SISTEMI ENERGETICI (11CINDK)corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/11CINDK/11CINDK_AA08...SISTEMI ENERGETICI - A.A. 2008/2009 1 CAPITOLO 1 TERMODINAMICA SISTEMI CHIUSI E APERTI Un sistema

SISTEMI ENERGETICI (11CINDK)

2008/2009

Prof. S. Mancò

Dipartimento di Energetica

Politecnico di Torino

Riproduzione totale o parziale vietata senza il consenso scritto

dell’autore

CAPITOLO 1 TERMODINAMICA 1

CAPITOLO 2 ESPANSIONE COMPRESSIONE 49

CAPITOLO 3 RICHIAMI DI TERMOCHIMICA 57

CAPITOLO 4 IMPIANTI MOTORI A GAS 65

CAPITOLO 5 IMPIANTI MOTORI A VAPORE 85

CAPITOLO 6 IMPIANTI COGENERATIVI 99

SISTEMI ENERGETICI - A.A. 2008/2009 1

CAPITOLO 1 TERMODINAMICA

SISTEMI CHIUSI E APERTI

Un sistema termodinamico, o semplicemente un sistema, è definito come una quan-tità di materia o una regione nello spazio. La massa o la regione esterne al sistemaviene chiamato esterno. La superficie reale o immaginaria che separa il sistemadall’esterno si chiama confine.Il sistema può essere considerato chiuso o aperto, a seconda che si scelga una massafissa o un volume fisso. Un sistema chiuso (chiamato anche massa di controllo) con-siste di una quantità fissa di massa, e nessuna massa può attraversare il suo confine.Ma l’energia, sotto forma di calore o lavoro, può attraversare il confine, e il volumedel sistema chiuso non necessariamente deve essere fisso.Un sistema aperto, o un volume di controllo, come viene spesso chiamato, èun’opportuna regione scelta nello spazio. Sia la massa che l’energia possono attraver-sare il confine del volume di controllo, che viene chiamato superficie di controllo.Le relazioni termodinamiche applicabili ai sistemi chiusi e aperti sono differenti.

FORME DI ENERGIA

L’energia può esistere sotto forme diverse come energia termica, meccanica, cinetica,potenziale, elettrica, magnetica, chimica e nucleare e la loro somma rappresental’energia totale di un sistema. L’energia totale di un sistema riferita all’unità di

massa si indica con ed è definita come

La termodinamica non fornisce informazioni sul valore assoluto dell’energia totale diun sistema. Essa si occupa solo di variazioni di energia perché è ciò che serve neiproblemi ingegneristici. Così all’energia totale di un sistema si può assegnare unvalore nullo ( ) in un conveniente punto di riferimento. La variazione di ener-gia di un sistema è indipendente dal punto di riferimento scelto. Per esempio, la dimi-nuzione di energia potenziale nella caduta di un grave dipende solo dalla differenzadi quota e non dalla quota di riferimento scelta.

Nell’analisi termodinamica può essere utile distinguere le varie forme di energia inmacroscopiche e microscopiche. Le forme di energia macroscopiche sono quelle cheun sistema possiede nel suo insieme rispetto a un sistema di riferimento esterno,come l’energia cinetica e l’energia potenziale. Le forme microscopiche di energiasono quelle legate alla struttura molecolare di un sistema e al grado di attività mole-colare e sono indipendenti da sistemi di riferimento esterni. La somma di tutte leforme microscopiche di energia si chiama energia interna di un sistema e si indicacon U.Le forme macroscopiche di energia di un sistema sono legate al movimento eall’influenza di effetti esterni come la gravità, il magnetismo, l’elettricità, la tensionesuperficiale. L’energia che un sistema possiede come risultato del moto relativo a un

σ

energialavoro

sistema

chiuso

massamassa

σ

sistema

aperto

energia

lavoro

sistema confineesterno

E

e

eEm---- (kJ/kg)=

E 0=

TERMODINAMICA

2

riferimento esterno si chiama energia cinetica . Quando tutto il sistema si muove

alla stessa velocità l’energia cinetica è espressa da

oppure, riferita all’unità di massa,

dove rappresenta la velocità del sistema relativa a un sistema di riferimento fisso.L’energia che un sistema possiede come risultato della sua posizione in un campogravitazionale si chiama energia potenziale e si esprime come

oppure, riferita all’unità di massa

dove è l’accelerazione di gravità e è la quota del centro di gravità di un sistemarispetto a un piano di riferimento arbitrariamente selezionato.Gli effetti magnetici, elettrici, ecc., sono significativi solo in alcuni casi specifici everranno considerati solo quando è necessario. In assenza di questi effetti l’energiatotale di un sistema è rappresentata dalla somma delle energie interna, cinetica epotenziale

oppure, riferita all’unità di massa

(1)

L’energia interna può essere vista come la somma delle energie potenziale e cineticadelle molecole.La parte dell’energia interna di un sistema associata all’energia cinetica delle mole-cole (traslazionale, rotazionale e vibrazionale) viene chiamata energia sensibile. Inun gas la velocità media e il grado di attività delle molecole sono proporzionali allatemperatura. Quindi, a più alte temperature le molecole possiederanno più alte ener-gie cinetiche e il sistema avrà energia interna più alta.L’energia interna è anche associata alle forze intermolecolari fra le molecole di unsistema. Queste sono le forze che legano le molecole tra di loro e, come ci si potrebbeaspettare, esse sono più forti nei solidi e più deboli nei gas. Se energia sufficienteviene fornita alle molecole di un solido o di un liquido le forze intermolecolari ven-gono superate e il sistema si trasforma in un gas. Questo è un cambiamento di fase.L’energia interna associata al cambiamento di fase di un sistema si chiama energialatente (nascosta). Chiamiamo energia interna termica la somma dell’energia sensi-bile e dell’energia latente .

Le variazioni descritte possono avvenire senza variazioni della composizione chi-mica di un sistema. Molti problemi di termodinamica cadono in questa categoria enon bisogna quindi preoccuparsi delle forze che legano gli atomi all’interno dellemolecole. L’energia interna associata con i legami atomici nelle molecole si chiamaenergia chimica . Durante una reazione chimica, come in un processo di combu-

stione, alcuni legami chimici vengono distrutti mentre altri vengono formati e l’ener-gia interna varierà. Occorre anche menzionare le grandi quantità di energia interna associata con i legamiall’interno del nucleo stesso. Questa energia è chiamata energia nucleare e viene

rilasciata con le reazioni nucleari. Ovviamente non bisogna preoccuparsi dell’energianucleare in termodinamica se non ci occupa di reazioni di fusione o fissione nucleari.Le forme di energia discusse sopra che costituiscono l’energia totale di un sistemapossono essere contenute o immagazzinate in un sistema e così possono essere viste

Ec

Ecmc2

2--------- (kJ)=

ecc2

2----- (kJ/kg)=

c

Eg mgz (kJ)=

eg gz (kJ/kg)=

g z

E U Ec Eg (kJ)+ +=

e u ec eg+ + u c2

2----- gz (kJ/kg)+ += =

Uter

Ech

Enu


come forme statiche di energia. Le forme di energia che non sono immagazzinate inun sistema possono essere viste come forme dinamiche di energia o come interazionienergetiche. Le forme di energia dinamiche si evidenziano al confine del sistema per-ché l’attraversano e rappresentano l’energia ricevuta o perduta da un sistema duranteuna trasformazione. Le uniche due forme di interazione di energia associate a unsistema chiuso sono lo scambio di calore e il lavoro. Una interazione energetica ècalore scambiato se “la forza motrice” è una differenza di temperatura, altrimenti èlavoro.L’energia sensibile e latente di un sistema si chiama energia termica o calore da nonconfondere con il calore scambiato, che è una energia in transito, mentre la prima èposseduta dal sistema.

PROPRIETA’ DI UN SISTEMA

Qualsiasi caratteristica di un sistema si chiama proprietà. Alcuni esempi familiarisono la pressione , la temperatura , il volume e la massa . Continuando contermini meno familiari, la viscosità, la conducibilità termica, il modulo di elasticità, ilcoefficiente di espansione termica, la resistività elettrica, e anche la velocità el’altezza.Alcune proprietà dipendono da altre. La densità è la massa per unità di volume

mentre il volume specifico, che è l’inverso della densità, è il volume per unità dimassa

Le proprietà di un sistema possono essere intensive o estensive. Le proprietà inten-sive sono quelle indipendenti dalla dimensione del sistema come la temperatura, lapressione e la densità. Le proprietà estensive sono quelle i cui valori dipendono dalla

dimensione - o estensione - del sistema. La massa , il volume e l’energia totale

sono alcuni esempi di proprietà estensive.

STATO E EQUILIBRIO

Consideriamo un sistema che non è soggetto a cambiamenti. A questo punto tutte leproprietà possono essere misurate o calcolate ottenendo un insieme di proprietà chedescrivono completamente le condizioni, o lo stato, del sistema. In un dato stato tuttele proprietà del sistema quindi hanno dei valori costanti. Se anche una sola proprietàcambia il sistema evolve verso un altro stato.La termodinamica si occupa di stati di equilibrio. Equilibrio implica uno stato dibilanciamento e manca una “forza motrice” all’interno del sistema. Un sistema che èin equilibrio non subisce variazioni quando è isolato dall’ambiente circostante. Cisono molti tipi di equilibrio e un sistema non è in equilibrio termodinamico se nonsono soddisfatti tutti. Si può avere equilibrio termico (uguaglianza delle tempera-ture), equilibrio meccanico (costanza delle pressioni), equilibrio delle fasi (costanzadella massa di ogni fase), equilibrio chimico (costanza della composizione: no rea-zioni chimiche).Il numero minimo di proprietà richiesto per definire lo stato di un sistema è due, peresempio, e , oppure e , ecc. Il numero effettivo dipende dagli effetti che sidesidera considerare. Se, per esempio, gli effetti gravitazionali vanno consideratioccorre specificare come ulteriore proprietà la quota del sistema termodinamicorispetto a un sistema di riferimento. Le due proprietà richieste per definire lo statodevono essere indipendenti. Indipendenti vuol dire che una proprietà non dipendedall’altra. Temperatura e volume specifico rispettano sempre questo requisito mentrepressione e temperatura sono indipendenti solo nei sistemi monofase. Infatti, neisistemi in cui c’è un cambiamento di fase, come evaporazione e condensazione, pres-sione e temperatura sono legati fra di loro.

p T V m

ρ mV---- (kg/m3)=

vVm---- (m3/kg)=

m V

E

p T T v

TERMODINAMICA

4

PROCESSI E CICLI

Qualunque cambiamento che il sistema subisce da uno stato di equilibrio ad un altroviene chiamato processo o trasformazione e la serie di stati che il sistema attraversa sichiama percorso della trasformazione. Per descrivere un processo completamenteoccorre specificare gli stati iniziale e finale nonché il percorso che segue e le intera-zioni con l’esterno.Quando la trasformazione procede in maniera tale che il sistema rimane infinitamentevicino a uno stato di equilibrio la trasformazione si chiama di quasi-equilibrio. Unatale trasformazione può essere vista come un trasformazione sufficientemente lentada permettere al sistema di adattarsi internamente in maniera che le proprietà si man-tengano uniformi. Va detto che una trasformazione di quasi equilibrio è una trasfor-mazione ideale e non è la vera rappresentazione di trasformazioni reali. L’ingegnere ècomunque interessato a questi processi per due motivi. Innanzi tutto sono più facilida analizzare rispetto ai processi reali, poi, molti dispositivi presentano il massimodelle prestazioni quando il processo è di quasi-equilibrio e ciò rappresenta un riferi-mento con cui confrontare i processi reali.Le trasformazioni possono essere rappresentate graficamente in diagrammi che uti-lizzano come assi coordinati alcune proprietà termodinamiche come temperatura T,pressione p e volume V (o volume specifico).In alcune trasformazioni una particolare proprietà può rimanere costante. Si possonocosì avere trasformazioni isoterme ( = cost), isobare ( = cost), isocore ( = cost),ecc.Un sistema percorre un ciclo se la trasformazione percorsa ritorna al suo stato ini-ziale. Un ciclo può essere costituito da trasformazioni di tipo diverso (isobare, iso-core, ecc).

PRESSIONE

La pressione è la forza esercitata da un fluido per unità di area. Parliamo di pressionequando abbiamo a che fare con un gas o un liquido. Nei solidi parliamo di tensione.Per un fluido in quiete la pressione in un punto è la stessa in tutte le direzioni. Lapressione in un fluido aumenta con la profondità a causa del peso del fluido sovra-stante. La pressione varia in direzione verticale per effetto del campo gravitazionale,ma non c’è nessuna variazione nella direzione orizzontale. La pressione in un reci-piente contenente un gas può essere considerata uniforme poiché il peso del gas ètroppo piccolo per generare una differenza significativa.Poiché la pressione è definita come forza per unità di area, essa si misura in newton(simbolo N) per metro quadrato, che viene chiamato pascal (Pa)

L’unità di misura pascal è in genere molto piccola per le pressioni che si incontrano

nella pratica; perciò, i suoi multipli kilopascal (1 kPa = 103 Pa) e megapascal (1 MPa

= 106 Pa) vengono comunemente utilizzati. Altre unità ancora utilizzate sono

La pressione in un punto viene chiamata pressione assoluta se è riferita al vuoto asso-luto, cioè alla pressione dello zero assoluto. Molti dispositivi che misurano la pres-sione (manometri), comunque, vengono calibrati per leggere zero in condizioniambiente, e così essi indicano (misurano) la differenza tra la pressione assoluta e lapressione dell’ambiente. Questa differenza viene chiamata pressione relativa.Una pressione inferiore all’ambiente viene chiamata pressione del vuoto e vienemisurata da dispositivi (vacuometri) che indicano la differenza tra la pressioneambiente e la pressione assoluta. Pressioni assolute, relative e di vuoto sono tuttequantità positive e sono legate tra di loro

T p v

p

V

1

2

T

V

1 2

p

V

1

23

4

p

z

1 Pa 1 N

m2-------=

1 bar 105 Pa 0.1 MPa 100 kPa= = =

1 atm 101325 Pa 101.325 kPa 1.01325 bar= = =

prel pass pamb–=


In termodinamica viene utilizzata quasi sempre la pressione assoluta.La pressione atmosferica viene misurata dal barometro ed infatti la pressione atmo-sferica viene spesso chiamata pressione barometrica.

Al livello del mare e a 0 °C la pressione ambiente vale .

La pressione atmosferica cambia dal livello del mare al variare dell’altitudine.

Da ricordare che la pressione atmosferica in un luogo è semplicemente il pesodell’aria sopra quel luogo per unità di superficie, perciò, essa cambia non solo conl’altitudine ma anche con le condizioni meteorologiche.

TEMPERATURA

Al fine di misurare la temperatura di un corpo si sfrutta la variazione, prevedibile eripetibile, di diverse proprietà che presentano molti materiali al variare della tempera-tura. Per esempio, il termometro a mercurio sfrutta la dilatabilità del mercurio con latemperatura. Utilizzando alcuni stati facilmente riproducibili, come il punto di conge-lamento e il punto di ebollizione dell’acqua, è quindi possibile costruire una scala,convenzionale, delle temperature. Nel Sistema Internazionale (SI) si usa la scala Cel-sius generata assegnando il valore 0 alla temperatura del ghiaccio fondente e il valore100 alla temperatura di ebollizione dell’acqua, sempre alla pressione atmosferica, esuddividendo questo intervallo in 100 parti. L’unità su questa scala viene definitagrado Celsius che ha il simbolo °C. Il problema con questa scala è che per tempera-ture esterne a questo intervallo non vi sono stati riproducili dell’acqua per cui la

misura verrebbe determinata per estrapolazione1.Emerge che sarebbe desiderabile una scala delle temperature che fosse indipendentedalle sostanze usate. Una scala delle temperature che è indipendente dalle proprietàdelle sostanze usate viene chiamata scala termodinamica delle temperature, e verràintrodotta con il secondo principio della temodinamica. La scala termodinamica delletemperature nel sistema SI è la scala Kelvin. L’unità su questa scala è il kelvin, indi-cato con K. La temperatura più bassa nella scala Kelvin è 0 K, che corrisponde a

.

PROPRIETA’ DELLE SOSTANZE PURE

Una sostanza pura si caratterizza per avere una composizione chimica definita e sta-bile. Può essere anche costituita da una miscela di sostanze diverse, come per esem-

altezza (m) kPa

0 101.325

1000 89.88

2000 79.50

5000 54.05

10000 26.50

20000 5.53

1.Un miglioramento si ottiene con il termometro a gas. Si tratta di un recipiente a volume costante, riempito di gas, usualmente idrogeno o elio, a bassa pressione. Si sfrutta il principio che a bassa pres-sione la temperatura di un gas è proporzionale alla pressione se il volume è costante, cioè si ha

in cui le costanti e vengono determinate sperimentalmente. Utilizzando diversi gas e gli stessi punti di riferimento del ghiaccio fondente e di ebollizione dell’acqua si ottengono i risultati presentati nella figura. Al si sotto di una certa temperatura non si riesce ad andare, a causa della con-densazione del gas, ma per estrapolazione si individua la temperatura a cui si azzera la pressione e quindi rappresenta la minima temperatura che il termometro a gas sarebbe in grado di misurare se il gas fosse ideale. Si individua così una scala assoluta di temperatura e per individuarla basterebbe quindi un solo punto di riferimento, essendo l’altro fisso. Convenzionalmente si è scelto come riferimento il punto triplo dell’acqua (lo stato in cui coesistono in equilibrio tutte e tre le fasi) cui è stato assegnato il valore 0.01 °C.Da quanto esposto emerge che sarebbe desiderabile una scala delle temperature che fosse indipendente dalle sostanze usate. Il gas infatti condensa a bassissime temperature e si dissocia ad altissime tempera-ture.

pvuo pamb pass–=

pamb 101325 Pa=

T a bp+= a b

273.15– 0 T °C[ ]

p gas A

gas B

273.15 K–

TERMODINAMICA

6

pio l’aria atmosferica, purché sia omogenea. Una sostanza pura può essere monofaseo multifase, cioè più fasi che coesistono contemporaneamente, come nell’evapora-zione dell’acqua.Molte sostanze vengono utilizzate nei sistemi energetici per via delle loro proprietàfisiche. Per esempio l’acqua è spesso utilizzata nei sistemi di riscaldamento per tra-sferire energia termica dalla caldaia ai corpi scaldanti, l’aria è impiegata nei sistemidi ventilazione di locali, il vapor d’acqua è utilizzato nelle turbine per produrre ener-gia elettrica, ecc.E’ quindi importante caratterizzare, da un punto di vista energetico, le varie sostanzeutilizzate negli impianti tecnici. Macroscopicamente possiamo suddividere questesostanze in liquidi, vapori e gas.Per quanto riguarda i liquidi, poiché il modello comunemente adottato è quello difluido incompressibile, anche se in realtà è debolmente compressibile, basterà indi-care la densità o, in alternativa, il volume specifico. Quando è richiesto si considereràla variazione della densità con la temperatura, impiegando tabelle.Per i vapori le proprietà termodinamiche vengono fornite tradizionalmente attraversodiagrammi e tabelle. Per l’uso di questi strumenti è necessario aver chiaro i vari statiin cui può esistere una sostanza pura e le principali trasformazioni energetiche.Per questo scopo consideriamo la trasformazione termodinamica che un liquido, peresempio acqua, subisce per effetto del riscaldamento alla pressione atmosferica (è ilclassico esempio dell’acqua posta in una pentola sul fuoco), e illustriamo su un dia-gramma termodinamico, per esempio - , gli stati via via percorsi.Partendo dallo stato 1, in cui è presente acqua allo stato liquido (detto anche liquidocompresso o sotto raffreddato), e somministrando calore si osserva un innalzamentodella temperatura a pressione costante essendo la pentola in comunicazione conl’ambiente. Come sappiamo dall’esperienza, quando l’acqua, al livello del mare, rag-giunge 100 °C inizia a bollire cioè parte dell’acqua evapora. Quando un liquido sitrova nello stato 2 in cui inizia l’evaporazione si chiama liquido saturo.

Una volta iniziata l’ebollizione l’aumento di temperatura si arresta finché non eva-pora tutto il liquido, cioè quando si raggiunge lo stato 4. Il vapore in questo stato sichiama vapore saturo e secco. In un punto intermedio, stato 3, si ha una miscela diliquido e vapore che prende il nome di vapore saturo umido. Il vapore saturo e seccoè nuovamente monofase, come il liquido. Fornendo ancora calore, sempre a pres-sione costante, la temperatura ritorna a salire, raggiungendo, per esempio, lo stato 5.Il vapore in queste condizioni si chiama surriscaldato.Da notare come il volume specifico dell’acqua sale continuamente nelle tre fasi in cuipossiamo suddividere la trasformazione e cioè riscaldamento del liquido (1-2), eva-porazione del liquido (2-4) e surriscaldamento del vapore (4-5).Durante il cambiamento di fase è necessario conoscere le proporzioni delle fasiliquida e vapore nella miscela. Si introduce una nuova proprietà, chiamata titolo,definita dal rapporto tra la massa di vapore e la massa totale

Il titolo può variare tra 0 (liquido saturo) e 1 (vapore saturo e secco).

T v

liqui

do

vaporesurriscaldato

miscelasatura

1

2

3 4

T

v

p 100 kPa=

5

xmvap

mvap mliq+---------------------------=


Il complemento a 1 del titolo è l’umidità, definita come .

La trasformazione descritta è reversibile nel senso che è possibile sottrarre calore,sempre a pressione costante, per tornare allo stato iniziale 1. L’esperienza può essere ripetuta cambiando la pressione, si pensi per esempio ad unapentola a pressione, ottenendo delle curve di trasformazione analoghe alle precedenti.

Unendo i vari stati 2 e 4 si ottengono due rami di curva che confluiscono nel punto ,chiamato punto critico, caratterizzato dal fatto che si passa dallo stato liquido allostato di vapore direttamente, senza transitare nella zona di miscela bifase in cui coesi-stono liquido e vapore. I due rami della curva si chiamano curva limite inferiore(c.l.i.) quella che separa il liquido sotto raffreddato dal vapore saturo umido e curvalimite superiore (c.l.s.) quella che separa il vapore saturo umido dal vapore surriscal-dato.

I valori delle proprietà nel punto critico sono caratteristici di ogni sostanza, perl’acqua si ha e . Per l’elio e

. Quando un vapore si trova a una temperatura ben al di sopra della

temperatura critica e/o a pressioni molto basse prende il nome di gas. Ciò significa,per esempio, che l’elio alle condizioni ambiente è un gas perché la temperaturaambiente, circa 25 °C, è ben al di sopra della sua temperatura critica. Analogamenteil vapor d’acqua può essere considerato un gas a temperatura ambiente solo se la suapressione è molto bassa. Ciò accade, per esempio, nell’aria atmosferica dove è pre-sente una piccola quantità di vapor d’acqua (umidità dell’aria). Poiché la pressione acui si trova questo vapore corrisponde alla sua pressione parziale nella miscela(ovvero la pressione a cui si porterebbe il vapore in un dato volume se venisseestratta tutta l’aria) ed essendo questa pressione molto bassa, il vapor d’acqua conte-nuto nell’aria atmosferica può essere considerato un gas.Il distinguere se un una sostanza si trova sotto forma di vapore o di gas non è solo perragioni accademiche ma ha un importante risvolto pratico. Infatti, mentre per i vaporiè necessario ricorrere a tabelle e diagrammi per ricavare le proprietà termodinamiche,per i gas è possibile utilizzare, con buona approssimazione, una semplice relazionefra alcune proprietà, che come vedremo, evita di ricorrere a diagrammi e tabelle.Qualunque equazione che lega pressione, temperatura e volume specifico di unasostanza si chiama equazione di stato. In realtà, esistono equazioni di stato disostanze valide per qualsiasi stato di aggregazione, sia liquido che vapore o gas, maqueste relazioni sono molto complesse e richiedono l’uso di un computer. Di granlunga più semplice è l’equazione di stato del cosiddetto gas ideale, che a dispetto delnome trova applicazione nella grande maggioranza di problemi ingegneristici.

mliq

mvap mliq+---------------------------

c

T

v

Tc

pc

c gas

liquido+vapore

liquido

vapore

pc 22.09 MPa= Tc 374.14 °C= pc 0.23 MPa=

Tc 267.85 °C–=

TERMODINAMICA

8

EQUAZIONE DI STATO DEI GAS IDEALI

Una mole è una quantità di sostanza che ha una massa numericamente uguale alla suamassa molecolare. Una chilomole ( ) di ossigeno ha, per esempio, una massa di32 kg.Se indichiamo con la massa molecolare e con il numero di moli, la massa diuna sostanza sarà

Sia il volume totale occupato da una sostanza. Sarà:- volume specifico = volume per unità di massa

- volume molare = volume per mole

.

Con buona approssimazione molti gas si comportano in accordo all’equazione

(2)

per un campo abbastanza esteso di temperature e pressioni. Questa equazione è chia-mata equazione di stato di un gas ideale. Il termine equazione di stato significa cheessa stabilisce una relazione tra le proprietà termodinamiche necessarie a definire lostato del sistema. In particolare, note due proprietà tra le tre necessarie a definire lo

stato del sistema la terza è determinata univocamente dall’equazione di stato.

è la costante universale dei gas2. Si osservi che si sono indi-

cate con la pressione assoluta e con la temperatura assoluta del gas. Si può scrivere l’equazione di stato in molti modi diversi. Ad esempio dividendo

l’equazione (2) per il numero di moli si ottiene:

(3)

Ancora, dividendo l’equazione (2) per la massa , abbiamo:

(4)

ma , cosicchè

(5)

in cui il rapporto è chiamato costante del gas.

Per l’aria, ad esempio, si può considerare da cui .

Moltiplicando l’equazione (5) per la massa possiamo anche scrivere

(6)

2.Supponiamo di condurre una serie di esperimenti con diversi gas. Se misuriamo la pressione, il volume e la temperatura di 1 kmole di ciascun gas sottoposto a varie pressioni e temperature, ripor-tando i risultati su un diagramma si trova che, indipendentemente dal gas, le linee a temperatura costante convergono tutte in un punto quando la pressione tende a zero. Questo valore viene definito

costante universale dei gas:

kmol

M n

m nM=

V

vVm---- (m3/kg)=

vVn--- (m3/kmol)=

pV nR T=

p v T,,

R 8314.14 J

kmol K------------------=

R pvT------

p 0→lim 8314.14

Jkmol K------------------= =

pvT------

p

RT

p T

n

pv R T=

m

pvnm----R T=

m nM=

pvRM------ T RT= =

RM------ R=

M 28.97 kg

kmol------------= R 287

Jkg K-----------=

m

pV mRT=

PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI CHIUSI


oppure ancora, dall’equazione (5), essendo

(7)

I gas ideali, oltre a rispettare l’equazione di stato , non sono viscosi (cioè al

loro interno non si manifesta lavoro d’attrito , ed hanno capacità termiche massi-

che (vedere oltre) costanti al variare delle condizioni termodinamiche. La tabella chesegue riassume le caratteristiche di altri tipi di gas: perfetti, quasi perfetti e reali. Ungas reale, oltre che essere viscoso, soddisfa una equazione di stato del tipo

in cui è il fattore di comprimibilità. per un gas ideale, perfetto o quasi-per-

fetto.


L’energia non può essere creata né distrutta; essa può solo cambiare forma. Questoprincipio è basato su osservazioni sperimentali ed è noto come primo principio dellatermodinamica o principio di conservazione dell’energia. Il primo principio puòessere espresso nella maniera seguente: durante una interazione tra un sistema el’esterno la quantità di energia ricevuta dal sistema deve essere esattamente ugualealla quantità di energia ceduta dall’esterno.

L’energia può attraversare i confini di un sistema chiuso in due forme distinte: Caloree lavoro. E’ importante distinguere queste due forme di energia.

CALORE

L’esperienza ci dice che una lattina ghiacciata di coca lasciata su un tavolo si riscaldae che una tazza di caffè caldo lasciata sullo stesso tavolo si raffredda. Cioè, quandoun corpo viene lasciato in un mezzo a temperatura diversa si ha un trasferimento dienergia tra il corpo e l’ambiente fino a quando non si raggiunge un equilibrio ter-mico, ovvero il corpo e l’ambiente raggiungono la stessa temperatura. La direzionedella trasmissione di energia è sempre dal corpo a più alta temperatura a quello a tem-peratura più bassa. Nei processi descritti energia viene trasferita sotto forma dicalore.

Si definisce calore la forma di energia che viene trasmessa tra due sistemi (o tra ilsistema e l’esterno) in virtù di una differenza di temperatura. In assenza di una diffe-renza di temperatura non può esserci un trasferimento di calore tra due sistemi. Nel

Gas Equazione di stato Tipo di fluido Capacità termiche massiche

Gas ideali (non viscoso)

Gas perfetti (viscoso)

Gas quasi-perfetti (viscoso)

Gas reali (viscoso)

ρ mV---- 1

v---= =

pρ--- RT=

pv RT=

lw

pvRT------- Z p T,( )=

Z Z 1=

pv RT= lw 0= cp cost=

cv cost=

pv RT= lw 0≠ cp cost=

cv cost=

pv RT= lw 0≠ cp cp T( )=

cv cv T( )=

pvRT------- Z p T,( )=

lw 0≠ cp cp T p,( )=

cv cv T p,( )=

TERMODINAMICA

10

linguaggio comune indichiamo le forme di energia sensibile e latente dell’energiainterna con il termine calore (sensibile e latente) e parliamo anche di calore contenutoin un corpo. In termodinamica si indicano queste forme di energia come energia ter-mica in maniera da evitare confusioni con il calore scambiato o trasmesso, che èenergia termica “in transito”.Un processo che si svolge senza trasmissione di calore viene chiamato processo adia-batico. Ci sono due modi per rendere adiabatico il processo: o il sistema è bene iso-lato oppure la differenza di temperatura tra il sistema e l’esterno è nulla. Ciò nonimplica che il processo sia anche isotermo. Infatti il contenuto di energia di unsistema, e quindi la temperatura, può cambiare per effetto di altre interazioni energe-tiche diverse dal calore (per esempio per scambio di lavoro con l’esterno).Essendo una forma di energia, il calore ha la stessa unità di misura dell’energia e

cioè o . Il calore scambiato per unità di massa o calore massico è

Talvolta è desiderabile conoscere il calore scambiato nell’unità di tempo che si

misura in che è equivalente a e rappresenta quindi una potenza termica scam-

biata. La potenza scambiata, che è una grandezza istantanea, può poi essere ricon-dotta a una quantità di calore integrando nell’intervallo di tempo del processo.Il calore è una grandezza direzionale ed è necessario adottare una convenzione disegno per stabilirne la direzione. La convenzione universalmente accettata è di consi-derare il calore positivo se ricevuto dal sistema e negativo se ceduto dal sistema.Il calore può essere trasmesso in tre modi diversi: conduzione, convezione e irraggia-mento e verranno trattati più avanti.

LAVORO

Il lavoro, come il calore, è una interazione tra un sistema e l’esterno. Come dettoprima, l’energia attraversa i confini di un sistema sotto forma di calore e lavoro. Per-ciò, se l’energia che attraversa i confini di un sistema chiuso non è calore, allora deveessere lavoro. Più specificatamente il lavoro è l’energia trasmessa con una forza cheagisce per una distanza (spostamento). Lo stelo di uno stantuffo, un albero rotante e ifili elettrici che attraversano i confini del sistema sono tutti associati con scambi dilavoro.Il lavoro è anche una forma di energia come il calore e si misura in . Il lavoro perunità di massa è

Il lavoro scambiato nell’unità di tempo si chiama potenza e l’unità di misura è

o .Anche per il lavoro è necessaria una convenzione del segno. Utilizziamo inizialmentela stessa convenzione utilizzata per il calore: il lavoro è positivo se ricevuto dalsistema, negativo se fatto dal sistema sull’esterno.Calore e lavoro sono interazioni tra un sistema e l’esterno e ci sono alcune similaritàtra i due:

1. entrambi si evidenziano al confine del sistema e l’attraversano;

2. isistemi possiedono energia ma non calore o lavoro. Cioè, calore e lavoro sono fenomeni in transito;

3. entrambi sono associati a una trasformazione e non a uno stato del sistema. Diver-samente dalle proprietà di un sistema, calore e lavoro non hanno significato in uno stato;

4. entrambi sono funzioni di linea (cioè essi dipendono dal percorso della trasforma-zione, compresi gli stati iniziale e finale).

Q

J kJ

qQm----

kJkg------⎝ ⎠⎛ ⎞=

Q·

kJs

----- kW

L J

lLm----

Jkg------⎝ ⎠⎛ ⎞=

PkJs

-----

kW



Le funzioni di linea hanno differenziali inesatti che vengono indicati con il simbolo. Così, una quantità differenziale di calore e lavoro viene indicata con o ,

rispettivamente, invece di o . Le proprietà, comunque, sono funzioni di puntoo di stato (cioè, essi dipendono soltanto dallo stato, e non da come il sistema rag-giunge quello stato) ed hanno differenziali esatti indicati con il simbolo . Una pic-

cola variazione di volume, per esempio, viene rappresentata da e la variazione

totale di volume lungo una trasformazione tra gli stati e è

Cioè, la variazione di volume in una trasformazione è sempre il volume nello

stato meno il volume nello stato , indipendentemente dal percorso seguito. Il

lavoro totale durante la trasformazione , comunque, è

Cioè, il lavoro totale si ottiene seguendo la linea di trasformazione e sommando lequantità differenziali di lavoro ( ) fatte via via. L’integrale di non è

(cioè, il lavoro nello stato meno il lavoro nello stato ), che è senza significatoperché il lavoro non è una proprietà del sistema e i sistemi non possiedono lavoro inuno stato.

LAVORO MECCANICO

Ci sono diversi modi di fare lavoro, ciascuno in qualche modo è legato a una forzache agisce per un certa distanza. Nella meccanica elementare il lavoro fatto da unaforza costante su un corpo che viene spostato per una distanza nella direzionedella forza è dato da

Se la forza non è costante, il lavoro si ottiene sommando (cioè integrando) le quantitàdifferenziali di lavoro (forza moltiplicata per lo spostamento differenziale ):

Ovviamente occorre conoscere come la forza varia con lo spostamento per potereffettuare l’integrazione.Affinché un sistema termodinamico abbia una interazione energetica sotto forma dilavoro è quindi necessario che una forza sia applicata sul confine del sistema e che

quella parte del confine si sposti di una certa distanza .Una forma di lavoro meccanico che si incontra frequentemente in pratica è associatacon l’espansione e la compressione di un gas in un dispositivo stantuffo-cilindro.Durante questo processo parte del confine (la faccia interna dello stantuffo) si muoveavanti e indietro.

Considerando il gas racchiuso nel dispositivo, sia la pressione iniziale del gas,

il volume totale e la sezione dello stantuffo. Se lo stantuffo si muove molto lenta-mente, senza attriti e in maniera che il sistema sia sempre in equilibrio, per unadistanza il lavoro fatto durante questa trasformazione sarà

Cioè il lavoro scambiato con l’esterno in forma differenziale è uguale al prodottodella pressione per il volume . Poiché la pressione è sempre positiva il segno del

δ δQ δL

dQ dL

d

dV

1 2

Vd

1

2

∫ V2 V1– ΔV= =

1 2–

2 1

1 2–

δL

1

2

∫ L12=

δL δL L2 L1–

2 1

F s

L F s kJ( )⋅=

ds

F s kJ( )d1

2

∫

s

p

δL pdV=

1

2

V1 V2 V

dV

p

p1 V1

A

ds

δL Fds pAds pdV= = =

dV

TERMODINAMICA

12

lavoro verrà determinato dal segno di . Se il volume aumenta, come nel caso della

figura, è positivo e il lavoro anche. Per rispettare la convenzione stipulata prece-

dentemente è necessario anteporre un segno meno al prodotto in maniera daottenere un lavoro negativo perché è il sistema che fa lavoro sull’esterno:

(8)

Il lavoro totale fatto durante l’intera trasformazione si ottiene integrando illavoro elementare dallo stato iniziale a quello finale

L’integrale può essere calcolato solo se si conosce la relazione funzionale tra e

durante la trasformazione. Cioè la funzione deve essere disponibile. Da

notare che è semplicemente l’equazione della trasformazione in un dia-

gramma . Su questo stesso diagramma rappresenta l’area sottesa dalla

curva di trasformazione (area ) e quindi anche il lavoro scambiato

con l’esterno, anche se in un processo idealizzato come quello descritto.

I PRINCIPIO SISTEMI CHIUSI

Il I principio esprime una relazione tra l’energia posseduta da un sistema e le intera-zioni energetiche che il sistema ha con l’esterno sotto forma di calore e lavoro. Ilprimo principio o principio di conservazione dell’energia, non può essere dimostratomatematicamente ma nessun processo in natura ha mai violato il I principio e ciòdeve essere considerato come prova sufficiente. Il I principio si basa quindi su osser-vazioni sperimentali.

Individuato un sistema termodinamico, come una porzione di massa che scambiaenergia, sotto forma di calore e di lavoro, con l’esterno passando dallo stato termodi-namico I a II, il principio di conservazione dell’energia afferma che

(9)

Il sistema che subisce la trasformazione è chiuso nel senso che esso non scambiamassa con l’esterno.Chiariamo la natura della funzione energia totale E. Chiaramente essa comprendel’energia gravitazionale e cinetica , ma comprende anche l’energia interna ter-

mica , cioè quella che risulta dall’energia cinetica delle molecole della sostanza

che compone il sistema e viene usualmente evidenziata da una maggiore o minoretemperatura del sistema. Ma potremmo anche considerare l’energia chimica intrin-seca di una sostanza o l’energia nucleare , ecc.

In conclusione quindi

(10)

dove è sottinteso che le energie elettrica, magnetica, ecc., possono anche essereincluse quando è il caso.Le lettere maiuscole indicano le proprietà totali di un intero sistema mentre quelleminuscole (e ed u) verranno usate per indicare le proprietà per unità di massa delsistema.Supponiamo adesso che il sistema percorra un ciclo, cioè una continua serie di tra-sformazioni, cosicchè il sistema ritorni periodicamente al suo stato iniziale. Se consi-

dV

dV

pdV

δL pdV–=

1 2–

L p Vd

1

2

∫–=

p V

p f V( )=

p f V( )=

p V– p Vd∫V1 1– 2– V2–

E1 E2

E2L

QQ ΔE se L 0= =

L ΔE se Q 0= =

I

II

Q

L

Efinale

Einiziale

Q L+ ΔE Efinale Einiziale–= =

Eg Ec

Uter

Ech Enu

E U Eg Ec+ + Uter Ech Enu Eg Ec …+ + + + += =



deriamo una trasformazione elementare del sistema, allora il primo principio puòessere scritto in forma differenziale

(11)

Chiaramente, poiché l’energia interna E è una funzione di stato, la sua variazionedeve essere nulla in un ciclo completo, e abbiamo

(12)

dove il segno di integrale indica un processo ciclico.Si deve rilevare che, in generale, calore e lavoro sono funzioni di linea e, così, pervalutare la loro grandezza dobbiamo considerare il tipo di trasformazione seguita.D’altra parte, l’energia interna è una funzione di stato ed è caratterizzata matematica-mente da

Quindi può essere descritto, in linguaggio matematico, come un differenziale

esatto, mentre e sarebbero chiamati differenziali inesatti. Utilizzeremo i sim-

boli modificati e per indicare il fatto che i differenziali calore e lavoro sono,in generale, funzioni di linea

E’ importante notare che il calore è solamente quello scambiato dal sistema attra-verso i suoi confini, per effetto di una differenza di temperatura, e il lavoro è quellodovuto all’azione di forze esterne sul sistema. Per queste ragioni introdurremo ilpedice e, per esterno, a Q e L

(13)

LAVORO ESTERNO

Il lavoro effettuato sul sistema dalle forze superficiali esterne è dato, nel caso piùgenerale, da

(14)

come potrebbe dimostrarsi applicando la seconda legge della dinamica ad un ele-mento di fluido, e in cui rappresenta l’incremento di lavoro che le forze di superfi-

cie compiono su ciascun elemento del sistema a causa delle resistenze passive.Il primo principio della termodinamica per un sistema chiuso assume allora la forma

ovvero

(15)

e, ancora, in forma differenziale, cioè per una trasformazione elementare

Riferendoci all’unità di massa

(16)

Il termine rappresenta l’energia persa e non convertita in lavoro a causa di attriti,

cioè azioni viscose, che si manifestano all’interno del fluido e tra fluido e pareti.Occorre pensare al fluido dotato di moti interni che portano le molecole a muoversicon velocità diverse fra di loro generando quindi degli scorrimenti delle une rispettoalle altre. Questo strisciamento dissipa energia che viene convertita in calore. E’

dQ dL+ dE=

dQ dL∫°+∫° 0=

dE∫° 0=

dE

dQ dL

δQ δL

δQ δL+ dE=

δQe δLe+ dE=

Le

Le p Vd∫– ΔEc Lw ΔEg …+ + + +=

lw

Qe p Vd∫– ΔEc Lw ΔEg …+ + + + ΔU ΔEc ΔEg …+ + +=

Qe Lw+ ΔU p Vd∫+=

δQe δLw+ dU pdV+=

δqe δlw+ du pdv+=

lw

TERMODINAMICA

14

come se ci fosse una sorgente interna di calore. Il calore netto che un sistema riceve èper questa ragione dato dalla somma algebrica tra il calore scambiato con l’esterno

, e che attraversa i confini del sistema, e il calore conseguente all’energia persa per

attrito, chiamato lavoro di attrito , cioè il lavoro fatto dalle forze di attrito. Indi-

cando con il calore netto che il sistema riceve si ha:

(17)

e la (16) diventa

(18)

A questo punto introduciamo una nuova proprietà che useremo più avanti e che èmolto utilizzata nella pratica. Si tratta dell’entalpia che è definita come:

oppure in unità massiche

(19)

Differenziando questa relazione otteniamo

da cui si evince che il secondo membro della (18) equivale a per cui

(20)

CALORE E CALORE SPECIFICO

Abbiamo visto che il calore è un’interazione energetica tra il sistema termodinamicoe l’esterno; attraverso questa interazione il sistema può aumentare o diminuire la suaenergia interna termica e quindi la sua temperatura. Ci domandiamo allora quantocalore è necessario introdurre per aumentare di una certa quantità la temperatura diun sistema. Dall’esperienza sappiamo che per aumentare la temperatura di 1 kg diferro da 20 °C a 30 °C sono necessari circa 4.5 kJ di energia mentre servono 41.8 kJdi energia per aumentare della stessa quantità la temperatura di 1 kg di acqua. E’quindi necessaria una proprietà che sia in grado di esprimere la capacità di immagaz-zinare energia delle varie sostanze. Questa proprietà è il calore specifico.Definizione: se una quantità di calore viene ceduta a un sistema, che varierà la

sua temperatura di , allora il calore specifico viene definito come

(21)

in cui non è il differenziale di una funzione che non esiste, ma semplicemente la

piccola quantità di calore occorrente ad ottenere il piccolo aumento di tempera-tura. C’è da osservare che per ottenere un dato incremento di temperatura possonooccorrere quantità di calore molto diverse secondo le circostanze nelle quali la tra-sformazione avviene. Può, per esempio, l’incremento di temperatura ottenersi in unatrasformazione a volume costante o a pressione costante (fornendo nei due casi quan-tità di calore diverse) oppure mediante una compressione adiabatica (senza fornituradi calore!) oppure ancora con una compressione refrigerata (con sottrazione dicalore).Il calore specifico acquista significato soltanto quando si definisce la trasformazionepercorsa dal sistema nel variare di temperatura.Nello studio degli aeriformi sono di particolare interesse i calori specifici (o capacitàtermiche massiche) a pressione costante ed a volume costante

, (22)

Se si utilizza l’equazione dell’energia, scritta nella forma

qe

lw

q

δq δqe δlw+=

δq du pdv+=

H U pV J( )+=

h u pv J kg⁄( )+=

dh du pdv vdp+ +=

dh vdp–

δq du pdv+ dh vdp–= =

qδdT c

cqδ

dT------

kJkgK----------⎝ ⎠⎛ ⎞=

qδdT

cpqδ

dT------⎝ ⎠⎛ ⎞

p= cv

qδdT------⎝ ⎠⎛ ⎞

v=



si ottengono delle relazioni per i calori specifici a volume costante e a pressionecostante molto utili nelle applicazioni

o meglio (23)

in quanto, in generale, non è solo funzione della temperatura.Analogamente

o meglio (24)

Risulta in tal modo che i calori specifici rappresentano proprietà del sistema.I calori specifici, al pari di altre proprietà termodinamiche, possono variare forte-mente con la temperatura e la pressione di una sostanza, e devono essere impiegatidati sperimentali per ottenere risultati affidabili. Per variazioni di temperature mode-ste i valori possono essere assunti costanti in calcoli di prima approssimazione.Nei liquidi e nei solidi e sono circa uguali, mentre c’è un’apprezzabile diffe-

renza per i gas

CALORI SPECIFICI DEI GAS IDEALI

Si dimostra che, se un gas obbedisce all’equazione di stato allora l’energiainterna e l’entalpia risultano funzioni della sola temperatura, per cui si può scrivere

Inoltre, se i calori specifici sono costanti, si hanno i seguenti risultati

Per gas a basse pressioni i calori specifici sono circa costanti e non variano, perristretti campi di temperatura. Spesso, nelle applicazioni, ci si riferisce ad un gas ide-ale, che obbedisce all’equazione di stato , con calori specifici costanti.

Una utile relazione3 tra e per un gas ideale è:

(25)

A questo punto introduciamo un’altra proprietà dei gas ideali chiamato rapporto deicalori specifici , definito come

Al 0.896

Cu 0.383

Fe 0.452

4.18

Olio minerale 1.9

Hg 0.14

Aria 1.005 0.718

14.32 10.17

0.846 0.653

qδ du pdv+ dh vdp–= =

cvqδ

dT------⎝ ⎠⎛ ⎞

v

dudT------⎝ ⎠⎛ ⎞

v= = cv T∂

∂u⎝ ⎠⎛ ⎞

v=

u

cpqδ

dT------⎝ ⎠⎛ ⎞

p

dhdT------⎝ ⎠⎛ ⎞

p= = cp T∂

∂h⎝ ⎠⎛ ⎞

p=

cp cv

cp kJ

kgK----------⎝ ⎠⎛ ⎞ cv

H2O

H2

CO2

pv RT=

uΔ u2 u1– cv TdT1

T2

∫= = hΔ h2 h1– cp TdT1

T2

∫= =

u2 u1– cv T2 T1–( )= h2 h1– cp T2 T1–( )=

pv RT=

cp cv

R cp cv–=

γ

TERMODINAMICA

16

(26)

Anche il rapporto dei calori specifici varia con la temperatura anche se in manieracontenuta. Per i gas monoatomici vale . Molti gas biatomici, inclusa

l’aria, hanno un rapporto dei calori specifici pari a a temperatura ambiente.

LE TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE

Un fluido, inizialmente in un certo stato termodinamico (I), si porta ad uno stato ter-modinamico diverso (II), mediante una trasformazione termodinamica.

TRASFORMAZIONE POLITROPICA. É la trasformazione più generale che sipuò avere.

(27)

L’equazione (27) è l’equazione di una generica trasformazione che congiunge due

diversi stati del fluido, caratterizzanti l’esponente e la costante , la

quale, se e sono costanti o possano considerarsi tali nell’escursione di tempe-

ratura interessata, ha la prerogativa di congiungere due diversi stati del fluido mante-nendo invariato il calore specifico durante l’evoluzione. A siffatta trasformazione si

dà il nome di politropica4.Se il fluido obbedisce all’equazione di stato , l’equazione della politropicasi può anche esprimere come segue

3.Si può derivare nel modo seguente: poiché e , sottraendo queste espres-

sioni si ha , ma cosicchè

e .

Una analoga relazione si ottiene se si utilizzano grandezze molari, infatti moltiplicando tutti i termini

per la massa molecolare si ha .

4.Dal 1º principio

si ha

Dividendo membro a membro si ottiene il rapporto mediante il quale si può scri-

vere

e, se n è costante o tale può ritenersi quale valore medio in una ristretta gamma di temperature, inte-grando

ossia .

La relazione , qualora sia noto l’esponente della politropica , può essere utilizzata per

determinare la capacità termica massica .

dh cpdT= du cvdT=

dh du– cp cv–( )dT= dh du d pv( )+ du RdT+= =

RdT cp cv–( )dT= R cp cv–=

M R cp cv–=

γcp

cv

----=

γ 1.667=

γ 1.4=

pvn cost=

ncp c–

cv c–-------------= cost

cp cv

qδ dh vdp–= cdT cpdT vdp–=

qδ du pdv+= cdT cvdT pdv+=

n vdppdv---------–

cp c–

cv c–--------------= =

n pdv vdp+ 0= ndvv

------ dpp

------+ 0=

n vln pln+ cost= pvn cost=

ncp c–

cv c–--------------= n

c cvn γ–n 1–------------⋅=

pv RT=

p RTv

-------=RTv

------- vn cost= T vn 1– cost=

v RTp

-------= pRTp

-------⎝ ⎠⎛ ⎞

n

cost= T

pn 1–

n------------

----------- cost=



Osservazione. La trasformazione politropica consente di calcolare il calore comples-

sivo che un sistema riceve , e un termine importante del lavoro: .

Vale5:

(28)

Forme alternative della soluzione dell’integrale si ottengono facendo intervenire ilrapporto delle pressioni

(29)

oppure il rapporto delle temperature

(30)

In modo analogo è possibile risolvere l’integrale , che incontreremo più

avanti6.

Se il fluido è un gas perfetto, si può scrivere

(31)

Facendo intervenire il rapporto delle temperature si ottiene l’espressione alternativa

(32)

TRASFORMAZIONE ADIABATICA REVERSIBILE . In questo caso risulta

per cui

L’equazione caratteristica è dunque

(33)

5.Infatti, essendo si può esplicitare che sostituita nell’integrale con-

sente di risolverlo:

6.Dalla si ricava , da sostituire nell’integrale:

qδ cdT= p vd∫–

p1v1n pvn= p p1v1

n v n–=

p vd1

2

∫ p1v1n v n– vd

1

2

∫ p1v1n 1

n– 1+---------------- v n– 1+

1

2

1n 1–------------p1v1

n– v2n– 1+ v1

n– 1+–[ ] 1n 1–------------p1v1

nv1n– 1+

v2v1-----⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ n– 1+

1––

1n 1–------------– p1v1

v1v2-----⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞n 1–

1– 1n 1–------------– RT1

v1v2-----⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞n 1–

1–

= =

= =

= =

p vd1

2

∫ 1n 1–------------– RT1

v1

v2

----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–

1–=

p vd1

2

∫ 1n 1–------------– RT1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------1–=

p vd1

2

∫ 1n 1–------------R– T2 T1–[ ]=

v pd∫

v pd1

2

∫ nn 1–------------p1v1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------1–=

p1v1n pvn= v p1

1 n/ v1 p 1 n/–=

p11 n/ v1 p 1 n/– pd

1

2

∫ p11 n/ v1

11n---– 1+

-----------------p

1n---– 1+

1

2n

n 1–------------p1

1 n/ v1p1

n 1–n

------------ p2p1------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

n 1–n

------------1–= =

v pd1

2

∫ nn 1–------------RT1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------1–=

v pd1

2

∫ nn 1–------------R T2 T1–[ ]=

c qδdT------ 0= = n

cp c–

cv c–-------------

cp

cv

---- γ= = =

pvγ pργ----- cost= =

TERMODINAMICA

18

Inoltre, sostituendo semplicemente ad risulta

(34)

calcolato lungo un’adiabatica reversibileAltri casi particolari di politropica sono i seguenti

- isobara

- isocora

- isoterma

PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI APERTI

Abbiamo visto che il sistema chiuso non ammette trasferimenti di massa attraverso isuoi confini; il sistema può solo scambiare energia come esso passa da uno stato adun altro. Adesso consideriamo il sistema aperto, nel quale la massa può entrare eduscire da un certo volume nello spazio.

IL VOLUME DI CONTROLLO. Per studiare i sistemi aperti, introduciamo il con-cetto di volume di controllo. Questo volume è una regione dello spazio da osservarerispetto alla materia e all’energia che attraversano i suoi confini.Consideriamo dapprima il principio di conservazione della massa, che si può scrivere

massa entrante in = massa uscente da + incremento di massa in

dove è la massa entrante nell’unità di tempo nel volume di controllo, è la

massa uscente nell’unità di tempo dal volume di controllo e indica l’accu-

mulo di massa nell’unità di tempo all’interno del volume di controllo. Nel caso diingressi e uscite multiple, occorre eseguire una sommatoria estesa a tali flussi perdeterminare il bilancio di massa

(35)

Osservazione) In generale, la portata in massa può essere espressa come:

(36)

dove è la densità del fluido, la velocità assoluta ed la sezione di passaggioperpendicolare alla direzione del moto. Infatti:

Il principio di conservazione dell’energia7 per un sistema chiuso è

7.Prima di passare all’analisi energetica di un volume di controllo, consideriamo qualitativamente cosa accade a una data quantità di massa che attraversa il volume di controllo, cioè, il comportamento di un sistema termodinamico chiuso che subisce un processo che lo porta ad attraversare il volume di con-trollo. Il sistema termodinamico chiuso potrà subire effetti di pressione dalle vicinanze, trasmettere calore attraverso i suoi confini, e subire l’azione di forze che producono lavoro. L’energia totale E del sistema chiuso potrebbe cambiare come risultato del suo spostamento da una posizione ad un’altra e, forse, per una variazione della sua velocità. Indipendentemente da ciò, possiamo certamente analizzare il sistema mediante il principio di conservazione dell’energia. Inoltre la massa totale entrante e uscente dal volume di controllo può essere pensata come un gruppo di elementi di massa , ovvero, un gruppo di piccoli sistemi termodinamici chiusi. Possiamo perciò considerare che le masse entrante e uscente dal volume di controllo trasportino energia interna attraverso i confini del volume di controllo.

γ n

v pd1

2

∫ γγ 1–-----------RT1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------1–=

p cost= c cp= n 0=

v cost= c cv= n ∞=

T cost= pv cost= c ∞= n 1=

σ σ σm· i

me·

dmdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σ

σ

m· i m· e τddm⎝ ⎠⎛ ⎞

σ+=

m· i m· e

τddm⎝ ⎠⎛ ⎞

σ

Σim· i τddm⎝ ⎠⎛ ⎞

σΣem· e+=

m·

m· ρAc=

ρ c A

m· dmdτ------- d ρV( )

dτ--------------- d ρAx( )

dτ------------------ ρA

dxdτ------ ρAc= = = = =

dEdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σ

Qeδdτ

---------Leδ

dτ--------

m· i m· e

eiee

σ

dm



(37)

dove ed rappresentano l’energia trasportata nell’unità di tempo

all’ingresso e all’uscita, rispettivamente, e indica la variazione di energia

all’interno di L’equazione precedente può essere utilizzata per analizzare i sistemi aperti, ma il ter-

mine lavoro viene usualmente espresso in una forma più utile8. Il lavoro esterno viene scomposto in:

dove è il lavoro fornito al volume di controllo da forze esterne e è il

lavoro di spostamento netto fatto sul sistema che si sposta dalla sezione di ingresso

a quella di uscita .

dove il termine è il lavoro fatto sul fluido per forzarlo dentro il volume di con-

trollo e il termine il lavoro per forzare il fluido fuori dal volume di controllo.

L’equazione dell’energia può essere scritta nella forma

Il lavoro interno viene anche chiamato shaft work ed è frequentemente scambiata

attraverso un albero rotante (ad esempio di una turbina).

8.Come passo intermedio per sviluppare tale espressione, consideriamo di nuovo il volume di con-trollo. É da notare che, affinché la massa attraversi il volume di controllo, ci deve essere una forza che la spinga. Questa forza è fornita dalla pressione del sistema. Immaginiamo una massa contenuta in un volume di area e lunghezza . Per spostare questa massa, dentro e fuori il volume di controllo, dobbiamo esercitare una forza per la distanza . Indipendentemente dalla quantità di massa,

sarà dato da cosicchè il lavoro di spostamento è

Il lavoro netto fatto sul sistema che si sposta dalla sezione di ingresso a quella di uscita , a meno del lavoro esterno, è

dove il termine è il lavoro fatto sul fluido per forzarlo dentro il volume di controllo e il termine

il lavoro per forzare il fluido fuori dal volume di controllo.

Il termine viene chiamato lavoro di spostamento, ed è prassi considerarlo separatamente dal lavoro scambiato con oggetti esterni al volume di controllo.

Il lavoro di spostamento nel tempo esercitato sul confine del volume di controllo dalle forze di pressione vale:

perchè le proprietà, in questo caso , si ritiene costante nellintervallo di tempo .

energia entrante in σ con le masse entranti +

calore entrante in σ da esterno +

lavoro fatto da esterno su tutti gli elementi che attraversano σ

=

incremento di energia in σ +

energia uscente da σ con le masse uscenti

τd

dmi eiQeδτd

---------Leδτd

--------+ +dEdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σ=

dme

dτ--------- ee+

m· iei m· eee

dEdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σ

σ

A sΔ

Δs

pAV A

pA sΔ sΔ

sΔ VA---=

L F sd∫ F sΔ pA VA--- pV= = = =

i e

Lsp netto, piVi peVe–=

piVi

peVe

pV

dτ

δLdτ------ F

dsdτ------ pA

dsdτ------ p

dVdτ------- p

ddτ------ m

ρ----⎝ ⎠⎛ ⎞ pv

dmdτ-------= = = = =

v dτ

Le

Le Li Lsp netto,+=

Li Lsp netto,

i

e

Lsp netto, piVi peVe–=

piVi

peVe

m· i ei pivi+( )Qeδτd

---------Liδτd

-------+ +dEdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σm· e ee peve+( )+=

Li

TERMODINAMICA

20

Ricordiamo ancora una volta che l’energia totale si compone dell’energia interna

termica , dell’energia potenziale gravitazionale, dell’energia cinetica, ecc. Per con-

venienza introduciamo l’entalpia, definita come per cui l’equazionegenerale dell’energia per un sistema aperto si può scrivere

e nel caso di ingressi e uscite multipli

Per fortuna in molti problemi questa formulazione generale si semplifica notevol-mente.

FLUSSO STAZIONARIO. Se il sistema aperto si trova in condizioni stazionarie,allora non ci sono variazioni all’interno del volume di controllo con il tempo; così

e . In questa circostanza la portata in massa non cambia con

il tempo, per cui e l’espressione del I principio diventa

(38)

Se, in particolare, abbiamo un solo flusso in ingresso e in uscita allora, cosicchè

(39)

Dividendo, entrambi i membri, per la portata in massa , si ha

(40)

L’equazione (40) è chiamata primo principio in forma termica.Per una trasformazione elementare

É possibile trovare ancora una espressione del primo principio, che mette in evidenza

le perdite che si hanno in una trasformazione9:

(41)

Questa formulazione del 1º principio, valida per i sistemi aperti in moto stazionario,ha il pregio di presentare un bilancio di grandezze tutte meccaniche; è chiamataprimo principio in forma meccanica.N.B. La somma dei termini calore massico scambiato con l’esterno, e lavoro

dissipato in attrito e quindi in calore, rappresenta il calore netto che un sistema riceve

. (42)

Nel caso in cui il sistema si trovi allo stato liquido l’espressione (41) si può semplifi-care. Infatti i liquidi, in prima approssimazione, si possono considerare incompressi-

9.Si ricorre di nuovo al principio di conservazione dell’energia in un sistema chiuso. Si è già visto che , ma, per la definizione di entalpia, è per

cui . Eliminando il termine si ottiene

e, integrando, .

e

u

h u pv+=

m· i h eg ec ech ....+ + + +( )i

Qeδτd

---------Liδτd

-------+ +dEdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σm· e h eg ec ech ....+ + + +( )e+=

Σi m· i h eg ec ech ....+ + + +( )i

Qeδτd

---------Liδτd

-------+ +dEdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σΣe m· e h eg ec ech ....+ + + +( )e+=

dEdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σ0=

dmdτ-------⎝ ⎠⎛ ⎞

σ0=

Σm· i Σm· e=

Q· e Pi+ Σe m· e h eg ec ech ....+ + + +( )e Σi m· i h eg ec ech ....+ + + +( )i–=

m· i m· e m·= =

Q· e Pi+ m· h eg ec ech ....+ + + +( )e h eg ec ech ....+ + + +( )i–[ ]=

m·

qe li+ hΔ egΔ ecΔ ...+ + +=

qeδ lδ i+ dh deg dec ...+ + +=

qδ e lwδ+ du pdv+= dh d u pv+( ) du pdv vdp+ += =

qeδ lwδ+ dh vdp–= dh liδ lwδ vdp deg dec ...+ + + +=

li v pd∫ lw egΔ ecΔ ...+ + + +=


qe lw

qe lw+ qe qw+ q= =



bili cioè oppure . In tal caso il volume specifico può essereportato fuori dal segno di integrale e l’equazione (41) diventa

(43)

(44)

CICLO TERMODINAMICO

É una sequenza di trasformazioni (con scambio di calore e lavoro con l’esterno) cheriportano una data massa di fluido al suo stato iniziale.Applicando il 1º principio per i sistemi chiusi all’unità di massa che percorre il cicloritornando al suo stato iniziale

Se invece si applica il 1º principio per i sistemi aperti, a un volume di controllo checontenga l’impianto che realizza il ciclo, dall’inizio alla fine del ciclo si ottiene

Risulta quindi che il lavoro esterno e quello interno coincidono in quanto il

lavoro di spostamento è nullo. Scriveremo

(45)

Se ora, contrariamente alla convenzione adottata, consideriamo positivo il lavoroottenuto dal sistema termodinamico, si ha

(46)

Le sommatorie vanno estese a tutte le fasi del ciclo in cui si ha scambio di calore e dilavoro. In generale in un ciclo vi è una somministrazione di calore da una sorgenteesterna e una cessione di calore ad un’altra sorgente esterna a temperatura più

bassa . Per cui il lavoro netto ottenuto in un ciclo termodinamico per unità di

massa che l’attraversa è

(47)

Se si moltiplica per la portata in massa che percorre il ciclo si ottiene la relazione frala potenza ottenuta dal ciclo e le potenze termiche fornita e sottratta

ovvero (48)

ESEMPI DI SISTEMI APERTI

Vengono di seguito introdotti alcuni dei componenti più comuni nei sistemi energe-tici. Sono tutti sistemi aperti.

Scambiatore di calore a un fluido. Uno scambiatore di calore a un fluido è un com-ponente che serve per riscaldare o raffreddare il fluido che lo percorre mediante loscambio (somministrazione o sottrazione) di potenza termica. E’ detto riscaldatore se

v cost= ρ cost=

li vΔp lw egΔ ecΔ ...+ + + +=

li v p2 p1–( ) lw g z2 z1–( )c2

2 c12–

2---------------- ...+ + + +=

Σqe Σle+ eΔ 0= =

Σqe Σli+ hΔ ecΔ egΔ+ + 0= =

le li=

Σqe Σli+ 0=

Σqe Σli– 0=

q1

q2

li q1 q2–=

m· q1 m· q2

Pi m· q1 q2–( )= Pi Q· 1 Q· 2–=

TERMODINAMICA

22

la potenza termica scambiata con l’esterno è entrante nel sistema, raffreddatore se èuscente.

Scambiatore di calore a due fluidi. Lo scambio di potenza termica avviene tra duefluidi: l’uno si riscalda a spese dell’altro che si raffredda. Si tratta di uno scambiatorea superficie: il contatto tra i due fluidi è solo di tipo termico (non c’è miscelazionedelle masse).

Scambiatore di calore a miscela. Il fluido caldo e il fluido freddo in ingresso simiscelano. Vi è un’unica uscita, avente condizioni termodinamiche intermedie chedipendono da quelle dei flussi entranti e dal rapporto in cui stanno le due portate.

L’entalpia rappresenta l’entalpia di uno stato di riferimento comune per tutti i

fluidi.

Se allora

oppure

essendo , e se

Se il sistema è adiabatico verso l’esterno

allora

Se il sistema è adiabatico verso l’esterno allora

e si ottiene

σeQ&

σeQ&

m· i m· e m·= =

Q· e Pi+ m· Δh Δec egΔ+ +( )=

Pi 0=

Δeg 0≈

Δec 0=

Q· e m· Δh= qe Δh=

σσ

m· f i m· fe m· f= =

m· ci m· ce m· c= =

Q· e m· f Δh( )f m· c Δh( )c+=

Pi 0= Δeg 0≈

Δec 0=

Q· e 0=

σσ

m· i1 m· i2+ m· e=

Q· e Σm· e Δh0( )e Σm· i Δh0( )i– 0= =

Q· e 0=

m· i1 hi1 h0–( ) m· i2 hi2 h0–( )+ m· e he h0–( )m· i1 m· i2+( ) he h0–( )

==

m· i1 he hi1–( ) m· i2 he hi2–( )+ 0=

h0



Turbina. In una turbina si realizza un’espansione, il cui scopo è la produzione dilavoro. All’albero deve essere collegato un utilizzatore che raccolga il lavoro pro-

dotto, es: alternatore. La trasformazione è con buona approssimazione adiabatica,poiché il tempo di permanenza del fluido nella turbina è molto breve.Si distingue tra turbine a gas e turbine a vapore, a seconda che il fluido di lavoro siaun gas oppure un vapore.Non solo nella rappresentazione grafica ma anche nella realtà le turbine sono asezione crescente. Infatti sono generalmente progettate per lavorare con velocitàlungo l’asse costante perché altrimenti ci sarebbero perdite fluidodinamiche troppoelevate. Procedendo dal punto 1 al punto 2 il volume specifico aumenta. Dall’equa-zione di conservazione della massa:

si osserva come per un sistema stazionario (portata in massa costante), al fine di

mantenere costante la velocità, all’aumentare di debba aumentare anche la sezione

di passaggio del fluido .

In base all’ipotesi di abiabaticità e considerando , vera con buona approssi-

mazione se il fluido è compressibile tipo gas o vapore, e se , perché in gene-

rale non è detto che lo sia, si ha:

essendo risulta

In alternativa, per ottenere una potenza positiva, poiché è chiaro che si tratta di unaturbina che fornisce lavoro all’esterno, si può cambiare convenzione del lavoronell’espressione del primo principio e scrivere

In questo risulterà, infatti.

Essendo il sistema, oltre che in condizioni stazionarie, con un solo ingresso e unasola uscita si poteva scrivere il primo principio riferendosi all’unità di massa.

σ

p 2 < p 1

p

v

2

1

v

m· ρAc Acv

------= =

m·

v

A


Δeg 0≈

Δec 0=

Pi m· h2 h1–( )= h2 h1< Pi 0<

Q· e Pi– m· Δh Δec egΔ+ +( )=

Pi m· h1 h2–( ) 0>=

TERMODINAMICA

24

Compressore. Un compressore realizza la compressione di un fluido, utilizzandolavoro fornito dall’esterno. All’albero deve quindi essere collegato un motore (es.

motore elettrico, motore termico) per l’introduzione del lavoro necessario. La trasfor-mazione può essere supposta adiabatica.Nei compressori la sezione diminuisce con il procedere della trasformazione affinchéla velocità si mantenga costante al diminuire del volume specifico .Analogamente al caso della turbina avremo

che semplificata fornisce

positiva perché

Ugello. Per ugello si intende un condotto di sezione variabile che aumenta la velocitàdi un fluido. Se comunque la velocità del fluido rimane al di sotto della velocità delsuono (vedi capitoli successivi) la forma del condotto è convergente, cioè, è a sezionedecrescente. Non deve meravigliare il fatto che un condotto che riduce la sua sezione

di passaggio, acceleri il flusso, perché, infatti, bisogna pensare all’ipotesi di staziona-rietà del moto che impone che la portata si mantenga costante lungo il condotto.In un ugello il fluido che lo attraversa si espande senza scambiare lavoro conl’esterno, e infatti nessun albero attraversa i suoi confini. La diminuzione di pressionesi traduce in un incremento dell’energia cinetica del fluido, che esce ad una velocitàsuperiore a quella di ingresso. Il calore scambiato con l’esterno si può supporre tra-scurabile dato che il tempo di permanenza all’interno del condotto è modesto. Utiliz-zando il primo principio e riferendosi all’unità di massa che entra e esce dal volumedi controllo

σ

p 2 > p 1

p

v

1

2

v


Pi m· h2 h1–( )=

h2 h1>

p1

c1

p2 < p1

c2 > c1

σp

v

2

1



in base alle ipotesi fatte risulta

avendo supposto . In dettaglio

da cui

Diffusore. Un diffusore è un condotto divergente, se in nessuna sezione si raggiungela velocità del suono. In esso avviene una compressione senza scambio di lavoro.

L’aumento di pressione si verifica a spese dell’energia cinetica del fluido, che pre-senta quindi in uscita una velocità minore di quella di ingresso. Si può assumere chela trasformazione avvenga senza scambio di calore con l’esterno.L’applicazione del primo principio in forma termica conduce ad una espressione ana-loga al caso precedente.Possiamo utilizzare anche l’altra espressione del I principio, quella in forma mecca-nica (ovviamente ciò vale anche per gli ugelli)

che si semplifica nella

Vale la pena ricordare che l’integrale si può risolvere solo se conosce il percorso della

trasformazione, cioè l’esponente della politropica10.

Pompa. Una pompa è un dispositivo che serve per comprimere un liquido. E’ quindisimile al compressore. Il liquido si differenzia dal gas perché è praticamente incom-

10.Se, in particolare, la trasformazione fosse oltre che adiabatica anche reversibile ( e )

si avrebbe che in base alla (34) fornisce l’incremento di pressione nel diffusore a

fronte della riduzione di velocità: .


hΔ ecΔ+ 0=

Δeg 0≈

h2 h1–c2

2 c12–

2----------------+ 0=

c2 c12 2 h1 h2–( )+=

p1

c1

p2 > p1

c2 < c1

σ

p

v

1

2


v pd∫ lw ecΔ+ + 0=

n

n γ= lw 0=

v pd

is

∫ ecΔ+ 0=

p2p1------ 1

c12 c2

2–

2------------------

γγ 1–-----------RT1

----------------------+

⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫

γγ 1–-----------

=

p 2 > p 1

p 1

σM

TERMODINAMICA

26

pressibile. Di conseguenza la densità del liquido si considera costante e quindi non ènecessaria una equazione di stato, come nel caso dei gas.La pompa deve essere azionata da un motore. La freccia che compare nel simboloindica la direzione del flusso. Vale l’ipotesi di assenza di scambi termici conl’esterno.Normalmente gli effetti termici nelle macchine idrauliche non vengono considerati,quindi si ignora la variazione di temperatura nelle trasformazioni. Si preferisce allorautilizzare il primo principio scritto in forma meccanica (cfr. equ. (43) e (44)).

Valvola di laminazione o strozzamento. Le valvole di strozzamento sono dei dispo-sitivi, di sezione fissa o variabile, inseriti in un condotto causando un caduta di pres-sione significativa. Diversamente dalle turbine, le valvole causano una caduta dipressione (espansione) senza produrre lavoro. La caduta di pressione nel fluido èspesso accompagnata da una diminuzione di temperatura, e per questa ragione le val-vole di laminazione vengono impiegate nelle macchine frigorifere.Le valvole sono generalmente di piccole dimensioni (in senso relativo), e il flussopuò essere assunto adiabatico ( ) poiché non c’è nè tempo sufficiente nè

un’area abbastanza grande perché ci sia un effettivo trasferimento di calore. Inoltre,come detto, non c’è lavoro ( ) e la variazione di energia gravitazionale è trascu-

rabile ( ). Per quanto riguarda l’energia cinetica, occorre osservare chel’espansione produce un’accelerazione della corrente e quindi un aumento della velo-cità. Tuttavia, quest’energia cinetica si estingue rapidamente in vortici nel condotto avalle della valvola. Ponendo quindi la sezione di uscita al volume di controllo suffi-cientemente a valle della valvola si può supporre che la velocità del flusso sia dello

stesso ordine di grandezza di quella in ingresso e considerare, perciò, .

L’equazione di conservazione dell’energia conduce quindi alla conclusione

e per questa ragione che una valvola di laminazione viene spesso detta isentalpica.

Nel caso che fluido strozzato sia un gas ideale, per il quale l’entalpia è solo funzionedella temperatura, la trasformazione oltre che isentalpica è anche isoterma.

DIAGRAMMI TERMODINAMICI I

DIAGRAMMA DI CLAPEYRON. pressione - volume massicoConsente di rappresentare il lavoro scambiato con l’esterno lungo una trasforma-zione. Consideriamo una compressione reversibile 1-2. L’area sottesa dalla trasfor-

mazione sull’asse delle ascisse è pari a , per cui rappresenta il lavoro esterno

. L’area sottesa dalla trasformazione sull’asse delle ordinate è pari a , per cui

rappresenta il lavoro interno . La differenza tra i due lavori è il lavoro di sposta-

mento del fluido

qe 0=

li 0=

Δz 0=

Δec 0≈

he hi=

ie


qe 0=

li 0=

Δz 0=

Δec 0≈

Te Ti T= =

p vd1

2

∫–

le v pd1

2

∫li

p

v

1

2A

B

C DO

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA


(49)

Nel caso in cui la trasformazione ritorna alle condizioni iniziali, percorrendo un ciclo,il lavoro di spostamento si annulla e coincide con

(50)


INTRODUZIONE

Finora abbiamo applicato il I principio della termodinamica, o principio di conserva-zione dell’energia, a trasformazioni di sistemi chiusi e aperti. Come sappiamo, l’ener-gia é una proprietà che si conserva (può trasformarsi da una forma all’altra) e nessunprocesso può aver luogo in violazione del primo principio. Perciò, si dice, ragione-volmente, che affinché una trasformazione avvenga deve soddisfare il primo princi-pio. Comunque, come vedremo subito, soddisfare solamente il primo principio nonassicura che una trasformazione abbia effettivamente luogo.

L’esperienza comune é che una tazza di caffè caldo posta in una stanza più fredda allafine si raffredda. Questa trasformazione soddisfa il primo principio perché la quantitàdi energia persa dal caffè é uguale alla quantità guadagnata dall’aria circostante.Adesso consideriamo il processo inverso - il caffè caldo diventa sempre più caldo inuna stanza più fredda per effetto della trasmissione di calore dall’aria della stanza allatazza. Sappiamo che questo processo non avrà mai luogo. Tuttavia, facendo così nonsi violerebbe il primo principio fintantoché la quantità di energia perduta dall’aria éuguale alla quantità guadagnata dal caffè.Come altro esempio, consideriamo il riscaldamento di una stanza mediante il passag-gio di corrente attraverso una resistenza elettrica. Di nuovo, il primo principio dettache la quantità di energia elettrica fornita alla resistenza sarà uguale alla quantità dienergia trasmessa alla stanza come calore. Adesso tentiamo di invertire il processo.Non sarà una sorpresa scoprire che trasferendo del calore alla resistenza non genereràun’equivalente quantità di energia elettrica, anche se non viene violato il primo prin-cipio.É chiaro dagli esempi riportati che le trasformazioni avvengono in una certa dire-zione e non in direzione opposta. Il primo principio non pone restrizioni sulla dire-zione di una trasformazione, ma soddisfare il primo principio non assicura che quellatrasformazione si realizzerà. Questa inadeguatezza del primo principio a identificarese un processo può aver luogo viene rimediata introducendo un altro principio gene-rale, il secondo principio della termodinamica.Comunque l’utilità del secondo principio non è sono nell’identificare la direzionedelle trasformazioni ma, come vedremo, anche nello stabilire che l’energia possiedequalità e non solo quantità. Il I principio si occupa di quantità di energia e delle tra-sformazioni di energia da una forma a un’altra senza riguardo alla loro qualità. Il II principio è anche utilizzato per determinare i limiti teorici delle prestazioni deisistemi ingegneristici come le macchine termiche e le macchine frigorifere.

RISERVE DI ENERGIA TERMICA

Nel trattare il II principio della termodinamica è conveniente disporre di un corpoipotetico con una grande capacità termica che sia in grado di fornire o assorbire quan-tità finite di calore senza cambiare di temperatura. Tale corpo viene chiamato unariserva (reservoir) di energia termica. In pratica, grandi masse di acqua, come il mare,

le li p1v1 p2v2–+=

p vd1

2

∫– v pd1

2

∫ p1v1 p2v2–+= C21D A21B OB1D OA2C–+=

le li

pdv∫°– vdp∫°=

p

v

TERMODINAMICA

28

i laghi, i fiumi, come pure l’aria atmosferica possono essere considerate delle riservedi energia termica.Una riserva che fornisce energia sotto forma di calore viene chiamata sorgente ter-mica mentre una riserva che riceve energia sotto forma di calore si chiama pozzo ter-mico.La traduzione di reservoir con riserva non è molto felice, sarebbe più corretto tra-durre con serbatoio che però non è utilizzato nel nostro linguaggio con questo signifi-cato. Si preferisce riferirsi a queste grandi capacità termiche con il termine disorgente, intendendo sia la sorgente vera e propria che il pozzo, e distinguendo tra ledue come sorgente termica ad alta temperatura e sorgente termica a bassa tempera-tura.

MACCHINE TERMICHE

Il lavoro può essere convertito facilmente in altre forme di energia ma convertire altreforme di energia in lavoro non è così facile. Per esempio, se introduciamo un frulla-tore in un liquido, il lavoro fatto sul liquido andrà ad aumentare la sua energiainterna. Viceversa se aumentiamo l’energia interna del liquido attraverso un trasferi-mento di calore dall’esterno non per questo il frullatore si metterà a girare. La conclu-sione è che il lavoro si può convertire direttamente e completamente in energiatermica mentre per convertire quest’ultima in lavoro occorrono dispositivi speciali.Questi dispositivi sono le macchine termiche.Le macchine termiche sono molto diverse tra di loro ma tutte possono essere caratte-rizzate nella maniera seguente:

1. ricevono calore da una sorgente ad alta temperatura (energia solare, combustione di un combustibile, reattore nucleare);

2. convertono parte di questo calore in lavoro (usualmente nella forma di un albero rotante);

3. scaricano il calore rimanente a una sorgente a bassa temperatura (l’atmosfera, un fiume, ecc.);

4. operano in un ciclo.Le macchine termiche usualmente fanno uso di un fluido, che opera nel ciclo, cheviene chiamato fluido di lavoro.Come esempio consideriamo un impianto motore a vapore. Il fluido di lavoro è acquache passa dallo stato liquido a quello di vapore e viceversa. Una pompa fornendolavoro dall’esterno comprime il liquido inviandolo al generatore di vapore dove

appunto avviene il cambiamento di fase introducendo il calore per mezzo di una

sorgente esterna. Il vapore ad elevata temperatura e in pressione si espande in una

turbina che fornisce all’esterno il lavoro . Il vapore scaricato dalla turbina deve

essere inviato al condensatore, che sostanzialmente è uno scambiatore di calore, doveil vapore viene appunto condensato sottraendo il calore utilizzando come pozzo

termico l’aria atmosferica o l’acqua, per esempio, di un fiume.

Da notare che la direzione delle interazioni calore e lavoro sono state indicate con

per quelle in ingresso e per quelle in uscita e quindi sono grandezze positive.Il lavoro netto che il sistema esegue sull’esterno è dato dalla differenza

Applichiamo il primo principio. E’ indifferente applicare il I principio per i sistemiaperti o per i sistemi chiusi. Entrambi, trattandosi di un ciclo, portano alla stessa con-clusione:

(51)

T 1

M a c c h in ate rm ic a

T 2

Q 1

Q 2

L

S o r g e n te d i a l t at e m p e r a tu r a

S o r g e n te d i b a s s ate m p e r a tu r a

T 1

M a c c h in ate rm ic a

T 2

Q 1

Q 2

L

S o r g e n te d i a l t at e m p e r a tu r a

S o r g e n te d i b a s s ate m p e r a tu r a

L1

Q1

L2

Q2

1

2

L L2 L1–=

L Q1 Q2–=



Rendimento termico

rappresenta il calore trasferito all’esterno, e quindi dissipato, per completare il

ciclo ed è sempre diverso da zero. Quindi il lavoro ottenuto è sempre minoredell’energia termica ricevuta, cioè solo una parte del calore trasmesso dalla sorgentetermica può essere convertito in lavoro. La frazione del calore ricevuto che vieneconvertita in lavoro è una misura della prestazione della macchina termica e vienechiamato rendimento termico .

Il rendimento, in generale, è il rapporto tra l’uscita desiderata e l’ingresso richiesto.Nelle macchine termiche l’uscita desiderata è il lavoro netto e l’ingresso necessario èil calore introdotto. Quindi

(52)

che si può anche scrivere

(53)

Il rendimento termico nei moderni impianti motori al massimo arriva al 60% e ciòsignifica che nei casi migliori si dissipa il 40% dell’energia introdotta.

Si può risparmiare ? Purtroppo no11.

L’impossibilità nelle macchine di utilizzare tutto il calore ricevuto forma la base delpostulato di Kelvin-Planck del II principio della termodinamica:

Postulato di Kelvin-Planck

É impossibile che una macchina, che operi in un ciclo, scambi calore con una singolasorgente termica e produca una quantità netta di lavoro.

Un altro modo per esprimere questo postulato è che nessuna macchina termica puòavere un rendimento del 100%Da notare che tale limitazione non è dovuta ad attriti o altri effetti dissipativi e siapplica quindi anche alle macchine termiche ideali.

MACCHINE FRIGORIFERE

L’esperienza ci dice che il calore si trasmette spontaneamente da un mezzo ad altatemperatura ad un altro a bassa temperatura. Il processo inverso, che non può svol-gersi da solo, richiede dispositivi speciali chiamati frigoriferi.I frigoriferi, come le macchine termiche, sono delle macchine cicliche. Il fluido dilavoro utilizzato nel ciclo frigorifero si chiama refrigerante. Il ciclo frigorifero piùusato è il ciclo frigorifero a compressione di vapore, costituito da 4 elementi: un com-pressore, un condensatore, una valvola di espansione e un evaporatore.

T

generatore

pompacondensatore

alternatore

turbina

a

b

c

d

ee

f

di vaporeL2

Q1

Q2

L1

Q2

ηter

ηterL

Q1

------=

ηter 1Q2

Q1

------–=

Q2

T 1

M a c c h i n af r i g o r i f e r a

T 2

Q 1

Q 2

L

S o r g e n t e d i a l t at e m p e r a t u r a

S o r g e n t e d i b a s s at e m p e r a t u r a

T 1

M a c c h i n af r i g o r i f e r a

T 2

Q 1

Q 2

L

S o r g e n t e d i a l t at e m p e r a t u r a

S o r g e n t e d i b a s s at e m p e r a t u r a

TERMODINAMICA

30

Il refrigerante entra nel compressore sotto forma di vapore dove viene compressofino alla pressione di condensazione. Il vapore lascia il compressore ad una tempera-tura relativamente alta ed attraversa il condensatore dove scambiando calore conl’ambiente esterno viene raffreddato e condensato. La condensa viene quindi espansain un tubo capillare (valvola di espansione) subendo una drastica riduzione di tempe-ratura. Il refrigerante a bassa temperatura entra quindi nell’evaporatore dove evaporaricevendo calore dall’ambiente refrigerato. Lasciando l’evaporatore e rientrando nelcompressore il refrigerante completa il suo ciclo.La figura che segue rappresenta sul piano termodinammico il ciclo che sisvolge nella macchina rappresentata nella figura precedente, assumendo come fluidorefrigerante l’R12. Nel caso considerato l’uscita dall’evaporatore (punto 1) è vaporeleggermente surriscaldato, mentre l’uscita dal condensatore (punto 3) è liquido leg-germente sottoraffreddato, come accade nelle macchine reali. Spesso, per calcoli diprima approssimazione, si considerano rispettivamente vapore saturo secco (punto 1)e liquido saturo (punto 3).

11.Per rendersene conto lo dimostriamo utilizzando una macchina termica semplice. Consideriamo il sistema chiuso contenuto nel cilindro illustrato in figura. Il gas si trova inizialmente a 30 °C. Successi-vamente viene posto in contatto con una sorgente termica a 100 °C ricevendo 100 kJ di calore. Il sistema si espande, perché é aumentata la sua energia interna, sollevando lo stantuffo con il peso e compiendo, quindi, lavoro sull’esterno, nella quantità di 15 kJ. Tolto il peso se si riesce a far tornare nelle condizioni iniziali il sistema si può ripetere il ciclo e sollevare un altro peso. Per raggiungere lo scopo si potrebbero trasferire 85 kJ alla sorgente esterna a 100 °C facendo così ritornare il sistema a 30 °C. Ciò, sappiamo dall’esperienza, è impossibile per cui per tornare alle condizioni di partenza occorre allora introdurre un’altra sorgente, a temperatura più bassa, per esempio a 20 °C, a cui cedere gli 85 kJ.

GAS

30°C 90°C 30°C

30°C

100°C

20°C

GAS

GAS

GAS

100 kJNO

SI85 kJ

15 kJ

85 kJ

100°C

condensatore

evaporatore

compressorevalvola

espansione

Q2

Q1

L

800 kPa30°C

120 kPa26°– C

120 kPa20°– C

800 kPa60°C

ambiente refrigerato

aria ambiente

1

23

4

p h–



Nel frigorifero domestico, il comparto del ghiaccio dove il calore viene estratto dalrefrigerante, funge da evaporatore, e la serpentina dietro il frigorifero, dove il caloreviene trasmesso alla stanza, funge da condensatore.

è la quantità di calore rimossa dallo spazio refrigerato alla temperatura men-

tre è la quantità di calore scaricata nell’ambiente caldo alla temperatura . è

il lavoro fornito al ciclo.

Coefficiente di prestazione

Il rendimento di un frigorifero viene espresso mediante il coefficiente di prestazione( ). Il compito del frigorifero è di rimuovere il calore dallo spazio raffred-

dato ricevendo dall’esterno il lavoro . Il COP del frigorifero si può esprimere come:

(54)

Il principio di conservazione dell’energia richiede che in un ciclo ( )

per cui il COP si può anche scrivere

(55)

Da notare che COP può essere maggiore di uno, cioè la quantità di calore rimossodallo spazio refrigerato può essere più grande del lavoro assorbito. Questa è laragione per cui si utilizza la dizione COP invece di rendimento, per non avere il casosingolare di un rendimento maggiore di uno.

Pompe di calore

Un altro dispositivo che trasferisce calore da un mezzo a bassa temperatura a un altroad alta temperatura è la pompa di calore. I frigoriferi e le pompe di calore utilizzanolo stesso ciclo ma hanno obiettivi diversi. La pompa di calore ha l’obiettivo di mante-nere uno spazio riscaldato ad alta temperatura assorbendo calore da una sorgente abassa temperatura, come acqua di pozzo o aria fredda esterna, e fornendo questocalore a un ambiente ad alta temperatura come un’abitazione.

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250101

102

103

104

105

h (kJ/kg)

p (k

Pa) 60°C

30°C

-20°C -26°C

0.2 0.4 0.6 0.8

R12

1

23

4

800 kPa

120 kPa

Q2 T2

Q1 T1 L

COPR Q2

L

COPRuscita desiderata

ingresso richiesto--------------------------------------------------

Q2

L------= =

Q2 Q1– L+ 0=

L Q1 Q2–=

COPRQ2

Q1 Q2–------------------- 1

Q1

Q2

------ 1–

---------------= =

TERMODINAMICA

32

Un frigorifero posto sulla finestra di una casa con la sua porta aperta all’aria freddaesterna funzionerà come una pompa di calore perché cercherà di raffreddare l’esternosottraendogli calore e trasferendolo all’abitazione.Anche le prestazioni di una pompa di calore vengono espresse attraverso il coeffi-ciente di prestazione definito come:

(56)

che si può anche esprimere come

(57)

Dal confronto con la (55) risulta

(58)

per valori costanti di e . Ciò implica che il COP di una pompa di calore è sem-

pre maggiore del COP di un frigorifero in quanto è una quantità positiva.

Postulato di Clausius.

É impossibile costruire un dispositivo, che operi in un ciclo, che abbia come unicoeffetto di trasferire calore da un corpo a più bassa temperatura a un corpo a più altatemperatura.Si può dimostrare l’equivalenza tra il postulato di Kelvin e quello di Clausius equindi entrambi possono essere considerati come espressione del secondo principiodella termodinamica che, in quanto principio, non viene dimostrato. Ma, al pari del

primo principio, nessuna osservazione sperimentale l’ha mai negato12.

12.Riprendendo l’esempio della macchina termica semplice il ciclo, oltre a presentare un rendimento del 100%, produrrebbe lavoro scambiando calore con una sola sorgente termica e inoltre trasferirebbe calore dal sistema a temperatura più bassa alla sorgente a temperatura più alta senza aver speso nulla. Vengono quindi contraddetti sia il postulato di Kelvin che quello di Clausius.Sono stati brevettati nel passato, anche se non mancano esempi recenti, motori con rendimenti del 100%, come ad esempio l’impianto motore a gas in basso a sinistra. La pretesa é che, una volta avviato il sistema, fornendo energia elettrica alla resistenza R per introdurre il calore al ciclo, l’impianto é

in grado di funzionare autonomamente (perpetuum mobile). In realtà l’impianto non può creare energia e quindi non può funzionare. Applicando il primo principio si ottiene che é impossi-

bile in quanto in un ciclo. Si tratta, quindi, di un perpetuum mobile di I specie perché viola il I principio della termodinamica.

Un altro esempio di perpetuum mobile é rappresentato in figura a destra. Il calore scambiato con l’esterno é questa volta positivo per cui risulta verificato il I principio che fornisce

, ma viene violato il II principio perché il ciclo scambia calore con una sola sorgente termica.

Si parla allora di perpetuum mobile di II specie.

COPHP

COPHPuscita desiderata

ingresso richiesto--------------------------------------------------

Q1

L------= =

COPHPQ1

Q1 Q2–------------------- 1

1Q2

Q1

------–

---------------= =

COPHP COPR 1+=

Q1 Q2

COPR

Q1

Q– 2 L– ΔE=

ΔE 0=

L

Q2

Q1

L

Q1

Q1 L– 0=

L Q1=



TRASFORMAZIONI REVERSIBILI E IRREVERSIBILI

Il secondo principio della termodinamica stabilisce che nessuna macchina termicapuò avere un rendimento del 100%. Allora ci può chiedere qual é il rendimento piùalto che si può ottenere. Prima di rispondere a questa domanda é necessario definirecos’è una trasformazione ideale o reversibile.

Una trasformazione (o processo) reversibile é quella trasformazione che può svol-gersi in senso inverso senza lasciare traccia sull’esterno (surroundings). Cioè, sia ilsistema che l’esterno ritornano al loro stato iniziale alla fine della trasformazioneinversa. Ciò é possibile solo se il calore e il lavoro netti scambiati con l’esterno sononulli per la trasformazione combinata (diretta e inversa).Una trasformazione che non é reversibile si dice irreversibile.Occorre sottolineare che un sistema può essere riportato al suo stato iniziale a seguitodi una trasformazione reversibile o irreversibile, con la differenza che nel primo casonon si verifica alcuna variazione netta sull’esterno, mentre nel secondo caso l’esternoscambia normalmente del lavoro con il sistema e perciò non ritorna al suo stato diorigine.Le trasformazioni reversibili non si verificano in natura. Sono semplicemente idealiz-zazioni di processi reali. Possono essere interpretate come limiti teorici per le corri-spondenti trasformazioni irreversibili.I fenomeni che rendono un processo irreversibile si chiamano irreversibilità. Essiincludono l’attrito, il mescolamento di due gas, la trasmissione del calore con diffe-renze finite di temperatura, il riscaldamento di una resistenza elettrica, la deforma-zione anelastica dei solidi, le reazioni chimiche, le onde d’urto nei gas, ecc.Facciamo alcuni esempi.

ATTRITO. L’attrito é una familiare forma di irreversibilità associata a corpi inmovimento (solidi, liquidi o gassosi).

TRASMISSIONE DEL CALORE. Il sistema si può riportare alla temperatura diorigine ma occorre fornire del lavoro dall’esterno. Poiché solo il sistema, e nonentrambi, il sistema e l’esterno, é stato riportato alla sua condizione iniziale, la tra-smissione del calore attraverso una differenza finita di temperatura é un processoirreversibile.La trasmissione di calore può solo avvenire quando c’è una differenza di temperaturatra il sistema e l’esterno

Perciò é fisicamente impossibile un processo di trasferimento del calore reversibile.Può però essere pensato come un processo ideale in cui la differenza di temperatura

tende al limite ad annullarsi per .

PROCESSI INTERNAMENTE E ESTERNAMENTE REVERSIBILI

Un processo é un’interazione tra un sistema e l’esterno e un processo reversibile nonpresenta irreversibilità associate a ciascuno di essi.

GAS

attritocalore( ) attrito

calore( )

20°C5°C 5°C

20°C20°C

20°C

dT 0→

TERMODINAMICA

34

Una trasformazione si chiama internamente reversibile se non si manifestano irrever-sibilità all’interno dei confini del sistema durante la trasformazione.Una trasformazione é esternamente reversibile se non si manifestano irreversibilitàall’esterno dei confini del sistema durante la trasformazione.Una trasformazione si dice totalmente reversibile o semplicemente reversibile se nonvi sono irreversibilità all’interno del sistema e all’esterno durante la trasformazione.

IL CICLO DI CARNOT

A questo punto proviamo a riprendere in considerazione il problema di individuarequal è il rendimento massimo del ciclo percorso da una macchina termica.In base a quanto detto il ciclo che presenta il massimo rendimento sarà un ciclo rever-sibile cioè composto da trasformazioni tutte reversibili e quindi senza perdite.Probabilmente il ciclo reversibile più noto è il ciclo di Carnot eseguito in una mac-china teorica chiamata macchina termica di Carnot. Il ciclo di Carnot è costituito daquattro trasformazioni reversibili: due isoterme e due adiabatiche. In particolare abbiamo due trasformazioni di compressione: la 1-2 isoterma e la 2-3adiabatica; e due di espansione: la 3-4 isoterma e 4-1 adiabatica. Il lavoro netto fattodal ciclo è pari alla differenza tra i lavori di espansione e quelli di compressione ecorrisponde all’area, nel piano p-v, interna al ciclo.Il ciclo essendo reversibile può essere percorso anche in senso inverso (antiorarioanziché orario) che quindi diventa il ciclo frigorifero di Carnot.

I PRINCIPI DI CARNOT

Partendo dai postulati di Kelvin e Clausius si possono trarre due conclusioni circa ilrendimento di cicli reversibili e cicli irreversibili. Queste conclusioni sono conosciutecome principi di Carnot e sono espressi nella maniera seguente:

1. il rendimento di un ciclo irreversibile è sempre minore del rendimento di un ciclo reversibile che operi tra le stesse sorgenti termiche;

2. irendimenti di tutti i cicli reversibili che operino tra due stesse sorgenti termiche sono gli stessi.

Questi due enunciati possono essere provati dimostrando che la violazione dell’uno odell’altro porta a violare il secondo principio della termodinamica.

LA SCALA TERMODINAMICA DELLE TEMPERATURE

Nell’introdurre una scala delle temperature era emerso che sarebbe desiderabile cheessa fosse indipendente dalle sostanze usate. Una scala delle temperature che è indi-pendente dalle proprietà delle sostanze usate viene chiamata scala termodinamicadelle temperature.

Ragionando su macchine termiche reversibili13, Kelvin propose una scala termodina-mica delle temperature tale che

13.Deriviamo la scala termodinamica delle temperature utilizzando delle macchine termiche reversi-bili.In base al secondo principio di Carnot, due macchine termiche purché reversibili, hanno lo stesso ren-dimento se lavorano tra due uguali sorgenti termiche. Cioè, il rendimento è indipendente dal fluido di lavoro e dal modo in cui il ciclo viene eseguito. Poiché le sorgenti termiche sono caratterizzate dalla loro temperatura, il rendimento termico delle macchine termiche reversibili è funzione soltanto delle

temperature delle sorgenti. In formule: ovvero con il solito

significato dei simboli.

Si dimostra, utilizzando delle macchine termiche reversibili, che la funzione si può ulterior-

mente specificare separando le variabili: .

Diverse funzioni delle temperature delle sorgenti soddisfano questa relazione e la scelta è completa-mente arbitraria. Kelvin propose semplicemente per definire una scala termodinamica delle

temperature tale che .

2

3Q1

Q2

v

p

4

1

T2

T1

s

T

12

3 4

ηter g T1 T2,( )=Q1Q2------- f T1 T2,( )=

f T1 T2,( )

f T1 T2,( )φ T1( )

φ T2( )---------------=

φ T( ) T=

Q1Q2-------⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

rev

T1T2------=



(59)

Questa scala viene chiamata scala Kelvin e la temperatura su questa scala viene chia-mata temperatura assoluta. Su questa scala il rapporto delle temperature dipende solodal calore scambiato e non dalle proprietà delle sostanze. Su questa scala la tempera-tura varia tra 0 e infinito.Poiché è determinato solo il rapporto delle temperature occorre definire il valore diun kelvin. Nel sistema di misura SI si è assegnato il valore 273.16 K al punto triplodell’acqua (0.01 °C), definendo il kelvin come 1/273.16 dell’intervallo di tempera-tura tra zero e il punto triplo dell’acqua. Da notare che l’unità di temperatura sullescale Kelvin e Celsius sono identiche e che le due scale differiscono di una costantepari a 273.15

RENDIMENTO DEL CICLO DI CARNOT

Il rendimento termico di qualsiasi motore termico, reversibile o irreversibile, é datoda

(60)

Per motori termici reversibili (motore di Carnot) in base alla (59)

(61)

che rappresenta il più alto rendimento di un motore termico operante tra due sorgenti

di energia termica a temperature e .

Qualità dell’energia

Supponendo che il calore venga scambiato con una sorgente a temperatura

al variare di si ottengono i rendimenti indicati in tabella, i quali

mostrano che all’energia può essere associata una qualità, oltre che una quantità.Infatti, più é alta la temperatura più l’energia termica può essere convertita in lavoro.Perciò, più é alta la temperatura più elevata é la qualità dell’energia.

DISEGUAGLIANZA DI CLAUSIUS E ENTROPIA

Clausius14 scoprì che per un processo internamente reversibile la quantità rap-

presenta una proprietà del sistema, nel senso che non dipende dal tipo di trasforma-zione ma solo dallo stato del sistema. Questa proprietà si chiama entropia

(62)

La variazione di entropia di un sistema durante una trasformazione si può determi-nare integrando

14.Sempre Clausius stabilì la seguente disuguaglianza: . L’integrale ciclico di é sem-

pre minore o uguale a zero. Il segno di uguaglianza si ha per cicli totalmente reversibili e la disugua-glianza per cicli irreversibili. Si dimostra che negando questa disuguaglianza, cioè che l’integrale ciclico sia maggiore di zero, viene violato il postulato di Kelvin e quindi il secondo principio.

Q1

Q2

------⎝ ⎠⎛ ⎞

rev

T1

T2

-----=

ηter 1Q2

Q1

------–=

ηC 1T2

T1

-----–=

T1 T2

Q2

T2 300 K= T1

(K)

1000 70

800 62.5

700 57.1

500 40

350 14.3

T1 η

δQe

T---------

δQeT

----------∫° 0≤δQe

T----------

dSδQe

T---------⎝ ⎠⎛ ⎞

int rev·

=kJK-----⎝ ⎠⎛ ⎞

ΔS S2 S1–δQe

T---------⎝ ⎠⎛ ⎞

int rev1

2

∫= =kJK-----⎝ ⎠⎛ ⎞

TERMODINAMICA

36

Per calcolare l’integrale é necessario conoscere in funzione di lungo la trasfor-

mazione. Questa relazione spesso non é disponibile e l’integrale si può calcolare soloin pochi casi. Se la trasformazione internamente reversibile é isoterma

dove é la temperatura assoluta costante del sistema e la quantità di calore

scambiata.

L’integrale di fornisce l’entropia solo se la trasformazione é internamente rever-

sibile. in una trasformazione irreversibile non é una proprietà. Perciò per tra-

sformazioni irreversibili la variazione di entropia si può calcolare ricorrendo aqualche conveniente trasformazione immaginaria internamente reversibile.Da notare che la variazione di entropia di un sistema durante un processo interna-mente reversibile può essere positiva o negativa in ragione della direzione della tra-smissione del calore.

IL PRINCIPIO DELL’INCREMENTO DI ENTROPIA

(63)

Questa equazione15 può essere vista come la formulazione matematica del II princi-pio. In forma differenziale

dove l’uguaglianza vale per processi internamente reversibili e la disuguaglianza perprocessi irreversibili.La variazione di entropia di un sistema chiuso in una trasformazione irreversibile é

maggiore dell’integrale di . Nel caso limite di trasformazione reversibile le 2

quantità si uguagliano.Da sottolineare che é la temperatura assoluta al confine dove il differenziale calore

viene trasmesso tra il sistema e l’esterno (surroundings).

La quantità rappresenta la variazione di entropia del sistema. Per un

processo reversibile é uguale a che rappresenta l’entropia trasferita

con il calore.

15.Consideriamo un ciclo fatto di 2 processi: 1-2 qualsiasi e 2-1 internamente reversibile. Dalla disu-

guaglianza di Clausius si ha: , ma il secondo integrale é la variazione

di entropia , dunque si ottiene da cui segue

.

Qe T

ΔS S2 S1–δQe

T0

---------⎝ ⎠⎛ ⎞

int rev1

2

∫ 1T0

----- δQe( )int rev1

2

∫Qe

T0

------= = = =

T0 Qe

δQe

T---------

δQe

T---------∫

ΔS S2 S1–( )δQe

T---------

1

2

∫≥=

δQeT

----------

1

2

∫δQe

T----------⎝ ⎠⎛ ⎞

int rev2

1

∫+ 0≤

T

S

1

2

int revS1 S2–

δQeT

----------

1

2

∫ S1 S2–( )+ 0≤

ΔS S2 S1–( )δQe

T----------

1

2

∫≥=

dSδQe

T---------≥

δQe

T---------

T

δQe

ΔS S2 S1–=

δQe

T---------⎝ ⎠⎛ ⎞

int rev,1

2

∫



ANALOGIE CON IL PRIMO PRINCIPIO.

Il segno di disuguaglianza sta a ricordare che la variazione di entropia di un sistemachiuso in un processo irreversibile é sempre maggiore dell’entropia trasmessa. Cioèdell’entropia viene generata o creata in un processo irreversibile ed é solo dovuta alleirreversibilità.

BILANCIO ENTROPICO SISTEMA CHIUSO16

EQUAZIONI DI GIBBS

Per determinare la variazione di entropia di un sistema occorre risolvere l’integrale

Se la trasformazione è anche isoterma l’integrazione è semplice, ma se la temperaturavaria occorre avere una relazione tra e per calcolare l’integrale.

Si dimostra17, però, che vale:

(64)

variazione entropia entropia trasmessa variazione energia energia trasmessa

solo processi reversibili qualsiasi processo

l’entropia viene trasmessa solo con il calore

l’energia si può trasmettere sotto forma di lavoro e calore

il calore scambiato é sempre accompa-gnato da un trasferimento di entropia

al lavoro scambiato non è associato un tra-sferimento di entropia

16.L’entropia generata in una trasformazione si chiama generazione di entropia .

Il principio di incremento dell’entropia afferma che in cui

é una quantità positiva, dunque .

In un sistema isolato (sistema chiuso adiabatico) essendo si avrà

.

L’entropia di un sistema isolato durante una trasformazione aumenta sempre o, al limite, rimane costante (processo reversibile).Le relazioni viste possono essere scritte facendo riferimento a sistemi chiusi e aperti.Per esempio, per un sistema aperto il bilancio entropico è espresso dalla

Rimandando a corsi successivi tale studio, che prelude all’analisi di secondo principio o exergetica dei sistemi, concludiamo questa parte sul secondo principio con delle relazioni, note come equazioni di Gibbs, molto utili per introdurre i diagrammi entropici, quali il diagramma di Gibbs e quello di Mollier, di frequente uso nello studio dei sistemi termodinamici.17.Per questo fine consideriamo l’equazione in forma differenziale della conservazione dell’energia applicata ad una trasformazione di quasi equilibrio internamente reversibile:

, ma e e quindi

oppure, per una unità di massa, .

ΔS =δQe

T---------⎝ ⎠⎛ ⎞

int rev∫ΔE = Qe Le–

Sgen sist,

S2 S1–δQe

T----------

1

2

∫ Sgen sist,+=

Sgen sist, Sgen sist, ΔSδQe

T----------

1

2

∫– 0≥=

δQeT

----------∫ 0=

Sgen sist, ΔSisol 0≥=

S·gen( )σdSdτ------⎝ ⎠⎛ ⎞

σΣm· ese Σm· isi

δQe·

T----------

σ∫––+ 0≥=

ΔS S2 S1–δQe

T---------⎝ ⎠⎛ ⎞

int rev1

2

∫= =

δQe T

δQe int rev, δLe int rev,+ dU= δQe int rev, TdS= δLe int rev, pdV–=

TdS dU pdV+= Tds du pdv+=

Tds du pdv+=

TERMODINAMICA

38

Questa è la prima equazione di Gibbs. La seconda equazione si ottiene eliminando utilizzando la definizione di entalpia

(65)

Queste equazioni sono molto importanti perché legano la variazione di entropia di unsistema alla variazione di altre proprietà del sistema. A differenza della (62), che valesolo per un processo internamente reversibile, le equazioni di Gibbs sono relazionifra proprietà e perciò sono indipendenti dal tipo di trasformazione. Quindi, sebbene la variazione di entropia sia stata valutata lungo una trasformazionereversibile, i risultati ottenuti sono validi sia per processi reversibili che irreversibilipoiché l’entropia è una proprietà e la variazione di una proprietà tra due stati è indi-pendente dal tipo di trasformazione che il processo subisce. Le equazioni di Gibbssono relazioni tra proprietà dell’unità di massa di un sistema comprimibile che subi-sce un cambiamento di stato ed esse sono applicabili sia che il sistema sia chiuso siache il sistema sia aperto.Ricordando le equazioni (16) e (20) si ha

(66)

che mostra come la variazione di entropia di un sistema dipenda dal calore scambiatocon l’esterno e dal calore conseguente a fenomeni irreversibili interni al sistema

VARIAZIONI DI ENTROPIA DEI GAS IDEALI

Utilizzando le equazioni di Gibbs si possono esprimere le variazioni di entropiaquando il sistema è un gas ideale. Utilizzando la prima equazione di Gibbs si ha:

e integrando tra stati estremi

. (67)

Utilizzando la seconda equazione si perviene al risultato

(68)

nel caso in cui si possano ritenere costanti e e pari a opportuni valori medi il

calcolo degli integrali è immediato.

DIAGRAMMI TERMODINAMICI II

DIAGRAMMA DI GIBBS18. Temperatura - entropia

Si presta bene a rappresentare le quantità di calore in quanto .

IL DIAGRAMMA h, s. Un altro diagramma comunemente utilizzato è il dia-gramma entalpia-entropia, che è molto utile nell’analisi di sistemi in moto stazionariocome turbine, compressori, ugelli, ecc. Le coordinate di un diagramma rappre-sentano due proprietà di grande interesse: l’entalpia, che è una proprietà primarianell’analisi secondo il 1º principio di sistemi in moto stazionario e l’entropia che è laproprietà che tiene conto delle irreversibilità nei processi adiabatici. Nell’analizzareil flusso stazionario di vapore attraverso una turbina adiabatica, per esempio, ladistanza verticale tra gli stati di ingresso e di uscita ( ) è una misura del lavoro

della turbina e la distanza orizzontale ( ) è una misura delle irreversibilità associateal processo.

du

Tds dh vdp–=

δqe δlw+ du pdv+ dh vdp–= =

Tds δqe δlw+=

ds cvdTT

------ Rdvv

------+=

s2 s1– cv TdT

------1

2

∫ Rv2

v1

----ln+=

s2 s1– cp Td

T------

1

2

∫ R– p2

p1

-----ln=

cv cp

q T sd∫=

h s,

hΔsΔ



Il diagramma viene anche chiamato diagramma di Mollier dallo scienziato tede-sco (triestino?) R. Mollier. Il diagramma di Mollier per l’acqua si presenta come nellafigura a lato. Le curve limiti individuano la zona del vapore saturo. La curva limiteinferiore (c.l.i.) separa la regione del liquido da quella del vapor saturo; la curvalimite superiore (c.l.s.) separa la regione del vapore saturo da quella del vapore surri-scaldato. Le due curve confluiscono nel punto critico a e

. Nella regione del vapore saturo sono tracciate linee a titolo

costante

(69)

Le isobare nel piano hanno una pendenza che è pari alla temperatura. Infatti

per cui (70)

Nella regione del vapor saturo le isobare sono quindi rette (in quanto anche isoterme)con pendenza tanto più elevata quanto maggiore è la temperatura (e quindi anche lapressione). Nella regione del vapore surriscaldato, invece, esse piegano verso leentalpie crescenti, perché all’aumentare dell’entalpia (vale a dire con cessione dicalore dall’esterno) il fluido aumenta la sua temperatura a pressione costante. In cor-rispondenza della curva limite inferiore le rette isoterme-isobare del vapore saturo siraccordano dolcemente alle isobare della regione del liquido.A causa della scarsa comprimibilità del liquido, quest’ultime si confondono pratica-mente con la curva limite inferiore, fino a che la pressione non assume valori elevati.

18.Una caratteristica del diagramma entropico è che la sottotangente in un punto alla curva della tra-

sformazione rappresenta la capacità termica massica, infatti .

La trasformazione isoterma è rappresentata da una retta parallela all’asse delle entropie e una adiaba-tica isentropica da una retta parallela all’asse delle temperature. L’isocora e l’isobara del gas perfetto sono invece rappresentate da curve logaritmiche la cui pendenza pertanto aumenta al crescere della temperatura

A parità di temperatura le isocore mostrano pendenza maggiore delle isobare, dovendo essere la sotto-tangente delle prime inferiore a quella delle seconde .

Giacché per i gas, anche se reali, ma lungi dall’isoterma critica, i calori specifici e sono presso-

ché indipendenti dalla pressione, l’intera famiglia delle isobare - così come quella delle isocore - incon-tra una stessa isoterma con una pendenza uguale per tutti gli elementi della famiglia. Ne consegue che tutte le curve isobare sono tra loro congruenti (vale a dire sovrapponibili per semplice traslazione) e così pure tutte le curve isocore.

In alcuni casi, sul diagramma , si può rappresentare anche il lavoro scambiato lungo una trasfor-mazione. Consideriamo una compressione adiabatica reversibile, e trascuriamo, per semplicità, la variazione di energia cinetica. Il 1º principio ci informa che il lavoro è allora pari alla variazione di entalpia: che essendo una funzione di stato dipende solo dagli estremi della trasforma-

zione e non dal percorso. Infatti, abbiamo visto che è comodo esprimere come cioè, come la quantità di calore che occorre fornire all’unità di massa, in una

trasformazione a pressione costante, per aumentare la sua temperatura da a . Nulla vieta

di supporre inoltre che la trasformazione sia anche reversibile, per la quale che rappre-

senta l’area cercata. Infatti, riassumendo, l’area sottesa dal tratto di isobara compreso tra le temperature e , rappresenta la quantità di calore che occorre fornire a per aumentare la tempera-

tura dell’unità di massa da a . Questa stessa quantità di calore è equivalente all’incremento di

entalpia tra e , e, per il 1º principio della termodinamica al lavoro di compressione. Si procede

in maniera del tutto analoga nel caso di compressione adiabatica non reversibile.

T

s

P

αc

c Ttgα--------- T

dTds------------- Tds

dT--------- qδ

dT------= = = =

v cost= ds qδT----- du

T------= = pdv

T---------+ cv

dTT

------= sΔ cv

T2T1------ln=

s∂∂T⎝ ⎠⎛ ⎞

vTcv-----=

p cost= ds qδT----- dh

T------= = vdp

T---------– cp

dTT

------= sΔ cp

T2T1------ln=

s∂∂T⎝ ⎠⎛ ⎞

pTcp-----=

cv cp

cp cv

T s,

T

s

1

2

p1

p2

li T sd1′

2

∫=

1′

qe li+ hΔ=

hΔh2 h1– cp T2 T1–( )=

T1 ′ T1= T2

q T sd1 ′

2

∫=

T1 T2 p cost=

T1 T2T1 T2

h s,

h

s

c.l.i.

c.l.s.

p tcos=v tcos=

T tcos=

p tcos=

T tcos=

x tcos=

pc 221.3 bar=

Tc 647.4 K= x

xmvap

mvap mliq+---------------------------=

h s,

Tds dh vdp–=h∂s∂

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

pT=

TERMODINAMICA

40

Tranne che in prossimità del punto critico, dunque, la famiglia delle isobare, nellaregione del vapor saturo, inviluppa con ottima approssimazione la c.l.i.Altra caratteristica del piano di Mollier è che il punto critico non si trova nel punto diordinata massima della curva limite, come avviene evidentemente nei piani e

, ma notevolmente più in basso. Ciò appare logico se si pensa che l’isobara el’isoterma critiche devono ammettere tangente comune (il punto critico appartieneanche alla regione del vapor saturo) e che tale tangente, che ha la massima pendenzae pari alla temperatura critica, deve essere tale per entrambe le curve limiti.

IL DIAGRAMMA p-h PER I FLUIDI REFRIGERANTI. Per la rappresenta-zione delle trasformazioni termodinamiche dei fluidi refrigeranti si è soliti utilizzareil diagramma di stato pressione-entalpia specifica (p-h). Nella figura che segue ne èriportato un esempio qualitativo per una data sostanza.

La zona delle miscele bifasiche è delimitata dalle curva limite: il vertice di taleregione è il punto critico C. La lunghezza del tratto di isobara nella regione bifasicarappresenta il calore di evaporazione corrispondente a quella pressione di satura-zione. La lunghezza di questi segmenti decresce all’aumentare della pressione. Leisoterme hanno andamento praticamente verticale nella zona del liquido, in quanto ladipendenza dell’entalpia di un liquido dalla pressione è trascurabile. Nella regionebifasica le isoterme sono ovviamente orizzontali (dovendo essere anche isobare),mentre nella zona del vapore surriscaldato assumono pendenza negativa e tendono adiventare verticali nel campo delle basse pressioni in quanto l’entalpia di un aeri-forme è funzione solo della temperatura. Le isentropiche, le isocore e le isotitolo sonoanch’esse rappresentate.N.B. Può succedere che i diagrammi p-h che si utilizzano nella pratica non riportinol’andamento delle isoterme nella zona del liquido (che, come si è detto, è pressochéverticale): in questo caso come determinare l’entalpia di un generico punto A in con-dizioni di liquido sotto raffreddato (non saturo) di cui si conoscano pressione e tem-peratura? La posizione del punto A non è determinabile con esattezza, ma la suaentalpia può essere approssimata con quella del punto B che si trova sulla curvalimite inferiore alla stessa temperatura; del resto questa è l’approssimazione che siadotta comunemente per tutti i liquidi (acqua, ecc.).

Appendice

MANOMETRI A U

Pressioni relativamente modeste possono essere misurate utilizzando un dispositivonoto con il nome di manometro, che è costituito da un tubo trasparente, di vetro o diplastica, a forma di U, contenente un liquido, chiamato manometrico, come mercurio,acqua, alcool o olio. Per mantenere le dimensioni del manometro a valori ragionevolii liquidi più pesanti (mercurio) vengono utilizzati per le pressioni più elevate.Consideriamo il manometro ad U illustrato in figura. Poiché gli effetti gravitazionalidel gas sono trascurabili, la pressione in ogni punto del recipiente e nella posizione 1hanno lo stesso valore. Inoltre, poiché la pressione non varia in direzione orizzontaleall’interno del liquido, la pressione nella posizione 2 è la stessa che nella posizione 1,cioè .

La colonna differenziale di liquido manometrico, di altezza e sezione , è in equi-librio statico, e ciò significa che le forze che su di essa agiscono si devono fare equi-librio.

Essendo

p v,T s,

p (l

og)

h

CT = cost

x =

cost

s = c

ost

LIQ.

LIQ.+VAP.

VAP.

v = cost

liqui

do s

atur

o

vapo

re s

atur

o

p (l

og)

h

CT = cost

x =

cost

s = c

ost

LIQ.

LIQ.+VAP.

VAP.

v = cost

liqui

do s

atur

o

vapo

re s

atur

o

p (l

og)

h

T = co s t

h A h B

A (? )

B

p A

p (l

og)

h

T = co s t

h A h B

A (? )

B

p A

1 2

h

gas

p2 p1=

h A

Ap1 Apamb P+=

Appendice


si ha

Nelle precedenti relazioni, è il peso della colonna di liquido, è la densità del

liquido manometrico, supposta costante, è l’accelerazione di gravità locale, è la

sezione trasversale del tubo, e è la pressione atmosferica. La differenza di pres-

sione può quindi essere espressa con

Da notare che la sezione trasversale del tubo non ha effetto sull’altezza differenziale e quindi sulla misura della pressione.

TUBO DI BOURDON

Su un principio di funzionamento diverso rispetto a quello dei manometri a liquido(manometri a U) si basa il tubo di Bourdon, che appartiene alla categoria dei mano-metri a deformazione.Il rivelatore di pressione è costituito da un tubo di metallo a forma di spirale e asezione ellittica chiuso a un’estremità, il cui interno è posto in comunicazione con ilfluido di cui si vuol misurare la pressione.Al variare della differenza di pressione tra interno e esterno, si produce una deforma-zione che per la forma schiacciata del tubo si traduce in un arrotolamento o in unosvolgimento della spirale e quindi in una variazione della posizione dell’estremolibero. Quest’ultimo è collegato per mezzo di un sistema di leve ad un indice mobileche segnala su un'apposita scala le deformazioni della spirale al variare della pres-sione.La taratura avviene mettendo in comunicazione il manometro con fluidi a pressionenota; si segna di solito lo zero sulla scala quando la pressione del fluido è uguale aquella atmosferica, per cui in genere questi manometri indicano il valore dellasovrappressione del fluido rispetto a quella atmosferica (pressione relativa).

BAROMETRO

La pressione atmosferica viene misurata dal barometro ed infatti la pressione atmo-sferica viene spesso chiamata pressione barometrica.Come Torricelli (1608-1647) scoprì, qualche secolo fa, la pressione atmosferica puòessere misurata invertendo un tubo riempito di mercurio in una bacinella di mercurioaperta all’ambiente. La pressione nel punto B è uguale alla pressione atmosfericamentre la pressione in C può essere considerata nulla perché sopra il punto C ci sonosolo vapori di mercurio che esercitano una pressione molto bassa. Scrivendo unaequazione di equilibrio nella direzione verticale si ha

dove è la densità del mercurio.

Al livello del mare e a la colonnina di mercurio raggiunge un’altezza di

, a cui corrisponde una pressione ambiente vale

che rappresenta la pressione atmosferica in condizioni standard.

pamb

p1

h

P

A

P mg ρVg ρAhg= = =

p1 pamb ρgh+=

P ρg A

pamb

Δp p1 pamb– ρgh= =

h

p r e s s io n ein c o g n i ta

A

A

S e z io n e A A

p

h

h

P

A

C

B

pamb ρgh=

ρ0°C

760 mmHg pamb 101325 Pa=

pamb 13595 9.80665 0.76⋅ ⋅ 101325 Pa= =

TERMODINAMICA

42

POLITECNICO DI TORINO - DIPARTIMENTO DI ENERGETICA

ESERCITAZIONE N. 1 DI SISTEMI ENERGETICI

1. La pressione in un pneumatico automobilistico dipende dalla temperatura dell’aria contenuta nel pneumatico. Quando la temperatura dell’aria è la

pressione relativa all’ambiente è . Se il volume del pneumatico è

determinare l’aumento di pressione quando la temperatura dell’aria nel

pneumatico sale a . Determinare anche la quantità di aria che deve essere spillata per ripristinare la pressione al suo valore originale a questa temperatura.

Assumere che la pressione ambiente sia . [ ]

2. L’aria in un pneumatico di automobile con un volume di e a e

di pressione relativa. Determinare la quantità di aria da introdurre per

aumentare al valore raccomandato di relativi. Assumere che la pres-

sione atmosferica sia e che la temperatura e il volume rimangano costanti. [0.0086 kg]

3. La pressione relativa in recipiente di contenente ossigeno è di .

Determinare la quantità di ossigeno nel recipiente se la temperatura è di e

la pressione atmosferica è . [ ]

4. Un recipiente di contenente aria a e è collegato attraverso

una valvola a un altro recipiente contenente di aria a e . Aperta la valvola si attende che l’intero sistema raggiunga l’equilibrio termico con l’ambiente esterno a : Determinare il volume del secondo recipiente e la pressione di equilibrio finale dell’aria. [284.1 kPa]

5. Un contenitore rigido contiene aria a e . A seguito di uno scam-

bio termico con l’esterno la pressione e la temperatura si riducono a e

. Determinare il lavoro scambiato con l’esterno assumendo una trasfor-

mazione di quasi-equilibrio. [ ]

6. Un dispositivo stantuffo-cilindro contiene aria inizialmente a e . In questo stato lo stantuffo poggia su degli arresti, come mostrato in figura, e il volume racchiuso è . La massa dello stantuffo è tale che una pres-

sione di è richiesta per muoverlo. L’aria viene quindi scaldata fino a

raddoppiarne il volume . Determinare la temperatura finale, il lavoro

fatto dall’aria e la quantità di calore introdotto considerando la trasformazione

reversibile. Assumere per l’aria i seguenti valori medi: ,

. [ , , ]

7. Una stanza di 4x5x7 metri viene riscaldata da un radiatore del sistema di riscalda-mento. Il radiatore trasferisce una potenza termica di , e un ventilatore

che assorbe una potenza di viene utilizzato per distribuire l’aria calda nella stanza. La potenza termica persa dalla stanza verso l’esterno è stimata pari a

. Se la temperatura iniziale della stanza è di , e la pressione è

, determinare quanto tempo occorre per innalzare la temperatura

dell’aria fino a . Assumere , .

[ ]

8. Aria a e entra nel diffusore adiabatico di un motore a reazione

con una velocità di . La sezione di ingresso del diffusore è di . L’aria lascia il diffusore con velocità trascurabile. Determinare (a) la portata in

massa dell’aria e (b) la temperatura di uscita. [ , ]

25°C

210 kPa

0.025 m3

50°C

100 kPa 26 kPa 7 g,

0.015 m3 30°C

150 kPa

200 kPa

98 kPa

1.2 m3 500 kPa

24°C

97 kPa 9.25 kg

1 m3 25°C 500 kPa

5 kg 35°C 200 kPa

20°C

500 kPa 150°C

65°C

400 kPa

Le 0=

150 kPa 27°C

V1 200 l=

350 kPa

V3 2 V1=

R 287 J kgK⁄=

cp 1.1 kJ kgK⁄=

1

2

V1 V3 V

p3

T3 1400.7 K= Le 70 kJ–= Qe 381.6 kJ=

10 MJ h⁄100 W

5 MJ h⁄ 10°C

100 kPa

20°C R 287 J kgK⁄= cp 1.005 kJ kgK⁄=

831 s

80 kPa 10°C

200 m s⁄ 0.4 m2

m· 78.8 kg s⁄= T2 303.1 K=

Appendice


9. Aria a e viene compressa in condizioni stazionarie a e

. La portata in massa dell’aria è e il calore ceduto

all’esterno ammonta a . Assumendo trascurabili le variazioni

di energia potenziale e cinetica, calcolare la potenza assorbita dal compressore. [ ]

10. Una portata di 40 kg/min di acqua a 40 °C (densità 992 kg/m3) viene compressa adiabaticamente e reversibilmente da 7 bar a 70 bar in un processo stazionario. Calcolare la potenza assorbita dalla pompa assumendo che l’acqua sia all’incirca incompressibile, trascurando le variazioni di energia cinetica e potenziale. [P = 4.234 kW]

11. Un compressore aspira aria a 1 atm e 20 °C e la invia, a 3.5 atm e 7 m/s, in un condotto di 1 cm di diametro. Assumendo la compressione reversibile e adiaba-tica, calcolare la potenza assorbita dal compressore. Altri dati: velocità in ingresso al compressore trascurabile, massa molecolare dell’aria = 28.97 kg/kmol. [P = 205.3 W]

12. Elio viene espanso adiabaticamente e reversibilmente in una turbina da 400 kPa e 260 °C a 100 kPa. La velocità in ingresso alla turbina è trascurabile e la velocità di uscita è 200 m/s. Calcolare il lavoro massico fornito. Altri dati:

, . [ ]

13. Aria ( , ) viene espansa adiabaticamente e reversibil-mente in un condotto convergente da 1.5 MPa e 150 °C a 0.75 MPa. La velocità di ingresso è molto piccola, e il processo avviene in condizioni stazionarie. Calco-lare la velocità di uscita dal condotto. [c = 390.8 m/s]

14. Una turbina espande elio ( , ) adiabaticamente da

400 kPa e 260 °C a 100 kPa e 60 °C. La velocità di ingresso alla turbina è trascu-

rabile, quella di uscita è 200 m/s. Calcolare il lavoro delle resistenze passive .

[ ]

15. Una turbina espande aria ( , ) dalle condizioni 10 bar, 150 °C e 30 m/s alle condizioni 3 bar e 2 °C. Il diametro del condotto in cui sono state effettuate le misure è di 0.15 m, tanto per l’ingresso che per l’uscita. Ammet-tendo il flusso stazionario attraverso la macchina calcolare (I) la quantità di calore scambiata con l’esterno, sapendo che la potenza sviluppata è di 500 kW. Valutare inoltre (II) l’entità delle resistenze passive. [ ,

]

16. Aria ( , ) viene compressa da e a

in un compressore refrigerato (calore sottratto pari a ). La

portata in volume all’ingresso del compressore è e la potenza

interna è . Determinare (a) la portata in massa dell’aria e (b) la tempera-

tura all’uscita del compressore. [(a) (b) ]

17. In un riscaldatore d’aria ( , ), ammettendo il flusso sta-zionario, le condizioni d’ingresso sono 5 bar e 210 °C con velocità di 50 m/s. Supponendo politropica la trasformazione, note le condizioni di uscita pari a 4.5 bar, 850 °C e velocità di 120 m/s, trovare il calore massico fornito al fluido, l’entità delle resistenze passive. [ , ]

18. Una pompa solleva acqua da un pozzo fino ad un serbatoio aperto posto 20 m sopra il pelo libero dell’acqua del pozzo. Il condotto in cui è inserita la pompa ha diametro di 10 cm e l’acqua vi presenta la velocità di 2 m/s. Ammettendo che le resistenze passive complessive circuito/pompa ammontino a 4 m in colonna d’acqua, calcolare la potenza del motore che aziona la pompa (rendimento mecca-nico ). [ ]

100 kPa 280K 600 kPa

400K m· 0.02 kg s⁄=

qe 16 kJ kg⁄=

Pi 2.732 kW=

cp 5.234 kJ kgK⁄= γ 1.667= li 1.163 MJ kg⁄–=

R 287 J kgK⁄= γ 1.4=

cp 5.234 kJ kgK⁄= γ 1.667=

lw

lw 187.24 kJ kg⁄=

R 287 J kgK⁄= γ 1.4=

qe 32.58– kJ kg⁄=

lw 2.6 kJ kg⁄=

R 287 J kgK⁄= γ 1.4= 100 kPa 22°C

1 MPa 16 kJ kg⁄150 m3 min⁄

500 kW

2.95 kg s⁄ 174°C

R 287 J kgK⁄= γ 1.4=

qe 648.8 kJ kg⁄= lw 17 kJ kg⁄=

ηm 0.97= Pa 3.8= kW

TERMODINAMICA

44

19. 10 kg/s di vapor d’acqua entrano in una turbina a 40 bar e 400 °C con una velocità di 250 m/s. Il vapore lascia la turbina a 2 bar e 150 °C con una velocità di 30 m/s. La trasformazione si può assumere adiabatica. Calcolare la potenza della turbina nell’ipotesi che il flusso sia stazionario. [P = 4.78 MW]

20. In un impianto motore a vapore il fluido di lavoro riceve una potenza di nel generatore di vapore. Le perdite di calore dal vapore all’ambiente

esterno ammontano a . Se la potenza termica trasmessa nel condensatore

all’acqua di raffreddamento ammonta a determinare (a) la potenza netta fornita dall’impianto e (b) il rendimento termico dell’impianto. [(a)

, (b) %]

21. Un impianto motore a vapore fornisce una potenza di consumando

di carbone che ha un potere calorifico di (il potere

calorifico indica la quantità di energia termica liberata dalla combustione dell’unità di massa del combustibile). Determinare il rendimento termico di que-sto impianto. [ %]

22. Il motore di un’automobile consuma di combustibile e sviluppa una

potenza di . Se il combustibile ha un potere calorifico di

e una densità di , determinare il rendimento del

motore. [ %]

23. Un condizionatore d’aria rimuove da una abitazione calore che nell’unità di tempo ammonta a mentre assorbe una potenza di . Determi-nare (a) il COP del condizionatore e (b) il calore scaricato nell’unità di tempo all’ambiente esterno. [(a) , (b) ]

24. Un frigorifero domestico, che assorbe una potenza di e ha un COP di ,

deve raffreddare 5 angurie, di ciascuno, fino a . Se le angurie sono

inizialmente a determinare quanto tempo impiegherà il frigorifero a raf-freddarli. Le angurie, per il loro elevato contenuto d’acqua, possono essere assi-milate all’acqua il cui calore specifico è . [ ; la risposta

è realistica o ottimistica?]

25. Una abitazione viene scaldata per mezzo di radiatori elettrici consumando di energia elettrica in un mese invernale. Se l’abitazione venisse

riscaldata da una pompa di calore con un COP medio di calcolare il risparmio

conseguibile sulla bolletta. Assumere un costo di 10 c€/kWh. [ ]

26. Una macchina termica di Carnot ha un rendimento del 55%. Il calore nell’unità di tempo ceduta a lago a è di . Determinare (a) la potenza fornita dalla macchina e (b) la temperatura della sorgente ad alta temperatura. [(a)

, (b) ]

27. Un inventore pretende di aver scoperto una macchina termica che riceve

di calore da una sorgente a producendo di lavoro netto e cedendo

calore ad una sorgente a . E’ una pretesa ragionevole? [No]

28. Durante un’esperimento condotto in una stanza a , un assistente di laborato-

rio misura che un frigorifero, che assorbe di potenza, ha rimosso

di calore dallo scomparto refrigerato, che viene mantenuto a . Il tempo di funzionamento del frigorifero durante l’esperimento è stato di 20 min. Stabilire se queste misure sono ragionevoli. [No]

29. Le prestazioni di una pompa di calore si degradano (cioè il suo COP diminuisce) al diminuire della temperatura della sorgente di calore esterna. Ciò rende l’uso della pompa di calore nei climi molto rigidi non favorevole. Si consideri una casa

280 GJ h⁄8 GJ h⁄

145 GJ h⁄

35.5 MW 45.4

150 MW

60 t h⁄ Hi 30 MJ kg⁄=

30

20 l h⁄60 kW

Hi 44 MJ kg⁄= 800 kg m3⁄

30.7

750 kJ min⁄ 6 kW

2.08 1110 kJ min⁄

450 W 2.5

10 kg 8°C

20°C

cp 4.2 kJ kgK⁄= 2240 s

1200 kWh

2.4

70 €/mese

15°C 800 kJ min⁄

16.3 kW 640 K

800 kJ

400 K 250 kJ

300 K

25°C

2 kW 30000 kJ

30– °C

Appendice


che viene riscaldata e mantenuta a da una pompa di calore durante l’inverno. Qual è il massimo COP della pompa di calore se il calore viene estratto dall’aria esterna a (a) , (b) e (c) ? [ ]

30. Due macchine termiche di Carnot operano in serie. La prima riceve calore da una sorgente a e cede calore a un’altra sorgente alla temperatura . La seconda riceve il calore scaricato dalla prima, ne converte una parte in lavoro, e cede il rimanente a una sorgente a . Se il rendimento termodinamico delle

due macchine è lo stesso determinare la temperatura . [ ]

31. Un compressore comprime aria da e a . Determinare il minimo lavoro richiesto dal compressore nel caso che la trasformazione sia (a)

adiabatica (b) isoterma. [ ]

32. Aria entra in un compressore bistadio (due compressori in serie) a e

e viene compressa a . Il rapporto delle pressioni è uguale nei due

stadi. All’uscita del primo stadio l’aria viene raffreddata nuovamente a prima di rientrare nel secondo stadio. Assumendo che le trasformazioni di com-pressione sono adiabatiche e reversibili determinare la potenza interna se la por-tata in massa è . Determinare la potenza nel caso che la stessa

compressione venga effettuata utilizzando un solo stadio. [ , ]

33. Un impianto motore a vapore opera tra i due livelli di pressione di e

. Il fluido di lavoro entra nella pompa come liquido saturo ed esce dalla turbina come vapore saturo. Determinare il rapporto tra il lavoro fornito dalla tur-bina e il lavoro richiesto dalla pompa. Assumere che il ciclo sia interamente reversibile e che pompa e turbina possano essere considerate adiabatiche.

[ ]

34. Una portata di di vapore a e entra in una turbina bista-dio (due turbine in serie) adiabatica. Dieci percento del vapore viene estratto all’uscita del primo stadio a una pressione di per altri usi. La parte rima-nente viene ulteriormente espansa nel secondo stadio e lascia la turbina a

. Determinare la potenza interna della turbina assumendo trasformazioni

reversibili. [ ]

35. Un compressore d’aria adiabatico è collegato meccanicamente, attraverso un albero, ad una turbina a vapore adiabatica che fornisce potenza anche ad un gene-ratore elettrico. Una portata di di vapore a e entra in

turbina ed esce alle condizioni e . Una portata di di

aria a e entra nel compressore e esce a e . Deter-minare la potenza interna netta fornita dalla turbina al generatore e la variazione di entropia all’interno della turbina e del compressore durante queste trasforma-

zioni stazionarie. [ ]

36. Fluido refrigerante R12 viene espanso adiabaticamente attraverso una valvola dallo stato di liquido saturo a fino alla pressione di . Trascu-rando la variazione di energia gravitazionale e cinetica determinare la diminu-zione di temperatura subita dal fluido. [ ]

37. Fluido refrigerante R12 deve essere raffreddato mediante acqua in un condensa-tore. Il refrigerante entra nel condensatore con una portata di a

e ed esce a . L’acqua di raffreddamento entra a e ed

esce a . Trascurando le cadute di pressione, determinare (a) la portata in massa dell’acqua di raffreddamento e (b) la potenza termica trasmessa dall’R12

all’acqua di raffreddamento. [ , ]

20°C

10°C 5°– C 30°– C a ) 29.3 b ) 11.7 c ) 5.8,,

1200 K T

300 K

T 600 K

100 kPa 17°C 700 kPa

a ) limin

216.74 kJkg------ b ) li

min, 162.04 kJkg------= =

100 kPa

27°C 900 kPa

27°C

0.02 kg s⁄4.44 kW 5.26 kW

1 MPa

20 kPa

lt

lp---- 983.2=

15 kg s⁄ 7 MPa 500°C

1 MPa

50 kPa

14.9 MW

25 kg s⁄ 12.5 MPa 500°C

10 kPa x 0.92= 10 kg s⁄98 kPa 22°C 1 MPa 377°C

Pinetta 20309 kW Δs

t, 1.05 kJ

kg K------------ Δs

c, 0.127 kJ

kg K------------= = =

800 kPa 140 kPa

ΔT 55 K–=

6 kg min⁄ 1 MPa

70 Co

35 Co

300 kPa 15 Co

25 Co

m· H2O 0.377 kg s⁄= Q· 15.8 kW=

TERMODINAMICA

46

38. Refrigerante R12 a e viene raffreddato con aria a e in

un condensatore. L’aria entra a e con una portata in volume di

ed esce a e . Determinare la portata in massa del refri-

gerante. [ ]

39. Refrigerante R12 a e viene compresso fino alle condizioni di

e in un compressore adiabatico che assorbe una potenza di

. Trascurando la variazione di energia gravitazionale e cinetica determi-nare (a) il rendimento isentropico del compressore (b) la portata in volume del

refrigerante all’ingresso del compressore. [ , ]

Sito consigliato:http://thermal.sdsu.edu/testcenter/testhome/index.html

Software per proprietà dei fluidi, diagrammi termodinamici:Engineering Equation Solver (EES)http://www.southalabama.edu/engineering/solver.shtml

Esercizi facoltativi

1. Sia un manometro a molla (tubo di Bourdon) che un manometro a U sono colle-gati ad un recipiente per misurare la pressione del gas all’interno. Se la lettura del manometro a molla è , determinare la distanza tra i due livelli del

liquido del manometro ad U se il fluido è (a) mercurio ( ) o è

(b) acqua . [ ]

2. Un manometro ad U contenente olio ( ) è attaccato a un reci-piente contenente aria. Se la differenza di livello dell’olio tra le due colonne è

e la pressione atmosferica è determinare la pressione assoluta dell’aria nel recipiente. [101.75 kPa]

3. La metà inferiore di un contenitore cilindrico alto 10 m contiene acqua

( ) mentre la metà superiore olio ( ). Determi-nare la differenza di pressione tra il fondo e la sommità del cilindro. [90.7 kPa]

4. Una pentola a pressione cuoce più velocemente di una pentola normale perché mantiene all’interno una pressione e una temperatura più elevate. Il coperchio della pentola è ben sigillato e il vapore può fuoriuscire solo attraverso un’apertura praticata sul coperchio. Un pezzo separato, di una certa massa, la valvola, siede su questa apertura e impedisce al vapore di sfuggire fino a quando la forza della pressione supera il peso della valvola. La fuoriuscita di vapore previene in tal modo aumenti di pressione potenzialmente pericolosi e mantiene la pressione all’interno della pentola a un valore costante. Determinare la massa della valvola di una pentola a pressione la cui pressione di funzionamento relativa è 100 kPa ed

ha una sezione di apertura sul coperchio di . Assumere una pressione

atmosferica di . [ ]

1 MPa 80 Co

1 MPa 30 Co

100 kPa 27 Co

800 m3

min⁄ 95 kPa 60 Co

m· R12 3.06 kg s⁄=

140 kPa 20 Co

–

700 kPa 60 Co

0.5 kW

ηis 0.65= V· 1 0.072 m3

min⁄=

80 kPa

ρ 13600 kg m3⁄=

ρ 1000 kg m3⁄= a( ) 0.6 m b( ) 8.155 m,

ρ 850 kg m3⁄=

45 cm 98 kPa

ρ 1000 kg m3⁄= ρ 850 kg m3⁄=

4 mm2

101 kPa 40.77 g

Esercizi facoltativi


5. Un tubo trasparente verticale e aperto all’ambiente è collegato a un condotto in cui fluisce acqua. Se la pressione dell’acqua è di e la pressione atmosfe-

rica è di determinare l’altezza a cui si porterà la colonna d’acqua nel tubo

trasparente. Assumere e . [ ]

6. Un cilindro, chiuso da uno stantuffo senza attrito, contiene acqua in equilibrio con il suo vapore a . Durante una trasformazione a pressione costante

di calore vengono trasmessi all’aria esterna che é a . Come conseguenza parte del vapor d’acqua condensa. Determinare (a) la variazione di entropia dell’acqua, (b) la variazione di entropia dell’aria e (c) se la trasformazione é reversibile, irreversibile o impossibile.

[ ]

7. Un compressore da comprime aria da a . Durante la trasformazione

la temperatura dell’aria si mantiene costante a per effetto dello scambio

termico con l’ambiente circostante a . Determinare la variazione di entropia nell’unità di tempo (a) dell’aria e (b) dell’ambiente circostante. Rispetta questa trasformazione il secondo principio?

[ ]

8. Un compressore d’aria adiabatico è collegato meccanicamente, attraverso un albero, ad una turbina a vapore adiabatica che fornisce potenza anche ad un gene-

ratore elettrico. Una portata di di vapore a e entra in

turbina ed esce alle condizioni e . Una portata di di

aria a e entra nel compressore e esce a e . Deter-minare la potenza interna netta fornita dalla turbina al generatore e la generazione di entropia nell’unità di tempo all’interno della turbina e del compressore durante queste trasformazioni stazionarie.

[ ]

115 kPa

92 kPa

g 9.8 m s2⁄= ρ 1000 kg m3⁄= 2.347 m

100°C 600 kJ

25°C

100°CTsurr 25°C=

600 kJ

a ) ΔSacqua 1.608– kJK----- b ) ΔSaria, +2.012

kJK----- c ) Irreversibile,= =

8 kW p1 p2

40°C

10°C

a ) ΔS·aria 25.547– WK----- b ) ΔS· surr, +28.254

WK----- c ) Sì,= =

25 kg s⁄ 12.5 MPa 500°C

10 kPa x 0.92= 10 kg s⁄98 kPa 22°C 1 MPa 377°C

Pinetta

20309 kW S·genT

, 26250 WK----- S·gen

C, 1.27

kWK

--------= = =

TERMODINAMICA

48


CAPITOLO 2 ESPANSIONE COMPRESSIONE

Nei sistemi di conversione dell’energia le trasformazioni di espansione e compres-sione hanno un ruolo rilevante perché attraverso l’espansione e la compressione delfluido di lavoro si riesce a realizzare lo scambio energetico necessario alla produ-zione e trasformazione dell’energia.In base agli scopi che si vogliono raggiungere nelle trasformazioni energetiche sidistinguono i seguenti casi:A. espansione e compressione con scambio di lavoro;B. espansione e compressione senza scambio di lavoro.Affrontiamo quindi lo studio termodinamico delle trasformazioni di espansione ecompressione facendo riferimento a un sistema termodinamico aperto in moto stazio-nario, oltre che unidimensionale, in cui il fluido si comporti come un gas perfetto.Ammetteremo trasformazioni adiabatiche (reversibili o meno) perché è ciò che siverifica nella quasi totalità dei casi. Infatti, gli scambi termici con l’esterno sonoestremamente modesti rispetto all’ammontare delle altre forme di energia. Trattan-dosi di un gas, riterremo trascurabile la variazione di energia gravitazionale.

A. ESPANSIONE E COMPRESSIONE CON SCAMBIO DI LAVORO

Per l’espansione e la compressione, con scambio di lavoro, di un gas supporremo ini-zialmente nulla la variazione di energia cinetica.

ESPANSIONE

In questo caso lo scopo della trasformazione è la produzione di lavoro, e quindi dipotenza, e si realizza in una turbina. Esaminiamo, con l’ausilio dei diagrammi termo-dinamici, una espansione reale applicando il primo principio della termodinamica

h

s

p2p1

1

22is

lilis

T

s

1

22is

A B E F

CD

n γ<

p1 p2

1

22is

p

v

A

B

ESPANSIONE COMPRESSIONE

50

Cambiando di segno a , per avere quantità positive

area area

Nel piano è possibile mettere in evidenza

Nasce allora spontaneo, essendoci delle perdite di lavoro, definire un rendimentodella conversione energetica come rapporto tra il lavoro ottenuto realmente rispetto allavoro massimo che potrei ottenere in assenza di perdite:

(71)

Poiché nella realtà l’espansione è adiabatica, possiamo adottare come trasformazioneideale di riferimento l’adiabatica reversibile che si svolge tra gli stessi limiti di pres-sione

Ragionando in termini di aree sui diagrammi e possiamo mettere in evi-denza che

da cui si deduce che per passare dal caso ideale a quello reale non basta detrarre illavoro delle resistenze passive dal lavoro ideale ma occorre aggiungere il

lavoro corrispondente all’area del triangolo mistilineo , che pertanto rappre-

senta un parziale ricupero delle perdite. Fisicamente il fenomeno è il seguente: le per-dite, che si convertono in calore lungo l’espansione, operano come una sorgente

interna di calore che tende ad aumentare l’energia potenziale del fluido ( e

) che può essere parzialmente convertita in lavoro. Il fenomeno prende il nome diricupero termico (R.T.).Ritornando al rendimento della trasformazione, definiamo rendimento isentropico(perché riferito alla trasformazione isentropica)

(72)

Risulta pertanto che è funzione del rapporto delle pressioni: a parità di , poiché

, aumenta con ; ciò per il fenomeno del ricupero.

li v pd1

2

∫ lw+= li h2 h1–=

li

li v pd1

2

∫– lw–= li h1 h2– cp T1 T2–( )= =

A12B v pd1

2

∫– li lw+= = BD1E li=

T s, lw

qδ1

2

∫ T sd1

2

∫ qeδ1

2

∫ lwδ1

2

∫+ lw area E12F= = = =

ηli

li( )max

---------------=

1 2is–

lis v pd1

2is

∫– area A12isB= = lis h1 h2is– area AC1E= =

p v, T s,

li lw+ lis area 12is2+= lis li lw area12is2–+=

li lis lw area 12is2+–= li lis lw area 12is2+–=

lw lis

12is2

v pd∫–hΔ

ηisli

lis

-----h1 h2–

h1 h2is–

-------------------= =T1 T2–

T1 T2is–

-------------------1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------–

1p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------–

----------------------------= =

ηis n

n γ< ηis

p1

p2

-----



Allo scopo di avere un rendimento della trasformazione indipendente dal rapportodelle pressioni, che altrimenti creerebbe difficoltà, soprattutto in sede di confronto traprocessi che si svolgono in macchine diverse o, addirittura nella stessa macchina, èstata introdotta un’altra definizione di rendimento, alternativa alla precedente.Poiché la dipendenza dal rapporto delle pressioni è dovuta al manifestarsi del feno-meno del ricupero, si assume come trasformazione di riferimento quella trasforma-zione in cui tale fenomeno non si manifesta. Prima, nella definizione di , il lavoro

di riferimento o “limite” era , ora, senza considerare il ricupero,

avremo

(73)

Espressione, come si voleva, indipendente da , e che vale, ricordiamolo, nell’ipo-

tesi che e .

Tale rendimento prende il nome di rendimento idraulico perché è tipica delle mac-chine idrauliche l’assenza, o meglio, la trascurabilità del ricupero termico, essendopoco influenti gli effetti termici. Ma prende anche il nome di rendimento politropicoperché si assume come trasformazione di riferimento una politropica reversibile dipari esponente medio della politropica reale.É interessante notare come il rendimento idraulico non sia che quello isentropico por-tato al limite per tendente all’unità, tanto che diversi autori così lo defini-

scono, parlando di rendimento di una espansione infinitesima

In questa prospettiva, dunque, il rendimento idraulico è da considerarsi il rendimentoisentropico di uno qualunque degli infiniti stadi infinitesimi nei quali si può pensaredi suddividere un’espansione (gli anglosassoni lo chiamano small stage efficiency).Per quanto visto, e anche se solo per trasformazioni adiabatiche con variazione dienergia cinetica nulla, il rendimento idraulico consente di legare l’esponente della

politropica reale a quello dell’adiabatica reversibile Il legame tra il rendimento isentropico e quello idraulico è, in queste circostanze,

(74)

rappresentato nella figura a lato, in cui per ogni valore di si osserva

l’aumento di all’aumentare del rapporto delle pressioni. L’aumento è tanto più

ηis

lis li lw RT–+=

ηyli

li lw+--------------

h1 h2–

v pd1

2

∫–------------------

γγ 1–-----------RT1

nn 1–------------RT1

----------------------

1p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------–

1p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------–

----------------------------------

γγ 1–-----------

nn 1–------------------------= = = =

p2

p1

-----

qe 0= ecΔ 0=

n

p2 p1⁄

ηisp2 p1⁄ 1→

lim1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------–

1p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------–

----------------------------p2 p1⁄ 1→

lim

dd p2 p1⁄( )---------------------- 1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------–

dd p2 p1⁄( )---------------------- 1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------–

---------------------------------------------------------p2 p1⁄ 1→

lim

n 1–n

------------

γ 1–γ

----------------------- ηy= = = =

ESPANSIONE

0 5 100.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ηis

ηy 0.7=

p1

p2

-----

n γ

ηis

11p1p2

-----

-----

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ηy

γ 1–γ

-----------

–

11p1

p2

-----

-----

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ γ 1–

γ-----------

–

----------------------------------=

ηy tcos=

ηis


52

forte quanto più basso è il rendimento idraulico perché, evidentemente, aumentandole perdite con il diminuire di , aumenta pure il calore ricuperato.

COMPRESSIONE

Lo scopo della trasformazione è, ora, la compressione di un fluido e si realizza in uncompressore fornendo lavoro dall’esterno. Esaminiamo, con l’ausilio dei diagrammitermodinamici, una compressione reale applicando il primo principio della termodi-namica

area area

Nel piano è possibile mettere in evidenza

Essendoci delle perdite di lavoro, definiamo quale rendimento della conversioneenergetica, analogamente al caso dell’espansione, il rapporto tra il lavoro minimo chesi fornirebbe al sistema in assenza di perdite e il lavoro della compressione reale:

Adottiamo, come trasformazione ideale di riferimento, l’adiabatica reversibile che sisvolge tra gli stessi limiti di pressione

Ragionando in termini di aree sui diagrammi e possiamo mettere in evi-denza che

Rispetto alla compressione isentropica, per la quale il lavoro è minimo per la mac-china adiabatica, nel caso reale occorre fornire in più il lavoro dovuto alle resistenzepassive, come è logico, ma anche un lavoro extra corrispondente all’area del trian-golo mistilineo . Questo lavoro in più nasce da una causa, che è la stessa

dell’espansione, ma che qui ha conseguenze opposte. Infatti il calore generato dagli

ηy

1

22is

p

v

A

BT

s

h

s

1

2

2is

A

B

C D

n γ>

p1

p2

p1

p2 1

2

2is

lilis

li v pd1

2

∫ lw+= li h2 h1–=

A12B v pd1

2

∫ li lw–= = AB2D li cp T2 T1–( )= =

T s, lw

qδ1

2

∫ T sd1

2

∫ qeδ1

2

∫ lwδ1

2

∫+ lw area C12D= = = =

ηli( )min

li

---------------=

1 2is–

lis v pd1

2is

∫ area A12isB= = lis h2ish1– area AB2isC= =

p v, T s,

li lw– lis area 12is2+= li lis lw area12is2+ +=

li lis lw area 12is2+ +=

12is2



attriti lungo la compressione tende a contrastare la compressione stessa perché tendead espandere il gas. Tale fenomeno prende il nome di controricupero termico (C.R.T.)Ritornando al rendimento della trasformazione, definiamo rendimento isentropico(perché riferito alla trasformazione isentropica)

(75)

Risulta pertanto che è funzione del rapporto delle pressioni: a parità di , poiché

, diminuisce con ; ciò per il fenomeno del controricupero.

Anche nel caso della compressione si definisce un rendimento idraulico per avere unrendimento della trasformazione indipendente dal rapporto delle pressioni.Poichè ladipendenza dal rapporto delle pressioni è dovuta al manifestarsi del fenomeno delcontroricupero, si assume come trasformazione di riferimento quella trasformazionein cui tale fenomeno non si manifesta. Prima, nella definizione di , il lavoro di

riferimento o “limite” era , ora, senza considerare il controricu-

pero, avremo

(76)

Espressione, come si voleva, indipendente da , e che vale, ricordiamolo, nell’ipo-

tesi che e .

Tale rendimento prende anche il nome di rendimento politropico perché si assumecome trasformazione di riferimento una politropica reversibile di pari esponentemedio della compressione reale.Analogamente al caso dell’espansione, e anche se solo per trasformazioni adiabatichecon variazione di energia cinetica nulla, il rendimento idraulico consente di legarel’esponente della politropica reale a quello dell’adiabatica reversibile Il legame tra il rendimento isentropico e quello idraulico è, in queste circostanze,

(77)

rappresentato nella figura a lato, in cui per ogni valore di si osserva la

diminuzione di all’aumentare del rapporto delle pressioni. La riduzione è tanto

più forte quanto più basso è il rendimento idraulico perché, evidentemente, aumen-tando le perdite con il diminuire di , aumenta pure il calore generato.

LAVORO DI COMPRESSIONE MINIMO

Abbiamo fatto l’ipotesi fin qui di trasformazioni adiabatiche. Più in generale, consi-deriamo la compressione di un gas ideale e proponiamoci di determinare il minimolavoro di compressione nell’ipotesi di trasformazione reversibile, non necessaria-mente adiabatica, e con variazione di energia cinetica trascurabile. L’espressione del Iprincipio in forma meccanica

ηislis

li

-----h2is

h1–

h2 h1–-------------------= =

T2isT1–

T2 T1–-------------------

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------1–

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------1–

----------------------------= =

ηis n

n γ> ηis

p2

p1

-----

ηis

lis li lw– CRT–=

ηyli lw–

li

-------------

v pd1

2

∫h2 h1–----------------

nn 1–------------RT1

γγ 1–-----------RT1

----------------------

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------1–

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------1–

----------------------------------

nn 1–------------

γγ 1–-----------------------= = = =

p2

p1

-----

qe 0= ecΔ 0=

n

n γ

COMPRESSIONE

0 5 100.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ηis

ηy 0.7=

p2

p1

-----

ηis

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------1–

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

1ηy

----- γ 1–

γ-----------

1–

----------------------------------=

ηy tcos=

ηis

ηy


54

diventa

Dall’esame di questa equazione si deduce che per ridurre il lavoro di compressione ènecessario che il volume specifico del gas sia il più piccolo possibile durante la com-pressione. Ciò si può ottenere mantenendo il più basso possibile la temperatura delgas durante la compressione perchè il volume specifico è proporzionale alla tempera-tura. Perciò, per ridurre il lavoro di compressione è necessario che il gas venga raf-freddato man mano che viene compresso.Per comprendere meglio l’effetto del raffreddamento durante la compressione, con-frontiamo il lavoro di tre diverse trasformazioni, tutte reversibili:

• isentropica (senza refrigerazione)

• politropica (con raffreddamento)

• isoterma (con forte refrigerazione).

Ricordando che sul piano p-v l’area a sinistra della curva di trasformazione rappre-senta il lavoro scambiato si evince che tanto maggiore è il calore sottratto tanto piùbasso è il lavoro di compressione. Il lavoro minimo di compressione si ottiene quindinella compressione isoterma reversibile.Dal punto di vista pratico la sottrazione di calore si può realizzare ricavando unaintercapedine, nella carcassa che racchiude il compressore, all’interno della quale unfluido refrigerante possa circolare raffreddando il gas. La pratica è efficace se la velo-cità del gas che attraversa il compressore è bassa, come nei compressori volumetrici,ma è inutile nei turbocompressori perchè la velocità del gas è qui elevata e quindil’ipotesi di adiabaticità è più realistica.Quindi, quando non è possibile avere una efficace refrigerazione attraverso l’involu-cro del compressore si utilizza la tecnica della compressione multistadio con interre-frigerazione che consiste nel suddividere il salto di pressione tra compressori (stadi)posti in serie collocando, tra uno stadio e l’altro, scambiatori di calore che riportanola temperatura del gas all’uscita di ciascuno stadio al valore iniziale o leggermentesuperiore. La figura mostra il caso di una compressione bistadio. Si può dimostrare che ilminimo lavoro si ottiene quando il rapporto di compressione è uguale nei due stadi.In queso caso si parla di compressione uniforme interrefrigerata. Da notare cheaumentando il numero di stadi si approssima sempre di più la compressione isoterma.

B. ESPANSIONE E COMPRESSIONE SENZA SCAMBIO DI LAVORO.

Le trasformazioni di compressione e espansione si possono anche realizzareall’interno di condotti, opportunamente sagomati, senza scambio di lavoro con

li v pd1

2

∫ lw Δec+ +=

lrev v pd1

2rev

∫=

pvγ tcos=

v pd1

2is

∫ γγ 1–-----------RT1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------1–=

pvn tcos=

v pd1

2pol

∫ nn 1–------------RT1

p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

n 1–n

------------1–=

pv tcos=

v pd1

2iso

∫p1v1

p---------- pd

1

2 iso

∫ RT1p2

p1

-----ln= =

1

2is

p

v

2iso

2pol

p1

p2

T

s

1

2is

n γ< p1

p2

2pol

2iso

n γ=

n 1=

1

2p2

v

2iso

2′1′

p1

p2'

T

s

1

p1

p2

2iso

2′

1′

2

B. ESPANSIONE E COMPRESSIONE SENZA SCAMBIO DI LAVORO.


l’esterno. Il calore scambiato con l’esterno si può supporre trascurabile dato che iltempo di permanenza del gas all’interno del condotto è modesto.

ESPANSIONE. L’espansione di un fluido attraverso, per esempio, un condotto con-vergente, produce di solito una accelerazione del fluido che fuoriuscirà ad una velo-cità maggiore di quella di ingresso. Gli ugelli (tale è il nome dato ai condottiespansori) non scambiano lavoro con l’esterno perché nessun albero attraversa i suoiconfini e il fluido subisce una piccola o nessuna variazione di energia potenziale( ) nell’attraversare il condotto. Se, inoltre, la velocità di ingresso del fluido è pic-

cola rispetto alla velocità di uscita, l’equazione dell’energia per i sistemi aperti inmoto stazionario si riduce a

da cui

Per un’espansione adiabatica priva di perdite, che possiamo assumere come trasfor-mazione reversibile di riferimento

da cui

con evidentemente maggiore di

Il rendimento isentropico dell’ugello viene definito come il rapporto tra l’incrementodi energia cinetica del fluido prodotto dall’ugello alla variazione di energia cineticasubita in un ugello isentropico con le stesse condizioni di ingresso e pressione diuscita, cioè:

(78)

che può essere espresso in funzione dei rispettivi salti entalpici

(79)

I rendimenti isentropici degli ugelli sono tipicamente al di sopra del 90%, e spessooltre il 95%.

COMPRESSIONE. In assenza di lavoro scambiato con l’esterno la compressionedel gas può avvenire a spese della sua energia cinetica.Applicando il 1º principio al volume di controllo che contiene un condotto opportu-namente sagomato, che viene chiamato diffusore, in cui il gas si presenta con velocità

e pressione e che lascerà ad una velocità minore e pressione maggiore,

si ha

Quale trasformazione ideale di riferimento, per definire il rendimento della compres-sione, si assume l’adiabatica reversibile che si svolge a partire dalle stesse condizioniiniziali della trasformazione reale e con la stessa pressione finale

Si definisce pertanto rendimento isentropico del diffusore il rapporto tra la riduzionedi energia cinetica che si ha nel diffusore ideale rispetto alla riduzione subita inquello reale

(80)

p1

c1

p2 p1<

c2 c1>

h

s

1

2

2is

c22

2-----c2is

2

2-------

egΔ

0 h2 h1–( )c2

2 0–

2--------------+=

c22

2----- h1 h2–( )=

0 h2ish1–( )

c2is

2 0–

2----------------+=

c2is

2

2------- h1 h2is

–( )=

c2isc2

ηis

c22 c1

2–

c2is

2 c12–

------------------c2

2

c2is

2-------≈=

ηish1 h2–

h1 h2is–

-------------------=

p1

c1

p2 p1>

c2 c1<

h

s

1

22is

c12 c2

2–

2----------------c1

2 c2is

2–

2------------------

c1 p1 c2 p2

0 h2 h1–( )c2

2 c12–

2----------------+=

0 h2ish1–( )

c2is

2 c12–

2------------------+=

ηis

c12 c2is

2–

c12 c2

2–------------------

h2ish1–

h2 h1–-------------------= =


56

DIPARTIMENTO DI ENERGETICA - POLITECNICO DI TORINO

ESERCITAZIONE N. 2 DI SISTEMIENERGETICI

1. Un'espansore presenta un rendimento idraulico dell'86%, un rapporto delle pres-

sioni di 4.5 a 1 e un valore medio di di 1.333. Calcolare il rendimento isentro-

pico dell'espansione. [ ].

2. In una turbina si espande aria (assumendo il comportamento di gas perfetto, con

, e R=287 J/kgK) dalla temperatura di 1100 K e con rapporto delle pressioni di 6 a 1. Calcolare le temperature di scarico e il lavoro massico scam-biato nei seguenti casi:

a) espansione adiabatica reversibile;

b) espansione adiabatica irreversibile ( ).

Valutare inoltre l'entità delle resistenze passive e del ricupero termico nel caso b).

{ , , , ,

, }

3. In una turbina si invia del vapor d'acqua a 5 MPa e 500 °C. Sapendo che la pres-sione di scarico è 500 kPa e che il rendimento isentropico è pari al 75%, valutare

il lavoro di espansione. { }

4. Un compressore aspira aria ( , e R=287 J/kgK) da un ambiente a 100 kPa e 25 °C comprimendola a 300 kPa con una temperatura di 150 °C. Calcolare

il rendimento della macchina. { , }

5. Un compressore aspira aria (assumendo il comportamento di gas perfetto, con

, e R=287 J/kgK) a 100 kPa e 25°C con rapporto delle pressioni di 1 a 6. Calcolare le temperature di mandata e il lavoro massico scambiato nei seguenti casi:

a) compressione adiabatica reversibile;

b) compressione adiabatica irreversibile ( ).

Valutare, inoltre, l'entità delle resistenze passive e del controricupero termico nelcaso b).

{ , , , }

6. Aria viene compressa reversibilmente da e a . Calco-lare il lavoro di compressione nel caso di a) compressione adiabatica b) politro-

pica con c) isoterma e d) compressione uniforme bistadio

interrefrigerata politropica con .

[ , , , ]

7. Una turbina a gas adiabatica fornisce una potenza interna di quando le condizioni di ingresso e di uscita sono, rispettivamente:

Calcolare la portata in massa del gas (gas ideale con ,

costanti) che attraversa la turbina e il rendimento isentropico della turbina.

Ingresso Uscita

γ

ηis 0.88=

γ 1.4=

ηy 0.85=

T2 is 659.3 K= T2 711.9 K= lis 442.7 kJ kg⁄= li 389.8=

lw 68.8= RT 15.9 kJ kg⁄=

li 460 kJ kg⁄=

γ 1.4=

ηy 0.896= ηis 0.879=

γ 1.4=

ηy 0.85=

lis 200.1 kJ kg⁄= li 247.3= lw 37.1= CRT 10.12 kJ kg⁄=

100 kPa 300 K 900 kPa

n 1.3=

n 1.3=

lis 263.2 kJ kg⁄= lpol 246.4 kJ kg⁄= liso 189.2 kJ kg⁄= linter 215.3 kJ kg⁄=

5 MW

p1 2 MPa= p2 100 kPa=

T1 1200 K= T2 600 K=

c1 50 m s⁄= c2 180 m s⁄=

z1 10 m= z2 6 m=

cp 1147 J

kg K⋅--------------= γ 1.333=


CAPITOLO 3 RICHIAMI DI TERMOCHIMICA

ARIA TEORICA DI COMBUSTIONE

Una reazione di combustione risulta completa se il combustibile ha ossigeno suffi-ciente per ossidarsi completamente. Si ha combustione completa quando tutto il car-bonio presente nel combustibile si trasforma in e l’idrogeno in . Se il

comburente é aria sarà necessaria una determinata quantità minima di aria per ossi-dare, con l’ossigeno in essa presente, completamente il combustibile.

L’aria è costituita da circa il 21% in volume di e dal 79% di , per cui per ogni

mole di ossigeno saranno presenti 3.76 moli di azoto. L’azoto, però, se la temperaturanon é molto elevata, si comporta come un gas inerte e non partecipa, quindi, alla rea-zione.Per esempio per la reazione di combustione del metano con aria:

bilanciando la reazione si ottiene:

Si stabilisce quindi quanta aria é necessaria affinché vi sia la combustione completadel metano.

: massa di aria

: massa di combustibile

: numero di moli

: massa molecolarePer ogni unità di massa di metano sono necessarie almeno 17 unità di massa di ariaaffinché si realizzi una combustione completa.La quantità d’aria in relazione al combustibile che prende parte alla reazione é chia-mata rapporto aria-combustibile o dosatura:

La dosatura é stechiometrica se la quantità d’aria utilizzata è esattamente pari a quellaminima richiesta per avere la combustione completa ; se l’aria é in eccesso si

parla di dosature povere (di combustibile) mentre se essa é in difetto le dosature risul-tano ricche.E’ importante osservare come ogni combustibile abbia un suo valore di ; per

esempio l’isottano e molte benzine commerciali hanno .

Si definisce eccesso d’aria la massa d’aria utilizzata in più rispetto a quella stechio-metrica, in termini relativi:

CO2 H2O

O2 N2

CH4 O2 3.76N2+ + CO2 H2O 3.76N2+ +→

CH4 2 O2 3.76N2+( )+ CO2 2H2O 2 3.76• N2+ +→

ma

mb

------nM( )O2

nM( )N2+

nM( )CH4

------------------------------------------ 2 32• 2 3.76 28••+1 16•

---------------------------------------------------- 17.16= = =

ma

mb

n

M

αma

mb

------=

αst

αst

C8H18 αst 15≈

RICHIAMI DI TERMOCHIMICA

58

PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI REAGENTI

Con riferimento ad un sistema aperto reagente in condizioni stazionarie il primo prin-cipio [cfr. equazione (38)] è

(81)

in cui le condizioni rappresentano quelle dei prodotti della reazione e le condizioni

quelle dei reagenti. Normalmente l’energia cinetica e l’energia gravitazionale ven-gono trascurate

(82)

Durante la reazione la composizione del sistema varia in quanto alcune sostanze, ireagenti, si combinano fra di loro per dar luogo ai prodotti della reazione. L’energiaassociata ad ogni sostanza è la somma dell’energia chimica ( ) e dell’energia

legata al livello termico (energia sensibile). E’ necessario, al fine di calcolare cor-rettamente le sommatorie espresse nella (82), che l’energia di ogni sostanza vengariferita ad uno stato di riferimento comune. Convenzionalmente si è scelto lo stato diriferimento standard di e . L’energia chimica di una sostanza nelle con-

dizioni di riferimento standard viene chiamata entalpia di formazione perché cor-

risponde all’energia liberata (o assorbita) nella reazione di formazione della sostanzaa partire dagli elementi fondamentali stabili (come , , e ) a cui è stato

attribuito convenzionalmente un livello energetico nullo. L’energia sensibile rispettoalle condizioni di riferimento standard viene espressa da

Il primo principio per i sistemi aperti reagenti si scrive pertanto

(83)

Nel volume di controllo in condizioni stazionarie avremo in ingresso i reagenti (per

es. , , ) che daranno luogo, a reazione avvenuta, ai prodotti (per es. ,

, ). Le sommatorie vanno estese ai singoli componenti dei reagenti e dei pro-

dotti. In luogo della (83) può, talvolta, essere conveniente utilizzare l’equazione similareseguente ottenuta facendo intervenire grandezze molari (cioè riferite all’unità dimole) piuttosto che massiche. Infatti, poiché si può scrivere

in cui é la portata molare e la massa molecolare, e

con entalpia molare si ha

ema ma( )

st–

ma( )st

----------------------------ma

ma( )st

--------------- 1– ααst------- 1–= = =

Qeδτd

---------Liδτd

-------+ Σe m· e h eg ec ech+ + +( )e Σi m· i h eg ec ech+ + +( )i–=

e

i

Qeδτd

---------Liδτd

-------+ Σp m· p h ech+( )p Σr m· r h ech+( )r–=

ech

h

25°C 1 atm

hf0

O2 N2 H2 C

h h0–( )

Q· e Pi+ Σp m· p hf0

h h0–( )+( )p Σr m· r hf0

h h0–( )+( )r–=

CH4 O2 N2 CO2

H2O N2

m· n· M=

n· kmole s⁄[ ] M

h hM-----=

h kJ kmole⁄[ ]

Q· e Pi+ Σn· p hf0

h h0–( )+( )p Σn· r hf0

h h0–( )+( )r–=


ENERGIA MASSIMA DI UNA REAZIONE CHIMICA

Per determinare la quantità massima di calore rilasciata dalla reazione a partire daireagenti alle condizioni standard di riferimento di e

occorre estrarre dal sistema una quantità di calore tale da riportare i prodotti della rea-

zione alle condizioni iniziali dei reagenti (in tal modo i termini risultanonulli)

Tenendo conto che il lavoro scambiato con l’esterno é nullo

(84)

Oppure utilizzando grandezze molari

(85)

Dividendo questa quantità per la portata massica o la portata molare della sostanzache reagisce (combustibile) si ottiene il cosiddetto potere calorifico

(86)

(87)

in cui e rappresentano il numero di moli dei prodotti e dei reagenti per ogni

mole di combustibile. Il potere calorifico massico può essere ricavato da quellomolare dividendolo per la massa molecolare del combustibile:

(88)

Quando il combustibile è un idrocarburo tra i prodotti di reazione è sempre presentel’acqua. Il massimo rilascio di energia si otterrà quando tutta l’acqua contenuta neiprodotti della combustione é allo stato liquido. In tal caso si avrà il potere calorificosuperiore . Viceversa si avrà il potere calorifico inferiore se l’acqua si trova

allo stato di vapore. Il caso più frequente é l’ultimo.Conoscendo quindi la composizione del combustibile, utilizzando l’equazione (87),si può determinare il potere calorifico, sia inferiore che superiore. In alternativa,occorre misurare il potere calorifico del combustibile impiegando un calorimetro.Il calorimetro a volume costante, o bomba calorimetrica, è costituito da un recipientesferico, per via delle alte pressioni che si possono raggiungere, all’interno del qualeviene posto il combustibile e il comburente. La bomba viene immersa in acqua a

contenuta in un recipiente adiabatico. Innescata la combustione, mediantemezzi esterni, al raggiungimento dell’equilibrio si misura il modesto incremento ditemperatura subito dall’acqua che è proporzionale alla quantità di calore rilasciatadalla quantità nota di combustibile.Il calorimetro a pressione costante, a differenza del precedente, è un sistema aperto incui il combustibile insieme al comburente viene introdotto con continuità. I prodotti

p0 1 atm= T0 25°C=

h h0–( )

T0p0

m· ri

m· pj

T0p0

Q· e

T0 T

Q· e

Tg

reagenti

prodotti

12

1T

m· hf0 h h0–( )+( )

Q· e Σm· p hf0( )p Σm· r hf

0( )r–=

Q· e Σn· p hf0( )p Σn· r hf

0( )r–=

H Q· e

m· b

------–=kJkg------

H Σn· p hf

0( )p Σn· r hf0( )r–

n· b

----------------------------------------------------– ΣNr hf0( )r ΣNp hf

0( )p–= =kJ

kmol------------

Np Nr

H HMb-------=

kJkg------

Hs Hi

agitatore accenditore

O2

H2O

25°C


60

della reazione vengono raffreddati alla stessa temperatura dei reagenti da un flussod’acqua refrigerante che subisce un lieve incremento di temperatura.

TEMPERATURA ADIABATICA DI COMBUSTIONE

La combustione ovvero la reazione esotermica di ossidazione di un combustibilegenera una quantità di calore che, se non viene ceduta all’esterno, innalza la tempera-tura del sistema. Studiamo la combustione adiabatica di un sistema reagente a pres-sione costante, proponendoci di determinare la temperatura a cui si porteranno allafine della reazione i prodotti della combustione. Tale temperatura si chiama tempera-tura adiabatica di combustione o anche temperatura teorica di fiamma e si può deter-minare applicando il primo principio della termodinamica alla miscela ariacombustibile (83)

In base però alle assunzioni fatte si ha che , perché la trasformazione è adia-

batica, e poiché non c’è scambio di lavoro.

che può anche scriversi

ovvero

In base alle (84) e (86) si ottiene

Ipotizzando un comportamento da gas ideale tanto per i reagenti che per i prodottidella combustione, con capacità termiche massiche costanti, e supponendo chel’acqua contenuta nei prodotti sia allo stato di vapore si ha

in cui , e sono le capacità termiche massiche a pressione costante dei gas

combusti, dell’aria e del combustibile, rispettivamente. Dividendo per la portata inmassa di combustibile si ottiene

che si semplifica nella

(89)

accenditoreH2O 25°C

reagenti prodottip0 = 1 atm p0 = 1 atm

T0 = 25 °C T0 = 25 °C

H2O 25.1°C

Q· e 0=

Pi 0=

Σp m· p hf0

h h0–( )+( )p Σr m· r hf0

h h0–( )+( )r– 0=

Σp m· p hf0( )p Σp m· p h h0–( )p Σr m· r hf

0( )r– Σr m· r h h0–( )r–+ 0=

Σp m· p hf0( )p Σr m· r hf

0( )r–[ ]– Σp m· p h h0–( )p Σr m· r h h0–( )r–=

m· bH Σp m· p h h0–( )p Σr m· r h h0–( )r–=

m· bHi m· a m· b+( )cpgTg T0–( ) m· acpa

Ta T0–( )– m· bcpbTb T0–( )–=

cpgcpa

cpb

Hi 1 α+( ) cpgTg T0–( ) α cpa

Ta T0–( )– cpbTb T0–( )–=

Hi 1 α+( ) cpgTg T0–( ) α cpa

Ta T0–( )–=


se il combustibile viene introdotto alla temperatura .

L’espressione (89) é valida se il combustibile reagisce completamente, la reazione éperfettamente adiabatica e non si ha dissociazione dei prodotti della reazione. Pertener conto di tutto ciò si introduce un rendimento della combustione , minore e

prossimo a uno

(90)

Da questa relazione si può finalmente calcolare la temperatura di combustione

(91)

In modo del tutto analogo si procede nel caso in cui la reazione di combustioneavviene a volume costante

(92)

FORMULAZIONE GENERALE DEL 1° PRINCIPIO PER SISTEMI APERTI REAGENTI

Il primo principio per i sistemi aperti reagenti secondo l’equazione (76) può esserescritto come:

Tenendo conto delle equazioni (77) e (79) si arriva a:

Supponendo che l’acqua contenuta nei prodotti sia in fase gassosa - il che accadequasi sempre - si ha:

Se la combustione non è ideale vale:

Più in generale, se non tutti i flussi di massa che attraversano i confini del sistemasono reagenti o prodotti:

T0

ηb

ηbHi 1 α+( ) cpgTg T0–( ) α cpa

Ta T0–( )–=

Tg T0

ηbHi α cpaTa T0–( )+

1 α+( ) cpg

-----------------------------------------------------+=

ηbHi 1 α+( ) cvpT2 T0–( ) α cva

T1 T0–( )–=

Q· e Pi+ m· p hf0( )p m· p h h– 0( )p m· r hf

0( )r m· r h h– 0( )r

r

∑–

r

∑–

p

∑+

p

∑=

Q· e Pi m· bH+ + m· p h h– 0( )p m· r h h– 0( )r

r

∑–

p

∑=

Q· e Pi m· bHi+ + m· p h h– 0( )p m· r h h– 0( )r

r

∑–

p

∑=

Q· e Pi ηbm· bHi+ + m· p h h– 0( )p m· r h h– 0( )r

r

∑–

p

∑=

Q· e Pi ηbm· bHi+ + m· e h h– 0( )e m· i h h– 0( )i

i

∑–

e

∑=


62

DIPARTIMENTO DI ENERGETICA - POTECNICO DI TORINO

ESERCITAZIONE N. 3 - SISTEMI ENERGETICI

1. Determinare il potere calorifico inferiore e superiore delle seguenti sostanze: metano, idrogeno, metanolo, carbonio.

2. Determinare la dosatura stechiometrica e il potere calorifico del gas combustibile avente la seguente composizione volumetrica percen-

tuale. [ ,

( )]

3. Gas propano a ( Potere calorifico inferiore kJ/kg)

entra in una camera di combustione e brucia con il 50% di eccesso d’aria

( ) (composizione dell’aria: 21% di e 79% di in volume).

Sapendo che anche la temperatura dell’aria è di calcolare la temperatura adiabatica teorica della combustione. Valutare inoltre la temperatura raggiunta con un eccesso d’aria del 300%.

{ kJ/kgK (aria) kJ/kgK (gas combusti)}

[ , ]

4. Determinare la dosatura e l’eccesso d’aria in base all’analisi dei prodotti della combustione del metano con la seguente composizione volu-metrica percentuale dei gas combusti anidri. [ , %]

Sostanza

Potere calorifico inferiore (kJ/kg)

Potere calorifico superiore (kJ/kg)

Metano 50146 55647

Idrogeno 120909 142915

Metanolo (l) 19953 22703

Carbonio 32792 32792

Hi Hs

:45%

30%

15%

10%

H2

CH4

C2H6

N2

αst 14.256= Hi 43360 kJkg------=

Hs 48439 kJkg------=

25°C C3H8 Hi 46455=

α 1.5 αst= O2 N2

25°C

cpa1.006= cpg

1.150=

Tg 1953.7 K= Tg' 935.3 K=

:10%

0.53%

2.37%

87.1%

CO2

CO

O2

N2

α 18.875= e 10=


5. La macchina termica a vapore dello schema pro-duce 10 MW di potenza utilizzando come sor-gente di calore ad alta temperatura un combusti-bile che ha un potere calo-

rifico di . Le

di vapore sca-ricate dalla turbina a

e attraversano il condensa-tore uscendo come liquido saturo. Determinare la portata di combustibile,

nell’ipotesi di poter trascurare la potenza assorbita dalla pompa. [ ]

6. Un impianto cogenerativo (generazione contemporanea di potenza termica e mec-

canica/elettrica) fornisce una potenza meccanica ( ,

) e una portata di acqua che viene scaldata da

a ( ). L’impianto riceve la portata

di aria alle condizioni ambiente ( e

) e utilizza gas naturale come combustibile

( e massa molecolare ). Sapendo che

l’impianto scambia con l’esterno una potenza termica di (che non può

essere utilizzata) e che scarica i gas combusti ( ) al camino

alla temperatura di determinare la portata di combustibile consumata.

N.B. o Normal-metro cubo è riferito alle condizioni

e

[ ]

0.2MPa

Hi 45 MJkg--------=

a liquido saturo

f140 ºC

10 MW100 t h⁄

45 MJ kg⁄

100 t h⁄

140°C 0.2MPa

m· b 1.61 kgs

------=

Pu 342 kW= ηm 1=

ηb 1= V· h 15.5 m3 h⁄=

70°C 90°C cpH2O4186 J kgK⁄=

m· a 1784 kg h⁄= pa 100 kPa=

Ta 25°C=

Hi 9.5 kWh Nm3⁄= M 17.4 kg

kmol------------=

99 kW

cp 1.1 kJ kgK⁄=

120°C

Nm3

p0 101.325 kPa= T0 0°C=

m· b 13 kgh

------=


64

PROPRIETA’ TERMODINAMICHE DELLE SOSTANZE PURE

(p° = 1 atm; T° = 298 K)

Copyright 1995 James A. Plambeck ([email protected]). Updated July 14, 1997

Δhfo Δgf

oso cp

o

formula stato fisico kJ/kmol kJ/kmol kJ/kmol K kJ/kmol K

Ar g 0 0 154.843 20.786

C c,graphite 0 0 5.740 8.527

C c,diamond 1895 2900 2.377 6.113

C g 716682 671257 158.096 20.838

CO g -110525 -137168 197.674 29.420

CO2 g -393509 -394359 213.740 37.110

CH4 g,methane -74810 -50720 186.264 35.309

C2H2 g,ethyne 226730 209200 200.940 43.930

C2H4 g,ethene 52250 68120 219.450 43.560

C2H6 g,ethane -84680 -32820 229.600 52.630

C3H6 g,propene 20200 62720 266.900 64.000

C3H8 g,propane -104500 -23400 269.900 7.000

C4H10 g,n-butane -126500 -17150 310.100 97.400

C5H12 g,n-pentane -146500 -8370 348.900 120.200

C8H18 g,octane -208500 16400 466.700 189.000

CH3OH g,methanol -200660 -162000 239.700 43.890

CH3OH l,methanol -238660 -166360 126.800 81.600

C2H5OH g,ethanol -235100 -168490 282.700 65.440

C2H5OH l,ethanol -277690 -174780 160.700 111.460

CH3COOH l,acetic acid -484510 -389900 159.800 124.300

C6H6 g,benzene 82900 129700 269.200 81.600

C6H6 l,benzene 49000 124700 172.000 132.000

C6H12 l,cyclohexane -156300 26700 204.400 157.700

H2 g 0 0 130.684 28.824

H2O g -241818 -228572 188.825 33.577

H2O l -285830 -237129 69.910 75.291

O2 g 0 0 205.138 29.355

specie chimica


CAPITOLO 4 IMPIANTI MOTORI A GAS

Tra i sistemi di conversione dell’energia gli impianti motori a gas sono quelli chehanno avuto uno sviluppo maggiore negli ultimi decenni. Il settore trainante è semprestato quello aeronautico ma, oggigiorno, anche nelle applicazioni terrestri questiimpianti occupano una posizione rilevante. I moderni impianti per la produzione dienergia elettrica utilizzano sempre di più impianti motori a gas, che in passato veni-vano utilizzati esclusivamente per coprire il carico di punta (grazie alla loro flessibi-lità di esercizio), per via dei bassi rendimenti che allora presentavano.L’impianto nella soluzione più semplice, ma anche più comune, è costituito da uncompressore, da un combustore e da una turbina (CCT). Come si è già avuto modo diosservare, per produrre un’espansione in una turbina occorre generare una differenzadi pressione tra ingresso e uscita e quindi il primo passo necessario in un ciclo motorea gas è quello di comprimere il fluido di lavoro, a cui provvede, per l’appunto, ilcompressore. Se dopo la compressione il gas fosse fatto espandere direttamente nellaturbina, in assenza di perdite, la potenza prodotta sarebbe uguale a quella assorbitadal compressore. É quindi necessario elevare la temperatura del gas compresso, e ciòavviene nel combustore, al fine di avere la potenza della turbina maggiore di quellarichiesta dal compressore e realizzare un impianto motore.

CICLO IDEALE

Il ciclo ideale di riferimento è il ciclo Joule (o ciclo Brayton) che opera con un fluidodi lavoro che è un gas ideale. Esso è composto da due adiabatiche reversibili, la com-pressione e l’espansione, e da due isobare lungo le quali si realizza lo scambio dicalore con le sorgenti di alta e bassa temperatura.

Le condizioni ideali in cui opera il ciclo implicano che:a) le trasformazioni di compressione e espansione sono reversibili ed adiabatiche equindi isentropicheb) la variazione di energia cinetica del fluido di lavoro fra ingresso e uscita di ognicomponente è trascurabile

q1

q2

C T

1

2

3

4

q1

q2

T

s

IMPIANTI MOTORI A GAS

66

c) non ci sono cadute di pressione nel condotto di aspirazione, nelle camere di com-bustione, negli scambiatori di calore, nel condotto di scarico e nei condotti di collega-mento dei componentid) il fluido di lavoro ha la stessa composizione in ogni punto del ciclo ed è un gasperfetto con calori specifici costantie) la portata in massa è costante in ogni punto del ciclof) il calore viene scambiato reversibilmente cioè con differenze di temperature infini-tesime tra fluido caldo e fluido freddoApplicando il primo principio della termodinamica all’unità di massa di gas che com-pie il ciclo risulta

PRESTAZIONI DEL CICLO IDEALE. Rendimento ideale

Semplificando

ed osservando che

per la compressione, ma anche che

per l’espansione, perché e , per cui , si può scrivere

Da ciò risulta che

. (93)

lid lt lc– q1 q2–= =

ηid

ηidlt lc–

q1

------------q1 q2–

q1

-------------- 1q2

q1

-----– 1cp T4 T1–( )cp T3 T2–( )---------------------------–= = = =

cp

ηid 1T1

T2

-----

T4

T1

----- 1–

T3

T2

----- 1–

--------------⋅–=

T2

T1

-----p2

p1

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------

βγ 1–

γ-----------

= =

T3

T4

-----p3

p4

-----⎝ ⎠⎛ ⎞

γ 1–γ

-----------

βγ 1–

γ-----------

= =

p2 p3= p1 p4=T2

T1

-----T3

T4

-----=

T4

T1

-----T3

T2

-----=

ηid 1T1

T2

-----– 1 1

βγ 1–

γ-----------

-----------–= =

0

0.25

0.5

0.75

1

0 25 50 75 100

γ

β

ηid


Il rendimento ideale del ciclo Joule dipende soltanto dal rapporto di compressione

e dalla natura del gas .

Il lavoro è funzione oltre che del rapporto delle pressioni della temperatura mas-

sima del ciclo

(94)

Il lavoro si annulla per perché manca l’espansione e per , per il

quale , e .

Il massimo del lavoro si ottiene per un ottenuto derivando la (94) rispetto a

e ponendo tale derivata a zero. Si ottiene

da cui .

Poiché ciò equivale a scrivere

da cui

βγ

lid

lid ηidq1 ηidcp T3 T2–( ) 1 1

βγ 1–

γ-----------

-----------–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

cp T3 T1βγ 1–

γ-----------

–⎝ ⎠⎛ ⎞= = =

lid

cpT1

----------- 1 1

βγ 1–

γ-----------

-----------–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ T3

T1

----- βγ 1–

γ-----------

–⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

t 1 1

βγ 1–

γ-----------

-----------–⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

βγ 1–

γ-----------

1–⎝ ⎠⎛ ⎞–= =

β 1= βl im tγ

γ 1–-----------

=

T2 T3= q1 0=

1

2

3

4

T

s

q1 0=

lid 0=

β 1≈

βott

βγ 1–

γ-----------

lid

cpT1

-----------d

βγ 1–

γ-----------

d

-------------- t

β2

γ 1–γ

------------------------- 1– 0= = βott

γ 1–γ

-----------t=

βγ 1–

γ----------- T2

T1

-----T3

T4

-----= =

T2

T1

-----T3

T4

----- tT3

T1

-----= =T2

T4

----- 1=

0

0.4

0.8

1.2

1.6

0 25 50 75 100

t 3=

4

5

lid

cpT1

-----------

β


68

In conclusione si può osservare come il lavoro ideale sia funzione del rapporto

; la temperatura varia relativamente poco, poiché coincide con le condi-

zioni ambiente, quindi in ultima analisi il lavoro ideale dipende dalla temperatura

di ingresso in turbina. Questo significa che è possibile ottenere un maggiore lavorospecifico aumentando .

Sebbene non esistano limiti al ciclo ideale, occorre tener conto che nella pratica latemperatura di ingresso in turbina è limitata dalla resistenza dei materiali con cui laturbina è costruita. Il parametro t assume attualmente valori compresi tra 4 perimpianti industriali e 5.5 per impianti di tipo aeronautico anche se la distinzionediviene sempre più meno netta.

CICLO REALE

Il ciclo ideale è quello compiuto da un gas ideale con componenti, compressore,espansore, scambiatori di calore, tutti ideali. Il ciclo reale è quello compiuto da ungas reale utilizzando componenti reali. Una prima distinzione viene fatta a secondache la fase di somministrazione di calore venga fatta utilizzando uno scambiatore dicalore a superficie in cui un fluido ad elevata temperatura cede calore al fluido dilavoro, oppure facendo avvenire una combustione in seno al fluido di lavoro stesso.Nel primo caso il ciclo può essere chiuso e il gas può essere qualsiasi. Nel secondocaso dovendo avvenire una reazione chimica di ossidazione del combustibile è neces-sario che il gas sia aria e che il ciclo sia aperto. Si indicano i primi anche cicli, omeglio, impianti, a combustione esterna e i secondi a combustione interna (al fluido).

CICLO APERTO. Il compressore aspira aria dall’ambiente esterno e la manda nelcombustore in cui viene anche inserita una certa quantità di combustibile. I gas com-busti, provenienti dalla camera di combustione, vengono fatti espandere in turbina epoi scaricati nell’ambiente esterno.

Per semplicità, ma anche perché, con buona approssimazione, è così nella realtà, sisuppone che la combustione avvenga senza scambi di calore con l’esterno così comele trasformazioni che avvengono nella turbina e nel compressore.

CICLO CHIUSO. Tra compressore e turbina è presente uno scambiatore di calore dialta pressione al posto del combustore ed in uscita dalla turbina è collocato uno scam-biatore di bassa pressione per il raffreddamento del fluido motore da reimmettere nelcompressore. Il fluido di lavoro è di solito un gas chimicamente stabile alle alte tem-perature come l’elio.In entrambe le tipologie di impianto sono presenti delle perdite tramite le quali risultapossibile valutare le prestazioni reali del ciclo. Poiché di gran lunga più diffusi degliimpianti a ciclo chiuso si farà quasi esclusivamente riferimento agli impianti a cicloaperto.

tT3

T1

-----= T1

T3

T3

1

2

3

4

T

s

C T


PRESTAZIONI DEL CICLO REALE. Il ciclo reale differisce da quello ideale perle seguenti ragioni:a) la variazione di energia cinetica tra ingresso e uscita di ogni componente non sem-pre è trascurabile;b) i processi di compressione e di espansione non sono isentropici. ma

;c) le perdite di carico nei condotti, nel combustore, negli scambiatori di calore, ecc.;d) gli scambiatori di calore non hanno superficie infinita per cui la differenza di tem-peratura tra fluido freddo uscente e caldo entrante non è nulla;e) e cambiano in funzione della temperatura e della composizione del fluido di

lavoro;f) la combustione non è completa;g) la massa che opera nel ciclo non è costante

• per l’aggiunta del combustibile

• per eventuali spillamenti di aria dal compressore per refrigerare le palette della turbina.

h) le perdite per attrito nei cuscinetti e per effetto ventilante dei dischi;

a) Si può tener conto implicitamente dell’energia cinetica ricorrendo alle grandezzedi ristagno o totali.b) I lavori di compressione e di espansione, mantenendo l’ipotesi di adiabaticità, pos-sono essere calcolati facendo riferimento alle rispettive trasformazioni isentropicheutilizzando il rendimento isentropico oppure, in alternativa, il rendimento idraulico.Con riferimento alle grandezze totali risulta per il lavoro di compressione

oppure

in cui

mentre per il lavoro di espansione si ha, rispettivamente

qe 0=

Δs 0>

cp γ

G˜

ΔpaΔps

Δpb

m· as

m· a m· as–

pa pa

1

23

4

m· b

m· a m· b+

lc cp T°2 T°1–( )cp

ηcis

--------- T°2isT°1–( )

cpT°1ηc

is

------------- βc

γ 1–γ

-----------1–⎝ ⎠

⎛ ⎞= = =

lc cpT°1 βc

γ 1–γ

-----------⎝ ⎠⎛ ⎞ 1

ηcy

-------1–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

βcp°2p°1--------=

lt cp T°3 T°4–( ) ηtis cp T°3 T°4is

–( ) η tis cpT°3 1 1

βt

γ 1–γ

-----------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

= = =


70

in cui .

È opportuno ricordare che i rendimenti dipendono dalle condizioni di funzionamentodelle turbomacchine.c) Il passaggio del fluido di lavoro genera nei componenti dell’impianto - combu-store, tubazioni, scambiatori di calore, ecc. - delle cadute di pressione che fanno siche il rapporto di espansione sia diverso, e minore, del rapporto di compressione.All’aspirazione del compressore è solitamente posto un filtro per intrattenere le pol-veri presenti nell’aria e che ridurrebbero, depositandosi sulle palette, il rendimentodel compressore. Se la caduta di pressione introdotta dal filtro è la pressione di

ingresso al compressore sarà

perché per gli impianti terrestri, diversamente da quelli aeronautici, le condizioni di

aspirazione sono e essendo nulla la velocità dell’aria ambiente. Il rapporto di

compressione sarà pertanto dato da

Delle perdite di carico all’interno del compressore e della turbina se ne tiene giàconto nel rendimento di questi componenti (perdite fluidodinamiche).Nel combustore e nei relativi condotti di collegamento alle turbomacchine si ha unaperdita di pressione che chiameremo cosicchè la pressione di ingresso in turbina

risulterà pari a

Allo scarico della turbina è presente un silenziatore per ridurre la rumorosità. Allaperdita di carico nel silenziatore occorre però aggiungere la contropressione

dell’apparato di scarico (tubazione più camino). Indicando queste perdite con la

pressione di scarico della turbina risulterà maggiore della pressione ambiente di que-sto termine

N.B. Si è scritto e non perché si è fatta l’ipotesi che l’energia cinetica di sca-

rico della turbina venga praticamente tutta convertita in energia di pressione in undiffusore posto immediatamente a valle della girante.In impianti più complessi possono essere presenti degli scambiatori di calore le cuiperdite di pressione occorrerà tener in conto.e) Il fluido di lavoro è un gas reale di composizione variabile per la presenza dellacombustione ed è necessario tener conto della variazione delle proprietà e per-

ché giocano un ruolo importante nel calcolo delle prestazioni del ciclo. In generale,

per i gas reali nel campo usuale di impiego, è funzione della sola temperatura. Lo

stesso è vero per perché è legato a da

dove è la costante universale dei gas ed la massa molecolare. La variazione di

e con la temperatura dell’aria è mostrata in figura dalle curve più spesse corri-

spondenti ad . Nelle turbine degli impianti a ciclo aperto il fluido di lavoro èuna miscela di gas combusti. Il combustibile usato nelle turbine a gas è, a sua volta,

lt cpT°3 1 1

βt

γ 1–γ

-----------⎝ ⎠⎛ ⎞ηt

y

---------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

βtp°3p°4--------=

Δpa

p1 pa Δpa–=

pa Ta

βcp°2p1

--------=

Δpb

p°3 p°2 Δpb–=

Δps

p4 pa Δps+=

p4 p°4

cp γ

cp

γ cp

γ 1–γ

----------- RMcp

----------=

R M

cp γ

α ∞=


una miscela di idrocarburi, liquidi o gassosi, approssimabili con la formula ed

è quindi possibile calcolare la composizione dei prodotti della combustione per datovalore della dosatura. Conoscendo i calori specifici e le masse molecolari dei costi-tuenti si possono calcolare i valori medi di e della miscela. La figura mostra che

aumenta e diminuisce all’aumentare della quantità di combustibile cioè al dimi-

nuire di .

Per calcoli preliminari inerenti i cicli di turbine a gas si è trovato che è sufficienteassumere i seguenti valori per l’aria e i gas combusti

f) Studiando la combustione a pressione costante di un combustibile con aria si eraottenuta la seguente relazione nell’ipotesi di poter trascurare l’entalpia del combusti-bile

(95)

la quale consente di calcolare la quantità di combustibile, in relazione alla quantitàd’aria che giunge al combustore, necessaria per raggiungere una determinata tempe-ratura di ingresso in turbina e viceversa.g) La portata in massa nel ciclo è variabile sia per l’aggiunta del combustibile che perl’estrazione dell’aria di refrigerazione. Le temperature massime che riescono a rag-giungere le odierne leghe metalliche di cui sono fatte le palette delle turbine a gas dif-ficilmente superano gli , mentre le temperature dei gas combusti sono ingenere superiori. Per esempio, le turbine dell’ultima generazione operano a tempera-ture dei gas di . Ciò viene reso possibile adottando dei sistemi direfrigerazione delle palette che necessitano di un fluido più freddo. La tecnica mag-giormente utilizzata è quella di spillare aria compressa dal compressore e di inviarlaall’interno delle palette che risultano, quindi, cave. La portata d’aria di refrigerazioneviene estratta durante la compressione ad un livello di pressione superiore a quelloche regna nello stadio di espansione a cui l’aria è destinata. Una volta assolto il suocompito, l’aria refrigerante si unisce ai gas combusti.Per semplicità di trattazione supporremo che tutta l’aria aspirata dal compressoregiunga al combustore, ignorando, quindi, gli spillamenti. La conseguenza é che latemperatura di fine combustione, così calcolata, sarà più bassa di quella reale, in cuisono presenti gli spillamenti, a parità di potenza del turbogas.La portata di gas che si espande in turbina sarà, comunque, diversa dalla portata diaria compressa per via del combustibile introdotto nel combustore.

kJ/kgK

aria 1.005 1.4 3.5

gas combusti 1.147 1.333 4.0

CxHy

cp γ

cp γ

α

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4∞

∞cp

γ70

35

7035

α

TEMPERATURA K{ }

kJkgK----------

valori di equilibrio p 1 bar=

cp γ γγ 1–-----------

ηbHi 1 α+( ) c′p T3 T0–( ) α cp T2 T0–( )–=

800 900°– C

1300 1400°C–


72

h) Perdite meccaniche. In tutti gli impianti motori a gas, la potenza necessaria alcomando del compressore è trasmessa direttamente dalla turbina senza ingranaggiintermedi. Le uniche perdite presenti sono, quindi, solo quelle di attrito nei cuscinettie quelle di attrito del gas (aria e gas combusti) sulle parti rotanti. Queste perdite sonomolto piccole e ammontano a circa l’ 1% della potenza assorbita dal compressore. Avolte tra l’albero del turbogas e quello dell’utilizzatore (per esempio l’alternatore)può essere interposto un riduttore di velocità le cui perdite occorre considerare nelbilancio complessivo di potenze. La potenza utilizzata per comandare componentiaccessori dell’impianto come la pompa o il compressore del combustibile, qualorapresenti, o la pompa dell’olio di lubrificazione può essere prelevata direttamente, pervia meccanica, dall’albero motore oppure indirettamente per via elettrica. Poiché nonè possibile, in modo semplice, tener conto di tutte le possibili configurazioni impian-tistiche, tutte le perdite citate e le potenze necessarie al comando degli accessoridell’impianto verranno riunite e conteggiate in un rendimento meccanico, intesocome rapporto tra la potenza utile prodotta dal turbogas e la potenza generata senzatener conto di tali perdite e accessori, vale a dire la potenza

.

Nel rendimento meccanico potranno, ancora per semplicità, essere incluse le perditemeccaniche nella eventuale macchina elettrica e, in questo, caso rappresenta la

potenza elettrica generata.

PRESTAZIONI DELL’IMPIANTO

Considerate tutte le perdite che caratterizzano un impianto, se ne possono valutare leprestazioni.

Se non viene considerata la portata d’aria spillata , la portata d’aria che giunge al

combustore sarà . Poiché la portata di combustibile introdotto è , la dosatura

della reazione di combustione è

La potenza interna fornita dall’impianto è dato dalla differenza tra la potenza dellaturbina e quella del compressore

Dividendo per si ottiene il lavoro interno massico (riferito all’unità di massa di

aria)

(96)

e moltiplicando per il rendimento meccanico il lavoro utile

(97)

da cui la potenza utile

(98)

Il rendimento globale dell’impianto è il rapporto tra la potenza utile ottenuta e lapotenza introdotta con il combustibile

(99)

A volte, in alternativa al , si dà il consumo specifico di combustibile definito come

rapporto tra la portata di combustibile e la potenza utile ottenuta

Pi

ηmPu

Pi

-----=

Pu

m· as

m· a m· b

α

αm· a

m· b

------=

Pi m· a m· b+( ) lt m· alc–=

m· a

liPi

m· a

------ 1 1α---+⎝ ⎠

⎛ ⎞ lt lc–= =

lu ηmli=

Pu m· alu=

ηgPu

m· bHi

------------=

ηg


(100)

ed indica quante unità di massa di combustibile sono necessarie per ottenere l’unità dipotenza. Poiché il consumo specifico di combustibile risulta inversa-

mente proporzionale al rendimento globale dell’impianto.

(101)

Un’altra espressione utile di è

.

A questo punto si è in grado di calcolare le prestazioni di un impianto motore a gas.Con riferimento ai dati dell’esercizio n. 3 dell’esercitazione è possibile ottenere irisultati diagrammati nelle figure seguenti.

In questo diagramma si osserva che mentre il lavoro utile presenta un andamentosimile al caso ideale il rendimento globale dell’impianto se ne discosta molto. Infatti,il rendimento del ciclo reale dipende, oltre che dal rapporto delle pressioni, dalla

temperatura massima del ciclo. Inoltre, per ogni temperatura ( nella figura) il

rendimento raggiunge un massimo per un particolare valore di . Infatti, esisterà un

rapporto di compressione che rende nullo il lavoro utile con una portata di combu-

stibile e, quindi, di calore introdotto, maggiore di zero. Graficamente sul piano

questa condizione si raggiunge quando l’area marcata con il segno + uguaglia quella

qbm· b

Pu

------=

Pu ηgm· bHi=

qb1

ηgHi

------------=

qb

qbm· b

lum· a

----------- 1αlu

--------= =

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

250

lu

ηg

kJkgK----------

β

t 4.3=

ηg

t 4.3=

β

1

2

3

4

s

+

--

T

β∗

T s,


74

con segno - il che corrisponde all’annullarsi del lavoro del ciclo. Infatti l’area sottesadall’isobara 2 -3 è pari al calore introdotto mentre quella sottesa dall’isobara 4 - 1 èpari al calore sottratto e la loro differenza al lavoro al cicloAnnullandosi il rendimento per un rapporto di pressioni prossimo a uno, per ilquale la turbina è appena in grado di far girare il compressore e vincere le perdite

senza produrre lavoro utile, e per , esso dovrà presentare un massimo.Si individua così un campo di rapporti di compressione, compresi tra il punto di mas-simo rendimento e quello del massimo lavoro, all’interno del quale si sceglieranno lecondizioni di progetto dell’impianto. Se la preferenza verrà data all’economia diesercizio, cioè bassi consumi di combustibile, si sceglieranno le condizioni di mas-simo rendimento. Se, viceversa, interessa produrre più potenza, a discapito dei con-sumi, si opterà per il rapporto di pressioni che dà il massimo lavoro.L’importanza della temperatura di ingresso in turbina (TIT) sulle prestazioni del cicloreale è rilevante

Il lavoro utile (circa linearmente) e il rendimento globale aumentano entrambi con la

TIT perché a costante cresce il lavoro di espansione mentre quello di compres-

sione rimane costante. Da notare come esista una TIT minima per la quale sia che

sono nulli. Questa temperatura si chiama di autosostentamento perché in questa

condizione la turbina sviluppa la potenza necessaria a comprimere il gas e a vincerele perdite senza produrre alcun effetto utile. Si comprende, quindi, come sia necessa-rio raggiungere la condizione di autosostentamento prima che l’impianto sia in gradodi funzionare autonomamente. Tale condizione si raggiunge, nella fase di avvia-mento, per mezzo di un motore di lancio esterno che fornisce la potenza per accele-rare il turbogas ad una velocità in cui il compressore, il combustore e la turbina sianoin grado di autosostenersi.Come si può rilevare dal diagramma alle temperature più elevate l’aumento di rendi-mento risulta più modesto perché il ciclo, diminuendo l’importanza delle perdite,tende al ciclo ideale e quindi ad essere funzione solo del rapporto delle pressioni. C’è da rilevare, infine, che oltre una certa TIT, in realtà, c’è da attendersi un minoreaumento sia del rendimento che del lavoro. Infatti, se il metodo di raffreddamentodelle palette della turbina rimane quello attuale che fa uso di crescenti portate d’ariaspillate dal compressore all’aumentare della TIT, oltre un certo limite l’aumento dellavoro di espansione viene vanificato dalla riduzione di portata di gas che compielavoro.Nella soluzione a ciclo semplice (CCT) un impianto motore a gas raggiunge, dinorma, rendimenti dell’ordine del 25-30%. Passi notevoli sono stati compiuti negliultimi anni sia nel miglioramento dell’efficienza delle turbomacchine che nella tec-nica di refrigerazione delle palette delle turbine consentendo di raggiungere nei tur-bogas dell’ultima generazione, spesso aeroderivativi, rendimenti, sempre in ciclosemplice, dell’ordine del 40%.

β

β∗

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000

50

100

150

200

250

300

lu

ηg

β 12.5=

T3

βlu

ηg


CICLI COMPLESSI

Anche se a scapito della semplicità costruttiva sono state proposte, soprattutto in pas-sato, soluzioni impiantistiche più complesse con un numero maggiore di componentirispetto al ciclo semplice CCT allo scopo di migliorare il rendimento o di aumentareil lavoro ad unità di massa o entrambi.

CICLO RIGENERATIVO. Gli impianti motori a gas rilasciano i gas combusti alcamino ad una temperatura di circa , con un contenuto entalpico ancora ele-vato. Se la temperatura del gas compresso prima di entrare nel combustore è inferiorea questo livello si può effettuare un ricupero o rigenerazione del calore contenuto neigas di scarico trasferendolo all’aria compressa in uno scambiatore di calore a superfi-cie.

Idealmente i gas combusti possono essere raffreddati da a mentre l’aria

compressa da a . L’introduzione di calore si riduce così al tratto com-

preso tra e . Poiché il lavoro del ciclo rigenerativo non muta si ottiene un

aumento del rendimento. Tutto ciò naturalmente ha senso finché .

Con temperature di ingresso in turbina elevate ( ) si riescono a raggiun-

gere rendimenti dell’ordine del 40%.

COMBUSTIONE RIPETUTA. Si ottiene un aumento del lavoro interrompendol’espansione e riscaldando nuovamente il gas, in un secondo combustore, tra la tur-bina di alta e bassa pressione. Che la combustione sia possibile nel secondo combu-store risulta garantito dal fatto che la dosatura dei gas combusti all’uscita dal primocombustore è abbastanza elevata da contenere ancora ossigeno sufficiente.

Che il lavoro di espansione risulta aumentato è ovvio quando si rammenta che ladistanza verticale tra due isobare aumenta con la temperatura perché le isobare sonodivergenti sul piano

500°C

C T

1

2 34

56

1

2

3

4

T

s

5

6

T4 T6 T2=

T2 T5 T4=

T5 T3

T4 T2>

T3 1500 K≈

C TAPTBP

1

2 3

43′

4′ 1

2

3

4

T

s

4′

3′

4′′

T s,

T3 T4–( ) T3 ′ T4 ′–( ) T3 T4 ′ ′–( )>+


76

L’aumento è cospicuo e viene ottenuto senza la necessita di aumentare la temperaturamassima del ciclo.Se si calcola il rendimento si osserva però che l’aumento di lavoro è stato ottenuto ascapito del rendimento. Questo risultato non sorprende perché si è sommato al ciclobase un ciclo addizionale di minor rendimento perché di infe-riore Il danno è modesto se t è elevato.

RICOMBUSTIONE CON RIGENERAZIONE. La ricombustione ha l’inconve-niente di scaricare i gas a temperature più alte rispetto al ciclo semplice. Abbinandola rigenerazione si utilizza completamente questo calore ottenendo, oltre all’incre-mento della potenza dell’impianto, anche l’aumento del rendimento

COMPRESSIONE INTERREFRIGERATA. Un aumento del lavoro ottenuto,analogamente alla ricombustione, si può raggiungere riducendo il lavoro di compres-sione a parità di lavoro di espansione. Ciò si ottiene interrompendo la compressione einterrefrigerando il gas tra il compressore di bassa pressione BP e quello di alta pres-sione AP.

Gli interrefrigeratori vengono utilizzati solo quando si dispone di un fluido refrige-rante, generalmente acqua, in grande quantità. Sebbene meno marcati, l’aumento dilavoro e la riduzione di rendimento è analogo al caso della ricombustione.

Ancora in analogia con la ricombustione, l’interrefrigerazione aumenta il rendimentosolo se è presente la rigenerazione.

1234′′ 4′′ 4 3′ 4′ β

1

2

3

4

T

s

4′

3′

6

5

C TAPTBP

1

23

43′

4′

56

1

2

3

4

T

s2′

1′

CBP CAPT

1

2 3

4

2′

1′


COMBUSTIONE E COMBUSTORI

La combustione di un combustibile liquido implica che le goccioline, nebulizzate daun iniettore, evaporino, per effetto dell’alta temperatura, e si mescolino con l’ariaaffinché le molecole di idrocarburi incontrino quelle di ossigeno per iniziare le rea-zioni chimiche. È necessario che questi processi siano sufficientemente rapidi affin-ché la combustione possa completarsi in una corrente d’aria in movimento e in unospazio limitato. Ciò è possibile se vi è una adeguata turbolenza nella camera di com-bustione, per consentire il contatto tra combustibile e aria, e se la dosatura è prossimaal valore stechiometrico, perché le velocità di reazione risultano le più elevate. Lacombustione di un combustibile gassoso presenta minori problemi ma quantodescritto nel seguito è tuttavia applicabile.

Poiché la dosatura è, in genere, elevata per limitare la temperatura di ingresso in tur-bina, e dell’ordine di 50-100, mentre la dosatura stechiometrica è circa 15, il primoaspetto fondamentale è che l’aria deve essere introdotta nel combustore in stadi. Sipossono distinguere tre stadi. Circa 15-20 per cento dell’aria viene introdotta intornoal getto di combustibile nella zona primaria per raggiungere elevate temperaturenecessarie per una rapida combustione. Circa il 30 per cento dell’aria totale vienesuccessivamente introdotta, attraverso dei fori sul tubo di fiamma, nella zona secon-daria per completare la combustione. Per avere elevati rendimenti di combustione,l’aria secondaria deve essere immessa con gradualità e uniformità per evitare di raf-freddare eccessivamente la fiamma a livello locale provocando una riduzione dellavelocità di reazione. Infine, nella zona di diluizione o terziaria, l’aria rimanente vienemiscelata con i prodotti della reazione per raffreddarli alla temperatura richiestaall’ingresso della turbina. Contemporaneamente deve essere assicurata una suffi-ciente turbolenza per evitare che flussi troppo caldi possano localmente danneggiarele palette della turbina.L’introduzione dell’aria in stadi non può da sola garantire la stabilità della fiamma inuna corrente d’aria che si muove ad una velocità che è un ordine di grandezza supe-

1

2

3

4

T

s6

5

2′

1′

CBP CAPT

1

2 3

42′

1′

56


78

riore a quella di avanzamento del fronte di fiamma. Il secondo aspetto essenziale èperciò la diminuzione della velocità di avanzamento assiale della miscela reagente.Nella soluzione della figura ciò si ottiene dotando l’aria primaria di un moto elicoi-dale impresso da palette attraverso cui è costretta a passare. Il risultato deve essereche la velocità del fronte di fiamma sia uguale ed opposta a quella di avanzamentodei reagenti in maniera che la fiamma rimanga stabile e non venga trascinata via dallacorrente.Il tubo di fiamma, l’involucro forato attraverso cui passa l’aria, è esposto alle tempe-rature elevate della combustione. La sua integrità viene salvaguardata dall’effettorefrigerante dell’aria che lo lambisce esternamente. Il compito di resistere alla diffe-renza di pressione esistente tra l’interno del combustore e l’ambiente esterno è affi-dato all’involucro più esterno che è quindi più robusto.Le forme delle camere di combustione sono molto variabili ma possono essere ricon-dotte a tre tipologie principali: cilindriche o tubolari, anulari e miste, tubolari-anulari.

Le cadute di pressione nel combustore sono dovute a due cause diverse: (i) attrito eturbolenze (ii) aumento di temperatura dovuto alla combustione. La caduta di pres-sione totale dovuta a quest’ultima causa è dovuta all’aumento di temperatura chedetermina una diminuzione di densità e quindi un aumento di velocità con corrispon-dente diminuzione di pressione.

PRIMO PRINCIPIO APPLICATO ALL’INTERO IMPIANTO

(102)

dove .

Poichè tutte le energie (potenze) termiche devono essere riferite allo stesso livellotermico, deve essere la stessa temperatura a cui è riferito . Normalmente è

riferito a 25 °C, e quindi = 25 °C. Se fosse riferito, ad esempio, a 15 °C, biso-

gnerebbe porre = 15 °C.

Se la temperatura a cui entra il combustibile non è molto diversa da , il contri-

buto sensibile del combustibile può essere trascurato. Si ottiene allora:

(103)

PRIMO PRINCIPIO APPLICATO AL COMBUSTORE

(104)

Trascurando il contributo sensibile del combustibile e dividendo entrambi i membriper si ottiene:

(105)

C

C

T

1

2 3

4

b

σ

C

C

T

1

2 3

4

b

σ

m· acp a, T1 T0–( ) m· bcp b, Tb T0–( ) ηbm· bHi+ + Pi m· gcp g, T4 T0–( )+=

m· g m· a m· b+=

T0 Hi Hi

T0 Hi

T0

Tb T0

m· acp a, T1 T0–( ) ηbm· bHi+ Pi m· gcp g, T4 T0–( )+=

m· acp a, T2 T0–( ) m· bcp b, Tb T0–( ) ηbm· bHi+ + m· a m· b+( )cp g, T3 T0–( )=

m· b

αcp a, T2 T0–( ) ηbHi+ α 1+( )cp g, T3 T0–( )=




1. In un ciclo ideale Brayton ad aria le condizioni di inizio compressione sono

e . Il rapporto delle pressioni vale 6 mentre la tem-

peratura massima è 1200 K. Determinarea) pressione e temperatura nei vari punti del ciclo; b) lavori di compressione e diespansione; c) rendimento del ciclo.

{ }

2. Ripetere l'esercizio precedente introducendo, come perdite, unicamente quelle

della compressione e dell'espansione nei seguenti casi: i) e

; ii) e . {i) ii) }

3. Una turbina a gas monoalbero, in condizioni di progetto, presenta

Calcolare la potenza utile e il consumo specifico di combustibile.

{ , }

4. Una turbina a gas bialbero, con turbina di potenza alla bassa pressione, sviluppauna potenza utile di 20 MW. Si conosce inoltre

Calcolare la portata in massa e il consumo specifico di combustibile.

{ , }

condizioni ambiente 1 bar, 288 K

caduta di pressione filtro 10 mbar

rapporto delle pressioni del compressore 12.5

rendimento idraulico compressore 0.85

perdite di pressione nel combustore 4%

rendimento di combustione 0.99

temperatura di ammissione in turbina 1250 K

rendimento idraulico turbina 0.85

caduta di pressione silenziatore + camino 35 mbar

rendimento meccanico 0.95

Potere calorifico inferiore combustibile 47400 kJ/kg

Portata di gas combusti 10.7 kg/s

rapporto delle pressioni del compressore 11

rendimento isentropico compressore 0.82

perdite di pressione nel combustore 0.4 bar

rendimento di combustione 0.99

temperatura di ammissione in turbina 1150 K

rendimento isentropico turbina alta pressione 0.87

rendimento isentropico turbina di potenza 0.89

rendimento meccanico (di ciascun albero) 0.98

condizioni ambiente 1 bar, 288 K

Potere calorifico inferiore combustibile 43100 kJ/kg

p1 0.1 = MPa T1 300 K=

lc 201.6 kJ kg⁄= lt 482.9 kJ kg⁄= η 0.40=

ηc 0.65=

ηt 0.8= ηc 0.85= ηt 0.9= η 0.12= η 0.29=

Pu 2028.5 kW= qb 292 g/kWh=

m· a 114.4 kg/s= qb 316 g/kWh=


80

Turbina a gas Nuovo Pignone

Turbina a gas Nuovo Pignone PGT 5


Turbina a gas Fiat Avio TG50D5 da 120 MW

Combustori tubolari di turbina a gas Turbotecnica


82



84


CAPITOLO 5 IMPIANTI MOTORI A VAPORE

Gli impianti a vapore, antecedenti a quelli a gas, sono nati nella seconda metà delXIX secolo ed hanno subito continui miglioramenti sia dal punto di vista termodina-mico che tecnologico. Oggigiorno trovano la loro applicazione più diffusa nell'azionamento di generatorielettrici, con grande varietà di tipi, da 100 kW fino a 1200 MW; questi ultimi costitu-iscono i cosiddetti impianti termoelettrici di grande potenza, di importanza fonda-mentale per la produzione di energia di base nelle reti dei Paesi fortementeindustrializzati; i primi invece, denominati impianti per produzione industriale, pre-sentano caratteristiche funzionali differenti sia per i valori delle potenze, almeno diun ordine di grandezza inferiori, sia per il fatto che molto spesso hanno lo scopo diprodurre, oltre all'energia elettrica, anche un'importante quantità di vapore a bassapressione per usi tecnologici (cogenerazione). Entrambe le tipologie di impianti verranno di seguito analizzate.Ci sembra comunque doveroso iniziare la trattazione evidenziando alcune fondamen-tali differenze rispetto agli impianti a gas. Con gli impianti a vapore si ottengono discreti rendimenti ( 40%), senza ricorreread elevate temperature di ingresso in turbina (generalmente inferiori ai 600 °C). Negli impianti a gas è richiesto un compressore che presenta un lavoro dello stessoordine di grandezza di quello di espansione in quanto il fluido utilizzato è un gas,sicuramente più difficile da comprimere rispetto ad un liquido; quindi, affinché illavoro della turbina sia maggiore di quello del compressore , è necessaria una

TIT elevata. Ricorrendo alla formulazione del I principio in forma meccanica (trascurando

) per un sistema aperto

è più facile evidenziare il grande vantaggio degli impianti a vapore, in cui:

- si comprime un liquido (avente un ridotto) e si spende, quindi, un molto pic-

colo;- si espande un vapore (avente un elevato) e si raccoglie, di conseguenza, un

grande.

CICLO TERMODINAMICO E COMPONENTI DELL'IMPIANTO.

Il ciclo di riferimento è quello Rankine, per studiare il quale bisogna tenere contodella curva limite che, come già illustrato nei precedenti capitoli, è il luogo dei puntidel diagramma di stato in cui si ha solo liquido saturo o solo vapore saturo; al suointerno si ha la zona bifasica.

≈

lt lc

lw Δec, e Δeg

li v pd∫=

v lc

v lt

IMPIANTI MOTORI A VAPORE

86

Le fasi del ciclo sono le seguenti:

(a-b) compressione adiabatica, ma non reversibile del fluido di lavoro sino alla pres-sione regnante nel generatore di vapore; si realizza attraverso una turbopompa quasisempre centrifuga;(b-c) riscaldamento a pressione costante, sino al raggiungimento della temperatura divaporizzazione; viene effettuato nell'economizzatore;(c-d) vaporizzazione dell'acqua (fluido di lavoro) a pressione e temperatura costantesino all'ottenimento della condizione di vapore saturo; viene effettuata nell'evapora-tore;(d-e) surriscaldamento del vapore sino alla TIT, realizzato nel surriscaldatore;

(e-f) espansione adiabatica, ma non reversibile del vapore all'interno di una turbina,attraverso la quale avviene la conversione dell'energia termica in energia meccanicadisponibile su un albero rotante. Le turbine utilizzate sono simili a quelle a gas, mahanno molti più stadi: possono arrivare anche a 100. Da notare che il punto (f) sitrova al disotto della curva limite, quindi all'uscita della turbina si ha un vapore leg-germente umido; è così possibile sfruttare un maggiore salto entalpico, compatibil-mente però con un titolo - vedi relazione (39) - che non sia troppo piccolo, cosa pocotollerabile dalla turbina, in quanto la presenza di una frazione di liquido nel vaporemodifica i triangoli di velocità e contribuisce all'erosione delle pale della stessa tur-bina, per l'elevata velocità contro le quali le goccioline sbattono;

(f-a) condensazione effettuata sottraendo calore, a pressione e temperatura costanti,al vapore scaricato dalla turbina; viene realizzata in un condensatore a superficie, cheutilizza acqua come fluido refrigerante; esso è costituito da un involucro contenentefasci di tubi al cui interno scorre l'acqua di refrigerazione, mentre all'esterno sono acontatto con il vapore che condensatosi si raccoglie nel pozzetto e da lì viene prele-vato mediante pompa di estrazione. Il condensatore è collegato direttamente alla tur-

Tcaldaia

pompacondensatore

alternatore

turbina

surriscaldatore

evaporatore

economizzatore

a

b

c

d

ee

f

h

s

e

f

c

a

d

b


bina con un'apertura molto grande per evitare che ci siano delle perdite di carico, lequali diminuirebbero il rendimento. L'impianto rappresentato in figura è a ciclo chiuso, sicuramente più vantaggioso diquello a ciclo aperto, per un motivo ben preciso:- l'acqua contiene impurezze, che ad elevate temperature tendono a formare delleincrostazioni nello scambiatore, riducendo i coefficienti di scambio e, conseguente-mente, la trasmissibilità, oltre che a generare degli attacchi chimici. Tali incrostazionisi depositano anche sulle pale della turbina diminuendone il rendimento in conse-guenza di una variazione dei triangoli di velocità. Dato che una apparecchiatura destinata alla purificazione dell'acqua ha un costo ele-vato, si ricorre ad un ciclo chiuso, di modo che il fluido di lavoro, depurato una solavolta, rimanga sempre lo stesso.

PRESTAZIONI DELL'IMPIANTO

COMPRESSIONE. Ricorriamo al I principio in forma meccanica per un sistemaaperto

anche qui, come effettuato per gli impianti a gas, potremmo non trascurare il e

tenerne conto implicitamente, utilizzando le grandezze totali.

Ricordando che i liquidi sono all'incirca incompressibili e che quindi hanno un conbuona approssimazione costante, e facendo riferimento alla prima uguaglianzadell'espressione (46), possiamo scrivere:

(106)

I principio in forma termica

eliminiamo in quanto abbiamo supposto che la trasformazione fosse adiabatica.

(107)

SOMMINISTRAZIONE DI CALORE.

possiamo elidere il termine poiché durante tale fase non avviene nessuno scambio

di lavoro tra il sistema in questione (generatore di vapore) e l'esterno.

(108)

a

c

b

e

f s

T

d

li v pda

b

∫ lw+=

Δec

v

lp li1ηy

-----pb pa–

ρa

----------------⎝ ⎠⎛ ⎞= =

qe li+ Δh Δec+=

qe

lp li hb ha–= =

hb lp ha+=

qe li+ Δh Δec+=

li

q1 he hb–=


88

dove è il calore introdotto nel ciclo.

ESPANSIONE. Cambiando il segno per ottenere una quantità positiva si ha

(109)

e dalla definizione di rendimento isentropico

(110)

CONDENSAZIONE. Anche qui per lo stesso motivo - indicato in ESPANSIONE -cambiamo il segno al I principio

(111)

che è la quantità di calore sottratta al vapore scaricato dalla turbina. E' da notare che, nell'effettuare tali calcoli, non possiamo utilizzare la relazione

in quanto il fluido di lavoro non è un gas ideale.

Definiamo lavoro netto del ciclo

e conseguentemente

(112)

dove è la portata di vapore transitante nell'impianto.

Per passare dalla potenza interna a quella utile bisogna tenere conto di:

- perdite;- lavoro necessario agli accessori. Inglobando tutto nel rendimento risulta:

dove è il lavoro utile.

Considerando che il vapore per generare la riceve la potenza termica , è pos-

sibile definire il rendimento utile

Anche se non evidenziato nello schema dell'impianto, nel generatore di vapore vieneintrodotta una portata di combustibile che dà origine a dei gas combusti, i quali,

venendo a contatto con i fasci di tubi dell'economizzatore, del surriscaldatore edell'evaporatore, cedono parte del loro calore ed infine vengono espulsi al camino.

Essendo la proprio quello che noi paghiamo, definiamo come rendimento glo-

bale dell'impianto:

e come rendimento del generatore di vapore:

q1

lt li he hf–= =

lt ηis t, he hfis–( )=

q2 hf ha–=

Δh cpΔT=

li

li lt lp–=

ηCICLOli

q1

-----=

Pi m· li=

m·

Pi Pu

ηm

lu ηmli=

Pu m· lu=

lu

Pu m· q1

ηulu

q1

-----m· lu

m· q1

----------= =

m· b

m· b

ηgPu

m· bHi

------------=

ηbm· q1

m· bHi

------------=


il quale tiene conto delle perdite dovute all'incompletezza della combustione, alladisomogeneità del fluido, all'irraggiamento termico, ma soprattutto delle perdite alcamino. Possiamo inoltre scrivere

(113)

Il consumo specifico di combustibile, che è la quantità di combustibile necessaria perprodurre un'unità di potenza utile, risulta essere:

Effettuiamo ora alcune importanti considerazioni applicando il I principio in formatermica al condensatore

(114)

dove è la portata di vapore scaricata dalla turbina, la portata di acqua refrige-

rante nel condensatore, il calore specifico a pressione costante dell'acqua e

l'incremento di temperatura che subisce l'acqua refrigerante all'interno del condensa-tore.Per renderci conto dell'entità del consumo di acqua refrigerante assumiamo

, , ed essendo , dalla (114)

risulta che , questo significa che per ogni kg di vapore che circola ne

occorrono all'incirca 60 di acqua refrigerante; ed ecco spiegata la necessità di collo-care le centrali termoelettriche in prossimità di corsi d'acqua. Il fatto che al secondo membro della (114) abbiamo utilizzato la relazione

pur non trattandosi di un gas perfetto ma di acqua, risulta chiaro se ricor-

riamo all'espressione generale dell'entalpia:

nella quale poniamo , visto che siamo a pressione costante.

METODI PER MIGLIORARE IL RENDIMENTO

Come abbiamo evidenziato attraverso la relazione (113) il rendimento globale di unimpianto a vapore dipende a sua volta da tre altri rendimenti fra i quali quello delciclo assume i valori più bassi. Su di esso, pertanto, rivolgeremo la nostra attenzione,tenuto conto anche della scarsa migliorabilità di ed .

Consideriamo il ciclo ideale Rankine ed effettuiamone una suddivisione in tre cicli

Il rendimento complessivo del ciclo termodinamico evidenziato può essere vistocome media pesata dei rendimenti dei singoli cicli, dove il peso è dato dal caloreintrodotto nel rispettivo ciclo

ηgPu

m· bHi

------------ ηm

m· li

m· q1

----------⎝ ⎠⎛ ⎞ m· q1

m· bHi

------------⎝ ⎠⎛ ⎞ ηmηCICLOηb= = =

qbm· b

Pu

------m· b

ηgm· bHi

------------------- 1ηgHi

------------= = =

m· hf ha–( ) m· hcphΔTh=

m· m· h

cphΔTh

hf ha– 2500≈ kJ kg⁄ ΔTh 10°C≈ cph4186 J kgK⁄=

m· h m·⁄ 60≈

dh cpdT=

dh cpdT Tv∂T∂

------⎝ ⎠⎛ ⎞

pv– dp–=

dp 0=

ηm ηb

s

T

III

IIITc

Tv


90

Il ciclo II è un ciclo di Carnot che opera tra la temperatura di condensazione e quelladi vaporizzazione e pertanto il suo rendimento risulta essere

Il ciclo I è la somma di infiniti cicli elementari di Carnot che hanno come tempera-tura inferiore la e come superiore valori tutti al di sotto della ; ogni ciclo infini-

tesimo ha quindi un rendimento minore di e pertanto anche quello medio risulta

inferiore: .

Procedendo nella stessa maniera risulta che .

Da queste considerazioni emergono i metodi atti a migliorare il rendimento del cicloe conseguentemente quello globale.

DIMINUZIONE DELLA TEMPERATURA DI CONDENSAZIONE. In talemaniera è possibile migliorare i rendimenti di tutti e tre i cicli

Conseguentemente a tale pratica deve diminuire anche la temperatura dell'acquarefrigerante; risulta però difficile il mantenimento della pressione nel condensatore,ora ancora più bassa (al di sotto di quella ambiente) a causa delle infiltrazionidall'esterno.

AUMENTO DELLA TEMPERATURA DI VAPORIZZAZIONE. Non ci sideve spingere oltre un certo limite altrimenti si rischia di ottenere un effetto contrarioa quello desiderato, in quanto variano i pesi dei rendimenti: aumenta il peso di I ediminuisce quello di II e, come abbiamo già visto,

ηηIq1I ηIIq1II ηIIIq1III+ +

q1I q1II q1III+ +------------------------------------------------------------=

ηII 1TC

TV

------–=

TC TV

ηII

ηI ηII<

ηII ηIII<

h

s

Tc

T'c

ηI ηII<

h

s

e’ e

ff’

pv

p'v


Altro tipo di inconveniente connesso a tale metodo è la diminuzione del titolo delpunto di fine espansione, problema di cui si è già trattato nelle pagine precedenti.

RISURRISCALDAMENTO. Il vantaggio di tale pratica deriva essenzialmente dalfatto che aumenta il peso del ciclo III, quello con rendimento maggiore.

AUMENTO DELLA TEMPERATURA FINALE DI SURRISCALDAMENTO. Anche in questo caso si incrementa il peso del ciclo III.

RIGENERAZIONE. E' un ulteriore metodo per aumentare il rendimento di unciclo Rankine. Analizziamo prima il caso ideale e poi quello reale.Dalla suddivisione in tre cicli, precedentemente vista, si osserva che quello che ha unrendimento minore di tutti è il ciclo di riscaldamento, se lo potessimo eliminaresarebbe meglio. Con la rigenerazione si cerca di trasferire con continuità del calore dal vapore che siespande all'acqua che deve essere riscaldata; affinché questo processo sia reversibilele differenze di temperature devono essere infinitesime. Facciamo riferimento ad un ciclo limite Rankine a vapore saturo

ed effettuiamo l'espansione non secondo l'isentropica (c-d) ma secondo la trasforma-zione (c-e) che è isodiabatica con la (a-b), cioè scambiano uguali quantità di calore.

h

s

e

ff’

e’ Te

h

s

e’

e

ff’

Te

Te'

T

s

b c

ae d

i h g f

Tc

Tv

l


92

Risultando quindi identiche le aree (i-a-b-h) e (g-e-c-f) sfruttiamo il calore equiva-lente a quest'ultima per riscaldare l'acqua dalla temperatura alla e non for-

niamo più calore lungo la trasformazione (a-b) in quanto avviene uno scambiointerno al ciclo. Il ciclo di Carnot (l-b-c-d) ed il ciclo rigenerativo (a-b-c-e) sono termodinamica-mente equivalenti, dal momento che scambiano le stesse quantità di calore conl'esterno; il loro rendimento risulta perciò il medesimo. Le principali limitazioni risiedono nella difficoltà di realizzare praticamente unoscambio continuo nella turbina; se anche ciò fosse possibile, il titolo del vapore rag-giungerebbe valori troppo bassi per gran parte dell'espansione. La rigenerazione, pertanto, a livello pratico si effettua in maniera diversa: si spillauna parte di vapore dalla turbina e lo si manda in uno scambiatore rigenerativo amiscela, dove si unisce con la condensa che, quindi, arriva in caldaia ad una tempera-tura più elevata, con un conseguente risparmio di combustibile.

Utilizzando uno scambiatore a miscela è necessario che le pressioni dei flussi che viconfluiscono siano le medesime; occorre a tale scopo aggiungere una pompa tra (a) e(b').Possono comunque essere utilizzati anche degli scambiatori a superficie, nei qualicondensa e vapore spillato, percorrendo dei fasci di tubi, non vengono a contattodirettamente, ma attraverso delle apposite superfici di scambio termico.

Se si aumenta il numero degli scambiatori rigenerativi, e quindi degli spillamenti, siottiene un rendimento più elevato, perché ci si avvicina al caso ideale. Si può arrivaread un massimo di dieci perché oltre non si hanno sensibili miglioramenti, dato che

diminuisce troppo la portata elaborata in turbina e conseguentemente la .

TC TV

T

m·

m· s

m· m· s–b

c

d

e e

f

a

b'

s

j

scambiatore a miscela

h

s

m· s

m·

m· m· s–

a

b'j

bc

d

e

s

f

Pu


CALCOLO DELLE PRESTAZIONI. Applichiamo il I principio in forma termicaallo scambiatore rigenerativo

dalla quale solitamente ricaviamo ; rappresenta la portata spillata e

quella che attraversa il condensatore.

Bisogna prestare attenzione al fatto che con lo spillamento la portata varia nel ciclo,perciò

dove

è la frazione di portata spillata.

m· m· s–( )h'b m· shs+ m· hj=

hj m· s

m· m· s–( )

Pu ηm m· he hs–( ) m·( m· s ) hs hf–( ) m· hb hj–( ) m·( m· s ) h'b ha–( )–+[ ]––+{ }=

Pu ηmm· lt lp–( )=

lt he hs– 1( y ) hs hf–( )–+=

lp hb hj–( ) 1 y–( ) h'b ha–( )+=

ym· s

m·------=


94

a

ba′b′

c

d

e

Tw

m· F

m· A

T1 T2 T3 T4

40bar425°C

2bar

3barf

f′

x 0.2=

af

ac

c′



96

PRIMO PRINCIPIO APPLICATO ALL’INTERO IMPIANTO

(115)

dove è il rendimento di combustione (non il rendimento del generatore di vapore)

e .

Applicando il primo principio al solo generatore di vapore si ottiene:

Ricavando da quest’ultima equazione il termine e sostituendolo nel

primo principio applicato all’intero impianto si ottiene:

(116)

(117)

Si ritrova, cioè, l’espressione del primo principio per un impianto motore a vaporegià ricavata nel Capitolo 1 - Termodinamica.Si ricordi che la potenza asssorbita dalla pompa è solitamente trascurata o inclusa nel

rendimento meccanico, cosicchè .

σT

GV

ab

cd

e

f

aria (1)

comb (2)

gas combusti (3)

σT

GV

ab

cd

e

f

aria (1)

comb (2)

gas combusti (3)

m· acp a, T1 T0–( ) m· bcp b, T2 T0–( ) ηbm· bHi+ + Pi Q· 2 m· gcp g, T3 T0–( )+ +=

ηb

Pi Pit

Pip–=

m· acp a, T1 T0–( ) m· bcp b, T2 T0–( ) ηbm· bHi+ + m· he hb–( ) m· gcp g, T3 T0–( )+=

m· gcp g, T3 T0–( )

m· he hb–( ) Pi Q· 2+=

Q· 1 Pit

Pip– Q· 2+=

Pi Pit=




1. In un impianto a vapore le condizioni del vapore al generatore sono 50 bar e 400 °C. La turbina, che ha un rendimento isentropico pari a 0.8, scarica alla pressione di 1 bar. La pompa dell'acqua di alimentazione ha . Assumendo

, calcolare il titolo del vapore all'uscita

dalla turbina, il rendimento del ciclo, il rendimento utile, il rendimento globale dell'impianto e il consumo specifico di combustibile. Calcolare inoltre il rapporto tra la portata di acqua refrigerante nel condensatore e la portata di vapore nell'ipo-tesi che l'acqua di raffreddamento subisca un aumento di temperatura di 10 °C nel condensatore.

{ , , , , ,

}

2. Ripetere l'esercizio precedente con gli stessi dati tranne che per la pressione di condensazione che viene abbassata a 0.05 bar. Per semplicità la pompa viene

inserita tra gli accessori dell’impianto per cui il scende a 0.97.

{ , , , , ,

}

3. Ripetere l'esercizio precedente con gli stessi dati tranne che per le condizioni al generatore di vapore: 100 bar e .

{ , , , , ,

}

4. Ripetere l'esercizio precedente con gli stessi dati con in più un risurriscaldamento,

dopo una 1a espansione, a 20 bar e .

{ , , , ,

, }

5. Di un impianto a vapore si conosce

Calcolare il rendimento globale dell’impianto e il consumo specifico di combustibile

portata in massa di combustibile 1.3785 kg/s

potere calorifico del combustibile 40 MJ/kg

Rendimento del generatore di vapore 0.95

condizioni del vapore ingresso turbina 60 bar, 520°C

rendimento isentropico della turbina 0.90

temperatura di condensazione 46 °C

portata di acqua condensatrice 795 kg/s

calore specifico dell’acqua di raffreddamento 4.2 kJ/kgK

incremento di temperatura dell’acqua di raffreddamento 10 °C

rendimento meccanico (comprendente la potenza assorbita dalla pompa) 0.96

ηy 0.8=

ηm 0.98= ηb 0.9= Hi 43.1 MJ kg⁄=

xf 0.95= η 0.225= ηu 0.221= ηg 0.20= qb 420 g kWh⁄=

m· h m· v⁄ 51.4=

ηm

xf 0.88= η 0.305= ηu 0.2965= ηg 0.267= qb 313 g kWh⁄=

m· h m· v⁄ 50.8=

500°C

xf 0.89= η 0.337= ηu 0.327= ηg 0.294= qb 283 g kWh⁄=

m· h m· v⁄ 51.25=

500°C

xf 0.98= η 0.3575= ηu 0.347= ηg 0.312=

qb 268 g kWh⁄= m· h m· v⁄ 56.6=


98

SISTEMI ENERGETICI (11CINDK) - A.A. 2007-2008 99

CAPITOLO 6 IMPIANTI COGENERATIVI

INTRODUZIONE

Per cogenerazione si intende la produzione combinata di energia meccanica/elettricae calore. La combinazione significa contemporaneità nella produzione di potenzameccanica/elettrica da parte dell’impianto di cogenerazione.La cogenerazione, sebbene abbia riscontrato un notevole interesse in anni recenti,soprattutto nel nostro paese, è una pratica antica. La storia remota è ancora tutta dascrivere, ma agli inizi del nostro secolo molte aziende che utilizzavano impianti ter-moelettrici a vapore per la produzione di energia elettrica dirottavano già parte delvapore scaricato dalle motrici a vapore per utilizzarlo in usi tecnologici.La spinta all’utilizzo della cogenerazione, oggi, trova motivazioni, in parte, diverserispetto al passato. Infatti, oltre agli aspetti di economicità, cari ai nostri padri, lemotivazione di interesse sono il risparmio energetico, volto alla riduzione del con-sumo delle materie prime energetiche, e la salvaguardia dell’ambiente, inteso comeriduzione delle emissioni inquinanti conseguenti ad attività antropologiche, settori,tutti, in cui la cogenerazione può dare un valido contributo.Normalmente le esigenze di energia elettrica e calore vengono soddisfatte in manieraseparata. L’energia elettrica viene acquistata dalla rete di distribuzione, pubblica oprivata, che esiste in tutti i paesi sviluppati. Il calore, che, diversamente dall’energiaelettrica, non può essere trasportato per lunghe distanze viene, invece, prodotto local-mente. Nella soluzione cogenerativa, un impianto, che necessariamente deve essereubicato nelle vicinanze dell’utilizzatore termico, provvede in tutto o in parte allerichieste delle utenze, termica ed elettrica. I vantaggi che si ottengono con questasoluzione possono essere illustrati, in via esemplificativa, dal seguente esempio.

Rendimento totale produzione separata

Rendimento produzione combinata

W· 40=

Q· 40=η 0.90=

Q

Wη 0.40=

100

44.4

144.4IC

40 η 0.40=

60

100

40

204.4

60

ηtot40 40+144.4

------------------ 0.55= =

IMPIANTI COGENERATIVI

100

Risparmio di energia primaria

IMPIANTI MOTORI A GAS COGENERATIVI

IMPIANTI COGENERATIVI A VAPORE

Come già accennato all'inizio del capitolo, con questi impianti è possibile generarepotenza termica oltre che potenza elettrica. C'è una vera e propria produzione combi-nata e contemporanea - da cui il termine di cogenerazione - che risulta efficiente daun punto di vista termodinamico ed economicamente vantaggiosa. Tali impianti vengono ad esempio utilizzati in grandi stabilimenti industriali, perprodurre almeno una parte dell'energia elettrica consumata e fornire il calore necessa-rio a diversi processi industriali, oppure negli impianti destinati al riscaldamentourbano. Le tipologie di impianti solitamente utilizzate sono due.

IMPIANTI A CONTROPRESSIONE O A RICUPERO TOTALE.

In questo schema di impianto scarichiamo l'intera portata di vapore che ha lavorato inturbina all'utenza termica, la quale, per problemi di dispersione, non deve esseresituata ad una distanza superiore ai 30 km.

ηtotIC 40 40+

100------------------ 0.80= =

144.4 100–144.4

---------------------------- 30.7 %=

G˜

F·

W·

Q· U

T4

Ts Q· NU

IUPu Q· u+

m· bHi-------------------=



L'utenza riceve vapore e restituisce una condensa che alimenta il generatore tramiteuna pompa. La diversità sostanziale di tali impianti, rispetto a quelli precedentemente analizzati,risiede negli ordini di grandezza. L'impianto a condensazione presenta una pressionedi condensazione bassa, visto che così migliora il rendimento; si arriva a

nel caso l'acqua refrigerante sia a temperatura sufficientemente

ridotta. Alle utenze serve però vapore ad una pressione che varia tra i ,pertanto la p allo scarico della turbina deve raggiungere tali valori (da cui il terminecontropressione), con conseguente penalizzazione del rendimento del ciclo.

Tuttavia i rendimenti di conversione dell'energia, a partire dal combustibile intro-dotto, sono elevati; questo perché in un impianto di cogenerazione solo la potenzapersa nel generatore di vapore non va nel ciclo; essa comunque ammonta 10% della

potenza rilasciata dal combustibile :

In effetti si ha un "ricupero totale" della potenza termica inviata all'utilizzazione, chein un normale impianto a condensazione verrebbe dispersa al fiume.

CALCOLO DELLE PRESTAZIONI

questa è la potenza termica destinata all'utenza.

Tcaldaia

pompa utenza termica

alternatore

turbina

a

b

e e

f

a

pc 0 05,≈ bar

5 20÷( ) bar

h

s

c

d

e

f

a b≈

≈m· bHi( )

1 ηb–( )m· bHi

Pu ηmm· lt lp–( )=

Q· u m· hf ha–( )=

ηgPu

m· Hi----------=


102

Introduciamo inoltre un nuovo parametro denominato indice di utilizzazione delcombustibile e definito come

il quale ci mostra come viene utilizzato il combustibile, anche se compara due forme

di energia diverse, non confrontabili dal punto di vista del II principio (la è pre-

giata), ma solo dal punto di vista del I principio della termodinamica. L'inconveniente maggiore di questa tipologia d'impianti è che presenta una notevolerigidità; se si richiede, ad esempio, un aumento della ed una diminuzione della

, non è possibile farlo in quanto tutta la portata di vapore attraversa sia la turbina

che l'utenza, quindi aumentando aumenta sì la , ma anche la

In sostanza si hanno dei problemi di regolazione quando la e la variano indi-

pendentemente; in tal caso è preferibile utilizzare l'altro schema di impianto cogene-rativo.

IMPIANTI A RICUPERO PARZIALE.

L'espansione è divisa in due corpi, una turbina di alta pressione AP ed una di bassapressione BP. Il vapore che esce dalla AP può continuare ad espandersi nella BP oandare all'utenza termica. Se si chiude la valvola V, la BP è esclusa e si ottienel'impianto a contropressione, visto prima; se la valvola è tutta aperta viene esclusal'utenza, la portata confluisce tutta alla BP e si ha un impianto a condensazione. Traqueste due situazioni estreme ve ne sono infinite intermedie.

L'utenza termica riceve il vapore alla pressione di scarico della AP e lo restituisce atale pressione, la cosiddetta di estrazione.

Con tali impianti è possibile rendere in buona misura indipendenti le produzioni dienergia elettrica e termica in risposta alle specifiche esigenze.

CALCOLO DELLE PRESTAZIONI.

Scriviamo un'equazione di I principio al nodo (r, b', j), dove arrivano portate a diversetemperature e dunque diverse entalpie

ηmlu

li---=

ηCICLOli

q1-----=

IUPu Q· u+

m· bHi-------------------=

Pu

Pel

Q· u

m· Pel Q· u

Pel Q· u

AP BP

V

b

e e

s s m· m· u–

ab'

rj

m·

m· u

f

ps

m· uhr m· m· u–( )h'b+ m· hj=



L'IU dell'impianto a ricupero parziale assume valori intermedi tra quellodell'impianto a ricupero totale e quello dell'impianto a condensazione, quest'ultimo

ovviamente pari ad .

h

s

m· u

m·

m· m· u–

a

b'j

bc

d

e

s

fr

Pu ηm m· he hs–( ) m· m· u–( ) hs hf–( ) m· hb hj–( )– m· m· u–( ) h'b ha–( )–+{ }=

Q· u m· u hs hr–( )=

ηg


104



1. Un impianto motore a gas viene utilizzato per la produzione combinata di energia elettrica e calore. Le caratteristiche operative al punto di progetto sono le seguenti.

I gas scaricati dalla turbina a gas vengono inviati in uno scambiatore di calore (gene-ratore di vapore a recupero) al fine di produrre vapor d’acqua saturo e secco a 0.8MPa da inviare all’utenza termica. Sapendo che i gas combusti vengono scaricati al

camino a e che l’utenza termica restituisce la condensa a calcolarela potenza meccanica generata, il consumo specifico di combustibile e la portata divapore prodotta.

[ , , , ]

2. In un impianto a vapore a ricupero totale il generatore produce 200 t/h di vapore a 50 bar e . Sono estratte 100 t/h di vapore a 5 bar e le rimanenti a 1 bar. La condensa del vapore utilizzato a fini di riscaldamento viene rinviata in caldaia. Le turbine fra cui avviene la prima estrazione hanno lo stesso rendimento isentropico pari a 0.82. Determinare: potenza utile, rendimento globale dell'impianto, l’indice

di utilizzazione e consumo di combustibile. [ , ,

]

{ , , , }

3. Un impianto a vapore a ricupero parziale presenta le seguenti caratteristiche di funzionamento:

• - portata di vapore prodotta in caldaia, ;

• - condizioni del vapore prodotto, , ;

• - rendimento isentropico della turbina AP, fra il generatore e l'utilizzazione ter-mica, 0.82;

• - la portata di vapore per uso industriale viene estratta a 2 bar e la

rimanente continua ad espandersi nella turbina BP ( ) fino alla pres-

sione , previo surriscaldamento fino a 250 °C; ,

.

Calcolare la potenza utile, il rendimento globale dell'impianto, l’indice di utilizza-

zione nonché la portata di combustibile ( ) al generatore,

sapendo che la condensa del vapore estratto viene rinviata al generatore in condizionidi liquido saturo alla stessa pressione di 2 bar.

Temperatura ambiente 15

Pressione ambiente 100 kPa

portata di aria 2.86 kg/s

rapporto di compressione 6.

rendimento isentropico compressore 0.87

Potere calorifico inferiore metano 47400 kJ/kg

Rendimento del combustore 0.99

Temperatura di ingresso in turbina 1000 K

Rendimento isentropico turbina 0.9

Rendimento meccanico 0.98

°C

140°C 80°C

cp 1005 J kgK⁄= γ 1.4= c′p 1148 J kgK⁄= γ′ 1.333=

500°C

ηm 0.97= ηb 0.88=

Hi 9500 kcal kg⁄=

Pu 33.8 MW= ηg 0.184= IU 0.874= m· b 4.6 kg s⁄=

m· 150 t h⁄=

pO 80 bar= tO 530 °C=

m1·

50 t h⁄=

ηis 0.85=

pf 0.05 bar= ηm 0.96=

ηb 0.9=

Hi 9500 kcal kg⁄=



{ , , , }

4. Nell’impianto motore a vapore a recupero totale con doppia estrazione di vapore

a 30 e a 6 bar, rappresentato nello schema sottostante, le utenze termiche e

ricevono vapore saturo e restituiscono liquido saturo.

Trascurando le cadute di pressione nell’impianto e il lavoro di compressione delle pompe (per-ché inglobato nel rendimento meccanico) determinare: i) la potenza utile; ii) il rendimento glo-bale del l’ impianto e l ’ indice di ut i l izzazione; i i i ) l a por ta ta di combust ibi le

( )

Pu 43.2 MW= ηg 0.278= IU 0.478= m· b 3.91 kg s⁄=

Ui

U2

7MPa

385°C

ηb 0.88=6 bar

3MPa100t h⁄ 200 t h⁄

Hi 41.5 MJkg--------=

ηis 0.65=ηis 0.7=

U1U2

30 bar

D

Hi 41.5 MJ kg⁄=


106

Documents

SISTEMI ENERGETICI (11CINDK)corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/11CINDK/11CINDK_AA08...SISTEMI ENERGETICI - A.A. 2008/2009 1 CAPITOLO 1 TERMODINAMICA SISTEMI CHIUSI E APERTI Un sistema