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Oscillazioni• sono moti periodici: corde, bilanceri, atomi, pendoli…….• in natura: moti oscillatori smorzati
•Lo smorzamneto si può compensare fornendo energia al sistema: oscillazioni forzate
• sono di natura NON SOLO meccanica• hanno un periodo:
• ……e una frequenza:( ) [ ]T;econdis:T
[ ]11 o −− T;sHertz:ν
Esempio: punto materiale oscillante tra due estremi (PENDOLO).
direzionein che moduloin sia genere,in variabili,:;;; Favrvvvv
Le forze associate ai moti periodici sono le più generali•costanti: le abbiamo studiate per prime•funzioni del tempo : costanti in modulo: forze centripete
costanti in direzione: forze impulsive (urti frontali)
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UgradUF ∇−=−=vv
É una tipica forza di richiamoIn “O” l’ equilirio è stabile
In termini di Energia.....
punto di equilibrio dove la risultante
delle forze agenti sul punto è nulla
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.tcosUKE =+=
La particella non puòmuoversi al di fuori di X1,X2per una data energia E. Oltre questi limiti U>E e l’energia cinetica sarebbenegativa!!!!!
se non agiscono forze dissipative!!!!E= energia meccanica totale!!
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Consideriamo un sistema ad un grado di libertà costituito da un punto materiale• angolo• distanza• ascissa curvilinea…..
La sua energia potenziale sarà funzione di una sola variabile:
Assumiamo che il sistema abbia una posizione di equilibrio stabile che prenderemo come riferimento : ( ) 00 =pU
Proviamo a fare lo sviluppo in serie del potenziale nell’ intorno di X=0 e per piccole oscillazioni :
( ) ( ) ( ) ( ) ....02100 2''' +++= xUxUUxU pppp
Ma in X=0 c’è un minimominimo: ( ) ( ) 00;00 ''' >== KUU pp
( ) 2
21 KxxU p +=
( )xUU pp =
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Il caso particolare dell’ Oscillatore ArmonicoOscillatore Armonico
x− x+
kxF −=
kxF −=
0=F
oscillazione armonica:• posizione di equilibrio stabile “o”• estremi fissi simmetrici rispetto “o”• |x1|= ampiezza del moto
• ( ) 2
21 KxxU =
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( ) 2
21 KxxU +=
( ) KxxxUFx −=
∂∂
−=
• componente della forza lungo la direzione x• Forza “quasi elastica”• è una forza “centrale”• è proporzionale alla deformazione• è detta anche “forza di richiamo”
00 ll Δ+
x
o0lKΔ
mg
0lkmg Δ=
m
m
Se spostiamo la massa m dalla posizione di equilibrio della quantità x, la proiezione sull’assedel risultante delle forze agenti su m vale:
( )xlkmgR +Δ−= 0
kxR −=
0==+ amFP vvv
0l
x
ma: 0lkmg Δ=
In condizioni di equilibrio:
y
• l0=lunghezza molla soggetta al suo solo peso• l0+Δl0=lunghezza molla con la massa m appesa• x=spostamento dall’ equilibrio (allungamento)
finqui 26 Aprile 2007
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Imponiamo al sistema uno spostamento “x=a” dalla posizione di equilibrio e poi lasciamolo libero………..
m x
o
ax =
xdtdxv &==
vv0
20
40
60
80
100
120
140
160
-15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00
a− a
{}
KE
pE
Sotto l’ azione della forza “quasi elastica” il sistemasi muove verso la posizione di equilibrio con:
Diminuisce la sua energiaenergia potenzialepotenziale
aumenta la sua energiaenergia cineticacinetica 2
21 xmEk &=
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applichiamo la II legge della dinamica: amF vv=
Che in una dimensione scriviamo: xmKx &&=−
0=+ xmkx&&
Equazione del moto dell’ oscillatore armonico
Come si risolve?
xmkx −=&& È una funzione la cui derivata seconda è la funzione stessa
cambiata di segno!!!!!.......come sen(x) e cos(x)
Ipotesi plausibile: ( )δω += tcosAx( )
tsinbtcosasintsincostcostcos
ωωδωδωδω
+=−=+
Tutte le combinazioni lineari di seno e coseno!!!!
...e se è vero...
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( )δω += tcosAx •È la soluzione più generale ( famiglia di moti possibili)•Dipende da 3 costanti arbitrarie: come si determinano?
( )δωω +−= tsinAx&
( )δωω +−= tcosAx 2&&Se sostituiamo nell’ equazione del moto:
( ) ( )δωδωω +−=+− tcosAmktcosA2 mk=2ω
Ma cos’è ω? ha le dimensioni T-1 !se incrementiamo il tempo della quantità: ω
π2
( )[ ] ( ) ( )δωδπωδωπω +=++=++= tcosAtcosAtcosAx 22
Periodo:kmT π
ωπ 22== frequenza: ( )
mk12
2−== π
πων
Tππνω 22 == Rimangono arbitrarie: A,δ verietà di moti
determinata SOLOSOLO dalle caratteristiche del sistema
k,m
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( )δω += tcosAx
• :ampiezza max del moto
• :fase del moto
• :costante di fase (iniziale)
δω +t
δ
A
Relazioni caratteristiche:
( )( )( )( ) xtAxa
tA
tAsenxvtAx
22 cos2cos
cos
ωδωω
πδωω
δωωδω
−=+−==
++−=
+−==+=
&&
&
δ,A : sono determinate dalle condizioni iniziali del moto
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a) uguale ampiezza e frequenza. Differenza di fase di 45°b) stessa fase stessa frequenza:A1 /A3=2 c) ampiezza e fase uguali. f4 /f1=2
moto armonico. Confronto tra:• elongazione• velocità• accelerazione
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Alcune considerazioni energeticheL’ energia del punto materiale, se non agiscono forze dissipative, si conserva :
UKE +=
( )δω +== tcosKAKxU 222
21
21
( ) ( )δωδωω +=+== tsenKAtsenAmxmK 222222
21
21
21
&
2
21 KAUmax =
22
21 AmKmax ω==
2
21 KAKmax =
E...in funzione di t E...in funzione di x
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( ) ( )[ ] .tcosKAtcostsenKAUKE ==+++=+= 2222
21
21 δωδω
N.B.LL’’ energiaenergia totaletotale di di unauna particellaparticella cheche sisi muovemuove di di motomoto armonicoarmonico èè proporzionaleproporzionale al al quadratoquadrato delldell’’
ampiezzaampiezza del del motomoto
222
21
21
21 kAkxxmUKE =+=+= &
( )22 xAmkx −±=&
La velocità è:• massima in x=0• nulla alla massima elongazione
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Esempio 1Una molla orizzontale si allunga di 3 cm sotto l’ effetto di una forza di 9N. Se ad essa si attacca una massa M=1Kg e si allontana la massa di x=4cm dalla posizione di riposo su un tavolo privo di attrito e la si abbandona poi liberamente, determinare:
skmT 36.0
3.172
10322
2==
⋅==
πππ
1210303.09 −⋅=== NmxFK
( ) N.kxF 120403 −=⋅−=−=
1max 69.02 −=== msA
TAx πω&
cmx 4max =
a) la costante elastica della mollab) la massima forza che la molla esercita su Mc) il periodo di oscillazioned) l’ ampiezza del motoe) la velocità massima della massa M
f) l’accelerazione massimag) velocità, accelerazione,K,U, in A/2h) energia totale del sistema oscillantei) equazione del moto del corpo
22
2max 12
110304.0 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=== ms
mkAAa ω
( )( ) 14
22
6.0104163.17
2−− −=⋅−−
=−−=
ms
xATv π
( ) ( ) J...AEAKE 24006018022 =+=+=
J..KxU
J...mvK
0601041035021
18060150 21
422
22
=⋅⋅⋅⋅==
=⋅⋅==
−
26 −−=−= msxmKa
JKvKKAUE 24.021
21 2
max2
max =====
( )δω += tAx cos
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒⋅=⋅=
==
⋅=
−−=
−
−
0104cos1043.172
104
220
1
2
δδ
πω
mxsT
A
t
( ) ( )tx 3.17cos104 2−⋅=
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Il pendolo semplice (matematico)
Tv
m
ϑlx =τϑ vmgsen
rcosmg vϑgmv
ϑ
l
Se lSe l’’ oscillazioneoscillazione non non èè piccolapiccola
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++= ........sensen
glT mm
243
21
22112 4
2
2
22
2
ϑϑπmϑ =spostamento angolare massimo
ϑϑ ≠sen
ϑmgsenF −=⇒≅ ϑϑsen xkx
lmgmgF −=−=−= ϑ
gl
lgmm
kmT πππ 222 ===
confrontare le dimensioni
per: %..errm 5015 <⇒°=ϑ
0.110.08725°=0.0873 rad
00.03492°=0.0349 rad
Diff %senθθ
1.140.258815°=0.2618 rad
0.510.173610°=0.1745 rad
Diff %senθθ
..non ..non èè immediatoimmediato ma ma sisi puòpuò dimostraredimostrare cheche::
N.B. l’ orologio a pendolo con scappamento fu inventato da C.Huygens ( 1629-1695 )
0>ϑ0>ϑ
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20
Il pendolo semplice 2
Tv
m
ϑlx =τϑ vmgsen
rcosmg vϑgmv
ϑ
l
ατ I= 2mlI =ϑτ mglsen−=
ϑϑ mglsendtdml −=2
22
Per angoli piccoli: ϑϑ ≅sen
0=+ ϑϑlg&& ( )ϕωϑϑ += tcos0
lg=ω
glT π
ωπ 22==
Non dipendeda M
0>ϑ0<ϑ
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21
Il pendolo semplice: l’energia
Tv
m
ϑlx =τϑ vmgsen
rcosmg vϑgmv
ϑ
l
22
21
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
dtdIIK ϑω
( )[ ] ( )ϕωϑϕωωϑ +=+−= tmgltmlK 220
20
2 sin21sin
21
( )ϑcosmglmghU −== 1
Se θ è piccolo: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−≅ .....
211cos 2ϑϑ
( )ϕωϑϑ +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−== tmglmglmghU 22
02 cos
21
2111
202
1 ϑmglUKE =+=
lg=ω
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22
2.Pendolo di torsione
χϑτ −=Esiste un momento di richiamo
χϑϑατ −=== 2
2
dtdII ϑχϑ
Idtd
−=2
2
Per analogia formale con il pendolo semplice:
( )δωϑϑ += tcosm χπ IT 2=
Si può:•Misurare T e se è noto si ricava I•Se è noto I si può misurare il coefficiente di torsione
χ
costante di torsione
Pmϑ
mϑ2
R Q
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Esempio 2Una sbarra sottile di massa M=0.1Kg e lunghezza l=0.1m è sospesa ad un filo che passa per il suo centro ed è ortogonale alla sbarra stessa. La sbarra è fatta oscillare ed il periodo risulta T=2.0s.Se la sbarra viene sostituita con una lamina a forma di triangolo equilatero appesa anch’essa per il centro di massa, il periodo risulta essere T’=6.0s.Trovare il momento d’ inerzia della lamina rispetto all’ asse di rotazione.
252
103.812
01.01.02
mKglMIsbarra ⋅⋅=⋅
== −
χπ IT 2=
χπ sbarra
sbarraIT 2=
χπ lamina
lamina 2 IT =lamina
sbarra
lamina
sbarra
II
TT
=
242
52
ssbarralamina 105.7
26103.8 mkg
TTII l ⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −−
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3. Pendolo fisico
C
ϑ
ϑ d
P
gmv
ϑτ sendgM −= Non è soddisfatta la condizione del motoarmonico
Ma per Ma per piccolipiccoli angoliangoli…….. χϑϑτ −=−= dgM
Ma: ϑατ &&PP II == ϑχϑ
PI−=&&
MgdIIT PP π
χπ 22 ==
N.B.il moto è oscillatorio ma per grandi oscillazioni non èPERIODICO
Se la massa è puntiforme: ld;mM;mlI === 2
glT π2=
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Esempio 3sia dato un corpo esteso di massa M. Determinarne sperimentalmente il C.d.M. ed il momento di Inerzia. Trovare inoltre quale dovrebbe essere la lunghezza di un pendolo semplice avente il suo stesso periodo.
..mc
..sp
d
2
2
4πMgdTI =
MgdI
gl ππ 22 = Md
Il =
Esempio 4Un disco è imperniato sul bordo. Trovare il suo periodo per piccole oscillazioni e la lunghezza del pendolo semplice equivalente.
rc
p2
21 MrIcm = 222
23
21 MrMrMrI p =+= g
rMgrMr
MgrIT P
232
2322
2
πππ ===
orl
32
=non dipendedalla massa
rMrIl
23
== il centro di oscillazione del disco è centrato in “O”
centro di oscillazionedel pendolo fisico
MgdIT Pπ2=
l
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Definizioni ed equazioni relative al moto armonico semplice
0=+ xmkx&&equazione del moto:
kmT π2=periodo di oscillazione:
frequenza naturale:mk
n πν
21
=
frequenza angolare naturale:mk
n =ω
forza di richiamo: xmKxF n2ω=−=
spostamento: ( ) ttsentAsenx nnn ωβωαϕω cos+=+=ϕβϕα AsenA == ;cos
αβϕβα 1222 tan;; −=+=A
velocità: ( )ϕωω += tAv nn costsent nnnn ωβωωαω −= cos
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Definizioni ed equazioni relative al moto armonico semplice
accelerazione:
modulo della velocità:
energia potenziale:
energia cinetica:
energia totale:
condizioni iniziali di ampiezza:
costante di fase:
( ) xtsenAa nnn22 ωϕωω −=+−=
22 xAv n −=ω
( )ϕω +== tsenKAKxU 222
21
21
( )[ ]ϕω +−= tKA n2cos141 2
( )[ ]ϕω ++=−= tKAUKAK n2cos141
21 22
222
41
21
21 KAmxmvUKE =+=+=
2
202
0n
vxAω
+=
0
010101 tancosv
xA
vAxsen n
n
ωω
ϕ −−− ===
energie medie: EUK21
==
00 ; xv
n
== βω
α
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Composizione di moti armonici
Spesso accade che vengano combinati moti armonici rettilinei ortogonali(C.R.O.)
•Per moti isofrequenziali:
•Differenza di fase:
( )( )αω
δω+=+=
tcosAytcosAx
y
x
( ) ( ) αδαωδω −=+−+ tt
Se scegliamo il tempo t in modo che α=0 ( la fase è arbitraria!!!):
( ) tcosAytcosAx yx ωδω =+= ( ) ( )δωδωδω sintsincostcosAtcosAx xx −=+=
yAytcos =ω
δωδ sintsincosAy
Ax
yx
−=−Elevando al quadrato e ricordando che:
2
222 11
yAytcostsin −=−= ωω
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δδ 22
2
2
2 2 sinxyAA
cosAy
Ax
yxyx
=−+
Equazione di un’ ellisse centrata nell’ origine ed inscritta in un rettangolo di lati 2Ax,2AY
Casi particolari:
1. δ=0 eq. di una retta
2. δ=π eq. di una retta
3. Ay=Ax, δ=π/2 eq. di un cerchio
xAA
yx
y=
xAA
yx
y−=
222 Ayx =+
E in questo caso il moto ècircolare ed uniforme
2222222yxyx aaA;vvA;yxA +=+=+= ωω
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o
yA
xA
°45
1=x
y
AA
2παδ +=
x
y
o
yA
xA
°45
1=x
y
AA αδ =
x
y
o
yA
xA
°60
2=x
y
AA
αδ =
x
y
o
yA
xA
2=x
y
AA
2παδ +=
x
y
o
yA
xA
1=x
y
AA
4παδ −=
x
y
4πsenAy
4πsenAx
o
yA
xA
2=x
y
AA
4παδ −=
x
y
4πsenAy
4πsenAx
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dtdxbFd −=
La soluzione è molto difficile!!!!! Ma se b è piccolo….02
2
=++ xmK
dtdx
mb
dtxd
2
2
dtxdmma
dtdxbKx ==−−
E se agiscono forze dissipative?
0>= .tcosb
Moti oscillatori smorzati,
amFi
ivv
=∑
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( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−==
+= −
220
2**
*20
222
cos
mb
mb
mK
teAx mbt
ωπυω
αω
Vita media: bm
eAA : 20 ==τ
02
2
=++ xmK
dtdx
mb
dtxd rimane difficile Moti oscillatori smorzati,
mb
2=βCostante di
smorzamento:
pulsaz. del motosmorzato:
*ω
*ω*ω
TE
Pperiodo un in energia di media perditaataimmagazzin energiaQ ππ 22 ==
fattore di qualità dell’ oscillatore
βω2
≅Q
Cosa succede se b=0?
per un oscillatore debolmente smorzato: più grande è Q, meno è smorzato l’ oscillatore che
compie circa Q/2π oscillazione in in un tempo parialla vita media τ
:,α0A fissate dalle condizioni iniziali
potenza mediadissipata in un
periodo
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Esempio 4una massa sferica di raggio R=0.25m e m=0.1Kg è sospesa tramite una molla ad un sostegno ed oscilla verticalmente in aria. Supponendo che la forza di attrito da parte dell’ aria sia proporzionale alla velocità, si calcoli quanto cala l’ ampiezza del moto dopo un’ora..
xRxbFa && ηπ6== per l’ aria1151081 −−−⋅= sKgm.η 151058 −−⋅= Kgsb .
1410342
−−⋅== smb .β
( ) ( ) 21036000
10342
0
4
.A
tAsteeA
tA t.mbt ≅⇒=⇒==−⋅−−
( ) ( )222
22 mb
mb
mK −=−= ωω*
se T~1s( )242 1034 −⋅−= .* ωω
N.B.
ll’’ effetto delleffetto dell’’ attrito attrito èè importante per limportante per l’’ ampiezza ma ha un effetto trascurabile sulla frequenzaampiezza ma ha un effetto trascurabile sulla frequenzaOROLOGI A PENDOLOOROLOGI A PENDOLO
ωω ≅*
atto di fede
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34
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
+= −
22
20
22 mb
tcoseAx
**
*mbt
ωπυω
αω Il moto è smorzato finchè ω*>0
ωβ <
oscillazionesmorzata
Se ω* 0:
( )αωαω tsensencostcoseAx **mbt −= − 20
( ) ( )CBteAtsencoseAx mbt*mbt +=−= −− 20
20 αωα
il moto non è piùoscillatorio
ttsentcos
*
*
ωω
ω
→
→1
ωβω ==⇒= mb* 20
smorzamento critico curva C
ωβω >⇒< 02* curva b
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35
Fino ad ora abbiamo visto solo “oscillazioni naturali”
1. Senza attrito
2. Con “attrito” ( )22
2mb* −= ωω
mk=ω
Ma supponiamo che esista una: forza esterna periodica tcosF'F ''m ω=
E la soluzione:
2
2
dtxdmtcosF
dtdxbkx ''
m =+−− ω
( )ϕω −= tsinGFx ''m
( )[ ] 21222222 '''' bmG ωωω +−= G
bcos''ωϕ 1−=
il sistema oscilla con la frequenza della forza esterna!!!
angolo di fase tra forzaesterna e spostamento
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36
( )ϕω −= tsinGFx ''m ( )[ ] 21
222222 '''' bmG ωωω +−=
ωω ''
1. oscilla con la ω dell’ eccitazione2. in generale non è un moto smorzato
Caso semplice con b=0:
( )22 ωω −= ''mG
ωωωω <<>> '''' ; ⇒GFm è piccolo
ωω →'' ∞→GFm
bmQ ω
βω
=≅2
grandi valori di Q (b 0;Q ∞)grande ampiezza di oscillazione
1Q2Q
3Q
4Q
4321 QQQQ <<<
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37
in generale, se: alla
risonanza (per cui )
0≠b
[ ] ''m
''m
bmF
bmFA
ωω=≅ 2122
ωω →''
Esempiocalcolare la “larghezza di banda” tra le frequenze alle quali A A/21/2( A2=1/2 A0
2)
( )[ ] 21222222 '''' bmG ωωω +−=
( ) 22
2222
20
22
''''
m
mb
FGFA
ωωω +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
( )2
22
02
2
14
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
=
mb
FA''
''
ωωω
''ω
.risA
2A
1ω 2ω
banda di larghezza
ω1, ω2 = frequenze di taglio
202
21
202
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= '',''ris b
mFAbmFA
ωω
e quindi per :
( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=−⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−
mb
mb
mb''
2
22
2
122
ωω
ωωωω ( )
mb
=Δ=− ωωω 12Qm
b'' 1==
Δωω
ω
vicino alla risonanza:'''' ωωω 2≅+
mFF m=0
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38
TacomaTacoma NarrowsNarrows bridgebridge
a Puget Sound ( Washington)
crollato il 7 novembre 1940
finqui 7Maggio2007
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39
Oscillazioni a due corpi
m è come dire che il supporto ha “massa infinita”:• variazione lungh. molla=spostamento di m• l’ altra estremità della molla è fissa• U del sistema funzione della posizione di m
molti sistemi oscillanti in natura sono a “ due corpi”: molecole bi-atomiche.il comportamento è come quello a 1 corpo se introduciamo la:
massa ridottamassa ridotta
Fv
k( )tx1( )tx2
2m 1mFv
−
molla:•lunghezza a riposo: l•lunghezza della molla: (x1 –x2)•“allungamento” della molla: x=(x1 –x2)-l
kxdt
xdm −=21
2
1
kxdt
xdm =22
2
2
kxmdt
xdmm 221
2
12 −=
kxmdt
xdmm 122
2
21 =sottraiamo!
( ) kxdt
xxdmm
mm−=
−+ 2
212
12
12
02
2
=+ xkdt
xdμ ( ) relativoospostamenttx
ridottamassa
=
=μ
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40
02
2
=+ xkdt
xdμ( ) relativoospostamenttx
ridottamassa
=
=μ è la stessa equazione dedotta per l’oscillazione ad un corpo
21
12
21
21 mm
mmmm
mm+
=+
=μdato che possiamoscrivere:
21
111mm
+=μ 21 m;m<μ
kT μπ2=
μπν K
21
=
Esempio applicato alla Gravitazione
r̂rmmG
dtrdm 2
2121
2
1 −=v
r̂rmmG
dtrdm 2
2122
2
2 −=v
o
y
x
1m
2m
1rv
2rv
21 rrr vvv −=r̂
rmmG
mdtrd
221
121
2 1−=
v
r̂rmmG
mdtrd
221
222
2 1−=
vsottraiamo
( ) r̂rmmG
mmdtrd
dtrrd
221
212
2
221
2 11⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−==
− vvv
0221 =−= ϑμμ a;r̂
rmmGar
vv
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41
Le onde nei mezzi elasticiÈ, tra le modalità di moto, la più diffusa:elastiche, elettromagnetiche…Proprietà salienti:
•velocità di propagazione•alterazioni dipendenti dal mezzo (riflessione, rifrazione, polarizzazione)•alterazioni prodotte da ostacoli (diffrazione,diffusione)•interazioni tra onde (interferenza )
Parleremo di onde nei mezzi elastici deformabili:onde meccaniche(elastiche)• spostamento dall’ equilibrio di una porzione del mezzo elastico;• non trasportano materia;• trasportano energia….ma in un mezzo;• sfruttano
• elasticità : forze di richiamo• inerzia : risposta alle forze di richiamo
• Longitudinali: le particelle materiali si spostano nella direzione della perturbazione;• Trasversali: le particelle materiali si spostano trasversalmente alla perturbazione;• Treni d’ onda: periodici o meno (impulsi);• Fronti d’onda: luogo dei punti in cui la perturbazione ha la stessa “intensità”;• Raggi: rette normali ai fronti;• Onde piane ; Onde sferiche.
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46
La propagazione delle onde
Onda trasversale in una corda (es.: impulso)
y
xo
y'vt 'tt =0=t
xo
( )xfy = ( )'vtxfy −=
N.B.dire che y è funzione di (x-vt) significa che x e vt si trovano solonella cominazione: x-vt
( )vtxk −⋅ ( )vtx −log ( )3vtx − Ma: ( )22 vtx −
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47
( )vtxfy −=
La questione è “tricky”:Per capire come si propaga l’ onda al passare del tempo possiamoconsiderare un particolare valore di y (fase costante) e vedere come sisposta al passare del tempo:
.tcosvtx =−
Al crescere del tempo x deve crescere perchè l’ argomento rimangacostante l’ onda si propaga verso destra) (verso delle X crescenti)
Di conseguenza: ( )vtxfy += Si propaga verso sinistra ( x decrescenti)
Velocità di fase dell’ onda:
tcosvtx =− 0=− vdtdx v
dtdx
=
N.B.Con velocità dell’ onda intendiamo sempre, per ora, la velocità di fasevelocita’ con cui si sposta un punto dell’ onda di fase data.
x
y
z
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48
( )vtxfy −=Guardiamola meglio:
1. Per t fissato: abbiamo una “fotografia” della perturbazione ondosa(forma dell’ onda ad un certo istante)
2. Per x fissato: variazione temporale di un punto di coordinata “x”
Consideriamo una forma d’ onda che in un istante di tempo t sia del tipo:
xsinyy m λπ2
=
-25,00
-20,00
-15,00-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,0015,00
20,00
25,00
-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00
vt
( ) ( )vtxyty m −=λπ2sin
x
y
λ
t=0t=t
periodoTvT =→=λ
Dopo un certo tempo t
è un’onda.....2λλ ++ x,x x, in valore stessolo ha y
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49
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Ttxyy m λ
π2sin
possiamo riscriverla come:
Y:• ha lo stesso valore in x, x+λ,x+2 λ.....• ha lo stesso valore in t, t+T,t+2T......
introduciamo:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
T
k
πω
λπ
2
2
( )tkxyy m ω−= sin ( )tkxyy m ω+= sin
onda progressiva (x crescenti) onda regressiva (x decrescenti)
velocità di fase:kT
v
T
k
vTωλ
πω
λπ
λ
==⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
2
2pipiùù in generale:in generale:
( )φω −−= tkxyy m sin
se = -90° in x=0,t=0 y=ymφ ( )tkxyy m ω−= cos
In un punto diverso ad es. x=π/k ( )φω += tyy m sin
[ ]1−L 1−m
[ ]1−T 1−s
numero d’ onda
pulsazione ofrequenza angolare
( )vtxsinyy m −=λπ2
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50
Ha per soluzione una funzione del tipo:
Data una generica equazione d’ onda: ( )vtxfy −=
Calcoliamo le derivate:
''fxy=
∂∂
2
2
''fvty 22
2
=∂∂
Il risultato è GENERALE!!!Ogni equazione del tipo:
L’ equazione delle onde(1)
( )x
vtxfxf
∂−∂
=∂∂ ' 'vf
tf
−=∂∂
2
2
22
2 1ty
vxy
∂∂
=∂∂
2
2
2
2
tyC
xy
∂∂
=∂∂
( )'vtxfy ±=
E che rappresenta un fenomeno che si propaga “come un’onda” con velocità:
Cv 12 =
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51
Data una generica equazione d’ onda:
Calcoliamo le derivate:
( ) t tempo e x punto un in pendenza tkxkAxy ω−=∂∂ cos
L’ equazione delle onde(2)
( ) elemento un di velocità dellay comp. tkxAty ωω −−=∂∂ cos
( )tkxAy ω−= sin
( ) acc.ne dell'y comp. tkxAsenty ωω −−=
∂∂ 2
2
2
( ) ( )txyk-vtkxAsenkvty 2 ,2222
2
=−−=∂∂ ω
222 kvk
v
=
=
ω
ω
( ) yk- t-kxsenkAxy 2=−=
∂∂ ω2
2
2 strettacurvagrande
xy
⇒∂∂ :2
2
convessaxy
piattaxy
concavaxy
⇒<∂∂
⇒=∂∂
⇒>∂∂
0
0
0
2
2
2
2
2
2 0xy>
∂∂
2
2
x
y
0x
y=
∂∂
2
2
x
y
0x
y<
∂∂
2
2
x
y
)(curvatura pendenza della variazione
2
2
22
2 1ty
vxy
∂∂
=∂∂
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52
( ) 2
2
2
2
tyxx
xyF
∂∂
Δ=Δ∂∂ μ
come si interpreta? (nelle corde)onda trasversale in una corda come impulsotrasversale che si propaga lungo x.
( )122121 ϑϑϑϑ sensenFFsenFsenFFF yyy −=+−=+=∑Per piccoli spostamenti (.......vale sovrapposizione) θ è piccolo
xytgsen∂∂
=≅ ϑϑ La derivata è “parziale” perchèY dipende anche da t
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=∑12 x
yxyFFy
xxyFFy Δ
∂∂
=∑ 2
2
Dalla II legge di Newton:
x
y
x xx Δ+
2Fv
1Fv
1ϑ2ϑ
yF Ma
μ= densità lineare della cordaμdx= massa (infinitesima) di dx
ipotesi:1. effetto dell’ onda è piccolo:
21 FFFvv
==2. è grande peso trascurabileF
variazione di pendenza tra 1 e 2
( ) xxyx
xy
xx
xxy
xy
xy
xy
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
≈ΔΔ∂∂
Δ=∂∂
Δ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
2
2
12
xmLm
Δ=⇒=μ
2
2
2
2
ty
Fxy
∂∂
=Δ∂∂ μ
μFv =
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53
esempio:
Infatti le funzioni arbitrarie: ( )'vtxfy ±= la soddisfano:
UNa corda di lunghezza L=10m e massa m=1kg è sottoposta alla tensione T=90N:
1301.0/90 −=== msFvμ
11.0 −== kgmLmμ
Ipotesi fatte:θ1, θ2 piccoli A>>λ
2
2
2
2
ty
Fxy
∂∂
=Δ∂∂ μ E’ lineare!
Un’ equazione differenziale è lineare se contiene termini del tipo: ...........,, 2
2
xy
xyy
∂∂
∂∂
e non contiene termini del tipo: ...........,,2
2
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
xy
xyyy
proprietà: la somma di funzioni d’ onda è ancora una funzione d’ onda
( ) ( ) ( )txytxytxy ,,, 11 += p. di sovrapposizionefinqui 080507
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54
Vale il: Principio di sovrapposizione:
“Due o più onde possono agire nello stesso punto dando come effetto la somma dei singoli effetti come se le onde agisseroindipendentemente l’ una dall’ altra” comportamento vettoriale
Solo se tra forza di richiamo e deformazione esiste una relazione lineare
Sviluppo in serie di Fourier delle funzioni periodiche di periodo T( )
....tsenBtsenBtsenBB........tsenAtsenAtsenAATy++++
++++=ωωωωωω
32 32
3210
3210
Tπω 2
= ii BA ;
( ) ∑ ∑∞
=
∞
=
++=1 1
000n n
nn tnsinbtncosaatf ωω
titancosb,a,a
T
nn =
=
0
02πω ( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∫
∫
∫
π
π
π
ωπ
ωπ
π
2
00
2
00
2
00
1
121
tdtnsintfb
tdtncostfa
dttfa
n
n
( ) ( )∑∞
=
++=1
00n
nn tnsinCatf ϕω
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
n
nn
nnn
batana
baC
ϕ
21
22
costanti caratteristiche
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55
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00
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57
Esempio 3una lunga corda orizzontale viene messa in oscillazione dall’ azione prodotta ad un suo estremo da una sbarretta oscillante trasversalmente con frequenza f=2s-1 ed ampiezza 5 cm. La fune ha una densità lineare δl=0.1 kg/m ed ha una tensione F=10N. Calcolare:
1. velocità2. ampiezza 3. lunghezza d’ onda
del moto ondulatorio. Scrivere anche l’ equazione dell’ onda supponendo che si muova da sx verso dx e che, in t=0, l’ estremita’ che si trova in x=0 si trovi nella posizione di equilibrio y=0.
μTv = 110
1.010 −== msv f
vvT ==λ m52
10==λ
( )φω −−= tkxyy m sin con le condizioni iniziali: ( ) 0sin0 =⇒−=⇒ φφmy
( )tkxyy m ω−= sin
( )txy ππ 44.0sin05.0 −=
111 410 5225 05.05 −−− ==⇒===⇒=== svkmsvmkcmmcmym πωπ
λπλ
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58
Potenza ed intensità delle ondey
xo 'xxyarctg ∂∂
xyF ∂∂Fv F
v
xy ∂∂
= tensione della fune
= tangente dell’ angolotra F e asse x
ϑϑϑϑ sincos
sintg ≅=
è positiva
( )xyFFsenxFtrasv ∂
∂−== ϑ'. è <0
( )'xvty
.trasv=∂∂
Comp. trasv.della velocità
La potenza vale: ( ) FvxP = ty
xyF
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=
Per un’ onda sinusoidale chesi propaga lungo una corda : ( )tkxsenyy m ω−=
( ) ( )( ) ( ) ( )tkxFkytkxyFkytxP mmm ωωωω −=−−= 222 coscos,
( )tkxcosFkyF m.trasv ω−−=( )tkxyv mtrasv ωω −−= cos.
2
22
kFv ωμ
== ( ) ( )tkxvytxP m ωμω −= 222 cos,
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59
( )∫+
=Tt
tdttP
TP 1
( )vFfyFkyxP mm
2222 221 πω ==
e dato che: fv
kfT
πλπππω 22;22==== 2
1cossin 22 ==TT
xx
Non dipende ne’ da x ne’ da t!!!!!!
vfyP m μπ 2222=
La potenza è indipendente dal tipo d’ ondaLa potenza dipende dal quadrato dell’ ampiezza e dal quadrato dellafrequenza dell’ onda. La potenza (non lo abbaimo dimostrato)si trasmette nel senso in cui sipropaga l’ onda.definizione:L’Intesità è la potenza trasmessa attraverso una superficie unitarianormale alla direzione di propagazione
⇒=μTvda:
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60
Esempio 4
una sorgente di potenza P emette onde sferiche. Trovare la relazione tra l’ intensità delle onde emesse e la distanza delle onde dalla sorgente
1A2A
2I1IS
1r
2r
IntensitIntensitàà:: potenza trasmessa attraverso unasuperficie unitaria normale alla di-rezione di propagazione.
22
22
12
12 44 IrIrP ππ ==
21
22
2
1
rr
II=
dato che l’ intensità è proporzionale al quadrato dell’ ampiezza dell’ onda, l’ ampiezza dell’ onda è inversamente proporzionale alla distanza dalla sorgente
finqui lezione 04 maggio 2006
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61
Interferenza (nello spazio) delle onde
E’ l’effetto della sovrapposizione di due o più treni d’ onda. Consideriamodue onde della stessa frequenza, velocità di propagazione ed ampiezza
( )ϕω −−= tkxsenyy m1( )tkxsenyy m ω−=2
La prima la possiamo scrivere come:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= t
kxksenyy m ωϕ
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
ωϕω tkxsenyy m1
In un dato istante sono sfasatein posizione di una quantità: φ/k
In un dato luogo sono sfasatein tempo di un intervallo: φ/ω
( ) ( )[ ]tkxsentkxsenyyyy m ωϕω −+−−=+= 21
222 BCcosCBsensenCsenB −+
=+
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62
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
222
222 ϕωϕϕϕω tkxsencosycostkxsenyy mm
N.B.LL’’ ondaonda risultanterisultante ha la ha la stessastessa frequenzafrequenza delledelle ondeonde componenticomponenti ed ed ampiezzaampiezza::
22 ϕcosym
1. φ<<180° y~2ym2. φ=0° le onde hanno fase uguale:
interferenza costruttiva3. φ~180° y~04. φ=180° y=0 le onde hanno fase opposta:
interferenza distruttiva
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64
Battimenti (interferenza nel tempo)
( )txksenyy m 111 ω−= ( )txksenyy m 222 ω−=
Se anche sono in fase in t=0 non lo saranno più negli istanti successivi
221 ωωω +
=( )21 ωωω −=Δ
( ) ( )[ ]txksentxksenyyyy m 221121 ωω −+−=+=
( ) ( ) ( ) ( )2
cos2
2 21212121 txkktxkksenyy mωωωω −−−+−+
=
( )21 kkk −=Δ2
21 kkk +=
2cos
22 BABAsensenBsenA −+
=+
stessa ampiezza per “semplicità” ma non è neceessaria
21 ωω ≅
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65
( ) ( )txkcostkxcosyt,xy m ωωΔΔ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
21
212
Ha un’ ampiezza “MODULATA” da: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − tkxcos ωΔΔ
21
21
fasedivelocitàv f ==κω
gruppodivelocitàk
vg ==ΔωΔ
( ) tfftffAtxy ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
==2
2cos2
2cos2,0 2121 ππ
se ci mettiamo in un punto fisso x ( ad es. x=0)
tfAtAy 111 2coscos πω == tfAtAy 222 2coscos πω ==
2cos
2cos2coscos BABABA +−
=+
ampiezza
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66
un ricevitore in un punto X:1. frequenza effettiva come media delle frequenze:
2. ampiezza modulata:
3. massimo di ampiezza:
4. frequenza di battimento:
tffA ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
22cos2 21π
221 ff +
12
2cos 21 ±=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − tffπ due massimi per ciclo
21 fffb −=esempio:esempio:
HzfHzfHzfHzf
beff 2;440438442
.1
2 ==⇒⎭⎬⎫
==
121
2
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=ffT
121
2
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=ffT
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Effetto DopplerEffetto del moto relativo tra sorgente e osservatore
Vs=0λ
v0
fv
=λ
λvtn = Numero di onde percepite da un
osservatore “fermo”
λtv'n 0= Numero di onde percepite in più da un
osservatore “in moto”
Frequenza= numero di onde nell’ unità di t
fvvvvv
t
tvvt
tnnf 00
0'' +=
+=
+=
+=
λλλ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=
vvf
vvvff 00 1'
a) SorgenteSorgente fissafissa –– osservatoreosservatore mobilemobile
allontanamento ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
vvf
vvvff 00 1'
velocità del suono nel mezzo
frequenza emessa dalla sorgente
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V0=0
b) SorgenteSorgente mobile mobile –– osservatoreosservatore fissofisso
1S 2S S
sv
12
Frequenza emessa:Velocità del suononel mezzo:Velocità sorgente:
f
sv
Ad ogni ciclo la sorgente avanza di: fvs
e la lunghezza d’ onda percepita si accorcia dellastessa quantità.La lunghezza d’ onda percepita vale:
fv
fv' s−=λ
v
La frequenzapercepita vale: ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
==ss vv
vf
fvvvvf
''
λ
Nel caso generale: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±±
=svv
vvf'f 0
'λ
'λ
effetto Doppler elettromagnetico:1. sorgenti galattiche2. variazione di λ3. allargamento delle righe spettrali4. solo moto relativo della sorgente e osservatore
In allontanamento: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==svv
vfvf'
'λ
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luce bianca
schema di uno spettrografo a prisma
corposolido o liquidoincandescente
spettro continuo
gas incandescenteH2 e Na
corpo solidoo liquido
incandescente
gas freddi
serie di Balmer
riga delsodio
serie diBalmer
spettro in emissione e righe di emissione
spettro in assorbimento e righe di assorb.
lo spettro visibile ( non in scala )
ultraviolettoinfrarosso
lunghezza d’ onda(Å)(μm)
frequenza(+1017 Hz)
violetto verde giallo arancio rosso
40000.4
0.750
50000.5
0.600
60000.6
0.500
70000.7
0.430
80000.8
0.370
spostamento verso il bluvelocità negativain avvicinamento
spostamento verso il rossoùvelocità positiva
in allontanamento
righe spettralivelocità radiale
dell’ oggetto
1μ=10-6m1Å=10-10m
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Esempio 5
ma cosa possiamo dire se le velocità della sorgente e dell ‘osservatore sono piccole rispetto alla velocità del suono nel mezzo?Supponiamo:
vuvvs <<== 0
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±=
uvvff
vuff
m'
1' sorgente fissa
osservatore fisso
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
vu
vuvff
uvvff
mmm 1
11'' ......1121
±⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+±=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−
vu
vu
vu
m
vu
vu ±≅1
1
1
m⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±≅
vuff 1'
se: 133 −= msu 1330 −= msv
11.133330
330' =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= fvv
vffs
10.1330
333301' =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±=
vuff
sorgente in moto come con velocità vs=u
osservatore in moto come con velocità v0=u
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Onde Stazionarie
Corde tese tra due estremi fissati: riflessioni alle estremità
Onde propagantesi nel verso oppostoPrincipio di sovrapposizione
( )tkxsenyy m ω−=1 ( )tkxsenyy m ω+=2
( ) ( )tkxsenytkxsenyyyy mm ωω ++−=+= 21
tsenkxyy m ωcos2= Onda Stazionaria
ampiezza Frequenza:moto armonico
N.B.1. Tutte le “particelle” vibrano co la stessa frequenza2. Tutte con un’ ampiezza che dipende dalla posizione
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Massimi (ventri):
Minimi (nodi):
;.........;;xcioè;.......;;kx λλλπππ45
43
4
25
23
2==
;.........;;;xcioè;.......;;kx λλλλπππ 223
2 32 ==
tsenkxyy m ωcos2=
N.B.1. non c’è trasporto di energia2. energia bloccata dai nodi3. energia stazionaria4. non è un vero “moto ondoso
ma piuttosto “oscillatorio”5. la corda è un insieme di
“oscillatori accoppiati”
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onda stazionaria come svrapposizione di 2 onde
ogni elemento ha:1. inerzia ( energia cinetica)2. elasticità (en. potenziale )
tutta energia cinetica
tutta energia potenziale
tutta energia potenziale
en. potenziale e cinetica
en. potenziale e cinetica
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questi sistemi hanno molti “modi propri di oscillazione”
a) assenza di eccitazione:
b) modo fondamentale:
c) secondo modo fondamentale:
d) terzo modo fondamentale:
L21 =λ
L=2λ
L32
3 =λ
Lnn2
=λ .........3,2,1 ;2
=== nLvnvf
nn λ
μTv =,.....3,2,1 ;
2== nT
Lnfn μ
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La velocità delle onde(2)
x
y
xΔ
yΔ
1ϑ
2ϑ
1T
2T
piccoli, ⇒21 ϑϑ
TT,T =21
lineicamassa =μ:xlungomotoè'cnon ∑ =
i
xiT 0
∑ −=i
yi sinTsinTT 21 ϑϑ S
xytansin =∂∂
=≅ ϑϑ
( ) STSSTTi
yi Δ=−=∑ 21
Che per il II principio:
2
2
tyxST
∂∂
= ΔμΔ 2
2
ty
xST
∂∂
= μΔΔ
2
2
0 ty
xST
xSTlim
x ∂∂
=∂∂
=→
μΔΔ
Δ
2
2
2
2
ty
Txy
∂∂
=∂∂ μ
μTv =